Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Solutions Chapter 5 युक्लिड के ज्यामिति का परिचय Ex 5.1 Textbook Exercise Questions and Answers.
Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 5 युक्लिड के ज्यामिति का परिचय Exercise 5.1
प्रश्न 1.
निम्नलिखित कथनों में से कौन-से कथन सत्य हैं और कौन-से कथन असत्य हैं ? अपने उत्तरों के लिए कारण दीजिए
(i) एक बिंदु से होकर केवल एक ही रेखा खींची जा सकती है।
(ii) दो भिन्न बिंदुओं से होकर जाने वाली असंख्य रेखाएँ हैं।
(iii) एक सांत रेखा दोनों ओर अनिश्चित रूप से बढ़ाई जा सकती है।
(iv) यदि दो वृत्त बराबर हैं, तो उनकी त्रिज्याएँ बराबर होती हैं।
(v) आकृति में, यदि AB = PQ और PQ = XY है, तो AB = XY होगा।
हल :
(i) यह कथन असत्य है, क्योंकि एक बिंद से होकर एक नहीं, बल्कि अनेक रेखाएँ खींची जा सकती हैं। जैसे बिंद O से दर्शाई गई हैं।
(ii) यह कथन असत्य है, क्योंकि दो बिंदुओं से होकर एक ओर केवल एक ही रेखा खींची जा सकती है, जैसे बिंदु X और Y से होती हुई केवल एक ही रेखा खींची जा सकती है।
(iii) यह कथन सत्य है, क्योंकि अभिगृहीत 2 अनुसार एक सांत रेखा (Terminated Line) को अनिश्चित रूप से बढ़ाया जा सकता है। जैसे AB को बढ़ाया हुआ दिखाया गया है।
(iv) यह कथन सत्य है, क्योंकि यदि एक वृत्त द्वारा घेरे गए क्षेत्र को दूसरे वृत्त पर अध्यारोपित किया जाए तो वे संपाती होंगे। अतः इनके केंद्र और परिसीमाएँ संपाती होंगी। इस कारण इनकी त्रिज्याएँ संपाती होंगी।
(v) यह कथन सत्य है, क्योंकि यूक्लिड के प्रथम अभिगृहीत अनुसार वे बस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर हों एक-दूसरे के बराबर होती हैं।
प्रश्न 2.
निम्नलिखित पदों में से प्रत्येक की परिभाषा दीजिए। क्या इनके लिए कुछ ऐसे पद हैं, जिन्हें परिभाषित करने की आवश्यकता है? वे क्या हैं और आप इन्हें कैसे परिभाषित कर पाएँगे ?
(i) समांतर रेखाएँ[B.S.E.H, 2018]
(ii) लंब रेखाएँ
(iii) रेखाखंड [B.S.E.H. 2018]
(iv) वृत्त की त्रिज्या
(v) वर्ग
हल :
उपरोक्त पदों को परिभाषित करने के लिए हमें निम्नलिखित पदों की आवश्यकता पड़ेगी
(a) बिंदु – एक बिंदु केवल कल्पना है जिसकी न कोई लंबाई, न कोई चौड़ाई और न कोई मोटाई होती है अर्थात एक बिंदु वह है जिसका कोई भाग नहीं होता।
(b) रेखा – एक रेखा चौड़ाई रहित लंबाई होती है। इसे दोनों ओर अनिश्चित रूप से बढ़ाया जा सकता है।
(c) तल – तल की लंबाई तथा चौड़ाई होती है। इसकी कोई मोटाई नहीं होती; जैसे कागज।
(d) किरण – एक निश्चित बिंदु से चलकर अंत तक जाने वाली रेखा किरण कहलाती है अर्थात इसका आरंभिक बिंदु होता है। परंतु अंत बिंदु नहीं होता; जैसे किरण AB दशाई गई है।
(e) कोण – एक उभयनिष्ठ बिंदु वाली दो किरणों का सम्मिलन कोण कहलाता है; जैसे \(\overline{AB}\) और \(\overline{AC}\) के बीच का क्षेत्र ∠BAC कहलाता है।
(f) वृत्त – किसी तल में किसी निश्चित बिंदु से उसी तल में दी गई समान अचर दूरी पर स्थित बिंदुओं का समुच्चय वृत्त कहलाता है। निश्चित बिंदु को वृत्त का केंद्र तथा निश्चित दूरी को वृत्त की त्रिज्या कहते हैं।
(i) समांतर रेखाएँ-वे दो रेखाएँ समांतर रेखाएँ कहलाती हैं, जब (a) वे प्रतिच्छेद न करें, (b) जब वे समतलीय हों।
आकृति में l1 तथा l2 दो समांतर रेखाएँ दर्शाई गई हैं।
(ii) लंब रेखाएँ – दो रेखाएँ AB तथा CD जो एक ही तल में स्थित हों, लंब रेखाएँ कहलाती हैं, यदि वे समकोण बनाएँ; जैसे AB ⊥ CD.
(iii) रेखाखंड – एक रेखाखंड रेखा का वह भाग होता है, जब दो विभिन्न बिंदु A तथा B एक रेखा पर दिए गए हैं, तब रेखा का भाग जिसके अंतःबिंदु A तथा B हों रेखाखंड कहलाती है।
इसे AB कहा जाता है। AB तथा BA एक ही रेखाखंड को दर्शाते हैं।
(iv) वृत्त की त्रिज्या – केंद्र से वृत्त की परिधि पर एक बिंदु की दूरी वृत्त की त्रिज्या कहलाती है।
(v) वर्ग-वह चतुर्भुज जिसकी चारों भुजाएँ बराबर हों तथा प्रत्येक कोण समकोण हो, वर्ग कहलाता है।
प्रश्न 3.
नीचे दी हुई दो अभिधारणाओं पर विचार कीजिए
(i) दो भिन्न बिंदु A और B दिए रहने पर, एक तीसरा बिंदु C ऐसा विद्यमान है, जो A और B के बीच स्थित होता है।
(ii) यहाँ कम-से-कम ऐसे तीन बिंदु विद्यमान हैं कि वे एक रेखा पर स्थित नहीं हैं।
क्या इन अभिधारणाओं में कोई अपरिभाषित शब्द हैं ? क्या ये अभिधारणाएँ अविरोधी हैं ? क्या ये यूक्लिड की अभिधारणाओं से प्राप्त होती हैं ? स्पष्ट कीजिए।
हल :
ऐसे अनेक अपरिभाषित शब्द हैं जिनकी जानकारी छात्र को होनी चाहिए। ये संगत होते हैं, क्योंकि इनमें दो अलग-अलग स्थितियों का अध्ययन किया जाता है अर्थात
(i) यदि दो बिंदु A और B दिए हुए हों, तो उनके बीच में स्थित एक बिंद होता है।
(ii) यदि A और B दिए हुए हों, तो आप एक ऐसा बिंद ले सकते हैं जो A और B से होकर जाने वाली रेखा पर स्थित नहीं होता।
ये अभिगृहीत यूक्लिड की अभिगृहीतों का अनुसरण नहीं करते। फिर भी ये अभिगृहीत 5.1 का अनुसरण करते हैं क्योंकि दो दिए विभिन्न बिंदुओं से केवल एक रेखा ही गुजर सकती है।
प्रश्न 4.
यदि दो बिंदुओं A और B के बीच एक बिंदु C ऐसा स्थित है कि AC = BC है, तो सिद्ध कीजिए कि AC = \(\frac {1}{2}\) AB है। एक आकृति खींचकर इसे स्पष्ट कीजिए। [B.S.E.H. March 2017, 2019]
हल :
यहाँ पर एक बिंदु C है जोकि दो बिंदुओं A तथा B के बीच में इस प्रकार स्थित है कि AC = BC. दोनों ओर AC जोड़ने पर,
AC + AC = AC + BC
⇒ 2AC = AB [∵ AC + CB, AB के संपाती है।]
या AC = \(\frac {1}{2}\)AB
इति सिद्धम
प्रश्न 5.
प्रश्न 4 में, C रेखाखंड AB का एक मध्य-बिंदु कहलाता है। सिद्ध कीजिए कि एक रेखाखंड का एक और केवल एक ही मध्य-बिंदु होता है।
हल :
माना AB का अन्य मध्य-बिंदु D है.
AD = DB ……..(i)
लेकिन दिया गया है C, AB का मध्य-बिंदु है।
⇒ AC = CB ……..(ii)
समीकरण (ii) में से समीकरण (i) को घटाने पर
AC – AD = CB – DB
या DC = – DC
या DC + DC = 0
या 2DC = 0
या DC = \(\frac {0}{2}\) = 0
इस प्रकार C और D संपाती बिंदु हैं।
अतः प्रत्येक रेखाखंड का एक और केवल एक ही मध्य-बिंदु होता है।
प्रश्न 6.
आकृति में, यदि AC = BD है, तो सिद्ध कीजिए कि AB = CD है। [B.S.E.H. March, 2020]
हल :
यहाँ पर दिया है
AC = BD
आकृति अनुसार
AB + BC = BC + CD
[∵ AC = AB + BC तथा BD = BC + CD]
या AB + BC – BC = CD
या AB = CD [इति सिद्धम]
प्रश्न 7.
यूक्लिड की अभिगृहीतों की सूची में दिया हुआ अभिगृहीत 5 एक सर्वव्यापी सत्य क्यों माना जाता है ? (ध्यान दीजिए कि यह प्रश्न पाँचवीं अभिधारणा से संबंधित नहीं है।)
हल :
क्योंकि यूक्लिड की अभिगृहीतों की सूची में दिया हुआ अभिगृहीत 5 ब्रह्मांड की प्रत्येक चीज के लिए सत्य है। इसलिए यह सदैव सत्य है।