HBSE 9th Class Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.7

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.7 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Exercise 13.7

[नोट-जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए।]

प्रश्न 1.
उस लंब वृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसकी
(i) त्रिज्या 6 सें०मी० और ऊंचाई 7 सें०मी० है।
(ii) त्रिज्या 3.5 सें०मी० और ऊंचाई 12 सें०मी० है।
हल :
(i) यहां पर,
शंकु की त्रिज्या (r) = 6 सें०मी०
शंकु की ऊंचाई (h) = 7 सें०मी०
∴ शंकु का आयतन (V) = \(\frac{1}{3}\)πr²h
= \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 6 × 6 × 7 = 264 सें०मी०³ उत्तर

(ii) यहां पर,
शंकु की त्रिज्या (r) = 3.5 सें०मी० = \(\frac{35}{10}=\frac{7}{2}\) सें०मी०
शंकु की ऊंचाई (h) = 12 सें०मी०
∴ शंकु का आयतन (V) = \(\frac{1}{3}\)πr²h
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}\) × 12 = 154 सें०मी०³ उत्तर

प्रश्न 2.
शंकु के आकार के उस बर्तन की लीटरों में धारिता ज्ञात कीजिए जिसकी
(i) त्रिज्या 7 सें०मी० और तिर्यक ऊंचाई 25 सें०मी० है।
(ii) ऊंचाई 12 सें०मी० और तिर्यक ऊंचाई 13 सें०मी० है।
हल :
(i) यहां पर,
शंकु के आकार के बर्तन की त्रिज्या (r) = 7 सें०मी०
शंकु के आकार के बर्तन की तिर्यक ऊंचाई (l) = 25 सें०मी०
शंकु के आकार के बर्तन की ऊंचाई (h) = \(\sqrt{\ell^2-r^2}\)
= \(\sqrt{(25)^2-(7)^2}\) सें०मी०
= \(\sqrt{625-49}\) सें०मी०
= \(\sqrt{576}\) सें०मी०
= 24 सें०मी०
अतः शंकु के आकार के बर्तन का आयतन (V) = \(\frac{1}{3}\)πr²h
= \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{1}{3}\) × 7 × 7 × 24 सें०मी०³
= 1232 सें०मी०³
इस प्रकार शंकु के आकार के बर्तन की धारिता = \(\frac{1232}{1000}\) = 1.232 लीटर उत्तर (∵ 1 लीटर = 1000 सें०मी०³)

(ii) यहां पर,
शंकु के आकार के बर्तन की ऊंचाई (h) = 12 सें०मी०
शंकु के आकार के बर्तन की तिर्यक ऊंचाई (l) = 13 सें०मी०
शंकु के आकार के बर्तन की त्रिज्या (r) = \(\sqrt{\ell^2-h^2}\)
= \(\sqrt{(13)^2-(12)^2}\) सें०मी०
= \(\sqrt{169-144}\) सें०मी०
= \(\sqrt{25}\) सें०मी०
= 5 सें०मी०
अतः शंकु के आकार के बर्तन का आयतन (V) = \(\frac{1}{3}\)πr²h
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7}\) × 5 × 5 × 12 सें०मी०³
= \(\frac{2200}{7}\) सें०मी०³
इस प्रकार शंकु के आकार के बर्तन की धारिता = \(\frac{2200}{7 \times 1000}=\frac{11}{35}\) लीटर उत्तर (∵ 1 लीटर = 1000 सें०मी०³)

प्रश्न 3.
एक शंकु की ऊंचाई 15 सेंमी० है। यदि इसका आयतन 1570 सें०मी०³ है, तो इसके आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए (π = 3.14 प्रयोग कीजिए।)
हल :
यहां पर,
शंकु की ऊंचाई (h) = 15 सें०मी०
शंकु के आधार की त्रिज्या (r) = ?
शंकु का आयतन (V) = 1570 सें०मी०3
⇒ \(\frac{1}{3}\)πr²h = 1570
या \(\frac{1}{3}\) × 3.14 × r² × 15 = 1570
या 15.70 r² = 1570
या r² = \(\frac{1570}{15.70}\)
या r² = 100
या r = 10 सें०मी०
अतः शंकु के आधार की त्रिज्या (r) = 10 सें०मी० उत्तर

प्रश्न 4.
यदि 9 सें०मी० ऊंचाई वाले एक लंब वृत्तीय शंकु का आयतन 48 π सें०मी०³ है, तो इसके आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।
हल :
यहां पर,
शंकु की ऊंचाई (h) = 9 सें०मी०
शंकु का आयतन (V) = 48 π सें०मी०³
⇒ \(\frac{1}{3}\)πr²h = 48 π
या \(\frac{1}{3}\) × π × r² × 9 = 48 π
या 3r² = 48
या r² = \(\frac{48}{3}\)
या r² = 16
या r = 4 सें०मी०
अतः शंकु के आधार का व्यास (d) = 2r = 2 × 4 = 8 सें०मी० उत्तर

प्रश्न 5.
ऊपरी व्यास 3.5 मी० वाले शंकु के आकार का एक गड्ढा 12 मी० गहरा है। इसकी धारिता किलोलीटरों में कितनी है ?
हल :
यहां पर,
शंकु का व्यास (d) = 3.5 मी० = \(\frac{35}{10}=\frac{7}{2}\)
शंकु की त्रिज्या (r) = \(\frac{7}{2 \times 2}\) मी० = \(\frac{7}{4}\) मी०
शंकु की गहराई (h) = 12 मी०
शंकु का आयतन (V) = \(\frac{1}{3}\)πr²h
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{4} \times \frac{7}{4} \times 12\) मी०³
= \(\frac{77}{2}\) मी०³ = 38.5 मी०³
इस प्रकार शंकु के आकार के गड्ढे की धारिता = 38.5 कि०लीटर उत्तर (∵ 1 मी०³ = 1 कि०लीटर)

प्रश्न 6.
एक लंब वृत्तीय शंकु का आयतन 9856 सें०मी०³ है। यदि इसके आधार का व्यास 28 सें०मी० है. तो ज्ञात कीजिए: [B.S.E.H. March, 2017, 2018]
(i) शंकु की ऊंचाई,
(ii) शंकु की तिर्यक ऊंचाई,
(iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।
हल :

(i) यहां पर,
शंकु के आधार का व्यास (d) = 28 सें०मी०
शंकु के आधार की त्रिज्या (r) = \(\frac{28}{2}\) सें०मी० = 14 सें०मी०
शंकु का आयतन (V) = 9856 सें०मी०³
⇒ \(\frac{1}{3}\)πr²h = 9856
या \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7}\) × 14 × 14 × h = 9856
या \(\frac{616}{3}\)h = 9856
h = \(\frac{9856 \times 3}{616}\) = 48 सें०मी०
अतः शंकु की ऊंचाई = 48 सें०मी० उत्तर

(ii) शंकु की तिर्यक ऊंचाई (l) = \(\sqrt{(r)^2+(h)^2}\)
= \(\sqrt{(14)^2+(48)^2}\)
= \(\sqrt{196+2304}\) सें०मी०
= \(\sqrt{2500}\) = 50 सें०मी०
अतः शंकु की तिर्यक ऊंचाई = 50 सें०मी० उत्तर

(iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
= \(\frac{22}{7}\) × 14 × 50 सें०मी०²
= 2200 सें०मी०² उत्तर

प्रश्न 7.
भुजाओं 5 सें०मी०, 12 सें०मी० और 13 सें०मी० वाले एक समकोण त्रिभुज ABC को भुजा 12 सें०मी० के परित घुमाया जाता है। इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल :

इस प्रकार बना ठोस शंकु आकृति में दर्शाया गया है।
इस शंकु की त्रिज्या (r) = 5 सें०मी०
इस शंकु की ऊंचाई (h) = 12 सें०मी०
इस शंकु का आयतन (V) = \(\frac{1}{3}\)πr²h
= \(\frac{1}{3}\)π × 5 × 5 × 12 सें०मी०³
= 100π सें०मी०³ उत्तर

प्रश्न 8.
यदि प्रश्न 7 के त्रिभुज ABC को यदि भुजा 5 सें०मी० के परित घुमाया जाए, तो इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए। प्रश्नों 7 और 8 में प्राप्त किए गए दोनों ठोसों के आयतन का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।
हल :

इस प्रकार प्राप्त ठोस शंकु आकृति में दर्शाया गया है।
इस शंकु की त्रिज्या (r) = 12 सें०मी०
इस शंकु की ऊंचाई (h) = 5 सें०मी०
इस शंकु का आयतन (V) = \(\frac{1}{3}\)πr²h
\(\frac{1}{3}\)π × 12 × 12 × 5 सेंमी०³
= 240π सें०मी०³ उत्तर
दोनों शंकुओं के आयतनों का अनुपात = 100π : 240π
= 5 : 12 उत्तर

प्रश्न 9.
गेहूं की एक ढेरी 10.5 मी० व्यास और ऊंचाई 3 मी० वाले एक शंकु के आकार की है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए। इस ढेरी को वर्षा से बचाने के लिए केनवास से ढका जाना है। वांछित केनवास का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
यहां पर,
शंक्वाकार ढेरी का व्यास (d) = 10.5 मी० = \(\frac{105}{10}=\frac{21}{2}\)
शंक्वाकार ढेरी की त्रिज्या (r) = \(\frac{21}{2 \times 2}\) मी० = \(\frac{21}{4}\) मी०
शंक्वाकार ढेरी की ऊंचाई (h) = 3 मी०
∴ शंक्वाकार ढेरी का आयतन (V) = \(\frac{1}{3}\)πr²h
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{4} \times \frac{21}{4} \times 3\) मी०³
= \(\frac{693}{8}\) मी०³ = 86.625 मी०³
अतः गेहूं का आयतन = 86.625 मी०³ उत्तर

अतः गेहूं को ढ़कने के लिए 99.825 मी०² केनवास की आवश्यकता पड़ेगी। उत्तर