HBSE 9th Class Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.4

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Exercise 2.4

प्रश्न 1.
बताइए कि निम्नलिखित बहुपों में से किस बहुपद का एक गुणनखंड x + 1 है
(i) x³ + x² + x + 1
(ii) x³ + x³ + x² + x + 1
(iii) x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1
(iv) x³ – x² – (2 + \(\sqrt{2}\))x + \(\sqrt{2}\)
हल :
(i) x + 1 का शून्यक – 1 है
माना,
p (x) = x³ + x² + x + 1
अब p(-1) = (-1)³ + (-1)² + (-1) + 1
= 1 + 1 – 1 + 1
= 2 – 2 = 0
अतः गुणनखंड प्रमेय के अनुसार x + 1, x³ + x² + x + 1 का एक गुणनखंड है। उत्तर

(ii) x + 1 का शून्यक – 1 है
माना, P(x) = x⁴ + x³ + x² + x + 1
अब P(-1) = (-1)⁴ + (-1)³ + (-1)² + (-1) + 1
= 1 – 1 + 1 – 1 + 1
= 3 – 2 = 1 ≠ 0
अतः गुणनखंड प्रमेय के अनुसार x + 1, x⁴ + x³ + x² + x + 1 का एक गुणनखंड नहीं है। उत्तर

(iii) x + 1 का शून्यक -1 है
माना, p(x) = x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1
अब
p(-1) = (-1) +3 (-1) +3(-1) + (-1)+1
= 1+3 (-1)+3 (1) -1+1 = 1-3+3-1+1
= 5-4 = 120 अतः गुणनखंड प्रमेय के अनुसार x + 1, x* + 3x + 3x + x + 1 का एक गुणनखंड नहीं है। उत्तर

(iv) x + 1 का शून्यक – 1 है
माना,
p (x) = x³ + x² – (2 + \(\sqrt{2}\)) x + \(\sqrt{2}\)
अब
p(-1) = (-1)³ – (-1)² – (2 + \(\sqrt{2}\))(-1) + \(\sqrt{2}\)
= – 1 – 1 + 2 + \(\sqrt{2}\) + \(\sqrt{2}\)
= – 2 + 2 + 2\(\sqrt{2}\)
= 2\(\sqrt{2}\) ≠ 0
अतः गुणनखंड प्रमेय के अनुसार x + 1, x³ – x²(2 + \(\sqrt{2}\)) x + \(\sqrt{2}\) का एक गुणनखंड नहीं है। उत्तर

प्रश्न 2.
गुणनखंड प्रमेय लागू करके बताइए कि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में g (r), p (x) का एक गुणनखंड है या नहीं-
(i) p(x) = 2x³ + x² – 2x – 1, g(x) = x + 1
(ii) p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1, g(x) = x + 2 .
(iii) p(x) = x³ – 4x² + x + 6, g(x) = x – 3
हल :
(i) x + 1 का शून्यक – 1 है
माना,
p (x) = 2x³ + x² – 2x – 1
अब
p(-1) = 2(-1)³ + (-1)² – 2(-1) – 1
= 2(-1) + (1) + 2 – 1
= – 2 + 1 + 2 – 1
अतः गुणनखंड प्रमेय के अनुसार g (x), p(x) का एक गुणनखंड है। उत्तर

(ii) x + 2 का शून्यक – 2 है
माना,
P(x) = x³ + 3x² + 3x + 1
अब
P(-2) = (-2)³ + 3 (-2)² + 3 (-2) + 1
= (-8) + 3(4) + 3(-2) + 1
= – 8 + 12 – 6 + 1
= 13 – 14 = – 1 ≠ 0
अतः गुणनखंड प्रमेय के अनुसार g(x), p(x) का एक गुणनखंड नहीं है। उत्तर

(iii) x – 3 का शून्यक है
माना,
P(x) = x³ – 4x² + x + 6
अब
p(3) = (3)³ – 4(3)² + (3) + 6
= 27 – 36 + 3 + 6
= 36 – 36 = 0
अतः गुणनखंड प्रमेय के अनुसार g(x), p(x) का एक गुणनखंड है। उत्तर

प्रश्न 3.
k का मान ज्ञात कीजिए जबकि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में (x – 1), p(x) का एक गुणनखंड हो
(i) P(x) = x² + x + k
(ii) p(x) = 2x² + kx + \(\sqrt{2}\)
(iii) P(x) = kx² – \(\sqrt{2}\)x + 1
(iv) P(x) = kx² – 3x + k
हल :
(i) क्योंकि x – 1, p (x) का एक गुणनखंड है
∴ P (1) = 0
⇒ (1)² + (1)² + k = 0
या 1 + 1 + k = 0
या 2 + k = 0
या k = – 2 उत्तर

(ii) क्योंकि x – 1, p (x) का एक गुणनखंड है
∴ P(1) = 0
⇒ 2(1)² + k(1) + \(\sqrt{2}\) = 0
या 2 + k + \(\sqrt{2}\) = 0
या k = -(2 + \(\sqrt{2}\)) उत्तर

(iii) क्योंकि x – 1, p (x) का एक गुणनखंड है
∴ p(1) = 0
⇒ k(1)² – \(\sqrt{2}\)(1) + 1 = 0
या k – \(\sqrt{2}\) + 1 = 0
या k = \(\sqrt{2}\) – 1 उत्तर

(iv) क्योंकि x – 1, p (x) का एक गुणनखंड है
∴ p(1) = 0
⇒ k (1)² – 3 (1) + k = 0
या k – 3 + k = 0
या 2k = 3
या k = \(\frac {3}{2}\) उत्तर

प्रश्न 4.
गुणनखंड ज्ञात कीजिए –
(i) 12x² – 7x + 1
(ii) 2x² + 7x + 3
(iii) 6x² + 5x – 6
(iv) 3x² – x – 4
हल :
(i) 12x² – 7x + 1 = 12x² – 4x – 3x + 1
= 4x (3x – 1) – 1 (3x – 1)
= (3x – 1) (4x – 1) उत्तर

(ii) 2x² + 7x + 3 = 2x² + 6x + x + 3
= 2x(x + 3) + 1(x + 3)
= (x + 3) (2x + 1) उत्तर

(iii) 6x² + 5x – 6 = 6x² + 9x – 4x – 6
= 3x (2x + 3) – 2(2x +3)
= (2x + 3) (3x – 2) उत्तर

(iv) 3x² – x – 4 = 3x² – 4x + 3x – 4
= x (3x – 4) + 1 (3x – 4)
= (3x – 4) (x + 1) उत्तर

प्रश्न 5.
गुणनखंड ज्ञात कीजिए
(i) x³ – 2x² – x + 2
(ii) x³ – 3x² – 9x – 5
(iii) x³ + 13x² + 32x + 20 [2017]
(iv) 2y³ + y² – 2y – 1
हल :
(i) माना p(x) = x³ – 2x² – x + 2
यहाँ पर अचर पद 2 है जिसके गुणनखंड ± 1, ± 2 है।
x = 1 रखने पर
p(1) = (1)³ – 2(1)² – (1) + 2
= 1 – 2 – 1 + 2
= 3 – 3 = 0
अतः x – 1, P(x) का एक गुणनखंड है।
अब

अतः
x³ – 2x² – x + 2 = (x – 1) (x² – x – 2)
= (x – 1) (x² – 2x + x – 2)
= (x – 1) [x(x – 2) + 1 (x – 2)]
= (x – 1) (x – 2) (x + 1) उत्तर

(ii) माना p(x) = x³ – 3x² – 9x – 5
यहाँ पर अचर पद – 5 है जिसके गुणनखंड ± 1, ± 5 है।
x = 1 रखने पर
P(1) = (1)³ – 3(1)² – 9(1) – 5
= 1 – 3 – 9 – 5
= 1 – 17 = -16 ≠ 0
x= – 1 रखने पर
p(-1) = (-1)³ – 3(-1))² – 9(-1) – 5
= – 1 – 3 + 9 – 5
= 9 – 9 = 0
अतः x + 1, p(x) का एक गुणनखंड है।
अब

अतः
x³ – 3x² – 9x – 5 = (x + 1) (x² – 4x – 5)
= (x + 1) (x² – 5x + x – 5)
= (x + 1) [x(x – 5) + 1 (x – 5)]
= (x + 1) (x – 5) (x + 1) उत्तर

(iii) माना p(x) = x³ + 13x² + 32x + 20
यहाँ पर अचर पद 20 है जिसके गुणनखंड ±1, ±2, ±4, ±5 हैं।
x=1 रखने पर
p(1) = (1)³ + 13(1)² + 32(1) + 20
= 1 + 13 + 32 + 20
= 66 ≠ 0

x = – 1 रखने पर
P(-1) = (-1)³ + 13(-1)² + 32 (-1) + 20
= -1 + 13 – 32 + 20
= 33 – 33 = 0
अतः x + 1, p(x) का एक गुणनखंड है।
अब

अतः
x³ + 13x² + 32x + 20 = (x + 1) (x² + 12x + 20)
= (x + 1) (x² + 10x + 2x + 20)
= (x + 1) [x(x + 10) + 2 (x + 10)]
= (x + 1) (x + 10) (x + 2) उत्तर

(iv) माना p(y) = 2y³ + y² – 2y – 1
यहाँ पर अचर पद – 1 है जिसके गुणनखंड ± 1 हैं।
y = 1 रखने पर
P(1) = 2 (1)³ + (1)² – 2(1) – 1
= 2 + 1 – 2 – 1
= 3 – 3 = 0
अतः y – 1, p(y) का एक गुणनखंड है।

अतः
2y³ + y² – 2y – 1 = (y – 1) (2y² + 3y + 1)
= (y – 1) (2y² + 2y + y + 1)
= (y – 1) [2y(y + 1) + 1 (y + 1)]
= (y – 1) (y + 1) (2y + 1) उत्तर