Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Solutions Chapter 8 चतुर्भुज Ex 8.1 Textbook Exercise Questions and Answers.
Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 चतुर्भुज Exercise 8.1
प्रश्न 1.
एक चतुर्भुज के कोण 3 : 5 : 9 : 13 के अनुपात में हैं। इस चतुर्भुज के सभी कोण ज्ञात कीजिए।
हल :
माना चतुर्भुज के कोण = (3x), (5x), (9x), (13x)
हम जानते हैं कि
चतुर्भुज के कोणों का योग = 360°
⇒ 3x + 5x + 9x + 13x = 360°
या 30x = 360°
या x = \(\frac{360^{\circ}}{30}\) = 12°
अतः चतुर्भुज के कोण = (3 × 12)°; (5 × 12)°, (9 × 12)°, (13 × 12)°
= 36°, 60°, 108°, 156° उत्तर
प्रश्न 2.
यदि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों, तो दशाइए कि वह एक आयत है। [B.S.E.H. March, 2018]
हल :
दिया है : एक समांतर चतुर्भुज ABCD में AC = BD है।
सिद्ध करना है : ABCD एक आयत है।
प्रमाण : ΔABD और ΔABC में,
AB = AB [उभयनिष्ठ]
AD = BC [|| चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएं]
BD = AC [दिया है]
∴ ΔABD ≅ ΔABC [भुजा-भुजा-भुजा सर्वांगसमता]
⇒ ∠DAB = ∠CBA [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]
परन्तु AD || BC [॥ चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएं]
∴ ∠DAB + ∠CBA = 180° [एक ही ओर बने अंतः कोण]
अतः ∠DAB = ∠CBA = 90°
∴ ABCD एक आयत है। [इति सिद्धम]
प्रश्न 3.
दर्शाइए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करें, तो वह एक समचतुर्भुज होता है।
हल :
दिया है : एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं अर्थात OA = OC व OB = OD
सिद्ध करना है : ABCD एक समचतुर्भुज है।
प्रमाण : ΔAOB तथा ΔBOC में,
AO = OC [दिया है]
BO = BO [उभयनिष्ठ]
∠1 = ∠2 [प्रत्येक 90°]
∴ ΔAOB ≅ ΔBOC [भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता]
अतः AB = BC [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]
इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते हैं,
BC = CD = DA
⇒ AB = BC = CD = DA
∴ ABCD एक समचतुर्भुज है।
[इति सिद्धम]
प्रश्न 4.
दर्शाइए कि एक वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं और परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
हल :
दिया है : एक वर्ग ABCD, जिसमें AC व BD विकर्ण हैं।
सिद्ध करना है : (i) विकर्ण AC = विकर्ण BD
(ii) AC व BD परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
प्रमाण : (i) ΔABC और ΔABD में,
भुजा AB = भुजा AB [उभयनिष्ठ]
BC = AD [वर्ग की भुजाएं]
∠ABC = ∠BAD [प्रत्येक 90°]
∴ ΔABC ≅ ΔABD [भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता]
⇒ AC = BD [सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएं]
अतः वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं। [इति सिद्धम]
(ii) ΔBOC और ΔAOD में,
BC = AD [वर्ग की भुजाएं]
∠OBC = ∠ODA [एकांतर कोण]
∠OCB = ∠OAD [एकांतर कोण]
∴ ΔBOC ≅ ΔAOD [कोण-भुजा-कोण सर्वांगसमता]
⇒ OB = OD व OC = OA [सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएं]
अब, ΔAOB और ΔBOC में,
OA = OC [प्रमाणित]
OB = OB [उभयनिष्ठ]
AB = BC [वर्ग की भुजाएं]
∴ ΔAOB ≅ ΔBOC [भुजा-भुजा-भुजा सर्वांगसमता]
⇒ ∠AOB = ∠BOC [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत कोण]
परन्तु ∠AOB + ∠BOC = 180° [रैखिक युग्म]
या ∠AOB + ∠AOB = 180°
या 2∠AOB = 180°
या ∠AOB = \(\frac{180^{\circ}}{2}\) = 90°
इसी प्रकार ∠BOC = ∠COD = ∠DOA = 90°
अतः विकर्ण AC व BD परस्पर बिंदु O पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। [इति सिद्धम]
प्रश्न 5.
दर्शाइए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों और परस्पर समद्विभाजित करें, तो वह एक वर्ग होता है।
हल :
दिया है : एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और विकर्ण BD बराबर हैं तथा परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। अर्थात OA = OC व OB = OD तथा AC ⊥ BD हैं।
सिद्ध करना है : चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है।
प्रमाण : ΔAOB और ΔBOC में,
OA = OC [दिया है]
OB = OB [उभयनिष्ठ]
∠AOB = ∠BOC [प्रत्येक 90°]
∴ ΔAOB ≅ ΔBOC [भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता]
⇒ AB = BC [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]
इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते हैं कि
BC = CD = DA
अतः AB = BC = CD = DA …….(i)
इससे पता चलता है कि ABCD एक समचतुर्भुज है।
अब ΔABC और ΔABD में,
AB = AB [उभयनिष्ठ]
AC = BD [दिया है]
BC = DA [प्रमाणित]
∴ ΔABC ≅ ΔABD [भुजा-भुजा-भुजा सर्वांगसमता]
⇒ ∠ABC = ∠BAD [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]
परंतु AD || BC (समचतुर्भुज की सम्मुख भुजाएं) व AB एक तिर्यक रेखा है।
∠ABC + ∠BAD = 180° [तिर्यक रेखा के एक ओर बने कोण]
⇒ ∠ABC + ∠ABC = 180°
या 2∠ABC = 180°
या ∠ABC = \(\frac{180^{\circ}}{2}\) = 90°
क्योंकि समचतुर्भुज ABCD का एक कोण 90° है। इसलिए ABCD एक वर्ग है। [इति सिद्धम]
प्रश्न 6.
समांतर चतुर्भुज ABCD का विकर्ण AC कोण A को समद्विभाजित करता है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि :
(i) यह ∠C को भी समद्विभाजित करता है।
(ii) ABCD एक समचतुर्भुज है।
हल :
दिया है : समांतर चतुर्भुज ABCD में विकर्ण AC, ∠A को समद्विभाजित करता है अर्थात् ∠1 = ∠2
(i) सिद्ध करना है : विकर्ण AC, ∠C को समद्विभाजित करता है।
प्रमाण : क्योंकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
∴ AB || DC है तथा AC एक तिर्यक रेखा है।
∴ ∠1 = ∠3 [एकांतर कोण]…(i)
इसी प्रकार AD || BC तथा AC एक तिर्यक रेखा है।
∴ ∠2 = ∠4 [एकांतर कोण]…(ii)
परंतु ∠1 = ∠2 [दिया है]
अतः ∠3 = ∠4
इससे सिद्ध होता है कि AC, ∠C को समद्विभाजित करता है। [इति सिद्धम]
(ii) सिद्ध करना है : ABCD एक समचतुर्भुज है।
प्रमाण : ∵ ∠1 = ∠2 [दिया है]
तथा ∠1 = ∠3 [एकांतर कोण]
अतः ∠2 = ∠3
⇒ AD = DC
इसलिए समांतर चतुर्भुज ABCD की दो आसन्न भुजाएं बराबर हैं तो ABCD एक समचतुर्भुज है। [इति सिद्धम]
प्रश्न 7.
ABCD एक समचतुर्भुज है। दर्शाइए कि विकर्ण AC कोणों A और C दोनों को समद्विभाजित करता है तथा विकर्ण BD कोणों B और D दोनों को समद्विभाजित करता है।
हल :
दिया है : ABCD एक समचतुर्भुज है अर्थात AB = BC = CD = DA
सिद्ध करना है : (i) विकर्ण AC, ∠A और ∠C को समद्विभाजित करता है।
(ii) विकर्ण BD, ∠B और ∠D को समद्विभाजित करता है।
प्रमाण : ΔABC और ΔADC में,
AB = AD (समचतुर्भुज की भुजाएं)
AC = AC (उभयनिष्ठ)
BC = CD [समचतुर्भुज की भुजाएं]
∴ ΔABC ≅ ΔADC [भुजा-भुजा-भुजा सर्वांगसमता]
∴ ∠1 = ∠2 व ∠3 = ∠4 [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत कोण]
अतः विकर्ण AC, ∠A और ∠C को समद्विभाजित करता है।
इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते हैं कि विकर्ण BD, ∠B और ∠D को समद्विभाजित करता है।
प्रश्न 8.
ABCD एक आयत है जिसमें विकर्ण AC दोनों कोणों A और C को समद्विभाजित करता है। दर्शाइए कि (i) ABCD एक वर्ग है। (ii) विकर्ण BD दोनों कोणों B और D को समद्विभाजित करता है।
हल :
दिया है : ABCD एक आयत है। जिसमें विकर्ण AC, ∠A व ∠C को समद्विभाजित करता है। अर्थात ∠1 = ∠2 व ∠3 = ∠4
सिद्ध करना है : (i) ABCD एक वर्ग है।
(ii) विकर्ण BD, ∠B व ∠D को समद्विभाजित करता है।
प्रमाण : (i) ∵ AB || DC [आयत की सम्मुख भुजाएं]
∠1 = ∠4 [एकांतर कोण]
परंतु ∠1 = ∠2
अतः ∠2 = ∠4
⇒ AB = BC [समान कोणों की सम्मुख भुजाएं समान होती हैं।]
इस प्रकार आयत ABCD की दो आसन्न भुजाएं समान हैं। इसलिए ABCD एक वर्ग है। [इति सिद्धमा]
(ii) ΔABD तथा ΔBCD में,
AB = BC [वर्ग की भुजाएं]
AD = DC [वर्ग की भुजाएं]
BD = BD [उभयनिष्ठ]
∴ ΔABD ≅ ΔBCD [भुजा-भुजा-भुजा सर्वांगसमता]
∴ ∠1 = ∠2 तथा ∠3 = ∠4 [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]
अतः विकर्ण BD, ∠B तथा ∠D को समद्विभाजित करता है। [इति सिद्धम]
प्रश्न 9.
समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण BD पर दो बिंदु Pऔर Q इस प्रकार स्थित हैं कि DP = BQ है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि:
(i) ΔAPD ≅ ΔCQB
(ii) AP = CQ
(iii) ΔAQB ≅ ΔCPD
(iv) AQ = CP
(v) APCQ एक समांतर चतुर्भुज है।
हल :
दिया है : समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण BD पर बिंदु P व Q इस प्रकार हैं कि DP = BQ
सिद्ध करना है : (i) ΔAPD ≅ ΔCQB
(ii) AP = CQ
(iii) ΔAQB ≅ ΔCPD
(iv) AQ = CP
(v) APCQ एक समांतर चतुर्भुज है।
प्रमाण : (i) ΔAPD और ΔCQB में,
AD = BC [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएं]
DP = BQ [दिया है]
∠2 = ∠1 [एकांतर कोण]
∴ ΔAPD ≅ ΔCQB [भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता] [इति सिद्धम]
(ii) क्योंकि ΔAPD ≅ ΔCQB [प्रमाणित]
AP = CQ [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग] [इति सिद्धम]
(iii) ΔAQB तथा ΔCPD में,
AB = CD [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएं]
∠4 = ∠3 [एकांतर कोण]
BQ = DP [दिया है]
∴ ΔAQB ≅ ΔCPD [भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता] [इति सिद्धम]
(iv) क्योंकि ΔAQB ≅ ΔCPD [प्रमाणित]
∴ AQ = CP [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]
(v) क्योंकि चतुर्भुज APCQ में AP = CQ [प्रमाणित]
तथा AQ = CP [प्रमाणित]
∴ APCQ समांतर चतुर्भुज है। [इति सिद्धम]
प्रश्न 10.
ABCD एक समांतर चतुर्भुज है तथा AP और CQ शीर्षों A और C से विकर्ण BD पर क्रमशः लंब हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि:
(i) ΔAPB ≅ ΔCQD
(ii) AP = CQ
हल :
दिया है : एक समांतर चतुर्भुज ABCD में शीर्षों A व C से क्रमशः AP ⊥ BD व CQ ⊥ BD हैं।
सिद्ध करना है : (i) ΔAPB ≅ ΔCQD
(ii) AP = CQ
प्रमाण : (i) ΔAPB और ΔCQD में,
AB = CD [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएं]
∠APB = ∠CQD [प्रत्येक 90°]
∠ABP = ∠CDQ [एकांतर कोण]
∴ ΔAPB ≅ ΔCQD [कोण-कोण-भुजा सर्वांगसमता] [इति सिद्धम]
(ii) क्योंकि ΔAPB ≅ ΔCQD [प्रमाणित]
∴ AP = CQ [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग] [इति सिद्धम]
प्रश्न 11.
ΔABC और ΔDEF में, AB= DE, AB || DE, BC = EF और BC || EF है। शीर्षों A, B और C को क्रमशः शीर्षों D, E और F से जोड़ा जाता है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि :
(i) चतुर्भुज ABED एक समांतर चतुर्भुज है।
(ii) चतुर्भुज BEFC एक समांतर चतुर्भुज है।
(iii) AD || CF और AD = CF है।
(iv) चतुर्भुज ACFD एक समांतर चतुर्भुज है।
(v) AC = DF है।
(vi) ΔABC ≅ ΔDEF है।
हल :
दिया है : AABC और ADEF में, AB = DE और AB || DE तथा BC = EF व BC || EF है। शीर्षों A, B, व C को क्रमशः शीर्षों D, E व F से जोड़ा गया है।
सिद्ध करना है : (i) चतुर्भुज ABED एक समांतर चतुर्भुज है।
(ii) चतुर्भुज BEFC एक समांतर चतुर्भुज है।
(iii) AD||CF और AD = CF है।
(iv) चतुर्भुज ACFD एक समांतर चतुर्भुज है।
(v) AC = DF है।
(vi) ΔABC ≅ ΔDEF है।
प्रमाण : (i) क्योंकि चतुर्भुज ABED में,
AB = DE व AB || DE [दिया है]
∴ ABED एक समांतर चतुर्भुज है। [इति सिद्धम]
(ii) क्योंकि चतुर्भुज BEFC में,
BC = EF व BC || EF [दिया है]
∴ BEFC एक समांतर चतुर्भुज है। [इति सिद्धम]
(iii) समांतर चतुर्भुज ABED में,
AD = BE व AD || BE …(1)
समांतर चतुर्भुज BEFC में,
CF = BE व CF || BE …(2)
समीकरण (1) व (2) की तुलना से,
AD = CF व AD || CF [इति सिद्धम]
(iv) क्योंकि चतुर्भुज ACFD में,
AD = CF व AD || CF [प्रमाणित]
∴ ACFD एक समांतर चतुर्भुज है। [इति सिद्धम]
(v) समांतर चतुर्भुज ACFD में,
AC = DF …(3)
[समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएं] [इति सिद्धम]
(vi) ΔABC और ΔDEF में,
AB = DE [दिया है]
AC = DF [प्रमाणित]
BC = EF [दिया है]
∴ ΔABC ≅ ΔDEF [भुजा-भुजा-भुजा सर्वांगसमता] [इति सिद्धम]
प्रश्न 12.
ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC और AD = BC है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि :
(i) ∠A = ∠B
(ii) ∠C = ∠D
(iii) ΔABC ≅ ΔBAD
(iv) विकर्ण AC = विकर्ण BD है।
हल :
दिया है : ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC और AD = BC है।
सिद्ध करना है :
(i) ∠A = ∠B
(ii) ∠C = ∠D
(iii) ΔABC ≅ ΔBAD
(iv) विकर्ण AC = विकर्ण BD
रचना : C से CE || AD खींचिए जो AB को बढ़ाने पर E पर प्रतिच्छेद करे। AC व BD को मिलाओ।
प्रमाण : (i) CE || AD [रचना से]
AE || DC [दिया है]
∴ ADCE एक समांतर चतुर्भुज है।
अतः AD = CE [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएं]…(1)
परंतु AD = BC [दिया है]…(2)
समीकरण (1) व (2) की तुलना से,
CE = BC
⇒ ∠1 = ∠2 [समान भुजाओं के सम्मुख कोण]
अब AD || CE और AE एक तिर्यक रेखा है।
∴ ∠A + ∠2 = 180° [एक ही ओर बने अंतः कोण] …(3)
∠1 + ∠B = 180° …(4)
समीकरण (3) व (4) से
∠A + ∠2 = ∠1 + ∠B
परंतु ∠1 = ∠2 [प्रमाणित]
∴ ∠A = ∠B [इति सिद्धम]
(ii) ∠D = ∠2 [समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण]
परंतु ∠1 = ∠2 [प्रमाणित]
∴ ∠D = ∠1 ….(5)
परंतु ∠3 = ∠1 [एकांतर कोण]…(6)
समीकरण (5) व (6) से…
∠D = ∠3
या ∠D = ∠C [इति सिद्धमा
(iii) ΔABC और ΔBAD में,
AB = AB [उभयनिष्ठ]
BC = AD [दिया है]
∠ABC = ∠BAD [प्रमाणित]
∴ ΔABC ≅ ΔBAD [भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता] [इति सिद्धम]
(iv) क्योंकि ΔABC ≅ ΔBAD [प्रमाणित]
AC = BD [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग] [इति सिद्धम]