HBSE 9th Class Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.8

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.8 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Exercise 13.8

[नोट-जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए।]

प्रश्न 1.
उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या निम्न है :
(i) 7 सें०मी०
(ii) 0.63 मी०
हल :
(i) यहां पर,
गोले की त्रिज्या (r) = 7 सें०मी०
गोले का आयतन (V) = \(\frac{4}{3}\)πr³
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7}\) 7 × 7 × 7 सें०मी०³
= \(\frac{4312}{3}\) सें०मी०³ = 1437\(\frac{1}{3}\)सें०मी०³ उत्तर

(ii) यहां पर,
गोले की त्रिज्या (r) = 0.63 मी० = \(\frac{63}{100}\) मी०
गोले का आयतन (V) = \(\frac{4}{3}\)πr³
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{63}{100} \times \frac{63}{100} \times \frac{63}{100}\) मी०³
= \(\frac{1047816}{1000000}\) मी०³
= 1.05 मी०³ उत्तर

प्रश्न 2.
उस ठोस गोलाकार गेंद द्वारा हटाए गए (विस्थापित) पानी का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसका व्यास निम्न है:
(i) 28 सें०मी०
(ii) 0.21 मी०
हल :
(i) यहां पर,
गोले का व्यास (d) = 28 सें०मी०
गोले की त्रिज्या (r) = \(\frac{28}{2}\) सें०मी० = 14 सें०मी०
गोले का आयतन (V) = \(\frac{4}{3}\)πr³
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7}\) × 14 × 14 × 14 सें०मी०³
\(\frac{34496}{3}\) सें०मी०³ = 11498\(\frac{2}{3}\) सें०मी०³ उत्तर
अतः गोले द्वारा हटाए गए पानी का आयतन = 11498\(\frac{2}{3}\) सें०मी०³ उत्तर

(ii) यहां पर,
गोले का व्यास (d) = 0.21 मी० = \(\frac{21}{100}\) मी०
गोले की त्रिज्या (r) = \(\frac{21}{2 \times 100}\) = \(\frac{21}{100}\)
∴ गोले का आयतन (V) = \(\frac{4}{3}\)πr³
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{200} \times \frac{21}{200} \times \frac{21}{200}\) सें०मी०³
= \(\frac{4851}{1000000}\) सें०मी०³ = 0.004851 मी०³
अतः गोले द्वारा हटाए गए पानी का आयतन = 0.004851 मी०³ उत्तर

प्रश्न 3.
धातु की एक गेंद का व्यास 4.2 सें०मी० है। यदि इस धातु का घनत्व 8.9 ग्राम प्रति सें०मी०³ है, तो इस गेंद का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।
हल :
यहां पर,
धातु की गेंद का व्यास (d) = 4.2 सें०मी० = \(\frac{21}{100}\) सें०मी०
धातु की गेंद की त्रिज्या (r) = \(\frac{21}{100}\) सेंमी० = \(\frac{21}{100}\) सें०मी०
धातु की गेंद का आयतन (V) = \(\frac{4}{3}\)πr³
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{10} \times \frac{21}{10} \times \frac{21}{10}\) सें०मी०³
= \(\frac{38808}{1000}\) सें०मी०³
1 सें०मी० धातु का द्रव्यमान = 8.9 ग्राम
दी गई धातु की गेंद का द्रव्यमान = \(\frac{38808}{1000} \times \frac{89}{10}\) ग्राम
\(\frac{3453912}{10000}\) ग्राम = 345.3912 ग्राम
= 345.39 ग्राम उत्तर

प्रश्न 4.
चंद्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक-चौथाई है। चंद्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन की कौन-सी भिन्न है ?
हल :
माना पृथ्वी का व्यास (d) = 2x मी०
पृथ्वी की त्रिज्या (r₁) = \(\frac{2 x}{2}\)
पृथ्वी का आयतन (V) = \(\frac{4}{3}\)πr₁³
= \(\frac{4}{3}\)π × x × x × x मी०³
= \(\frac{4}{3}\)πx³
चंद्रमा का व्यास (d) = \(\frac{2 x}{4}\) मी०
चंद्रमा की त्रिच्या (r₂) = \(\frac{2 x}{2 \times 4}=\frac{x}{4}\) मी०
चंद्रमा का आयतन (V) = \(\frac{4}{3}\)πr₂³
= \(=\frac{4}{3} \pi \times \frac{x}{4} \times \frac{x}{4} \times \frac{x}{4}\) मी०³
= \(\frac{1}{48}\)πx³ मी०³
चंद्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन का जितना भाग है

प्रश्न 5.
व्यास 10.5 सें०मी० वाले एक अर्धगोलाकार कटोरे में कितने लीटर दूध आ सकता है ?
हल :
यहां पर,
अर्धगोलाकार कटोरे का व्यास (d) = 10.5 सें०मी० = \(\frac{105}{10}\) = \(\frac{21}{2}\) सें०मी०
अर्धगोलाकार कटोरे की त्रिज्या (r) = \(\frac{21}{2 \times 2}\) सें०मी० = \(\frac{21}{4}\) सें०मी०
∴ अर्धगोलाकार कटोरे का आयतन (V) = \(\frac{2}{3}\)πr³
= \(\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{4} \times \frac{21}{4} \times \frac{21}{4}\) सें०मी०³
= \(\frac{4851}{16}\) सें०मी०³
अतः अर्धगोलाकार कटोरे की धारिता = \(\frac{4851}{16 \times 1000} \ell\)
= \(\frac{4851}{16000} \ell\) = 0.303 l (लगभग) उत्तर

प्रश्न 6.
एक अर्धगोलाकार टंकी 1 सें०मी० मोटी एक लोहे की चादर (sheet) से बनी है। यदि इसकी आंतरिक त्रिज्या 1 मी० है, तो इस टंकी के बनाने में लगे लोहे का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल :
यहां पर,
अर्धगोलाकार टंकी की अंतः त्रिज्या (r) = 1 मी० = 100 सें०मी०
अर्धगोलाकार टंकी की बाह्य त्रिज्या (R) = 100 + 1 = 101 सें०मी०
∴ टंकी में लगी लोहे की चादर का आयतन = बाह्य आयतन – आंतरिक आयतन

प्रश्न 7.
उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 सें०मी०² है।
हल :
यहां पर,
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 154 सें०मी०²
⇒ 4πr² = 154
या 4 × \(\frac{22}{7}\) × r² = 154
या \(\frac{88}{7}\)r² = 154

प्रश्न 8.
किसी भवन का गुंबद एक अर्धगोले के आकार का है। अंदर से, इसमें सफेदी कराने में ₹ 4989.60 व्यय हुए। यदि सफेदी कराने की दर ₹ 20 प्रति वर्ग मीटर है, तो ज्ञात कीजिए :
(i) गुंबद का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल,
(ii) गुंबद के अंदर की हवा का आयतन।
हल :
(i) गुंबद के अंतः तल पर सफेदी कराने का खर्च = ₹ 4989.60
सफेदी कराने की दर = ₹ 20 प्रति वर्ग मीटर
4989.60 इस प्रकार गुंबद के अंतः तल का क्षेत्रफल = \(\frac{4989.60}{2}\)
= 249.48 वर्ग मीटर उत्तर
(ii) 2πr² = 249.48

प्रश्न 9.
लोहे के 27 ठोस गोलों को पिघलाकर, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या r है और पृष्ठीय क्षेत्रफल S है, एक बड़ा गोला बनाया जाता है जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल S’ है। ज्ञात कीजिए :
(1) नए गोले की त्रिज्या r’
(ii) S और S’ का अनुपात
हल :
(i) यहां पर,
गोले की त्रिज्या (r) = r
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल (S) = 4πr²
गोले का आयतन (V) = \(\frac{4}{3}\)πr³
इस प्रकार 27 ठोस गोलों को पिघलाकर बने
गोले का आयतन (V) = 27 × \(\frac{4}{3}\)πr³ = 36πr³
नए गोले की त्रिज्या = r’
नए गोले का आयतन = \(\frac{4}{3}\)π(r’)³
प्रश्नानुसार \(\frac{4}{3}\)π(r’)³ = 36πr³
या (r’)³ = 36r³ × \(\frac{3}{4}\)
या (r’)³ = 27(r)³
या (r’)³ = (3r)³
⇒ r’ = 3r
नए गोले की त्रिज्या r’ = 3r उत्तर

(ii) यहां पर,
नए गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल (S’) = 4π(r’)²
= 4π(3r)²
= 4π(9r²)
S’ = 36πr²
S तथा S’ का अनुपात = 4πr² : 36πr²
= 1 : 9 उत्तर

प्रश्न 10.
दवाई का एक कैपसूल (capsule) 3.5 मि०मी० व्यास का एक गोला (गोली) है। इस कैपसूल को भरने के लिए कितनी दवाई (mm³ में) की आवश्यकता होगी ?
हल :
यहां पर,
कैपसूल का व्यास (d) = 3.5 मि०मी० = \(\frac{35}{10}=\frac{7}{2}\) मि०मी०
कैपसूल की त्रिज्या (r) = \(\frac{7}{2} \times \frac{1}{2}\) मि०मी० = \(\frac{7}{4}\) मि०मी०
कैपसूल का आयतन (V) = \(\frac{4}{3}\)πr³
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{4} \times \frac{7}{4} \times \frac{7}{4}\) मि०मी०
= \(\frac{539}{24}\) मि०मी०³ = 22.46 मि०मी०³ (लगभग)
इस प्रकार कैपसूल को भरने के लिए जितनी दवाई की आवश्यकता होगी।
= 22.46 मि०मी०³ उत्तर