Haryana State Board HBSE 9th Class Maths Solutions Chapter 8 चतुर्भुज Ex 8.2 Textbook Exercise Questions and Answers.
Haryana Board 9th Class Maths Solutions Chapter 8 चतुर्भुज Exercise 8.2
प्रश्न 1.
ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं (देखिए आकृति)। AC उसका एक विकर्ण है। दर्शाइए कि :
(i) SR || AC और SR = \(\frac {1}{2}\)AC है।
(ii) PQ = SR है।
(iii) PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।
हल :
दिया है : एक चतुर्भुज ABCD में, P, Q, R व S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD व DA के मध्य-बिंदु है। AC इसका विकर्ण है।
सिद्ध करना है : (i) SR || AC व SR = \(\frac {1}{2}\)AC (ii) PQ = SR (iii) PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।
प्रमाण : (i) ΔACD में S व R क्रमशः AD ब CD के मध्य-बिंदु हैं।
∴ SR || AC [∵ त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने बाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर व उसका आधा होता है।]
व SR = \(\frac {1}{2}\)AC …(1) [इति सिद्धम]
(ii) ΔABC में P व Q क्रमशः AB ब BC के मध्य-बिंदु हैं।
∴ PQ || AC [∵ त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर व उसका आधा होता है।]
व PQ = \(\frac {1}{2}\)AC …(2)
समीकरण (1) व (2) की तुलना से, PQ = SR [इति सिद्धम]
(ii) समीकरण (1) व (2) की तुलना से,
SR || PQ
व SR = PQ
अर्थात सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर व समांतर है।
∴ PQRS एक समांतर चतुर्भुज है। [इति सिद्धम]
प्रश्न 2.
ABCD एक समचतुर्भुज है और P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं। दर्शाइए कि चतुर्भुज PQRS एक आयत है।
हल :
दिया है : एक समचतुर्भुज ABCD में P, Q, R व S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD व DA के मध्य-बिंदु है।
सिद्ध करना है : P, Q, R व 5 को मिलाने से बना चतुर्भुज PQRS एक आयत है।
रचना : AC व BD को मिलाओ।
प्रमाण : ΔACD में S व R क्रमशः AD a CD के मध्य-बिंदु हैं।
∴ SR || AC व SR = \(\frac {1}{2}\)AC
[∵ त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने बाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर व उसका आथा होता है।]
इसी प्रकार ΔABC में P व Q क्रमशः AB व BC के मध्य-बिंदु हैं।
∴ PQ || AC व PQ = \(\frac {1}{2}\)AC ….(ii)
[∵ त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर व उसका आधा होता है।]
समीकरण (i) व (ii) की तुलना से,
∴ SR || PQ व SR = PQ
अर्थात चतुर्भुज PQRS में सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समांतर व बराबर है।
∴ PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।
PM || LO [∵ PQ ||AC प्रमाणित] …(iii)
इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते हैं ।
PL || MO ……….(iv)
समीकरण (iii) व (iv) की तुलना से,
PMOL एक समांतर चतुर्भुज है। परंतु समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
∴ ∠1 = ∠2
परंतु ∠1 = 90° [∵ समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।]
⇒ ∠2 = ∠P = 90°
∴ PQRS एक आयत है। [इति सिद्धम]
प्रश्न 3.
ABCD एक आयत है, जिसमें P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं। दर्शाइए कि चतुर्भुज PQRS एक समचतुर्भुज है।
हल :
दिया है : ABCD एक आयत है, जिसमें P, Q, R व S क्रमशः
भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं।
सिद्ध करना है : P, Q, R व S को मिलाने से बना चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है।
रचना : AC को मिलाओ।
प्रमाण : ΔADC में S व R क्रमशः AD तथा CD के मध्य-बिंदु हैं।
∴ SR || AC व SR = \(\frac {1}{2}\) AC
[∵ त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर व उसका आधा होता है]
इसी प्रकार, ΔABC में,
PQ || AC व PQ = \(\frac {1}{2}\)AC ………..(ii)
समीकरण (i) व (ii) की तुलना से,
SR || PQ व SR = PQ
क्योंकि चतुर्भुज PQRS की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर व समांतर है।
∴ PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।
अब ΔSAP तथा ΔQBP में,
SA = QB [समान भुजाओं के आधे खंड]
AP = PB [दिया है]
∠SAP = ∠QBP [प्रत्येक 90°]
∴ ΔSAP ≅ ΔQBP [भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता]
⇒ SP = PQ [सांगसम त्रिभुजों के संगत भाग]
क्योंकि समांतर चतुर्भुज PQRS की दो आसन्न भुजाएं SP तथा PQ समान हैं।
∴ PQRS एक समचतुर्भुज है। [इति सिद्धम]
प्रश्न 4.
ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC है। साथ ही, BD एक विकर्ण है और E भुजा AD का मध्य-बिंदु है। Eसे होकर एक रेखा AB के समांतर खींची गई है, जो BC को F पर प्रतिच्छेद करती है (देखिए आकृति) । दर्शाइए कि F भुजा BC का मध्य-बिंदु है।
हल :
दिया है : समलंब ABCD में AB || DC तथा E, भुजा AD का मध्य-बिंदु है व EF || AB है। BD समलंब का विकर्ण है।
सिद्ध करना है : F, BC का मध्य-बिंदु है।
रचना : माना EF विकर्ण BD को G पर काटती है।
प्रमाण : ΔABD में,
E, AD का मध्य-बिंदु है तथा EG || AB (दिया है)
∴ G, BD का मध्य-बिंदु है।
अब, EF || AB [दिया है]
AB || CD [दिया है]
∴ EF || CD
ΔBCD में,
G, BD का मध्य-बिंदु है। [प्रमाणित]
GF || CD [प्रमाणित]
∴ F, BC का मध्य-बिंदु है। [इति सिद्धम]
प्रश्न 5.
एक समांतर चतुर्भुज ABCD में E और F क्रमशः भुजाओं AB और CD के मध्य-बिंदु है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि रेखाखंड AF और EC विकर्ण BD को समत्रिभाजित करते हैं।
हल :
दिया है। समांतर चतुर्भुज ABCD में E व F क्रमशः भुजाओं AB तथा CD के मध्य-बिंदु हैं। AF व CE रेखाखंड विकर्ण BD को क्रमशः P व Q पर प्रतिच्छेदित करते हैं।
सिद्ध करना है : BQ = QP = PD
प्रमाण : समांतर चतुर्भुज ABCD में,
AB = CD [सम्मुख भुजाएं]
या \(\frac {1}{2}\)AB = \(\frac {1}{2}\)CD
⇒ AE = FC व AE || FC
अतः AECF एक समांतर चतुर्भुज है।
⇒ AF || CE [दिया है]
अब ΔCDQ में, F, CD का मध्य-बिंदु है।
तथा PF || CQ [प्रमाणित]
∴ DP = PQ ……..(i)
इसी प्रकार, ΔABP में,
PQ = BQ
समीकरण (i) व (ii) की तुलना से,
BQ = QP = PD [इति सिद्धम]
प्रश्न 6.
दर्शाइए कि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
हल :
दिया है : एक चतुर्भुज ABCD में, P, Q, R और S क्रमशः भुजा AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं। PR और QS एक-दूसरे को O प्रतिच्छेदित करते हैं।
सिद्ध करना है : OP = OR, OQ = OS
रचना : PQ, QR, RS, SP, AC और BD को मिलाया।
प्रमाण : ΔABC में, P और Q क्रमशः AB और BC के मध्य-बिंदु हैं।
∴ PQ || AC व PQ = \(\frac {1}{2}\)AC
[∵ त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर व उसका आधा होता है।]
इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते हैं कि,
ΔADC में,
∴ RS || AC व RS = \(\frac {1}{2}\)AC …………..(ii)
समीकरण (i) व (ii) की तुलना में,
∴ PQ || SR व PQ = SR
अतः चतुर्भुज PQRS की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समांतर और बराबर है।
∴ चतुर्भुज PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।
क्योंकि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
∴ समांतर चतुर्भुज PQRS के विकर्ण PR और QS एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
⇒ OP = OR व OQ = OS [इति सिद्धम]
प्रश्न 7.
ABC एक त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है। कर्ण AB के मध्य-बिंद M से होकर BC के समांतर खींची गई रेखा AC को D पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि :
(i) D भुजा AC का मध्य-बिंदु है।
(ii) MD ⊥ AC है।
(iii) CM = MA = \(\frac {1}{2}\)AB है।
हल :
दिया है : त्रिभुज ABC में, ∠C = 90°। कर्ण AB के मध्य-बिंदु M से होकर BC || MD खींची गई है जो रेखा AC को D पर प्रतिच्छेदित करती है।
सिद्ध करना है : (i) D भुजा AC का मध्य-बिंदु है।
(ii) MD ⊥ AC
(iii) CM = MA = \(\frac {1}{2}\)AB
रचना : MC को मिलाओ।
प्रमाण : (i) ΔABC में,
M, AB का मध्य-बिंदु है।
तथा MD || BC (दिया है)
∴ D, AC का मध्य-बिंदु है। [इति सिद्धम]
(ii) MD || BC [दिया है]
∴ ∠1 = ∠ACB [संगत कोण]
परंतु ∠ACB = 90° [दिया है]
⇒ ∠1 = 90°
∴ MD ⊥ AC [इति सिद्धम]
(iii) अब ∠1 + ∠2 = 180° [रैखिक युग्म]
या 90° + ∠2 = 180°
या ∠2 = 180° – 90° = 90°
ΔADM तथा ΔCDM में,
AD = DC [∵ D, AC का मध्य-बिंदु प्रमाणित]
DM = DM [उभयनिष्ठ]
∠1 = ∠2 [प्रत्येक 90°]
∴ ΔADM ≅ ΔCDM [भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता]
∴ CM = MA [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग] …(i)
परंतु MA = \(\frac {1}{2}\)AB [दिया है]…(ii)
समीकरण (i) व (ii) की तुलना से,
CM = MA = \(\frac {1}{2}\)AB [इति सिद्धम]