HBSE 9th Class Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.2

Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Exercise 13.2

[नोट-जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}\) लीजिए।]

प्रश्न 1.
ऊंचाई 14 सें०मी० वाले एक लंब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 88 सें०मी०’ है। बेलन के आधार का व्यास ज्ञात कीजिए। [B.S.E.H. March, 2018]
हल :
यहां पर,
माना बेलन के आधार का व्यास (d) = 2r सें०मी०
बेलन के आधार की त्रिज्या (r) = r सें०मी०
बेलन की ऊंचाई (h) = 14 सें०मी०
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 88 सें०मी०²
⇒ 2πrh = 88
या 2 × \(\frac{22}{7}\) × r × 14 = 88
या 88r = 88
या r = \(\frac{88}{88}\) = 1 सें०मी०
अतः बेलन के आधार का व्यास (d) = 2 × 1 = 2 सें०मी० उत्तर

प्रश्न 2.
धातु की एक चादर से 1 मी० ऊंची और 140 सें०मी० व्यास के आधार वाली एक बंद बेलनाकार टंकी बनाई जानी है। इस कार्य के लिए कितने वर्ग मीटर चादर की आवश्यकता होगी ?
हल :
यहां पर,
बेलनाकार टंकी का व्यास (d) = 140 सें०मी०
बेलनाकार टंकी की त्रिज्या (r) = \(\frac{140}{2}\) = 70 सें०मी० = 0.7 मी०
बेलनाकार टंकी की ऊंचाई (h) = 1 मी०
∴ बेलनाकार टंकी का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 πr (r + h)
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 0.7 [0.7 + 1] मी०²
= 2 × 22 × 0.1 × 1.7 मी०²
= 7.48 मी०²
अतः टंकी बनाने के लिए आवश्यक चादर = 7.48 मी०² उत्तर

प्रश्न 3.
धातु का एक पाइप 77 सें०मी० लंबा है। इसके एक अनुप्रस्थकाट का आंतरिक व्यास 4 सें०मी० है और बाहरी व्यास 4.4 सें०मी० है (आकृति अनुसार) ज्ञात कीजिए :

(i) आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(iii) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
हल :
(i) यहां पर,
पाइप का आंतरिक व्यास (dl) = 4 सें०मी०
पाइप की आंतरिक त्रिज्या (r) = \(\frac{4}{2}\) = 2 सें०मी०
पाइप की ऊंचाई (h) = 77 सें०मी०
∴ पाइप का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 2 × 77 सें०मी०²
= 968 सें०मी०² उत्तर

(ii) पाइप का बाह्य व्यास (d2) = 4.4 सें०मी०
पाइप की बाह्य त्रिज्या (R) = \(\frac{4.4}{2}\) = 2.2 सें०मी०
पाइप की ऊंचाई (h) = 77 सें०मी०
∴ पाइप का बाह्य वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πRh
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 2.2 × 77 सें०मी०²
= 1064.8 सें०मी०² उत्तर

(iii) पाइप के दोनों सिरों का क्षेत्रफल = 2π(R² – r²)
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × [(2.2 )² – (2)²] सें०मी०²
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × [4.84 – 4] सें०मी०²
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 0.84 सें०मी०² = 5.28 सें०मी०²
पाइप का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = [968 + 1064.8 + 5.28 ] सें०मी०²
= 2038.08 सें०मी०² उत्तर

प्रश्न 4.
एक रोलर (roller) का व्यास 84 सें०मी० है और लंबाई 120 सें०मी० है। एक खेल के मैदान को एक बार · समतल करने के लिए 500 चक्कर लगाने पड़ते हैं। खेल के मैदान का मी० में क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
यहां पर,
रोलर का व्यास (d) = 84 सें०मी०
रोलर की त्रिज्या (r) = \(\frac{84}{2}\) = 42 सें०मी०
रोलर की लंबाई (h) = 120 सें०मी०
∴ रोलर का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 42 × 120 सें०मी०²
= 31680 सें०मी०²
रोलर द्वारा 1 चक्कर लगाने में जितना क्षेत्रफल तय होता है = 31680 सें०मी०²
रोलर द्वारा 500 चक्कर लगाने में जितना क्षेत्रफल तय होता है = 31680 × 500 सें०मी०²
= \(\frac{31680 \times 500}{100 \times 100}\)मी०²
= 1584 मी०²
अतः खेल के मैदान का क्षेत्रफल = 1584 मी०² उत्तर

प्रश्न 5.
किसी बेलनाकार स्तंभ का व्यास 50 सें०मी० है और ऊंचाई 3.5 मी० है। ₹ 12.50 प्रति m2 की दर से इस स्तंभ के वक्र पृष्ठ पर पेंट कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
हल :
यहां पर,
बेलनाकार स्तंभ का व्यास (d) = 50 सें०मी०
बेलनाकार स्तंभ की त्रिज्या (r) = \(\frac{50}{2}\) सें०मी० = 25 सें०मी० = \(\frac{25}{100}\) m = \(\frac{1}{4}\)m
बेलनाकार स्तंभ की ऊंचाई (h) = 3.5 मी० = \(\frac{35}{10}\)m
बेलनाकार स्तंभ का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{35}{10}\) × 275 मी०²
= \(\frac{55}{10}\) = 5.5 मी०²
1 मी०2स्तंभ पर पेंट करने का व्यय = ₹ 12.50
5.5 मी०2 स्तंभ पर पेंट करने का व्यय = ₹ (5.5 × 12.50)
= ₹ 68.75 उत्तर

प्रश्न 6.
एक लंब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 4.4 मी०² है। यदि बेलन के आधार की त्रिज्या 0.7 मी० है, तो उसकी ऊंचाई ज्ञात कीजिए। [B.S.E.H. March, 2020]
हल :
यहां पर,
लंब वृत्तीय बेलन की त्रिज्या (r) = 0.7 मी०
लंब वृत्तीय बेलन की ऊंचाई (h) = ?
लंब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4.4 मी०²
⇒ 2πrh = 4.4
या 2 × \(\frac{22}{7}\) × 0.7 × h = 4.4
या 4.4h = 4.4
या h = \(\frac{4.4}{4.4}\) = 1 मी०
अतः लंब वृत्तीय बेलन की ऊंचाई = 1 मी० उत्तर

प्रश्न 7.
किसी वृत्ताकार कुएं का आंतरिक व्यास 3.5 मी० है और यह 10 मी० गहरा है। ज्ञात कीजिए :
(i) आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।
(ii) ₹ 40 प्रति m² की दर से इसके वक्र पृष्ठ पर प्लास्टर कराने का व्यय।
हल :
यहां पर,
(i) कुएं का आंतरिक व्यास (d) = \(\frac{35}{10}\) मी० = \(\frac{7}{2}\) मी०
कुएं की आंतरिक त्रिज्या (r) = \(\frac{7}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{7}{4}\) मी०
कुएं की ऊंचाई (h) = 10 मी०
∴ कुएं का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{7}{4}\) × 10 मी०²
= 110 मी०² उत्तर

(ii) 1 मी०² वक्र पृष्ठ पर प्लास्टर कराने का व्यय = ₹ 40
110 मी०² वक्र पृष्ठ पर प्लास्टर कराने का व्यय = 110 × 40
= ₹ 4400 उत्तर

प्रश्न 8.
गरम पानी द्वारा गरम रखने वाले एक संयंत्र में 28 मी० लंबाई और 5 सें०मी० व्यास वाला एक बेलनाकार पाइप है। इस संयंत्र में गर्मी देने वाला कुल कितना पृष्ठ है ?
हल :
यहां पर, बेलनाकार पाइप का व्यास (d) = 5 सें०मी० = \(\frac{5}{100}\)मी० = \(\frac{1}{20}\)मी०
बेलनाकार पाइप की त्रिज्या (r) = \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{20}\) मी० = \(\frac{1}{40}\) मी०
बेलनाकार पाइप की ऊंचाई (h) = 28 मी०
बेलनाकार पाइप का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{1}{40}\) × 28 मी०²
= 4.4 मी०²
अतः संयन्त्र में गर्मी देने वाला कुल पृष्ठ = 4.4 मी०² उत्तर

प्रश्न 9.
ज्ञात कीजिए:
(i) एक बेलनाकार पेट्रोल की बंद टंकी का पार्श्व या वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, जिसका व्यास 4.2 मी० है और ऊंचाई 4.5 मी० है।
(ii) इस टंकी को बनाने में कुल कितना इस्पात (steel) लगा होगा, यदि कुल इस्पात का \(\frac{1}{12}\) भाग बनाने में नष्ट हो गया है?
हल :
यहां पर,
(i) बेलनाकार टंकी का व्यास (d) = 4.2 मी०
बेलनाकार टंकी की त्रिज्या (r) = \(\frac{4.2}{12}\) = 2.1 m = \(\frac{21}{10}\) m
बेलनाकार टंकी की ऊंचाई (h) = 4.5 मी० = \(\frac{45}{10}\) मी०
बेलनाकार टंकी का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= 2 × \(\frac{22}{7} \times \frac{21}{10} \times \frac{45}{10}\) मी०²
= 59.4 मी०² उत्तर

(ii) बेलनाकार टंकी का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2π(r + h)

= 87.12 मी०² उत्तर
माना आवश्यक कुल इस्पात = x मी०²
जितना इस्पात बनाने में नष्ट हुआ = x × \(\frac{1}{12}\) = \(\frac{x}{12}\) मी०²
= x – \(\frac{x}{12}\) = 87.12
या 12x – x = 87.12 × 12
या 11x = 87.12 × 12
या x = \(\frac{87.12 \times 12}{11}\) = 95.04 मी०²
अतः टंकी को बनाने के लिए आवश्यक इस्पात = 95.04 मी०² उत्तर

प्रश्न 10.
आकृति में, आप एक लैंपशेड का फ्रेम देख रहे हैं। इसे एक सजावटी कपड़े से ढका जाना है। इस फ्रेम के आधार का व्यास 20 सें०मी० है और ऊंचाई 30 सें०मी० है। फ्रेम के ऊपर और नीचे मोड़ने के लिए दोनों ओर 2.5 सें०मी० अतिरिक्त कपड़ा भी छोड़ा जाना है। ज्ञात कीजिए कि लैंपशेड को ढकने के लिए कुल कितने कपड़े की आवश्यकता होगी।

हल :
यहां पर,
फ्रेम के आधार का व्यास (d) = 20 सें०मी०
फ्रेम के आधार की त्रिज्या (r) = \(\frac{20}{2}\) = 10 सें०मी०
फ्रेम की ऊंचाई = 30 सें०मी०
फ्रेम को लपेटने के लिए आवश्यक कपड़े की लंबाई (h) = (30 + 2.5 + 2.5) सें०मी०
= 35 सें०मी०
∴ आवश्यक कपड़े का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 10 × 35 सें०मी०²
= 2200 सें०मी०² उत्तर

प्रश्न 11.
किसी विद्यालय के विद्यार्थियों से एक आधार वाले बेलनाकार कलमदानों को गत्ते से बनाने और सजाने की प्रतियोगिता में भाग लेने के लिए कहा गया। प्रत्येक कलमदान को 3 सें०मी० त्रिज्या और 10.5 सें०मी० ऊंचाई का होना था। विद्यालय को इसके लिए प्रतिभागियों को गत्ता देना था। यदि इसमें 35 प्रतिभागी थे, तो विद्यालय को कितना गत्ता खरीदना पड़ा होगा?
हल :
यहां पर,
कलमदान के आधार की त्रिज्या (r) = 3 सें०मी०
कलमदान की ऊंचाई (h) = 10.5 सेंमी० = \(\frac{105}{10}\) सें०मी०
1 कलमदान बनाने के लिए आवश्यक गत्ता = वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + आधार का क्षेत्रफल
= 2πrh + πr²
= [2 × \(\frac{22}{7}\) × 3 × \(\frac{105}{10}\) + \(\frac{22}{7}\) × 3 × 3] सें०मी०²
= \(\left[\frac{198}{1}+\frac{198}{7}\right]\) सें०मी०²
= \(\left[\frac{1386+198}{7}\right]\) सें०मी०²
= \(\frac{1584}{7}\) सें०मी०²
35 कलमदान बनाने के लिए आवश्यक गत्ता = 35 × \(\frac{1584}{7}\) सें०मी०²
= 7920 सें०मी०²
अतः विद्यालय को जितना गत्ता खरीदना पड़ेगा = 7920 सें०मी०² उत्तर