Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Solutions Chapter 7 त्रिभुज Ex 7.3 Textbook Exercise Questions and Answers.
Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 7 त्रिभुज Exercise 7.3
प्रश्न 1.
ΔABC और ΔDBC एक ही आधार BC पर बने दो समद्विबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि A और D भुजा BC के एक ही ओर स्थित हैं (देखिए आकृति)।
यदि AD बढ़ाने पर BC को P पर प्रतिच्छेद करे, तो दर्शाइए कि
(i) ΔABD ≅ ΔACD
(ii) ΔABP ≅ ΔACP
(iii) AP कोण A और कोण D दोनों को समद्विभाजित करता है।
(iv) AP रेखाखंड BC का लंब समद्विभाजक है।
हल :
(i) ΔABD और ΔACD में,
AB = AC [दिया है]
BD = DC [दिया है]
तथा AD = AD [उभयनिष्ठ]
∴ ΔABD = ΔACD [भुजा-भुजा-भुजा सर्वांगसमता]
(ii) ΔABP और ΔACP में,
AB = AC [दिया है]
∠BAP = ∠CAP [सर्वांगसम ΔABD और ΔACD के संगत भाग]
AP = AP [उभयनिष्ठ]
∴ ΔABP ≅ ΔACP [भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता]
(iii) क्योंकि ΔABD ≅ ΔACD [प्रमाणित]
∴ ∠BAD = ∠CAD
अर्थात AD, ∠A को समद्विभाजित करता है।
अतः AP, ∠A को समद्विभाजित करता है।
अब ΔBDP और ΔCDP में,
BD = CD [दिया है]
BP = CP [सर्वागसम ΔABP और ΔACP के संगत भाग]
DP = DP [उभयनिष्ठ]
∴ ΔBDP ≅ ΔCPD [भुजा-भुजा-भुजा सर्वांगसमता]
⇒ ∠BDP = ∠CDP [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]
अर्थात DP, ∠D को समद्विभाजित करता है।
या AP, ∠D को समद्विभाजित करता है। ……….(ii)
समीकरण (i) व (ii) से,
AP, ∠A व ∠D को समद्विभाजित करता है। [इति सिद्धम]
(iv) क्योंकि AP भुजा BC पर स्थित है।
∴ ∠APB + ∠APC = 180°
ΔBAP ≅ ΔCAP [प्रमाणित]
∠APB = ∠APC [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]
अतः ∠APB + ∠APB = 180° [∵ ∠APB = ∠APC]
या 2∠APB = 180°
या ∠APB = \(\frac {180°}{2}\) = 90°
अतः ∠APB = ∠APC = 90° तथा BP = PC [प्रमाणित]
इस प्रकार AP रेखाखंड BC का लंब समद्विभाजक है। [इति सिद्धम]
प्रश्न 2.
AD एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC का एक शीर्षलंब है, जिसमें AB = AC है। दर्शाइए कि-
(i) AD रेखाखंड BC को समद्विभाजित करता है।
(ii) AD कोण A को समद्विभाजित करता है।
हल :
यहाँ पर दिया गया है, AD, शीर्ष A से डाला हुआ लंब है, जोकि समद्विबाहु ΔABC के आधार BC के सम्मुख है। AB = AC, ∠ADC = ∠ADB = 90°
अब ΔADB और ΔADC में,
कर्ण AB = कर्ण AC [दिया है]
AD = AD
∠ADC = ∠ADB [∵ प्रत्येक = 90°]
∴ ΔADB ≅ ΔADC [समकोण-कर्ण-भुजा सर्वांगसमता]
⇒ BD = DC तथा ∠BAD = ∠DAC [सर्वांगसमता त्रिभुजों के संगत भाग]
अतः (i) AD, BC को समद्विभाजित करता है। [इति सिद्धम]
तथा (ii) AD, ∠A को समद्विभाजित करता है। [इति सिद्धमा]
प्रश्न 3.
एक त्रिभुज ABC की दो भुजाएं AB और BC तथा माध्यिका AM क्रमशः एक-दूसरे त्रिभुज की भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PN के बराबर हैं (देखिए आकृति) दर्शाइए कि
(i) ΔABM ≅ ΔPQN
(ii) ΔABC ≅ ΔPQR
हल :
(i) यहाँ पर दिया गया है, ΔABC और ΔPQR में,
AB = PQ
BC = QR
तथा AM = PN
क्योंकि AM तथा PN क्रमशः ΔARC तथा ΔPQR की माध्यिकाएँ हैं।
अब BC = QR [दिया है]
या \(\frac {1}{2}\)BC = \(\frac {1}{2}\)QR
या BM = QN
अब, ΔABM तथा ΔPQN में,
AB = PQ [दिया है]
BM = QN [प्रमाणित]
तथा AM = PN [दिया है]
∴ ΔΑΒΜ ≅ ΔΡQΝ [भुजा-भुजा-भुजा सर्वांगसमता] [इति सिद्धम]
(ii) ∠B = ∠Q
सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग
अब ΔABC तथा ΔPQR में,
AB = PQ [दिया है]
∠B = ∠Q [प्रमाणित]
BC = QR [दिया है]
∴ ΔABC ≅ ΔPQR [भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता] [इति सिद्धम]
प्रश्न 4.
BE और CF एक त्रिभुज ABC के दो बराबर शीर्षलंब हैं। RHS सर्वांगसमता नियम का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
हल :
ΔBCF और ΔCBE में,
∠BFC = ∠CEB [प्रत्येक = 90°]
कर्ण BC = कर्ण BC [उभयनिष्ठ]
FC = EB [दिया है]
ΔBCF ≅ ΔCBE [समकोण-कर्ण-भुजा सर्वांगसमता]
⇒ ∠FBC = ∠ECB [सर्वागसम त्रिभुजों के संगत भाग]
अतः ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है। [इति सिद्धम]
प्रश्न 5.
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है। AP ⊥ BC खींचकर दर्शाइए कि ∠B = ∠C है।
हल :
यहाँ पर, ΔABP और ΔACP में,
AB = AC [दिया है]
AP = AP [उभयनिष्ठ]
तथा ∠APB = ∠APC [प्रत्येक = 90°]
∴ ΔABP ≅ ΔACP [समकोण-कर्ण-भुजा सर्वांगसमता]
⇒ ∠B = ∠C [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग] [इति सिद्धम|