Class 10

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Exercise 14.1

प्रश्न 1.
विद्यार्थियों के एक समूह द्वारा अपने पर्यावरण संचेतना अभियान के अंतर्गत एक सर्वेक्षण किया गया, जिसमें उन्होंने एक मोहल्ले के 20 घरों में लगे हुए पौधों से संबंधित निम्नलिखित आँकड़े एकत्रित किए। प्रति घर माध्य पौधों की संख्या – ज्ञात कीजिए।

माध्य ज्ञात करने के लिए आपने किस विधि का प्रयोग किया और क्यों?
हल :

अतः माध्य \((\bar{x})=\frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}=\frac{162}{20}\) = 8.1
यहाँ पर माध्य ज्ञात करने के लिए हमने प्रत्यक्ष विधि का प्रयोग किया है क्योंकि x_i व f_i के संख्यात्मक मान छोटे हैं।

प्रश्न 2.
किसी फैक्टरी के 50 श्रमिकों की दैनिक मजदूरी के निम्नलिखित बंटन पर विचार कीजिए-

एक उपयुक्त विधि का प्रयोग करते हुए, इस फैक्टरी के श्रमिकों की माध्य दैनिक मजदूरी ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर माना कल्पित माध्य (a) = 150 .
तथा वर्ग-माप (h) = 20 तब u_i= \(\frac{x_{i}-150}{20}\)

अब माध्य \((\bar{x})=a+\left(\frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}\right) \times h\)
= 150 + \(\left(\frac{-12}{50}\right)\) x 20
= 150 – 4.8
= 145.2
अतः माध्य दैनिक मजदूरी = 145.20 रु०

प्रश्न 3.
निम्नलिखित बंटन एक मोहल्ले के बच्चों के दैनिक जेबखर्च दर्शाता है। माध्य जेबखर्च 18 रु० है। लुप्त बारंबारता f ज्ञात कीजिए

हल :
यहाँ पर माना कल्पित माध्य (a) = 18
तथा वर्ग-माप (h) = 2 तो u_i = \(\frac{x_{i}-18}{2}\)

अब माध्य \((\bar{x})=a+\left(\frac{\sum f_{i} u_{i}}{\sum f_{i}}\right) \times h\)
18 = 18 + \(\left(\frac{f-20}{f+44}\right)\) x 2
\(\frac{2 f-40}{f+44}\) = 18 – 18
2f – 40 = 0 x (f + 44)
2f = 40
f = \(\frac{40}{2}\)
= 20
लुप्त बारंबारता (f) = 20

प्रश्न 4.
किसी अस्पताल में, एक डॉक्टर द्वारा 30 महिलाओं की जाँच की गई और उनके हृदय स्पंदन (beat) की प्रति मिनट संख्या नोट करके नीचे दर्शाए अनुसार संक्षिप्त रूप में लिखी गई। एक उपयुक्त विधि चुनते हुए, इन महिलाओं के हृदय स्पंदन की प्रति मिनट माध्य संख्या ज्ञात कीजिए-

हल :
यहाँ पर माना कल्पित माध्य (a) = 75.5
तथा वर्ग-माप (h) = 3 तो u_i = \(\frac{x_{i}-75.5}{3}\)

अब माध्य \((\bar{x})=a+\left(\frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}\right) \times h\) = 75.5 + \(\frac{4}{30}\) x 3
= 75.5 + 0.4 = 75.9
अतः महिलाओं की माध्य हृदय स्पंदन गति 75.9 प्रति मिनट है।

प्रश्न 5.
किसी फुटकर बाज़ार में, फल विक्रेता पेटियों में रखे आम बेच रहे थे। इन पेटियों में आमों की संख्याएँ भिन्न-भिन्न थीं। पेटियों की संख्या के अनुसार, आमों का बंटन निम्नलिखित था-

एक पेटी में रखे आमों की माध्य संख्या ज्ञात कीजिए। आपने माध्य ज्ञात करने की किस विधि का प्रयोग किया है?
हल :
यहाँ पर माना कल्पित माध्य (a) = 57
तथा वर्ग-माप (h) = 3
u_i = \(\frac{x_{i}-a}{h}=\frac{x_{i}-57}{3}\)

अब माध्य \((\bar{x})=a+\left(\frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}\right) \times h=57+\frac{25}{400} \times 3\)
= 57 + 0.1875 = 57.1875 ≅ 57.19
अतः एक पेटी में रखे आमों की माध्य संख्या = 57.19
हमने माध्य ज्ञात करने के लिए पग-विचलन विधि का उपयोग किया है।

प्रश्न 6.
निम्नलिखित सारणी किसी मोहल्ले के 25 परिवारों में भोजन पर हुए दैनिक व्यय को दर्शाती है-

एक उपयुक्त विधि द्वारा भोजन पर हुआ माध्य व्यय ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर माना कल्पित माध्य (a) = 225
तथा वर्ग-माप (h) = 50
u_i = \(\frac{x_{i}-a}{h}=\frac{x_{i}-225}{50}\)

अब माध्य \((\bar{x})\) = a + \(\left(\frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}\right)\) x h = 225 + \(\frac{-7}{25}\) x 50
= 225 – 14 = 211
अतः भोजन पर हुआ माध्य दैनिक व्यय = 211 रु०

प्रश्न 7.
वायु में सल्फर डाई-ऑक्साइड (SO₂) की सांद्रता (भाग प्रति मिलियन में) को ज्ञात करने के लिए, एक नगर के 30 मोहल्लों से आँकड़े एकत्रित किए गए, जिन्हें नीचे प्रस्तुत किया गया है-

वायु में SO₂ की सांद्रता का माध्य ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर प्रत्यक्ष विधि द्वारा माध्य ज्ञात करेंगे-

अब माध्य \((\bar{x})=\frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}\)
= \(\frac{2.96}{30}\) = 0.099 ppm
अतः वायु में SO₂ की सांद्रता का माध्य = 0.099 ppm

प्रश्न 8.
किसी कक्षा अध्यापिका ने पूरे सत्र के लिए अपनी कक्षा के 40 विद्यार्थियों की अनुपस्थिति निम्नलिखित रूप में रिकॉर्ड (record) की। एक विद्यार्थी जितने दिन अनुपस्थित रहा उनका माध्य ज्ञात कीजिए-

हल :
यहाँ पर प्रत्यक्ष विधि द्वारा माध्य ज्ञात करेंगे-

अब माध्य \((\bar{x})=\frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}=\frac{499}{40}\) = 12.475 ≅ 12.48
अतः माध्य अनुपस्थिति = 12.48 दिन

प्रश्न 9.
निम्नलिखित सारणी 35 नगरों की साक्षरता दर (प्रतिशत में) दर्शाती है। माध्य साक्षरता दर ज्ञात कीजिए-

हल :
यहाँ पर माना कल्पित माध्य (a) = 70
[H.B.S.E. March, 2018 (Set-D)]
तथा वर्ग-माप (h) = 10
u_i = \(\frac{x_{i}-a}{h}=\frac{x_{i}-70}{10}\)

अब माध्य \((\bar{x})=a+\left(\frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}\right) \times h\)
= 70 + \(\frac{-2}{35}\) x 10
= 70 -0.57 = 69.43
अतः माध्य साक्षरता दर = 69.43%

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Ex 13.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Exercise 13.5

प्रश्न 1.
व्यास 3mm वाले ताँबे के एक तार को 12cm लंबे और 10cm व्यास वाले एक बेलन पर इस प्रकार लपेटा जाता है कि वह बेलन के वक्र पृष्ठ को पूर्णतया ढक लेता है। तार की लंबाई और द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, यह मानते हुए कि ताँबे का घनत्व 8.88 g प्रति cm³ है।
(π = 3.14 लीजिए)
हल :
यहाँ पर, प्रश्नानुसार स्पष्ट होता है कि बेलन पर तार को एक बार लपेट देने पर उसकी लंबाई का 3mm (0.3cm) भाग ढक जाता है।
बेलन की पूरी लंबाई ढकने के लिए आवश्यक लपेटों की संख्या =
= \(\frac{12}{0.3}\) = 40
क्योंकि एक लपेट में तार की लंबाई बेलन के सिरे की परिधि के बराबर है
अब बेलन की त्रिज्या (r) = \(\frac{10}{2}\)cm = 5cm
= 2πr = 2 x 3.14 x 5cm = 31.4 cm
40 लपेटों में लगी तार की लंबाई (h) = 40 x 31.4 = 1256 cm
ताँबे की तार की त्रिज्या (r₁) = \(\frac{3}{2}\)mm = \(\frac{3}{20}\) cm
ताँबे की तार का आयतन = πr₁²h
= 3.14 x \(\frac{3}{20}\) x \(\frac{3}{20}\) x 1256 cm³
= 88.74 cm³
1 cm³ ताँबे की तार का द्रव्यमान = 8.88g
88.74 cm³ ताँबे की तार का द्रव्यमान = 88.74 x 8.88 g=788 g (लगभग)

प्रश्न 2.
एक समकोण त्रिभुज, जिसकी भुजाएँ 3cm और 4cm हैं (कर्ण के अतिरिक्त), को उसके कर्ण के परितः घुमाया जाता है। इस प्रकार प्राप्त द्वि-शंकु (double cone) के आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(π का मान जो भी उपयुक्त लगे, प्रयोग कीजिए।)
हल :

माना
ΔABC, ∠A पर समकोण है
जिसमें
AB = 3 cm
AC = 4 cm
कर्ण (BC) = \(\sqrt{(3)^{2}+(4)^{2}}\)
\(\sqrt{9+16}=\sqrt{25}\) = 5 cm
समकोण त्रिभुज को कर्ण BC के गिर्द घुमाने पर बने द्विशंकु के उभयनिष्ठ आधार की त्रिज्या AO या A’O है।
शंकु BAA’ की ऊँचाई BO तथा तिर्यक ऊँचाई 3 cm है।
शंकु CAA’ की ऊँचाई CO तथा तिर्यक ऊँचाई 4 cm है।
समकोण त्रिभुजों AOB तथा BAC में,
∠B= ∠B (उभयनिष्ठ)
∠BOA = ∠BAC = 90°
इसलिए, ΔAOB तथा ΔCAB समरूप हैं।


इसी प्रकार
द्विशंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल = शंकु (BAA’ + CAA’) का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= π(AO) (AB) + π(AO)(AC)
= \(\frac{22}{7} \times \frac{12}{5}\) [3 +4] cm
= \(\frac{22}{7} \times \frac{12}{5}\) x 7 cm² = \(\frac{264}{5}\) cm² = 52.8cm²

प्रश्न 3.
एक टंकी, जिसके आंतरिक मापन 150cm x 120cm x 110cm हैं, में 129600 cm³ पानी है। इस पानी में कुछ छिद्र वाली ईंटें तब तक डाली जाती हैं, जब तक कि टंकी पूरी ऊपर तक भर न जाए। प्रत्येक ईंट अपने आयतन का \(\frac{1}{17}\) पानी सोख लेती है। यदि प्रत्येक ईंट की माप 22.5cm x 7.5cm x 6.5cm हैं, तो टंकी में कुल कितनी ईंटें डाली जा सकती हैं, ताकि उसमें से पानी बाहर न बहे?
हल :
यहाँ पर,
दी गई टंकी का आयतन = 150 x 120 x 110 cm³
= 1980000 cm³
दी गई टंकी में उपस्थित पानी का आयतन = 129600 cm³
दी गई प्रत्येक ईंट का आयतन = 22.5 x 7.5 x 6.5 cm³
= 1096.875 cm³
टंकी में डाली जा सकने वाली ईंटों की संख्या = n
माना ईंटों द्वारा सोखे जाने वाले पानी का आयतन = nx + x 1096.875 cm³
= 64.522 n cm³
टंकी में शेष बचे पानी का आयतन = [129600 – 64.522 n] cm³
प्रश्नानुसार
टंकी में शेष बचे पानी का आयतन + n ईंटों का आयतन = टंकी का आयतन
[129600 – 64.522 n] +1096.875 n = 1980000
[1096.875-64.522]n = 1980000 – 129600
1032.353n = 1850400
n = \(\frac{1850400}{1032.353}\)= 1792.41 – missing 1792
अतः आवश्यक ईंटों की संख्या = 1792

प्रश्न 4.
किसी महीने के 15 दिनों में, एक नदी की घाटी में 10 cm वर्षा हुई। यदि इस घाटी का क्षेत्रफल 7280km2 है, तो दर्शाइए कि कुल वर्षा लगभग तीन नदियों के सामान्य पानी के योग के समतुल्य थी, जबकि प्रत्येक नदी 1072 km लंबी, 75m चौड़ी और 3 m गहरी है।
हल :
यहाँ पर, दी गई घाटी का क्षेत्रफल = 7280 km²
= 7280 x 1000 x 1000 m² = 7280000000 m²
घाटी में 15 दिनों में हुई वर्षा से ऊँचाई (h)= 10cm = \(\frac{10}{100} m=\frac{1}{10} m\)
घाटी में हुई वर्षा का कुल आयतन = क्षेत्रफल – ऊँचाई
= 7280000000 x \(\frac{1}{10}\) m³ = 728000000 m³
दी गई प्रत्येक नदी की लंबाई (l) = 1072 km = 1072000 m
दी गई प्रत्येक नदी की चौड़ाई (b) = 75m
दी गई प्रत्येक नदी की गहराई (h) = 3m
दी गई प्रत्येक नदी का आयतन = 1072000 x 75 x 3 m³
= 241200000 m³
तीनों नदियों में समा सकने वाले जल का आयतन = 3 x 241200000 m³
= 723600000 m³
अतः घाटी में हुई वर्षा का आयतन तीनों नदियों में समा सकने वाले जल के आयतन के लगभग बराबर है।

प्रश्न 5.
टीन की बनी हुई एक तेल की कुप्पी 10cm लंबे एक बेलन में एक शंकु के छिन्नक को जोड़ने से बनी है। यदि इसकी कुल ऊँचाई 22cm है, बेलनाकार भाग का व्यास 8cm है और कुप्पी के ऊपरी सिरे का व्यास 18cm है, तो इसके बनाने में लगी टीन की चादर का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (देखिए संलग्न आकृति।)
हल :

यहाँ पर,
कुप्पी के बेलनाकार भाग का व्यास = 8 cm
कुप्पी के बेलनाकार भाग की त्रिज्या (r₁) = \(\frac{8}{2}\) = 4cm
कुप्पी के बेलनाकार भाग की ऊँचाई (h₁) = 10 cm
कुप्पी के बेलनाकार भाग का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 πr₁h₁
= 2 x \(\frac{22}{7}\) x 4 x 10 cm²
= \(\frac{1760}{7}\) cm₂
कुप्पी के शंकु रूपी छिन्नक वाले भाग के लिए,
r₁ = \(\) = 9 cm
r₂ = \(\) = 4 cm
h₂ = 22 – 10 = 12 cm

पृष्ठीय क्षेत्रफल = π(r₁ + r₂)l
= \(\frac{22}{7}\) (9 + 4) x 13 cm² = \(\frac{22}{7}\) x 13 x 13 cm²
= \(\frac{3718}{7}\) cm²
अतः कीप को बनाने में लगी टीन की चादर का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
=\(\left(\frac{1760}{7}+\frac{3718}{7}\right) \mathrm{cm}^{2}=\frac{5478}{7}\) cm²
= 782,5\(\frac{4}{7}\) cm²

प्रश्न 6.
शंकु के एक छिन्नक के लिए, पूर्व स्पष्ट किए संकेतों का प्रयोग करते हुए, वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल के निम्न सूत्रों को सिद्ध कीजिए,
(i) वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = π(r₁ +r₂)l
(ii) संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\pi\left(r_{1}+r_{2}\right) l+\pi r_{1}^{2}+\pi r_{2}^{2}\)
हल :

माना AB B₁A₁ छिन्नक की ऊँचाई h, तिर्यक ऊँचाई । तथा वृत्ताकार आधारों की त्रिज्याएँ r₁ व r₂ हैं।
(जहाँ r₁ > r₂)
माना शंकु VAB में, तिर्यक ऊँचाई (VA) = l₁
ऊँचाई (VO) = h₁
तो शंकु VA₁B₁ में,
तिर्यक ऊँचाई (VA₁) = l₁ – l
ऊँचाई (VO₁) = h₁ – h
क्योंकि समकोण ΔVOA व ΔVO₁A₁ समरूप हैं।
πr₁l₁ – πr₂(l₁ – l)

= π(r₁ +r₂)l (इति सिद्धम्)
(i) छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = (शंकु VAB – शंकु VA₁B₁)का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल


(ii) छिन्नक का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + (नीचे वाले वृत्ताकार आधार + ऊपरी वृत्ताकार शीष) का क्षेत्रफल = \(\pi\left(r_{1}+r_{2}\right) l+\pi r_{1}^{2}+\pi r_{2}^{2}\) (इति सिद्धम्)

प्रश्न 7.
शंकु के एक छिन्नक के लिए, पूर्व स्पष्ट किए संकेतों का प्रयोग करते हुए, आयतन का निम्न सूत्र सिद्ध कीजिए, आयतन = \(\frac{1}{3} \pi h\left[r_{1}^{2}+r_{1} r_{2}+r_{2}^{2}\right]\)
हल :
माना ABB₁A₁ छिन्नक की ऊँचाई h, तिर्यक ऊँचाई । तथा वृत्ताकार आधारों की त्रिज्याएँ r₁ व r₂ हैं
(जहाँ r₁ > ₂ )।
माना शंकु VAB में, तिर्यक ऊँचाई (VA) = l₁
ऊँचाई (VO) = h₁
तो शंकु VA₁B₁ में,
तिर्यक ऊँचाई (VA₁) = l₁ – l
ऊँचाई (VO₁) = h₁ – h
क्योंकि समकोण ΔVOA व ΔVO₁A₁ समरूप हैं।

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 4 Quadratic Equations Ex 4.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 4 Quadratic Equations Ex 4.3

Question 1.
Find the roots of the following quadratic equations, if they exist, by the method of completing the squsire :
(i) 2x² – 7x + 3 = 0
(ii) 2x² + x – 4 = 0
(iii) 4x² + 4√3x + 3 = 0
(iv) 2x² + x + 4 = 0
Solution :
(i) The given equation is :
2x² – 7x + 3 = 0
⇒ x² – \(\frac{7}{2}\)x + \(\frac{3}{2}\) = 0
[Dividing throughout by 2]
⇒ x² – \(\frac{7}{2}\)x = – \(\frac{3}{2}\)
⇒ x² \(\frac{7}{2}\)x + (\(\frac{7}{4}\))² = – \(\frac{3}{2}\) + (\(\frac{7}{4}\))²
[Adding (\(\frac{1}{2}\) coeff. of x)² of both sides]

(ii) The given equation is:
2x² + x – 4 = 0
x² + \(\frac{x}{2}\) – 2 = 0
[Dividing throughout by 2]
x² + \(\frac{x}{2}\) = 2

Hence, the roots of the equation are \(\frac{-1+\sqrt{33}}{4}\) and \(\frac{-1-\sqrt{33}}{4}\).

(iii) The given equation is :
4x² + 4√3x + 3 = 0
⇒ x² + √3x + \(\frac{3}{4}\) = 0
[Dividing throughout by 4]
x² + √3x = – \(\frac{3}{4}\)
[Adding (\(\frac{1}{2}\) coeff. of x)² of both side]
(x + \(\frac{\sqrt{3}}{2}\))² = \(-\frac{3}{4}+\frac{3}{4}\)
(x + \(\frac{\sqrt{3}}{2}\))² = 0
∴ The roots of the equation exist.
∴ (x + \(\frac{\sqrt{3}}{2}\))² = 0
x = – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Hence, the roots of the equation are – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) and – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

(iv) The given equation is :
2x² + x + 4 = 0
⇒ x² + \(\frac{x}{2}\) + 2 = 0
[Dividing throughout by 2]
x² + \(\frac{x}{2}\) = – 2
\(x^2+\frac{x}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^2=-2+\left(\frac{1}{4}\right)^2\)
[Adding (\(\frac{1}{2}\) coeff. of x)² of both sides]
\(\left(x+\frac{1}{4}\right)^2=-2+\frac{1}{16}\)
\(\left(x+\frac{1}{4}\right)^2=\frac{-32+1}{16}\)
\(\left(x+\frac{1}{4}\right)^2=\frac{-31}{16}\) < 0
∴ The roots of the equation do not exist.

Question 2.
Find the roots of the quadratic equations given in question 1 above by applying the quadratic formula.
Solution :
(i) The given equation is :
2x² – 7x + 3 = 0
Here, a = 2, b = – 7, c = 3
∴ D = b² – 4ac
⇒ D = (- 7)² – 4 × 2 × 3
⇒ D = 49 – 24
⇒ D= 25
D > 0
∴ The equation has real roots.

(ii) The given equation is 2x² + x – 4 = 0
Here, a = 2, b = 1, c = – 4
∴ D = b² – 4ac
⇒ D = (1)² – 4 × 2 × (- 4)
⇒ D = 1 + 32
⇒ D = 33
∵ D > 0
∴ The equation has real roots.

Hence, the roots of the equation are \(\frac{-1+\sqrt{33}}{4}\) and \(\frac{-1-\sqrt{33}}{4}\).

(iii) The given equation is :
4x² + 4√3 + 3 = 0
Here, a = 4, b = 4√3 , c = 3
∴ D = b² – 4ac
⇒ D = (4√3)² – 4 × 4 × 3
⇒ D = 48 – 48
∵ D = 0
∴ The equation has real roots.
∴ x = \(\frac{-b \pm \sqrt{\mathrm{D}}}{2 a}\)
x = \(\frac{-4 \sqrt{3} \pm 0}{2 \times 4}\)
x = \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Hence, the roots of the equation are \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) and \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\).

(iv) The given equation is :
2x² + x + 4 = 0
Here, a = 2, b = 1, c = 4
D = b² – 4ac
⇒ D= (1)² – 4 × 2 × 4
⇒ D = 1 – 32
⇒ D = – 31
∵ D < 0
∴ Roots of the equation do not exist.
Hence, the equation has no real roots.

Question 3.
Find the roots of the following equations:
(i) x – \(\frac{1}{x}\) = 3, x ≠ 0
(ii) \(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-7}=\frac{11}{30}\), x ≠ – 4, 7
Solution:
(i) The given equation is
x – \(\frac{1}{x}\) = 3
Multiplying both sides by x, we get
⇒ x² – 1 = 3x
⇒ x² – 3x – 1 = 0
Here, a = 1, b = – 3, c = – 1
∴ D = b² – 4ac
D = (- 3)² – 4 × 1 × (- 1)
D = 9 + 4
D = 13
∵ D > 0
∴ The equation has real roots.
x = \(\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2 a}\)
x = \(\frac{3 \pm \sqrt{13}}{2 \times 1}\)
x = \(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\) or x = \(\frac{3-\sqrt{13}}{2}\)
Hence, the roots of the equation are \(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\) and \(\frac{3-\sqrt{13}}{2}\).

(ii) The given equation is:
\(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-7}=\frac{11}{30}\)
\(\frac{x-7-x-4}{(x+4)(x-7)}=\frac{11}{30}\)
\(\frac{-11}{x^2-3 x-28}=\frac{11}{30}\)
11x² – 33x – 308 = – 330
11x² – 33x – 308 + 330 = 0
11x² – 33x + 220 = 0
x² – 3x + 2 = 0
Here, a = 1, b = – 3, c = 2
∴ D = b² – 4ac
D = (- 3)² – 4 × 1 × 2
D = 9 – 8
D = 1
∵ D > 0
∴ The equation has real roots.

x = 2 or x = 1
Hence, the roots of the equation are 2 and 1.

Question 4.
The sum of the reciprocals of Rehman’s ages (in years) 3 years ago and 5 years from now is Find his present age.
Solution :
Let the present age of Rehman be x years
3 years ago Rehmans age = (x – 3) years
After 5 years Rehxnan’s age = (x + 5) years
According to question,
\(\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{3}\)
\(\frac{x+5+x-3}{(x-3)(x+5)}=\frac{1}{3}\)
\(\frac{2 x+2}{x^2+2 x-15}=\frac{1}{3}\)
= x² + 2x – 15 = 6x + 6
x² + 2x – 15 – 6x – 6 = 0
x² – 4x – 21 = 0
Here, a = 1, b = – 4, c = – 21.
∴ D = b² – 4ac
D = (- 4)² – 4 × 1 × (- 21)
D = 16 + 84
D = 100
∵ D > 0
Then, roots of the equation are given by
∴ x = \(\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2 a}\)
x = \(\frac{4 \pm \sqrt{100}}{2 \times 1}\)
x = \(\frac{4 \pm \{10}}{2 }\)
⇒ x = 2 ± 5
⇒ x = 2 + 5 or x = 2 – 5
⇒ x = 7 or x = – 3.
Since, x is the present age ofRehman. It cannot be negative.
Therefore, x = 7.
Hence, the present age of Rehman = 7 years.

Question 5.
In a class test, the sum of Shefali’s marks in Mathematics and English is 30. Had she got 2 marks more in Mathematics and 3 marks less in English, the product of their marks would have been 210. Find her marks in the two subject?.
Solution:
Let the marks obtained by Shefali in Mathematics be x
Then, marks obtained by Shefali in English = 30 – x .
According to question,
(x + 2)(30 – x – 3) = 210
⇒ (x + 2) (27 – x)= 210
⇒ 27x – x² + 54x – 2x = 210
⇒ – x² + 25x + 54 – 210 = 0
⇒ – x² + 25x – 156 = 0
⇒ x² – 25x + 156 = 0
Here, a = 1, 6 = – 25, c = 156
∴ D =b² – 4ac
⇒ D = (- 25)² – 4 x 1 x 156
⇒ D= 625 – 624
⇒ D = 1
∵ D > 0
Then roots of the equation are given by

Hence, Marks in Mathematics = 12, Marks in English = 30 – 12 = 18.
Or Marks in Mathematics = 13,
Marks in English 30 – 13 = 17.

Question 6.
The diagonal of a rectangular field is 60 m more than the shorter side. If the longer side is 30 m more than the shorter side. Find the sides of the field.
Solution :
Let the shorter side of the rectangular field be x m.
Then diagonal = (x + 60) m
and longer side = (x + 30) m
In a right triangle ABC.
By Pythagoras theorem, we get
(x + 60)² = (x + 30)² + x²
x² + 120x + 3600 = x² + 60x + 900 + x²
x² + 120x + 3600 – 2x² – 60x – 900 = 0
– x² + 60x+ 2700 = 0
x² – 60x – 2700 = 0

Here, a = 1, b = – 60, c = – 2700
⇒ D = b² – 4oc
⇒ D = (- 60)² – 4 × 1 × (- 2700)
⇒ D = 3600 + 10800
⇒ D = 14400
Then, the roots of the equation are given by

Since, x is the shorter side of a rectangular field. It cannot be negative.
Therefore, x = 90
Hence, the sides of the rectangular field are 90 m and (90 + 30)m = 120 m.

Question 7.
The difference of squares of two numbers is 180. The square of the smaller number is 8 times the larger number. Find the two numbers.
Solution :
Let the larger number be x and smaller number be y.
Then, according to question,
x² – y² = 180 ……………….(1)
and y² = 8x …………………(2)
Substituting the value of y² in equation (1), we get
x² – 8x = 180
⇒ x² – 8x – 180 = 0
Here, a = 1, b = – 8, c = – 180
D = b² – 4ac
⇒ D = (- 8)² – 4 × 1 × (- 180)
⇒ D = 64 + 720
⇒ D = 784
∵ D > 0
Then, the roots of the equation are given by
x = \(\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2 a}\)
x = \(\frac{8 \pm \sqrt{784}}{2 \times 1}\)
x = \(\frac{8 \pm 28}{2}\)
⇒ x = – 4 ± 14
⇒ x = 4 + 14 or x = 4 – 14
⇒ x = 18 or x = – 10
Substituting the values of x in equation (2), we get
If x = 18,
y² = 8 x 18
⇒ y² = 144
⇒ y = ± 12
If x = – 10,
y² = 8 x -10
⇒ y² = – 80
⇒ y = √-80
We cannot find the value of √-80 .
Hence, the two numbers are 18, 12 or 18, – 12.

Question 8.
A train travels 360 km at a uniform speed. If the speed had been 5 km/h more, it would have taken 1 hour less for same journey. Find the speed of the train.
Solution :
Let the speed of train be x km/h.
Time taken by the train = \(\frac{360}{x}\) hours
[Time = \(\frac{\text { Distance }}{\text { Speed }}\)]
If the speed of the train is 5 km/h more
Then new speed of the train = (x + 5) km/h
and time taken by the train = \(\frac{360}{x+5}\) hours
According to question,
\(\frac{360}{x}-\frac{360}{x+5}\) = 1
⇒ \(\frac{360(x+5)-360 x}{x(x+5)}\) = 1
⇒ \(\frac{360 x+1800-360 x}{x^2+5 x}\) = 1
⇒ \(\frac{1800}{x^2+5 x}\) = 1
⇒ x² + 5x = 1800
⇒ x² + 5x – 1800 = 0
Here, a = 1, b = 5, c = – 1800
∴ D = b² – 4ac
⇒ D = (5)² – 4 × 1 × (- 1800)
⇒ D = 25 + 7200
⇒ D = 7225
∵ D > 0
Then, the roots of the equation are given by

Since x is the speed of a train. It cannot be negative.
Therefore, x = 40.
Hence, the speed of train = 40 km/h.

Question 9.
Two water taps together can fill a tank in 9\(\frac{3}{8}\) hours. The tap of larger diameter takes 10 hours less than the smaller one to fill the tank separately. Find the time in which each tap can separately fill the tank.
Solution :
Let time taken by smaller tap be x hours
and time taken by larger tap be (x -10) hours.
Time taken by both taps together be 9\(\frac{3}{8}\) hours
The portion of tank filled by smaller tap in 1 hour = \(\frac{1}{x}\)
The portion of tank filled by larger tap in 1 hour = \(\frac{1}{x-10}\)
The portion of tank filled by both taps together in 1 hour = \(\frac{1}{9 \frac{3}{8}}\)
According to question,
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{x-10}=\frac{1}{9 \frac{3}{8}}\)
\(\frac{x-10+x}{x(x-10)}=\frac{1}{\frac{75}{8}}\)
\(\frac{2 x-10}{x^2-10 x}=\frac{8}{75}\)
⇒ 8x² – 80x = 150x – 750
⇒ 8x² – 80x – 150x + 750 = 0
⇒ 8x² – 230x + 750 = 0
Here, a = 8, b = – 230, c = 750
∴ D = b² – 4ac
⇒ D = (- 230)² – 4 × 8 × 750
⇒ D = 52900 – 24000
D = 28900
D > 0
Then, the roots of the equation are given by

We reject x = \(\frac{15}{4}\)
Therefore, x = 25
Hence, the smaller tap takes time = 25 hours
And the larger tap takes time = 25 – 10 = 15 hours.

Question 10.
An express train takes 1 hour less than a passenger train to travel 132 km between Mysore and Bangalore (Without taking into consideration the time they stop at intermediate stations). If the average speed of the express train is 11 km)h more than that of the passenger train. Find the average speed of the two trains.
Solution:
Let the average speed of passenger train be x km/h.
Then the average speed of express train = (x + 11) km/h
Time taken by passenger train to cover 132 = 132 hours
[∵ Time = Distance/ Speed]
Time taken by express train to cover 132 km = \(\frac{132}{x+11}\) hours
According to question,
\(\frac{132}{x}-\frac{132}{x+11}\) = 1
\(\frac{132(x+11)-132 x}{x(x+11)}\) = 1
\(\frac{132 x+1452-132 x}{x^2+11 x}\) = 1
\(\frac{1452}{x^2+11 x}\) = 1
x² + 11x = 1452
x²+ 11x – 1452 = 0
Here, a = 1, b = 11, c = – 1452
∴ D = b² – 4ac
D = (11)² – 4 × 1 × (- 1452)
D = 121 + 5808
D = 5929
D > 0
Then, the roots of the equation are given by

Since, x is the average speed of the passenger train. It cannot be negative.
Therefore, x = 33
Hence, the average speed of passenger train = 33 km/h
and average speed of express train = 33 + 11 = 44km/h.

Question 11.
The sum of the areas of two squares is 468 m². If the difference of their perimeters is 24 m. Find the sides of the two squares.
Solution :
Let the side of larger square be x m and side of smaller square be y m.
According to question,
x² + y² = 468 ……………..(1)
and 4x – 4y = 24
x – y = 6
⇒ x = 6 + y ………………..(2)
Substituting the value of x in equation (1), we get
(6 + y)² + y² = 468
⇒ 36 + 12y + y² + y² = 468
⇒ 2y² + 12y + 36 – 468 = 0
⇒ 2y² + 12y – 432 = 0
⇒ y² + 6y – 216 = 0
Here, a = 1, b = 6, c = – 216
D = b² – 4ac
D = (6)² – 4 × 1 × (- 216)
D = 36 + 864
D = 900
D > 0
Then, the roots of the equation are given by

Since, y is the side of smaller square. It cannot be negative.
Therefore, y = 12
Substituting the value of y in equation (2), we get
x = 6 + 12
⇒ x = 18
Hence, the sides of the two squares are 18 m and 12 m.

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 12 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल Exercise 12.2

प्रश्न 1.
6cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण 60° है।
हल :
यहाँ पर, – वृत्त की त्रिज्या (r) = 6cm
त्रिज्यखंड का कोण (θ) = 60°
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \(\frac{\theta}{360}\) × πr²
= \(\frac{60}{360} \times \frac{22}{7}\) × 6 × 6 cm²
= \(\frac{132}{7}\) cm²

प्रश्न 2.
एक वृत्त, के चतुर्थांश (quadrant) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी परिधि 22cm है।
हल :
यहाँ पर,
माना वृत्त की त्रिज्या = r cm
वृत्त की परिधि = 22 cm
2πr = 22 cm

प्रश्न 3.
एक घड़ी की मिनट की सुई जिसकी लंबाई 14cm है। इस सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर घड़ी की मिनट की सुई की लंबाई (r) = 14cm
360 5 मिनट में मिनट की सुई द्वारा तय कोण (θ) = \(\frac{360}{60}\) × 5 = 30°
अतः मिनट की सुई द्वारा 5 मिनट में
रचित क्षेत्रफल = \(\frac{\theta}{360}\) × πr²
= \(\frac{30}{360} \times \frac{22}{7}\) × 14 x 14 cm²
= \(\frac{154}{3}\) cm²

प्रश्न 4.
10cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर एक समकोण अंतरित करती है। निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए-
(i) संगत लघु वृत्तखंड (ii) संगत दीर्घ त्रिज्यखंड (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए।)
हल :

यहाँ पर – वृत्त की त्रिज्या (7) = 10cm
माना जीवा AB द्वारा वृत्त के केंद्र पर
अंतरित कोण (θ₁) = 90°
लघु वृत्तखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण (θ₁) = 90°
तथा दीर्घ वृत्तखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण (θ₂) = 360° – 90°
= 270°

(i) संगत लघु वृत्तखंड APB का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड OAPB का क्षेत्रफल – त्रिभुज AOB का क्षेत्रफल
= \(\frac{\theta_{1}}{360} \times \pi r^{2}-\frac{1}{2}\) × OA × OB
= \(\frac{90}{360}\) × 3.14 × 10 × 10 – \(\frac{1}{2}\) × 10 × 10]cm²
= [78.5 – 50]cm² = 28.5cm²

(ii) संगत दीर्घखंड OAQB का क्षेत्रफल = \(\frac{\theta_{2}}{360} \times \pi r^{2}\)
= \(\frac{270}{360}\) × 3.14 × 10 × 10 cm²
= 235.5 cm²

प्रश्न 5.
त्रिज्या 21cm वाले वृत्त का एक चाप केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करता है। ज्ञात कीजिए-
(i) चाप की लंबाई
(ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
(iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखंड का क्षेत्रफल
हल :
यहाँ पर
वृत्त की त्रिज्या (r) = 21cm
चाप APB द्वारा केंद्र पर
अंतरित कोण (θ) = 60°
(i) चाप APB की लंबाई = \(\frac{\theta}{360}\) × 2πr
= \(\frac{60}{360} \times 2 \times \frac{22}{7}\) × 21 cm
= 22cm

(ii) त्रिज्यखंड OAPB का क्षेत्रफल = \(\frac{\theta}{360}\) × πr²
= \(\frac{60}{360} \times \frac{22}{7}\) × 21 × 21 cm²
= 231 cm²

(iii) त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) r²sinθ
= \(\frac{1}{2}\) × 21 × 21 × sin 60°
= \(\frac{1}{2}\) × 441 × \(\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{~cm}^{2}=\frac{441 \sqrt{3}}{4} \mathrm{~cm}^{2}\)
संगत जीवा AB द्वारा बनाए गए छायांकित वृत्तखंड का क्षेत्रफल = (त्रिज्यखंड OAPB – त्रिभुज OAB) का क्षेत्रफल
= ( 231 – \(\frac{441}{4} \sqrt{3}\))cm²

प्रश्न 6.
15cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करती है। संगत लघु और दीर्घ वृत्तखंडों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(π = 3.14 और √3 = 1.73 का प्रयोग कीजिए।)
हल :

यहाँ पर, वृत्त की त्रिज्या (r) = 15cm
माना जीवा AB द्वारा केंद्र पर ।
अंतरित कोण (θ) = 60°
लघु त्रिज्याखंड OAPB का क्षेत्रफल = \(\frac{\theta}{360}\) × πr²
= \(\frac{60}{360}\) × 3.14 × 15 × 15 cm²
= 117.75 cm²

त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) r²sin θ
= \(\frac{1}{2}\) × 15 × 15 × sin 60°
= \(\frac{225}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}\) cm²
= \(\frac{225 \times 1.73}{4}\) cm²
= 97.3125 cm²

वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
= 3.14 × 15 × 15 cm²
= 706.5 cm²

(i) लघु वृत्तखंड APB का क्षेत्रफल = (त्रिज्यखंड OAPB – त्रिभुज OAB) का क्षेत्रफल
= (117.75 – 97.3125) cm²
= 20.4375 cm2 उत्तर दीर्घ वृत्तखंड AQB का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल – लघुखंड का क्षेत्रफल
= (706.5 – 20.4375) cm²
= 686.0625 cm²

प्रश्न 7.
त्रिज्या 12cm वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर 120° का कोण अंतरित करती है। संगत वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(π = 3.14 और √3 = 1.73 का प्रयोग कीजिए।)
हल :

यहाँ पर,
वृत्त की त्रिज्या (r) = 12cm
जीवा AB द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण (θ) = 120°
त्रिज्यखंड OAPB का क्षेत्रफल = \(\frac{\theta}{360}\) × πr²
= \(\frac{120}{360}\) × 3.14 × 12 × 12 cm²
= 150.72 cm²
त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल = r² sin\(\frac{\theta}{2}\) . cos\(\frac{\theta}{2}\)
= 12 × 12 × \(\sin \frac{120^{\circ}}{2} \cdot \cos \frac{120^{\circ}}{2}\)
= 144 × sin60°. cos60°
= 144 × \(\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2}\) cm²
= 36 × 1.73 cm² = 62.28 cm²
संगत लघु वृत्तखंड APB (छायांकित)का क्षेत्रफल = (त्रिज्यखंड OAPB – त्रिभुज OAB) का क्षेत्रफल
= (150.72 – 62.28) cm²
= 88.44 cm²

प्रश्न 8.
15m भुजा वाले एक वर्गाकार घास के मैदान के एक कोने पर लगे खूटे से एक Awadhan घोड़े को 5 m लंबी रस्सी से बाँध दिया गया है (देखिए संलग्न आकृति)। ज्ञात कीजिए
(i) मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ घोड़ा घास चर सकता है।
(ii) चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि, यदि घोड़े को 5 m लंबी रस्सी के स्थान पर 10m लंबी रस्सी से बाँध दिया जाए। (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए।)
हल :

(i) पहली अवस्था में, मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ तक घोड़ा चर सकता है
= \(\frac{\pi r^{2}}{4}=\frac{1}{4}\) × 3.14 × 5 × 5 m²
= \(\frac{78.5}{4}\) m² = 19.625m²

(ii) दूसरी अवस्था में,
मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ तक घोड़ा चर सकता है
= \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2}}{4}=\frac{1}{4}\) × 3.14 × 10 ×10 m²
= \(\frac{314}{4}\) = m² = 78.5m²
अतः दूसरी अवस्था में चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि = (78.5 — 19.625)m²
= 58.875m²

प्रश्न 9.
एक वृत्ताकार ब्रूच (brooch) को चाँदी के तार से बनाया जाना है जिसका व्यास 35mm है। तार को वृत्त के 5 व्यासों को बनाने में भी प्रयुक्त किया गया है जो उसे 10 बराबर त्रिज्यखंडों में विभाजित करता है जैसा कि संलग्न आकृति में दर्शाया गया है। तो ज्ञात कीजिए
(i) कुल वांछित चाँदी के तार की लंबाई
(ii) बेच के प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

हल :
(i) यहाँ पर, वृत्ताकार ब्रूच का व्यास (d) = 35mm
वृत्ताकार ब्रूच की त्रिज्या (r) = \(\frac{d}{2}=\frac{35}{2}\) = 35mm
∴ वृत्ताकार ब्रूच की परिधि के लिए आवश्यक चाँदी की तार की लंबाई = 2πr
= 2 × \(\frac{22}{7} \times \frac{35}{2}\) mm = 110 mm .
10 बराबर त्रिज्यखंडों में बाँटने के लिए 5 व्यासों की लंबाई के लिए आवश्यक चाँदी की तार = 35 × 5mm = 175mm
अतः कुल आवश्यक चाँदी की तार की लंबाई = (110 + 175)mm == 285 mm

(ii) यहाँ पर, वृत्ताकार ब्रूच के प्रत्येक त्रिज्यखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण (θ) = \(\frac{360^{\circ}}{10}\) = 36°
वृत्ताकार ब्रूच के प्रत्येक त्रिज्यखंड की त्रिज्या (r) = \(\frac{35}{2}\) mm
अतः वृत्ताकार ब्रूच के प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \(\frac{\theta}{360}\) × πr²
= \(\frac{36}{360} \times \frac{22}{7} \times \frac{35}{2} \times \frac{35}{2}\) mm²
= \(\frac{385}{4}\) mm²

प्रश्न 10.
एक छतरी में आठ ताने हैं, जो बराबर दूरी पर लगे हुए हैं (देखिए संलग्न आकृति)। छतरी को 45cm त्रिज्या वाला एक सपाट वृत्त मानते हुए, इसकी दो क्रमागत तानों के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :
यहाँ पर,
छतरी के दो क्रमागत तानों के बीच त्रिज्यखंड द्वारा केंद्र पर
अंतरित कोण (θ) = \(\frac{360^{\circ}}{8}\) = 45°
छतरी के वृत्ताकार भाग की त्रिज्या (r) = 45cm
अतः छतरी के दो क्रमागत तानों के बीच त्रिज्यखंड का क्षेत्र = \(\frac{\theta}{360}\) × πr²
= \(\frac{22}{7}\) × 45 cm²
= \(\frac{22275}{28}\) ² = 795.53 cm²

प्रश्न 11.
किसी कार के दो वाइपर (Wipers) हैं, परस्पर कभी आच्छादित नहीं होते हैं। प्रत्येक वाइपर की पत्ती की लंबाई 25cm है और 115° के कोण तक घूम कर सफाई कर सकता है। पत्तियों की प्रत्येक बुहार के साथ जितना क्षेत्रफल साफ हो जाता है, वह ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर, कार का प्रत्येक वाइपर जितने त्रिज्यखंड वाले वृत्त के क्षेत्र को साफ कर सकता है। इसके लिए,
त्रिज्या (r) = 25cm
त्रिज्यखंड कोण (θ) = 115°
क्षेत्रफल (A) = \(\frac{\theta}{360}\) × πr²
= \(\frac{115}{360} \times \frac{22}{7}\) × 25 × 25 cm²
= \(\frac{158125}{252}\) cm² = 627.48 cm²

प्रश्न 12.
जहाज़ों को समुद्र में जलस्तर के नीचे स्थित चट्टानों की चेतावनी देने के लिए, एक लाइट हाउस (light house) 80° कोण वाले एक त्रिज्यखंड में 16.5km की दूरी तक लाल रंग का प्रकाश फैलाता है। समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसमें जहाज़ों को चेतावनी दी जा सके। (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए।)
हल :
यहाँ पर,
लाइट हाउस द्वारा चेतावनी देने वाले त्रिज्यखंड की त्रिज्या (r) = 16.5 km
लाइट हाउस द्वारा चेतावनी देने वाले त्रिज्यखंड का कोण (θ) = 80°
लाइट हाउस द्वारा चेतावनी देने वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (A) = \(\frac{\theta}{360}\) × πr²
= \(\frac{80}{360}\) × 3.14 × 16.5 × 16.5 km²
= \(\frac{1709.73}{9}\) km²
= 189.97 km²

प्रश्न 13.
एक गोल मेज़पोश पर छः समान डिज़ाइन बने हुए हैं जैसाकि संलग्न आकृति में दर्शाया गया है। यदि मेज़पोश की त्रिज्या 28cm है, तो 0.35 रु० प्रति वर्ग सेंटीमीटर की दर से इन डिज़ाइनों को बनाने की लागत ज्ञात कीजिए।
(√3 = 1.7 का प्रयोग कीजिए।)

हल :
यहाँ पर,
मेज़पोश के प्रत्येक डिजाइन की जीवा द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण (θ) = \(\frac{360^{\circ}}{6}\) = 60°
मेज़पोश की त्रिज्या (r) = 28cm

= [410.67 – 333.20]cm²
= 77.47 cm²
अतः मेज़पोश के डिजाइन का कुल क्षेत्रफल = 6 × प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
= 6 × 77.47 cm²
= 464:82 cm²
1 cm² डिजाइन को बनाने की लागत = 0.35 रु०
464.82 cm² डिजाइन को बनाने की लागत = 464.82 × 0.35 रु०
= 162.68 रु०

प्रश्न 14.
निम्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए-
त्रिज्या R वाले वृत्त के उस त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल जिसका कोण p° है, निम्नलिखित है-
(A) \(\frac{p}{180}\) × 2πR
(B) \(\frac{p}{180}\) × πR²
(C) \(\frac{p}{360}\) × 2πR
(D) \(\frac{p}{720}\) × 2πR²
हल :
यहाँ पर, वृत्त के त्रिज्यखंड की त्रिज्या (7) = R
वृत्त के त्रिज्यखंड का कोण (θ) = P
वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (A) = \(\frac{\theta}{360}\) × πr² = \(\frac{p}{360}\) × πR²
= \(\frac{p}{360 \times 2}\) × 2πR² [दोनों ओर 2 से गुणा करने पर]
= \(\frac{p}{720}\) × πR²
अतः अभीष्ट सही उत्तर = D

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Exercise 10.1

प्रश्न 1.
एक वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं? ।
हल :
एक वृत्त की अपरिमित रूप से अनेक स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए-
(i) किसी वृत्त की स्पर्श रेखा उसे ………. बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है।
(ii) वृत्त को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को ………. कहते हैं।
(iii) एक वृत्त की ………. समांतर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।
(iv) वृत्त तथा उसकी स्पर्श रेखा के उभयनिष्ठ बिंदु को ………. कहते हैं।
हल :
(i) एक,
(ii) छेदक रेखा,
(iii) दो,
(iv) स्पर्श बिंदु।

प्रश्न 3.
5 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के बिंदु P पर स्पर्श रेखा PQ केंद्र 0 से जाने वाली एक रेखा से बिंदु Q पर इस प्रकार मिलती है कि OQ = 12 cm | PQ की लंबाई है-
(A) 12 cm
(B) 13 cm
(C) 8.5cm
(D) \(\sqrt{119}\) cm
हल :
(D) \(\sqrt{119}\) cm

प्रश्नानुसार,
∠DPQ = 90° [∴ स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा की त्रिज्या लंबवत् होती है]
OP = 5cm
OQ = 12cm
अब समकोण ∆OPQ में,

प्रश्न 4.
एक वृत्त खींचिए और एक दी गई रेखा के समांतर दो ऐसी रेखाएँ खींचिए कि र उनमें से एक स्पर्श रेखा हो तथा दूसरी छेदक रेखा हो।।
हल :
दी गई रेखा l के समांतर दो रेखाएँ m और n खींचिए। अब रेखाओं l, m और n से एक लंब xy खींचिए। रेखाखंड xy पर एक बिंदु 0 तथा रेखा m पर बिंदु P लीजिए। 0 केंद्र तथा OP को त्रिज्या लेकर वृत्त खींचिए जो n को Q तथा R पर प्रतिच्छेद करे। इस प्रकार m स्पर्श रेखा तथा n छेदक रेखा होगी।

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 12 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल Exercise 12.1

प्रश्न 1.
दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 19cm और 9cm हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि इन दोनों वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर है।
हल :
यहाँ पर, .
पहले वृत्त की त्रिज्या (r₁) = 19 cm
दूसरे वृत्त की त्रिज्या (r₂) = 9 cm
माना वांछित वृत्त की त्रिज्या = R cm
प्रश्नानुसार, वांछित वृत्त की परिधि = पहले वृत्त की परिधि + दूसरे वृत्त की परिधि
2πR = 2πr₁ + 2πr₂
R = r₁ + r₂ (दोनों ओर 2π से भाग करने पर)
= (19+ 9)cm
= 28cm
अतः वांछित वृत्त की त्रिज्या = 28cm

प्रश्न 2.
दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 8cm और 6cm हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल इन दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।
हल :
यहाँ पर,
पहले वृत्त की त्रिज्या (r₁) = 8 cm
दूसरे वृत्त की त्रिज्या (r₂) = 6 cm
माना वांछित वृत्त की त्रिज्या = R cm
प्रश्नानुसार,
वांछित वृत्त का क्षेत्रफल = पहले वृत्त का क्षेत्रफल + दूसरे वृत्त का क्षेत्रफल
πR² = πr₁² + πr₁²
R² = r₁² + r₂²(दोनों ओर T से भाग करने पर)
R² = (8)² + (6)²
= 64 + 36 = 100
(R)² = (10)²
R = 10
अतः वांछित वृत्त की त्रिज्या = 10cm

प्रश्न 3.
संलग्न आकृति एक तीरंदाजी लक्ष्य को दर्शाती है, जिसमें केंद्र से बाहर की ओर पाँच क्षेत्र GOLD, RED, BLUE, BLACK और WHITE चिह्नित हैं, जिनसे अंक अर्जित किए जा सकते हैं। GOLD अंक वाले क्षेत्र का व्यास 21cm है तथा प्रत्येक अन्य पट्टी 10.5cm चौड़ी है। अंक प्राप्त कराने वाले इन पाँचों क्षेत्रों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :
यहाँ पर,
GOLD अंक वाले वृत्त का व्यास = 21cm
GOLD अंक वाले वृत्त की त्रिज्या (r) = \(\frac{21}{2}\) = 10.5cm
GOLD अंक प्राप्त करने वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल (A₁) = πr²
= \(\frac{22}{7}\) x 10.5 x 10.5 cm²
= 22 x 1.5 x 10.5 cm²
= 346.5 cm² …..(i)
(GOLD + RED) अंक वाले वृत्त की त्रिज्या (r₁)= (10.5 + 10.5)cm
= 2 x 10.5 cm
= 2 r cm
RED अंक प्राप्त करने वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल (A₂) = πr₁² – πr₁²
= π[(2r)² – r²]
= π [4r² – r²] = 3πr²
= 3 x 346.5 cm² [समीकरण (i) से]
= 1039.5 cm²
(GOLD + RED + BLUE) अंक वाले वृत्त की त्रिज्या (r₂) = (10.5 + 10.5 + 10.5)cm
= 3 x 10.5 cm = 3 r cm

.. BLUE अंक प्राप्त करने वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल (A₃) = \(\pi r_{2}^{2}-\pi r_{1}^{2}\)
= π [(3r)² – (2r)²]
= π[9r² – 4r²]
= 5πr²
= 5 x 346.5 cm² [समीकरण (i) से]
= 1732.5 cm²

∴ (GOLD + RED + BLUE + BLACK) अंक वाले वृत्त की त्रिज्या (r5) = 4 r cm
∴ BLACK अंक प्राप्त करने वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल (A) = \(\pi r_{3}^{2}-\pi r_{2}^{2}\)
= π[(4r)² – (3r)²]
= π[16² – 9r²] = 7πr²
= 7x 346.5 cm² [समीकरण (i) से]
= 2425.5 cm²

(GOLD + RED + BLUE + BLACK + WHITE) अंक वाले वृत्त की त्रिज्या (r₄) = 5 r cm
∴ WHITE अंक प्राप्त करने वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल (A₅) = \(\pi r_{4}^{2}-\pi r_{3}^{2}\)
= π[(5r)² -(4r)² ]
= π[25r² – 16r²] = 9π²
= 9 x 346.5 cm2 [समीकरण (i) से]
= 3118.5 cm²

प्रश्न 4.
किसी कार के प्रत्येक पहिए का व्यास 80cm है। यदि यह कार 66km प्रति घंटे की चाल से चल रही है, तो 10 मिनट में प्रत्येक पहिया कितने चक्कर लगाता है?
हल :
यहाँ पर,
कार के पहिए का व्यास = 80cm
कार के पहिए की त्रिज्या (r) = 80/2 cm = 40cm
अतः कार के पहिए की परिधि = 2 πr
= 2 x \(\frac{22}{7}\) x 40 cm
= \(\frac{1760}{7}\) cm
कार की चाल = 66 km/h
= \(\frac{66 \times 1000 \times 100}{60}\) cm/min.
= 110000 cm/min.
10 मिनट में कार द्वारा तय दूरी = चाल x समय
= 110000 x 10 cm
= 1100000 cm
10 मिनट में कार के प्रत्येक पहिए द्वारा लगाए गए चक्करों की संख्या = कार द्वारा तय दूरी /पहिए की परिधि
= \(\frac{1100000}{\frac{1760}{7}}=\frac{1100000 \times 7}{1760}\)
= 4375

प्रश्न 5.
निम्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए तथा अपने उत्तर का औचित्य दीजिएयदि एक वृत्त का परिमाप और क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बराबर है, तो उस वृत्त की त्रिज्या है-
(A)2 मात्रक
(B) π मात्रक
(C) 4 मात्रक
(D)7 मात्रक
हल : माना
वृत्त की त्रिज्या = r मात्रक
तो वृत्त का परिमाप = 2πr मात्रक
वृत्त का क्षेत्रफल = πr² वर्ग मात्रक
प्रश्नानुसार
2πr = πr²
r = 2
अतः वृत्त की त्रिज्या = 2 मात्रक
अभीष्ट उत्तर = A

Haryana Board HBSE 10th Class Social Science Notes

HBSE 10th Class Social Science Notes in English Medium

HBSE 10th Class History Notes

• Chapter 1 The Rise of Nationalism in Europe Notes
• Chapter 2 Nationalism in India Notes
• Chapter 3 The Making of a Global World Notes
• Chapter 4 The Age of Industrialisation Notes
• Chapter 5 Print Culture and the Modern World Notes

HBSE 10th Class Geography Notes

• Chapter 1 Resource and Development Notes
• Chapter 2 Forest and Wildlife Resources Notes
• Chapter 3 Water Resources Notes
• Chapter 4 Agriculture Notes
• Chapter 5 Minerals and Energy Resources Notes
• Chapter 6 Manufacturing Industries Notes
• Chapter 7 Lifelines of National Economy Notes

HBSE 10th Class Civics Notes

• Chapter 1 Power Sharing Notes
• Chapter 2 Federalism Notes
• Chapter 3 Democracy and Diversity Notes
• Chapter 4 Gender Religion and Caste Notes
• Chapter 5 Popular Struggles and Movements Notes
• Chapter 6 Political Parties Notes
• Chapter 7 Outcomes of Democracy Notes
• Chapter 8 Challenges to Democracy Notes

HBSE 10th Class Economics Notes

• Chapter 1 Development Notes
• Chapter 2 Sectors of Indian Economy Notes
• Chapter 3 Money and Credit Notes
• Chapter 4 Globalisation and the Indian Economy Notes
• Chapter 5 Consumer Rights Notes

HBSE 10th Class Social Science Notes in Hindi Medium

HBSE 10th Class History Notes

• Chapter 1 यूरोप में राष्ट्रवाद का उदय Notes
• Chapter 2 इंडो-चाइना में राष्ट्रवादी आंदोलन Notes
• Chapter 3 भारत में राष्ट्रवाद Notes
• Chapter 4 भूमंडलीकृत विश्व का बनना Notes
• Chapter 5 औद्योगीकरण का युग Notes
• Chapter 6 काम, आराम और जीवन Notes
• Chapter 7 मुद्रण संस्कृति और आधुनिक दुनिया Notes
• Chapter 8 उपन्यास, समाज और इतिहास Notes

HBSE 10th Class Geography Notes

• Chapter 1 संसाधन एवं विकास Notes
• Chapter 2 वन और वन्य जीव संसाधन Notes
• Chapter 3 जल संसाधन Notes
• Chapter 4 कृषि Notes
• Chapter 5 खनिज और ऊर्जा संसाधन Notes
• Chapter 6 विनिर्माण उद्योग Notes
• Chapter 7 राष्ट्रीय अर्थव्यवस्था की जीवन रेखाएँ Notes

HBSE 10th Class Civics Notes

• Chapter 1 सत्ता की साझेदारी Notes
• Chapter 2 संघवाद Notes
• Chapter 3 लोकतंत्र और विविधता Notes
• Chapter 4 जाति, धर्म और लैंगिक मसले Notes
• Chapter 5 जन-संघर्ष और आंदोलन Notes
• Chapter 6 राजनीतिक दल Notes
• Chapter 7 लोकतंत्र के परिणाम Notes
• Chapter 8 लोकतंत्र की चुनौतियाँ Notes

HBSE 10th Class Economics Notes

• Chapter 1 विकास Notes
• Chapter 2 भारतीय अर्थव्यवस्था के क्षेत्रक Notes
• Chapter 3 मुद्रा और साख Notes
• Chapter 4 वैश्वीकरण और भारतीय अर्थव्यवस्था Notes
• Chapter 5 उपभोक्ता अधिकार Notes

Haryana Board HBSE 10th Class Social Science Important Questions

HBSE 10th Class Social Science Important Questions in English Medium

HBSE 10th Class History Important Questions

• Chapter 1 The Rise of Nationalism in Europe Important Questions
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Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Exercise 8.4

प्रश्न 1.
त्रिकोणमितीय अनुपातों sin A, sec A और tan A को cotA के पदों में व्यक्त कीजिए।
हल :
हम जानते हैं कि
cot²A+ 1 = cosec²A

प्रश्न 2.
∠A के अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को secA के पदों में लिखिए।
हल :
हम जानते हैं कि

प्रश्न 3.
मान निकालिए-
(i) \(\frac{\sin ^{2} 63^{\circ}+\sin ^{2} 27^{\circ}}{\cos ^{2} 17^{\circ}+\cos ^{2} 73^{\circ}}\)
(ii) sin 25° cos 65° + cos 25° sin 650.
हल :
(i) \(\frac{\sin ^{2} 63^{\circ}+\sin ^{2} 27^{\circ}}{\cos ^{2} 17^{\circ}+\cos ^{2} 73^{\circ}}\)
= \(\frac{\cos ^{2} 27^{\circ}+\sin ^{2} 27^{\circ}}{\sin ^{2} 73^{\circ}+\cos ^{2} 73^{\circ}}\)
= 1/1 [∵ sinθ + cosθ = 1]
= 1

(ii) sin 25°.cos 65° + cos 25°.sin 65°
= sin (90° – 65°).cos 65° + cos (90° -65°).sin 65°
= cos 65°.cos.65° + sin 65°.sin 65°
= cos²65° + sin² 65° = 1

प्रश्न 4.
सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प की पुष्टि कीजिए-
(i) 9 sec²A – 9 tan²A बराबर है.
(A) 1
(B) 9
(C) 8
(D) 0

(ii) (1 + tanθ + secθ) (1 + cotθ – cosecθ) बराबर है-
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) -1

(iii) (sec A+ tan A) (1 – sin A) बराबर है-
(A) sec A
(B) sin A
(C) cosec A
(D) cos A

(iv) \(\frac{1+\tan ^{2} A}{1+\cot ^{2} A}\) बराबर है-
(A) sec² A
(B)-1
(C) cot² A
(D) tan² A.
हल :
9 sec² A – 9 tan² A = 9 (tan² A + 1) – 9 tan² A
= 9 tan² A + 9 – 9 tan² A.
= 9
अतः सही विकल्प = B

(ii) (1 + tanθ + secθ) (1 + cotθ – cosecθ)

अतः सही विकल्प = C

(iii) (sec A+ tan A) (1 – sin A)

अतः सही विकल्प = D

(iv)

अतः सही विकल्प = D

प्रश्न 5.
निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ सिद्ध कीजिए, जहाँ वे कोण, जिनके लिए व्यंजक परिभाषित है, न्यून कोण है
(i) (cosec θ – cot θ)² = \(\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}\)
(ii) \(\frac{\cos A}{1+\sin A}+\frac{1+\sin A}{\cos A}=2 \sec A\)
(iii) \(\frac{\tan \theta}{1-\cot \theta}+\frac{\cot \theta}{1-\tan \theta}\) = 1 + sec θ cosec θ
(iv) \(\frac{1+\sec A}{\sec A}=\frac{\sin ^{2} A}{1-\cos A}\)
सर्वसमिका cosec² A = 1 + cot² A को लागू करके
\(\frac{\cos A-\sin A+1}{\cos A+\sin A-1}\) = cosec A+ cot A
(vi) \(\sqrt{\frac{1+\sin \mathrm{A}}{1-\sin \mathrm{A}}}\) = sec A + tan A
(vii) \(\frac{\sin \theta-2 \sin ^{3} \theta}{2 \cos ^{3} \theta-\cos \theta}\) = tan θ
(viii) (sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)² = 7 + tan² A+ cot² A
(ix) (cosec A-sin A) (sec A- cos A) = \(\frac{1}{\tan A+\cot A}\)
(x) \(\left(\frac{1+\tan ^{2} A}{1+\cot ^{2} A}\right)=\left(\frac{1-\tan A}{1-\cot A}\right)^{2}\) = tan²A

(i) यहाँ पर,
= (cosec θ – cot θ)²

(ii) यहाँ पर,

(iii) यहाँ पर,

(iv) यहाँ पर,

(v) यहाँ पर,

(vi) यहाँ पर,

(vii) यहाँ पर,

(viii) यहाँ पर,
बायाँ पक्ष = (sin A+ cosec A)² + (cos A + sec A)²
= sin² A + cosec² A + 2 sin A.cosec A + cos² A + sec² A + 2cos A.sec A
= (sin² A + cos² A) + 2 sin A. cosec A + 2cosA. sec A + cosec² A + sec² A
= 1+2 sin A. \(\frac{1}{\sin A}\) + 2 cos A. \(\frac{1}{\cos A}\)
+(cot² A + 1) + (tan² A + 1)
= 1 + 2 + 2 + cot² A + 1 + tan² A + 1
= 7 + tan² A + cot² A = दायाँ पक्ष

(ix) यहाँ पर,
बायाँ पक्ष = (cosec A- sin A) (sec A- cos A)

(x) यहाँ पर,

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Exercise 2.4

Question 1.
Verify that the numbers given alongside of the cubic polynomials below are their zeroes. Also verify the relationship between the zeroes and coefficients in each case :
(i) 2x³ + x² – 5x + 2; \(\frac{1}{2}\), 1, – 2,
(ii) x³ – 4x² + 5x – 2; 2, 1, 1.
Solution :
(i) We have,
f(x) = 2x³ + x² – 5x + 2
On comparing f(x) with standard form of cubic polynomial ax³ + bx² + cx + d,
We get a = 2, b = 1, c = – 5, d = 2 and the
given zeroes are \(\frac{1}{2}\), 1, – 2.
∴ f(\(\frac{1}{2}\)) = 2 × (\(\frac{1}{2}\))³ + (\(\frac{1}{2}\))² – 5 × \(\frac{1}{2}\) + 2

= 2 × \(\frac{1}{8}+\frac{1}{4}-\frac{5}{2}\) + 2

= \(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{5}{2}\) + 2

= \(\frac{2}{4}-\frac{5}{2}\) + 2

= \(\frac{1}{2}-\frac{5}{2}\) + 2

= = \(\frac{1-5+4}{2}=\frac{5-5}{2}\) = 0
f(1) = 2 × (1)³ + (1)² – 5 × 1 + 2
= 2 + 1 – 5 + 2
= 5 – 5 = 0
f(- 2) = 2 × (- 2)³ + (- 2)² – 5 × (- 2) + 2
= 2 × (- 8) + 4 + 10 + 2
= – 16 + 16 = 0.
Therefore, \(\frac{1}{2}\), 1 and – 2 are the zeroes of given polynomial.
∴ α = \(\frac{1}{2}\), β = 1 and γ = – 2
Now,
α + β + γ = \(\frac{1}{2}\) + 1 – 2
= \(\frac{1+2-4}{2}\)
= \(-\frac{1}{2}=-\frac{b}{a}\)
= \(-\frac{\text { Coefficient of } x^2}{\text { Coefficient of } x^3}\)

αβ + βγ + αγ = \(\frac{1}{2}\) × 1 + 1 × (- 2) + (- 2) × \(\frac{1}{2}\)
= \(\frac{1}{2}\) – 2 – 1
= \(\frac{1}{2}\) – 3
= \(\frac{c}{a}=\frac{\text { Coefficient of } x}{\text { Coefficient of } x^3}\)

αβγ = \(\frac{1}{2}\) × 1 × (- 2) = – \(\frac{2}{2}\)
= \(-\frac{d}{a}=-\frac{\text { Constant term }}{\text { Coefficient of } x^3}\).

(ii) We have,
f(x) = x³ – 4x² + 5x – 2
On comparing f(x) with standard form of cubic polynomial ax³ + bx² + cx + d,
We get, a = 1, b = – 4, c = 5 and d = – 2
The given zeroes are 2, 1, 1.
f(x) = (2)³ – 4 × (2)² + 5 × 2 – 2
= 8 – 16 + 10 – 2
= 18 – 18 = 0

f(x) = (1)³ – 4 × (1)² + 5 × 1 – 2
= 1 – 4 + 5 – 2
= 6 – 6 = 0
Again f(1) = 0 (solved above).
Therefore, 2, 1 and 1 are zeroes of the given polynomial.
∴ α = 2, β = 1 and γ = 1.
Now, α + β + γ = 2 + 1 + 1 = 4 = \(\frac{-(-4)}{1}\)
= \(-\frac{b}{a}=-\frac{\text { Coefficient of } x^2}{\text { Coefficient of } x^3}\)

αβ + βγ + γα = 2 × 1 + 1 × 1 + 1 × 2
= 2 + 1 + 2
= \(\frac{5}{1}=\frac{c}{a}=\frac{\text { Coefficient of } x}{\text { Coefficient of } x^3}\)

Question 2.
Find a cubic polynomial with the sum, sum of the product of its zeroes taken two at a time, and the product of its zeroes as 2, – 7, – 14 respectively.
Solution:
Let α, β and γ are the zeroes of cubic polynomial f(x).
According to question,
α + β + γ = 2
αβ + βγ + γα = – 7
αβγ = – 14
Then cubic polynomial is
f(x) = x³ – (α + β + γ) x² + (αβ + βγ + γα)x – αβγ
= x³ – 2x² – 7x – (- 14)
= x³ – 2x² – 7x + 14

Question 3.
If file zeroes of the polynomial x³ – 3x² + x + 1 are a – b, a, a + b, find a and b.
Solution :
We have,
f(x) = x³ – 3x² + x + 1 and zeroes of the, polynomial are a – b, a, a + b , ’
Sum of zeroes = – \(\frac{b}{a}\)
⇒ a – b + a + a + b = – \(\frac{b}{a}\)
⇒ 3a = 3
⇒ a = 1.
and, Product of zeroes = – \(\frac{d}{a}\)
⇒ (a – b) a (a + b) = – \(\frac{1}{1}\)
⇒ (1 – b) × 1 (1 + b) = – 1
⇒ – b² = – 1.
⇒ b² = 1 + 1 = 2
⇒ b = ± √2
Hence, a = 1, b = ± √2.

Question 4.
If two zeroes of the polynomial x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35 are 2 ± √3 , find other zeroes.
Solution :
We have,
f(x) = x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35
∴ 2 ± √3 are the zeroes of given polynomial.
∴ (x – 2 – √3) (x – 2 + √3) = (x – 2)²
– (√3)² = x² – 4x + 1 is a factor of f(x).
Now, we divide given polynomial f(x) by x² – 4x + 1 to obtain the other zeroes as follows :

According to division algorithm of polynomials,
x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x + 10 = (x² – 4x + 1) (x² – 2x – 35) + 0
= (x² – 4x + 1) [x² – (7 – 5)x – 35]
= (x² – 4x + 1) [x² – 7x + 5x – 35]
= (x² – 4x + 1) [x (x – 7) + 5(x – 7)]
= (x – 2 – √3)(x – 2 + √3) (x – 7)(x + 5)
For the zeroes of polynomial f(x) = 0.
⇒ (x – 2 – √3)(x – 2 + √3) (x – 7)(x + 5) = 0
⇒ x = 2 + √3, 2 – √3, 7, – 5.
Hence, other zeroes of polynomial are 7, – 5.

Question 5.
If the polynomial x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 is divided by another polynomial x² – 2x + k, the remainder comes out to be x + a, find k and a.
Solution :
We have,
f(x) = x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10
g(x) = x² – 2x + k
r(x) = x + a
According to division algorithm of polynomials f(x) = g(x) x q(x) + r(x)
⇒ f(x) – r(x) = g(x) × q(x)
⇒ x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 – x – a = g(x) × q(x)
⇒ x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 – a = g(x) × q(x)
Now, f(x) – r(x) is divisible by g(x).
Now, we divide x⁴ – 6x³ + 16x² – 26x + 10 – a by x² – 2x + k as follows.

But f(x) – r(x) is exactly divisible by g(x), therefore, remainder will be zero.
∴ (- 10 + 2k) x + (10 – a – 8k + k²) = 0 × x + 0.
On equating the coefficient of x and constant term
⇒ – 10 + 2k = 0
⇒ k = \(\frac{10}{2}\) = 5
and 10 – a – 8k + k² = 0
⇒ 10 – a – 8 × 5 + (5)² = 0 [∵ k = 5]
⇒ 10 – a – 40 + 25 = 0
⇒ – a – 5 = 0
⇒ a = – 5
Hence, k = 5 and a = – 5

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.6 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Exercise 3.6

प्रश्न 1.
निम्नलिखित समीकरणों के युग्मों को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदल करके हल कीजिए-

हल :
(i) यहाँ पर

माना 1/x = u व 1/y = v तो समीकरण-युग्म (i) व (ii) से प्राप्त होगा,
\(\frac{1}{2}\)u + \(\frac{1}{3}\)v = 2
3u + 2v = 12 (दोनों ओर 6 से गुणा करने पर) ……………(i)
\(\frac{1}{3} u+\frac{1}{2} v=\frac{13}{6}\)
2u+3y = 13 (दोनों ओर 6 से गुणा करने पर) ……………(iv)
समीकरण (ii) को 3 से तथा समीकरण (iv) को 2 से गुणा करके घटाने पर प्राप्त होगा,

या u = \(\frac{10}{5}\) = 2
u का मान समीकरण (iii) में रखने पर,
या 3(2)+ 2v = 12
2v = 12 – 6
या v = \(\frac{6}{2}\) = 3
अब u = 2 ⇒ \(\frac{1}{x}\) = 2 ⇒ x = \(\frac{1}{2}\)
व v = 3 ⇒ \(\frac{1}{y}\) = 3 ⇒ y = \(\frac{1}{3}\)
अतः अभीष्ट हल x = \(\frac{1}{2}\) व.y = \(\frac{1}{3}\)

(ii) यहाँ पर

2u + 3v = 2 ………….(iii)
4u – 9v = -1 …(iv)
समीकरण युग्म समीकरण (iii) को 3 से गुणा करके समीकरण (iv) में जोड़ने पर,

u का मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
2(1/2) + 3v = 2
या 3v = 2 – 1
या v = \(\frac{1}{3}\)

(ii) यहाँ पर
\(\frac{4}{x}\) + 3 y = 14 ……………….(i)
व \(\frac{3}{x}\) – 4y = 23 ……………..(ii)
माना \(\frac{1}{x}\) = u, तो समीकरण (i) व (ii) से प्राप्त होगा,
4u + 3y = 14 …………..(iii)
34 – 4y = 23 …………………(iv)
समीकरण (iii) को 4 से व समीकरण (iv) को 3 से गुणा करके परस्पर जोड़ने से,

u का मान समीकरण (iii) में प्रतिस्थापित करने पर,
4(5) +3y = 14
या 3y = 14 – 20
या y = \(\frac{-6}{3}\) = -2
अब u = 5 ⇒ \(\frac{1}{x}\) = 5 ⇒ x = \(\frac{1}{5}\)
अतः अभीष्ट हल x = \(\frac{1}{5}\) व y = -2

(iv) यहाँ पर

माना \(\frac{1}{x-1}\) = u तथा ,\(\frac{1}{y-2}\) = v तो समीकरण (i) व (ii) से प्राप्त होगा,
5u + v = 2 …(iii)
6u – 3y = 1 …(iv)
समीकरण (iii) को 3 से गुणा करके समीकरण (iv) में जोड़ने से-

u का मान समीकरण (iii) में प्रतिस्थापित करने पर,

अतः अभीष्ट हल x = 4 व y = 5

(v) यहाँ पर
\(\frac{7 x-2 y}{x y}\) = 5

माना \(\frac{1}{y}\) = u तथा \(\frac{1}{x}\) = v तो समीकरण (i) व (ii) से प्राप्त होता है,
7u – 2v = 5
व 8u + 7v = 15
समीकरण (iii) को 7 से व समीकरण (iv) को 2 से गुणा करके जोड़ने पर,

u का मान समीकरण (iv) में प्रतिस्थापित करने पर,
8(1)+ 7v = 15
या 7v = 15 – 8
या v = 7/7 = 1
अब u = 1 ⇒ \(\frac{1}{y}\) = 1 ⇒ y = 1
v = 1 ⇒ \(\frac{1}{x}\) = 1 ⇒ x = 1
अतः अभीष्ट हल x = 1 व y = 1

(vi) यहाँ पर
6x + 3y = 6xy
या \(\frac{6}{y}+\frac{3}{x}\) = 6 (दोनों ओर xy से भाग करने पर) …………..(i)
2x + 4y = 5xy
या \(\frac{2}{y}+\frac{4}{x}\) = 5 (दोनों ओर xy से भाग करने पर) ………….(ii)
माना \(\frac{1}{y}\) = u तथा \(\frac{1}{x}\) = v तो समीकरण (i) व (ii) से प्राप्त होगा,
6u + 3v = 6 ………………(iii)
2u+ 4v = 5 ………………….(iv)
समीकरण (iv) को 3 से गुणा करके समीकरण (iii) में से घटाने पर,

v का मान समीकरण (iii) में प्रतिस्थापित करने पर,
6u + 3(1) = 6
या 6u = 6 – 3
या u = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
अब u = \(\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{y}=\frac{1}{2}\) ⇒ y = 2
v = 1 ⇒ \(\frac{1}{x}\) = 1 ⇒ x = 1
अतः अभीष्ट हल x = 1 व y = 2

(vii) यहाँ पर

माना \(\frac{1}{x+y}\) = u तथा \(\frac{1}{x-y}\) = v तो समीकरण () व (i) से प्राप्त होगा,
10u + 2v = 4 …………….(iii)
15u – 5v = -2 …………….(iv)
समीकरण (iii) को 5 से तथा समीकरण (iv) को 2 से गुणा करके परस्पर जोड़ने से,

u का मान समीकरण (iii) में प्रतिस्थापित करने पर,
10(1/5) + 2v = 4
या 2v = 4 – 2
या v = 2/2 = 1
अब u = \(\frac{1}{5} \Rightarrow \frac{1}{x+y}=\frac{1}{5}\) ⇒ x + y = 5
v = 1⇒ \(\frac{1}{x-y}\) 1 ⇒ x – y = 1
समीकरण (v) व समीकरण (vi) को जोड़ने पर,
2x = 6
या x = \(\frac{6}{2}\) = 3
x का मान समीकरण (v) में प्रतिस्थापित करने पर,
3 + y = 5
या y = 5 – 3
या y = 2
अतः अभीष्ट हल x = 3 व y = 2

(viii) यहाँ पर

u का मान समीकरण (iii) में प्रतिस्थापित करने पर,
4(1/4) + 4v = 3
या 4v = 3 – 1
या v = \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)

समीकरण (v) व समीकरण (vi) को जोड़ने पर,
6x = 6
या x = 6/6 = 1
x का मान समीकरण (v) में प्रतिस्थापित करने पर,
3(1) + y = 4
या y = 4 – 3 = 1
या y = 1
अतः अभीष्ट हल x = 1 व y = 1

प्रश्न 2.
निम्नलिखित समस्याओं को रैखिक समीकरण युग्म के रूप में व्यक्त कीजिए और फिर उनके हल ज्ञात कीजिए
(i) (रितु धारा के अनुकूल 2 घंटे में 20 km तैर सकती है और धारा के प्रतिकूल 2 घंटे में 4 km तैर सकती है। उसकी स्थिर जल में तैरने की चाल तथा धारा की चाल ज्ञात कीजिए।
(ii) 2 महिलाएँ एवं 5 पुरुष एक कसीदे के काम को साथ-साथ 4 दिन में पूरा कर सकते हैं, जबकि 3 महिलाएँ एवं 6 पुरुष इसको 3 दिन में पूरा कर सकते हैं। ज्ञात कीजिए कि इसी कार्य को करने में एक अकेली महिला कितना समय लेगी। पुनः इसी कार्य को करने में एक पुरुष कितना समय लेगा?
(iii) रूही 300 km दूरी पर स्थित अपने घर जाने के लिए कुछ दूरी रेलगाड़ी द्वारा तथा कुछ दूरी बस द्वारा तय करती है। यदि वह 60 km रेलगाड़ी द्वारा तथा शेष बस द्वारा यात्रा करती है तो उसे 4 घंटे लगते हैं। यदि वह 100 km रेलगाड़ी से तथा शेष बस से यात्रा करे, तो उसे 10 मिनट अधिक लगते हैं। रेलगाड़ी एवं बस की क्रमशः चाल ज्ञात कीजिए।
हल :
(i) माना रितु की स्थिर जल में तैरने की चाल = x km/h.
तथा धारा की चाल = y km/h
रितु की धारा के अनुकूल तैरने की चाल = (x + y) km/h
रितु की धारा के प्रतिकूल तैरने की चाल = (x -y) km/h
प्रश्नानुसार रैखिक समीकरण युग्म होंगे,
2(x + y) = 20 ⇒ x + y = 10 ……………(i)
तथा 2(x – y) = 4 ⇒ x – y = 2 …………(ii)
समीकरण (i) व (ii) को जोड़ने पर,
2x = 12
या x = 12/2 = 6
x का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
6 +y = 10
या y = 10 – 6 = 4
अतः रितु की स्थिर जल में तैरने की चाल = 6 km/h
तथा धारा की चाल = 4 km/h

(ii) माना 1 महिला कसीदे के काम को समाप्त करने में दिन लगाती है तथा 1 पुरुष कसीदे के काम को समाप्त करने में y दिन लगाता है।
1 महिला का 1 दिन का काम = \(\frac{1}{x}\)
1 पुरुष का 1 दिन का काम = \(\frac{1}{y}\)
प्रश्नानुसार रैखिक समीकरण-युग्म होगा,
\(\frac{2}{x}+\frac{5}{y}=\frac{1}{4}\) …………..(i)
व \(\frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac{1}{3}\) …………..(ii)
माना \(\frac{1}{x}\) = u व \(\frac{1}{y}\) = v तो समीकरण (i) व (ii) से प्राप्त होगा,
2u + 5v = \(\frac{1}{4}\) 8u + 20v = 1 …………(iii)
3u + 6v = \(\frac{1}{3}\) 9u + 18v = 1 …………(iv)
समीकरण (iii) को 9 से व समीकरण (iv) को 8 से गुणा करके घटाने पर

या v = \(\frac{1}{36}\)
v का मान समीकरण (iii) में रखने पर,
8u + 20 (\(\frac{1}{36}\)) = 1

अतः 1 महिला कसीदे के काम को समाप्त कर सकती है = 18 दिन में
1 पुरुष कसीदे के काम को समाप्त कर सकता है = 36 दिन में

(iii) माना रेलगाड़ी की चाल = x km/h
तथा बस की चाल = y km/h
प्रश्नानुसार रैखिक समीकरण-युग्म होगा,

या x = 15 x 4 = 60
अतः रेलगाड़ी की चाल = 60 km/h
बस की चाल = 80 km/h