Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Solutions Chapter 6 रेखाएँ और कोण Ex 6.1 Textbook Exercise Questions and Answers.
Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 6 रेखाएँ और कोण Exercise 6.1
प्रश्न 1.
आकृति में, रेखाएँ AB और CD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ∠AOC + ∠BOE = 70° है और ∠BOD = 40° है, तो ∠BOE और प्रतिवर्ती ∠COE ज्ञात कीजिए।
हल :
क्योंकि आकृति अनुसार OA तथा OB विपरीत किरणें हैं। इसलिए AB एक रेखा है। अब किरण OC, AB पर स्थित है। [रैखिक युग्म]
⇒ ∠AOC + ∠COB = 180°
या ∠AOC + ∠COE + ∠BOE = 180°
या (∠AOC + ∠BOE) + ∠COE = 180°
∠AOC + ∠BOE = 70°
⇒ 70° + ∠COE = 180°
या ∠COE = 180° – 70° = 110°
इस प्रकार प्रतिवर्ती
∠COE = 360° – 110° = 250° उत्तर
हम जानते हैं कि OC तथा OD विपरीत किरणें हैं इसलिए
∠COE + ∠EOD = 180° [रैखिक युग्म]
या ∠COE + ∠BOE + ∠BOD = 180°
या 110° + ∠BOE + 40° = 180° [∵ ∠COE = 110° व ∠BOD = 40°]
या ∠BOE = 180° – 110° = 40°
या ∠BOE = 180° – 150° = 30° उत्तर
प्रश्न 2.
आकृति में, रेखाएँ XY और MN बिंदू O पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ∠POY = 90° और a : b = 2 : 3 है, तो c ज्ञात कीजिए।
हल :
क्योंकि a : b = 2 : 3 और
a + b = ∠POX = ∠POY = 90°
अब अनुपाती योग = 2 + 3 = 5
⇒ a = \(\frac {2}{5}\) × 90° = 36°
तथा b = \(\frac {3}{5}\) × 90° = 54°
आकृति अनुसार OM और ON विपरीत किरणें हैं। इसलिए MN एक रेखा है।
क्योंकि किरण OX, MN पर स्थित है, इसलिए
∠MOX + ∠XON = 180° [रैखिक युग्म]
या b + c = 180° या c + 54° = 180° [∵ ∠b = 54°]
या c = 180° – 54° = 126°
या c = 126° उत्तर
प्रश्न 3.
आकृति में, यदि ∠PQR = ∠PRQ है, तो सिद्ध कीजिए कि ∠PQS = ∠PRT है।
हल :
क्योंकि QS और QR विपरीत किरणें हैं, इसलिए SR एक रेखा है।
∵ QP, SR पर स्थित है।
∴ ∠PQS + ∠PQR = 180° [रैखिक युग्म] … (i)
अब RQ और RT विपरीत किरणें हैं। इसलिए QT एक रेखा है।
इसी प्रकार PR, QT पर स्थित है।
∴ ∠PRQ + ∠PRT = 180° [रैखिक युग्म] … (ii)
समीकरण (i) व (ii) की तुलना से
∠PQS + ∠PQR = ∠PRQ + ∠PRT [∵ प्रत्येक युग्म = 180°] …. (iii)
या ∠PQR = ∠PRO [दिया है]… (iv)
समीकरण (iv) को (iii) में से घटाने पर प्राप्त होगा
∠PQS = ∠PRT [इति सिद्धम]
प्रश्न 4.
आकृति में, यदि x + y = w + z है, तो सिद्ध कीजिए कि AOB एक रेखा है।
हल :
क्योंकि एक बिंदु के चारों ओर के कोणों का योग 360° होता है।
∴ (∠BOC + ∠COA) + (∠BOD + ∠AOD) = 360°
⇒ (x + y) + (w + z) = 360°
परंतु x + y = w + z (दिया है)
अतः (x + y) + (x + y) = 360°
या 2 (x + y) = 360°
या x + y = \(\frac {360°}{2}\) = 180°
अतः ∠BOC और ∠COA रैखिक युग्म बनाते हैं।
अर्थात OA और OB दो विपरीत किरणें हैं।
इसलिए AOB एक रेखा है। [इति सिद्धम]
प्रश्न 5.
आकृति में, POQ एक रेखा है। किरण OR रेखा PQ पर लंब है। किरणों OP और OR के बीच में OS एक अन्य किरण है। सिद्ध कीजिए
∠ROS = \(\frac {1}{2}\) (∠QOS – ∠POS)
हल :
क्योंकि \(\overline{O R}\) रेखा PQ पर लंब है
इसलिए
∠POR = ∠QOR
या ∠POS + ∠ROS = ∠QOS – ∠ROS
या ∠ROS + ∠ROS = ∠QOS – ∠POS
या 2∠ROS = (∠QOS – ∠POS)
या ∠ROS = \(\frac {1}{2}\)(∠QOS – ∠POS) [इति सिद्धम]
प्रश्न 6.
यह दिया है कि ∠XYZ = 64° है और XY को बिंद्र P तक बढ़ाया गया है। दी हुई सूचना से एक आकृति खींचिए। यदि किरण YQ, ∠ZYP को समद्विभाजित करती है, तो ∠XYQ और प्रतिवर्ती ∠QYP के मान ज्ञात कीजिए।
हल :
क्योंकि रेखाखंड XY को बिंदु P तक बढ़ाया गया है।
इसलिए XP एक रेखा है।
क्योंकि YZ, रेखा XP पर स्थित है।
∴ ∠XYZ + ∠ZYP = 180° [रैखिक युग्म]
⇒ 64° + ∠ZYP = 180° [∵ ∠XYZ = 64°]
⇒ ∠ZYP = 180° – 64° = 116°
क्योंकि किरण YQ, ∠ZYP को समद्विभाजित करती है।
इसलिए
∠QYP = ∠ZYQ
= \(\frac {116°}{2}\) = 58°
∠XYQ = ∠XYZ + ∠ZYQ
⇒ ∠XYQ = 64° + 58° = 122°
तथा
प्रतिवर्ती ∠QYP = 360° – ∠QYP = 360° – 58° = 302°
अतः ∠XYQ = 122° व प्रतिवर्ती ∠QYP = 302° उत्तर