Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.3 Textbook Exercise Questions and Answers.
Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Exercise 10.3
प्रश्न 1.
वृत्तों के कई जोड़े (युग्म) खींचिए। प्रत्येक जोड़े में कितने बिंदु उभयनिष्ठ हैं ? उभयनिष्ठ बिंदुओं की अधिकतम संख्या क्या है ?
हल :
(1) स्थिति (i) में वृत्तों का कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है। इसलिए इस अवस्था में इनके उभयनिष्ठ बिंदु 0 हैं।
(2) स्थिति (ii) में वृत्तों का उभयनिष्ठ बिंदु A है। इसलिए इस अवस्था में इनके उभयनिष्ठ बिंदु 1 हैं।
(3) स्थिति (iii) में वृत्तों के उभयनिष्ठ बिंदु B और C हैं। इसलिए इस अवस्था में इनके उभयनिष्ठ बिंदु 2 हैं।
इसलिए वृत्तों के युग्म खींचने पर इनके अधिक से अधिक 2 उभयनिष्ठ बिंदु हो सकते हैं।
प्रश्न 2.
मान लीजिए आपको एक वृत्त दिया है। एक रचना इसके केंद्र को ज्ञात करने के लिए दीजिए।
हल :
रचना के चरण :
- तीन बिंदु A, B तथा C वृत्त की परिधि पर लीजिए।
- AB तथा BC को मिलाइए।
- AB तथा BC के लंब समद्विभाजक PQ तथा RS खींचे, जो एक-दूसरे को O पर प्रतिच्छेद करते हैं। तब, O वृत्त का केंद्र है।
प्रश्न 3.
यदि दो वृत्त परस्पर दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि उनके केंद्र उभयनिष्ठ जीवा के लंब समद्विभाजक पर स्थित हैं।
हल :
दिया है :
दो वृत्त जिनके केंद्र O तथा P हैं। एक-दूसरे को A व B बिंदुओं पर प्रतिच्छेदित करते हैं।
सिद्ध करना है : OP, AB का लंब समद्विभाजक है।
रचना : OA, OB, PA व PB को मिलाओ। माना OP, AB को M पर प्रतिच्छेदित करती है।
प्रमाण : ΔOAP और ΔOBP में,
OA = OB [एक ही वृत्त की त्रिज्याएं]
PA = PB [एक ही वृत्त की त्रिज्याएं]
OP = OP [उभयनिष्ठ]
∴ ΔOAP ≅ ΔOBP [भुजा-भुजा-भुजा सर्वांगसमता]
या ∠AOP = ∠BOP [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]
अर्थात ∠AOM = ∠BOM ………(i)
अब ΔAOM और ΔBOM में,
OA = OB [एक ही वृत्त की त्रिज्याएं]
∠AOM = ∠BOM [समीकरण (i) से]
और OM = OM [उभयनिष्ठ]
∴ ΔΑΟΜ ≅ ΔBOM [भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता]
या AM = BM [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग] …(ii)
तथा ∠AMO = ∠BMO [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग] …(iii)
परंतु ∠AMO + ∠BMO = 180° [रैखिक युग्म]
∴ ∠AMO = ∠BMO = 90° ….(iv)
∴ OM अर्थात OP, AB का लंब समद्विभाजक है। [समीकरण (ii) और (iv) से]
[इति सिद्धम]