Class 9

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Solutions Chapter 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण Ex 4.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण Exercise 4.1

प्रश्न 1.
एक नोटबुक की कीमत एक कलम की कीमत से दोगुनी है। इस कथन को निरूपित करने के लिए दो घरों वाला एक रैखिक समीकरण लिखिए।
हल :
माना एक नोटबुक की कीमत = x रुपये
तथा एक कलम की कीमत = y रुपये
प्रश्नानुसार,
एक नोटबुक की कीमत = 2 × एक कलम की कीमत
⇒ x = 2y
या x – 2y = 0 उत्तर

प्रश्न 2.
निम्नलिखित रैखिक समीकरणों को ax + by + c = 0 के रूप में व्यक्त कीजिए और प्रत्येक स्थिति में a, b और के मान बताइए
(i) 2x + 3y = \(9.3 \overline{5}\)
(ii) x – \(\frac {y}{5}\) – 10 = 0
(iii) – 2x + 3y = 6
(iv) x = 3y
(v) 2x = – 5y
(vi) 3x + 2 = 0
(vii) y – 2 = 0
(viii) 5 = 2x
हल :
(i) 2x + 3y = \(9.3 \overline{5}\)
⇒ 2x + 3y – \(9.3 \overline{5}\) = 0
∴ a = 2, b = 3, c = – \(9.3 \overline{5}\) उत्तर

(ii) x – \(\frac {y}{5}\) – 10 = 0
∴ a = 1, b = \(\frac {-1}{5}\), c = – 10 उत्तर

(iii) -2x + 3y = 6
⇒ -2x + 3y – 6 = 0
∴ a = – 2, b = 3, c = – 6 उत्तर

(iv) x = 3y
⇒ x – 3y + 0 = 0
∴ a = 1, b = – 3, c = 0 उत्तर

(v) 2x = – 5y
⇒ 2x + 5y + 0 = 0
∴ a = 2, b = 5, c = 0 उत्तर

(vi) 3x + 2 = 0
⇒ 3x + (0)y + 2 = 0
∴ a = 3, b = 0, c = 2 उत्तर

(vii) y – 2 = 0
⇒ (0) x + (1)y – 2 = 0
∴ a = 0, b = 1, c = – 2 उत्तर

(viii) 5 = 2x
⇒ – 2x + (0)y + 5 = 0
∴ a = – 2, b = 0, c = 5 उत्तर

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Exercise 10.2

प्रश्न 1.
याद कीजिए कि दो वृत्त सर्वांगसम होते हैं, यदि उनकी त्रिज्याएं बराबर हों। सिद्ध कीजिए कि सर्वांगसम वृत्तों की बराबर जीवाएं उनके केंद्रों पर बराबर कोण अंतरित करती हैं।
हल :
दिया है : दो सर्वांगसम वृत्त जिनके केंद्र O तथा O’ हैं। AB व CD दो समान जीवाएं हैं।
सिद्ध करना है : ∠AOB = ∠CO’D

ΔAOB तथा ΔCO’D में,
OA = O’C [सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएं]
OB = O’D [सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएं]
AB = CD [दिया है]
ΔAOB ≅ ΔCO’D [भुजा-भुजा-भुजा सर्वांगसमता]
∠AOB = ∠CO’D [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]
[इति सिद्धम]

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि यदि सर्वांगसम वृत्तों की जीवाएं उनके केंद्रों पर बराबर कोण अंतरित करें, तो जीवाएं बराबर होती हैं।
हल :
दिया है : दो सर्वांगसम वृत्त जिनके केंद्र O तथा O’ हैं। दो जीवाएं AB और CD इस प्रकार हैं कि ∠AOB = ∠CO’D.
सिद्ध करना है : जीवा AB = जीवा CD.

ΔAOB तथा ΔCO’D में,
OA = O’C [सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएं]
OB = O’D [सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएं]
∠AOB ≅ ∠CO’D [दिया है]
∴ ΔAOB = ΔCO’D [भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता]
∴ जीवा AB = जीवा CD [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]
[इति सिद्धम]

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Exercise 10.1

प्रश्न 1.
खाली स्थान भरिए :
(i) वृत्त का केंद्र वृत्त के ………………….. में स्थित है।
(ii) एक बिंदु, जिसकी वृत्त के केंद्र से दूरी त्रिज्या से अधिक हो, वृत्त के ……………… में स्थित होता है।
(iii) वृत्त की सबसे बड़ी जीवा वृत्त का …………….. होता है।
(iv) एक चाप ……………………… होता है, जब इसके सिरे एक व्यास के सिरे हों।
(v) वृत्तखंड एक चाप तथा ……………………….. के बीच का भाग होता है।
(vi) एक वृत्त, जिस तल पर स्थित है, उसे …………….. भागों में विभाजित करता है।
उत्तर :
(i) अभ्यंतर
(ii) बहिर्भाग
(iii) व्यास
(iv) अर्द्धवृत्त
(v) जीवा
(vi) तीन।

प्रश्न 2.
लिखिए, सत्य या असत्य। अपने उत्तर के कारण दीजिए।
(i) केंद्र को वृत्त पर किसी बिंदु से मिलाने वाला रेखाखंड वृत्त की त्रिज्या होती है।
(ii) एक वृत्त में समान लंबाई की परिमित जीवाएं होती हैं।
(ii) यदि एक वृत्त को तीन बराबर चापों में बांट दिया जाए, तो प्रत्येक भाग दीर्घ चाप होता है।
(iv) वृत्त की एक जीवा, जिसकी लंबाई त्रिज्या से दोगुनी हो, वृत्त का व्यास है।
(v) त्रिज्यखंड, जीवा एवं संगत चाप के बीच का क्षेत्र होता है।
(vi) वृत्त एक समतल आकृति है।
उत्तर :
(i) सत्य : क्योंकि वृत्त की परिधि पर स्थित सभी बिंदु केंद्र से समान दूरी पर होते हैं, जिसे वृत्त की त्रिज्या कहते हैं।
(ii) असत्य : क्योंकि वृत्त की परिधि पर अनेक बिंदु होते हैं जिन्हे मिलाने से अपरिमित जीवाएं प्राप्त की जा सकती हैं।
(iii) असत्य : क्योंकि एक वृत्त को तीन बराबर चापों में बांट देने पर प्रत्येक भाग समान चाप कहलाता है।
(iv) सत्य : क्योंकि व्यास सबसे बड़ी जीवा होती है, जिसकी लंबाई त्रिज्या से दोगुनी होती है।
(v) असत्य : क्योंकि चाप और दो त्रिज्याओं के बीच का क्षेत्र (केंद्र को चाप के बिंदु से मिलाने वाला) त्रिज्यखंड कहलाता है। आकृति में OAB त्रिज्यखंड है।

(vi) सत्य : क्योंकि वृत्त एक बिंदु का बिंदुपथ होता है, जो एक तल में स्थित होता है।

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Exercise 11.2

प्रश्न 1.
एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए, जिसमें BC = 7 cm, ∠B = 750 और AB + AC = 13 cm हो।
हल :
रचना के चरण-

1. एक किरण BX खींचिए तथा इसमें से एक रेखाखंड BC = 7 cm लीजिए।
2. बिंदु B पर ∠YBX = 75° बनाओ।
3. BY से BD = 13 cm काटो।
4. D को C से मिलाओ।
5. CD का लंब समद्विभाजक खींचिए जो BD को A पर प्रतिच्छेद करें।
6. A को C से मिलाइए।
7. इस प्रकार ABC अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 2.
एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए, जिसमें BC = 8 cm, ∠B = 45° और AB – AC = 3.5 cm हो। [B.S.E.H. 2017, 2018, 2020]
हल :
रचना के चरण-

1. एक किरण BX खींचिए तथा इसमें से एक रेखाखंड BC = 8 cm लीजिए।
2. अब बिंदु B पर ∠YBC = 45° बनाओ।
3. BY से BD = 3.5 cm काटो।
4. D को C से मिलाओ।
5. CD का लंब समद्विभाजक RS खींचो जो BY को A पर प्रतिच्छेद करता है।
6. A को C से मिलाइए।
7. इस प्रकार ABC अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 3.
एक त्रिभुज PQR की रचना कीजिए, जिसमें QR = 6 cm, ∠Q = 60° और PR – PQ = 2 cm हो।
हल :
रचना के चरण-

1. एक किरण QX खींचिए तथा इसमें से एक रेखाखंड QR = 6 cm लीजिए।
2. बिंदु Q पर ∠YQX = 60° बनाओ।
3. YQ को Y’ तक आगे बढ़ाकर QY’ में से QS = 2 cm काटो।
4. R को S से मिलाओ।
5. RS का लंब समद्विभाजक AB खींचिए जो QY को P पर काटे।
6. P को R से मिलाइए।
7. इस प्रकार PQR अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 4.
एक त्रिभुज XYZ की रचना कीजिए, जिसमें ∠Y =30°, ∠Z = 90° और XY + YZ + ZX = 11 cm हो।
हल :
रचना के चरण-

1. एक रेखाखंड PQ = 11 cm खींचिए।
2. P पर एक किरण PL खींचिए जिससे कि ∠LPQ = \(\frac{1}{2}\) × 30° = 150
3. Q पर, एक किरण QM खींचिए जिससे कि ∠MQP = \(\frac{1}{2}\) × 90° = 45० जो PL को X पर काटे।
4. PX का लंब समद्विभाजक AB खींचिए जो PQ को Y पर प्रतिच्छेद करे।
5. QX का लंब समद्विभाजक CD खींचिए जो PQ को Z पर प्रतिच्छेद करे।
6. XY तथा Xz को मिलाओ।
7. इस प्रकार XYZ अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 5.
एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसका आधार 12 cm और कर्ण तथा अन्य भुजा का योग 18 cm है।
हल :
रचना के चरण-

1. एक रेखाखंड BC = 12 cm खींचिए।
2. बिंदु B पर ∠YBC = 90° बनाओ तथा BD = 18 cm काटो।
3. DC को मिलाओ।
4. अब DC का लंबार्धक PQ खींचो जो DB को A पर प्रतिच्छेद करे।
5. AC को मिलाओ।
6. इस प्रकार ABC अभीष्ट त्रिभुज है।

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Exercise 2.4

प्रश्न 1.
बताइए कि निम्नलिखित बहुपों में से किस बहुपद का एक गुणनखंड x + 1 है
(i) x³ + x² + x + 1
(ii) x³ + x³ + x² + x + 1
(iii) x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1
(iv) x³ – x² – (2 + \(\sqrt{2}\))x + \(\sqrt{2}\)
हल :
(i) x + 1 का शून्यक – 1 है
माना,
p (x) = x³ + x² + x + 1
अब p(-1) = (-1)³ + (-1)² + (-1) + 1
= 1 + 1 – 1 + 1
= 2 – 2 = 0
अतः गुणनखंड प्रमेय के अनुसार x + 1, x³ + x² + x + 1 का एक गुणनखंड है। उत्तर

(ii) x + 1 का शून्यक – 1 है
माना, P(x) = x⁴ + x³ + x² + x + 1
अब P(-1) = (-1)⁴ + (-1)³ + (-1)² + (-1) + 1
= 1 – 1 + 1 – 1 + 1
= 3 – 2 = 1 ≠ 0
अतः गुणनखंड प्रमेय के अनुसार x + 1, x⁴ + x³ + x² + x + 1 का एक गुणनखंड नहीं है। उत्तर

(iii) x + 1 का शून्यक -1 है
माना, p(x) = x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1
अब
p(-1) = (-1) +3 (-1) +3(-1) + (-1)+1
= 1+3 (-1)+3 (1) -1+1 = 1-3+3-1+1
= 5-4 = 120 अतः गुणनखंड प्रमेय के अनुसार x + 1, x* + 3x + 3x + x + 1 का एक गुणनखंड नहीं है। उत्तर

(iv) x + 1 का शून्यक – 1 है
माना,
p (x) = x³ + x² – (2 + \(\sqrt{2}\)) x + \(\sqrt{2}\)
अब
p(-1) = (-1)³ – (-1)² – (2 + \(\sqrt{2}\))(-1) + \(\sqrt{2}\)
= – 1 – 1 + 2 + \(\sqrt{2}\) + \(\sqrt{2}\)
= – 2 + 2 + 2\(\sqrt{2}\)
= 2\(\sqrt{2}\) ≠ 0
अतः गुणनखंड प्रमेय के अनुसार x + 1, x³ – x²(2 + \(\sqrt{2}\)) x + \(\sqrt{2}\) का एक गुणनखंड नहीं है। उत्तर

प्रश्न 2.
गुणनखंड प्रमेय लागू करके बताइए कि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में g (r), p (x) का एक गुणनखंड है या नहीं-
(i) p(x) = 2x³ + x² – 2x – 1, g(x) = x + 1
(ii) p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1, g(x) = x + 2 .
(iii) p(x) = x³ – 4x² + x + 6, g(x) = x – 3
हल :
(i) x + 1 का शून्यक – 1 है
माना,
p (x) = 2x³ + x² – 2x – 1
अब
p(-1) = 2(-1)³ + (-1)² – 2(-1) – 1
= 2(-1) + (1) + 2 – 1
= – 2 + 1 + 2 – 1
अतः गुणनखंड प्रमेय के अनुसार g (x), p(x) का एक गुणनखंड है। उत्तर

(ii) x + 2 का शून्यक – 2 है
माना,
P(x) = x³ + 3x² + 3x + 1
अब
P(-2) = (-2)³ + 3 (-2)² + 3 (-2) + 1
= (-8) + 3(4) + 3(-2) + 1
= – 8 + 12 – 6 + 1
= 13 – 14 = – 1 ≠ 0
अतः गुणनखंड प्रमेय के अनुसार g(x), p(x) का एक गुणनखंड नहीं है। उत्तर

(iii) x – 3 का शून्यक है
माना,
P(x) = x³ – 4x² + x + 6
अब
p(3) = (3)³ – 4(3)² + (3) + 6
= 27 – 36 + 3 + 6
= 36 – 36 = 0
अतः गुणनखंड प्रमेय के अनुसार g(x), p(x) का एक गुणनखंड है। उत्तर

प्रश्न 3.
k का मान ज्ञात कीजिए जबकि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में (x – 1), p(x) का एक गुणनखंड हो
(i) P(x) = x² + x + k
(ii) p(x) = 2x² + kx + \(\sqrt{2}\)
(iii) P(x) = kx² – \(\sqrt{2}\)x + 1
(iv) P(x) = kx² – 3x + k
हल :
(i) क्योंकि x – 1, p (x) का एक गुणनखंड है
∴ P (1) = 0
⇒ (1)² + (1)² + k = 0
या 1 + 1 + k = 0
या 2 + k = 0
या k = – 2 उत्तर

(ii) क्योंकि x – 1, p (x) का एक गुणनखंड है
∴ P(1) = 0
⇒ 2(1)² + k(1) + \(\sqrt{2}\) = 0
या 2 + k + \(\sqrt{2}\) = 0
या k = -(2 + \(\sqrt{2}\)) उत्तर

(iii) क्योंकि x – 1, p (x) का एक गुणनखंड है
∴ p(1) = 0
⇒ k(1)² – \(\sqrt{2}\)(1) + 1 = 0
या k – \(\sqrt{2}\) + 1 = 0
या k = \(\sqrt{2}\) – 1 उत्तर

(iv) क्योंकि x – 1, p (x) का एक गुणनखंड है
∴ p(1) = 0
⇒ k (1)² – 3 (1) + k = 0
या k – 3 + k = 0
या 2k = 3
या k = \(\frac {3}{2}\) उत्तर

प्रश्न 4.
गुणनखंड ज्ञात कीजिए –
(i) 12x² – 7x + 1
(ii) 2x² + 7x + 3
(iii) 6x² + 5x – 6
(iv) 3x² – x – 4
हल :
(i) 12x² – 7x + 1 = 12x² – 4x – 3x + 1
= 4x (3x – 1) – 1 (3x – 1)
= (3x – 1) (4x – 1) उत्तर

(ii) 2x² + 7x + 3 = 2x² + 6x + x + 3
= 2x(x + 3) + 1(x + 3)
= (x + 3) (2x + 1) उत्तर

(iii) 6x² + 5x – 6 = 6x² + 9x – 4x – 6
= 3x (2x + 3) – 2(2x +3)
= (2x + 3) (3x – 2) उत्तर

(iv) 3x² – x – 4 = 3x² – 4x + 3x – 4
= x (3x – 4) + 1 (3x – 4)
= (3x – 4) (x + 1) उत्तर

प्रश्न 5.
गुणनखंड ज्ञात कीजिए
(i) x³ – 2x² – x + 2
(ii) x³ – 3x² – 9x – 5
(iii) x³ + 13x² + 32x + 20 [2017]
(iv) 2y³ + y² – 2y – 1
हल :
(i) माना p(x) = x³ – 2x² – x + 2
यहाँ पर अचर पद 2 है जिसके गुणनखंड ± 1, ± 2 है।
x = 1 रखने पर
p(1) = (1)³ – 2(1)² – (1) + 2
= 1 – 2 – 1 + 2
= 3 – 3 = 0
अतः x – 1, P(x) का एक गुणनखंड है।
अब

अतः
x³ – 2x² – x + 2 = (x – 1) (x² – x – 2)
= (x – 1) (x² – 2x + x – 2)
= (x – 1) [x(x – 2) + 1 (x – 2)]
= (x – 1) (x – 2) (x + 1) उत्तर

(ii) माना p(x) = x³ – 3x² – 9x – 5
यहाँ पर अचर पद – 5 है जिसके गुणनखंड ± 1, ± 5 है।
x = 1 रखने पर
P(1) = (1)³ – 3(1)² – 9(1) – 5
= 1 – 3 – 9 – 5
= 1 – 17 = -16 ≠ 0
x= – 1 रखने पर
p(-1) = (-1)³ – 3(-1))² – 9(-1) – 5
= – 1 – 3 + 9 – 5
= 9 – 9 = 0
अतः x + 1, p(x) का एक गुणनखंड है।
अब

अतः
x³ – 3x² – 9x – 5 = (x + 1) (x² – 4x – 5)
= (x + 1) (x² – 5x + x – 5)
= (x + 1) [x(x – 5) + 1 (x – 5)]
= (x + 1) (x – 5) (x + 1) उत्तर

(iii) माना p(x) = x³ + 13x² + 32x + 20
यहाँ पर अचर पद 20 है जिसके गुणनखंड ±1, ±2, ±4, ±5 हैं।
x=1 रखने पर
p(1) = (1)³ + 13(1)² + 32(1) + 20
= 1 + 13 + 32 + 20
= 66 ≠ 0

x = – 1 रखने पर
P(-1) = (-1)³ + 13(-1)² + 32 (-1) + 20
= -1 + 13 – 32 + 20
= 33 – 33 = 0
अतः x + 1, p(x) का एक गुणनखंड है।
अब

अतः
x³ + 13x² + 32x + 20 = (x + 1) (x² + 12x + 20)
= (x + 1) (x² + 10x + 2x + 20)
= (x + 1) [x(x + 10) + 2 (x + 10)]
= (x + 1) (x + 10) (x + 2) उत्तर

(iv) माना p(y) = 2y³ + y² – 2y – 1
यहाँ पर अचर पद – 1 है जिसके गुणनखंड ± 1 हैं।
y = 1 रखने पर
P(1) = 2 (1)³ + (1)² – 2(1) – 1
= 2 + 1 – 2 – 1
= 3 – 3 = 0
अतः y – 1, p(y) का एक गुणनखंड है।

अतः
2y³ + y² – 2y – 1 = (y – 1) (2y² + 3y + 1)
= (y – 1) (2y² + 2y + y + 1)
= (y – 1) [2y(y + 1) + 1 (y + 1)]
= (y – 1) (y + 1) (2y + 1) उत्तर

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Solutions Chapter 3 निर्देशांक ज्यामिति Ex 3.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 3 निर्देशांक ज्यामिति Exercise 3.3

प्रश्न 1.
किस चतुर्थांश में या किस अक्ष पर बिंदु (-2, 4), (3, -1), (-1, 0), (1, 2) और (-3, -5) स्थित हैं ? कार्तीय तल पर इनका स्थान निर्धारण करके अपने उत्तर सत्यापित कीजिए।
हल :

(i) बिंदु (-2, 4) चतुर्थांश II में है।
(ii) बिंदु (3, -1) चतुर्थाश IV में है।
(iii) बिंदु (-1, 0) ऋण x-अक्ष पर है।
(iv) बिंदु (1, 2) चतुर्थाश I में है।
(v) बिंदु (-3, -5) चतुर्थाश III में है।
दिए गए बिंदु आकृति में निर्धारित कर दिए गए हैं।

प्रश्न 2.
अक्षों पर दूरी का उपयुक्त एकक लेकर नीचे सारणी में दिए गए बिंदुओं को तल पर आलेखित कीजिए:

हल :
संलग्न आकृति में बिंदुओं की स्थितियां बिंदुओं (dots) द्वारा दर्शाई गई हैं जोकि, A(-2, 8), B(-1, 7), C(0, – 1.25), D (1, 3) व E (3,-1) हैं।

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Solutions Chapter 3 निर्देशांक ज्यामिति Ex 3.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 3 निर्देशांक ज्यामिति Exercise 3.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित प्रश्नों में से प्रत्येक प्रश्न का उत्तर दीजिए:
(i) कार्तीय तल में किसी बिंदु की स्थिति निर्धारित करने वाली क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाओं के क्या नाम हैं?
(ii) इन दो रेखाओं से बने तल के प्रत्येक भाग के नाम बताइए।
(iii) उस बिंदु का नाम बताइए जहां ये दो रेखाएं प्रतिच्छेदित होती हैं। [B.S.E.H, March, 2018]
हल :
(i) कार्तीय तल में किसी बिंदु की स्थिति निर्धारित करने वाली क्षैतिज और ऊध्वाधर रेखाओं के नाम क्रमशः x-अक्ष तथा y-अक्ष होते हैं।
(ii) वैतिज तथा ऊर्ध्वाधर रेखाओं से बने तल के प्रत्येक भाग को चतुर्थांश कहते हैं। जो चार होते हैं।
(iii) x-अक्ष व y-अक्ष रेखाओं के प्रतिच्छेदित बिंदु को मूलबिंदु (0, 0) कहते हैं।

प्रश्न 2.
आकृति देखकर निम्नलिखित को लिखिए :
(i) B के निर्देशांक
(ii) C के निर्देशांक
(iii) निर्देशांक (- 3, – 5) द्वारा पहचाना गया बिंदु
(iv) निर्देशांक (2, – 4) द्वारा पहचाना गया बिंदु
(v) D का भुज
(vi) बिंदु H की कोटि
(vii) बिंदु L के निर्देशांक
(viii) बिंदु M के निर्देशांक

हल :
आकृति अनुसार,
(i) B के निर्देशांक (- 5, 2) हैं।
(ii) C के निर्देशांक (5, – 5) हैं।
(iii) निर्देशांक (- 3, – 5) द्वारा पहचाना गया बिंदु E है।
(iv) निर्देशांक (2, – 4) द्वारा पहचाना गया बिंदु है।
(v) D का भुज = 6
(vi) बिंदु H की कोटि – 3 है।
(vii) बिंदु के निर्देशांक (0, 5) हैं।
(vii) बिंदु M के निर्देशांक (-3 , 0) हैं।

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Solutions Chapter 3 निर्देशांक ज्यामिति Ex 3.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 3 निर्देशांक ज्यामिति Exercise 3.1

प्रश्न 1.
एक अन्य व्यक्ति को आप अपने अध्ययन मेज पर रखे टेबल लैंप की स्थिति किस तरह बताएंगे?
हल :
हम लैंप को एक बिंदु तथा मेज को एक समतल मान लेते हैं। अब मेज के कोई भी दो लंब कोर लीजिए। बड़े कोर से लैंप की दूरी माप लीजिए। मान लीजिए यह दूरी 25 सें०मी० है। अब, छोटे कोर से लैंप की दूरी मापिए और मान लीजिए यह दूरी 30 सें०मी० है। जिस क्रम में आपने लैंप रखा है उसके अनुसार उसकी स्थिति को (30, 25) या (25, 30) लिख सकते हैं।

प्रश्न 2.
(सड़क योजना): एक नगर में दो मुख्य सड़कें हैं, जो नगर के केंद्र पर मिलती हैं। ये दो सड़कें उत्तर-दक्षिण की दिशा और पूर्व-पश्चिम की दिशा में हैं। नगर की अन्य सभी सड़कें इन मुख्य सड़कों के समांतर परस्पर 200 मीटर की दूरी पर हैं। प्रत्येक दिशा में लगभग पांच सड़कें हैं। 1 सेंटीमीटर – 200 मीटर का पैमाना लेकर अपनी नोट बुक में नगर का एक मॉडल बनाइए। सड़कों को एकल रेखाओं से निरूपित कीजिए।

आपके मॉडल में एक-दूसरे को काटती हुई अनेक क्रॉस-स्ट्रीट (चौराहे) हो सकती हैं। एक विशेष क्रॉस-स्ट्रीट दो सड़कों से बनी है, जिनमें से एक उत्तर-दक्षिण दिशा में जाती है और दूसरी पूर्व-पश्चिम की दिशा में। प्रत्येक क्रॉस-स्ट्रीट का निर्देशन इस प्रकार किया जाता है। यदि दूसरी सड़क उत्तर-दक्षिण दिशा में जाती है और पांचवीं सड़क पूर्व-पश्चिम दिशा में जाती है और ये एक क्रॉसिंग पर मिलती हैं, तब इसे हम क्रॉस-स्ट्रीट (2, 5) कहेंगे। इसी परंपरा से यह ज्ञात कीजिए कि
(i) कितनी क्रॉस-स्ट्रीटों को (4, 3) माना जा सकता है।
(ii) कितनी क्रॉस-स्ट्रीटों को (3, 4) माना जा सकता है।
हल :
सड़क मार्ग योजना नीचे दी गई आकृति में दिखाई गई है –

दोनों के क्रॉस मार्ग ऊपर की आकृति में चिहनित किए गए हैं। ये अद्वितीयतः प्राप्त किए जाते हैं, क्योंकि दो संदर्भ रेखाओं में हमने स्थान निर्धारण के लिए दोनों का प्रयोग किया है अर्थात केवल एक क्रॉस-स्ट्रीट को (4, 3) तथा एक क्रॉस-स्ट्रीट को (3, 4) माना जा सकता है।

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Exercise 11.1

प्रश्न 1.
एक दी हुई किरण के प्रारंभिक बिंदु पर 90° के कोण की रचना कीजिए और कारण सहित रचना की पुष्टि कीजिए।
हल :

रचना के चरण-

1. एक किरण AB खींचिए।
2. A को केंद्र मानकर तथा किसी त्रिज्या की परकार खोलकर एक चाप लगाओ जो किरण AB को D पर प्रतिच्छेद करे।
3. परकार को इतना ही खुला रखकर D से चाप DE लगाओ। इसी प्रकार E से चाप EF लगाओ।
4. अब परकार कुछ अधिक खोलकर E तथा F से चापें लगाओ जो परस्पर K पर काटें।
5. अब K से गुजरती हुई एक किरण AC खींचिए।
6. ∠CAB, अभीष्ट कोण है जो 90° का है।

सत्यापन- रचना से EA = AD = ED
∴ AED एक समबाहु त्रिभुज है।
अतः ∠EAD = 60° …….(i)
इसी प्रकार, AE = EF = FA
⇒ AEF एक समबाहु त्रिभुज है।
∠EAF = 60°
क्योंकि AC, ∠EAF का समद्विभाजक है।
∴ ∠EAC = \(\frac{1}{2}\) × 60° = 30° …….(ii)
समीकरण (i) व (ii) से,
∠CAB = ∠EAC + ∠EAD
= 30° + 60° = 90°

प्रश्न 2.
एक दी हुई किरण के प्रारंभिक बिंदु पर 45° के कोण की रचना कीजिए और कारण सहित रचना की पुष्टि कीजिए।
हल :

रचना के चरण-

1. एक किरण AB खींचिए।
2. A को केंद्र मानकर तथा किसी त्रिज्या की परकार खोलकर एक चाप लगाओ जो किरण AB को D पर प्रतिच्छेद करे।
3. परकार को इतना ही खुला रखकर D से चाप DE लगाओ। इसी प्रकार E से चाप EF लगाओ। अब परकार कुछ अधिक खोलकर E तथा F से चापें लगाओ जो परस्पर K पर काटें।
4. अब K से गुजरती हुई एक किरण AL खींचो। ∠LAB का माप 90° होगा।
5. अब M तथा D से चापें लगाओ जो परस्पर N पर काटें।
6. अब N से गुजरती हुई एक किरण AC खींचिए।
7. ∠CAB, अभीष्ट कोण है जो 45° का है।

सत्यापन- रचना में ∠LAB = 90° है और AC, ∠LAB का समद्विभाजक है।
∠CAB = \(\frac{1}{2}\)∠LAB = \(\frac{1}{2}\) × 90° = 45°

प्रश्न 3.
निम्न मापों के कोणों की रचना कीजिए- [B.S:E.H. March, 2018]
(i) 30°
(ii) \(22 \frac{1^{\circ}}{2}\)
(iii) 15°
हल :
(i) रचना के चरण-

1. एक किरण AB खींचिए।
2. A को केंद्र मानकर तथा किसी त्रिज्या की परकार खोलकर एक चाप लगाओ जो किरण AB को D पर प्रतिच्छेद करे।
3. परकार को इतना ही खुला रखकर D से DE चाप लगाओ।
4. अब परकार कुछ अधिक खोलकर D व E से चापें लगाओ जो परस्पर F पर काटें।
5. F में से गुजरती हुई एक किरण AC खींचिए।
6. ∠CAB, अभीष्ट कोण है जो 30° का है।

(ii) रचना के चरण- [B.S.E.H. March, 2019]

1. एक किरण AB खींचिए।
2. A को केंद्र मानकर तथा किसी त्रिज्या की परकार खोलकर एक चाप लगाओ जो किरण AB को D पर प्रतिच्छेद करे।
3. परकार को इतना ही खुला रखकर D से DE चाप लगाओ।
4. अब परकार कुछ अधिक खोलकर D व E से चापें लगाओ जो परस्पर K पर काटें।
5. K से गुजरती हुई एक किरण AH खींचिए। इस प्रकार ∠HAB = 30° का होगा।
6. अब D व L से चापें लगाओ जो परस्पर M पर काटें।
7. M से गुजरती हुई किरण AF खींचिए। इस प्रकार ∠FAB = 15° का होगा।
8. अब N तथा L से चापें लगाओ जो परस्पर P पर काटें।
9. P में से गुजरती हुई किरण AC खींचिए।
10. ∠CAB, अभीष्ट कोण है जो \(22 \frac{1^{\circ}}{2}\) का है।

(iii) रचना के चरण-

1. एक किरण AB खींचिए।
2. A को केंद्र मानकर तथा किसी त्रिज्या की परकार खोलकर एक चाप लगाओ जो किरण AB को D पर प्रतिच्छेद करे।
3. परकार को इतना ही खुला रखकर D से DE चाप लगाओ।
4. अब परकार कुछ अधिक खोलकर D व E से चापें लगाओ जो परस्पर K पर काटें।
5. K से गुजरती हुई एक किरण AH खींचिए। इस प्रकार ∠HAB = 30° का होगा।
6. अब F व D से चापें लगाओ जो परस्पर L पर काटें।
7. L में से गुजरती हुई एक किरण AC खींचिए।
8. ∠CAB, अभीष्ट कोण है जो 15° का है।

प्रश्न 4.
निम्न कोणों की रचना कीजिए और चाँदे द्वारा मापकर पुष्टि कीजिए-
(i) 750
(ii) 105° [March, 2020]
(iii) 135°
हल :
(i) रचना के चरण-

1. एक किरण AB खींचिए।
2. A को केंद्र मानकर तथा किसी त्रिज्या की परकार खोलकर एक चाप लगाओ जो किरण AB को D पर प्रतिच्छेद करे।
3. परकार को इतना ही खुला रखकर D से DE चाप लगाओ। इसी प्रकार E से चाप EF लगाओ।
4. अब परकार कुछ अधिक खोलकर E व F से चापें लगाओ जो परस्पर K पर काटें।
5. K से गुजरती हुई एक किरण AH खींचिए।
6. बिंदु L व E से चापें लगाओ जो परस्पर N पर प्रतिच्छेद करें।
7. N से गुजरती हुई एक किरण AC खींचिए।
8. ∠CAB, अभीष्ट कोण है जो 75° का है।
9. ∠CAB को चाँदे से नापने पर पता चलता है कि यह 75° का है।

(ii) रचना के चरण-

1. एक किरण AB खींचिए।
2. A को केंद्र मानकर तथा किसी त्रिज्या की परकार खोलकर एक चाप लगाओ जो किरण AB को D पर प्रतिच्छेद करे।
3. परकार को इतना ही खुला रखकर D से DE चाप लगाओ। इसी प्रकार E से चाप EF लगाओ।
4. अब परकार कुछ अधिक खोलकर E व F से चापें लगाओ जो परस्पर G पर काटें।
5. G से गुजरती हुई एक किरण AH खींचिए।
6. बिंदु F तथा L से चापें लगाओ जो परस्पर M पर काटें।
7. M से गुजरती हुई किरण AC खींचिए।
8. ∠CAB, अभीष्ट कोण है जो 105° का है।
9. इस कोण को चाँदे से नापने पर पता चलता है कि यह 105° का है।

(iii) रचना के चरण-

1. एक किरण AB खींचिए।
2. A को केंद्र मानकर तथा किसी त्रिज्या की परकार खोलकर एक चाप लगाओ जो किरण AB को D पर प्रतिच्छेद करे।
3. परकार को इतना ही खुला रखकर D से DE चाप लगाओ। इसी प्रकार E से EF तथा F से FG चाप लगाओ।
4. अब परकार को पहले से अधिक खोलकर E व F से चापें लगाओ जो परस्पर K पर काटें।
5. K में से गुजरती हुई एक किरण AH खींचिए।
6. बिंदु L तथा G से चापें लगाओ जो परस्पर M पर काटें।
7. अब M से गुजरती हुई एक किरण AC खींचिए।
8. ∠CAB, अभीष्ट कोण है जो 135° का है।
9. ∠CAB को चाँदे से नापने पर पता चलता है कि यह 135° का है।

प्रश्न 5.
एक समबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए, जब इसकी भुजा दी हो तथा कारण सहित रचना कीजिए।
हल :
रचना के चरण-

1. एक रेखाखंड BC = 5.5 cm खींचिए।
2. B और C को केंद्र मानकर BC = 5.5 cm त्रिज्या की परकार खोलकर दो चापें लगाएँ जो परस्पर A पर प्रतिच्छेद करें।
3. A को B व C से मिलाओ।
4. इस प्रकार ABC अभीष्ट समबाहु त्रिभुज है।

सत्यापन-क्योंकि रचना द्वारा AB = BC = CA = 5.5 cm
⇒ ∠C = ∠B = ∠A = 60°
∴ ΔABC समबाहु त्रिभुज है।

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.8 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Exercise 13.8

[नोट-जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए।]

प्रश्न 1.
उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या निम्न है :
(i) 7 सें०मी०
(ii) 0.63 मी०
हल :
(i) यहां पर,
गोले की त्रिज्या (r) = 7 सें०मी०
गोले का आयतन (V) = \(\frac{4}{3}\)πr³
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7}\) 7 × 7 × 7 सें०मी०³
= \(\frac{4312}{3}\) सें०मी०³ = 1437\(\frac{1}{3}\)सें०मी०³ उत्तर

(ii) यहां पर,
गोले की त्रिज्या (r) = 0.63 मी० = \(\frac{63}{100}\) मी०
गोले का आयतन (V) = \(\frac{4}{3}\)πr³
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{63}{100} \times \frac{63}{100} \times \frac{63}{100}\) मी०³
= \(\frac{1047816}{1000000}\) मी०³
= 1.05 मी०³ उत्तर

प्रश्न 2.
उस ठोस गोलाकार गेंद द्वारा हटाए गए (विस्थापित) पानी का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसका व्यास निम्न है:
(i) 28 सें०मी०
(ii) 0.21 मी०
हल :
(i) यहां पर,
गोले का व्यास (d) = 28 सें०मी०
गोले की त्रिज्या (r) = \(\frac{28}{2}\) सें०मी० = 14 सें०मी०
गोले का आयतन (V) = \(\frac{4}{3}\)πr³
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7}\) × 14 × 14 × 14 सें०मी०³
\(\frac{34496}{3}\) सें०मी०³ = 11498\(\frac{2}{3}\) सें०मी०³ उत्तर
अतः गोले द्वारा हटाए गए पानी का आयतन = 11498\(\frac{2}{3}\) सें०मी०³ उत्तर

(ii) यहां पर,
गोले का व्यास (d) = 0.21 मी० = \(\frac{21}{100}\) मी०
गोले की त्रिज्या (r) = \(\frac{21}{2 \times 100}\) = \(\frac{21}{100}\)
∴ गोले का आयतन (V) = \(\frac{4}{3}\)πr³
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{200} \times \frac{21}{200} \times \frac{21}{200}\) सें०मी०³
= \(\frac{4851}{1000000}\) सें०मी०³ = 0.004851 मी०³
अतः गोले द्वारा हटाए गए पानी का आयतन = 0.004851 मी०³ उत्तर

प्रश्न 3.
धातु की एक गेंद का व्यास 4.2 सें०मी० है। यदि इस धातु का घनत्व 8.9 ग्राम प्रति सें०मी०³ है, तो इस गेंद का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।
हल :
यहां पर,
धातु की गेंद का व्यास (d) = 4.2 सें०मी० = \(\frac{21}{100}\) सें०मी०
धातु की गेंद की त्रिज्या (r) = \(\frac{21}{100}\) सेंमी० = \(\frac{21}{100}\) सें०मी०
धातु की गेंद का आयतन (V) = \(\frac{4}{3}\)πr³
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{10} \times \frac{21}{10} \times \frac{21}{10}\) सें०मी०³
= \(\frac{38808}{1000}\) सें०मी०³
1 सें०मी० धातु का द्रव्यमान = 8.9 ग्राम
दी गई धातु की गेंद का द्रव्यमान = \(\frac{38808}{1000} \times \frac{89}{10}\) ग्राम
\(\frac{3453912}{10000}\) ग्राम = 345.3912 ग्राम
= 345.39 ग्राम उत्तर

प्रश्न 4.
चंद्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक-चौथाई है। चंद्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन की कौन-सी भिन्न है ?
हल :
माना पृथ्वी का व्यास (d) = 2x मी०
पृथ्वी की त्रिज्या (r₁) = \(\frac{2 x}{2}\)
पृथ्वी का आयतन (V) = \(\frac{4}{3}\)πr₁³
= \(\frac{4}{3}\)π × x × x × x मी०³
= \(\frac{4}{3}\)πx³
चंद्रमा का व्यास (d) = \(\frac{2 x}{4}\) मी०
चंद्रमा की त्रिच्या (r₂) = \(\frac{2 x}{2 \times 4}=\frac{x}{4}\) मी०
चंद्रमा का आयतन (V) = \(\frac{4}{3}\)πr₂³
= \(=\frac{4}{3} \pi \times \frac{x}{4} \times \frac{x}{4} \times \frac{x}{4}\) मी०³
= \(\frac{1}{48}\)πx³ मी०³
चंद्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन का जितना भाग है

प्रश्न 5.
व्यास 10.5 सें०मी० वाले एक अर्धगोलाकार कटोरे में कितने लीटर दूध आ सकता है ?
हल :
यहां पर,
अर्धगोलाकार कटोरे का व्यास (d) = 10.5 सें०मी० = \(\frac{105}{10}\) = \(\frac{21}{2}\) सें०मी०
अर्धगोलाकार कटोरे की त्रिज्या (r) = \(\frac{21}{2 \times 2}\) सें०मी० = \(\frac{21}{4}\) सें०मी०
∴ अर्धगोलाकार कटोरे का आयतन (V) = \(\frac{2}{3}\)πr³
= \(\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{4} \times \frac{21}{4} \times \frac{21}{4}\) सें०मी०³
= \(\frac{4851}{16}\) सें०मी०³
अतः अर्धगोलाकार कटोरे की धारिता = \(\frac{4851}{16 \times 1000} \ell\)
= \(\frac{4851}{16000} \ell\) = 0.303 l (लगभग) उत्तर

प्रश्न 6.
एक अर्धगोलाकार टंकी 1 सें०मी० मोटी एक लोहे की चादर (sheet) से बनी है। यदि इसकी आंतरिक त्रिज्या 1 मी० है, तो इस टंकी के बनाने में लगे लोहे का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल :
यहां पर,
अर्धगोलाकार टंकी की अंतः त्रिज्या (r) = 1 मी० = 100 सें०मी०
अर्धगोलाकार टंकी की बाह्य त्रिज्या (R) = 100 + 1 = 101 सें०मी०
∴ टंकी में लगी लोहे की चादर का आयतन = बाह्य आयतन – आंतरिक आयतन

प्रश्न 7.
उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 सें०मी०² है।
हल :
यहां पर,
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 154 सें०मी०²
⇒ 4πr² = 154
या 4 × \(\frac{22}{7}\) × r² = 154
या \(\frac{88}{7}\)r² = 154

प्रश्न 8.
किसी भवन का गुंबद एक अर्धगोले के आकार का है। अंदर से, इसमें सफेदी कराने में ₹ 4989.60 व्यय हुए। यदि सफेदी कराने की दर ₹ 20 प्रति वर्ग मीटर है, तो ज्ञात कीजिए :
(i) गुंबद का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल,
(ii) गुंबद के अंदर की हवा का आयतन।
हल :
(i) गुंबद के अंतः तल पर सफेदी कराने का खर्च = ₹ 4989.60
सफेदी कराने की दर = ₹ 20 प्रति वर्ग मीटर
4989.60 इस प्रकार गुंबद के अंतः तल का क्षेत्रफल = \(\frac{4989.60}{2}\)
= 249.48 वर्ग मीटर उत्तर
(ii) 2πr² = 249.48

प्रश्न 9.
लोहे के 27 ठोस गोलों को पिघलाकर, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या r है और पृष्ठीय क्षेत्रफल S है, एक बड़ा गोला बनाया जाता है जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल S’ है। ज्ञात कीजिए :
(1) नए गोले की त्रिज्या r’
(ii) S और S’ का अनुपात
हल :
(i) यहां पर,
गोले की त्रिज्या (r) = r
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल (S) = 4πr²
गोले का आयतन (V) = \(\frac{4}{3}\)πr³
इस प्रकार 27 ठोस गोलों को पिघलाकर बने
गोले का आयतन (V) = 27 × \(\frac{4}{3}\)πr³ = 36πr³
नए गोले की त्रिज्या = r’
नए गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\)π(r’)³
प्रश्नानुसार \(\frac{4}{3}\)π(r’)³ = 36πr³
या (r’)³ = 36r³ × \(\frac{3}{4}\)
या (r’)³ = 27(r)³
या (r’)³ = (3r)³
⇒ r’ = 3r
नए गोले की त्रिज्या r’ = 3r उत्तर

(ii) यहां पर,
नए गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल (S’) = 4π(r’)²
= 4π(3r)²
= 4π(9r²)
S’ = 36πr²
S तथा S’ का अनुपात = 4πr² : 36πr²
= 1 : 9 उत्तर

प्रश्न 10.
दवाई का एक कैपसूल (capsule) 3.5 मि०मी० व्यास का एक गोला (गोली) है। इस कैपसूल को भरने के लिए कितनी दवाई (mm³ में) की आवश्यकता होगी ?
हल :
यहां पर,
कैपसूल का व्यास (d) = 3.5 मि०मी० = \(\frac{35}{10}=\frac{7}{2}\) मि०मी०
कैपसूल की त्रिज्या (r) = \(\frac{7}{2} \times \frac{1}{2}\) मि०मी० = \(\frac{7}{4}\) मि०मी०
कैपसूल का आयतन (V) = \(\frac{4}{3}\)πr³
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{4} \times \frac{7}{4} \times \frac{7}{4}\) मि०मी०
= \(\frac{539}{24}\) मि०मी०³ = 22.46 मि०मी०³ (लगभग)
इस प्रकार कैपसूल को भरने के लिए जितनी दवाई की आवश्यकता होगी।
= 22.46 मि०मी०³ उत्तर

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Exercise 13.5

प्रश्न 1.
माचिस की डिब्बी के माप 4 सें०मी० × 2.5 सेंमी० × 1.5 सें०मी० हैं। ऐसी 12 डिब्बियों के एक पैकेट का आयतन क्या होगा ?
हल :
यहां पर,
माचिस की डिब्बी की लंबाई (l) = 4 सें०मी०
माचिस की डिब्बी की चौड़ाई (b) = 2.5 सें०मी०
माचिस की डिब्बी की ऊंचाई (h) = 1.5 सें०मी०
माचिस की 1 डिब्बी का आयतन (V) = l × b × h = 4 × 2.5 × 1.5 सें०मी०³
= 15 सें०मी०³
अतः माचिस की 12 डिब्बियों का आयतन = 15 × 12 = 180 सें०मी०³ उत्तर

प्रश्न 2.
एक घनाभाकार पानी की टंकी 6 मी० लंबी, 5 मी० चौड़ी और 4.5 मी० गहरी है। इसमें कितने लीटर पानी आ सकता है ? (1 मी०³ = 1000 l)
हल :
यहां पर,
घनाभाकार टंकी की लंबाई (l) = 6 मी०
घनाभाकार टंकी की चौड़ाई (b) = 5 मी०
घनाभाकार टंकी की गहराई (h) = 4.5 मी०
घनाभाकार टंकी का आयतन (V) = l × b × h= 6 × 5 × 4.5 मी०³
= 135 मी०³
1 मी०³ टंकी में पानी आ सकता है = 1000 l
135 मी०³ टंकी में पानी आ सकता है = 135 × 1000
= 135000 लीटर उत्तर

प्रश्न 3.
एक घनाभाकार बर्तन 10 मी० लंबा और 8 मी० चौड़ा है। इसको कितना ऊंचा बनाया जाए कि इसमें 380 घन मीटर द्रव आ सके ?
हल :
यहां पर,
घनाभाकार बर्तन की लंबाई (l) = 10 मी०
घनाभाकार बर्तन की चौड़ाई (b) = 8 मी०
घनाभाकार बर्तन की ऊंचाई (h) = ?
घनाभाकार बर्तन का आयतन (V) = 380 मी०³
⇒ l × b × h = 380
या 10 × 8 × h = 380
या 80h = 380
या h = \(\frac{380}{80}\) = 4.75 मी०
अतः घनाभाकार बर्तन की ऊंचाई (h) = 4.75 मी० उत्तर

प्रश्न 4.
8 मी० लंबा, 6 मी० चौड़ा और 3 मी० गहरा एक घनाभाकार गड्ढा खुदवाने में ₹ 30 प्रति मी०³ की दर से होने वाला व्यय ज्ञात कीजिए।
हल :
यहां पर,
घनाभाकार गड्ढे की लंबाई (l) = 8 मी०
घनाभाकार गड्ढे की चौड़ाई (b) = 6 मी०
घनाभाकार गड्ढे की गहराई (h) = 3 मी०
घनाभाकार गड्ढे का आयतन (V) = l × b × h = 8 × 6 × 3 मी०³
= 144 मी०³
अतः घनाभाकार गड्ढे को खुदवाने का व्यय = 144 × 30 = ₹ 4320 उत्तर

प्रश्न 5.
एक घनाभाकार टंकी की धारिता 50000 लीटर पानी की है। यदि इस टंकी की लंबाई और गहराई क्रमशः 2.5 मी० और 10 मी० हैं, तो इसकी चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल :
यहां पर,
घनाभाकार टंकी का आयतन (V) = 50000 लीटर
= \(\frac{50000}{1000}\) मी०³
= 50 मी०³
घनाभाकार टंकी की लंबाई (l) = 2.5 मी०
घनाभाकार टंकी की चौड़ाई (b) = ?
घनाभाकार टंकी की गहराई (h) = 10 मी०
घनाभाकार टंकी का आयतन (V) = 50 मी०³
⇒ l × b × h = 50
या 2.5 × b × 10 = 50
या 25 b = 50
या b = \(\frac{50}{25}\) = 2 मी०
अतः घनाभाकार टंकी की चौड़ाई = 2 मी० उत्तर

प्रश्न 6.
एक गांव जिसकी जनसंख्या 4000 है, को प्रतिदिन प्रति व्यक्ति 150 लीटर पानी की आवश्यकता है। इस गांव में 20 मी० × 15 मी० × 6 मी० मापों वाली एक टंकी बनी हुई है। इस टंकी का पानी वहां कितने दिन के लिए पर्याप्त होगा ?
हल :
यहां पर, एक व्यक्ति को प्रतिदिन जितने पानी की आवश्यकता है = 150 लीटर
4000 व्यक्तियों को प्रतिदिन जितने पानी की आवश्यकता है = 4000 × 50 = 6,00,000 लीटर
दी गई टंकी की लंबाई (l) = 20 मी०
दी गई टंकी की चौड़ाई (b) = 15 मी०
दी गई टंकी की गहराई (h) = 6 मी०
दी गई टंकी में उपस्थित पानी का आयतन (V) = l × b × h = 20 × 15 × 6 = 1800 मी०³
= 1800 × 1000 लीटर
= 18,00,000 लीटर
अतः टंकी का पानी जितने दिन के लिए पर्याप्त है = \(\frac{1800000}{600000}\) = 3 दिन उत्तर

प्रश्न 7.
किसी गोदाम की माप 40 मी० × 25 मी० × 15 मी० हैं। इस गोदाम में 1.5 मी० × 1.25 मी० × 0.5 मी० की माप वाले लकड़ी के कितने अधिकतम क्रेट (crate) रखे जा सकते हैं ? [B.S.E.H. March, 2018]
हल :
यहां पर,
गोदाम का आयतन (V₁) = 40 × 25 × 15 = 15000 मी०³
1 क्रेट का आयतन (V₂) = 1.5 × 1.25 × 0.5 = 0.9375 मी०³

प्रश्न 8.
12 सें०मी० भुजा वाले एक ठोस धन को बराबर आयतन वाले 8 घनों में काटा जाता है। नए घन की क्या भुजा होगी? साथ ही, इन दोनों घनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।
हल :
यहां पर,
ठोस धन की भुजा = 12 सें०मी०
ठोस घन का आयतन = 12 × 12 × 12 = 1728 सें०मी०³
नए घन का आयतन = \(\frac{1728}{8}\) = 216 सें०मी०³
अतः नए घन की भुजा = \(\sqrt[3]{\text { आयतन }}=\sqrt[3]{216}=\sqrt[3]{6 \times 6 \times 6}\)
= 6 सें०मी० उत्तर
पहले घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 × भुजा
= 6 × (12)² सें०मी०²
= 6 × 144 = 864 सें०मी०²
नए घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 × भुजा²
= 6 × (6)2 सें०मी०²
= 6 × 36 = 216 सें०मी०²
दोनों घनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात = 864 : 216
= 4 : 1 उत्तर

प्रश्न 9.
3 मी० गहरी और 40 मी० चौड़ी एक नदी 2 km प्रति घंटा की चाल से बह कर समुद्र में गिरती है। एक मिनट में समुद्र में कितना पानी गिरेगा ?
हल :
यहां पर,
नदी की गहराई (h) = 3 मी०
नदी की चौड़ाई (b) = 40 मी०
1 घंटे में बहने वाले पानी की लंबाई (l) = 2 km = 2000 मी०
अतः 1 घंटे में बहने वाले पानी का आयतन (V) = l × b × h = 2000 × 40 × 3 मी०³
= 24,0000 मी०³
1 मिनट में बहने वाले पानी का आयतन = \(\frac{240000}{60}\) मी०³
= 4000 मी०³
अतः 1 मिनट में जितना पानी समुद्र में गिरेगा = 4000 मी०³ उत्तर