Author name: Bhagya

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Notes Chapter 15 प्रायिकता Notes.

Haryana Board 10th Class Maths Notes Chapter 15 प्रायिकता

→ घटना E की सैद्धांतिक (या परंपरागत) प्रायिकता P(E) को निम्नलिखित रूप में परिभाषित किया जाता है-

जहाँ हम कल्पना करते हैं कि प्रयोग के सभी परिणाम समप्रायिक हैं।

→ एक निश्चित या निर्धारित घटना की प्रायिकता 1 होती है।

→ एक असंभव घटना की प्रायिकता 0 होती है।

→ घटना E की प्रायिकता एक ऐसी संख्या P(E) है कि 0 ≤ P(E) ≤ 1

→ वह घटना जिसका केवल एक ही परिणाम हो एक प्रारंभिक घटना कहलाती है। किसी प्रयोग की सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकता का योग 1 होता है।

→ किसी भी घटना E के लिए P(E) + P(\(\bar{E}\)) = 1 होता है, जहाँ E घटना ‘E नहीं’ को व्यक्त करता है। E और \(\bar{E}\) पूरक घटनाएँ कहलाती हैं।

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Notes Chapter 14 सांख्यिकी Notes.

Haryana Board 10th Class Maths Notes Chapter 14 सांख्यिकी

→ सांख्यिकी- सांख्यिकी वह विज्ञान है, जो संख्यात्मक आंकड़ों के संग्रह, प्रस्तुतीकरण एवं विश्लेषण की उपयोगी विधियों एवं तकनीकों का अध्ययन करती है तथा उन पर आधारित निष्कर्ष निकालती है।

→ सांख्यिकी आंकड़ों का निरूपण- साठिाकी आंकड़ों को निरूपित करने के लिए निम्नलिखित प्रकार के आलेखों या आरेखों का उपयोग किया जाता है-

• आयतचित्र,
• वारंवारता बहुभुज,
• वारंवारता बक,
• दंड आरेख,
• चित्रालेख,
• पाई चार्ट या वृत्तीय आरेख।

→ अवर्गीकृत आंकड़ों का माध्य (समांतर माण)-सांख्यिकी आंकड़ों का आदर्श मापक ‘माध्य’ होता है क्योंकि माध्य अथवा औसत ज्ञात करने के लिए सभी आंकड़ों को निरूपित किया जाता है। इसे \(\bar{x}\) द्वारा प्रकट किया जाता है तथा प्राप्त आंकड़ों का माध्य सभी प्रेक्षणों के योग को प्रेक्षणों की संख्या से भाग देकर ज्ञात किया जाता है।
यदि n प्रेक्षण x₁, x₂, x₃, …….., x_n हो तो,

→ वर्गीकृत आंकड़ों के माध्य का परिकतन-इसकी निम्नलिखित दो विधियों हैं-
(a) प्रत्यक्ष विपि : यदि घर x के x₁, x₂, x₃, ………, x_n अलग-अलग मान हों तथा इनकी संगत वारंवारता f₁, f₂, f₃, …….., f_n हो तो,

(b) कथित माध्य विधि : यदि बारंबारताएँ अधिक हों तो गणना कठिन हो जाती है और तब इस विधि का प्रयोग करते हैं। इस विधि में हम एक खेच्छ अचर मान ‘a’ को लेते हैं (ध्यान रहे कि ‘a’ का गान x का वह मान लेना चाहिए, जो बंटन के मध्य भाग में हो)। ‘a’ के मान को x_i में से घटाते जाते हैं। पटाने पर प्राप्त मान (x – a) को विषलन मान ‘d’ कहते हैं अर्थात d_i = x_i – a तो माध्य \(\bar{x}\) = a + \(\bar{d}\), जहाँ \(\bar{d}\) = \(\frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i}\)
(c) पग-विचलन विपि । कभी-कभी कल्पित माध्य विधि में प्राप्त विचलनों di को वर्ग-माप h से भाग देते हैं तथा u_i प्राप्त करते हैं अर्थात् u_i = \(\frac{x_i-a}{h}\) तव माध्य (\(\bar{x}\)) = \(a+\left(\frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}\right) \times h\)

→ किसी वर्ग-अंतराल का मध्य बिंदु (वर्ग चिहून) उसकी उपरि और निचली वर्ग सीमाओं का औसत होता है। अर्थात

→ बहुलक : बहुलक (Mode) दिए हुए प्रेक्षणों में वह मान है जो सबसे अधिक बार आता है अर्थात उस प्रेक्षण का मान जिसकी वारंवारता अधिकतम है।

→ बहुसक वर्ग : एक वर्गीकृत वारंवारता बंटन में, वारंवारताओं को देखकर बहुलक ज्ञात करना संभव नहीं है। यहाँ, हम केवल वह वर्ग (class) ज्ञात कर सकते हैं जिसकी वारंवारता अधिकतम है। इस वर्ग को बहुतक वर्ग (modal class) कहते हैं।

→ वर्गीकृत जाँकड़ों का बहुतक निम्नलिखित सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है-
बहुलक = \(l+\left(\frac{f_1-f_0}{2 f_1-f_0-f_2}\right) \times h\)
जहाँ l = बहुलक वर्ग की निम्न (निचली) सीमा
h = वर्ग अंतराल की माप (यह मानते हुए कि सभी अंतराल बराबर मापों के हैं)
f₁ = बहुलक वर्ग की वारंवारता
f₀ = बहुलक वर्ग से ठीक पहले वर्ग की बारंबारता तथा
f₂ = बहुलक वर्ग के ठीक बाद में आने वाले वर्ग की वारंवारता है।

→ संचवी बारंबारता : किसी पारंवारता चंटन में किसी वर्ग की संचयी वारंवारता उस वर्ग से पहले वाले सभी वर्गों की बारंबारताओं का योग होता है।

→ माध्यक माध्यक (median) बेटीय प्रवृत्ति का ऐसा मापक है, जो आंकड़ों में सबसे बीच के प्रेक्षण का मान देता है। अवर्गीकृत आँकड़ों का मायक ज्ञात करने के लिए, पहले हम प्रेक्षणों के मानों को आरोही क्रम में अवस्थित करते हैं। अब, यदि विषम है, तो माध्यक \(\left(\frac{n+1}{2}\right)\) प्रेक्षण का मान होता है, यदि n सम है, तो माध्यक \(\frac{n}{2}\) और \(\left(\frac{n}{2}+1\right)\) ये प्रेक्षणों के मानों का औसत (माध्य) होता है।

→ माध्यक वर्ग : हम दिए गए सभी वर्गों की संचयी बारंबारताएँ और \(\frac{n}{2}\) शास करते हैं। अब, हम वह वर्ग खोजते हैं जिसकी संचयी वारंवारता से अधिक और उसके निकटतम है। इस वर्ग को माध्यक वर्ग (median class) कहते हैं।

→ वर्गीकृत ओंकड़ों का माध्यक निम्नलिखित सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है-
माध्यक = \(l+\left(\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right) \times h\)
जहाँ l = माध्यक वर्ग की निम्न सीमा
n = प्रेक्षणों की संख्या
cf = माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता
f = माध्यक वर्ग की वारंवारता
h = वर्ग-माप (यह मानते हुए कि वर्ग-माप बराबर है)

→ तीनों केंद्रीय प्रवृत्ति के मापकों में संबंध : 3 माध्यक = बहुतक + 2 माध्य

→ संचयी वारंवारता बंटनों को आतेखीय रूप से संचयी बारंबारता वकों या से कम प्रकार के’ या ‘से अधिक प्रकार के तोरण द्वारा निरूपण।

→ वर्गीकृत ओंकड़ों का माध्यक इनके दोनों प्रकार के तोरणों के प्रतिच्छेद बिंदु से सैतिज अक्ष पर तंब डालकर संब और कैतिज अक्ष के प्रतिच्छेद बिंदु के संगत मान से प्राप्त हो जाता है।

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Important Questions Chapter 2 बहुपद Important Questions and Answers.

Haryana Board 9th Class Maths Important Questions Chapter 2 बहुपद

Multiple Choice Questions With Answers:

प्रश्न 1.
निम्नलिखित प्रत्येक बहुपद में का गुणांक लिखिए।
(i) √2 + x – x²
(ii) 5x² + 3x + 2
हल :
(i) √2 + x – x² में x² का गुणांक = – 1
(ii) 5x² + 3x + 2 में x2 का गुणांक = 5.

प्रश्न 2.
बताइए कि निम्नलिखित दरुपदों में से कौन-कौन से बहुपद रैखिक हैं। कौन-कौन से द्विघाती हैं और कौन-कौन से त्रिघाती हैं-
(i) y² + 1
(ii) 5x³
(iii) y² + y + 5
(iv) √2 + x – x²
(v) u + 1
हल :
(i) बहुपद y² + 1 द्विघाती बहुपद है।
(ii) बहुपद 5x³ एक त्रिघाती बहुपद है।
(iii) बहुपद y² + y + 5 एक द्विघाती बहुपद है।
(iv) √2 + x – x² एक द्विघाती बहुपद है।
(v) बहुपद u + 1 एक रैखिक बहुपद है।

प्रश्न 3.
बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में से कौन-कौन से बहुपद एकपदी हैं, कौन-कौन से द्विपदी हैं और कौन-कौन से त्रिपदी हैं
(i) x⁴ + x + 5
(ii) 5y⁶ – 4y² – 6
(iii) x³ – 1
(iv) – 5x²
(v) u⁴
(vi) u⁴³ – u²
हल :
(i) बहुपद x⁴ + x + 5 एक त्रिपदी है।
(ii) बहुपद 5y⁶ – 4y – 6 एक त्रिपदी है।
(iii) बहुपद x³ – 1 एक द्विपदी है।
(iv) बहुपद – 5x² एक एकपदी है।
(v) बहुपद u⁴ एक एकपदी है।
(vi) बहुपद u⁴³ – u² एक द्विपदी है।

प्रश्न 4.
बहुपद p (x) = 4x⁴ + 5x³ – x² + 6 के लिए p (0), p (1) तथा p (2) का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर
p (x) = 4x⁴ + 5x³ – x² + 6
x = 0 रखने पर
p (0) = 4 (0)⁴ + 5 (0)³ – (0)² + 6
= 0 + 0 – 0 + 6
= 6

x = 1 रखने पर
p (1) = 4 (1)⁴ + 5 (1)³ – (1)² + 6
= 4 + 5 – 1 + 6
= 15 – 1 = 14

x = 2 रखने पर
p (2) = 4 (2)⁴ + 5 (2)³ – (2)² + 6
= 4 × 16 + 5 × 8 – 4 + 6
= 64 + 40 – 4 + 6
= 110 – 4 = 106

प्रश्न 5.
बहुपद p (x) = 2x + 1 का एक शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल :
बहुपद का शून्यक ज्ञात करने के लिए आवश्यक है-
p (x) = 0
2x + 1 = 0
2x = 0 – 1
2x = -1
x = – \(\frac{1}{2}\)
अतः – \(\frac{1}{2}\) बहुपद 2x + 1 का एक शून्यक है।

प्रश्न 6.
3x² + x – 1 को x + 1 से भाग दीजिए।
हल :

अतः भागफल = 3x – 2; शेषफल = 1

प्रश्न 7.
शेषफल ज्ञात करें जब बहुपद p (x) = 2x⁴ – 6x³ – 2x² – x + 2 को x + 2 से भाग किया जाता है।
हल :
यहाँ पर
p (x) = 2x⁴ – 6x³ – 2x² – x + 2
x + 2 का शून्यक -2 है।
∴ p(- 2) = 2(- 2)⁴ – 6 (- 2)³ – 2 (- 2)² – (- 2) + 2
= 2 (16) – 6 (- 8) – 2 (4) + 2 + 2
= 32 + 48 – 8 + 2 + 2 = 76
अतः p (x) को x + 2 से भाग देने पर शेषफल = 76.

प्रश्न 8.
यदि x – 1, 4x³ + 3x² – 4x + k का एक गुणनखंड हो, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
क्योंकि x – 1, p (x) = 4x³ + 3x² – 4x + k का एक गुणनखंड है,
इसलिए
p(1) = 0 होगा।
p (1) = 4 (1)³ + 3 (1)² – 4 (1) + k
इसलिए 4 + 3 – 4 + k = 0
या k = 3.

प्रश्न 9.
x² + 14x + 45 का गुणनखंडन कीजिए।
हल:
x² + 14x + 45 = x² + 9x + 5x + 45
= x (x + 9) + 5 (x + 9)
= (x + 9) (x + 5).

प्रश्न 10.
द्विघात बहुपद 6x² + 5x – 6 के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर
6x² + 5x – 6 = 6x² + 9x – 4x – 6
= 3x (2x + 3) – 2 (2x + 3)
= (2x + 3) (3x – 2)

प्रश्न 11.
x³ – 6x² + 11x – 6 का गुणनखंडन कीजिए।
हल :
माना
p(x) = x³ – 6x² + 11x – 6
यहाँ पर अचर पद – 6 है जिसके गुणनखंड ± 1, ± 2, ± 3, ± 6 हैं।
x = 1 रखने पर
p(1) = (1)³ – 6 (1)² + 11 (1) – 6
= 1 – 6 + 11 – 6
= 12 – 12 = 0
अतः x – 1, p (x) का एक गुणनखंड है।
अब

x³ – 6x² + 11x – 6 = (x – 1) (x² – 5x + 6)
= (x – 1) (x² – 3x – 2x + 6)
= (x – 1) [x (x – 3) – 2 (x – 3)]
= (x – 1) (x – 3)(x – 2)

प्रश्न 12.
सीधे गुणा किए बिना 102 × 103 का मान ज्ञात करें।
हल :
102 × 103 = (100 + 2) (100 +3)
= (100)² + (2 + 3) (100) + 2 × 3
= 10000 + 500 + 6 = 10506.

प्रश्न 13.
p⁴ – 625 का गुणनखंडन कीजिए।
हल:
p⁴ – 625 = (p²)² – (25)²
= (p² – 25) (p² + 25)
= [(p)² – (5)] (p² + 25)
= (p – 5) (p + 5) (p² + 25).

प्रश्न 14.
उपयुक्त सर्वसमिका का प्रयोग करके 105 × 106 का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
105 × 106 = (100 + 5) (100 +6)
= (100)² + (5 + 6) × 100 + 5 × 6
= 10000 + 11 × 100 + 30
10000 + 1100 + 30
= 11130.

प्रश्न 15.
8x³ + y³ + 27z³ – 18xyz का गुणनखण्ड कीजिए।
हल :
हम जानते हैं कि a³ + b³ + c³ – 3abc = (a + b + c) (a² + b² + c² – ab – bc – ca)
8x³ + y³ + 27z³ – 18xyz = (2x)³ + (y)³ + (3z)³ – 3 (2x) (y) (z)
(2x + y + 3z) [(2x)² + (y)² + (3z)² – (2x) (y) – (y) (3z) – (3z) (2x)]
(2x + y + 3z) [4x² + y² + 9z² – 2xy – 3yz – 6zx]

Multiple Choice Questions With Answers:

प्रश्न 1.
बहुपद x⁵ – x⁴ + 3 की घात है-
(A) शून्य
(B) 3
(C) 4
(D) 5
उत्तर-
(D) 5

प्रश्न 2.
बहुपद 2 – x² – x³ + 2x⁸ की घात होगी-
(A) 2
(B) 3
(C) शून्य
(D) 8
उत्तर-
(D) 8

प्रश्न 3.
निम्नलिखित बीजीय व्यंजकों में कौन-सा एक बहुपद है ?
(A) x² + 5x + 6
(B) y + \(\frac{1}{2 y}\)
(C) 5t + 3
(D) \(\frac{1}{5 x+3}\)
उत्तर-
(A) x² + 5x + 6

प्रश्न 4.
निम्नलिखित वीजीय व्यंजकों में से कौन-सा व्यंजक बहुपद नहीं है ?
(A) x¹⁰ + 3x³ + 5x⁵⁰
(B) y² + √2
(C) 4y² – 3y + 7
(D) y + \(\frac{2}{2y}\)
उत्तर-
(D) y + \(\frac{2}{2y}\)

प्रश्न 5.
निम्नलिखित में से कौन-सा व्यंजक एक चर वाला है ?
(A) 4x² – 3x + 7
(B) x¹⁰ + y³ – t⁵
(C) 4x² – 3y + 7
(D) 4x² – 3y + 7z
उत्तर-
(A) 4x² – 3x + 7

प्रश्न 6.
निम्नलिखित में से कौन-सा व्यंजक दो चर वाला है ?
(A) 4x² – 3x + 7
(B) x¹⁰ + y³ – 150
(C) 4x² – 3y + 7
(D) 4x² – 3y + 7z
उत्तर-
(C) 4x² – 3y + 7.

प्रश्न 7.
\(\frac{\pi}{2}\) x² + x में :’ का गुणांक है-
(A) 1
(B) π
(C) \(\frac{1}{2}\)
(D) \(\frac{\pi}{2}\)
उत्तर-
(D) \(\frac{\pi}{2}\)

प्रश्न 8.
√2x – 1 में x² का गुणांक है-
(A) शून्य
(B) 1
(C) √2
(D) – 1
उत्तर-
(A) शून्य

प्रश्न 9.
निम्नलिखित बहुपदों में से कौन-सा बहुपद द्विघाती नहीं है ?
(A) x² + x
(B) x – x³
(C) y + y² + 4
(D) r²
उत्तर-
(B) x – x³

प्रश्न 10.
निम्नलिखित बहुपदों में से कौन-सा बहुपद रैखिक है ?
(A) x² + x
(B) y + 4
(C) 3t – t³
(D) 7
उत्तर-
(B) y + 4

प्रश्न 11.
निम्नलिखित बहुपदों में से कौन-सा बहुपद त्रिघाती है ?
(A) 1 + x
(B) y + y² + 4
(C) x – x³
(D) y² + y
उत्तर-
(C) x – x³

प्रश्न 12.
x = 1 पर बहुपद p(x) = 5x² – 3x + 7 का मान होगा-
(A) 8
(B) 15
(C) 9
(D) 1
उत्तर-
(C) 9

प्रश्न 13.
बहुपद p(x) = 2x + 1 का एक शून्यक होगा
(A) \(\frac{1}{2}\)
(B) – \(\frac{1}{2}\)
(C) 2
(D) – 2
उत्तर-
(B) – \(\frac{1}{2}\)

प्रश्न 14.
x = – 1 पर बहुपद 5x – 4x² + 3 का मान होगा-
(A) 6
(B) 4
(C) 6
(D) – 4
उत्तर-
(A) 6

प्रश्न 15.
बहुपद p(x) = (x – 1) (x + 1) के लिए p(0) का मान होगा-
(A) – 1
(B) 1
(C) 0
(D) 3
उत्तर-
(A) – 1

प्रश्न 16.
बहुपद p(y) = y² – y + 1 के लिए p(0) का मान होगा-
(A) 1
(B) – 1
(C) 2
(D) – 2
उत्तर-
(A)1

प्रश्न 17.
बहुपद p(x) = 2x + 5 का शून्यक होगा-
(A) \(\frac{5}{2}\)
(B) – \(\frac{5}{2}\)
(C) \(\frac{2}{5}\)
(D) – \(\frac{2}{5}\)
उत्तर-
(B) – \(\frac{5}{2}\)

प्रश्न 18.
बहुपद p(x) = cx + d; {c’ 0, c, d वास्तविक संख्याएँ हैं} में बहुपद का शून्यक होगा-
(A) \(\frac{d}{c}\)
(B) – \(\frac{d}{c}\)
(C) \(\frac{c}{d}\)
(D) – \(\frac{c}{d}\)
उत्तर-
(B) – \(\frac{d}{c}\)

प्रश्न 19.
बहुपद P(y) = 3y में बहुपद का शून्यक होगा-
(A) शून्य
(B) 1
(C) 3
(D) – 3
उत्तर-
(A) शून्य

प्रश्न 20.
3x² + x – 1 को x + 1 से भाग देने पर शेषफल प्राप्त होगा-
(A) 1
(B) – 1
(C) – 2
(D) 2
उत्तर-
(A) 1

प्रश्न 21.
3x⁴ + – 4x³ – 3x – 1 को x – 1 से भाग करने पर शेषफल प्राप्त होगा-
(A) 5
(B) – 5
(C) शून्य
(D) – 3
उत्तर-
(B) – 5

प्रश्न 22.
p(x) = x³ +3x² + 3x + 1 को x + π से भाग देने पर शेषफल प्राप्त होगा-
(A) – π³ + 3π² – 3π + 1
(B) π³ + 3π² – 3π + 1
(C) π³ + 3π² + 3π + 1
(D) – π³ – 3π² + 3π + 1
उत्तर-
(A) – π³ + 3π² – 3π + 1

प्रश्न 23.
x³ + 3x² + 3x + 1 को x + 1 से भाग देने पर शेषफल प्राप्त होगा-
(A) – 1
(B) 1
(C) शून्य
(D) 2
उत्तर-
(C) शून्य

प्रश्न 24.
p(x) = x³ – ax² + 6x – 4 को x – a से भाग देने पर शेषफल प्राप्त होगा-
(A) – 5a
(B) 5a
(C) 7a
(D) – 7a
उत्तर-
(B) 5a

प्रश्न 25.
p(y) = y³ + 3y² + 3y + 1 को y से भाग करने पर शेषफल प्राप्त होगा-
(A) शून्य
(B) – 1
(C) 1
(D) 2
उत्तर-
(C) 1.

प्रश्न 26.
यदि p(x) = x² + x + k का एक गुणनखंड (x-1) हो तो k का मान होगा-
(A) 2
(B) – 2
(C) 1
(D) – 1
उत्तर-
(B) – 2

प्रश्न 27.
y² – 5y + 6 का गुणनखंडन होगा-
(A) (y – 2) (y – 3)
(B) (y – 2) (y + 3)
(C) (y + 2) (y – 3)
(D) (y + 2) (y +3)
उत्तर-
(A) (y – 2) (y – 3)

प्रश्न 28.
2x² + 7x + 3 का गुणनखंडन होगा-
(A) (x – 3) (2x + 1)
(B) (x + 3) (2x + 1)
(C) (x + 3) (2x – 1)
(D) (x -3) (2x – 1)
उत्तर-
(B) (x + 3) (2x + 1)

प्रश्न 29.
उपयुक्त सर्वसमिका के उपयोग से (x + 4) (x + 10) का गुणनफल होगा-
(A) x² + 6x + 40
(B) x² + 14x + 40
(C) x² + 14x – 40
(D) x² + 14x – 40
उत्तर-
(B) x² + 14x + 40

प्रश्न 30.
उपयुक्त सर्वसमिका के उपयोग से (3x + 4) (3x – 5) का गुणनफल होगा-
(A) 9x² – 3x – 20
(B) 9x² + 3x + 20
(C) 9x² – 3x + 20
(D) 9x² + 3x – 20
उत्तर-
(A) 9x² – 3x – 20

प्रश्न 31.
104 × 96 का मान ज्ञात करने के लिए उपयुक्त है-
(A) (100 + 4) (90 + 6)
(B) (110 – 6) (90 + 6)
(C) (100 + 4) (100 – 4)
(D) (110 – 6) (100 – 4)
उत्तर-
(C) (100 + 4) (100 – 4)

प्रश्न 32.
(x + 3) (x + 3) = x² + ……………….. + 9 के रिक्त स्थान पर होगा-
(A) 2x
(B) 3x
(C) 6x
(D) 5x
उत्तर-
(C) 6x

प्रश्न 33.
(3 + 2x) (3 – 2x) का मान होगा-
(A) 9 + 4x²
(B) 9 – 4²
(C) 9 – 2x²
(D) 9 + 2x²
उत्तर-
(B) 9 – 4x²

प्रश्न 34.
9x² + 6xy + y² का गुणनखंडन होगा-
(A) (3x+ y) (3x + y)
(B) (3x – y) (3x – y)
(C) (3x + y) (3x–2)
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर-
(A) (3x +y) (3x + y)

प्रश्न 35.
उपयुक्त सर्वसमिका का प्रयोग करके \(x^2-\frac{y^2}{100}\) का गुणनखंडन होगा
(A) \(\left(x-\frac{y}{10}\right)\left(x-\frac{y}{10}\right)\)
(B) \(\left(x+\frac{y}{10}\right)\left(x-\frac{y}{10}\right)\)
(C) \(\left(x+\frac{y}{10}\right)\left(x+\frac{y}{10}\right)\)
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर-
(B) \(\left(x+\frac{y}{10}\right)\left(x-\frac{y}{10}\right)\)

प्रश्न 36.
उपयुक्त सर्वसमिका का प्रयोग करके 49a² + 70ab + 25b² का गुणनखंडन होगा-
(A) (7a + 5b) (7a + 5b)
(B) (7a-5b) (7a-5b)
(C) (7a + 5b) (7a-5b)
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर-
(A) (7a + 5 b) (7a + 5b)

प्रश्न 37.
उपयुक्त सर्वसमिका का प्रयोग करके 4y² – 4y + 1 का गुणनखंडन होगा-
(A) (2y + 1) (2y + 1)
(B) (2y – 1) (2y – 1)
(C) (2y – 1) (2y + 1)
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर-
(B) (2y – 1) (2y – 1)

प्रश्न 38.
(- 2x + 5y – 3z)² का प्रसारित रूप होगा-
(A) – 4x² + 25y² – 9z² – 20xy – 30yz + 12xz
(B) – 4x² + 25y² + 9z² + 20xy + 30yz + 12xz
(C) – 4x² + 25y² – 9z² + 20xy + 30yz + 12xz
(D) 4x² + 25y² + 922 – 20xy – 30yz + 12xz
उत्तर-
(D) 4x² + 25y² + 9z² – 20xy – 30yz + 12xz

प्रश्न 39.
(104) को सरल करने के लिए उपयुक्त सर्वसमिका है-
(A) (100 + 4)³
(B) (110 – 6)³
(C) (90 + 14)³
(D) (120 – 16)³
उत्तर-
(A) (100 + 4)³

प्रश्न 40.
(5p – 3q)³ का प्रसारित रूप होगा-
(A) 125p³ – 27q³ – 225pq² – 135pq²
(B) 125p³ — 27q³ – 225p²q + 135pq²
(C) 125p³ + 27q³ + 225p²q + 135pq²
(D) 125p³ – 27q³ + 225p²q + 135pq²
उत्तर-
(B) 125p³ — 27q³ – 225p²q + 135pq²

प्रश्न 41.
(2x + 1)³ का प्रसारित रूप होगा-
(A) 8x³ + 12x² + 6x + 1
(B) 8x³ + 12x² + 6x – 1
(C) 8x³ – 12x² + 6x – 1
(D) 8x³ – 12x² – 6x – 1
उत्तर-
(A) 8x³ + 12x² + 6x + 1

प्रश्न 42.
निम्नलिखित में से कौन-सी सर्वसमिका सत्य है ?
(A) x³ + y³ = (x + y) (x² + xy + y²)
(B) x³ + y³ = (x + y) (x² – xy + y²)
(C) x³ – y³ = (x – y) (x² – xy + y²)
(D) x³ – y³ = (x + y) (x² – xy + y²)
उत्तर-
(B) x³ + y³ = (x + y) (x² – xy + y²)

प्रश्न 43.
64m³ – 343n³ का गुणनखंडन करने पर प्राप्त होगा-
(A) (4m – 7n) (16m² + 49n² – 28mn)
(B) (4m + 7n) (16m² + 49n² – 28mn)
(C) (4m – 7n) (16m² + 49n² + 28mn)
(D) (4m + 7n) (16m² + 49n² + 28mn)
उत्तर-
(C) (4m – 7n) (16m² + 49n² + 28mn)

प्रश्न 44.
यदि x + y + z = 0 हो तो निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है ?
(A) x³ – y³ – z³ = 3xyz
(B) x³ + y³ + z³ = 3xyz
(C) x³ – y³ + z³ = 3xyz
(D) x³ + y³ + z³ = – 3xyz
उत्तर-
(B) x³ + y³ + z³ = 3xyz

प्रश्न 45.
यदि किसी आयत का क्षेत्रफल 25a² – 35a + 12 हो तो उसकी लंबाई व चौड़ाई क्रमशः होगी-
(A) (5a – 3) व (5a – 4)
(B) (5a + 3) व (5a – 4)
(C) (5a + 3) व (5a + 4)
(D) (5a – 3) व (5a + 4)
उत्तर-
(A) (5a – 3) व (5a – 4)

प्रश्न 46.
यदि किसी घनाभ का आयतन 12ky² + 8ky – 206 हो तो उसकी संभावित विमाएँ होंगी-
(A) 4k, 3y – 5 व y – 1
(B) 4k, 3y + 5 व y – 1
(C) 4k, 3y + 5 व y + 1
(D) 4k, 3y – 5 व y + 1
उत्तर-
(B) 4k, 3y + 5 व y – 1

प्रश्न 47.
यदि किसी घनाभ का आयतन 3x² – 12x हो तो उसकी संभावित विमाएँ होंगी-
(A) 4, x और x + 3
(B) 3, x और x + 4
(C) 4, x और x – 3
(D) 3, x और x – 4
उत्तर-
(D) 3, x और x – 4

प्रश्न 48.
बहुपद 2 – x² – x³ + 5x⁷ की घात होगी-
(A) 2
(B) 3
(C) 7
(D) 5
उत्तर-
(C) 7

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Notes Chapter 4 Quadratic Equations Notes.

Haryana Board 10th Class Maths Notes Chapter 4 Quadratic Equations

Introduction
You are already familiar with linear equations in one and two variables and their solutions. In chapter 2, you have studied different types of polynomials. Recall that polynomials of degree 2 are called quadratic polynomials. The standard form of quadratic polynomial is ax² + bx + c, where a, b, c are real numbers and a ¹ 0. When we equate this polynomial to zero, we get a quadratic equation. Quadratic equations come up when we deal with many real-life situations. In this chapter, we shall study about quadratic equations and solving them by various methods. We shall also discuss some applications of quadratic equations in daily life situations.

1. Equation : An equation is an algebraic expression obtained by equating a polynomial to zero. It has two parts separated by an equal (=) sign. Left part is called LHS (Left Hand Side) and right part is called RHS (Right Hand Side).
For example:
p(x) = x + 5 [Linear Polynomial]
put p(x) = 0
x + 5 = 0 [Linear Equation]
p(y) = 2y² + 3y + 4 [Quadratic Polynomial]
put p(y) = 0
2y² + 3y + 4 = 0 [Quadratic Equation]
2. Roots of an equation : A real number a is said to be a root of an equation p(x) = 0, if p(a) = 0.
3. The zeroes of a polynomial p(x) and roots of the respective equation p(x) = 0 are the same.
4. Imaginary roots : If an equation does not have real roots then it is said to be having imaginary roots.
5. \(\text { Speed }=\frac{\text { Distance }}{\text { Time }}\)
6. Distance = Speed × Time
7. \(\text { Time }=\frac{\text { Distance }}{\text { Speed }}\)

Quadratic Equation
If p(x) is a quadratic polynomial, then p(x) = 0 is called a quadratic equation.
The general form of a quadratic equation is ax² + bx + c = 0, where a, b, c are real numbers and a ≠ 0. It is also known as the standard form of a quadratic equation.
For example: 2x² + 5x + 7 = 0. -7x² + 3x – 4 = 0, x² + 5x + 6 = 0 are quadratic equations in variable x.
But x² + \(\frac{3}{x}\) + 4 = 0, x² + \(2 \sqrt{x}\) – 3 = 0, x² + \(\frac{1}{x^2}\) + 1 = 0 are not quadratic equations.

Roots of a quadratic equation : Let p(x) = 0 be a quadratie equation, then the zeroes of the polynomial p(x) are called the roots of the equation p(x) = 0.
Thus, α is a root of quadratic equation p(x) = 0 if p(α) = 0, and x = α is the solution of the given equation.
In chapter 2, we studied that quadratic polynomial have at mont two zeroes. It follows from this that a quadratic equation has at most two real roots.
Let us consider some examples.

Solution of a Quadratic Equation by Factorisation Method
Let ax² + bx + c = 0, a ≠ 0 be a quadratic equation and let quadratic polynomial ax² + bx + c be expressible as a product of two linear factors, say (mx + n) and (qx + p), where m, n, q, p are real numbers such that m ≠ 0, q ≠ 0.
Then ax² + bx + c = 0
⇒ (mx + n)(qx + p) = 0
⇒ mx + n = 0 or qx + p = 0
⇒ x = \(-\frac{n}{m}\) or x = \(-\frac{p}{q}\)
Hence, x = \(-\frac{n}{m}\) and x = \(-\frac{p}{q}\) are the possible roots of the quadrntic equation ax² + bx + c = 0.

Solution of a Quadratic Equation by Completing the Square
It is possible to take a quadratic equation whose left hand side is not a perfect square and change it into one that is, then we solve the resulting equation by extracting root. The technique of solving quadratic equations in this manner is called completing the square. To solve the quadratic equation by the method of completing the square we may use the following steps:
Step I: Consider the quadratic, equation
ax² + bx + c = 0, a ≠ 0, a b, c ∈R
Step II: Make the coefficient of x unity. If it is not, i.e., we get
\(x^2+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}=0\)
Step III: Transposing the constant term \(\frac{c}{a}\) to R.H.S., we get
\(x^2+\frac{b}{a} x=-\frac{c}{a}\)
Step IV: Add(\(\frac{1}{2}\) × coefficient of x)² on both sides, we get
\(x^2+\frac{b}{a} x+\left(\frac{b}{2 a}\right)^2=\left(\frac{b}{2 a}\right)^2-\frac{c}{a}\)
Step V: Express L.H.S. as the perfect square of a suitable binomial expression and simplify R.H.S. we get
\(\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^2=\frac{b^2-4 a c}{4 a^2}\)
Step VI: Take square root of both sides, we get
\(x+\frac{b}{2 a}=\pm \sqrt{\frac{b^2-4 a c}{4 a^2}}\)
Step VII: Obtain the values of shifting the constant term \(\frac{b}{2 a}\) to R.H.S.

Solution of a Quadratic equation by Quadratic Formula
[Shreedhara Charya’s Rule]
Consider the quadratic equation ax² + bx + c = 0, a ≠ 0, a, b, c ∈R.
ax² + bx + c = 0


where D = b² – 4ac and D is called discriminant.
Thus, If D = b² – 4ac ≥ 0, then the quadratic equation ax² + bx + 0 = 0 has two real roots α and β given by :

Remarks: This is a formula for the roots of a quadratic equation expressed in terms of the coefficienta a, b, c. This is given by an ancient Indian Mathematician Shreedhara Charya around 1025 A.D. and is known as Shreedhara Charya’s formula for determining the roots of the quadratic equation ax² + bx + c = 0.

Nature of Roots
In previous section, you have seen that roots of the equation ax² + bx + c = 0, a ≠ 0 are given by :
x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}\)
There are three different cases:
Case I: If b² – 4ac > 0
In this case, the roots are real and distinct.
These roots are given by
\(x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}\)
and \(x=\frac{-b-\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}\)

Case II: If b² – 4ac = 0
In this case, the roots are real and equal
Then \(x=\frac{-b \pm \sqrt{0}}{2 a}\)
\(x=-\frac{b}{2 a}\) and x = \(-\frac{b}{2 a}\)

Case III: If b² – 4ac < 0
In this case there is no real number whose square is b² – 4ac. Therefore, there are no real roots for the given quadratic equation. Since, b² – 4ac determines whether the quadratic equation ax² + bx + c has real roots or not, b² – 4ac is called the discriminant of this quadratic equation. It is generally denoted by D.
So, a quadratic equation ax² + bx + c = 0 has:
(1) Two distinct real roots, if b² – 4ac > 0 i.e, D > 0.
(2) Two equal and real roots (ie., coincident roots) if b² – 4ac = 0 i.e., D = 0.
(3) No real roots, if b² – 4ac < 0 i.e, D < 0.

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Notes Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Notes.

Haryana Board 10th Class Maths Notes Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन

→ घनाभ का आयतन (ν) = लं० × चौ० × ॐ०

→ घनाभ का संपूर्ण पृष्ठ तल का क्षेत्रफल = 2 (लं० × चौ० + चौ० × ॐ० + ऊँ० × लं०)

→

→ धन क आयतन = (भुजा)³

→ धन का पृष्ठ तल क्षेत्रफल = 6 (भुजा)²

→ धन का विकर्ण = भुजा \(\sqrt{3}\)

→ r त्रिज्या तथा h ऊँचाई वाले बेलन का-
(i) वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
(ii) संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr(r + h)
(iii) आयतन = πr²h

→ त्रिज्या तथा h ऊँचाई वाले शंकु के लिए-
(i) तिर्यक ऊँचाई (l) = \(\sqrt{r^2+h^2}\)
(ii) वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
(iii) संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = πr (r + l)
(iv) आयतन = \(\frac{1}{3}\)πr²h

→ r त्रिज्या वाले गोले के लिए-
(i) पृष्टीय क्षेत्रफल = 4πr²
(ii) आयतन = \(\frac{4}{3}\)πr³

→ r त्रिज्या वाले अर्धगोले के लिए-
(i) वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr²
(ii) संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3πr²
(iii) आयतन = \(\frac{2}{3}\)πr³

→ (i) शंकु के छिन्नक का आयतन = \(\frac{1}{3}\)πh(r₁² + r₁r₂ + r₂²)
(ii) शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πl(r₁ + r₂)
जहाँ l = \(\sqrt{h^2+\left(r_1-r_2\right)^2}\)
(iii) शंकु के छिन्नक का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = πl(r₁ + r₂) + πr₁² + πr₂²

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Important Questions Chapter 1 संख्या पद्धति Important Questions and Answers.

Haryana Board 9th Class Maths Important Questions Chapter 1 संख्या पद्धति

अध्याय का तीव्र अध्ययन:

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है ?
(A) प्रत्येक पूर्ण संख्या एक प्राकृत संख्या होती है
(B) प्रत्येक पूर्णांक एक परिमेय संख्या होता है
(C) प्रत्येक परिमेय संख्या एक पूर्णांक होती है
(D) प्रत्येक पूर्णांक एक पूर्ण संख्या होता है
उत्तर-
(B) प्रत्येक पूर्णांक एक परिमेय संख्या होता है

प्रश्न 2.
1 और 2 के बीच कितनी परिमेय संख्याएँ होंगी ?
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) अपरिमित रूप से अनेक
उत्तर-
(D) अपरिमित रूप से अनेक

प्रश्न 3.
क्या शून्य एक परिमेय संख्या है ?
(A) हाँ, क्योंकि इसे \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिख सकते हैं, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0 है
(B) नहीं, क्योंकि इसे \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिख सकते हैं, जहाँ p और 4 पूर्णांक हैं और q ≠ 0 है
(C) हाँ, क्योंकि शून्य अपरिमेय नहीं है
(D) नहीं, क्योंकि शून्य अपरिमेय है
उत्तर-
(A) हाँ, क्योंकि इसे \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिख सकते हैं, जहाँ p और 4 पूर्णांक हैं और q ≠ 0 है

प्रश्न 4.
\(\frac{3}{5}\) के तुल्य परिमेय संख्या है-
(A) \(\frac{30}{50}\)
(B) \(\frac{9}{20}\)
(C) \(\frac{30}{55}\)
(D) \(\frac{33}{50}\)
उत्तर-
(A) \(\frac{30}{50}\)

प्रश्न 5.
\(\frac{1}{2}\) के तुल्य परिमेय संख्या है-
(A) \(\frac{2}{4}\)
(B) \(\frac{10}{20}\)
(C) \(\frac{25}{50}\)
(D) उपरोक्त सभी
उत्तर-
(D) उपरोक्त सभी

प्रश्न 6.
\(\frac{3}{7}\) के तुल्य परिमेय संख्या है-
(A) \(\frac{12}{28}\)
(B) \(\frac{12}{21}\)
(C) \(\frac{15}{28\)
(D) \(\frac{18}{35}\)
उत्तर-
(A) \(\frac{12}{28}\)

प्रश्न 7.
किन्हीं दो दी हुई परिमेय संख्याओं के बीच परिमेय संख्याएँ होती हैं-
(A) केवल 2
(B) केवल 4
(C) कोई नहीं
(D) अपरिमित रूप से अनेक
उत्तर-
(D) अपरिमित रूप से अनेक

प्रश्न 8.
सबसे छोटी प्राकृत संख्या है
(A) शून्य
(B) 1
(C) 2
(D) – 1
उत्तर-
(B) 1

प्रश्न 9.
सबसे छोटी पूर्ण संख्या है-
(A) शून्य
(B) 1
(C) 2
(D) – 1
उत्तर-
(A) शून्य

प्रश्न 10.
√2 एक-
(A) परिमेय संख्या है
(B) पूर्णां संख्या है
(C) पूर्णांक है
(D) अपरिमेय संख्या है
उत्तर-
(D) अपरिमेय संख्या है

प्रश्न 11.
√3,√5,√6,√7,√10,√11,√12 आदि हैं-
(A) परिमेय संख्याएँ
(B) पूर्णां संख्याएँ
(C) पूर्णांक
(D) अपरिमेय संख्याएँ
उत्तर-
(D) अपरिमेय संख्याएँ

प्रश्न 12.
वास्तविक संख्या रेखा पर √2 का स्थान निर्धारण करने के लिए प्रयोग किया जाता है
(A) \(\sqrt{(2)^2+(1)^2}\)
(B) \(\sqrt{(1)^2+(1)^2}\)
(C) \(\sqrt{(1)^2-(1)^2}\)
(D) \(\sqrt{(2)^2-(1)^2}\)
उत्तर-
(B) \(\sqrt{(1)^2+(1)^2}\)

प्रश्न 13.
वास्तविक संख्या रेखा पर √17 का स्थान निर्धारण करने के लिए प्रयोग किया जाता है
(A) \(\sqrt{(4)^2+(1)^2}\)
(B) \(\sqrt{(4)^2-(1)^2}\)
(C) \(\sqrt{(\sqrt{13})^2+(2)^2}\)
(D) \(\sqrt{(\sqrt{20})^2-(\sqrt{3})^2}\)
उत्तर-
(A) \(\sqrt{(4)^2+(1)^2}\)

प्रश्न 14.
वास्तविक संख्या रेखा पर √5 का स्थान निर्धारण करने के लिए प्रयोग किया जाता है
(A) \(\sqrt{(2)^2+(1)^2}\)
(B) \(\sqrt{(2)^2-(1)^2}\)
(C) \(\sqrt{(\sqrt{2})^2+(1)^2}\)
(D) \(\sqrt{(4)^2-(1)^2}\)
उत्तर-
(A) \(\sqrt{(2)^2+(1)^2}\)

प्रश्न 15.
निम्नलिखित में से अपरिमेय संख्या छाँटो-
(A) 0.1011
(B) 0.10110111
(C) 0.10110111001111
(D) 0.10110111011110……..
उत्तर-
(D) 0.10110111011110……..

प्रश्न 16.
निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या सात दशमलव है ?
(A) \(\frac{10}{3}\)
(B) \(\frac{7}{8}\)
(C) \(\frac{1}{7}\)
(D) \(\frac{1}{3}\)
उत्तर-
(B) \(\frac{7}{8}\)

प्रश्न 17.
0.3333… = \(0 . \overline{3}\) का \(\frac{p}{q}\) रूप होगा-
(A) \(\frac{10}{3}\)
(B) \(\frac{100}{3}\)
(C) \(\frac{1}{3}\)
(D) \(\frac{0.1}{3}\)
उत्तर-
(C) \(\frac{1}{3}\)

प्रश्न 18.
\(\frac{3}{8}\) का दशमलव प्रसार होगा-
(A) 0.375
(B) 0.3705
(C) 0.3755
(D) 0.0375
उत्तर-
(A) 0.375

प्रश्न 19.
\(\frac{3}{4}\) का दशमलव प्रसार होगा-
(A) 0.075
(B) 0.0075
(C) 0.75
(D) 0.057
उत्तर-
(C) 0.75

प्रश्न 20.
\(\frac{36}{100}\) का दशमलव प्रसार होगा-
(A) 0.36
(B) \(0 . \overline{36}\)
(C) 3.6
(D) 36.0
उत्तर-
(A) 0.36

प्रश्न 21.
\(\frac{2}{11}\) का दशमलव रूप होगा-
(A) असांत आवर्ती
(B) असांत अनावर्ती
(C) सांत
(D) उपरोक्त में से कोई नहीं का दशमलव प्रसार होगा
उत्तर-
(A) असांत आवर्ती

प्रश्न 22.
\(0 . \overline{001}\) का \(\frac{p}{q}\) रूप होगा-
(A) \(\frac{1}{9}\)
(B) \(\frac{1}{99}\)
(C) \(\frac{1}{999}\)
(D) \(\frac{1}{9999}\)
उत्तर-
(C) \(\frac{1}{999}\)

प्रश्न 23.
\(\frac{2}{11}\) का दशमलव रूप होगा-
(A) 0.18
(B) 0.018
(C) \(0 . \overline{18}\)
(D) \(0 . \overline{018}\)
उत्तर-
(C) \(0 . \overline{18}\)

प्रश्न 24.
\(\frac{28}{100}\) का दशमलव रूप होगा-
(A) 0.28
(B) 2.8
(C) 0.028
(D) 0.0028
उत्तर-
(A) 0.28

प्रश्न 25.
\(\frac{1}{17}\) के दशमलव प्रसार में अंकों के पुनरावृत्ति खंड में अंकों की अधिकतम संख्या होगी-
(A) 5
(B) 10
(C) 14
(D) 16
उत्तर-
(D) 16

प्रश्न 26.
निम्नलिखित संख्याओं में अपरिमेय संख्या कौन-सी है ?
(A) √16
(B) √36
(C) √48
(D) √64
उत्तर-
(C) √48

प्रश्न 27.
निम्नलिखित में अपरिमेय संख्या कौन-सी है?
(A) √225
(B) 0.2576
(C) 4.7878…………
(D) 2.303003000………..
उत्तर-
(D) 2.303003000………..

प्रश्न 28.
निम्नलिखित में से कौन-सी अपरिमेय संख्या है ?
(A) 7√5
(B) \(\frac{7}{\sqrt{5}}\)
(C) π – 2
(D) उपरोक्त सभी
उत्तर-
(D) उपरोक्त सभी

प्रश्न 29.
2√2 + 5√3 और 2 – 3√3 का योग करने पर प्राप्त संख्या होगी-
(A) 3√2 – 2√3
(B) 3√2 + 2√3
(C) – 3√2 + 2√3
(D) – 3√2 – 2√3
उत्तर-
(B) 3√2 + 2√3

प्रश्न 30.
निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या परिमेय है ?
(A) 2 – √5
(B) (3 + √23) – √23
(C) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(D) 2π
उत्तर-
(B) (3 + √23) – √23

प्रश्न 31.
(√11 – √7) (√11 + √17) का सरल रूप होगा
(A) 4
(B) – 4
(C) 18
(D) – 18
उत्तर-
(A) 4

प्रश्न 32.
(2 + √2) (2 – √2) का सरल रूप होगा-
(A) 2
(B) 4
(C) 6
(D) 8
उत्तर-
(A) 2

प्रश्न 33.
6√5 को 2√5 से गुणा करने पर प्राप्त संख्या होगी-
(A) 12√5
(B) 60
(C) 600
(D) 300
उत्तर-
(B) 60

प्रश्न 34.
6√5 को 2√5 से भाग करने पर प्राप्त संख्या होगी
(A) 3√5
(B) 3
(C) 12√5
(D) 60
उत्तर-
(B) 3

प्रश्न 35.
(√3 + √7)² का सरल रूप होगा-
(A) 3 + 2√21
(B) 7 + 2√21
(C) 10 + 2√21
(D) 4 + 2√21
उत्तर-
(C) 10 + 2√21

प्रश्न 36.
\(\frac{1}{\sqrt{2}}\) के हर का परिमेयकरण करने पर प्राप्त संख्या होगी-
(A) \(\frac{2}{\sqrt{2}}\)
(B) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
(C) \(\frac{-\sqrt{2}}{2}\)
(D) \(\frac{-2}{\sqrt{2}}\)
उत्तर-
(B) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

प्रश्न 37.
\(\frac{\sqrt{2}}{3 \sqrt{5}}\) का सरल रूप होगा-
(A) \(\frac{\sqrt{10}}{15}\)
(B) \(\frac{\sqrt{10}}{5}\)
(C) \(\frac{\sqrt{10}}{3}\)
(D) \(\frac{\sqrt{10}}{25}\)
उत्तर-
(A) \(\frac{\sqrt{10}}{15}\)

प्रश्न 38.
\(125^{\frac{1}{3}}\) का मान होगा-
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
उत्तर-
(C) 5

प्रश्न 39.
\((36)^{1 / 2}\) का मान होगा-
(A) 6
(B) 12
(C) 18
(D) 9
उत्तर-
(A) 6

प्रश्न 40.
\(125^{-\frac{1}{3}}\) का मान होगा-
(A) 5
(B) \(\frac{1}{5}\)
(C) 25
(D) 125
उत्तर-
(B) \(\frac{1}{5}\)

प्रश्न 41.
\(7^{\frac{1}{2}} \cdot 8^{\frac{1}{2}}\) का सरल रूप होगा-
(A) \(56^{\frac{1}{2}}\)
(B) \(56^{\frac{1}{4}}\)
(C) 56
(D) \(56^{\frac{3}{4}}\)
उत्तर-
(A) \(56^{\frac{1}{2}}\)

प्रश्न 42.
\(11^{\frac{1}{2}} \div 11^{\frac{1}{4}}\) का सरल रूप होगा-
(A) \(11^{\frac{1}{2}}\)
(B) \(11^{\frac{1}{4}}\)
(C) \(11^{\frac{1}{6}}\)
(D) \(11^{\frac{3}{4}}\)
उत्तर-
(B) \(11^{\frac{1}{4}}\)

प्रश्न 43.
यदि x = 3 – 2√2 हो तो \(\frac{1}{x}\) होगा-
(A) 3 – 2√2
(B) 3 + 2 √2
(C) – 3 + 2√2
(D) – 3 – 2√2
उत्तर-
(B) 3 + 2√2

प्रश्न 44.
23.23 का सरल रूप होगा
(A) 2
(B) 4
(C) 8
(D) 16
उत्तर-
(A) 2

प्रश्न 45.
\(\left(2^3\right)^0\) का सरल रूप होगा-
(A) 8
(B) 9
(C) 6
(D) 1
उत्तर-
(D) 1

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Notes Chapter 1 Real Numbers Notes.

Haryana Board 10th Class Maths Notes Chapter 1 Real Numbers

Introduction
We have studied about natural numbers, whole numbers, rational numbers, irrational numbers, and real numbers in earlier classes. We have also studied their properties and basic fundamental operations upon them. Recall that real number is the collection of rational and irrational numbers. It is denoted by R.

In this chapter, we shall learn about prove of irrationality of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\)……, decimal expansion of rational numbers as terminating or non-terminating repeating decimal expansions, Euclid’s division lemma and fundamental theorem of arithmetic Euclid was the first Greek mathematician who suggests, the divisibility of two positive integers. He says that any positive integer a can be divided by another positive integer bin such a way that it leaves a remainder r such that 0 ≤ r ≤ b, and we compute HCF of two positive integers by the technique of Euclid’s division algorithm.

Fundamental theorem of arithmetic tells us that every composite number can be expressed as a product of primes in a unique way. Both of these results have wide and significant applications in the field of mathematics However, we shall discuss their use only in a few areas.

1. Real numbers: A collection of all rational and irrational numbers is called real numbers.
Example:- 1, 0, 1\(\frac{1}{2}\), 2.25, 4.010010001, \(\sqrt{3}\), π ….., etc.

2. Rational numbers: The numbers which can be written in the form \(\frac{p}{q}\), where p and q are integers and q ≠ 0, are called rational numbers.
Example : –\(\frac{4}{5}\), \(\frac{3}{7}\), \(\frac{9}{11}\) etc.

3. Irrational numbers: The numbers which cannot be written in the form \(\frac{p}{q}\), where p and q are integers and q ≠ 0, are called irrational numbers.
Example: \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{19}\), 0.04004000400004…., etc.

4. Integers: The collection of whole numbers and their negatives is called integers.
Integers are of three type:
(a) Positive integers [1, 2, 3, …];
(b) Zero and
(c) Negative integers [- 1, -2, -3, …]

5. Positive integers/Natural numbers: The numbers which are used for counting objects are called positive integers or natural numbers.
Esrample: 1, 2, 3, 4, … etc.

6. Non-positive integers: Zero and the negative integers are collectively called non-positive integers.
Example : 0, -1, -2, -3, … etc.

7. Prime numbers: Numbers having exactly two factors (1 and the numbers itself) are called prime numbers.
Example : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ….etc.

8. Composite numbers: Numbers having more than two factors are called composite numbers. Composite numbers can be expressed as the product of primes.
Example : 4, 6, 12, 35, …. etc.

9. Co-primes: Two numbers are said to be coprimes, if they do not have a common factor other than 1. HCF of co-primes is 1.
Example : 2 and 3, 7 and 11.

10. Lemma : A lemma is a proven statement used for proving another statement.

11. Algorithm: An algorithm is a series of well defined steps which provides a procedure for solving a type of problem.

Euclid’s Division Lemma

Theorem 1.1.
For any two given positive integers a and b there exist unique whole numbers q and r such that
a = bq + r
where 0 ≤ r < b.
here a = dividend, b = divisor, q = quotient and r = remainder.
Dividend = divisor × quotient + remainder

Euclid’s Division Algorithm:
To find the HCF of two positive integers, say a and b, with a > b, the following steps:
Step I: Apply Euclid’s division lemma to a and b. So, we find whole numbers q and r, such that a = bq + r, where 0 ≤ r < b.
Step II: If r = 0, b is the HCF of a and b. If r ≠ 0, apply the division lemma to b and r.
Step III: Continue the process till the remainder is zero. The divisor at this stage will be the required HCF.

Fundamental Theorem of Arithmetic
Theorem 1.2
Every composite number can be expressed (factorized) as a product of primes, and this factorization is unique, apart from the order in which the prime factor recur. Let be a composite number. Then factorization of can be written as x = P₁ × P₂ × P₃ × …..P_x, where P₁, P₂, …. P_x are primes and written in ascending order.
For example:
25410 = 2 × 3 × 6 × 7 × 11 × 11
= 2 × 3 × 6 × 7 × 112
Note: This method is also called the prime factorination method.
1. For any two positive integers a and b.
HCP (a, b) × LCM (a, b) = a × b
We can find other relations with the help of this formula.
(I) HCF (a, b) = \(\frac{a \times b}{\mathrm{LCM}(a, b)}\)
(II) LCM (a, b) = \(\frac{a \times b}{\mathrm{HCF}(a, b)}\)
(III) a = \(\frac{\mathrm{HCF}(a, b) \times \mathrm{LCM}(a, b)}{b}\)
(IV) \(b=\frac{\mathrm{HCF}(a, b) \times \mathrm{LCM}(a, b)}{a}\)

2. For any three positive integens x, y and z.
(a) HCF (x, y, z) × LCM (x, y, z) ≠ x × y × z
(b) LCM (x, y, z)
= \(\frac{x \times y \times z \times \mathrm{HCF}(x, y, z)}{\mathrm{HCF}(x, y) \times \mathrm{HCF}(y, z) \times \mathrm{HCF}(z, x)}\)
(c) HCF (x, y, z)
= \(\frac{x \times y \times z \times \mathrm{LCM}(x, y, z)}{\mathrm{LCM}(x, y) \times \mathrm{LCM}(y, z) \times \mathrm{LCM}(z, x)}\)

Revisiting Irrational Numbers
Irrational Numbers : An irrational number is a non-terminating and non-recurring decimal, that is, it cannot be in the form \(\frac{a}{b}\), where p and q are both integers and q ≠ 0.
Example: (i) 0.12119111211112….
(ii) \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\)……….. 3\(\sqrt{2}\), 5\(\sqrt{7}\), ……
(iii) 3\(\sqrt{2}\), 3\(\sqrt{5}\)…. and π.

Theorem 1.3
Let p be a prime number. If p divides a², then p divides a, where a is a positive integer.

Theorem 1.4
Prove that \(\sqrt{2}\) is an irrational number.
Solution:
Let us assume that \(\sqrt{2}\) is a rational number. It can be expressed in the form of \(\frac{a}{b}\), where a, b are coprime positive integers and b ≠ 0.
∴ \(\sqrt{2}\) = \(\frac{a}{b}\) [HCF of a and b is 1]
[because a and b are coprime.]
⇒ 2 = \(\frac{a^2}{b^2}\) (Squaring both sides)
⇒ 2b² = a² ……(i)
Therefore, 2 divides a², it follows that 2 divides a [By Theorem 1.3]
Let a = 2c [Where c is any integer]
Put a = 2c in equation (i), we get
⇒ \(b^2=\frac{4 c^2}{2}=2 c^2\) ……(ii)
It means bis divided by 2 and so b is divided by 2 [By Theorem 1.3]
From (i) and (ii) we say that 2 is a common factor of both a and b. But this contradict the fact that a and b are coprime, so they have no common factor. So our assumption that \(\sqrt{2}\) is a rational number is wrong.
Therefore, \(\sqrt{2}\) is an irrational number. Proved

Revisiting Rational Numbers And Their Decimal Expansions
1. Rational Numbers: Rational numbers are of the form of \(\frac{p}{q}\), where p and q are integers
and q ≠ 0.

2. Rational numbers in decimal form: A rational number has either a terminating or nonterminating but recurring decimal.
For example: (i) \(\frac{2}{5}\) = 0.4 [Terminating decimal expansion].
(ii) \(\frac{1}{3}\) = 0.333 …… [Non-terminating but recurring decimal expansion]

3. Theorem 1.5 : Let x be a rational number whose decimal expension terminates. Then x can be expressed in the form \(\frac{p}{q}\), where p and q are coprime, and the prime factorisation of q in of the form 2ⁿ5^m, where n, m are non negative integers.
For example:
(i) 1.04 = \(\frac{104}{100}=\frac{104}{10^2}=\frac{104}{2^2 \times 5^2}\)
(ii) 0.125 = \(\frac{125}{1000}=\frac{125}{10^3}=\frac{125}{2^3 \times 5^3}\)

4. Theorem 1.6 : Let x = \(\frac{p}{q}\) be a rational number, such that p and q are co-prime and the prime factorisation of q is of the form 2^m5ⁿ or 2ⁿ5^m, where m, n, are non-negative integers. Then has terminating decimal expansion.
For Example : \(\frac{23}{40}=\frac{23}{2^3 \times 5^1}\)
Hence \(\frac{23}{40}\) has a terminating decimal.

5. Theorem 1.7: Let x = \(\frac{p}{q}\) be a rational number, such that p and q are coprime and the prime factorisation of q is not of the form 2^m5ⁿ where m, n are non-negative integers. Then x has a non terminating repeating (recurring) decimal expansion.
For example : \(\frac{53}{343}\)
∵ 343 = 73 [Not of the form 2^m5ⁿ, where m and n are non-negative integers]
∴ \(\frac{53}{343}\) has non terminating repeating decimal.

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Notes Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables Notes.

Haryana Board 10th Class Maths Notes Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables

Introduction
We have studied in previous classes about linear equations in one variable. Its general form is ax + b = 0; where a and b are real numbers, a ≠ 0 and x is a variable. If ax + b = 0 ⇒ x = \(-\frac{b}{a}\) is the solution of the equation.

In class IX, we have studied about a linear equation in two variables and its graphical representation The general form of linear equation in two variables is ax + by + c = 0; where a, b, c are real numbers, a ≠ 0, b ≠ 0 and x, y both are variables. Any pair of values of andy which satisfies the equation or ax + by + c = 0, is called its solution. Recall that, the graph of a linear equation in two variables is a straight line. The coordinates of every point on a graph satisfies the given equation and coordinates of every point of a graph is the solution of the equation. In this chapter we shall study about a pair of linear equations in two variables and various methods of solving them as algebraic and graphical. We shall also study about some applications of linear equations in two variables in solving simple problems from different areas.

Pair of linear equations in two variables and their graphical representation
A pair of linear equations in two variables is said to form a system of simultaneous linear equations in two variables.
The general form of a pair of linear equations in two variables x and y is :
a₁x + b₁y + c₁ = 0
and a₂x + b₂y + c₂ = 0.
Where a₁, a₂, b₁, b₂, c₁, c₂ are all real numbers and a₁ ≠ 0, b₁ ≠ 0, a₂ ≠ 0, b₂ ≠ 0, aa₁² + b₁² ≠ 0, and a₂² + b₂² ≠ 0. A pair of values of x and y satisfying each one of the given equations is called a solution of the system.
For example: x = 2, y = -2 is the solution of the simultaneous equations in two variables 2x + y = 2 and x – y = 4.

2. The system of simultaneous linear equations in two variables have either a unique solution, or infinitely many solutions or no solution. A system of simultaneous linear equation in two variables could be either consistent or inconsistent.
Consistent System : A system of simultaneous linear equations is said to be consistent, if it has at least one solution.
For example : x = 2, y = 1 is the solution of linear equations 2x + 3y = 7 and 2x – y = 3. So, these linear equations are consistent
Inconsistent System : A system of simultaneous linear equations is said to be inconsistent if it has no solution.
For example. The system of linear equations x + 3y = 4 and 3x + 9y = 10 has no solution. So, these linear equations are inconsistent.

Graphical Representation of Linear Equations in two Variables
We know that the graph of a linear equations in two variables is a straight line. We have studied in class IX that for the given two lines in a plane, only one of the following three possibilities are there :

1. The two lines will intersect at one point.
2. The two lines will not intersect, i.e., they are parallel.
3. The two lines will be coincident, i.e., one line overlaps the other line.

Thus, the graphical representation of a pair of simultaneous linear equations in two variables will be in one of the ahead forms:


Fig. Parallel Lines Coincident Lines i.e. one line overlap other line

Graphical Method of Solution of a pair of Linear Equations
Let a₁x + b₁y + c₁ = 0 and a₂x + b₂y + c₂ = 0 are two linear equations and on comparing the efficients of x, y and c₁, c₂, there are three possible cases :
Case I : If \(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\), then graphs of the equations a₁x + b₁y + c₁ = 0 and a₂x + b₂y + c₂ = 0 intersect each other at a point P(α, β) as shown in the figure. Then a = α, y = β is the unique solution of the given linear equations. If \(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\), then the pair of linear equation is consistent.

Case II: If \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\), then graphs of equations, a₁x + b₁y + c₁ = 0 and a₂x + b₂y + c₂ = 0 are parallel lines. Therefore, there is no solutions of given equations and the pair of linear equations is inconsistent.

Case III : If \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\), then the graphs of equations a₁x + b₁y + c₁ = 0 and a₂x + b₂y + c₂ = 0, are coincident lines. Hence, the linear equations have infinitely many solutions. In this case the pair of linear equations is consistent.

We show these cases by the ahead table :

Algebraic Methods for Solving a Pair of Linear Equations
In the previous section we discussed to solve a pair of linear equations in two variables by graphical method. This method is not convenient in such cases when the point representing the solution of the linear equations has non-integral values like (-2.37, 4.19), (\(\frac{1}{9}, \frac{1}{17}\)), etc. It gives us approximate values of x and y. Algebraic methods provide us exact and correct solution of every pair of linear equations.

The most commonly used algebraic methods of solving a pair of linear equations in two variables are as follows:
(a) Substitution Method
(b) Elimination Method
(c) Cres Multiplication Method.

(a) Substitution Method
Working Rule :
Step-1: Find out the value of any one of the two variable in terms of the other from any one of the two given equations.
Step-2: Sabattute this value in other equation This gives us a linear equation in one variable.
Step-3: Solve the linear equation and get the value of variable, which obtained in Step 2.
Step-4: Put this value in any one of the given equations and get the value of other variable.
Step-5: The values of and y obtained from Step-3 and 4 respectively, in the solution of the given two linear equations

(b) Elimination Method by Equating Coefficients:
Working rule :
Step-1: Multiply the given equations by suitable non zero real numbers so as to make the coeficients of any of the one variable numerically equal in both equations.
Step-2: Add or wubtract new equations so obtained to eliminate the one variable of both equntions whose coefficients are numerically equal.
Step-3: Solve the simple equation in one variable thus obtained.
Step-4: Substitute the value found in step 8 in any one of the given equations and find the value of other variable.

(c) Cross Multiplication Method
Working Rule:
Consider a system of linear equations in two variables x and y.
a₁x + b₁y + c₁ = 0; a₁ ≠ 0, b₁ ≠ 0 ……(1)
a₂x + b₂y + c₂ = 0; a₂ ≠ 0, b₂ ≠ 0 ……(2)
Let us solve the system of equations by elimination method as follows:
Step 1 : Multiplying equation (1) by b₂, and equation (2) by b₁, we get
b₂a₁x + b₂b₁y + b₂c₁ = 0 ……(3)
b₁a₂x + b₁b₂y + b₁c₂ = 0 ……(4)
Step 2: Subtracting equation (4) from equation (3), we get

Step 3: Substituting the value of in equation (1), we get


Thus, x and y can be obtained from equations (5), (6) as formula.
The following diagram helps in writing the above solution :

The downward arrows indicate the first product while the upward arrow indicate the second product. The second product is to be subtracted from the first product. Since the denominators have been obtained by cross multiplying the coefficients, this method is known as the method of cross multiplication for solving a system of linear equation.
Remarks: If we write the system of linear equations as :
a₁x + b₁y = c₁
and a₂x + b₂y = c₂
Then the following diagram helps in writing the solution:

Conditions for solvability of linear equations : Consider the system of a pair of linear equations :
a₁x + b₁y + c₁ = 0
and a₂x + b₂y + c₂ = 0
(1) If \(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\)
Then equations has unique solution i.e, system is consistent.
(2) If \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)
Then equations has infinitely many solutions Le system is consistent.
(3) If \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\)
Then equations has no solution i.e. system is inconsistent.

Equations Reducible to a pair of Linear Equations in Two Variables
In this process, we shall discuss the solution of such pairs of equations which are not linear but can be reduced to linear form by making some suitable substitutions. The process of solving the system of equations involving such cases has been explained through some examples. We solve obtained linear equations by any algebraic method.

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Notes Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Notes.

Haryana Board 10th Class Maths Notes Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल

→ वृत्त की परिधि-वृत्त के अनुदिश एक बार चलने में तय की गई दूरी उसका परिमाप होता है, जिसे प्रायः परिधि (circumference) कहा जाता है। त्रिज्या r वाले वृत्त की परिधि 2πr होती है।

→ पाई (π)-वृत्त की परिधि और उसके व्यास के अचर अनुपात को ‘यूनानी’ अक्षर π (पाई) से व्यक्त किया जाता है।

→ π एक अपरिमेय संख्या है और इसका दशमलव प्रसार अनवसानी और अनावर्ती होता है। व्यावहारिक कार्यों के लिए इसका मान लगभग \(\frac{22}{7}\) या 3.14 लिया जाता है।

→ r त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल = πr²

→ r त्रिज्या वाले अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi r^2}{2}\)

→ r त्रिज्या वाले चतुर्थांश का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi r^2}{4}\)

→ त्रिज्या : वाले वृत्त के एक त्रिज्यखंड, जिसका कोण अंशों में θ है, के संगत चाप की लंबाई \(\frac{\theta}{360}\) × 2πr होती है।

→ त्रिज्या : वाले वृत्त के एक त्रिज्यखंड, जिसका कोण अंशों में θ है, का क्षेत्रफल \(\frac{\theta}{360}\) × πr² होता है।

→ एक वृत्तखंड का क्षेत्रफल = संगत त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल – संगत त्रिभुज का क्षेत्रफल

→ समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) (भुजा)²

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Notes Chapter 10 वृत्त Notes.

Haryana Board 10th Class Maths Notes Chapter 10 वृत्त

→ वृत्त-वृत्त एक समतल में स्थित उन सभी बिंदुओं का समुच्चय होता है जो दिए गए एक स्थिर बिंदु से दी गई नियत दूरी पर होते हैं। इस स्थिर बिंदु को वृत्त का केंद्र और इस केंद्र से प्रत्येक बिंदु की निश्चित दूरी को वृत्त की त्रिज्या कहा जाता है।

→ संकेंद्रीय वृत्त-एक ही केंद्र वाले वृत्तों को एक केंद्रीय वृत्त अथवा संकेंद्रीय वृत्त कहा जाता है।

→ वृत्त की चाप-वृत्त के सतत् भाग को चाप कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, वृत्त की परिधि पर स्थित दो बिंदुओं के बीच के भाग को चाप कहते हैं।

→ वृत्त की जीवा-एक वृत्त पर स्थित दो बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड को वृत्त की जीवा कहते हैं।

→ व्यास-वृत्त के केंद्र से होकर जाने वाली जीवा वृत्त का व्यास कहलाती है।

→ वृत्तखंड-चाप और जीवा द्वारा घिरे हुए वृत्त के क्षेत्र को वृत्तखंड कहते हैं। एक जीवा वृत्त को दो असमान भागों में बाँटती है-लघु वृत्तखंड और दीर्घ वृत्तखंड। इन दोनों वृत्तखंडों को एक-दूसरे का एकांतर वृत्तखंड कहा जाता है।

→ वृत्तों की सर्वांगसमता-दो वृत्त सर्वांगसम होते हैं यदि इनमें से एक को दूसरे पर अध्यारोपित किया जाए तो वह उसे पूरा-पूरा ढक ले। दो सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएँ समान होती हैं।

→ वृत्त की स्पर्श रेखा-वह रेखा जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है। वृत्त की स्पर्श रेखा कहलाती है।

→ स्पर्श बिंदु-वह बिंदु जिस पर वृत्त की स्पर्श रेखा वृत्त को स्पर्श करती है, स्पर्श बिंदु कहलाता है।

→ छेदक रेखा-वह रेखा जो वृत्त को दो भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेदित करती है, छेदक रेखा कहलाती है।

→ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा-यदि एक रेखा दो वृत्तों को स्पर्श करती है तो वह रेखा उन वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा कहलाती है। यह रेखा दो प्रकार की होती है-
(i) उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखा, (ii) उभयनिष्ठ अनुप्रस्थ स्पर्श रेखा।.
(i) उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखा-यदि एक रेखा दो वृत्तों को इस प्रकार स्पर्श करती है कि दोनों वृत्त रेखा के एक ही ओर स्थित हों तो वह रेखा वृत्तों की उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखा कहलाती है।
(ii) उभयनिष्ठ अनुप्रस्थ स्पर्श रेखा-यदि एक रेखा दो वृत्तों को इस प्रकार स्पर्श करती है कि दोनों वृत्त उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा के दोनों ओर स्थित हों तो वह रेखा वृत्तों की उभयनिष्ठ अनुप्रस्थ स्पर्श रेखा कहलाती है।

→ स्पर्श रेखा के प्रमुख गुणधर्म-स्पर्श रेखा के प्रमुख गुणधर्म इस प्रकार हैं-

• वृत्त की स्पर्श रेखा वृत्त को केवल एक ही बिंदु पर स्पर्श करती है।
• वृत्त की स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।
• वृत्त के बाहर स्थिर बिंदु से वृत्त पर केवल दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं तथा ये दोनों स्पर्श रेखाएँ लंबाई में समान होती हैं।
• वृत्त की स्पर्श रेखा के स्पर्श बिंदु से खींची गई जीवा स्पर्श रेखा के साथ जो कोण बनाती है, वे संगत एकांतर वृत्तखंडों में बनाए गए कोण के क्रमशः समान होते हैं।
• वृत्त के व्यास के छोर पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं।

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Notes Chapter 2 Polynomials Notes.

Haryana Board 10th Class Maths Notes Chapter 2 Polynomials

Introduction
We have studied about polynomials in one variable and their degrees, factors, multiples etc., in previous classes. Recall that p(x) is a polynomial in x, the highest power of x in p(x) is called the degree of the polynomial. For example, 4y² – 3y + 8 is a polynomial in y of degree 2: In this chapter we shall extend our knowledge about zeroes of a polynomial, relationship between zeroes and coefficients of a polynomial, division algorithm for polynomials and quadratic polynomials.

Polynomial
1. Polynomial: An algebraic expression of the form a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + ……. + a₁x + a₀ is called a polynomial in x of degree x. Where a₀, a₁……, a_n are real numbers and coefficients of each term of polynomial, n is a non-negative integer and a_n ≠ 0.
For example :
(i) 4x + 9 is a polynomial in x of degree 1.
(ii) 7y² + 5y + 9 is polynomial in y of degree 2.
(iii) 2p³ + 1/2P² + 3P + 8 is a polynomial in P of degree 3.
The expressions like \(\frac{1}{x+2}\), \(\sqrt{x}\) + 1, \(\frac{1}{x^2+2 x+1}\) etc. are not polynomials.
2. Degree of a polynomial: The highest power of the variable in a polynomial is called the degree of the polynomial.
3. Monomials, binomials, trinomials etc. are the classifications of polynomials on the bases of number of terms.
4. Monomials, binomials and trinomials have 1, 2 and 3 terms respectively.
Degrees of linear, quadratic, cubic, biquadratic and constant polynomials are 1, 2, 3, 4 and 0 respectively.
5. Zero of a polynomial: A real number is said to be a zero of the polynomial p(x) if p(k) = 0.
6. The zeroes of polynomial p(x) are the x-coordinates of the points, where the graph of y = p(x) intersects the x-axis.
7. A linear polynomial has one and only one zero, a quadratac polynomial can have at most 2 zeroes, a cubic polynomial can have at most 3 zerors and a biquadratic polynomial can have at most 4 zeroes.
8. 0 (zero) is a constant polynomial and is also called zero polynomial. The degree of the zero polynomial is not defined.
9. A non-zero constant polynomial has no zero and every real number is a zero of the zero polynomial.
10. Division algorithm for polynomials: If p(x) and g(x) are any two polynomials with g(x) ≠ 0, then p(x) = g(x) × q(x) + r(x)
where r(x) = 0 or degree of r(x) < degree of g(x).

Types of Polynomial
(a) Constant polynomial: A polynomial of degree zero is called a constant polynomial and it is of the form p(x) = k.
For example:
f(x) = 7, g(x) = 13, p(x) = –\(\frac{7}{3}\)
(b) Linear Polynomial: A polynomial of degree 1, is called linear polynomial.
It is of the form p(x) = ax + b, where a ≠ 0 and a and b are real numbers.
For example:
(i) p(x) = 3x + 9
(ii) f(x) = \(\frac{4}{5}\)x – 5
(c) Quadratic Polynomial: A polynomial of degree 2 is called quadratic polynomial. It is of the form p(x) = ax² + bx + c, where a and a,b,c are real numbers.
For example:
(i) p(x) = 2x² + 4x – 7
(ii) f(x) = x² – 3x + \(\sqrt{5}\)
(iii) g(y) = \(\frac{y}{3}\) – 4y² + 5
(d) Cubic Polynomial: A polynomial of degree 3 is called a cubic polynomial.
It is of the form p(x) = ax³ + bx² + cx + d.
where a ≠ 0. and a, b, c, d are real numbers.
For example:
(i) p(z) = 2z³ + z² – 4 + 9
(ii) f(x) = 4x³ + \(\sqrt{3}\)x² – 8x + 4

(e) Biquadratic polynomial: A polynomial of degree 4 is called a biquadratic polynomial. It is of the form p(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e, where a ≠ 0 and a, b, c, d, e are real number.
For example:
(i) p(y)= y⁴ – 5y³ + 2y² + 9y + 5
(ii) f(x) = 3r⁴ – 5x² + 2.

Value of a Polynomial
In a polynomial p(x), the real number obtained by replacing x by a in p(x), is called the value of p(x) at x = a and it is denoted by p(a).
For example: Find the value of polynomial
p(x) = 4x² – 5x + 6 at
x = -1
Solution:
p(x) = 4x² – 5x + 6
putting x = -1
p(-1) = 4 (-1)² – 5 × (-1) + 6
4 + 5 + 6 = 15.

Graph of the Polynomial
(a) Graph of a linear polynomial is a straight line.
(b) For a quadratic polynomial ax² + bx + c, where a ≠ 0, the graph of the corresponding equation y = zx² + bx + c is a parabola. It has one of the two shapes either opens upward like ∪ (where a > 0) or opens downward linen ∩ (where a < 0).

Number of zeroes of a polynomial in a graph
In a polynomial p(x) of degree, the graph of y = p(x) intersects the x-axis at most points. Therefore, a polynomial p(x) of degree n has at most zeroes.

Relationship between zeroes and coefficients of a polynomial
(A) Relationship between reroes and coefficients of a quadratic polynomial:
Let α and β are zeroes of quadratic polynominl P(x) = ax² + bx + c, where a ≠ 0, then (x – α) and (x – β) are factors of P(x).
Therefore, ax² + bx + c = k(x – α)(x – β), where k is constant
= k[x² – (α + β)x + α × β]
= kx² – k(α + β)x + kαβ
On comparing the coefficients of x², x and constant terms on both sides, we get,
a = k, b = -k(α + β) and c = kαβ.
b = -k(α + β)
b = -a(α + β) [Put k = a]
(α + β) = \(-\frac{b}{a}\)
and c = kαβ
c = aαβ
αβ = \(\frac{c}{a}\)
∴ Sum of zeroes = \(-\frac{b}{a}=-\frac{\text { Coefficient of } x}{\text { Coefficient of } x^2}\)
Product of zeroes = \(\frac{c}{a}=\frac{\text { Constant term }}{\text { Coefficient of } x^2}\)

(B) Relationship between zeroes and coefficients of cubic polynomial:
If, α, β and γ are zeroes of the cubic polynomial p(x) = ax³ + bx² + cx + d, where a ≠ 0.
Then by factor theorem, x – α, x – β and x – γ are the factors of p(x).
p(x) = k(x – α) (x – β) (x – γ)
ax³ + bx² + cx + d = k(x – α) (x – β) (x – γ)
= k[(x² – xβ – xα + xβ) (x – γ)]
= k[x³ – x²γ – x²β + xβγ – x²α + xαγ + xαβ – αβγ]
= k[x³ – (α + β + γ)x² + (αβ + βγ + αγ)x – αβγ]
= kx³ – k(α + β + γ)x² + k(αβ + βγ + αγ)x – kαβγ
Equating the coefficient of x³, x², x and the constant terms on the both sides, we get
a = k, …..(i)
b = -k(α + β + γ) …….(ii)
c = k(αβ + βγ + αγ) …….(iii)
d = -kαβγ ……..(iv)
From (ii),
– k(α + β + γ) = b
α + β + γ = \(-\frac{b}{k}\)
α + β + γ = \(-\frac{b}{a}\) [a = k from (i)]
from (iii)
k(αβ + βγ + αγ) = c
αβ + βγ + αγ = \(\frac{c}{k}=\frac{c}{a}\) [k = a from (i)]
From (iv),
-kαβγ = d
αβγ = \(\frac{d}{-k}=-\frac{d}{a}\) [k = a from (i)]
Hence,
(1) Sum of zeroes = \(-\frac{b}{a}=-\frac{\text { Coefficient of } x^2}{\text { Coefficient of } x^3}\)
(2) Sum of the products of the zeroes taken two at a time = \(\frac{c}{a}=\frac{\text { Coefficient of } x}{\text { Coefficient of } x^3}\)
(3) Product of zeroes = \(-\frac{d}{a}\)
= \(-\frac{\text { Constant term }}{\text { Coefficient of } x^3}\)

(C) Relationship between Zeroes and Coefficients of Biquadratic Polynomial :
If α, β, γ and δ are zeroes of Biquadratic polynomial p(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e, where a ≠ 0.
(1) α + β + γ + δ = \(-\frac{b}{a}=-\frac{\text { Coefficient of } x^3}{\text { Coefficient of } x^4}\)
(2) αβ + βγ + γδ + δα + δβ + αγ = \(\frac{c}{a}\)
\(=\frac{\text { Coefficient of } x^2}{\text { Coefficient of } x^4}\)
(3) αγδ + αβδ + αβγ + βγδ = \(-\frac{d}{a}\) = \(-\frac{\text { Coefficient of } x}{\text { Coefficient of } x^4}\)
(4) αβγδ = \(\frac{e}{a}=\frac{\text { Constant term }}{\text { Coefficient of } x^4}\)

(D) Find a quadratic polynomial when its zeroes a and are given:
p(x) = [x² – (α + β)x + α × β]
or p(x) = [x² – (sum of zeroes)x + product of zeroes]

(E) Find a cubic polynomial when its zeroes, α, β and γ are given:
p(x) = [x³ (α + β + γ)x² + (αβ + βγ + γα)x – αβγ]
or p(x) = [x³ – (sum of zeroes)x² + (sum of products of zeroes taken two at a time) x – product of zeroes]

Division Algorithm for Polynomials
In chapter 1, we have studied Euclid’s division algorithm. Recall when a positive integer is divided by another positive integer we obtain quotient and remainder. It can be expressed in the form
a = bq + r Where 0 ≤ r < b.
Where, a is dividend, is quotient, b is divisor and r is remainder.

Here, we study the division of polynomials where a polynomial f(x) is divided by an another polynomial g(x), we get quotient q(x) and remainder r(x). We can express it in the form of long division as

By Euclid division algorithm it follows that f(x) = g(x) × q(x) + r(x)
Where r(x) = 0 or degree of r(x) < degree of g(x).
This rule is known as the division algorithm for polynomials.
Remarks: (i) If r(x) = 0, then polynomial g(x) is a factor of f(x).
(ii) If α is a zero of the polynomial f(x), then (x – α) is a factor of f(x).

For example : Divide polynomial f(x) = 4x³ – 3x² + 2x – 4 by other polynomial g(x) = -1. Find the quotient and remainder.

Here, quotient q(x) = 4x² + x + 3
and remainder r(x) = -1
∵ f(x) = g(x) × q(x) + r(x)
∴ 4x³ – 3x² + 2x – 4 = (x – 1)(4x² + x + 3) + (-1)