Class 10

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Important Questions Chapter 15 प्रायिकता Important Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Important Questions Chapter 15 प्रायिकता

परीक्षोपयोगी अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न :

प्रश्न 1.
दो सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं। निम्नलिखित की प्राप्ति की प्रायिकता ज्ञात कीजिए ।
(i) दो चित
(ii) कम-से-कम एक चित
(iii) कोई चित नहीं ।
हल :
(i) दो सिक्के एक साथ उछाले जाने की स्थिति में सभी संभव परिणाम [HH, HT, TH, TT] की संख्या 4 हैं । दो चित HH प्राप्ति का केवल एक ही अनुकूल परिणाम है ।
∴ P (दो चित) = \(\frac {1}{4}\)

(ii) कम-से-कम एक चित प्राप्ति की स्थिति में अनुकूल परिणाम [HH, HT, TH] की संख्या 3 है ।
∴ P (कम-से-कम एक चित) = अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी संभव परिणामों की कुल संख्या
= \(\frac {3}{4}\)

(iii) कोई चित नहीं प्राप्ति की केवल एक ही संभावना है – [ TT ]
∴ P (कोई चित नहीं) = \(\frac {1}{4}\)

प्रश्न 2.
अच्छी प्रकार से फेंटी गई 52 पत्तों की एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है । प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह पत्ता-
(i) एक इक्का होगा,
(ii) एक इक्का नहीं होगा ।
हल :
यहाँ पर,
ताश की गड्डी में पत्तों की कुल संख्या = 52
∴ सभी सम्भव परिणामों की संख्या = 52
(i) इक्का होने के अनुकूल परिणामों की संख्या = 4
अतः P (एक इक्का होगा) = \(\frac{4}{52}=\frac{1}{13}\)

(ii) इक्का न होने के अनुकूल परिणामों की संख्या = 48
अतः P (एक इक्का नहीं होगा) = \(\frac{48}{52}=\frac{1}{13}\)

प्रश्न 3.
17 कार्ड, जिन पर 1, 2, 3, 16, 17 संख्याएँ अंकित हैं, एक पेटी में रखे गए हैं और उन्हें अच्छी तरह से मिलाया गया है। एक व्यक्ति पेटी में से एक कार्ड निकालता है । प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाले गए कार्ड पर संख्या –
(i) विषम हो
(ii) अभाज्य हो
(iii) 3 से विभाज्य हो
(iv) 3 और 2 दोनों से विभाज्य हो ।
हल :
यहाँ पर,
कार्डों की संख्या = 17
सभी संभव परिणामों की कुल संख्या = 17

(i) विषम संख्याएँ = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 = 9
P (विषम संख्या वाला कार्ड) = \(\frac {9}{17}\)

(ii) अभाज्य संख्याएँ = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 = 7
P (अभाज्य संख्या वाला कार्ड) = \(\frac {7}{17}\)

(iii) 3 से विभाज्य संख्याएँ = 3, 6, 9, 12, 15 = 5
P (3 से विभाज्य संख्या वाला कार्ड) = \(\frac {5}{17}\)

(iv) 3 और 2 दोनों से विभाज्य संख्याएँ = 6, 12 = 2
P (3 और 2 दोनों से विभाज्य संख्या वाला कार्ड) = \(\frac {2}{17}\)

प्रश्न 4.
किसी लाटरी की 1000 टिकटें बेची गईं और उन पर 5 पुरस्कार रखे गए हैं। यदि साकेत ने लाटरी का एक टिकट खरीदा हो, तो उसके पुरस्कार जीतने की प्रायिकता क्या है?
हल :
क्योंकि पुरस्कारों की संख्या 5 है। इसलिए पुरस्कार जीतने की इस स्थिति में अनुकूल परिणामों की संख्या 5 है तथा सभी संभव परिणामों की कुल संख्या 1000 है, क्योंकि 1000 टिकटें बेची गई हैं।
साकेत के पुरस्कार जीतने की प्रायिकता = अनुकूल परिणामों की संख्या / संभावित परिणामों की कुल संख्या
= \(\frac{5}{1000}=\frac{1}{200}\) = 0.005

प्रश्न 5.
52 पत्तों की ताश की गड्डी से चिड़ी के बादशाह, बेगम और गुलाम को अलग करके शेष को अच्छी तरह से फेंट दिया गया है । शेष पत्तों में से एक पत्ता निकाला जाता है। निम्नलिखित की प्राप्ति की प्रायिकता ज्ञात कीजिए-
(i) पान
(ii) बादशाह
(iii) चिड़ी
(iv) पान का दहला ।
हल :
ताश की गड्डी में पत्तों की कुल संख्या
चिड़ी का बादशाह, बेगम व गुलाम निकालने के बाद पत्तों की संख्या
(i) 49 पत्तों में पान के पत्ते
अतः P (एक पान का पत्ता है) = \(\frac {13}{49}\)

(ii) 49 पत्तों में बादशाह के पत्ते = 3
अतः P (एक बादशाह है) = \(\frac {3}{49}\)

(iii) 49 पत्तों में चिड़ी के पत्ते = 13 – 3 = 10
अतः P (एक चिड़ी का पत्ता है) = \(\frac {10}{49}\)

(iv) 49 पत्तों में पान के दहले = 1
अतः P (एक पान का दहला) = \(\frac {1}{49}\)

प्रश्न 6.
एक पेटी में रखे कार्डों पर 2 से 101 तक की संख्याएँ अंकित हैं। उन्हें अच्छी तरह मिलाया गया है। इस पेटी में से एक कार्ड निकाला जाता है । प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि कार्ड पर अंकित संख्या
(i) एक सम संख्या है
(ii) 14 से कम संख्या है
(iii) एक पूर्ण वर्ग संख्या है
(iv) 20 से कम एक अभाज्य संख्या है।
हल :
पेटी में कार्डों की कुल संख्या = 101 – 1 = 100
अतः सभी संभव परिणामों की संख्या = 100

(i) 2 से 101 तक की संख्याओं के बीच सम संख्याएँ = 50
∴ अनुकूल परिणामों की संख्या = 50
अतः P (एक सम संख्या) = \(\frac {50}{100}\) = \(\frac {1}{2}\)

(ii) 14 से कम संख्याएँ = 13 – 1 = 12
∴ अनुकूल परिणामों की संख्या = 12
अतः P (14 से कम संख्या) = \(\frac {12}{100}\) = \(\frac {3}{25}\)

(iii) 2 से 101 तक की संख्याओं के बीच पूर्ण वर्ग संख्याएँ = 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 = 9
∴ अनुकूल परिणामों की संख्या = 9
अतः P (एक पूर्ण वर्ग संख्या) = \(\frac {9}{100}\)

(iv) 20 से कम अभाज्य संख्याएँ = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 = 8
∴ अनुकूल परिणामों की संख्या = 8
अतः P (20 से कम एक अभाज्य संख्या) = \(\frac{8}{100}=\frac{2}{25}\)

प्रश्न 7.
यदि किसी खेल में जीतने की प्रायिकता 0.3 हो, तो उस खेल में हारने की प्रायिकता क्या है?
हल :
यहाँ पर, खेल खेलने की प्रायिकता = 1
खेल में जीतने की प्रायिकता P (E) = 0.3
खेल में हारने की प्रायिकता P (E नहीं) = 1 – P (E)
= 1 – 0.3 = 0.7

प्रश्न 8.
एक बक्से में 3 नीले, 2 सफेद और 4 लाल कंचे (marbles) हैं। यदि इस बक्से में से एक कंचा यादृच्छया निकाला जाता है, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि यह कंचा-
(i) सफेद है,
(ii) नीला है,
(iii) लाल है।
हल :
यहाँ पर,
बक्से में नीले कंचों की संख्या = 3
बक्से में सफेद कंचों की संख्या = 2
बक्से में लाल कंचों की संख्या = 4
बक्से में कुल कंचों की संख्या = 3 + 2 + 4 = 9
∴ सभी संभव परिणामों की संख्या = 9

(i) सफेद कंचों के अनुकूल परिणामों की संख्या = 2
∴ P (सफेद कंचा) = \(\frac {2}{9}\)

(ii) नीले कंचों के अनुकूल परिणामों की संख्या = 3
∴ P (नीला कंचा) = \(\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\)

(iii) लाल कंचों के अनुकूल परिणामों की संख्या = 4
∴ P (लाल कंचा) = \(\frac {4}{9}\)

प्रश्न 9.
एक ताश की अच्छी तरह फेंटी गई गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है । उस पत्ते के पान का पत्ता होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। उस पत्ते के इक्का न होने की प्रायिकता भी ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर,
ताश की गड्डी में पत्तों की कुल संख्या = 52
∴ सभी सम्भव परिणामों की संख्या = 52

(i) पान के पत्तों की संख्या = 13
⇒ अनुकूल परिणामों की संख्या = 13
अतः P (पान का पत्ता) = \(\frac{13}{52}=\frac{1}{4}\)

(ii) इक्के के पत्तों की संख्या = 4
∴ P (इक्का) = \(\frac{4}{52}=\frac{1}{13}\)
⇒ P (इक्का नहीं) = 1 – \(\frac{1}{13}=\frac{13-1}{13}=\frac{12}{13}\)

प्रश्न 10.
शब्द ASSASSINATION से यादृच्छया एक अक्षर चुना जाता है । प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह अक्षर
(i) एक स्वर है
(ii) एक व्यंजन है।
हल :
यहाँ पर,
शब्द ASSASSINATION में अक्षरों की संख्या = 13
⇒ सभी संभव परिणामों की संख्या = 13
(i) शब्द ASSASSINATION में स्वरों की संख्या = 6
⇒ अनुकूल परिणामों की संख्या = 6
∴ P (एक स्वर अक्षर) = अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी संभव परिणामों की कुल संख्या
= \(\frac {6}{13}\)

(ii) P (एक व्यंजन अक्षर) = 1 – P (एक स्वर अक्षर )
= 1 – \(\frac{6}{13}=\frac{13-6}{13}=\frac{7}{13}\)

प्रश्न 8.
एक बक्से में 3 नीले, 2 सफेद और 4 लाल कंचे (marbles) हैं। यदि इस बक्से में से एक कंचा यादृच्छया निकाला जाता है, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि यह कंचा-
(i) सफेद है,
(ii) नीला है,
(iii) लाल है।
हल :
यहाँ पर,
बक्से में नीले कंचों की संख्या = 3
बक्से में सफेद कंचों की संख्या = 2
बक्से में लाल कंचों की संख्या = 4
बक्से में कुल कंचों की संख्या = 3 + 2 + 4 = 9
∴ सभी संभव परिणामों की संख्या = 9

(i) सफेद कंचों के अनुकूल परिणामों की संख्या = 2
∴ P (सफेद कंचा) = \(\frac {2}{9}\)

(ii) नीले कंचों के अनुकूल परिणामों की संख्या = 3
∴ P (नीला कंचा) = \(\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\)

(iii) लाल कंचों के अनुकूल परिणामों की संख्या = 4
∴ P (लाल कंचा) = \(\frac {4}{9}\)

प्रश्न 9.
एक ताश की अच्छी तरह फेंटी गई गड्ड़ी से एक पत्ता निकाला जाता है । उस पत्ते के पान का पत्ता होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। उस पत्ते के इक्का न होने की प्रायिकता भी ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर,
ताश की गड्डी में पत्तों की कुल संख्या = 52
∴ सभी सम्भव परिणामों की संख्या = 52

(i) पान के पत्तों की संख्या = 13
⇒ अनुकूल परिणामों की संख्या = 13
अतः P (पान का पत्ता) = \(\frac{13}{52}=\frac{1}{4}\)

(ii) इक्के के पत्तों की संख्या = 4
∴ P (इक्का) = \(\frac{4}{52}=\frac{1}{13}\)
⇒ P (इक्का नहीं) = 1 – \(\frac{1}{13}=\frac{13-1}{13}=\frac{12}{13}\)

प्रश्न 10.
शब्द ASSASSINATION से यादृच्छया एक अक्षर चुना जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह अक्षर (i) एक स्वर है (ii) एक व्यंजन है।
हल :
यहाँ पर,
शब्द ASSASSINATION में अक्षरों की संख्या = 13
⇒ सभी संभव परिणामों की संख्या = 13

(i) शब्द ASSASSINATION में स्वरों की संख्या = 6
⇒ अनुकूल परिणामों की संख्या = 6
∴ P (एक स्वर अक्षर) = अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी संभव परिणामों की कुल संख्या = \(\frac {6}{13}\)

(ii) P (एक व्यंजन अक्षर) = 1 – P (एक स्वर अक्षर)
= 1 – \(\frac{6}{13}=\frac{13-6}{13}=\frac{7}{13}\)

बहुविकल्पीय प्रश्न :

प्रश्न 1.
किसी पासे को एक बार उछालने पर 5 से कम अंक प्राप्त होने की प्रायिकता होगी-
(A) \(\frac {1}{2}\)
(B) \(\frac {1}{3}\)
(C) \(\frac {2}{3}\)
(D) \(\frac {5}{6}\)
हल :
(C) \(\frac {2}{3}\)

प्रश्न 2.
एक थैले में 3 लाल, 5 काली और 4 सफेद गेंदे हैं। थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली गई । निकाली गई गेंद के काली होने की प्रायिकता होगी-
(A) \(\frac {1}{4}\)
(B) \(\frac {1}{9}\)
(C) \(\frac {3}{4}\)
(D) \(\frac {5}{12}\)
हल :
(D) \(\frac {5}{12}\)

प्रश्न 3.
एक थैले में 3 लाल, 5 काली और 4 सफेद गेंदे हैं। थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली गई । निकाली गई गेंद के लाल होने की प्रायिकता होगी-
(A) \(\frac {1}{4}\)
(B) \(\frac {1}{9}\)
(C) \(\frac {3}{4}\)
(D) \(\frac {5}{12}\)
हल :
(A) \(\frac {1}{4}\)

प्रश्न 4.
यदि 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 में से एक अंक यादृच्छया चुना जाता है तो इसके विषम अंक होने की प्रायिकता होगी-
(A) \(\frac {1}{9}\)
(B) \(\frac {3}{9}\)
(C) \(\frac {4}{9}\)
(D) \(\frac {5}{9}\)
हल :
(D) \(\frac {5}{9}\)

प्रश्न 5.
यदि 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 में से एक अंक यादृच्छया चुना जाता है तो इसके सम अंक होने की प्रायिकता होगी-
(A) \(\frac {4}{9}\)
(B) \(\frac {3}{9}\)
(C) \(\frac {2}{9}\)
(D) \(\frac {1}{9}\)
हल :
(A) \(\frac {4}{9}\)

प्रश्न 6.
पासे को एक बार फेंकने पर 4 से बड़ी संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता होती है-
(A) \(\frac {2}{3}\)
(B) \(\frac {1}{3}\)
(C) \(\frac {4}{3}\)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(B) \(\frac {1}{3}\)

प्रश्न 7.
पासे को एक बार फेंकने पर संख्या 6 आने की प्रायिकता होगी :
(A) 1
(B) 0
(C) \(\frac {1}{6}\)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(C) \(\frac {1}{6}\)

प्रश्न 8.
पासे को एक बार फेंकने पर संख्या 8 आने की प्रायिकता होगी :
(A) 1
(B) 0
(C) \(\frac {1}{6}\)
(D) \(\frac {1}{2}\)
हल :
(B) 0

प्रश्न 9.
एक सिक्के की एकल उछाल में चित्त प्राप्त करने की प्रायिकता होगी-
(A) \(\frac {1}{2}\)
(B) \(\frac {1}{3}\)
(C) \(\frac {2}{3}\)
(D) \(\frac {5}{6}\)
हल :
(A) \(\frac {1}{2}\)

प्रश्न 10.
52 पत्तों की अच्छी प्रकार से फेंटी गई एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। लाल रंग का चित्र पत्ता प्राप्त करने की प्रायिकता होगी-
(A) \(\frac {5}{26}\)
(B) \(\frac {1}{4}\)
(C) \(\frac {3}{26}\)
(D) \(\frac {1}{26}\)
हल :
(C) \(\frac {3}{26}\)

प्रश्न 11.
52 पत्तों की अच्छी प्रकार से फेंटी गई एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। काले रंग का बेगम का पत्ता होने की प्रायिकता होगी-
(A) \(\frac {1}{13}\)
(B) \(\frac {1}{26}\)
(C) \(\frac {2}{13}\)
(D) \(\frac {3}{13}\)
हल :
(B) \(\frac {1}{26}\)

प्रश्न 12.
एक थैले में 3 लाल और 2 नीली गोलियाँ हैं । एक गोली यादृच्छयां (at random) निकाली जाती है । नीली गोली के निकलने की प्रायिकता होगी-
(A) \(\frac {1}{5}\)
(B) \(\frac {3}{5}\)
(C) \(\frac {4}{5}\)
(D) \(\frac {2}{5}\)
हल :
(D) \(\frac {2}{5}\)

प्रश्न 13.
एक निश्चित घटना की प्रायिकता ………………….. होती है ।
(A) शून्य
(B) 1
(C) \(\frac {1}{2}\)
(D) \(\frac {1}{3}\)
हल :
(B) 1

प्रश्न 14.
यदि तीन सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है तो कम-से-कम दो चित प्राप्त करने की प्रायिकता होगी-
(A) \(\frac {1}{2}\)
(B) \(\frac {1}{3}\)
(C) \(\frac {1}{4}\)
(D) \(\frac {3}{8}\)
हल :
(A) \(\frac {1}{2}\)

प्रश्न 15.
एक पासे को एक बार फेंकने में 3 के गुणांक प्राप्त करने की प्रायिकता होगी-
(A) \(\frac {1}{2}\)
(B) \(\frac {1}{3}\)
(C) \(\frac {1}{4}\)
(D) \(\frac {2}{3}\)
हल :
(B) \(\frac {1}{3}\)

प्रश्न 16.
एक असंभव घटना की प्रायिकता ……………… होती है ।
(A) शून्य
(B) 1
(C) 0.5
(D) 0.4
हल :
(A) शून्य

प्रश्न 17.
किसी घटना (निश्चित और असंभव घटनाओं के अतिरिक्त) की प्रायिकता ………………….. के बीच में होती है ।
(A) शून्य और दो
(B) शून्य और तीन
(C) शून्य और एक
(D) शून्य और चार
हल :
(C) शून्य और एक

प्रश्न 18.
एक पासे को एक बार उछाला गया। अभाज्य संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता ………………… है ।
(A) 1
(B) शून्य
(C) \(\frac {2}{3}\)
(D) \(\frac {1}{2}\)
हल :
(D) \(\frac {1}{2}\)

प्रश्न 19.
यह ज्ञात है कि बिजली के 600 बल्बों की एक पेटी में 12 बल्ब त्रुटिपूर्ण हैं। इस पेटी से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है । बल्ब के ठीक निकलने की प्रायिकता होगी-
(A) \(\frac {1}{50}\)
(B) \(\frac {49}{50}\)
(C) \(\frac {12}{50}\)
(D) \(\frac {1}{25}\)
हल :
(B) \(\frac {49}{50}\)

प्रश्न 20.
17 कार्ड, जिन पर 1, 2, 3, …….,16, 17 संख्याएँ अंकित हैं, एक पेटी में रखे गए हैं और उन्हें अच्छी तरह से मिलाया गया है । एक व्यक्ति पेटी में से एक कार्ड निकालता है। निकाले गए कार्ड पर संख्या 3 और 2 दोनों से विभाज्य होने की प्रायिकता होगी-
(A) \(\frac {2}{17}\)
(B) \(\frac {3}{17}\)
(C) \(\frac {4}{17}\)
(D) \(\frac {5}{17}\)
हल :
(A) \(\frac {2}{17}\)

प्रश्न 21.
किसी लाटरी की 1000 टिकटें बेची गईं और उन पर 5 पुरस्कार रखे गए हैं। यदि साकेत ने लाटरी का एक टिकट खरीदा हो, तो उसके पुरस्कार जीतने की प्रायिकता होगी –
(A) 0.5
(B) 0.05
(C) 0.005
(D) 0.0005
हल :
(C) 0.005

प्रश्न 22.
अच्छी तरह से फेंटी गई ताश की गड्डी से एक पत्ता निकाला गया है । प्रायिकता क्या होगी कि निकाला गया पत्ता एक चित्र पत्ता (a face card) है-
(A) \(\frac {1}{13}\)
(B) \(\frac {2}{13}\)
(C) \(\frac {5}{13}\)
(D) \(\frac {3}{13}\)
हल :
(D) \(\frac {3}{13}\)

प्रश्न 23.
किसी पासे को एक बार फेंका जाता है । सम संख्या प्राप्ति की प्रायिकता होगी-
(A) \(\frac {1}{6}\)
(B) \(\frac {1}{3}\)
(C) \(\frac {1}{2}\)
(D) \(\frac {2}{3}\)
हल :
(C) \(\frac {1}{2}\)

प्रश्न 24.
निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती ?
(A) 0.8
(B) 9%
(C) – 2.3
(D) \(\frac {4}{5}\)
हल :
(C) – 2.3

प्रश्न 25.
एक थैले में 3 हरे, 4 नीले तथा 2 संतरी रंग के कंचे हैं। यदि एक कंचा यादृच्छया निकाला जाता है तो संतरी रंग कंचा नहीं होने की प्रायिकता होगी-
(A) \(\frac {2}{9}\)
(B) \(\frac {7}{9}\)
(C) \(\frac {4}{9}\)
(D) \(\frac {1}{3}\)
हल :
(B) \(\frac {7}{9}\)

प्रश्न 26.
52 पत्तों की ताश की गड्डी से चिड़ी के बादशाह, बेगम और गुलाम को अलग करके शेष को अच्छी तरह से फेंट दिया गया है । शेष पत्तों में से एक पत्ता निकाला जाता है। निकाला गया पत्ता पान का दहला होने की प्रायिकता होगी-
(A) \(\frac {1}{49}\)
(B) \(\frac {1}{50}\)
(C) \(\frac {1}{51}\)
(D) \(\frac {1}{26}\)
हल :
(A) \(\frac {1}{49}\)

प्रश्न 27.
52 पत्तों की ताश की गड्डी से चिड़ी के बादशाह, बेगम और गुलाम को अलग करके शेष को अच्छी तरह से फेंट दिया गया है। शेष पत्तों में से एक पत्ता निकाला जाता है। निकाला गया पत्ता बादशाह होने की प्रायिकता होगी-
(A) \(\frac {1}{49}\)
(B) \(\frac {2}{49}\)
(C) \(\frac {3}{49}\)
(D) \(\frac {4}{49}\)
हल :
(C) \(\frac {3}{49}\)

प्रश्न 28.
यदि P (A) = 0.07, तो P (A नहीं) का मान है :
(A) 0.07
(B) 0.93
(C) 0.3
(D) 0
हल :
(B) 0.93

प्रश्न 29.
एक पेटी में रखे कार्डों पर 2 से 101 तक की संख्याएँ अंकित हैं। उन्हें अच्छी तरह मिलाया गया है। इस पेटी में से एक कार्ड निकाला जाता है। कार्ड पर अंकित संख्या एक सम संख्या होने की प्रायिकता होगी-
(A) \(\frac {1}{2}\)
(B) \(\frac {1}{4}\)
(C) \(\frac {3}{25}\)
(D) \(\frac {2}{25}\)
हल :
(A) \(\frac {1}{2}\)

प्रश्न 30.
एक पेटी में रखे कार्डों पर 2 से 101 तक की संख्याएँ अंकित हैं। उन्हें अच्छी तरह से मिलाया गया है। इस पेटी में से एक कार्ड निकाला जाता है। कार्ड पर अंकित संख्या 14 से कम होने की प्रायिकता होगी-
(A) \(\frac {1}{2}\)
(B) \(\frac {1}{4}\)
(C) \(\frac {3}{25}\)
(D) \(\frac {2}{25}\)
हल :
(C) \(\frac {3}{25}\)

प्रश्न 31.
एक थैले में 5 लाल, 8 सफेद, 4 हरी और 7 काली गेंदे हैं। एक गेंद यादृच्छया थैले से निकाली जाती है। निकाली गई गेंद के काली होने की प्रायिकता होगी-
(A) \(\frac {5}{24}\)
(B) \(\frac {7}{24}\)
(C) \(\frac {1}{6}\)
(D) \(\frac {5}{6}\)
हल :
(B) \(\frac {7}{24}\)

प्रश्न 32.
एक थैले में 5 लाल, 8 सफेद, 4 हरी और 7 काली गेंदे हैं। एक गेंद यादृच्छया थैले से निकाली जाती है । निकाली गई गेंद के लाल होने की प्रायिकता होगी-
(A) \(\frac {7}{24}\)
(B) \(\frac {1}{6}\)
(C) \(\frac {5}{6}\)
(D) \(\frac {5}{24}\)
हल :
(D) \(\frac {5}{24}\)

प्रश्न 33.
पासे को एक बार फेंकने पर संख्या 7 आने की प्रायिकता होगी :
(A) \(\frac {1}{6}\)
(B) 1
(C) 0
(D) \(\frac {2}{3}\)
हल :
(C) 0

प्रश्न 34.
ताश के 52 पत्तों में से एक पत्ता अचानक गिर जाता है। इसके इक्का होने की प्रायिकता होगी –
(A) \(\frac {1}{26}\)
(B) \(\frac {1}{13}\)
(C) \(\frac {1}{4}\)
(D) \(\frac {3}{52}\)
हल :
(B) \(\frac {1}{13}\)

प्रश्न 35.
पासे को एक बार फेंकने पर विषम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता होगी :
(A) \(\frac {1}{6}\)
(B) \(\frac {2}{3}\)
(C) \(\frac {1}{3}\)
(D) \(\frac {1}{2}\)
हल :
(D) \(\frac {1}{2}\)

प्रश्न 36.
अच्छी प्रकार से फेंटी गई 52 पत्तों की गड्डी में से एक पत्ता खींचा गया है। लाल रंग के एक बादशाह के प्राप्त होने की प्रायिकता होगी –
(A) \(\frac {3}{13}\)
(B) \(\frac {1}{26}\)
(C) \(\frac {1}{13}\)
(D) \(\frac {1}{4}\)
हल :
(B) \(\frac {1}{26}\)

प्रश्न 37.
1 से 30 तक अंकित टिकटों को अच्छी तरह से मिलाकर एक बॉक्स में डाला जाता है तथा उसमें से एक टिकट निकाली जाती है । टिकट पर अंकित अंक सम पूर्ण वर्ग होने की प्रायिकता होगी-
(A) \(\frac {1}{30}\)
(B) \(\frac {1}{15}\)
(C) \(\frac {1}{10}\)
(D) \(\frac {2}{15}\)
हल :
(B) \(\frac {1}{15}\)

प्रश्न 38.
1 से 25 तक की संख्याओं में से एक संख्या चुनी जाती है। उस संख्या के अभाज्य होने की प्रायिकता होगी-
(A) \(\frac {2}{25}\)
(B) \(\frac {7}{25}\)
(C) \(\frac {9}{25}\)
(D) \(\frac {1}{5}\)
हल :
(C) \(\frac {9}{25}\)

प्रश्न 39.
यदि P (E) = 0.05, तो P (E नहीं ) है :
(A) 0.05
(B) 0.5
(C) 0.95
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(C) 0.95

प्रश्न 40.
यदि P (E) = 0.03, तो P (E नहीं) का मान है :
(A) 0.97
(B) 0.7
(C) 0.03
(D) 0
हल :
(A) 0.97

प्रश्न 41.
किसी घटना E के लिए निम्न रिक्त स्थान भरें-
P(E) = ……………….. – P (E)
(A) 1
(B) 2
(C) 0
(D) -1
हल :
(A) 1

प्रश्न 42.
दो खिलाड़ी संगीता और रेशमा टेनिस का एक मैच खेलते हैं । यह ज्ञात है कि संगीता द्वारा मैच जीतने की प्रायिकता 0.62 है । रेशमा के जीतने की प्रायिकता होगी-
(A) 0.038
(B) 3.8
(C) 0.0038
(D) 0.38
हल :
(D) 0.38

प्रश्न 43.
एक थैले में केवल नींबू की महक वाली मीठी गोलियाँ हैं । मालिनी बिना थैले में झाँके, उसमें से एक गोली निकालती है । निकाली गई गोली के संतरे की महक वाली होने की प्रायिकता होगी-
(A) शून्य
(B) \(\frac {1}{2}\)
(C) \(\frac {1}{4}\)
(D) 1
हल :
(A) शून्य

प्रश्न 44.
एक थैले में केवल नींबू की महक वाली मीठी गोलियाँ हैं । मालिनी बिना थैले में झाँके उसमें से एक गोली निकालती है | निकाली गई गोली के नींबू की महक वाली होने की प्रायिकता होगी-
(A) शून्य
(B) \(\frac {1}{2}\)
(C) \(\frac {1}{4}\)
(D) 1
हल :
(D) 1

प्रश्न 45.
यदि 3 विद्यार्थियों के एक समूह में से 2 विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन न होने की प्रायिकता 0.992 हो तो 2 विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन होने की प्रायिकता होगी-
(A) 0.8
(B) 0.08
(C) 0.008
(D) 0.0008
हल :
(C) 0.008

प्रश्न 46.
एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदे हैं । इस थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। इसके लाल रंग के होने की प्रायिकता होगी-
(A) \(\frac {5}{8}\)
(B) \(\frac {3}{8}\)
(C) \(\frac {3}{5}\)
(D) \(\frac {1}{4}\)
हल :
(B) \(\frac {3}{8}\)

प्रश्न 47.
एक डिब्बे में 5 लाल कंचे, 8 सफेद कंचे और 4 हरे कंचे हैं। इस डिब्बे में से एक कंचा यादृच्छया निकाला जाता है । इसके हरा न होने की प्रायिकता होगी-
(A) \(\frac {5}{17}\)
(B) \(\frac {8}{17}\)
(C) \(\frac {4}{17}\)
(D) \(\frac {13}{17}\)
हल :
(D) \(\frac {13}{17}\)

प्रश्न 48.
किसी कारण 12 खराब पेन, 132 अच्छे पेनों में मिल गए हैं। केवल देखकर यह नहीं बताया जा सकता है कि कोई पेन खराब है या अच्छा है। इस मिश्रण में से एक पेन यादृच्छया निकाला जाता है । निकाले गए पेन के अच्छा होने की प्रायिकता होगी –
(A) \(\frac {11}{12}\)
(B) \(\frac {1}{12}\)
(C) \(\frac {1}{11}\)
(D) 1
हल :
(A) \(\frac {11}{12}\)

प्रश्न 49.
20 बल्बों के एक समूह में 4 बल्ब खराब हैं। इस समूह में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है । इसके खराब होने की प्रायिकता होगी-
(A) शून्य
(B) 1
(C) \(\frac {1}{5}\)
(D) \(\frac {4}{5}\)
हल :
(C) \(\frac {1}{5}\)

प्रश्न 50.
यदि P (A नहीं) = 0.04, तो P (A) का मान है :
(A) 0.04
(B) 0
(C) 0.96
(D) 0.6
हल :
(C) 0.96

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Important Questions Chapter 14 सांख्यिकी Important Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Important Questions Chapter 14 सांख्यिकी

परीक्षोपयोगी अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न :

प्रश्न 1.
किसी स्कूल की कक्षा X के 30 विद्यार्थियों द्वारा गणित के एक पेपर में, 100 में से प्राप्त किए गए अंक नीचे एक सारणी में दिए गए हैं। इन विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त अंकों का माध्य ज्ञात कीजिए ।

हल :
यहाँ पर,

प्रश्न 2.
निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए-

हल :
यहाँ पर,

प्रश्न 3.
यदि निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्य 15 हो तो p का मान ज्ञात करो –

हल :
यहाँ पर,

⇒ 15 (27 + p) = 445 + 10p
⇒ 405 + 1.5p = 445 + 10p
⇒ 15p – 10p = 445 – 405
⇒ 5p = 40
⇒ P = \(\frac {40}{5}\) = 8

प्रश्न 4.
कल्पित माध्य विधि से निम्नलिखित आँकड़ों की माध्य मजदूरी ज्ञात कीजिए-

हल :
माना कल्पित माध्य (a) = 900
तो d_i = x_i – a = x_i – 900

अतः दिए गए आँकड़ों की माध्य मजदूरी = 891.20 रु०

प्रश्न 5.
निम्नलिखित सारणी में ग्रामीण क्षेत्र के विद्यालयों में महिला शिक्षकों के प्रतिशत बंटन को दर्शाती है। महिला शिक्षकों का माध्य प्रतिशत ज्ञात कीजिए :

हल :
यहाँ पर,
माना कल्पित माध्य (a) = 50
तथा वर्ग-माप (h) = 10 तो u₁ = \(\frac{x_i-a}{h}=\frac{x_i-50}{10}\)

प्रश्न 6.
किसी परीक्षा के 140 विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त अंक निम्नलिखित सारणी में दर्शाए गए हैं-

तीनों विधियों अर्थात् प्रत्यक्ष विधि, कल्पित माध्य विधि और पग- विचलन विधि के द्वारा माध्य अंकों का परिकलन कीजिए ।
हल :
(i) प्रत्यक्ष विधि :

(ii) कल्पित माध्य विधि : माना कल्पित माध्य (a) = 25 तो d_i = x_i – a = x_i – 25

(iii) पग-विचलन विधि : कल्पित माध्य (a) = 25, h = 10 तो u_i = \(\frac{x_i-a}{h}=\frac{x_i-25}{10}\)

प्रश्न 7.
निम्नलिखित आंकड़ों से माध्य ज्ञात कीजिए-

अंक	विद्यार्थियों की संख्या
10 से कम 20 से कम 30 से कम 40 से कम 50 से कम 60 से कम 70 से कम 80 से कम 90 से कम 100 से कम	5 9 17 29 45 60 70 78 83 85

हल :
माना कल्पित माध्य (a) = 45, h = 10 तो u_i = \(\frac{x_i-a}{h}=\frac{x_i-45}{10}\)

प्रश्न 8.
वर्ष 2000-2001 के लिए किसी नगर के साप्ताहिक निर्वाह खर्च सूचकांक निम्नानुसार हैं-

निर्वाह खर्च सूचकांक	सप्ताहों की संख्या
140-150 150-160 160-170 170-180 180-190 190-200	5 10 20 9 6 2
योग	52

माध्य साप्ताहिक निर्वाह खर्च सूचकांक का परिकलन कीजिए ।
हल :
माना कल्पित माध्य (a) = 175, h = 10 तो u_i = \(\frac{x_i-a}{h}=\frac{x_i-175}{10}\)

मध्य (\(\bar{x}\)) = a + \(\frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}\) × h = 175 + \(\frac {-45}{52}\) × 10 = 175 – 8.7 = 166.3 (लगभग)

प्रश्न 9.
निम्नलिखित बारंबारता बंटन में वर्ग – अंतराल (40-50) की बारंबारता अज्ञात है । यह ज्ञात है कि बंटन का माध्य 52 है। अज्ञात बारंबारता ज्ञात कीजिए ।

हल :
माना अज्ञात बारंबारता = f, माध्य (\(\bar{x}\)) = 52
कल्पित माध्य (a) = 45, h = 10

प्रश्न 10.
निम्नलिखित वर्गीकृत बारंबारता बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए-

हल :
यहाँ पर अधिकतम वर्ग बारंबारता 23 है तथा इस बारंबारता का संगत वर्ग : 12-15 है।
⇒ बहुलक वर्ग = 12-15
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (l) = 12
वर्ग-माप = 3
बहुलक वर्ग की बारंबारता (f₁) = 23
बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता (f₀) = 10
बहुलक वर्ग के ठीक बाद में आने वाले वर्ग की बारंबारता (f₂) = 21
अब बहुलक = l + (\(\frac{f_1-f_0}{2 f_1-f_0-f_2}\)) × h
= 12 + (\(\frac{23-10}{2(23)-10-21}\)) × 3
= 12 + \(\frac {13}{15}\) × 3 = 12 + 2.6 = 14.6

प्रश्न 11.
निम्नलिखित बारंबारता बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए-

हल :
यहाँ पर बहुलक ज्ञात करने के लिए आँकड़ों को सतत वर्ग-अंतरालों में बदलना पड़ेगा क्योंकि सूत्र में वर्ग-अंतरालों को सतत माना गया है जो निम्नलिखित होंगे-

वर्ग-अंतराल	बारंबारता (f)
0.5-4.5 4.5-8.5 8.5-12.5 12.5-16.5 16.5-20.5 20.5-24.5 24.5-28.5 28.5-32.5 32.5-36.5 36.5-40.5	2 5 8 9 12 14 14 15 11 13

यहाँ पर अधिकतम वर्ग बारंबारता 15 है तथा इस बारंबारता का संगत वर्ग 28.5 -32.5 है।
⇒ बहुलक वर्ग = 28.5 – 32.5
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (l) = 28.5
वर्ग-माप (h) = 4
बहुल वर्ग की बारंबारता (f₁) = 15
बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता (f₀) = 14
बहुलक वर्ग के ठीक बाद में आने वाले वर्ग की बारंबारता (f₂) = 11
अब बहुलक = l + (\(\frac{f_1-f_0}{2 f_1-f_0-f_2}\)) × h
= 28.5 + (\(\frac{15-14}{2(15)-14-11}\)) × 4
= 28.5 × \(\frac {1}{5}\) × 4
= 28.5 + 0.8
= 29.3

प्रश्न 12.
निम्नलिखित आँकड़ों का माध्यक 525 है। यदि बारंबारताओं का योग 100 है, तो x और y का मान ज्ञात कीजिए।

वर्ग-अंतराल	बारंबारता (f)
0-100 100-200 200-300 300-400 400-500 500-600 600-700 700-800 800-900 900-1000	2 5 x 12 17 20 Y 9 7 4

हल :
यहाँ पर,

वर्ग-अंतराल	बारंबारता (f)	संचयी बारंबारता (cf)
0-100 100-200 200-300 300-400 400-500 500-600 600-700 700-800 800-900 900-1000	2 5 X 12 17 20 Y 9 7 4	2 7 7 + x 19 + x 36 + x 56 + x 56 + x + y 65 + x + y 72 + x + y 76 + x + y

प्रश्नानुसार, n = 100 ⇒ \(\frac{n}{2}=\frac{100}{2}\) = 50 जो कि वर्ग-अंतराल 500-600 में आता है
⇒ 76 + x + y = 100 ⇒ x + y = 24 ………………(i)
क्योंकि, माध्यक 525 है, जो वर्ग 500-600 में स्थित है ।
अतः, l = 500, f = 20, cf = 36 + x, h = 100
अब माध्यक = l + (\(\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\)) × h
⇒ 525 = 500 + (\(\frac{50-36-x}{20}\)) × 100
या 525 – 500 = (14 – x) × 5
या 25 = 70 – 5x
या 5x = 70 – 25 = 45
अतः x = 9
समीकरण (i) 9 + y = 24
⇒ y = 24 – 9 = 15
अतः x = 9 व y = 15

प्रश्न 13.
किसी स्कूल की कक्षा X की 51 लड़कियों की ऊँचाइयों का एक सर्वेक्षण किया गया और निम्नलिखित आँकड़े प्राप्त किए गए-

माध्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।
हल :

ऊँचाई (cm में)	बारम्बारता (f)	संचयी बारम्बारता (cf)
140 से कम 140-145 145-150 150-155 155-160 160-165	4 7 18 11 06 05	4 11 29 40 46 51

यहाँ n = 51
⇒ \(\frac{n}{2}=\frac{51}{2}\) = 25.5 जोकि वर्ग अन्तराल 145 – 150 में आता है।
अतः माध्यक वर्ग = 145 – 150
अब माध्यक वर्ग की निम्न सीमा (l) = 145
वर्गमाप (h) = 5
माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारम्बारता (cf) = 11
माध्यक वर्ग की बारम्बारता (f) = 18
अब माध्यक = l + (\(\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\)) × h
= 145 + (\(\frac{25.5-11}{18}\)) × 5
= 145 + \(\frac {72.5}{18}\)
= 145 + 4.03
= 149.03 cm

प्रश्न 14.
एक प्रवेश परीक्षा में 230 विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त अंकों की बारंबारता बंटन निम्नलिखित है-

एक ही अक्ष पर ‘से कम’ तथा ‘से अधिक’ विधि द्वारा संचयी बारंबारता वक्र बनाएँ तथा माध्यक ज्ञात कीजिए ।
हल :
दी गई बारंबारता बंटन का एक कम प्रकार की संचयी बारंबारता बंटन सारणी व ‘से अधिक’ प्रकार की संचयी बारंबारता बंटन सारणी निम्नलिखित प्राप्त होगी-

प्राप्तांक	संचयी बारंबारता
450 से कम 500 से कम 550 से कम 600 से कम 650 से कम 700 से कम 750 से कम 800 से कम	2 55 (20 + 35) 95 (55 + 40) 127 (95 + 32) 151 (127 + 24) 178(151 + 27) 196(178 + 18) 230(196 + 34)

प्राप्तांक	संचयी बारंबारता
400 से अधिक 450 से अधिक 500 से अधिक 550 से अधिक 600 से अधिक 650 से अधिक 700 से अधिक 750 से अधिक	230 210 175 135 103 79 52 34

अब ग्राफ पेपर पर बिन्दुओं (450, 20), (500, 55), (550, 95), (600, 127), (650, 151), (700, 178), (750, 196) व (800, 230) को आलेखित कर मुक्त हस्त से मिलाकर ‘से कम’ प्रकार का तोरण खींचिए।

इसी प्रकार बिन्दुओं (400, 230), (450, 210), (500, 175), (550, 135), (600, 103), (650, 79), (700, 52) व (750, 34) को आलेखित कर मुक्त हस्त से मिलाकर ‘से अधिक’ प्रकार का तोरण खींचिए।

दोनों तोरणों का कटाव बिन्दु P माध्यक 581 (लगभग) प्रदान करता है ।

प्रश्न 15.
निम्नलिखित बारंबारता बंटन के लिए ‘से कम’ प्रकार का तोरण खींचिए –

हल :
दी गई बारंबारता बंटन सारणी को एक कम प्रकार की संचयी बारंबारता बंटन सारणी में बदलने पर प्राप्त होगा-

अंक	संचयी बारंबारता
10 से कम 20 से कम 30 से कम 40 से कम 50 से कम 60 से कम	7 17 (7+10)40 (17+23) 91 (40+51) 97 (91+6) 100 (97 +3)

अब बिन्दुओं A(10, 7), B(20, 17), C (30, 40), D(40, 91), E(50, 97) व F (60, 100) को आलेखित कर मुक्त हस्त से मिलाकर ‘से कम’ प्रकार का तोरण निम्नलिखित होगा –

बहुविकल्पीय प्रश्न :

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से कौन-सा केन्द्रीय प्रवृत्ति का माप नहीं है-
(A) माध्य
(B) माध्यक
(C) बहुलक
(D) मानक विचलन
हल :
(D) मानक विचलन

प्रश्न 2.
यदि प्रेक्षणों
x₁, x₂, x₃ ………………… x_n की बारंबारताएँ क्रमशः f₁, f₂, f₃ ……………. f_n हों तो इनका माध्य होगा-

हल :

प्रश्न 3.
किसी महाविद्यालय के दस विद्यार्थियों के प्रतिदिन के जेब खर्च (रुपयों में) क्रमशः निम्नलिखित हैं-
26, 27, 20, 29, 21, 23, 25, 30, 28, 21
माध्य प्रतिदिन जेब खर्च होगा-
(A) 25 रु०
(B) 24 रु०
(C) 26 रु०
(D) 25.50 रु०
हल :
(A) 25 रु०

प्रश्न 4.
किसी पाठशाला की दसवीं कक्षा के 10 विद्यार्थियों का भार (कि०ग्रा० में) निम्नलिखित है-
38, 42, 43, 40, 47, 45, 55, 39, 41, 50 इनका माध्य होगा-
(A) 42 कि०ग्रा०
(B) 43 कि०ग्रा०
(C) 44 कि०ग्रा०
(D) 45 कि०ग्रा०
हल :
(C) 44 कि०ग्रा०

प्रश्न 5.
दसवीं कक्षा के एक विद्यार्थी के छः भिन्न-भिन्न विषयों में प्राप्त अंक निम्नानुसार हैं-
70, 76, 82, 78, 83 और 85
इनका माध्य होगा-
(A) 78
(B) 79
(C) 77
(D) 80
हल :
(B) 79

प्रश्न 6.
दसवीं कक्षा के पाँच विद्यार्थियों की मध्यमान ऊँचाई 161 सें०मी० है । यदि उनमें से चार विद्यार्थियों की ऊँचाई (सें०मी० में) 165, 159, 156 और 162 हो तो पाँचवें विद्यार्थी की ऊँचाई होगी-
(A) 163 cm
(B) 164 cm
(C) 162 cm
(D) 161 cm
हल :
(A) 163 cm

प्रश्न 7.
संचयी बारंबारता सारणी निम्न में से क्या ज्ञात करने के लिए बनाई जाती है ?
(A) माध्य
(B) माध्यक
(C) बहुलक
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(B) माध्यक

प्रश्न 8.
प्रथम 7 सम संख्याओं का माध्य होगा-
(A) 8
(B) 7
(C) 6
(D) 4
हल :
(A) 8

प्रश्न 9.
9 प्रेक्षणों का माध्य 35 ज्ञात किया गया। बाद में पता चला कि एक प्रेक्षण 81 को गलती से 18 पढ़ लिया गया था। इन प्रेक्षणों का सही माध्य होगा-
(A) 42
(B) 41
(C) 40
(D) 39
हल :
(A) 42

प्रश्न 10.
किसी वर्ग – अंतराल की ऊपरी तथा निचली वर्ग सीमाओं का औसत क्या कहलाता है ?
(A) बारंबारता
(C) संचयी बारंबारता
(B) वर्ग चिह्न
(D) माध्यक
हल :
(B) वर्ग चिह्न

प्रश्न 11.
वर्ग – अंतराल 20-25 का वर्ग चिह्न होगा-
(A) 22.0
(B) 22.5
(C) 23.0
(D) 23.5
हल :
(B) 22.5

प्रश्न 12.
वर्ग- अंतराल 40-55 का वर्ग चिह्न होगा-
(A) 43.5
(B) 45.5
(C) 47.5
(D) 49.5
हल :
(C) 47.5

प्रश्न 13.
वर्ग- अंतराल 20-60 का वर्ग चिह्न होगा-
(A) 42
(B) 45
(C) 35
(D) 40
हल :
(D) 40

प्रश्न 14.
प्रथम 6 सम संख्याओं का माध्य क्या है ?
(A) 8
(B) 7
(C) 6
(D) 12
हल :
(B) 7

प्रश्न 15.
प्रथम 6 विषम संख्याओं का माध्य क्या होगा ?
(A) 8
(B) 7
(C) 6
(D) 4
हल :
(C) 6

प्रश्न 16.
किसी भी बारंबारता बंटन के लिए माध्य से विचलनों का बीजगणितीय योग होता है-
(A) सदैव धनात्मक
(B) शून्य
(C) सदैव ऋणात्मक
(D) एक शून्येत्तर संख्या
हल :
(B) शून्य

प्रश्न 17.
वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य ज्ञात करने की विधि है –
(A) प्रत्यक्ष – विधि
(B) कल्पित- माध्य विधि
(C) पग-विचलन विधि
(D) उपरोक्त तीनों
हल :
(D) उपरोक्त तीनों

प्रश्न 18.
निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्य क्या होगा ?

(A) 6
(B) 7
(C) 8
(D) 9
हल :
(D) 9

प्रश्न 19.
निम्नलिखित बारंबारता. बंटन का माध्य क्या होगा ?

(A) 6
(B) 7
(C) 8
(D) 9
हल :
(A) 6

प्रश्न 20.
निम्नलिखित बारंबारता बंटन का माध्य क्या होगा ?

(A) 50
(B) 52.5
(C) 55
(D) 60
हल :
(C) 55

प्रश्न 21.
अध्ययन का वह क्षेत्र जिसमें आँकड़ों के प्रस्तुतिकरण, विश्लेषण तथा निर्वचन पर विचार किया जाता है, उसे कहा जाता है-
(A) सांख्यिकी
(B) क्षेत्रमिति
(C) त्रिकोणमिति
(D) ज्यामिति
हल :
(A) सांख्यिकी

प्रश्न 22.

वर्ग – अंतराल	बारंबारता
0-5 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 30-35	5 12 11 8 1 1 2
कुल	40

प्रत्येक वर्ग- अंतराल की माप है-
(A) 10
(B) 5
(C) 35
(D) 12
हल :
(B) 5

प्रश्न 23.
प्रश्न नं० 22 की सारणी में चौथे वर्ग-अंतराल की निम्न वर्ग सीमा है-
(A) 15
(B) 20
(C) 17.5
(D) 8
हल :
(A) 15

प्रश्न 24.
प्रश्न नं० 22 की सारणी में अंतिम वर्ग – अंतराल की उच्च वर्ग सीमा है-
(A) 30
(B) 32.5
(C) 35
(D) 2
हल :
(C) 35

प्रश्न 25.
प्रश्न नं० 22 की सारणी में तीसरे वर्ग – अंतराल का वर्ग चिह्न है-
(A) 10
(B) 15
(C) 11
(D) 12.5
हल :
(D) 12.5

प्रश्न 26.
प्रश्न नं० 22 की सारणी में अधिकतम बारंबारता वाला वर्ग- अंतराल है-
(A) 0-5
(B) 5-10
(C) 10-15
(D) 15-20
हल :
(B) 5-10

प्रश्न 27.
नीचे की सारणी में 400 नियॉन लैंपों के जीवनकाल दिए गए हैं-

जीवनकाल (घंटों में)	लैंपों की संख्या
300-400 400-500 500-600 600-700 700-800 800-900 900-1000	14 56 60 86 74 62 48

उपरोक्त सारणी में 700 घंटों से अधिक जीवनकाल वाले लैंपों की संख्या है-
(A) 74
(B) 136
(C) 184
(D) 110
हल :
(D) 110

प्रश्न 28.
प्रथम 7 प्राकृत संख्याओं का माध्य क्या है ?
(A) 8
(B) 7
(C) 4
(D) 3
हल :
(C) 4

प्रश्न 29.
निम्नलिखित आँकड़ों का बहुलक क्या है ?
12, 16, 8, 12, 8, 12, 16, 10, 12, 16, 18, 16, 8, 16
(A) 12
(B) 16
(C) 8
(D) 10
हल :
(B) 16

प्रश्न 30.
प्रथम पाँच प्राकृत संख्याओं का माध्य होगा-
(A) 3
(B) 3.5
(C) 4.0
(D) 4.5
हल :
(A) 3

प्रश्न 31.
5 संख्याओं का माध्य 20 है। यदि इनमें से एक संख्या निकाल दी जाए, तो शेष संख्याओं का माध्य 23 हो जाता है । निकाली गई संख्या होगी-
(A) 8
(B) 7
(C) 6
(D) 5
हल :
(A) 8

प्रश्न 32.
यदि परीक्षा पूरी करने में किसी विशेष समूह द्वारा लिया गया समय मिनटों में क्रमशः 17, 19, 20, 22, 24, 24, 28, 30, 30, 36 हो तथा इनका माध्य 25 हो तो कितने विद्यार्थियों ने माध्य से अधिक समय लिया ?
(A) तीन
(B) चार
(C) पाँच
(D) छह
हल :
(B) चार

प्रश्न 33.
…………………. दिए हुए प्रेक्षणों में वह मान है जो सबसे अधिक बार आता है ?
(A) माध्य
(B) माध्यक
(C) बहुलक
(D) (A) व (B) दोनों
हल :
(C) बहुलक

प्रश्न 34.
किसी गेंदबाज़ द्वारा 10 क्रिकेट मैचों में लिए गए विकेटों की संख्याएँ निम्नलिखित हैं-
2 6 4 5 0 2 1 3 2 3
इन आँकड़ों का बहुलक होगा-
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
हल :
(B) 2

प्रश्न 35.
निम्नलिखित आँकड़ों का बहुलक क्या होगा ?
3, 2, 3, 4, 0, 3, 1, 3
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 1
हल :
(B) 3

प्रश्न 36.
निम्नलिखित आँकड़ों का बहुलक क्या होगा ?
2.5, 2.3, 2.2, 2.2, 2.4, 2.7, 2.6, 2.5, 2.3, 2.2, 2.5, 2.2
(A) 2.5
(B) 2.4
(C) 2.3
(D) 2.2
हल :
(D) 2.2

प्रश्न 37.
निम्नलिखित आँकड़ों का माध्यक क्या है ?
34, 32, 48, 38, 24, 30, 27, 21, 35
(A) 24
(B) 32
(C) 21
(D) 48
हल :
(B) 32

प्रश्न 38.
निम्नलिखित बारम्बारता सारणी में बहुलक वर्ग होगा :

(A) 0 – 10
(B) 20 – 30
(C) 50 – 60
(D) 40 – 50
हल :
(D) 40 – 50

प्रश्न 39.
निम्नलिखित आँकड़ों का बहुलक वर्ग क्या होगा ?

(A) 6 – 12
(B) 0 – 6
(C) 24 – 30
(D) 12 – 18
हल :
(D) 12 – 18

प्रश्न 40.
निम्नलिखित आँकड़ों का बहुलक क्या है ?
10, 8, 16, 10, 16, 13, 10, 19, 9, 10
(A) 19
(B) 10
(C) 16
(D) 8
हल :
(B) 10

प्रश्न 41.
निम्नलिखित आँकड़ों का बहुलक होगा-
25, 29, 24, 25, 29, 25, 34, 35, 25, 39
(A) 25
(B) 29
(C) 35
(D) 39
हल :
(A) 25

प्रश्न 42.
निम्नलिखित बारंबारता बंटन का बहुलक वर्ग होगा-

(A) 20-40
(B) 40-60
(C) 60-80
(D) 80-100
हल :
(B) 40-60

प्रश्न 43.
निम्नलिखित बारंबारता बंटन का बहुलक वर्ग होगा-

(A) 1 – 3
(B) 3 – 5
(C) 5 – 7
(D) 7 – 9
हल :
(B) 3 – 5

प्रश्न 44.
बहुलक ज्ञात करने का सूत्र है-

हल :

प्रश्न 45.
माध्यक ज्ञात करने का सूत्र है-

हल :

प्रश्न 46.
बारंबारता बंटन के माध्य, माध्यक व बहुलक के बीच उचित संबंध है-
(A) बहुलक = 3 माध्यक – माध्य
(B) बहुलक = 2 माध्यक – माध्य
(C) बहुलक = माध्यक – 2 माध्य
(D) बहुलक = 3 माध्यक – 2 माध्य
हल :
(D) बहुलक = 3 माध्यक – 2 माध्य

प्रश्न 47.
एक कक्षा के 9 विद्यार्थियों के अंक निम्नलिखित हों तो माध्यक होगा-
21, 24, 27, 30, 32, 34, 35, 38, 48
(A) 30
(B) 32
(C) 34
(D) 33
हल :
(B) 32

प्रश्न 48.
निम्नलिखित आँकड़ों से 10 श्रमिकों के प्रतिदिन की मजदूरी (रुपयों में) का माध्यक होगा-
8, 9, 11, 14, 15, 17, 18, 20, 22, 25
(A) 15
(B) 17
(C) 16
(D) 17.5
हल :
(C) 16

प्रश्न 49.
नीचे किसी लड़ाकू जहाज के मशीन के पुर्जों के 15 टुकड़ों का जीवनकाल (घंटों में) दिया है। इसका माध्यक होगा-
694, 696, 699, 705, 710, 712, 715, 716, 719, 724, 725, 728, 729, 734, 745
(A) 716
(B) 715.5
(C) 717.5
(D) 719
हल :
(A) 716

प्रश्न 50.
निम्नलिखित आँकड़ों का माध्यक वर्ग क्या होगा ?

(A) 10-30
(B) 30-60
(C) 60-80
(D) 0-10
हल :
(B) 30-60

प्रश्न 51.
निम्नलिखित आँकड़ों का माध्यक वर्ग क्या होगा ?

(A) 135-140
(B) 140-145
(C) 145-150
(D) 150-155
हल :
(C) 145-150

प्रश्न 52.
प्रथम 7 विषम संख्याओं का माध्य क्या है ?
(A) 13
(B) 11
(C) 9
(D) 7
हल :
(D) 7

प्रश्न 53.
निम्नलिखित आँकड़ों का माध्यक वर्ग होगा :

(A) 0-10
(B) 30-40
(C) 40-50
(D) 20-30
हल :
(C) 40-50

प्रश्न 54.
आलेखीय विधि से माध्यक ज्ञात करने के लिए उचित ग्राफ होता है ?
(A) बारंबारता वक्र
(B) तोरण
(C) बारंबारता बहुभुज
(D) आयत चित्र
हल :
(B) तोरण

प्रश्न 55.
किसी बारंबारता बंटन का बहुलक किस आलेखीय विधि से ज्ञात किया जाता है?
(A) बारंबारता बहुभुज
(B) बारंबारता वक्र
(C) आयत चित्र
(D) तोरण
हल :
(C) आयत चित्र

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Important Questions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Important Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Important Questions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन

परीक्षोपयोगी अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न :

प्रश्न 1.
धातु की बनी एक घनाभ के आकार की टंकी की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 3 m, 2m और 1.5m है; उसका (i) आयतन और (ii) उसे बनाने में लगी धातु का क्षेत्रफल ज्ञात करें ।
हल :
यहाँ पर,
घनाभ के आकार की टंकी की लंबाई (l) = 3 m
घनाभ के आकार की टंकी की चौड़ाई (b) = 2 m
घनाभ के आकार की टंकी की ऊँचाई (h) = 1.5 m
(i) घनाभ के आकार की टंकी का आयतन = lbh = 3 × 2 × 1.5m³
= 9m³

(ii) घनाभ के आकार की टंकी को बनाने में लगी धातु का क्षेत्रफल = 2 [lb + bh + hl]
= 2 [3 × 2 + 2 × 1.5 + 1.5 × 3 ] m²
= 2[6 + 3 + 4.5] m²
= 2 × 13.5 m²
= 27m²

प्रश्न 2.
घन का एक किनारा 6 cm है । इसका आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें ।
हल :
यहाँ पर
घन का किनारा (भुजा) = 6 cm
(i) घन का आयतन (भुजा)³ = (6)³ cm³
= 6 × 6 × 6 cm³
= 216 cm³

(ii) घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6(भुजा)²
= 6(6)² cm²
= 6 × 6 × 6 cm²
= 216 cm²

प्रश्न 3.
एक घन का आयतन 1728 cm³ है ।
(i) उसकी कोर, (ii) उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ पर,
घन का आयतन = 1728 cm³
(i) घन की कोर (भुजा) = \(\sqrt[3]{1728}\) = \(\sqrt[3]{12 \times 12 \times 12}\) = \(\sqrt[3]{12^3}\) = 12 cm
(ii) घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल 6 (भुजा)² = 6 × 12 × 12 = 864 cm²

प्रश्न 4.
एक लंब वृत्तीय बेलन के आधार का व्यास 28 cm और उसकी ऊँचाई 21 cm है ।
(i) वक्र पृष्ठ,
(ii) संपूर्ण पृष्ठ,
(iii) आयतन ज्ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ पर,
लंब वृत्तीय बेलन के आधार का व्यास = 28 cm
लंब वृत्तीय बेलन के आधार की त्रिज्या (r) = \(\frac {28}{2}\) = 14 cm
लंब वृत्तीय बेलन की ऊँचाई (h) = 21 cm
(i) लंब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 14 × 21 cm²
= 1848 cm²

(ii) लंब वृत्तीय बेलन का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr (r + h)
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 14 (14 + 21) cm²
= 88 × 35 = 3080 cm²

(iii) लंब वृत्तीय बेलन का आयतन = πr²h
= \(\frac {22}{7}\) × 14 × 14 × 21 cm³
= 12936 cm³

प्रश्न 5.
एक लंब वृत्तीय बेलन के आधार का व्यास 14 cm और ऊँचाई 10 cm है। इसका आयतन तथा संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें ।
हल :
यहाँ पर,
लंब वृत्तीय बेलन के आधार का व्यास = 14 cm
लंब वृत्तीय बेलन के आधार की त्रिज्या (r) = \(\frac {14}{2}\) = 7 cm
लंब वृत्तीय बेलन की ऊँचाई (h) = 10 cm
(i) लंब वृत्तीय बेलन का आयतन = πr²h
= \(\frac {22}{7}\) × 7 × 7 × 10 cm³
= 1540 cm³

(ii) लंब वृत्तीय बेलन का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr(r + h)
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 7 (7 + 10) cm²
= 44 × 17 = 748 cm²

प्रश्न 6.
एक लंब वृत्तीय शंकु के आधार की त्रिज्या और उसकी ऊँचाई क्रमशः 7 cm और 24 cm हैं। शंकु का आयतन और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ पर,
शंकु के आधार की त्रिज्या (r) = 7 cm
शंकु की ऊँचाई (h) = 24 cm
शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l) = \(\sqrt{r^2+h^2}\) = \(\sqrt{(7)^2+(24)^2}\)
= \(\sqrt{49+576}\)
= \(\sqrt{625}\)
= 25 cm

(i) शंकु का आयतन = \(\frac {1}{3}\)πr²h
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7}\) × 7 × 7 × 24 cm³
= 1232 cm³

(ii) शंकु का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = πr (r + l)
= \(\frac {22}{7}\) × 7 (7 + 25) cm²
= 22 × 32 = 704 cm²

प्रश्न 7.
धातु के एक गोले का व्यास 8.4 cm है। उसका आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ पर,
गोले का व्यास = 8.4 cm
गोले की त्रिज्या (r) = \(\frac {8.4}{2}\)
= 4.2 cm

(i) गोले का आयतन = \(\frac {4}{3}\)πr³
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7}\) × 4.2 × 4.2 × 4.2 cm³
= 310.46 cm³

(ii) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
= 4 × \(\frac {22}{7}\) × 4.2 × 4.2 cm²
= 221.76cm²

प्रश्न 8.
एक खोखले अर्धगोलीय बर्तन के अंतः और बाह्य व्यास क्रमशः 42 cm और 45.5 cm हैं। उसकी धारिता तथा उसका बाहरी वक्र पृष्ठ ज्ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ पर,
अर्धगोलीय बर्तन का अंतः व्यास = 42 cm
अर्धगोलीय बर्तन की अंतः त्रिज्या (r) = \(\frac {42}{2}\) = 21cm
अर्धगोलीय बर्तन का अंतः आयतन = \(\frac {2}{3}\)πr³ = \(\frac{2}{3} \times \frac{22}{7}\) × 21 × 21 × 21 cm³
= 19404 cm³
अतः अर्धगोलीय बर्तन की धारिता = \(\frac{19404}{1000}\)लीटर
= 19.404 लीटर
अब अर्धगोलीय बर्तन का बाह्य व्यास = 45.5 cm
अर्धगोली बर्तन की बाह्य त्रिज्या (R) = \(\frac {45.5}{2}\) cm
= \(\frac{455}{20}=\frac{91}{4}\) cm
अर्धगोलीय बर्तन का बाह्य पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πR²
= 2 × \(\frac{22}{7} \times \frac{91}{4} \times \frac{91}{4}\)cm²
= 3253.25 cm²

प्रश्न 9.
2m व्यास वाला 14 m गहरा एक कुआँ खोदा गया है। उससे निकली हुई मिट्टी को कुएँ के चारों ओर 5m चौड़ाई तक समान रूप से फैलाकर एक चबूतरा बनाया गया है । चबूतरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ पर,
कुएँ का व्यास = 2m
⇒ कुएँ की त्रिज्या (r) = \(\frac {2}{2}\) = 1m
कुएँ की गहराई (h) = 14 m
∴ कुएँ से निकली मिट्टी का आयतन = πr²h
= \(\frac {22}{7}\) × 1 × 1 × 14 = 44 m³
चंबूतरे सहित कुएँ की बाह्य त्रिज्या (R) = 5 + 1 = 6 m
चबूतरे के तल का क्षेत्रफल = बाह्य वृत्त का क्षेत्रफल – अंतः वृत्त का क्षेत्रफल

प्रश्न 10.
एक अर्धगोलाकार कटोरी, जिसकी आंतरिक त्रिज्या 9 cm है, द्रव से भरी है । इस द्रव को बेलनाकार छोटी बोतलों में भरना है, जबकि प्रत्येक बोतल के आधार का व्यास 3 cm और ऊँचाई 4 cm है । कटोरी को खाली करने के लिए कितनी बोतलों की आवश्यकता होगी ?
हल :
यहाँ पर
अर्धगोलाकार कटोरी की आंतरिक त्रिज्या (R) = 9cm
अर्धगोलाकार कटोरी का आयतन = \(\frac {2}{3}\)πR³
= \(\frac{2}{3} \times \frac{22}{7}\) × 9 × 9 × 9 cm³
कटोरी में द्रव का आयतन = \(\frac{2}{3} \times \frac{22}{7}\) × 9 × 9 × 9 cm³
छोटी बोतल की त्रिज्या (r) = \(\frac {3}{2}\)cm
छोटी बोतल की ऊँचाई (h) = 4 cm

प्रश्न 11.
एक 8.25m ऊँचा तम्बू 30 m व्यास वाले अधार तथा 5.5 m ऊँचाई वाले बेलन पर समान आधार के शंकु को जोड़कर बनाया गया है। 45 रु० प्रति वर्ग m की दर से तम्बू में लगे कपड़े (कैनवास) का मूल्य ज्ञात कीजिए ।
हल :

यहाँ पर,
बेलनाकार भाग का व्यास = 30m
बेलनाकार भाग की त्रिज्या (r₁) = \(\frac {30}{2}\) = 15 m
बेलनाकार भाग की ऊँचाई (h₁) = 5.5m
बेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr₁h₁
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 15 × 5.5m²
= \(\frac {3630}{7}\)m²
शंक्वाकार भाग का व्यास = 30 m
शंक्वाकार भाग की त्रिज्या (r₂) = \(\frac {30}{2}\) m = 15 m
शंक्वाकार भाग की ऊँचाई (h₂) = (8.25 – 5.5) m = 2.75m

प्रश्न 12.
पेट्रोल की एक बेलनाकार टंकी के आधार का व्यास 21 cm और लंबाई 18 cm है। वह शंक्वाकार सिरों से जुड़ी है, जिनमें से प्रत्येक की अक्ष लंबाई 9 cm है । टंकी की धारिता ज्ञात कीजिए ।
हल :

यहाँ पर,
बेलनाकार भाग का व्यास = 21 cm
बेलनाकार भाग की त्रिज्या (r₁) = \(\frac {21}{2}\) m
बेलनाकार भाग की लंबाई (h₁) = 18 cm
बेलनाकार भाग का आयतन = πr₁²h₁
= \(\frac{22}{7} \times \frac{21}{2} \times \frac{21}{2}\) × 18cm³
= 6237 cm³
शंक्वाकार सिरों की त्रिज्या (r₂) = \(\frac {21}{2}\) cm
शंक्वाकार सिरों की ऊँचाई (h₂) = 9 cm
दोनों शंक्वाकार सिरों का आयतन = 2 × \(\frac {1}{3}\)πr₁²h₂
= 2 × \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{2} \times \frac{21}{2}\) × 9 cm³
= 2079 cm³
अतः टंकी का कुल आयतन = [6237 + 2079] cm³
= 8316 cm³

प्रश्न 13.
एक बर्तन एक खोखले बेलन के रूप में है जिसकी पेंदी उसी के आधार पर बना एक गोलार्ध है । बेलन की गहराई 43 m है और गोलार्ध का व्यास 3.5 m है। उस बर्तन का आयतन और आंतरिक पृष्ठ ज्ञात कीजिए ।
हल :

यहाँ पर,
बर्तन के बेलनाकार भाग की गहराई (h) = 4\(\frac {2}{3}\) = \(\frac {14}{3}\)m
बर्तन के बेलनाकार भाग का व्यास = 3.5 m
बर्तन के बेलनाकार भाग की त्रिज्या (r₁) = \(=\frac{35}{10 \times 2}=\frac{7}{4}\)
बर्तन के बेलनाकार भाग का आयतन = πr₁²h
= \(\frac{22}{7} \times \frac{7}{4} \times \frac{7}{4} \times \frac{14}{3}=\frac{539}{12}\)m³
बर्तन के बेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr₁h
= 2 × \(\frac{22}{7} \times \frac{7}{4} \times \frac{14}{3}=\frac{154}{3}\)
बर्तन के अर्धगोलाकार भाग का व्यास = 3.5m
बर्तन के अर्धगोलाकार भाग की त्रिज्या (r₂) = \(\frac{35}{10 \times 2}=\frac{7}{4}\) m
बर्तन के अर्धगोलाकार भाग का आयतन = \(\frac {2}{3}\)πr₂³
= \(\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{4} \times \frac{7}{4} \times \frac{7}{4}=\frac{539}{48}\)m³

प्रश्न 14.
एक गोदाम का आकार आकृति के अनुसार है। गोदाम की चौड़ाई की ओर का ऊर्ध्वाधर अनुप्रस्थ-परिच्छेद 7m × 3m माप का एक आयत है जिसके ऊपर 3.5 m त्रिज्या का अर्धवृत्त है। घनाभ के आकार वाले भाग की आंतरिक माप 10m × 7m × 3m हैं। गोदाम का आयतन और उसके फर्श को छोड़कर संपूर्ण आंतरिक पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।

हल :
यहाँ पर,
गोदाम के घनाभाकार भाग का आयतन = l × b × h
= 10 × 7 × 3 m³
= 210 m³
गोदाम के अर्धबेलनाकार भाग की त्रिज्या (r) = \(\frac {7}{2}\)m
गोदाम के अर्धबेलनाकार भाग की लंबाई (h) = 10 m
गोदाम के अर्धबेलनाकार भाग का आयतन = \(\frac {1}{2}\)πr²h
= \(\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}\) × 10 m³
= 192.5 m³
अतः गोदाम का आयतन = (210 + 192.5) m³
= 402.5m³
गोदाम की चारदीवारी का क्षेत्रफल
= 2 (l + b) × h
= 2 (10 + 7) × 3m²
= 2 × 17 × 3 = 102m²
गोदाम के अर्धबेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल =\(\frac {1}{2}\)(2πrh)
= \(\frac{22}{7} \times \frac{7}{2}\) × 10 = 110m²
गोदाम के दो अर्धवृत्तों का क्षेत्रफल = 2(\(\frac {1}{2}\)πr²)
= \(\frac {22}{7}\) × 3.5 × 3.5 m²
= 3.5 m²
गोदाम का कुल अंतः पृष्ठीय क्षेत्रफल = (102 + 110 + 38.5) m²
= 250.5m²

प्रश्न 15.
एक ठोस लंब वृत्तीय बेलन, जिसकी ऊँचाई 10cm और आधार की त्रिज्या 6 cm हैं, से उसी ऊँचाई और उसी आधार का एक लंब वृत्तीय शंकु काटकर हटा दिया जाता है। शेष ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ पर,
बेलन की ऊँचाई (h) = 10cm
बेलन की त्रिज्या (r) = 6 cm
बेलन का आयतन = πr²h
= \(\frac {22}{7}\) × 6 × 6 × 10 = \(\frac {7290}{7}\)cm³
शंकु की ऊँचाई (h₁) = 10 cm
शंकु की त्रिज्या (r₁) = 6 cm

प्रश्न 16.
एक जूस (juice) बेचने वाला अपने ग्राहकों को संलग्न आकृति में दर्शाए गिलासों में जूस देता था । बेलनाकार गिलास का आंतरिक व्यास 5 cm था, परंतु गिलास के निचले आधार (तली) एक उभरा हुआ अर्धगोला था, जिससे गिलास की धारिता कम हो जाती थी । यदि एक गिलास की ऊँचाई 10 cm थी, तो गिलास की आभासी (apparent) धारिता तथा उसकी वास्तविक धारिता ज्ञात कीजिए । (π = 3. 14 लीजिए )
हल :

यहाँ पर,
गिलास का आंतरिक व्यास (d) = 5 cm
गिलास की आंतरिक त्रिज्या (r) = \(\frac {5}{2}\)cm
∴ गिलास की आंतरिक ऊँचाई (h) = 10 cm
गिलास की आभासी धारिता = πr²h
= 3.14 × \(\frac {5}{2}\) × \(\frac {5}{2}\) × 10 cm³ = 196.25cm³
आधार में उपस्थित अर्धगोले की त्रिज्या (r₁) = \(\frac {5}{2}\)cm
आधार में उपस्थित अर्धगोले का आयतन = \(\frac {2}{3}\)πr³
= \(\frac {2}{3}\) × 3.14 × \(\frac {5}{2}\) × \(\frac {5}{2}\) × \(\frac {5}{2}\) cm³ = 32.71 cm³
अतः गिलास की वास्तविक धारिता = आभासी धारिता – अर्धगोले का आयतन
= (196.25 – 32.71) cm³
= 163.54 cm³

प्रश्न 17.
एक बिल्डिंग का आन्तरिक भाग एक बेलन के आकार का है जिसके आधार की त्रिज्या 12 m और ऊँचाई 3.5 m है एक शंकु समान आधार और तिर्यक ऊँचाई 12.5 m के द्वारा आरोपित है। बिल्डिंग की धारिता ज्ञात कीजिए ।
हल :

यहाँ पर
बिल्डिंग के बेलनाकार भाग की त्रिज्या (r) = 12 m
बिल्डिंग के बेलनाकार भाग की ऊँचाई (h) = 3.5m
बिल्डिंग के बेलनाकार भाग की धारिता = πr²h
= \(\frac {22}{7}\) × 12 × 12 × 3.5m³
= 1584 m³
बिल्डिंग के शंकु वाले भाग की त्रिज्या (r₁) = 12m
बिल्डिंग के शंकु वाले भाग की तिर्यक ऊँचाई (l) = 12.5 m
बिल्डिंग के शंकु वाले भाग की ऊँचाई (h) = \(\sqrt{l^2-r^2}\)
= \(\sqrt{(12.5)^2-(12)^2}\)
= \(\sqrt{156.25-144}\)
= \(\sqrt{12.25}\)
= 3.5m
बिल्डिंग के शंकु वाले भाग की धारिता = \(\frac {1}{3}\)πr₁²h
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7}\) × 12 × 12 × 3.5 m³
= 528 m³
बिल्डिंग की कुल धारिता = (1584 + 528) m³
= 2112m ³

प्रश्न 18.
5.6 सेमी त्रिज्या वाले एक धातु के गोले को पिघलाकर 6 सेमी त्रिज्या वाले एक बेलन के रूप में ढाला जाता है । बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ पर,
धातु के गोले की त्रिज्या (r) = 5.6 सेमी
⇒ धातु के गोले का आयतन = \(\frac {4}{3}\)πr³
= \(\frac {4}{3}\)π(5.6)³सेमी³
धातु के गोले को पिघलाकर बने बेलन की त्रिज्या (r) = 6 सेमी
माना धातु के गोले को पिघलाकर बने बेलन की ऊँचाई = H सेमी
धातु के गोले को पिघलाकर बने बेलन का आयतन = πR²H
= π(6)²H सेमी³
= 36πH सेमी³
प्रश्नानुसार,
36πH = \(\frac {4}{3}\)π(5.6)³
⇒ H = \(\frac{4}{3} \times \frac{1}{36}\) × 5.6 × 5.6 × 5.6
= 6.50 सेमी
अतः धातु के गोले को पिघलाकर बने बेलन की ऊँचाई = 6.50 सेमी

प्रश्न 19.
यदि 45 cm ऊँची एक बाल्टी के सिरों की त्रिज्याएँ 28 cm और 7 cm हों, तो उसकी धारिता, वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ पर,
बाल्टी की ऊँचाई (h) = 45 cm
बाल्टी के एक सिरे की त्रिज्या (r₁) = 28 cm
बाल्टी के दूसरे सिरे की त्रिज्या (r₂) = 7 cm

प्रश्न 20.
एक शंकु की ऊँचाई 30 cm है। उसके शिखर की ओर से एक छोटा शंकु उसके आधार के समांतर एक तल द्वारा काटा गया है। यदि छोटे शंकु का आयतन दिए हुए शंकु के आयतन का \(\frac {1}{27}\) हो, तो आधार से कितनी ऊँचाई पर उसे काटा गया है ?
हल :

यहाँ पर,
शंकु की ऊँचाई(h₁) = 30 cm
माना शीर्ष से h₂ ऊँचाई पर एक शंकु काटा जाता है, जिसकी त्रिज्या R₂ है ।
क्योंकि ΔADO’ ~ ΔABO

जितनी ऊँचाई से शंकु काटा गया = 30 – 10 = 20 cm
∴ शंकु के आधार से 20 cm ऊँचाई पर दूसरे शंकु को काटा गया है।

प्रश्न 21.
एक खिलौना एक अर्धगोले के ऊपर उसी अर्धव्यास का शंकु रखकर बनाया गया है। यदि शंकु आकार भाग के आधार का अर्धव्यास 7 cm और ऊँचाई 24 cm हो तो खिलौने की सतह का पृष्ठीय क्षेत्रफल तथा 2 रु० प्रति वर्ग cm की दर से इसकी सतह को पॉलिश कराने का खर्च ज्ञात करें।
हल :

यहाँ पर,
अर्धगोले की त्रिज्या (r) = 7 cm
अर्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr²
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 7 × 7 cm²
= 308 cm²
शंकु वाले भाग की त्रिज्या (R) = 7 cm
शंकु वाले भाग की ऊँचाई (H) = 24 cm
शंकु वाले भाग की तिर्यक ऊँचाई (L) = \(\sqrt{\mathrm{R}^2+\mathrm{H}^2}\)
= \(\sqrt{(7)^2+(24)^2}\)
= \(\sqrt{49+576}\)
= \(\sqrt{625}\) = 25 cm
शंकु वाले भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πRL
= \(\frac {22}{7}\) × 7 × 25 cm²
= 550 cm²
खिलौने का कुल क्षेत्रफल = (308 + 550) = 858 cm²
1 cm² सतह को पॉलिश कराने का खर्च = 2 रु०
858cm² सतह को पॉलिश कराने का खर्च = 858 × 2रु० = 1716 रु०

प्रश्न 22.
किसी धातु की चादर का बना एक बर्तन एक शंकु के छिन्नक के आकार का है। इसकी ऊँचाई 16 cm तथा निचले और ऊपरी सिरों की त्रिज्याएँ 8 cm और 10 cm हैं। बर्तन का आयतन तथा इसकी पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें।
हल :

यहाँ पर,
बर्तन की ऊँचाई (h) = 16 cm
बर्तन के एक सिरे की त्रिज्या (r₁) = 10 cm
बर्तन के दूसरे सिरे की त्रिज्या (r₂) = 8 cm

बहुविकल्पीय प्रश्न :

प्रश्न 1.
l लंबाई, b चौड़ाई व h ऊँचाई वाले किसी घनाभ का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-
(A) lbh
(B) 2lbh
(C) 2 (lb + bh + hl)
(D) lb + bh + hl
हल :
(C) 2 (lb + bh + hl)

प्रश्न 2.
l भुजा वाले किसी धन का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-
(A) l³
(B) 6l²
(C) 2l³
(D) 12l²
हल :
(B) 6l²

प्रश्न 3.
l लंबाई, b चौड़ाई व h ऊँचाई वाले किसी घनाभ की चारदीवारी का क्षेत्रफल होगा-
(A) 2 (l + b) h
(B) (l + b) h
(C) 2 (b + h) l
(D) lbh
हल :
(A) 2 (l + b) h

प्रश्न 4.
l लंबाई, b चौड़ाई व h ऊँचाई वाले किसी घनाभ का आयतन होगा-
(A) 2 (lb + bh + hl)
(B) lb + bh + hl
(C) 2lbh
(D) lbh
हल :
(D) lbh

प्रश्न 5.
l भुजा वाले घन का आयतन होगा-
(A) l³
(B) 6l²
(C) 2l³
(D) 12l²
हल :
(A) l³

प्रश्न 6.
l लंबाई, b चौड़ाई व h ऊँचाई वाले किसी घनाभ का विकर्ण होगा-
(A) \(\sqrt{l+b+h}\)
(B) \(\sqrt{l^2+b^2+h^2}\)
(C) \(\sqrt{lbh}\)
(D) \(\sqrt{2(l b+b h+h l)}\)
हल :
(B) \(\sqrt{l^2+b^2+h^2}\)

प्रश्न 7.
a भुजा वाले घन का विकर्ण होगा-
(A) 6a²
(B) a³
(C) \(\sqrt{3}\) a
(D) \(\sqrt{2}\) a
हल :
(C) \(\sqrt{3}\) a

प्रश्न 8.
10 cm भुजा वाले दो घन सिरे से सिरे तक जोड़े जाते हैं। इस प्रकार प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-
(A) 500 cm²
(B) 1000 cm²
(C) 2000 cm²
(D) 2000 cm³
हल :
(B) 1000 cm²

प्रश्न 9.
एक भूमिगत जलाशय घनाभ के आकार का है, जिसकी विमाएँ 48 m, 36m और 28m हैं। जलाशय का आयतन होगा-
(A) 48384m²
(B) 48384m³
(C) 8160m³
(D) 8160m²
हल :
(B) 48384m³

प्रश्न 10.
घनाभ, जिसकी लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमश: 12m, 10m और 8m का आयतन है-
(A) 592m³
(B) 960m³
(C) 480m³
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(B) 960m³

प्रश्न 11.
48 cm × 36 cm माप की एक धातु की आयताकार चद्दर है। इसके प्रत्येक कोने से 8 cm भुजा का वर्ग काटकर निकाल लिया गया है । शेष चद्दर से ऊपर से खुला एक संदूक बनाया गया है। संदूक का आयतन ज्ञात कीजिए ।
(A) 5120 cm³
(B) 5120 cm²
(C) 13824 cm²
(D) 13824 cm³
हल :
(A) 5120 cm³

प्रश्न 12.
घनाभ, जिसकी लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 10m, 8m और 5m का आयतन है-
(A) 400m³
(B) 200m³
(C) 3000m³
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A) 400m³

प्रश्न 13.
एक घन का आयतन 1728 घन cm है, उसकी कोर की लंबाई होगी-
(A) 12 cm
(B) 12 m
(C) 144 cm
(D) 864cm
हल :
(A) 12 cm

प्रश्न 14.
5 cm भुजा वाले 3 घन सिरे से सिरे तक जोड़े जाते हैं । इस प्रकार प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-
(A) 375 cm³
(B) 375 cm²
(C) 350 cm²
(D) 350 cm³
हल :
(C) 350 cm²

प्रश्न 15.
घनाभ, जिसकी लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमश: 13m, 10m और 8m का आयतन है-
(A) 1040 m³
(B) 1060 m³
(C) 1020 m³
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A) 1040m³

प्रश्न 16.
तीन घन जिनकी कोरें क्रमशः 3, 4 व 5 cm हैं, को पिघलाकर एक घन बनाया जाता है, तो नए घन की कोर होगी-
(A) 6 cm
(B) 12 cm
(C) 8 cm
(D) 3 cm
हल :
(A) 6 cm

प्रश्न 17.
घनाभ, जिसकी लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 10m, 8m और 6m का आयतन है-
(A) 460m³
(B) 480m³
(C) 520m³
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(B) 480m³

प्रश्न 18.
त्रिज्या 2 cm तथा 7 cm ऊँचाई वाले बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-
(A) 88 cm²
(B) 88 cm
(C) 88 cm³
(D) 44 cm²
हल :
(A) 88 cm²

प्रश्न 19.
r त्रिज्या व h ऊँचाई वाले बेलन का आयतन होगा-
(A) 2πr (r + h)
(B) 2πrh
(C) πr²h
(D) 2πr²h
हल :
(C) πr²h

प्रश्न 20.
एक लंब वृत्तीय बेलन के आधार का व्यास 28 cm और उसकी ऊँचाई 21 cm है। उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-
(A) 588 वर्ग cm
(B) 1848 वर्ग cm
(C) 924 वर्ग cm
(D) 1386 वर्ग cm
हल :
(B) 1848 वर्ग cm

प्रश्न 21.
एक बेलन के आधार की त्रिज्या 14 सेमी और ऊँचाई 6 सेमी है, तो उसका आयतन है :
(A) 196 π
(B) 392 π
(C) 1176 π
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(C) 1176 π

प्रश्न 22.
एक लंब वृत्तीय बेलन के आधार की त्रिज्या 14m और ऊँचाई 21 m है, उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-
(A) 1848 m²
(C) 3080 m³
(B) 1848 m²
(D) 5080 m³
हल :
(C) 3080 m²

प्रश्न 23.
एक बेलन के आधार की त्रिज्या 2.1 सेमी और ऊँचाई 5 सेमी है, तो उसका आयतन है :
(A) 22.05 π
(B) 7.35 π
(C) 21 π
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A) 22.05 π

प्रश्न 24.
यदि R और खोखले लंब वृत्तीय बेलन की बाह्य और अंतः त्रिज्याएँ हों तो उसमें लगी धातु का आयतन होगा-
(A) 2πh (R² – r²)
(B) 2π (R + r)h
(C) πh (R² + r²)
(D) πh (R² – r²)
हल :
(D) πh (R² – r²)

प्रश्न 25.
r त्रिज्या तथा h ऊँचाई वाले लंब वृत्तीय शंकु की तिर्यक ऊँचाई होगी-
(A) \(\sqrt{r^2+h^2}\)
(B) \(\sqrt{r^2-h^2}\)
(C) \(\sqrt{2\left(r^2+h^2\right)}\)
(D) \(\sqrt{2\left(r^2-h^2\right)}\)
हल :
(A) \(\sqrt{r^2+h^2}\)

प्रश्न 26.
r त्रिज्या तथा l तिर्यक ऊँचाई वाले शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-
(A) 2 πrl
(B) πrl
(C) πr (r + l)
(D) \(\frac {1}{3}\)πr²l
हल :
(B) πrl

प्रश्न 27.
त्रिज्या, h ऊँचाई तथा / तिर्यक ऊँचाई वाले शंकु का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-
(A) 2 πrl
(B) πrl
(C) πr (r + l)
(D) \(\frac {1}{3}\)πr²h
हल :
(C) πr (r + l)

प्रश्न 28.
r त्रिज्या, h ऊँचाई तथा l तिर्यक ऊँचाई वाले शंकु का आयतन होगा-
(A) 2 πrl
(B) πrl
(C) πr (r + l)
(D) \(\frac {1}{3}\)πr²h
हल :
(D) \(\frac {1}{3}\)πr²h

प्रश्न 29.
एक शंकु के आधार की त्रिज्या 4 सें०मी० और ऊँचाई 3 सें०मी० है, तो उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा (π = \(\frac {22}{7}\)) :
(A) 20 सें०मी०²
(B) 20π सें०मी०²
(C) 30π सें०मी०²
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(D) 20π सें०मी०²

प्रश्न 30.
एक शंकु के आधार की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 6 सेमी है, तो उसका आयतन है (π = \(\frac {22}{7}\)) :
(A) 924 सेमी³
(B) 308 सेमी³
(C) 1232 सेमी³
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(B) 308 सेमी³

प्रश्न 31.
एक शंकु के आधार की त्रिज्या 3.5 सेमी और ऊँचाई 9 सेमी है, तो उसका आयतन है :
(A) 36.75 π
(B) 110.25 π
(C) 330.75 π
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A) 36.75 π

प्रश्न 32.
2 m व्यास वाला 14 m गहरा एक कुआँ खोदा गया है। उससे निकाली हुई मिट्टी को कुएँ के चारों ओर 5 m चौड़ाई तक समान रूप से फैलाकर एक चबूतरा बनाया गया है । चबूतरे की ऊँचाई होगी-
(A) 0.4 m
(B) 1.0 m
(C) 1.5 m
(D) 2.0 m
हल :
(A) 0.4m

प्रश्न 33.
50 वृत्ताकार प्लेटों, जिसमें से प्रत्येक की त्रिज्या 7 cm और मोटाई cm है, को एक-दूसरे के ऊपर रखकर एक ठोस वृत्ताकार बेलन बनाया जाता है। इस प्रकार बने बेलन का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-
(A) 1408 वर्ग cm
(B) 1408 घन cm
(C) 3850 वर्ग cm
(D) 3850 घन cm
हल :
(A) 1408 वर्ग cm

प्रश्न 34.
एक घन का आयतन 216 मी.³ है, तो इसकी भुजा की लम्बाई होगी :
(A) 6 मी.
(B) 6 मी.³
(C) 12 मी.
(D) 12 मी.²
हल :
(A) 6 मी.

प्रश्न 35.
2 सें. मी. त्रिज्या तथा 7 सें.मी. ऊँचाई वाले बेलन का आयतन है :
(A) 88 सें.मी.³
(B) 88 सें.मी.²
(C) 88 सें.मी.
(D) \(\frac {352}{21}\) सें.मी.²
हल :
(A) 88 सें.मी.³

प्रश्न 36.
आधार की त्रिज्या 12 dm तथा तिर्यक ऊँचाई 9 dm वाले लंब वृत्तीय शंकु का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-
(A) \(\frac {2376}{7}\)cm²
(B) \(\frac {2376}{7}\)dm²
(C) 792 cm²
(D) 792 dm²
हल :
(D) 792 dm²

प्रश्न 37.
आधार की त्रिज्या 24m तथा ऊँचाई 10 m वाले शंक्वाकार तंबू की तिर्यक ऊँचाई होगी-
(A) 34m
(B) 14m
(C) 26m
(D) 24 m
हल :
(C) 26m

प्रश्न 38.
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 528 cm² तथा तिर्यक ऊँचाई 21 cm वाले लंब वृत्तीय शंकु के आधार की त्रिज्या होगी –
(A) 16 cm
(B) 8 cm
(C) 6 cm
(D) 4 cm
हल :
(B) 8 cm

प्रश्न 39.
एक शंक्वाकार गुम्बज की तिर्यक ऊँचाई और आधार की त्रिज्या क्रमशः 25m तथा 7m है। इस गुम्बज का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-
(A) 550 m²
(B) 550 cm²
(C) 704 m²
(D) 704 cm²
हल :
(A) 550m²

प्रश्न 40.
r त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र होगा-
(A) 2πr²
(B) 3πr²
(C) 4πr²
(D) πr²
हल :
(C) 4πr²

प्रश्न 41.
r त्रिज्या वाले अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है-
(A) 3πr²
(B) 4πr²
(C) πr²
(D) 2πr²
हल :
(D) 2πr²

प्रश्न 42.
r त्रिज्या वाले अर्धगोले का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है-
(A) 3πr²
(B) 4πr²
(C) πr²
(D) 2πr²
हल :
(A) 3πr²

प्रश्न 43.
r त्रिज्या वाले गोले का आयतन होगा-
(A) \(\frac {1}{3}\)πr³
(B) \(\frac {4}{3}\)πr³
(C) \(\frac {2}{3}\)πr³
(D) 4πr³
हल :
(B) \(\frac {4}{3}\)πr³

प्रश्न 44.
r त्रिज्या वाले अर्धगोले का आयतन होगा-
(A) \(\frac {1}{3}\)πr³
(B) \(\frac {4}{3}\)πr³
(C) \(\frac {2}{3}\)πr³
(D) 4πr³
हल :
(C) \(\frac {2}{3}\)πr³

प्रश्न 45.
2.1 cm त्रिज्या वाले गोले का आयतन होगा-
(A) 3880.8 cm³
(B) 388.08 cm³
(C) 3.8808 cm³
(D) 38.808 cm³
हल :
(D) 38.808 cm³

प्रश्न 46.
36πcm³ आयतन वाले गोले की त्रिज्या होगी –
(A) 3 cm
(B) 6 cm
(C) 1.5 cm
(D) 4.5 cm
हल :
(A) 3 cm

प्रश्न 47.
3 cm त्रिज्या वाले अर्धगोले का आयतन है :
(A) \(\frac {198}{7}\)cm³
(B) \(\frac {792}{7}\)cm³
(C) \(\frac {396}{7}\)cm³
(D) \(\frac {198}{14}\)cm³
हल :
(C) \(\frac {396}{7}\)cm³

प्रश्न 48.
एक खोखले अर्धगोलीय बर्तन के अंतः और बाह्य व्यास क्रमशः 42 cm और 45.5 cm हैं। उसकी धारिता होगी-
(A) 17.404 लीटर
(B) 18.404 लीटर
(C) 19.404 लीटर
(D) 20.404 लीटर
हल :
(C) 19.404 लीटर

प्रश्न 49.
धातु के एक गोले का अर्धव्यास 4.2 cm है। उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-
(A) 220.76 वर्ग cm
(B) 221.76 वर्ग cm
(C) 222.76 वर्ग cm
(D) 223.76 वर्ग cm
हल :
(B) 221.76 वर्ग cm

प्रश्न 50.
4.2 cm की त्रिज्या वाले गोले का आयतन होगा-
(A) 310.46 घन cm
(B) 305.46 घन cm
(C) 309.46 घन cm
(D) 300.46 घन cm
हल :
(A) 310.46 घन cm

प्रश्न 51.
यदि एक गोले का व्यास 2R हो तो उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-
(A) πR²
(B) 2πR²
(C) 3πR²
(D) 4πR²
हल :
(D) 4πR²

प्रश्न 52.
धातु के एक गोले का व्यास 6 cm है । गोले को पिघलाकर एक समान वृत्तीय अनुप्रस्थ- परिच्छेद वाला तार बनाया गया है। यदि तार की लंबाई 36 m हो, तो उसकी त्रिज्या होगी-
(A) 0.1 cm
(B) 1 cm
(C) 0.1mm
(D) 0.01 cm
हल :
(A) 0.1 cm

प्रश्न 53.
सीसे के एक ठोस गोले, जिसकी त्रिज्या 8 cm है, से 1 cm त्रिज्या वाली कितनी गोलियाँ बनाई जा सकती हैं?
(A) 512
(B) 256
(C) 522
(D) 532
हल :
(A) 512

प्रश्न 54.
एक शंकु 8.4 cm ऊँचा है और उसके आधार की त्रिज्या 2.1 cm है। उसे पिघलाकर एक गोले के रूप में ढाला जाता है । गोले की त्रिज्या होगी –
(A) 6.3 cm
(B) 8.4 cm
(C) 4.2 cm
(D) 2.1 cm
हल :
(D) 2.1 cm

प्रश्न 55.
धातु के एक गोले की अंतः और बाह्य त्रिज्याएँ क्रमशः 3 cm और 5 cm हैं । उसको पिघलाकर 105 cm ऊँचाई वाला एक ठोस लंब वृत्तीय बेलन बनाया जाता है। बेलन के आधार का व्यास होगा-
(A) 5 cm
(B) 6 cm
(C) 7 cm
(D) 8 cm
हल :
(C) 7 cm

प्रश्न 56.
एक घन के आयतन और उस गोले के आयतन का अनुपात क्या होगा जो घन में ठीक समा सके ?
(A) 2 : π
(B) 3 : π
(C) 4 : π
(D) 6 : π
हल :
(D) 6 : π

प्रश्न 57.
r त्रिज्या वाले एक ठोस गोले को पिघलाकर r ऊँचाई के एक टोस शंकु के आकार में ढाला जाता है । शंकु के आधार की त्रिज्या होगी-
(A) 2r
(B) 3r
(C) r
(D) 4r
हल :
(A) 2r

प्रश्न 58.
एक धातु के शंकु को समान त्रिज्या के बेलन के आकार में बदला जाता है। यदि बेलन की ऊँचाई 5 cm हो तो शंकु की ऊँचाई होगी-
(A) 10 cm
(B) 15 cm
(C) 20 cm
(D) 25 cm
हल :
(B) 15 cm

प्रश्न 59.
यदि प्रत्येक गोले की त्रिज्या 3 cm है जिन्हें पिघलाकर 45 cm ऊँचाई व 4 cm व्यास का एक टोस धातु का बेलन बनाया जाता है, तो गोलों की संख्या होगी-
(A) 8
(B) 7
(C) 6
(D) 5
हल :
(D) 5

प्रश्न 60.
एक खिलौना 3.5 cm की त्रिज्या वाले गोलार्ध पर बने शंकु के आकार का है। खिलौने की कुल ऊँचाई 15.5 cm है । इसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-
(A) 7.7 cm²
(C) 214.5 cm²
(B) 137.5 cm²
(D) 214.5 cm³
हल :
(C) 214.5 cm²

प्रश्न 61.
पेट्रोल की एक बेलनाकार टंकी के आधार का व्यास 21 cm और लंबाई 18 cm है। वह शंक्वाकार सिरों से जुड़ी है, जिनमें से प्रत्येक की अक्ष लंबाई 9 cm है। टंकी की धारिता होगी –
(A) 8316 cm³
(B) 8216 cm³
(C) 8116 cm³
(D) 8016 cm³
हल :
(A) 8316 cm³

प्रश्न 62.
एक बॉयलर (boiler) बेलनाकार है जिसकी लंबाई 3m है और उसके प्रत्येक सिरे पर 2 m व्यास का एक गोलार्ध है। बॉयलर का आयतन होगा-
(A) 13\(\frac {13}{21}\)
(B) 13\(\frac {10}{21}\)
(C) 13\(\frac {11}{21}\)
(D) 13\(\frac {12}{21}\)
हल :
(A) 13\(\frac {13}{21}\)

प्रश्न 63.
एक छत से, जिसका आकार 22m × 18m है, वर्षा का पानी बहकर नाली द्वारा एक बेलनाकार बर्तन में गिरता है । यदि बर्तन का व्यास 2.4m तथा बर्तन में पानी की ऊँचाई 1.4 m हो तो cm में वर्षा की माप होगी-
(A) 1.3 cm
(B) 1.4 cm
(C) 1.5 cm
(D) 1.6 cm
हल :
(D) 1.6 cm

प्रश्न 64.
यदि शंकु के छिन्नक के वृत्तीय आधारों की त्रिज्याएँ r₁ व r₂ (r₁ > r₂), ऊँचाई h तथा तिर्यक ऊँचाई l हों तो उसका आयतन होगा-
(A) \(\frac {1}{3}\)πh(r₁² + r₁r₂ + r₂²)
(B) π[(r₁ + r₂)l + r₁² + r₂²]
(C) π(r₁ + r₂)l
(D) \(\frac {1}{3}\)πh(r₁² – r₁r₂ + r₂²)
हल :
(A) \(\frac {1}{3}\)πh(r₁² + r₁r₂ + r₂²)

प्रश्न 65.
यदि शंकु के छिन्नक के वृत्तीय आधारों की त्रिज्याएँ r₁ व r₂ (जहाँ r₁ > r₂) व तिर्यक ऊँचाई l हों तो इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-
(A) 2π(r₁ + r₂) l
(B) π(r₁ + r₂) l
(C) π[(r₁ + r₂)l + r₁² + r₂²]
(D) \(\frac {π}{3}\)h(r₁² + r₁r² + r₂²)
हल :
(B) π(r₁ + r₂) l

प्रश्न 66.
यदि शंकु के छिन्नक के वृत्तीय आधारों की त्रिज्याएँ r₁ व r₂ (जहाँ 1/2) तथा तिर्यक ऊँचाई / हो तो छिन्नक का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा-
(A) 2π(r₁ + r₂) l
(B) π(r₁ + r₂) l
(C) π[(r₁ + r₂)l + r₁² + r₂²]
(D) \(\frac {π}{3}\)h(r₁² + r₁r₂ + r₂²)
हल :
(C) π[(r₁ + r₂)l + r₁² + r₂²]

प्रश्न 67.
एक जलाशय लंब वृत्तीय शंकु के छिन्नक के आकार में है। इसका ऊपरी सिरा 8 m तथा पेंदी वाला सिरा 4m चौड़ा है। यदि यह 6m गहरा हो तो इसकी क्षमता होगी-
(A) 176 m³
(B) 196 m³
(C) 110m³
(D) 352 m³
हल :
(A) 176m³

प्रश्न 68.
एक 6 cm ऊँचाई वाले शंकु के छिन्नक के आधारों की त्रिज्याएँ 14 cm व 6 cm हैं। इसकी तिर्यक ऊँचाई होगी-
(A) 8 cm
(B) 10cm
(C) 12 cm
(D) 20 cm
हल :
(B) 10cm

प्रश्न 69.
एक 24 cm ऊँचाई वाले शंकु के छिन्नक के आधारों की त्रिज्याएँ 10 cm व 3 cm हैं। इसकी तिर्यक ऊँचाई होगी-
(A) 13 cm
(B) 12 cm
(C) 25 cm
(D) 24 cm
हल :
(C) 25 cm

प्रश्न 70.
एक 12 cm ऊँचाई वाले शंकु के छिन्नक के आधारों की त्रिज्याएँ 9 cm व 4 cm हैं। इसकी तिर्यक ऊँचाई होगी-
(A) 26 cm
(B) 6.5 cm
(C) 24 cm
(D) 13 cm
हल :
(D) 13 cm

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Important Questions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Important Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Important Questions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल

परीक्षोपयोगी अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न :

प्रश्न 1.
एक कोल्हू का बैल 3m लंबी रस्सी से बंधा हुआ है। वह 14 चक्करों में कितनी दूरी तय करेगा ?
हल :
यहाँ पर,
कोल्हू के बैल के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या (r) = 3 m
बैल द्वारा वृत्ताकार पथ पर 1 चक्कर में तय दूरी = 2πr
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 3m = \(\frac {132}{7}\)m
अतः बैल द्वारा वृत्ताकार पथ पर 14 चक्करों में तय दूरी = \(\frac {132}{7}\) × 14 m
= 264 m

प्रश्न 2.
समान केंद्र वाले दो वृत्तों की त्रिज्याएँ 350m और 490m हैं। इनकी परिधियों में कितना अंतर है ?
हल :
यहाँ पर,
पहले वृत्त की त्रिज्या (r₁) = 350 m
∴ पहले वृत्त की परिधि (c₁) = 2πr₁
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 350m
= 2200m
दूसरे वृत्त की त्रिज्या (r₂) = 490m
∴ दूसरे वृत्त की परिधि (c₂) = 2πr₂
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 490m
= 3080m
अतः दोनों वृत्तों की परिधियों में अंतर = c₂ – c₁
= (3080 – 2200) m
= 880m

प्रश्न 3.
एक वृत्ताकार तालाब के अनुदिश 90 cm चौड़ी एक पटरी बनी हुई है। एक व्यक्ति पटरी के बाहरी किनारे के अनुदिश 66 cm लंबे डग भरता हुआ चल रहा है। 400 डगों में वह एक चक्कर पूरा कर लेता है । तालाब की त्रिज्या कितनी है ?
हल :
यहाँ पर, व्यक्ति द्वारा 1 डग भरने में तय लंबाई = 66 cm
व्यक्ति द्वारा 400 डगों को भरने में तय लंबाई = 66 × 400 cm = 26400 cm
अतः पटरी की बाहरी परिधि (c) = 26400 cm
पटरी की बाहरी त्रिज्या (r) = \(\frac{c}{2 \pi}=\frac{26400}{2 \times \frac{22}{7}}\) cm
= \(\frac{26400 \times 7}{2 \times 22}\)
= 4200 cm
पटरी की चौड़ाई = 90 cm
∴ तालाब की त्रिज्या = (4200 – 90) cm
= 4110 cm = 41.1m

प्रश्न 4.
(i) 4 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण 30° है। (π = 3.14 का प्रयोग करते हुए)
(ii) 7 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के त्रिज्यखंड (sector) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका केन्द्र पर कोण 30° हो।
(iii) 6 सेमी त्रिज्या और 60° कोण वाले वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।
हल :
(i) यहाँ पर, वृत्त की त्रिज्या (r) = 4 cm
त्रिज्यखण्ड का कोण (θ) = 30°
∴ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = \(\frac {θ}{360°}\) × πr²
= \(\frac {30}{360}\) × 3.14 × 4 × 4
= 4.19 cm²

(ii) यहाँ पर,
वृत्त की त्रिज्या (r) = 7 सेमी
त्रिज्यखण्ड का कोण (θ) = 30°
∴ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = \(\frac {θ}{360}\) × πr²
= \(\frac{30}{360} \times \frac{22}{7}\) × 7 × 7
= \(\frac {77}{6}\) सेमी²

(iii) यहाँ पर,
वृत्त की त्रिज्या (r) = 6 सेमी
त्रिज्यखण्ड का कोण (θ) = 60°
∴ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = \(\frac {θ}{360}\) × πr²
= \(\frac{60}{360} \times \frac{22}{7}\) × 6 × 6
= \(\frac {132}{7}\) सेमी²

प्रश्न 5.
भुजाओं 30 cm और 40 cm वाली, धातु की एक आयताकार शीट में से जितनी बड़ी से बड़ी वृत्ताकार काटी जा सकती थी, काट ली गई है। शेष शीट का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।
हल :
दी गई शीट में से काटी गई बड़ी से बड़ी
वृत्ताकार शीट का व्यास (d) = 30 cm
काटी गई वृत्ताकार शीट की त्रिज्या (r) = \(\frac {30}{2}\)cm = 15 cm
∴ वृत्ताकार शीट का क्षेत्रफल (A) = πr²
= \(\frac {22}{7}\) × 15 × 15 cm²
= \(\frac {4950}{7}\) cm²
= 707.14 cm²
दी गई आयताकार शीट का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई
= 40 × 30 cm²
= 1200 cm²
अतः शेष शीट का क्षेत्रफल = (1200 – 707.14) cm²
= 492.86 cm²

प्रश्न 6.
व्यास 150 cm वाले किसी कुएँ के चारों ओर पत्थर की एक मेड़ बनी है । यदि इस मेड़ के बाहरी घेरे की लंबाई 660 cm हो, तो इस मेड़ की चौड़ाई ज्ञात कीजिए ।
हल :

यहाँ पर,
मेड़ के बाहरी घेरे की लंबाई = परिधि (c) = 660 cm
∴ मेड़ के बाहरी घेरे की त्रिज्या (r₁) = \(\frac{\mathrm{c}}{2 \pi}=\frac{660}{2 \times \frac{22}{7}}\) cm
= \(\frac{660 \times 7}{2 \times 22}\)cm = 105 cm
मेड़ के अंदर घेरे का व्यास (d) = 150 cm
मेड़ के अंदर घेरे की त्रिज्या (r₂) = \(\frac {150}{2}\)cm = 75cm
अतः मेड़ की चौड़ाई = r₁ – r₂
= (105 – 75)cm = 30cm

प्रश्न 7.
एक वृत्तीय बाग की त्रिज्या 70 मी० है। इसके गिर्द बाहर की ओर एक 3.5 मी० चौड़ी सड़क बनी है। सड़क बनाने पर क्या व्यय होगा, जबकि व्यय की दर 20 रु० प्रति वर्ग मी० हो ?
हल :
वृत्तीय बाग की अंदर की त्रिज्या = 70 मी०
वृत्तीय बाग का अंदर का = π × (त्रिज्या)²
= \(\frac {22}{7}\) × 70 × 70 = 15400 वर्ग मी०

वृत्तीय बाग की बाहर की त्रिज्या = 70 + 3.5 = 73.5 मी०
वृत्तीय बाग का बाहर का क्षेत्रफल = π × (त्रिज्या)²
= \(\frac {22}{7}\) × (73.5)²
= \(\frac {22}{7}\) × 73.5 × 73.5
= 16978.50 वर्ग मी०
सड़क का क्षेत्रफल = बाहर का क्षेत्रफल – अंदर का क्षेत्रफल
= 16978.50 – 15400 वर्ग मी०
= 1578.50 वर्ग मी०
1 वर्ग मी० सड़क बनाने पर खर्च = 20 रु०
1578.50 वर्ग मी० सड़क बनाने पर खर्च = 20 × 1578.50
= 31570 रुपए

प्रश्न 8.
एक वृत्ताकार मैदान के चारों ओर तार लगाया गया है। तार लगाने का खर्च 12 रु० प्रति मी० की दर से 2640 रु० है । इसके बाद मैदान को 0.50 रु० प्रति वर्ग मी० की दर से जोता गया है। मैदान की जुताई में कितना धन खर्च होगा ? (π = \(\frac {22}{7}\) लीजिए)
हल :
यहाँ पर, यदि व्यय 12 रु० हो तो बाड़ की लंबाई = 1 m
यदि व्यय 1 रु० हो तो बाड़ की लंबाई = \(\frac {1}{12}\) m
यदि व्यय 2640 रु० हो तो बाड़ की लंबाई = \(\frac {1}{12}\) × 2640m = 220 m
⇒ वृत्ताकार मैदान की परिधि = 220 m
⇒ 2πr = 220 m [जहाँ r मैदान की त्रिज्या]
⇒ 2 × \(\frac {22}{7}\) × r = 220m
⇒ r = 200 × \(\frac {1}{2}\) × \(\frac {7}{22}\) = 35m
वृत्ताकार मैदान का क्षेत्रफल = πr² = \(\frac {22}{7}\) × 35 × 35m²
= 3850m²
1m² मैदान की जुताई का व्यय = 0.50 रु०
3850m² मैदान की जुताई का व्यय = 3850 × 0.50 रु०
= 1925 रु०

प्रश्न 9.
एक वृत्ताकार ट्रैक की आंतरिक परिधि 220m है। यदि ट्रैक की चौड़ाई प्रत्येक स्थान पर 7m हो तो 2 रु० प्रति m की दर से बाह्य वृत्त के चारों ओर तार लगाने के खर्च की गणना कीजिए ।
हल :

यहाँ पर,
माना वृत्ताकार पथ की बाह्य त्रिज्या = R m
तथा वृत्ताकार पथ की आंतरिक त्रिज्या = r m
वृत्ताकार पथ की आंतरिक परिधि = 220m
⇒ 2πr = 220
⇒ 2 × \(\frac {22}{7}\) × r = 220m
⇒ r = 220 × \(\frac{1}{2} \times \frac{7}{22}\) = 35m
पथ की चौड़ाई = 7 m
∴ वृत्ताकार पथ की बाह्य त्रिज्या (R) = r + 7 = (35 + 7)m = 42 m
वृत्ताकार पथ की बाह्य परिधि = 2π R
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 42m = 264 m
1m बाह्य पथ पर तार लगाने का व्यय = 2 रु०
264m बाह्य पथ पर तार लगाने का व्यय = 264 × 2 रु०
= 528 रु०

प्रश्न 10.
21 cm त्रिज्या के वृत्त से 150° कोण वाला त्रिज्यखंड काटा गया है । त्रिज्यखंड की संगत चाप की लंबाई और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ पर,
वृत्त के त्रिज्यखंड की त्रिज्या (r) = 21cm
त्रिज्यखंड की चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण (θ) = 150°

प्रश्न 11.
एक घड़ी की मिनट की सुई 10 cm लंबी है । मिनट की सुई द्वारा प्रातः 9 बजे से 9.35 बजे तक रचित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ पर,
मिनट की सुई की लंबाई (r) = 10 cm
मिनट की सुई द्वारा 9 बजे से 9.35 बजे तक तय कोण (θ) = (\(\frac {360}{60}\) × 35)°
= 210°
अतः मिनट की सुई द्वारा 9 बजे से 9.35 बजे तक तय क्षेत्रफल = \(\frac {θ}{360}\) × πr²
= \(\frac{210}{360} \times \frac{22}{7}\) × 10 × 10 cm²
= 183.3 cm²

प्रश्न 12.
एक वृत्त के चाप की लंबाई 5π है तथा त्रिज्यखंड 20π cm² के क्षेत्रफल से घिरा है । वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल :

यहाँ पर, माना वृत्त का केंद्र O तथा वृत्त की त्रिज्या l cm है।
प्रश्नानुसार,
चाप AB की लंबाई = 5πcm
⇒ \(\frac {θ}{360}\) × 2πr = 5π
⇒ r = \(\frac{360}{\theta} \times \frac{1}{2}\) × 5 = \(\frac {900}{θ}\) …………….(i)
तथा त्रिज्यखंड OAB का क्षेत्रफल = 20π cm²
⇒ \(\frac {θ}{360}\) × πr² = 20π
⇒ r² = 20 × \(\frac {360}{θ}\) = \(\frac {7200}{θ}\) …………….(ii)
समीकरण (ii) को समीकरण (i) से भाग करने पर,
\(\frac{r^2}{r}=\frac{7200}{\theta} \times \frac{\theta}{900}\)
⇒ r = 8
अतः वृत्त की त्रिज्या = 8

प्रश्न 13.
14 cm त्रिज्या वाले वृत्त की एक जीवा केंद्र पर समकोण बनाती है, वृत्त के लघु तथा दीर्घ वृत्तखंडों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।
हल :

यहाँ पर, वृत्त की त्रिज्या (r) = 14 cm
माना जीवा AB द्वारा वृत्त के केंद्र पर अंतरित कोण (θ) = 90°
संगत लघु वृत्तखंड (APB) का क्षेत्रफल = (त्रिज्यखंड OAPB – समकोण ΔOAB) का क्षेत्रफल
= [\(\frac {θ}{360}\) × πr² – \(\frac {1}{2}\) × OA × OB]
= [\(\frac{90}{360} \times \frac{22}{7}\) × 14 × 14 – \(\frac {1}{2}\) × 14 × 14]cm²
= [154 – 98]cm² = 56 cm²
संगत दीर्घ वृत्तखंड AQB का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल – लघुखंड का क्षेत्रफल
= [πr² – 56]cm²
= [\(\frac {22}{7}\) × 14 × 14 – 56]cm²
= [616 – 56] cm²
= 560 cm²

प्रश्न 14.
एक 70m × 52m माप के आयताकार मैदान के कोने में एक घोड़े को 21m लंबी रस्सी से घास चरने के लिए बाँधा गया है। वह कितने क्षेत्रफल में घास चर सकता है? (π = 3. 14 लीजिए)
हल :

प्रश्नानुसार, छायांकित भाग उस क्षेत्रफल को दर्शाता है, जिसे घोड़ा चर सकता है।
अब छायांकित भाग (चतुर्थांश) के वृत्त की त्रिज्या (r) = 21m
छायांकित भाग (चतुर्थांश) का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi r^2}{4}\)
= \(\frac{1}{4} \times \frac{22}{7}\) × 21 × 21 m²
= \(\frac {693}{2}\) = 346.5m²

प्रश्न 15.
संलग्न आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।
हल :

आकृति अनुसार,
वृत्त का व्यास (AC) = आयत ABCD का विकर्ण
= \(\sqrt{(\mathrm{AB})^2+(\mathrm{BC})^2}\)
= \(\sqrt{(8)^2+(6)^2}\)
= \(\sqrt{64+36}\)
= \(\sqrt{100}\) = 10 cm
वृत्त की त्रिज्या (r) = \(\frac{\mathrm{AC}}{2}=\frac{10}{2}\) = 5cm
∴ वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
= 3.14 × 5 × 5 cm² = 78.50 cm²
आयत ABCD का क्षेत्रफल = AB × BC
= 8 × 6 cm²
= 48 cm²
अतः छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल – आयत ABCD का क्षेत्रफल
= (78.50 – 48) cm²
= 30.50 cm²

प्रश्न 16.
एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 49\(\sqrt{3}\) cm² है। प्रत्येक शीर्ष को केंद्र मानकर त्रिभुज की भुजा की लंबाई की आधी त्रिज्या लेकर वृत्त खींचे गए हैं, जैसा कि संलग्न आकृति में दर्शाया गया है । त्रिभुज के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो वृत्तों में सम्मिलित नहीं है (\(\sqrt{3}\) = 1.73 लीजिए)
हल :

यहाँ पर,
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = 49\(\sqrt{3}\) cm²
⇒ \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) (भुजा)² = 49\(\sqrt{3}\)
⇒ (भुजा)² = 49\(\sqrt{3}\) × \(\frac{4}{\sqrt{3}}\) = 196 = (14)²
⇒ भुजा = 14 cm
∴ प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या (r) = \(\frac {14}{2}\) = 7 cm
प्रत्येक त्रिज्यखंड का कोण (θ) = 60° (समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण)
तीनों त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल = 3[\(\frac {θ}{360}\) × πr²] = 3[\(\frac{60}{360} \times \frac{22}{7}\) × 7 × 7]cm²
= 77 cm²
अतः छायांकित क्षेत्रफल जो वृत्तों में सम्मिलित नहीं है = ΔABC का क्षेत्रफल – तीनों त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल
= (49 × 1.73 – 77 ) cm²
= 7.77 cm²

प्रश्न 17.
एक वृत्त की परिधि ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल 6.16 cm² है।
हल :
यहाँ पर
वृत्त का क्षेत्रफल = 6.16 cm²
⇒ πr² = 6.16
⇒ r² = \(\frac {616}{π}\)
⇒ r² = \(\frac{6.16 \times 7}{22}\) = 1.96
⇒ r = \(\sqrt{1.96}\) = 1.4 cm
अतः वृत्त की परिधि = 2πr
= 2 × \(\frac {22}{7}\) × 1.4 = 8.8 cm

प्रश्न 18.
वृत्त का क्षेत्रफल क्या है, जिसकी परिधि 11 cm भुजा के एक वर्ग के परिमाप के बराबर है?
हल :
यहाँ पर,
वर्ग की भुजा = 11 cm
वर्ग का परिमाप = 4 × भुजा
= 4 × 11 = 44 cm
प्रश्नानुसार,
वृत्त की परिधि = वर्ग का परिमाप
2πr = 44
r = \(\frac {44}{2π}\)
= \(\frac{44}{2} \times \frac{7}{22}\) = 7 cm
अतः वृत्त का क्षेत्रफल = πr² = \(\frac {22}{7}\) × 7 × 7
= 154 cm²

प्रश्न 19.
अर्ध-वृत्ताकार डिजाइन के टुकड़े की परिधि 72 cm है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।
हल :
माना अर्धवृत्ताकार डिजाइन के टुकड़े की त्रिज्या = r cm
दिया है अर्धवृत्ताकार डिजाइन के टुकड़े की परिधि = 72 cm
⇒ \(\frac {1}{2}\)(2πr) = 72
⇒ πr = 72
⇒ r = \(\frac {72}{π}\)cm
अर्धवत्ताकार डिजाइन के टुकड़े का क्षेत्रफल = \(\frac {1}{2}\)πr²
= \(\frac {1}{2}\) × π × \(\frac {72}{π}\) × \(\frac {72}{π}\)
= \(\frac {1}{2}\) × \(\frac{72 \times 72 \times 7}{22}\)
= 824.73 cm²

प्रश्न 20.
एक वृत्त की परिधि व्यास से 33.6 cm अधिक है । वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।
हल :
मान लीजिए वृत्त की त्रिज्या = r cm
∴ व्यास = 2r cm तथा परिधि = 2πr cm
दिया गया है कि वृत्त की परिधि उसके व्यास से 33.6 cm अधिक है। अर्थात्
परिधि = व्यास + 33.6
⇒ 2πr = 2r + 33.6
⇒ 2(\(\frac {22}{7}\))r = 2r + 33.6
⇒ 44r = 14r + 235.2
⇒ 30r = 235.2
⇒ r = \(\frac {235.2}{30}\) = 7.84 cm
वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
= \(\frac {22}{7}\) × 7.84 × 7.84
= 22 × 1.12 × 7.84 cm²
= 193.18 cm²

बहुविकल्पीय प्रश्न :

प्रश्न 1.
एक वृत्त के अनुदिश एक बार चलने में तय की दूरी को कहा जाता है-
(A) त्रिज्या
(B) व्यास
(C) परिधि
(D) क्षेत्रफल
हल :
(C) परिधि

प्रश्न 2.
वृत्त की परिधि और व्यास का अनुपात है :
(A) 2π : 1
(B) 7 : 1
(C) 1 : 1
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(B) π : 1

प्रश्न 3.
π एक ……………….. संख्या है।
(A) परिमेय
(B) सम
(C) विषम
(D) अपरिमेय
हल :
(D) अपरिमेय

प्रश्न 4.
वृत्त की परिधि और त्रिज्या का अनुकूल है :
(A) 2π : 1
(B) π : 1
(C) 1 : 1
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A) 2π : 1

प्रश्न 5.
अर्धवृत्त में बना प्रत्येक कोण होता है-
(A) 45°
(B) 60°
(C) 90°
(D) 180°
हल :
(C) 90°

प्रश्न 6.
संलग्न आकृति में केंद्र वाले वृत्त के अंतर्गत एक समबाहु त्रिभुज ABC है तो ∠BOC = ∠COA = ∠AOB का मान होगा-

(A) 60°
(C) 30°
(B) 90°
(D) 120°
हल :
(D) 120°

प्रश्न 7.
7 cm त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि होगी :
(A) 154 cm²
(B) 154 cm
(D) 44cm²
(C) 44 cm
हल :
(D) 44 cm

प्रश्न 8.
d व्यास वाले वृत्त की परिधि होगी-
(A) πd²
(B) 2πd
(C) πd
(D) πd²
हल :
(C) πd

प्रश्न 9.
3.5 cm त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि होगी :
(A) 22 cm
(B) 22 cm²
(C) 44 cm²
(D) 44 cm
हल :
(A) 22 cm

प्रश्न 10.
उस वृत्त की त्रिज्या क्या होगी जिसकी परिधि 44 से.मी. हो ?
(A) 14 cm
(B) 7 cm
(C) 49 cm
(D) 28 cm
हल :
(B) 7 cm

प्रश्न 11.
यदि π = 3.14 हो तो 2.5 cm त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि होगी-
(A) 15.7 m
(B) 15.7 cm
(C) 1.57 m
(D) 1.57 cm
हल :
(B) 15.7 cm

प्रश्न 12.
यदि π = 3.14 हो तो 12.56 cm परिधि वाले वृत्त का व्यास होगा-
(A) 8 cm
(B) 6 cm
(C) 4 cm
(D) 2 cm
हल :
(C) 4 cm

प्रश्न 13.
एक वृत्ताकार सिक्के का व्यास 2 cm है । इसकी परिधि होगी-
(A) \(\frac {22}{7}\) cm
(B) \(\frac {11}{7}\) cm
(C) \(\frac {88}{7}\) cm
(D) \(\frac {44}{7}\) cm
हल :
(D) \(\frac {44}{7}\) cm

प्रश्न 14.
गारे के उस वृत्ताकार गड्ढे का व्यास क्या होगा जिसकी परिधि 220 cm है ?
(A) 70 cm
(B) 140 cm
(C) 35 cm
(D) 17.5 cm
हल :
(A) 70 cm

प्रश्न 15.
यदि π = 3.14 हो तो 75.36 cm परिधि वाली खाने की किसी प्लेट की त्रिज्या होगी-
(A) 24 cm
(B) 12 cm
(C) 6 cm
(D) 17.5 cm
हल :
(D) 3 cm

प्रश्न 16.
एक कोल्हू का बैल 3m लंबी रस्सी से बँधा हुआ है, वह एक चक्कर में दूरी तय करेगा-
(A) \(\frac {33}{7}\) m
(B) \(\frac {66}{7}\) m
(C) \(\frac {132}{7}\) m
(D) \(\frac {264}{7}\) m
हल :
(C) \(\frac {132}{7}\) m

प्रश्न 17.
दो पहियों की त्रिज्याओं में अनुपात 3 : 4 है। इनकी परिधियों में अनुपात होगा-
(A) 6 : 4
(B) 3 : 8
(C) \(\frac {3}{2}\) : 4
(D) 3 : 4
हल :
(D) 3 : 4

प्रश्न 18.
वृत्त के व्यास व त्रिज्या में क्या संबंध होता है ?
(A) व्यास = 2 × त्रिज्या
(B) त्रिज्या = 2 × व्यास
(C) व्यास = त्रिज्या / 2
(D) व्यास = 4 × त्रिज्या
हल :
(A) व्यास = 2 × त्रिज्या

प्रश्न 19.
7 cm त्रिज्या के वृत्त का क्षेत्रफल होगा :
(A) 154 cm
(B) 154 cm²
(C) 44 cm
(D) 44 cm²
हल :
(B) 154 cm²

प्रश्न 20.
त्रिज्या r वाले अर्धवृत्त का क्षेत्रफल होगा-
(A) πr²
(B) \(\frac {1}{2}\)πr²
(C) 2πr²
(D) 2πr
हल :
(B) \(\frac {1}{2}\)πr²

प्रश्न 21.
त्रिज्या r वाले वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल होगा-
(A) πr²
(B) \(\frac {1}{2}\)πr²
(C) \(\frac {1}{4}\)πr²
(D) 4πr²
हल :
(C) \(\frac {1}{4}\)πr²

प्रश्न 22.
यदि एक वृत्त का परिमाप और क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप में बराबर हों तो उस वृत्त की त्रिज्या होगी-
(A) 2 मात्रक
(B) π मात्रक
(C) 4 मात्रक
(D) 7 मात्रक
हल :
(A) 2 मात्रक

प्रश्न 23.
दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 12cm व 7cm हैं । उस वृत्त की त्रिज्या क्या होगी जिसकी परिधि इन दोनों वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर है?
(A) 5cm
(B) 9.2cm
(C) 19cm
(D) 17cm
हल :
(C) 19cm

प्रश्न 24.
दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 15cm व 10cm हैं । उस वृत्त की त्रिज्या क्या होगी जिसकी परिधि इन दोनों वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर है?
(A) 5cm
(B) 19cm
(C) 25cm
(D) 17cm
हल :
(C) 25cm

प्रश्न 25.
दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 17cm व 9cm हैं । उस वृत्त की त्रिज्या क्या होगी जिसकी परिधि इन दोनों वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर है?
(A) 8cm
(B) 16cm
(C) 13cm
(D) 26cm
हल :
(D) 26cm

प्रश्न 26.
दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 4cm व 3cm हैं । उस वृत्त की त्रिज्या क्या होगी जिसका क्षेत्रफल इन दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है?
(A) 5cm
(B) 3.5cm
(C) 7cm
(D) 1cm
हल :
(A) 5cm

प्रश्न 27.
दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 8cm व 6cm हैं। उस वृत्त की त्रिज्या क्या होगी जिसका क्षेत्रफल इन दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है?
(A) 14cm
(B) 12cm
(C) 10cm
(D) 2cm
हल :
(C) 10cm

प्रश्न 28.
दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 12cm व 9cm हैं । उस वृत्त की त्रिज्या क्या होगी जिसका क्षेत्रफल इन दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है?
(A) 21cm
(B) 15cm
(C) 10.5cm
(D) 7.5cm
हल :
(B) 15cm

प्रश्न 29.
उस वृत्ताकार खेत की परिधि क्या होगी जिस पर 24 रु० प्रति मीटर की दर से बाड़ लगाने का व्यय 5280 रु० है?
(A) 110m
(B) 440m
(C) 330m
(D) 220m
हल :
(D) 220m

प्रश्न 30.
उस वृत्ताकार खेत की परिधि क्या होगी जिस पर 25 रु० प्रति मीटर की दर से बाड़ लगाने का व
(A) 220m
(B) 330m
(C) 440m
(D) 110m
हल :
(A) 220m

प्रश्न 31.
उस वृत्ताकार खेत की परिधि क्या होगी जिस पर 20 रु० प्रति मीटर की दर से बाड़ लगाने का व्यय 5000 रु० है?
(A) 500m
(B) 250m
(C) 125m
(D) 375m
हल :
(B) 250m

प्रश्न 32.
200 cm व्यास वाले वृत्त का क्षेत्रफल होगा-
(A) \(\frac {22}{7}\)mm²
(B) \(\frac {22}{7}\)dm²
(C) \(\frac {22}{7}\)cm²
(D) \(\frac {22}{7}\)m²
हल :
(D) \(\frac {22}{7}\)m²

प्रश्न 33.
154 cm² क्षेत्रफल वाले वृत्त की त्रिज्या होगी –
(A) 7 cm
(B) 14 cm
(C) 3.5 cm
(D) 1.75 cm
हल :
(A) 7 cm

प्रश्न 34.
\(\frac {2200}{7}\)dm² क्षेत्रफल वाले वृत्त की त्रिज्या होगी –
(A) 20 cm
(B) 10 dm
(C) 20 dm
(D) 10 cm
हल :
(B) 10 dm

प्रश्न 35.
π का मान 3.14 लेते हुए उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल 314 cm² है
(A) 20 dm
(B) 20 cm
(C) 10 cm
(D) 10 dm
हल :
(C) 10 cm

प्रश्न 36.
10 cm व्यास वाली वृत्ताकार प्लेट का क्षेत्रफल होगा-
(A) \(\frac {550}{7}\)cm²
(B) \(\frac {5500}{7}\)cm²
(C) \(\frac {275}{7}\)cm²
(D) \(\frac {2750}{7}\)cm²
हल :
(A) \(\frac {550}{7}\)cm²

प्रश्न 37.
0.50 रु० प्रति वर्ग मीटर की दर 3850m² क्षेत्रफल को जोतने का व्यय होगा-
(A) 1925 रु०
(B) 19.25 रु०
(C) 192.5 रु०
(D) 19250 रु०
हल :
(A) 1925 रु०

प्रश्न 38.
संलग्न आकृति के दो संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 10.5cm व 21cm हैं। इनके बीच घिरे छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल होगा-

(A) 346.5 cm²
(B) 1039.5 cm²
(C) 693.0 cm²
(D) 1732.5cm²
हल :
(B) 1039.5 cm²

प्रश्न 39.
दो संकेंद्रीय वृत्तों जिनकी त्रिज्याएँ R तथा r हों, के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल होगा-
(A) 2π (R – r)
(B) 2π (R² – r²)
(C) π(R² – r²)
(D) π(R² + r²)
हल :
(C) π(R² – r²)

प्रश्न 40.
यदि किसी वृत्त की त्रिज्या को दुगुना कर दिया जाए तो प्राप्त वृत्त के क्षेत्रफल का दिए गए वृत्त के क्षेत्रफल से अनुपात होगा-
(A) 1 : 2
(B) 1 : 3
(C) 1 : 4
(D) 1 : 9
हल :
(C) 1 : 4

प्रश्न 41.
यदि किसी वृत्त की त्रिज्या को तीन गुणा कर दिया जाए तो प्राप्त वृत्त के क्षेत्रफल का दिए गए वृत्त के क्षेत्रफल से अनुपात होगा-
(A) 1 : 3
(B) 1 : 9
(C) 2 : 3
(D) 2 : 9
हल :
(B) 1 : 9

प्रश्न 42.
यदि किसी वृत्त की त्रिज्या को चार गुणा कर दिया जाए तो प्राप्त वृत्त के क्षेत्रफल का दिए गए वृत्त के क्षेत्रफल से अनुपात होगा-
(A) 1 : 4
(B) 1 : 9
(C) 1 : 16
(D) 1 : 8
हल :
(C) 1 : 16

प्रश्न 43.
वृत्तीय क्षेत्र का वह भाग जो दो त्रिज्याओं और संगत चाप से घिरा हो, उसे वृत्त का एक ………………… कहा जाता है ।
(A) त्रिज्यखंड
(B) अर्धवृत्त
(C) वृत्तखंड
(D) परिमाप
हल :
(A) त्रिज्यखंड

प्रश्न 44.
वृत्तीय क्षेत्र का वह भाग जो एक जीवा और संगत चाप के बीच में परिबद्ध हो, उसे कहा जाता है-
(A) त्रिज्यखंड
(B) क्षेत्रफल
(C) परिमाप
(D) वृत्तखंड
हल :
(D) वृत्तखंड

प्रश्न 45.
संलग्न आकृति में छायांकित क्षेत्र कहलाता है-

(A) लघु त्रिज्यखंड
(B) दीर्घ त्रिज्यखंड
(C) लघु वृत्तखंड
(D) दीर्घ वृत्तखंड
हल :
(A) लघु त्रिज्यखंड

प्रश्न 46.
प्रश्न 45 की आकृति में क्षेत्र OAQB कहलाता है-
(A) लघु त्रिज्यखंड
(B) दीर्घ त्रिज्यखंड
(C) लघु वृत्तखंड
(D) दीर्घ वृत्तखंड
हल :
(B) दीर्घ त्रिज्यखंड

प्रश्न 47.
संलग्न आकृति में, यदि O वृत्त का केंद्र तथा PQ, एक जीवा हो तो छायांकित भाग को कहा जाता है-

(A) लघु त्रिज्यखंड
(B) दीर्घ त्रिज्यखंड
(C) लघु वृत्तखंड
(D) दीर्घ वृत्तखंड
हल :
(C) लघु वृत्तखंड

प्रश्न 48.
संलग्न आकृति में, यदि AB वृत्त की जीवा तथा O वृत्त का केंद्र हो, तो छायांकित भाग कहलाता है-

(A) लघु त्रिज्यखंड
(B) दीर्घ त्रिज्यखंड
(C) लघु वृत्तखंड
(D) दीर्घ वृत्तखंड
हल :
(D) दीर्घ वृत्तखंड

प्रश्न 49.
त्रिज्या r वाले वृत्त के एक त्रिज्यखंड जिसका कोण अंशों में θ है, उसके संगत चाप की लंबाई होगी-
(A) \(\frac {θ}{360}\) × 2πr
(B) \(\frac {θ}{360}\) × πr
(C) \(\frac {θ}{360}\) × πr²
(D) \(\frac {θ}{360}\) × 2πr²
हल :
(A) \(\frac {θ}{360}\) × 2πr

प्रश्न 50.
त्रिज्या r वाले वृत्त के एक त्रिज्यखंड जिसका कोण अंशों में θ है, का क्षेत्रफल होगा –
(A) \(\frac {θ}{360}\) × 2πr
(B) \(\frac {θ}{360}\) × πr
(C) \(\frac {θ}{360}\) × πr²
(D) \(\frac {θ}{360}\) × 2πr²
हल :
(C) \(\frac {θ}{360}\) × πr²

प्रश्न 51.
त्रिज्या R वाले वृत्त के उस दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल जिसका कोण θ° है, होगा –
(A) \(\frac {θ}{360}\) × πR²
(B) \(\frac {θ}{180}\) × πR²
(C) (\(\frac{360-\theta}{360}\)) × πR²
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(C) (\(\frac{360-\theta}{360}\)) × πR²

प्रश्न 52.
त्रिज्या r वाले वृत्त के उस त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल जिसका कोण 1° है-
(A) πr² / 360
(B) πr² / 180
(C) 2πr / 360
(D) 2πr² / 360
हल :
(A) πr² / 360

प्रश्न 53.
6cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के उस त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल क्या होगा, जिसका कोण 60° है ?
(A) \(\frac {132}{7}\) cm³
(B) \(\frac {132}{7}\) cm²
(C) \(\frac {132}{7}\) cm
(D) \(\frac {44}{7}\) cm²
हल :
(B) \(\frac {132}{7}\) cm²

प्रश्न 54.
22cm परिधि वाले वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल होगा-
(A) \(\frac {77}{2}\)cm²
(B) \(\frac {77}{4}\)cm²
(C) \(\frac {77}{6}\)cm²
(D) \(\frac {77}{8}\)cm²
हल :
(D) \(\frac {77}{8}\)cm²

प्रश्न 55.
एक घड़ी की मिनट की सुई जिसकी लंबाई 14cm है। इसके द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल होगा-
(A) \(\frac {154}{9}\)cm²
(B) \(\frac {154}{6}\)cm²
(C) \(\frac {154}{3}\)cm²
(D) \(\frac {154}{5}\)cm²
हल :
(C) \(\frac {154}{3}\)cm²

प्रश्न 56.
किसी वृत्त का क्षेत्रफल क्या होगा, यदि इसकी त्रिज्या 7cm हो ?
(A) 154 cm
(B) 154 cm²
(C) 44 cm²
(D) 44 cm
हल :
(B) 154 cm²

प्रश्न 57.
r त्रिज्या वाले वृत्त का एक चाप केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करता है, चाप की लंबाई क्या होगी ?
(A) \(\frac {πr}{3}\) cm
(B) \(\frac {2πr}{3}\) cm²
(C) πr² / 3 cm²
(D) \(\frac {πr}{3}\) cm ²
हल :
(A) \(\frac {πr}{3}\) cm

प्रश्न 58.
त्रिज्या 21cm वाले वृत्त के उस त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल क्या होगा जो केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करता है –
(A) 115.5 cm²
(B) 462 cm²
(C) 231 cm²
(D) 693 cm²
हल :
(C) 231 cm²

प्रश्न 59.
वृत्त की त्रिज्या 14 cm है, तो उसकी परिधि होगी-
(A) 44 cm
(B) 44 cm²
(C) 88 cm
(D) 88 cm²
हल :
(C) 88 cm

प्रश्न 60.
14 cm त्रिज्या वाले वृत्त के त्रिज्याखंड का क्षेत्रफल होगा जिसका कोण 60° हो :
(A) \(\frac {308}{3}\) cm³
(B) \(\frac {308}{3}\) cm
(C) \(\frac {308}{3}\) cm²
(D) \(\frac {22}{3}\) cm²
हल :
(A) \(\frac {308}{3}\) cm³

प्रश्न 61.
p भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा-
(A) \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)p
(B) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)p²
(C) \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)p²
(D) \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)p³
हल :
(C) \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)p²

प्रश्न 62.
संलग्न आकृति में, यदि O वृत्त का केंद्र, PQ = 24 cm तथा PR = 7cm हो तो ARPQ का क्षेत्रफल होगा-

(A) 84 cm²
(B) 168 cm²
(C) 42 cm²
(D) 63 cm²
हल :
(A) 84 cm²

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Important Questions Chapter 11 रचनाएँ Important Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Important Questions Chapter 11 रचनाएँ

परीक्षोपयोगी अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न :

प्रश्न 1.
एक वृत्त की त्रिज्या 2 cm है। उसके केंद्र से 5 cm दूर स्थित किसी बिंदु से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ खींचिए तथा स्पर्श रेखा की लंबाई मापिए ।
हल :

रचना के चरण-

1. O को केंद्र मानकर 2 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए ।
2. O से 5 cm की दूरी पर एक बिंदु P. लीजिए तथा OP को मिलाइए ।
3. रेखाखंड OP को समद्विभाजित कीजिए । मान लीजिए समद्विभाजक रेखाखंड OP को बिंदु M पर काटता है ।
4. M को केंद्र मानकर तथा OM त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचिए । मान लीजिए यह दिए गए वृत्त को बिंदुओं Q तथा R पर प्रतिच्छेद करता है।
5. PQ तथा PR को मिलाइए । PQ तथा PR ही अभीष्ट स्पर्श रेखा – युग्म है। मापने पर PQ = PR = 4.6 cm (लगभग)।

प्रश्न 2.
एक वृत्त की त्रिज्या 3 cm है। उसकी परिधि पर स्थित एक बिंदु P से केंद्र का प्रयोग किए बिना एक स्पर्श रेखा की रचना कीजिए ।
हल :

रचना के चरण-

1. 3 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए ।
2. वृत्त की परिधि पर एक बिंदु P लीजिए ।
3. P से होकर जाने वाली वृत्त की एक जीवा PQ खींचिए जैसाकि आकृति में दिखाई गई है।
4. दीर्घ चाप PQ पर एक बिंदु R लीजिए । PR व QR को मिलाइए ।
5. अब ∠QPX = ∠PRQ बनाइए । तब PX बिंदु P पर अभीष्ट स्पर्श रेखा होगी।

प्रश्न 3.
एक दिए गए त्रिभुज ABC के समरूप एक त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ दिए गए त्रिभुज की संगत भुजाओं की \(\frac {3}{4}\) हों ।
हल :

रचना के चरण-

1. एक ΔABC की रचना कीजिए ।
2. B से BC पर एक न्यून कोण बनाती हुई नीचे की ओर एक किरण BX खींचिए ।
3. BX पर चार समान भाग BB₁, B₁B₂, B₂B₃ व B₃B₄ बनाएँ ।
4. B₄ को C से मिलाओ ।
5. B₃ से B₃C’ || B₄C खींचने के लिए ∠BB₃C’ = ∠BB₄C बनाइए जो BC को C’ पर काटे
6. C’ से C’A’ || CA खींचने के लिए ∠BC’A’ = ∠BCA बनाइए जो AB को A’ पर काटे ।
7. A’C’ को मिलाइए। इस प्रकार A’BC’ अभीष्ट त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ ΔABC की भुजाओं की \(\frac {3}{4}\) हैं ।

प्रश्न 4.
एक दिए गए त्रिभुज ABC के समरूप एक त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ त्रिभुज ABC की संगत भुजाओं की \(\frac {5}{3}\) हैं।
हल :

रचना के चरण-

1. एक ΔABC की रचना कीजिए ।
2. B से BC पर एक न्यून कोण बनाती हुई नीचे की ओर एक किरण BX खींचिए ।
3. BX पर पाँच समान भाग BB₁, B₁B₂, B₂B₃, B₃B₄ व B₄B₅ बनाएँ।
4. B₃ को C से मिलाओ ।
5. B₅ से B₅C’ || B₃C खींचने के लिए ∠BB₅C’ = ∠BB₃C बनाइए जो BC को बढ़ाने पर C’ मिले ।
6. C’ से C’A’ || CA खींचने के लिए ∠BC’A’ = ∠BCA बनाइए जो BA को बढ़ाने पर A’ पर मिले ।
7. इस प्रकार ΔA’BC’ अभीष्ट त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ ΔABC की भुजाओं की \(\frac {5}{3}\) हैं।

प्रश्न 5.
एक त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ 3 सेमी और 4 सेमी और 5 सेमी हों। इस त्रिभुज के समरूप दूसरे त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ इस त्रिभुज की \(\frac {3}{2}\) हैं ।
हल :

रचना के चरण-

1. एक त्रिभुज ABC बनाइए जिसकी भुजाएँ AB = 5 सेमी, BC = 4 सेमी तथा AC = 3 सेमी हों ।
2. बिंदु A से एक किरण AX रेखाखण्ड AB के साथ न्यून कोण बनाते हुए खींचिए।
3. किसी चाप की परकार खोलकर रेखा AX को तीन बराबर भागों AX₁, X₁X₂, X₂X₃ में बाँटिए ।
4. X₂ को B से मिलाइए ।
5. X₃ से X₃B’ || X₂B खींचिए जो AB को बढ़ाने पर B’ पर मिले।
6. B’ से B’C’ || BC खींचिए जो AC को बढ़ाने पर C’ पर मिले |
7. इस प्रकार ΔAB’C’ अभीष्ट त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ ΔABC की भुजाओं की \(\frac {3}{2}\) गुनी है।

प्रश्न 6.
4 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए और एक बाह्य बिन्दु से केन्द्र का उपयोग करते हुए, इस पर स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए।
हल :

रचना के चरण-

1. O को केंद्र मानकर 4.0 cm त्रिज्या की चाप द्वारा एक वृत्त खींचिए ।
2. एक बिंदु P लीजिए। जो वृत्त की परिधि से बाहर हो ।
3. O और P को मिलाइए ।
4. OP को बिंदु M पर समद्विभाजित कीजिए ।
5. अब M को केंद्र मानकर तथा OM को त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचिए जो दिए हुए वृत्त को Q तथा R पर प्रतिच्छेद करें ।
6. PQ तथा PR को मिलाइए । यही PQ तथा PR वृत्त की अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं ।

प्रश्न 7.
एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD की रचना कीजिए जिसमें AB = 3 cm, BC = 6 cm, CA = 4 cm तथा AD = 2 cm हो। ABCD के समरूप एक चतुर्भुज की भी रचना कीजिए जिसकी प्रत्येक भुजा चतुर्भुज ABCD की संगत भुजा का 1.5 गुना हो ।
हल :

रचना के चरण-

1. एक रेखाखंड AC = 4 cm खींचो। A से 3 cm माप की चाप काटिए ।
2. C से 6 cm माप की दूसरी चाप खींचिए जो पहले वाली चाप को B पर प्रतिच्छेद करे ।
3. AB तथा BC को मिलाइए जिससे ABC त्रिभुज प्राप्त होगा ।
4. AB तथा BC का लंब समद्विभाजक खींचो जो परस्पर O पर प्रतिच्छेद करे ।
5. O को केंद्र तथा OA = OB = OC को त्रिज्या मानकर एक वृत्त की रचना कीजिए ।
6. A से 2 cm माप का चाप AD पर काटिए । AD तथा DC को मिलाइए। इससे ABCD अभीष्ट चक्रीय चतुर्भुज प्राप्त होगा ।
7. AC को AC’ = 6 cm तक बढ़ाइए। (1.5 × 4 = 6)
8. C’ से C’ D’ || CD तथा C’ B’ || CB खींचो।
9. AB’C’D’ अभीष्ट चतुर्भुज है, जिसकी प्रत्येक भुजा चक्रीय चतुर्भुज ABCD की भुजा 1.5 गुनी हैं ।

प्रश्न 8.
एक त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी दो भुजाएँ 4 सेमी और 5 सेमी हों और उनके बीच का कोण 45° हो। इस त्रिभुज के समरूप एक दूसरे त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ इस त्रिभुज की \(\frac {3}{2}\) हो।
हल :

रचना के चरण-

1. एक त्रिभुज ABC बनाइए जिसकी भुजाएँ AB = 5 सेमी, ∠A = 45° तथा AC = 4 सेमी हों ।
2. बिंदु A से एक किरण AX रेखाखण्ड AB के साथ न्यूनकोण बनाते हुए खींचिए ।
3. किसी चाप की परकार खोलकर रेखा AX को तीन बराबर भागों AX₁, X₁X₂, X₂X₃ में बाँटिए ।
4. X₂ को B से मिलाइए ।
5. X₃ से X₃B’ || X₂B खींचिए जो AB को बढ़ाने पर B’ पर मिले ।
6. B’ से B’C’ || BC खींचिए जो AC को बढ़ाने पर C’ पर मिले ।
7. इस प्रकार A’B’C’ अभीष्ट त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ ΔABC की भुजाओं की \(\frac {3}{2}\) गुनी हैं।

बहुविकल्पीय प्रश्न :

प्रश्न 1.
रेखाखंडों को खींचने के लिए ज्यामिति बॉक्स में से किस उपकरण का प्रयोग किया जाता है ?
(A) परकार का
(B) रूलर का
(C) डिवाइडर का
(D) उपरोक्त सभी का
हल :
(B) रूलर का

प्रश्न 2.
लंब रेखाओं तथा समांतर रेखाओं को खींचने के उपयोग में आने वाला उपकरण है-
(A) रूलर
(B) चांदा
(C) सेट-स्कवेयर
(D) डिवाइडर
हल :
(C) सेट – स्कवेयर

प्रश्न 3.
वृत्त खींचने के लिए उपयोग में आने वाला उपकरण है-
(A) परकार
(C) सेट – स्कवेयर
(B) रूलर
(D) चांदा
हल :
(A) परकार

प्रश्न 4.
कोणों को मापने के लिए ज्यामिति बॉक्स में से किस उपकरण का प्रयोग किया जाता है ?
(A) परकार का
(B) रूलर का
(C) सेट स्कवेयर का
(D) चांदे का
हल :
(D) चांदे का

प्रश्न 5.
संलग्न आकृति में, वृत्त के बर्हिभाग में स्थित बिंदु है-

(A) O
(B) C
(C) A
(D) B
हल :
(B) C

प्रश्न 6.
प्रश्न 5 की आकृति में वृत्त की परिधि पर स्थित बिंदु है-
(A) O
(B) C
(C) A
(D) B
हल :
(C) A

प्रश्न 7.
प्रश्न 5 की आकृति में वृत्त के अभ्यंतर में स्थित बिंदु है-
(A) 0
(B) B
(C) O और B दोनों
(D) C
हल :
(C) O और B दोनों

प्रश्न 8.
वृत्त की परिधि पर स्थित बिंदु से वृत्त पर कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं ?
(A) केवल एक
(B) शून्य
(C) दो
(D) तीन
हल :
(A) केवल एक

प्रश्न 9.
वृत्त के बर्हिभाग में स्थित एक बिंदु से वृत्त पर कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं-
(A) केवल एक
(B) शून्य
(C) दो
(D) तीन
हल :
(C) दो

प्रश्न 10.
वृत्त के अभ्यंतर में स्थित एक बिंदु से वृत्त पर कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं ?
(A) केवल एक
(B) शून्य
(C) दो
(D) तीन
हल :
(B) शून्य

प्रश्न 11.
एक त्रिभुज ABC का अंतःवृत्त खींचने के लिए केंद्र लिया जाता है-
(A) कोण समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद बिंदु
(B) भुजाओं के समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद बिंदु
(C) शीर्ष – लंबों का प्रतिच्छेद बिंदु
(D) माध्यिकाओं का प्रतिच्छेद बिंदु
हल :
(A) कोण समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद बिंदु

प्रश्न 12.
किसी त्रिभुज का परिवृत्त खींचने के लिए केंद्र लिया जाता है-
(A) कोण समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद बिंदु
(B) भुजाओं के समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद बिंदु
(C) शीर्ष – लंबों का प्रतिच्छेद बिंदु
(D) भुजाओं के समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद बिंदु माध्यिकाओं का प्रतिच्छेद बिंदु
हल :
(B) भुजाओं के समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद बिंदु

प्रश्न 13.
समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण होता है-
(A) 45°
(C) 60°
(B) 90°
(D) 80°
हल :
(C) 60°

प्रश्न 14.
2 cm त्रिज्या के वृत्त के केंद्र से 5 cm की दूरी पर स्थित बिंदु से वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?
(A) शून्य
(B) केवल एक
(C) तीन
(D) दो
हल :
(D) दो

प्रश्न 15.
3 cm त्रिज्या के वृत्त के केंद्र से 3 cm की दूरी पर स्थित बिंदु से वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?
(A) शून्य
(B) केवल एक
(C) दो
(D) तीन
हल :
(B) केवल एक

प्रश्न 16.
4 cm त्रिज्या के वृत्त के केंद्र से 2.5 cm की दूरी पर स्थित बिंदु से वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं ?
(A) शून्य
(B) एक
(C) दो
(D) तीन
हल :
(A) शून्य

प्रश्न 17.
एक त्रिभुज की भुजाएँ 5 cm, 12 cm तथा 13 cm हैं इसे कहा जाएगा-
(A) समद्विबाहु त्रिभुज
(B) समबाहु त्रिभुज
(C) विषमबाहु त्रिभुज
(D) उपरोक्त में से कोई नहीं
हल :
(C) विषमबाहु त्रिभुज

प्रश्न 18.
समद्विबाहु त्रिभुज में होती है-
(A) तीनों भुजाएँ बराबर
(B) दो भुजाएँ बराबर
(C) तीनों भुजाएँ भिन्न-भिन्न
(D) प्रत्येक कोण 60°
हल :
(B) दो भुजाएँ बराबर

प्रश्न 19.
समकोण त्रिभुज में समकोण के सामने की भुजा को कहा जाता है-
(A) आधार
(B) लंब
(C) शीर्ष-लंब
(D) कर्ण
हल :
(D) कर्ण

प्रश्न 20.
निम्नलिखित में से कौन-सा त्रिभुज बनाना संभव है ?
(A) तीन न्यून कोण वाला
(B) दो समकोण वाला
(C) दो अधिक कोण वाला
(D) एक समकोण व एक अधिक कोण वाला
हल :
(A) तीन न्यून कोण वाला

प्रश्न 21.
त्रिभुज के तीनों कोणों का योग होता है-
(A) 540°
(B) 360°
(C) 180°
(D) 720°
हल :
(C) 180°

प्रश्न 22.
चतुर्भुज के चारों कोणों का योग होता है-
(A) 540°
(B) 360°
(C) 180°
(D) 720°
हल :
(B) 360°

प्रश्न 23.
जिस चतुर्भुज के चारों शीर्ष वृत्त पर हों उसे कहा जाता है-
(A) समचतुर्भुज
(B) आयत
(C) वर्ग
(D) चक्रीय चतुर्भुज
हल :
(D) चक्रीय चतुर्भुज

प्रश्न 24.
एक चक्रीय चतुर्भुज का एक कोण 70° है इसका सम्मुख कोण होगा-
(A) 110°
(B) 70°
(C) 20°
(D) 290°
हल :
(A) 110°

प्रश्न 25.
10 cm लंबे रेखाखंड को 2 : 3 के अनुपात में बाँटने पर बड़े भाग की लंबाई होगी-
(A) 2 cm
(B) 4 cm
(C) 6 cm
(D) 8 cm
हल :
(C) 6 cm

प्रश्न 26.
9.6 cm लंबे रेखाखंड को 3 : 1 के अनुपात में बाँटने पर छोटे भाग की लंबाई होगी-
(A) 7.2 cm
(B) 2.4 cm
(C) 1.2cm
(D) 3.6 cm
हल :
(B) 2.4 cm

प्रश्न 27.
6 cm के त्रिज्या के वृत्त के केंद्र से 10 cm पर स्थित बिंदु से वृत्त की स्पर्श रेखाओं की लंबाई होगी-
(A) 8 cm
(B) 7 cm
(C) 6 cm
(D) 9 cm
हल :
(A) 8 cm

प्रश्न 28.
3 cm के त्रिज्या के वृत्त के केंद्र से 5 cm दूर स्थित बिंदु से वृत्त की स्पर्श रेखाओं की लंबाई होगी-
(A) 5 cm
(B) 4 cm
(C) 3 cm
(D) 2 cm
हल :
(B) 4cm

प्रश्न 29.
यदि वृत्त के किसी बाहरी बिंदु से वृत्त के केंद्र की दूरी 10 cm तथा स्पर्श रेखा की लंबाई 8 cm हो तो वृत्त की
त्रिज्या होगी –
(A) 9 cm
(C) 7 cm
(B) 8 cm
(D) 6 cm
हल :
(D) 6 cm

प्रश्न 30.
यदि वृत्त के किसी बाहरी बिंदु से वृत्त के केंद्र की दूरी 25 cm तथा स्पर्श रेखा की लंबाई 24 cm हो तो वृत्त की त्रिज्या होगी –
(A) 7 cm
(B) 6 cm
(C) 5 cm
(D) 9 cm
हल :
(A) 7 cm

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Important Questions Chapter 10 वृत्त Important Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Important Questions Chapter 10 वृत्त

परीक्षोपयोगी अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न :

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है ।
हल :

दिया है – एक वृत्त C (O, R) के बिंदु P पर AB एक स्पर्श रेखा है ।
सिद्ध करना है – OP ⊥ AB
रचना – स्पर्श रेखा AB पर P के अलावा अन्य कोई बिंदु Q लेकर इसे वृत्त के केंद्र O से मिलाओ ।
प्रमाण – हम जानते हैं कि किसी बिंदु 0 से किसी रेखा AB की न्यूनतम दूरी, रेखा AB पर लंब की लंबाई के बराबर होगी । अतः यह सिद्ध करने के लिए कि OP ⊥ AB है, हमें केवल यह सिद्ध करना ही पर्याप्त होगा कि OP, बिंदु O से रेखा AB पर स्थित अन्य किसी भी बिंदु को मिलाने वाले रेखाखंडों में से सबसे छोटा है ।
आकृति अनुसार,
OP = OR (वृत्त की त्रिज्या )
OQ = OR + RQ
⇒ OQ > OR
⇒ OQ > OP [∵ OR = OP]
⇒ OP < OQ
अतः वृत्त के केंद्र O से रेखा AB पर स्थित किसी भी अन्य बिंदु को मिलाने वाला रेखाखंड OP से बड़ा होगा ।
OP, बिंदु O से AB की न्यूनतम दूरी है ।
OP ⊥ AB (इति सिद्धम्)

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त पर, इसके किसी बाह्य बिंदु से खींची गई दोनों स्पर्श रेखाएँ समान लंबाई की होती हैं।
हल :

दिया है- O केंद्र के वृत्त के बाह्य बिंदु P से PA और PB दो स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं।
सिद्ध करना है – PA = PB
रचना – OP, OA, OB को मिलाओ ।
प्रमाण – PA वृत्त की स्पर्श रेखा है और OA त्रिज्या है ।
∴ ∠OAP = 90°
इसी प्रकार, ∠OBP = 90°
अब, दो समकोण ΔPAO और ΔPBO में,
कर्ण OP = कर्ण OP (उभयनिष्ठ)
OA = OB (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
∴ ΔPAO ≅ ΔPBO (समकोण – कर्ण – भुजा सर्वांगसमता के नियम से)
इस प्रकार, PA = PB [इति सिद्धम्]

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त की दो समांतर स्पर्श रेखाओं के स्पर्श बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड वृत्त का व्यास होता है ।
हल :

दिया है-माना दो समांतर स्पर्श रेखाएँ AB और CD एक वृत्त जिसका
केंद्र O है को P और Q पर स्पर्श करती हैं ।
सिद्ध करना है – PQ वृत्त का व्यास है ।
रचना – केंद्र O से OE || AB खींचो |
प्रमाण – क्योंकि PA || OE (रचना से)
∴ ∠APO + ∠EOP = 180° (तिर्यक रेखा के एक ओर बने कोण) ……………..(i)
परंतु हम जानते हैं कि स्पर्श रेखा और वृत्त की त्रिज्या के बीच बना कोण समकोण होता है-
∴ ∠APO = 90°
समीकरण (i) से,
90° + ∠EOP = 180°
या ∠EOP = 180° – 90° = 90° ……………..(ii)
इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते हैं कि
∠EOQ = 90° ……………..(iii)
समीकरण (ii) व (iii) से,
∠EOP + ∠EOQ = 90° + 90° = 180°
अतः POQ एक सरल रेखा है ।
अर्थात् POQ वृत्त का व्यास है । [इति सिद्धम्]

प्रश्न 4.
3 cm त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से 5 cm दूर स्थित एक बिंदु से स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए ।
हल :

वृत्त की त्रिज्या (AO) = 3cm
वृत्त के केंद्र से बिंदु की दूरी (OB) = 5cm
स्पर्श रेखा (AB) की लंबाई = ?
∠OAB = 90°
[∵ वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है ।]
∴ ΔBAO एक समकोण त्रिभुज है । अतः पाइथागोरस प्रमेय से,
OB² = OA² + AB²
या (5)² = (3)² + (AB)²
या 25 – 9 = (AB)²
या AB = \(\sqrt{16}\)
या AB = 4 cm
∴ स्पर्श रेखा की लंबाई = 4 cm

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि दो संकेंद्रीय वृत्तों में बड़े वृत्त की जीवा जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है, स्पर्श बिंदु पर समद्विभाजित होती है ।
हल :

दिया है – केंद्र O वाले दो संकेंद्रीय वृत्त C₁ और C₂ हैं। इनमें बड़े वृत्त C₁ की जीवा AB छोटे वृत्त C₂ को बिंदु P पर स्पर्श करती है ।
सिद्ध करना है – AP = BP
रचना – OP को मिलाएँ ।
प्रमाण – वृत्त C₂ के स्पर्श बिंदु P पर AB एक स्पर्श रेखा है और OP एक त्रिज्या है।
∴ OP ⊥ AB
अब AB वृत्त C₁ की एक जीवा है और OP ⊥ AB है। अतः OP जीवा AB को समद्विभाजित करेगी क्योंकि केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब उसे समद्विभाजित करता है ।
⇒ AP ⊥ BP (इति सिद्धम्)

प्रश्न 6.
दो संकेंद्रीय वृत्तों में सिद्ध कीजिए कि बाह्य वृत्त की वे सभी जीवाएँ, जो आंतरिक वृत्त को स्पर्श करती हैं, समान लंबाई की होती हैं ।
हल :

दिया है- दो संकेंद्रीय वृत्त जिनका केंद्र 0 है तथा बाह्य वृत्त की त्रिज्या a और आंतरिक वृत्त की त्रिज्या b है | AB बाह्य वृत्त की एक जीवा है ।
सिद्ध करना है – बाह्य वृत्त की सभी जीवाएँ जो आंतरिक वृत्त को स्पर्श करती हैं, समान लंबाई की होती हैं ।
रचना – OM ⊥ AB तथा बाह्य वृत्त की त्रिज्या OA खींचो ।
प्रमाण – समकोण ΔOAM में,
AM = \(\sqrt{O A^2-O M^2}\) = \(\sqrt{a^2-b^2}\) (पाइथागोरस प्रमेय द्वारा)
अतः AB = 2 AM = 2\(\sqrt{a^2-b^2}\)
जोकि स्थिर है क्योंकि वृत्त की त्रिज्याएँ दी हुई हैं और बदल नहीं सकती ।
अतः इस प्रकार बाह्य वृत्त की सभी जीवाओं की लंबाइयाँ जो अंतःवृत्त को स्पर्श करती हैं, बराबर होती हैं।

प्रश्न 7.
केंद्र O वाले वृत्त पर बाह्य बिंदु T से दो स्पर्श रेखाएँ TP तथा TQ खींची गई हैं । सिद्ध कीजिए कि ∠PTQ = 2 ∠OPQ है |
हल :

दिया है – केंद्र O वाला एक वृत्त, एक बाह्य बिंदु T तथा वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ TP और TQ, जहाँ P, Q स्पर्श बिंदु हैं ।
सिद्ध करना है – ∠PTQ = 2∠OPQ.
प्रमाण – माना ∠PTQ = θ
हम जानते हैं कि वृत्त के किसी बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ समान होती हैं।
∴ TP = TQ
अतः TPQ एक समद्विबाहु त्रिभुज है ।
∴ ∠TPQ = ∠TQP = \(\frac {1}{2}\) (180° – θ)
= 90°- \(\frac {θ}{2}\)
परंतु त्रिज्या और स्पर्श रेखा के बीच बना कोण 90° होता है ।
∴ ∠OPT = 90°
इसी प्रकार,
∠OPQ = ∠OPT – ∠TPQ
= 90° – (90° – \(\frac {θ}{2}\))
= \(\frac {θ}{2}\) = \(\frac {1}{2}\)∠PTQ
⇒ ∠PTQ = 2∠OPQ [इति सिद्धम्]

प्रश्न 8.
एक रेखा l दो संकेंद्रीय वृत्तों को जिनका केंद्र O है, A, B, C और D पर प्रतिच्छेदित करती है (देखिए संलग्न आकृति) । सिद्ध कीजिए कि AB = CD है ।
हल :

दिया है – O केंद्र वाले दो संकेंद्रीय वृत्तों को रेखा l बिंदु A, B, C तथा D पर प्रतिच्छेद करती है।
सिद्ध करना है – AB = CD
रचना – OM ⊥ l खींचों ।
प्रमाण – हम जानते हैं कि वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा समद्विभाजित करता है ।
⇒ AM = MD …………..(i)
तथा BM = MC …………..(ii)
समीकरण (ii) को (i) में से घटाने पर,
AM – BM = MD – MC
⇒ AB = CD (इति सिद्धम्)

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों के किसी भी युग्म का योग 180° होता है ।
हल :

दिया है – एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD है।
सिद्ध करना है- ∠BAD + ∠BCD = 180°
तथा ∠ADC + ∠CBA = 180°
रचना-माना कि शीर्षों A, B, C और D से जाने वाले वृत्त का केंद्र O है । OB और OD को मिलाइए ।
प्रमाण-
∠BAD = \(\frac {1}{2}\)∠BOD
= \(\frac {1}{2}\)x ……….(i)
(∵ किसी चाप द्वारा वृत्त के शेष भाग पर बना कोण केंद्र पर बने कोण का आधा होता है ।)
और ∠BCD = \(\frac {1}{2}\)∠BOD
= \(\frac {1}{2}\)y ……….(ii)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर,
∠BAD + ∠BCD = \(\frac {1}{2}\)x + \(\frac {1}{2}\)y
= \(\frac {1}{2}\)(x + y)
= \(\frac {1}{2}\) × 360° = 180° ( x + y = 360°)
∵ चतुर्भुज के कोणों का योग 360° है,
∠ADC + ∠CBA = 360° – (∠BAD + ∠BCD)
= 360° – 180° = 180°
अतः चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों के किसी युग्म का योग 180° होता है । [इति सिद्धम्]

प्रश्न 10.
दो वृत्त एक बिंदु P पर बाह्यतः स्पर्श करते हैं । P पर खींची गई स्पर्श रेखा के एक बिंदु T से वृत्तों पर स्पर्श रेखाएँ TQ तथा TR खींची जाती हैं, जहां Q, R क्रमशः स्पर्श बिंदु हैं । सिद्ध कीजिए कि TQ = TR है ।
हल :
दिया है- वृत्त C’ केंद्र O’ तथा वृत्त C केंद्र 0 परस्पर बिंदु P पर बाह्यतः स्पर्श करते हैं । P पर दोनों वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है। उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा m के किसी बिंदु T से स्पर्श रेखा TQ वृत्त C’ पर तथा TR वृत्त C पर खींची गई है।

सिद्ध करना है – TQ =TR
प्रमाण – बाह्य बिंदु T से, TP तथा TQ, C’ पर स्पर्श रेखाएँ हैं,
∴ TP = TQ …………..(i)
इसी प्रकार, TP तथा TR बाह्य बिंदु T से वृत्त C पर स्पर्श रेखाएँ हैं,
∴ TP = TR …………..(ii)
समीकरण (i) और (ii) से,
TQ = TR [इति सिद्धम्]

प्रश्न 11.
एक बिंदु P वृत्त के केंद्र से 13 cm की दूरी पर है। P से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई 12 cm है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए ।
हल :

वृत्त के केंद्र 0 से बिंदु P की दूरी (OP) = 13 cm
स्पर्श रेखा (PA) की लंबाई = 12 cm
वृत्त की त्रिज्या (OA) = ?
∠OAP = 90° [∵ वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है]
अब समकोण ΔOAP में पाइथागोरस प्रमेय से, OA = \(\sqrt{(\mathrm{OP})^2-(\mathrm{PA})^2}\) = \(\sqrt{(13)^2-(12)^2}\) cm = \(\sqrt{169-144}\) cm
= \(\sqrt{25}\) = 5 cm
अतः वृत्त की त्रिज्या (OA) = 5 cm

प्रश्न 12.
5 सें०मी० त्रिज्या के वृत्त की 8 सें०मी० लम्बी एक जीवा PQ है । P और Q पर स्पर्श रेखाएँ परस्पर एक बिन्दु T पर प्रतिच्छेद करती हैं । TP की लम्बाई ज्ञात कीजिए, यदि वृत्त का केन्द्र O है ।
हल :

माना संलग्न आकृति में, TP = x व TR =y
समकोण ΔPRO में,

प्रश्न 13.
एक बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए जहाँ पर बिंदु की केंद्र से 25 cm की दूरी है । वृत्त की त्रिज्या 7 cm दी हुई है।
हल :

यहाँ पर वृत्त की त्रिज्या (OA) = 7 cm
वृत्त के केंद्र से बिंदु की दूरी (OB) = 25 cm
स्पर्श रेखा (AB) की लंबाई = ?
∠OAB = 90°
[∵ वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है ]
अब समकोण ΔOAB में पाइथागोरस प्रमेय से,
AB = \(\sqrt{(\mathrm{OB})^2-(\mathrm{OA})^2}=\sqrt{(25)^2-(7)^2}\) cm
= \(\sqrt{625-49}\) = \(\sqrt{576}\) = 24 cm
अतः स्पर्श रेखा की लंबाई = 24 cm

बहुविकल्पीय प्रश्न :

प्रश्न 1.
वृत्त के किन्हीं दो बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड को कहा जाता है-
(A) वृत्त की त्रिज्या
(B) वृत्त की जीवा
(C) वृत्त की चाप
(D) वृत्त का केंद्र
हल :
(B) वृत्त की जीवा

प्रश्न 2.
वृत्त का व्यास उसकी त्रिज्या से ……………. होता है
(A) दो गुना
(B) तीन गुना
(C) आधा
(D) एक तिहाई
हल :
(A) दो गुना

प्रश्न 3.
वृत्त की सबसे बड़ी जीवा होती है-
(A) त्रिज्या
(B) दीर्घ चाप
(C) लघु चाप
(D) व्यास
हल :
(D) व्यास

प्रश्न 4.
किसी वृत्त की कितनी अधिकतम स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं?
(A) केवल एक
(B) दो
(C) अपरिमित
(D) कोई स्पर्श रेखा नहीं
हल :
(C) अपरिमित

प्रश्न 5.
एक चाप …………… होता है जब इसके सिरे एक व्यास के सिरे हों ।
(A) अर्धव्यास
(B) अर्धवृत्त
(C) लघु वृत्तखंड
(D) दीर्घ वृत्तखंड
हल :
(B) अर्धवृत्त

प्रश्न 6.
दो वृत्त सर्वांगसम होते हैं यदि उनकी ……………. बराबर हैं ।
(A) त्रिज्याएँ
(B) जीवाएँ
(C) चाप
(D) लंब रेखाएँ
हल :
(A) त्रिज्याएँ

प्रश्न 7.
सर्वांगसम वृत्तों की बराबर …………… उनके केंद्रों पर बराबर कोण अंतरित करती हैं।
(A) त्रिज्याएँ
(B) जीवाएँ
(C) अर्धव्यास
(D) लंब रेखाएँ

(B) जीवाएँ

प्रश्न 8.
आकृति में, रेखा PQ को निम्नलिखित में से किस नाम से पुकारते हैं?

(A) छेदक रेखा
(B) प्रतिच्छेदी रेखा
(C) स्पर्श रेखा
(D) व्यास
हल :
(A) छेदक रेखा

प्रश्न 9.
यदि एक बिंदु P से O केन्द्र वाले किसी वृत्त पर PA, PB स्पर्श रेखाएँ परस्पर 60° के कोण पर झुकी हों, तो ∠POA बराबर है-
(A) 100°
(B) 90°
(C) 80°
(D) 60°
हल :
(D) 60°

प्रश्न 10.
एक वृत्त के केंद्र से एक जीवा को समद्विभाजित करने के लिए खींची गई रेखा जीवा पर ………….. कोण बनाती है।
(A) 180°
(B) 60°
(C) 120°
(D) 90°
हल :
(D) 90°

प्रश्न 11.
केन्द्र 0 वाले वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ PQ और PR हैं। यदि ∠QPR = 46°, तो ∠QOR हैं :
(A) 160°
(B) 150°
(C) 135°
(D) 134°
हल :
(D) 134°

प्रश्न 12.
निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है ?
(A) वृत्त की बराबर जीवाएँ केंद्र पर बराबर कोण अंतरित करती हैं
(B) वृत्त के केंद्र से किसी जीवा पर खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है
(C) तीन असरेख बिंदुओं से होकर एक और केवल ही एक वृत्ताता है
(D) उपरोक्त सभी
हल :
(D) उपरोक्त सभी

प्रश्न 13.
संलग्न आकृति में एक रेखा l दो संकेंद्रीय वृत्तों को जिनका केंद्र O है, A, B, C और D पर प्रतिच्छेदित करती है तो, निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है ?

(A) AB = BC
(B) AB = BD
(C) AB = CD
(D) AB = MD
हल :
(C) AB = CD

प्रश्न 14.
वृत्त की किसी चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण उस चाप द्वारा वृत्त के शेष भाग पर स्थित किसी बिंदु पर अंतरित कोण का ………….. होता है ।
(A) तीन गुना
(B) दो गुना
(C) आधा
(D) एक-तिहाई
हल :
(B) दो गुना

प्रश्न 15.
संलग्न आकृति में, यदि 0 वृत्त का केंद्र हो तो निम्नलिखित में से कौन-सा संबंध सही है ?

(A) ∠AOB = ∠ACB
(B) ∠AOB = \(\frac {1}{2}\)∠ACB
(C) ∠AOB = 2∠ACB
(D) ∠AOB = \(\frac {1}{3}\)∠ACB
हल :
(C) ∠AOB = 2∠ACB

प्रश्न 16.
अर्धवृत्त में बना कोण ……………. होता है ।
(A) दो समकोण
(B) अर्ध-समकोण
(C) पूर्ण-कोण
(D) समकोण
हल :
(D) समकोण

प्रश्न 17.
आकृति में, 5 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के बिन्दु P पर स्पर्श रेखा PQ केन्द्र O से जाने वाली एक रेखा से बिन्दु Q पर इस प्रकार मिलती है कि OQ = 13 सेमी है, PQ की लम्बाई है:

(A) 12 सेंमी०
(B) 9 सेंमी ०
(C) \(\sqrt{194}\) सेंमी०
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A) 12 सेंमी०

प्रश्न 18.
चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों के किसी युग्म का योग ……………… होता है।
(A) 180°
(B) 90°
(C) 360°
(D) 120°
हल :
(A) 180°

प्रश्न 19.
संलग्न आकृति में, यदि O वृत्त का केंद्र हो तो ∠x का मान होगा-

(A) 17\(\frac {1}{2}\)°
(B) 35°
(C) 70°
(D) 52\(\frac {1}{2}\)°
हल :
(C) 70°

प्रश्न 20.
आकृति में, O केन्द्र वाले वृत्त पर TP तथा TQ दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार हैं कि ∠POQ = 115° है, तो ∠PTQ का मान है :

(A) 80°
(B) 85°
(C) 75°
(D) 65°
हल :
(D) 65°

प्रश्न 21.
संलग्न आकृति में, यदि O वृत्त का केंद्र हो तो ∠x का मान होगा-

(A) 140°
(B) 70°
(C) 35°
(D) 105°
हल :
(C) 35°

प्रश्न 22.
एक बाह्य बिन्दु T से TP तथा TQ, केन्द्र O वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार हैं कि ∠OPQ = 70° है, तो ∠PTQ का मान है :

(A) 140°
(B) 35°
(C) 110°
(D) 90°
हल :
(C) 110°

प्रश्न 23.
संलग्न आकृति में A, B, C एक वृत्त पर तीन बिंदु हैं। यदि ∠AOB = 70° तथा ∠AOC = 130°, तो ∠BAC का मान होगा-

(A) 80°
(B) 120°
(C) 160°
(D) 130°
हल :
(C) 160°

प्रश्न 24.
वह रेखा जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है उसे वृत्त की कहा जाता है-
(A) छेदक रेखा
(B) लंब रेखा
(C) स्पर्श रेखा
(D) अस्पर्श रेखा
हल :
(C) स्पर्श रेखा

प्रश्न 25.
वह रेखा जो वृत्त को दो भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेदित करती है उसे कहा जाता है-
(A) छेदक रेखा
(B) लंब रेखा
(C) स्पर्श रेखा
(D) प्रमुख रेखा
हल :
(A) छेदक रेखा

प्रश्न 26.
वृत्त की स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु से होकर जाने वाली ……………. पर लंब होती है ।
(A) चाप
(B) त्रिज्या
(C) जीवा
(D) त्रिज्याखंड
हल :
(B) त्रिज्या

प्रश्न 27.
वृत्त के बाहर स्थित बिंदु से वृत्त पर …………………. स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
(A) केवल एक
(B) केवल दो
(C) केवल तीन
(D) कोई नहीं
हल :
(B) केवल दो

प्रश्न 28.
वृत्त के ऊपर स्थित बिंदु से वृत्त पर ………………….. स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
(A) केवल एक
(B) केवल दो
(C) केवल तीन
(D) कोई नहीं
हल :
(A) केवल एक

प्रश्न 29.
वृत्त के व्यास के छोर पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ ……………. होती हैं ।
(A) लंबवत्
(B) छेदक
(C) समांतर
(D) असमांतर
हल :
(C) समांतर

प्रश्न 30.
वृत्त के अभ्यंतर में स्थित बिंदु से वृत्त पर …………… स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
(A) शून्य
(B) केवल एक
(C) दो
(D) तीन
हल :
(A) शून्य

प्रश्न 31.
वृत्त का केंद्र दो स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण के ……………….. पर स्थित होता है ।
(A) समत्रिभाजक
(B) समद्विभाजक
(C) समचतुर्भाजक
(D) असमद्विभाजक
हल :
(B) समद्विभाजक

प्रश्न 32.
किसी बाह्य बिंदु से किसी वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की …………….. बराबर होती हैं-
(A) चौड़ाइयाँ
(B) ऊँचाइयाँ
(C) लंबाइयाँ
(D) (A) व (B) दोनों
हल :
(C) लंबाइयाँ

प्रश्न 33.
संलग्न आकृति में, AB और CD वृत्त की दो जीवाएँ बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती हैं । निम्नलिखित में से कौन-सा तथ्य सही होगा ?

(A) PC.AC = PD.DB
(B) AC.DB = PA.PB
(C) PA.PC = PD.PB
(D) PA.PB = PC.PD
हल :
(D) PA.PB = PC.PD

प्रश्न 34.
संलग्न आकृति में, यदि PAB किसी वृत्त की एक छेदक रेखा हो जो इसे A तथा B पर प्रतिच्छेद करती है तथा PT एक स्पर्श रेखा हो तो PA.PB बराबर होगी-

(A) PA²
(B) PO²
(C) PB²
(D) PT²
हल :
(D) PT²

प्रश्न 35.
एक वृत्त एक चतुर्भुज ABCD की सभी भुजाओं को स्पर्श करता हो तो वृत्त के केंद्र पर सम्मुख भुजाओं द्वारा अंतरित कोण होंगे-
(A) संपूरक
(B) पूरक
(C) शून्य
(D) पूर्ण
हल :
(A) संपूरक

प्रश्न 36.
यदि वृत्त के बाहर किसी बिन्दु P से वृत्त के ऊपर खींची गई स्पर्श रेखा की लम्बाई 15 cm हो और वृत्त की त्रिज्या 8 cm हो, तो बिन्दु P की वृत्त के केन्द्र से दूरी है :
(A) 7 cm
(B) 23 cm
(C) 17 cm
(D) 7.5 cm
हल :
(C) 17 cm

प्रश्न 37.
यदि एक बिंदु P से O केंद्र वाले किसी वृत्त पर PA, PB स्पर्श रेखाएँ परस्पर 80° के कोण पर झुकी हों, तो ∠POB बराबर है :
(A) 100°
(B) 80°
(C) 70°
(D) 50°
हल :
(D) 50°

प्रश्न 38.
वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या के बीच का कोण होगा-
(A) 45°
(B) 90°
(C) 180°
(D) 60°
हल :
(B) 90°

प्रश्न 39.
एक बिंदु A वृत्त के केंद्र से 5 cm दूर स्थित है। A से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई 4 cm है । वृत्त की त्रिज्या होगी-
(A) 3 cm
(B) 4 cm
(C) 5 cm
(D) 8 cm
हल :
(A) 3 cm

प्रश्न 40.
दो वृत्त एक बिंदु P पर बाह्यतः स्पर्श करते हैं । P पर खींची गई स्पर्श रेखा के एक बिंदु T से वृत्तों पर स्पर्श रेखाएँ TQ तथा TR खींची जाती हैं, जहाँ Q, R क्रमशः स्पर्श बिंदु हैं, तो निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य होगा ?
(A) TQ = TR
(B) TQ = 2 TR
(C) TR = 2 TQ
(D) TQ = \(\frac {1}{2}\)TR
हल :
(A) TQ = TR

प्रश्न 41.
यदि किसी बिन्दु P की वृत्त के केन्द्र से दूरी 13 cm है और वृत्त की त्रिज्या 5cm है, तो P से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लम्बाई है :
(A) 8 cm
(B) 6.5 cm
(C) 9 cm
(D) 12 cm
हल :
(D) 12 cm

प्रश्न 42.
एक वृत्त पर समांतर स्पर्श रेखाओं की अधिकतम संख्या है :
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
हल :
(B) 2

प्रश्न 43.
संलग्न आकृति में, यदि TP, TQ केन्द्र O वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार हैं कि ∠POQ = 110° है तो ∠PTQ बराबर है-

(A) 90°
(B) 80°
(C) 70°
(D) 60°
हल :
(C) 70°

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Important Questions Chapter 9 त्रिकोणमिति का अनुप्रयोग Important Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Important Questions Chapter 9 त्रिकोणमिति का अनुप्रयोग

परीक्षोपयोगी अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न :

प्रश्न 1.
1.5 m लम्बा एक आदमी एक चिमनी से 28.5m की दूरी पर है। उसकी आँखों से चिमनी के शिखर का उन्नयन कोण 45° है । चिमनी की ऊँचाई बताइए ।
हल :

माना AB एक चिमनी है तथा CD एक आदमी है जिसकी ऊँचाई 1.5 m है जो चिमनी से 28.5m की दूरी पर खड़ा है । इस प्रकार उन्नयन ∠ADE = 45° है ।
अब समकोण त्रिभुज ADE में, \(\frac {AE}{DE}\) = tan 45°
⇒ \(\frac {AE}{CB}\) = 1
⇒ AE = 28.5 × 1
= 28.5 m
अतः चिमनी की ऊँचाई (AB) = AE + BE
= AE + CD
= (28.5 + 1.5) m
= 30m

प्रश्न 2.
मीनार के आधार से 40m की दूरी पर भूमि पर एक बिंदु से मीनार की चोटी का उन्नयन कोण 30° है और मीनार की चोटी पर रखी पानी की टंकी के ऊपरी सिरे का उन्नयन कोण 45° है। ज्ञात कीजिए-
(i) मीनार की ऊँचाई ।
(ii) टंकी की गहराई ।
हल :
मान लो, AB (= h) मीनार की ऊँचाई, BC पानी की टंकी की गहराई है, पानी की टंकी से उन्नयन कोण 30° वनता है और टंकी के ऊपरी सिरे से 45° का कोण बनता है ।
समकोण ΔAOB में,

समकोण ΔCAO में,
\(\frac {CA}{AO}\) = tan 45°
या \(\frac {CA}{40}\) = 1
या AC = 40 m
∴ BC = AC – AB
= 40 – 23.1
= 16.9 m
∴ मीनार की ऊँचाई = 23.1 m
पानी की टंकी की गहराई =16.9m

प्रश्न 3.
100 m ऊँचे एक प्रकाश स्तंभ की चोटी से एक प्रेक्षक समुद्र में एक जहाज को ठीक अपनी ओर आते हुए देखता है । यदि जहाज का अवनमन कोण 30° से बदलकर 45° हो जाता है, तो प्रेक्षण की इस अवधि में जहाज द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए ।
हल :
मान लीजिए, A और B जहाज की दो स्थितियाँ हैं। मान लीजिए प्रेक्षण की अवधि में जहाज द्वारा तय की गई दूरी d m है, अर्थात् AB = d m है।
मान लीजिए, प्रेक्षक बिंदु O पर है ( आकृति में) स्पष्टतः OC = 100 m है।

माना B से C की दूरी km है। बिंदु O से A और B के अवनमन कोण क्रमशः 30° और 45° ज्ञात हैं
अतः ∠AOP = 30°, ∠BOP = 45°
⇒ ∠AOP = ∠OAC = 30°
तथा ∠POB = ∠OBC = 45°
समकोण ΔOCB में,
\(\frac {k}{100}\) = cot 45° = 1
या k = 100
समकोण ΔOCA में,
\(\frac{d+k}{100}\) = cot 30° = \(\sqrt{3}\)
∴ d + k = 100\(\sqrt{3}\)
या d + 100 = 100\(\sqrt{3}\)
या d = 100\(\sqrt{3}\) – 100 = 100(\(\sqrt{3}\) – 1) = 100(1.732 – 1)
= 100 × 0.732 = 73.2 m
अतः जहाज द्वारा A से B तक तय की गई दूरी 73.2m है ।

प्रश्न 4.
भूमि के बिन्दु P से एक 10 मी ऊँचे भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। भवन के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। ध्वज की लम्बाई और बिन्दु P से भवन की दूरी ज्ञात कीजिए ।
हल :

यहाँ पर,
AB एक 10 मी ऊँचा भवन है जिसके शिखर A पर AC ध्वज लगा है ।
अब भवन की ऊँचाई (AB) = 10 मी
माना ध्वज की लंबाई (AC) = h मी
तथा बिन्दु P से B की दूरी = x मी
समकोण ΔABP में,
\(\frac {AB}{PB}\) = tan 30°
⇒ \(\frac{10}{x}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) मी
या x = 10\(\sqrt{3}\)
समकोण ΔCBP में,
\(\frac {BC}{PB}\) = tan45°
⇒ \(\frac{h+10}{x}\) = 1
या x = h + 10
10\(\sqrt{3}\) = h + 10 (समीकरण (i) से)
h = 10\(\sqrt{3}\) – 10
h = 10(\(\sqrt{3}\) – 1) मी
अतः ध्वज की लंबाई = 10(\(\sqrt{3}\) – 1) मी
बिन्दु P से भवन की दूरी = 10\(\sqrt{3}\) मी

प्रश्न 5.
एक समतल जमीन पर खड़ी मीनार की छाया उस स्थिति में 40 मी अधिक लम्बी हो जाती है जबकि सूर्य का उन्नयन कोण 60° से घटकर 30° हो जाता है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।
हल :

माना AB = h मी मीनार की ऊँचाई है। जब सूर्य का उन्नयन कोण 30° है तो मीनार की छाया DB है और जब सूर्य का उन्नयन कोण 60° है तो मीनार की छाया CB है ।
अतः DC = 40 मी

प्रश्न 6.
आँधी चलने से दो भागों में टूटे हुए एक वृक्ष का ऊपरी भाग भूमि से 30° का कोण बनाता है। वृक्ष का ऊपरी सिरा जिस स्थान पर भूमि को छूता है वह स्थान वृक्ष के आधार – बिंदु से 10m की दूरी पर है | वृक्ष ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।
हल :

मान लीजिए AB = h m वृक्ष की ऊँचाई है । AC टूटे हुए वृक्ष का एक भाग है।
तब ∠COB = 30° तथा OB = 10m
समकोण ΔCOB में,
tan 30° = \(\frac {CB}{OB}\)
या \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) = \(\frac {CB}{10}\)
या \(\sqrt{3}\)CB = 10
या CB = \(\frac{10}{\sqrt{3}}\) ………………(i)
इसी प्रकार, समकोण ΔCOB में,

प्रश्न 7.
एक सड़क, 50m ऊँची मीनार के आधार तक, सीधी जाती है। मीनार की चोटी से सड़क पर खड़ी दो कारों के अवनमन कोण क्रमश: 30° और 60° हैं। दोनों कारों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए और बताइए कि प्रत्येक कार मीनार के आधार से कितनी दूरी पर है ?
हल :

मान लीजिए, AB (= 50m) मीनार की ऊँचाई है तथा C और D सड़क पर खड़ी दो कारों की स्थिति है ।
∠CAX = 30° तथा ∠DAX = 60°
⇒ ∠CAX = ∠CAB = 30°
तथा ∠DAX = ∠ADB = 60°
समकोण ΔACB में,


अब, CB = CD + DB
= 57.74 + 28.87 = 86.61 m
अतः दोनों कारों के बीच की दूरी = 57.74m
पहली कार की मीनार के आधार से दूरी = 86.61 m
दूसरी कार की मीनार के आधार से दूरी = 28.87 m

प्रश्न 8.
एक बिजली मिस्त्री को एक 5 m ऊँचे खंभे पर आ गई खराबी की मरम्मत करनी है। मरम्मत का काम करने के लिए उसे खंभे के शिखर से 1.3m नीचे एक बिन्दु तक पहुँचने के लिए प्रयुक्त सीढ़ी की लम्बाई कितनी होनी चाहिए जिससे कि क्षैतिज से 60° के कोण पर झुकने से वह अपेक्षित स्थिति तक पहुँच जाये और यह भी बताइए कि खंभे का पाद-बिन्दु कितनी दूरी पर सीढ़ी के पाद-बिन्दु से होना चाहिए ? (\(\sqrt{3}\) = 1.73)
हल :

आकृति अनुसार बिजली मिस्त्री को खम्भे AD पर बिन्दु B तक पहुँचना है।
अतः BD = AD – AB
= (5 – 1.3) m = 3.7 m
यहाँ पर BC सीढ़ी को प्रकट करता है । हमें इसकी लम्बाई अर्थात् समकोण ΔBDC का कर्ण ज्ञात करना है।
अब समकोण ΔBDC में

अतः उसे सीढ़ी के पाद को खम्भे से 2.14 m की दूरी पर रखना चाहिए ।

प्रश्न 9.
नदी के पुल पर एक बिंदु से, नदी के सम्मुख किनारों पर अवनमन कोण क्रमशः 30° व 45° हैं । यदि पुल की ऊँचाई किनारों से 3m हो, तो नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए ।
हल :
आकृति में, A और B नदी के सम्मुख किनारों के बिंदुओं को प्रकट करते हैं, जिससे कि AB नदी की चौड़ाई है। 3 m की ऊँचाई पर बने पुल पर एक बिंदु P है अर्थात् DP = 3m है। हम नदी की चौड़ाई ज्ञात करना चाहते हैं जो कि ΔAPB की भुजा AB की लंबाई है।

अब AB = AD + DB
समकोण ΔAPD में ∠A = 30°
∴ tan 30° = \(\frac {PD}{AD}\)
या \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) = \(\frac {3}{AD}\)
या AD = 3\(\sqrt{3}\) m
अब समकोण ΔPBD में ∠B = 45° है ।
tan 45° = \(\frac {PD}{DB}\)
या 1 = \(\frac {3}{DB}\)
या DB = 3m
अतः AB = AD + BD = (3\(\sqrt{3}\) + 3) m = 3 (\(\sqrt{3}\) + 1) m
इस प्रकार, नदी की चौड़ाई = 3 (\(\sqrt{3}\) + 1) m

प्रश्न 10.
दो मीनारों के बीच की क्षैतिज दूरी 140 m है। दूसरी मीनार की चोटी से पहली मीनार की चोटी का उन्नयन कोण 30° है। यदि दूसरी मीनार की ऊँचाई 60m है, तो पहली मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।
हल :

माना AB और CD दो मीनारें हैं ।
दूसरी मीनार की ऊँचाई (CD) = 60 m
और दोनों मीनारों के बीच की दूरी,
DB = 140 m
माना AE = h m
अब CE = DB = 140 m
EB = CD = 60 m
तो पहली मीनार की ऊँचाई (AB) = (60 + h) m
समकोण ΔAEC में,

अतः पहली मीनार की ऊँचाई = 60 + h
= 60 + 80.83 = 140.83 m

प्रश्न 11.
धरती पर एक मीनार ऊर्ध्वाधर खड़ी हैं। धरती के एक बिन्दु से, जो मीनार के पाद-बिन्दु से 15m दूर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।
हल :

माना मीनार AB का शिखर A तथा पाद- बिन्दु B है जिसकी ऊँचाई hm है। बिन्दु C मीनार के पाद-बिन्दु B से 15 m की दूरी पर है।
प्रश्नानुसार
AB = hm
BC = 15m
∠ACB = 60°
समकोण ΔABC में
\(\frac {AB }{BC}\) = tan 60°
⇒ \(\frac {h}{15}\) = \(\sqrt{3}\)
⇒ h = 15\(\sqrt{3}\)m
अतः मीनार की ऊँचाई (AB) = \(\sqrt{3}\)m.

प्रश्न 12.
एक हवाई जहाज से जो कि 200m की ऊँचाई पर है, एक नदी के दोनों तटों पर आमने-सामने के दो बिंदुओं के अवनमन कोण क्रमशः 45° तथा 60° हैं। नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए ।
हल :
माना हवाई जहाज बिंदु P पर स्थित है जिसकी भूमि के स्थित बिंदु M से ऊँचाई 200m है।
माना बिंदु A और B नदी के किनारों पर विपरीत दिशाओं में स्थित दो बिंदु हैं जिनके अवनमन कोण 60° व 45° हैं।

माना AM = x m
तथा BM = y m

बहुविकल्पीय प्रश्न :

प्रश्न 1.
sin θ° का मान होता है-
(A) शून्य
(B) \(\frac {1}{2}\)
(C) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(D) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
हल :
(A) शून्य

प्रश्न 2.
sin 45° का मान होता है-
(A) शून्य
(B) \(\frac {1}{2}\)
(C) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(D) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
हल :
(C) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

प्रश्न 3.
sin 90° का मान होता है-
(A) शून्य
(B) \(\frac {1}{2}\)
(C) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
(D) 1
हल :
(D) 1

प्रश्न 4.
θ के किस मान के लिए cosθ = \(\frac {1}{2}\) होगा ?
(A) 30°
(B) 45°
(C) 60°
(D) 90°
हल :
(C) 60°

प्रश्न 5.
θ के किस मान के लिए tan θ और cot θ का मान बराबर होगा-
(A) 30°
(C) 60°
(B) 45°
(D) 90°
हल :
(B) 45°

प्रश्न 6.
ΔABC में, ∠B समकोण है, AB = 12 cm और ∠A = 30° है आकृति अनुसार BC का मान होगा-

(A) 4\(\sqrt{3}\)cm
(B) 8\(\sqrt{m}\) cm
(C) 2\(\sqrt{m}\) cm
(D) \(\sqrt{m}\) cm
हल :
(A) 4\(\sqrt{3}\) cm

प्रश्न 7.
प्रश्न 6 की त्रिभुज में AC का मान होगा-
(A) 4\(\sqrt{3}\) cm
(B) 2\(\sqrt{3}\) cm
(C) 8\(\sqrt{3}\) cm
(D) 3\(\sqrt{3}\) cm
हल :
(C) 8\(\sqrt{3}\) cm

प्रश्न 8.
समकोण ΔABC में ∠C = 90°, ∠A = 30° तथा AB = 10 cm हो तो BC का मान होगा-
(A) 10 cm
(B) 5\(\sqrt{3}\) cm
(C) 5\(\sqrt{2}\) cm
(D) 5 cm
हल :
(D) 5 cm

प्रश्न 9.
समकोण ΔABC में ∠C = 90°, ∠A = 30° तथा AB = 10 cm हो तो AC का मान होगा-
(A) 10 cm
(B) 5\(\sqrt{3}\) cm
(C) 5\(\sqrt{2}\) cm
(D) 5 cm
हल :
(B) 5\(\sqrt{3}\) cm

प्रश्न 10.
एक मीनार भूमि पर ऊर्ध्वाधर खड़ी है। भूमि पर मीनार के आधार से 20m दूरी पर स्थित एक बिंदु से उसकी चोटी का उन्नयन कोण 60° है। मीनार की ऊँचाई होगी-
(A) 20\(\sqrt{3}\) m
(B) 20\(\sqrt{2}\) m
(C) \(\frac{20 \sqrt{3}}{3}\)
(D) \(\frac{20 \sqrt{2}}{2}\)
हल :
(A) 20\(\sqrt{3}\) m

प्रश्न 11.
एक सीढ़ी एक दीवार पर इस प्रकार टिकी है कि उसका ऊपरी सिरा दीवार के शिखर को छूता है। सीढ़ी का निचला सिरा दीवार से 2m की दूरी पर है। सीढ़ी भूमि के साथ 60° का कोण बनाती है। दीवार की ऊँचाई होगी-
(A) \(\frac{2 \sqrt{3}}{3}\)
(B) 2\(\sqrt{2}\) m
(C) 2\(\sqrt{3}\) m
(D) \(\sqrt{2}\) m
हल :
(C) 2\(\sqrt{3}\) m

प्रश्न 12.
भूमि पर स्थिर एक ऊर्ध्वाधर बाँस के ऊपरी सिरे से एक तनी हुई रस्सी बांधी गई है और रस्सी का दूसरा सिरा भूमि पर स्थिर किया गया है । सर्कस का एक कलाकार भूमि से रस्सी पर चढ़ रहा है। बांस की ऊँचाई 12 m है और रस्सी भूमि से 30° का कोण बनाती है । कलाकार द्वारा बाँस के ऊपरी सिरे पर पहुँचने में तय की गई दूरी होगी-
(A) 6m
(B) 12m
(C) 18m
(D) 24 m
हल :
(D) 24 m

प्रश्न 13.
संलग्न आकृति में x का मान होगा-

(A) \(\frac{20 \sqrt{3}}{3}\) m
(B) 20\(\sqrt{3}\) m
(C) \(\frac{10 \sqrt{3}}{3}\) m
(D) 10\(\sqrt{3}\) m
हल :
(A) \(\frac{20 \sqrt{3}}{3}\) m

प्रश्न 14.
संलग्न त्रिभुज में x का मान होगा-

(A) \(\frac{1.5 \sqrt{3}}{3}\) m
(B) 1.5\(\sqrt{3}\) m
(C) 3\(\sqrt{3}\) m
(D) \(\frac{1.5 \sqrt{3}}{3}\) m
हल :
(B) 1.5\(\sqrt{3}\) m

प्रश्न 15.
संलग्न त्रिभुज ABC में AC का मान होगा-

(A) \(\frac{10 \sqrt{2}}{3}\) m
(B) \(\frac{10 \sqrt{3}}{3}\) m
(C) 10\(\sqrt{2}\) m
(D) 5\(\sqrt{2}\) m
हल :
(C) 10\(\sqrt{2}\) m

प्रश्न 16.
संलग्न त्रिभुज AOB में h का मान होगा-

(A) \(\frac{215 \sqrt{2}}{2}\) m
(B) \(\frac{215 \sqrt{2}}{3}\) m
(C) \(\frac{215 \sqrt{3}}{3}\) m
(D) \(\frac{215 \sqrt{3}}{2}\) m
हल :
(D) \(\frac{215 \sqrt{3}}{2}\) m

प्रश्न 17.
सूर्य का उन्नयन कोण क्या होगा जब किसी ऊर्ध्वाधर खंभे की छाया की लंबाई खंभे की ऊँचाई के बराबर हो —
(A) 45°
(B) 30°
(C) 60°
(D) 90°
हल :
(A) 45°

प्रश्न 18.
किसी मीनार के आधार से a और b की दूरियों पर एक ही रेखा में स्थित दो बिंदुओं क्रमशः P और Q से देखने पर, मीनार के ऊपरी सिरे के उन्नयन कोण पूरक पाए जाते हैं। मीनार की ऊँचाई होगी-
(A) ab
(B) \(\sqrt{ab}\)
(C) \(\frac {a}{b}\)
(D) \(\sqrt{\frac{a}{b}}\)
हल :
(B) \(\sqrt{ab}\)

प्रश्न 19.
एक छड़ तथा उसकी छाया के बीच 1 : \(\sqrt{3}\) का अनुपात है, सूर्य का उन्नयन कोण होगा-
(A) 30°
(B) 45°
(C) 60°
(D) 90°
हल :
(A) 30°

प्रश्न 20.
संलग्न त्रिभुज ABC में AB की लंबाई होगी-

(A) 6 cm
(B) 6\(\sqrt{3}\) cm
(C) 3 cm
(D) 3\(\sqrt{3}\) cm
हल :
(C) 3 cm

प्रश्न 21.
एक मीनार 100\(\sqrt{3}\)m ऊँची है। इसके आधार से 100m दूर स्थित किसी बिंदु से इसके शिखर का उन्नयन कोण होगा-
(A) 30°
(B) 45°
(C) 60°
(D) 90°
हल :
(C) 60°

प्रश्न 22.
एक पतंग की डोर 100 m लंबी है तथा यह आसमान में उड़ते समय क्षैतिज तल से 60° का कोण बनाती है। यह मानते हुए कि पतंग की डोर बिल्कुल सीधी तनी हुई है। पतंग की क्षैतिज से ऊँचाई होगी-
(A) 50\(\sqrt{3}\) m
(B) 100\(\sqrt{3}\) m
(C) \(\frac{100 \sqrt{3}}{3}\) m
(D) \(\frac{50 \sqrt{3}}{3}\) m
हल :
(A) 50\(\sqrt{3}\) m

प्रश्न 23.
एक दीवार के सहारे खड़ी एक सीढ़ी का उन्नयन कोण दीवार से 9.5m दूर जमीन पर स्थित एक बिंदु से 60° है। सीढ़ी की लंबाई होगी-
(A) 9.5m
(B) 19m
(C) 9.5\(\sqrt{3}\) m
(D) 9.5\(\sqrt{2}\) m
हल :
(B) 19m

प्रश्न 24.
बिजली का एक खंभा 10m ऊँचा है। खंभे को सीधा लंबवत् रखने के लिए स्टील के तार का एक सिरा खंभे की चोटी से बँधा है और दूसरा, भूमि पर स्थिर किया गया है । यदि स्टील का तार खंभे के आधार बिंदु से होकर जाने वाले क्षैतिज के साथ 45° का कोण बनाए, तो बिजली के खंभे के आधार से कितनी दूरी पर भूमि पर स्थिर बिंदु है?
(A) 10\(\sqrt{3}\) m
(B) 20\(\sqrt{3}\) m
(C) 10m
(D) 20m
हल :
(C) 10m

प्रश्न 25.
एक मीनार जमीन पर सीधी खड़ी है। मीनार के आधार से 50m की दूरी पर जमीन पर स्थित एक बिंदु से मीनार की चोटी का उन्नयन कोण 60° है। मीनार की ऊँचाई होगी-
(A) \(\frac{50}{\sqrt{3}}\) m
(B) 100 m
(C) 100\(\sqrt{3}\) m
(D) 50\(\sqrt{3}\) m
हल :
(D) 50\(\sqrt{3}\) m

प्रश्न 26.
दो खंभों जिनकी ऊँचाई 25 m और 19m हैं, के शीर्ष एक तार से जुड़े हैं । यदि तार क्षैतिज के साथ 30° का कोण बनाती हो तो तार की लंबाई होगी-
(A) 6m
(B) 12 m
(C) 8m
(D) 10m
हल :
(B) 12 m

प्रश्न 27.
धरती पर एक मीनार ऊर्ध्वाधर खड़ी है। धरती के एक बिंदु से जो मीनार के पाद- बिंदु से 15m दूर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° हो तो मीनार की ऊँचाई होगी-
(A) 15 \(\sqrt{3}\) m
(B) 15m
(C) \(\frac{15}{\sqrt{3}}\)
(D) 30 \(\sqrt{3}\) m
हल :
(A) 15 \(\sqrt{3}\) m

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Important Questions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Important Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Important Questions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय

परीक्षोपयोगी अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न :

प्रश्न 1.
यदि cos θ = \(\frac {8}{17}\) हो तो कोण θ के अन्य पाँच त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात करो ।
हल :

माना ΔABC में कोण B समकोण है तथा ∠A = θ तो
cos θ = \(\frac{8}{17}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\)
⇒ AB = 8 इकाई
AC = 17 इकाई

प्रश्न 2.
यदि ∠B और ∠Q ऐसे न्यून कोण हों जिससे कि sin B = sin Q, तो सिद्ध कीजिए कि ∠B = ∠Q
हल :
माना दो समकोण त्रिभुज ABC और PQR जहाँ sin B = sin Q

समीकरण (i) और (ii) से हमें प्राप्त होता है,
\(\frac{A C}{P R}=\frac{A B}{P Q}=\frac{B C}{Q R}\)
⇒ ΔACB ~ ΔPRQ
अतः ∠B = ∠Q

प्रश्न 3.
यदि sec α = \(\frac {5}{4}\) हो तो \(\frac {1 – tanα}{1 + tanα}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल :

माना ΔABC में कोण ∠B समकोण है तथा ∠A = α तो
sec α = \(\frac{5}{4}=\frac{A C}{A B}\)
⇒ AC = 5 इकाई
AB = 4 इकाई

प्रश्न 4.
यदि sin (A + B) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) और sin (A – B) = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), 0° < A + B ≤ 90°, A > B, तो A और B का मान ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ पर,
sin (A + B) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
⇒ sin (A + B) = sin 60°
⇒ A + B = 60° ………….(i)
तथा sin (A – B) = \(\frac {1}{2}\)
⇒ sin (A – B) = sin 30°
⇒ A – B = 30° ………….(ii)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर,
2A = 90° या A = \(\frac {90°}{2}\) = 45°
A का मान समीकरण (i) में रखने पर,
45° + B = 60°
⇒ B = 60° – 45° = 15°
अतः A = 45° व B = 15°

प्रश्न 5.
निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए-
(i) \(\frac{\tan 65^{\circ}}{\cot 25^{\circ}}\)
(ii) \(\frac{\cot 50^{\circ}}{\tan 40^{\circ}}\)
हल :

प्रश्न 6.
दर्शाइए कि \(\frac {cosec 39°}{sec 51°}\) = 1
हल :

प्रश्न 7.
cot 85° + cos 75° को 0° और 17° के बीच के कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों के पदों में व्यक्त कीजिए ।
हल :
यहाँ पर,
cot 85° + cos 75°
= cot (90° – 5°) + cos(90° – 15°)
= tan 5° + sin 15°

प्रश्न 8.
मान निकालिए-

हल :

प्रश्न 9.

हल :

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए :

हल :

प्रश्न 11.

हल :

प्रश्न 12.
7 sec² B – 7 tan² B का मान ज्ञात कीजिए
हल :
यहाँ पर, 7 sec² B – 7 tan² B
= 7(1 + tan² B) – 7 tan² B
= 7 + 7 tan² B – 7 tan² B
= 7

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए कि sin⁶ θ + cos⁶ θ + 3sin²θ cos²θ = 1
हल :
यहाँ पर,
बायाँ पक्ष = sin⁶ θ + cos⁶ θ + 3sin²θ cos²θ
= (sin²θ)³ + (cos²θ)³ + 3 sin²θ cos²θ (sin²θ + cos²θ) [∵ sin²θ + cos²θ = 1]
= (sin² θ + cos² θ)³ [∵ a³ + b³ + 3ab (a + b) = (a + b)³]
= (1)³
= 1 = दायाँ पक्ष

प्रश्न 14.
यदि a cosθ + b sinθ = m तथा a sinθ – b cosθ = n है, तो सिद्ध कीजिए कि a² + b² = m² + n²
हल :
यहाँ पर,
m = a cosθ + b sinθ
n = a sinθ – b cosθ
दायाँ पक्ष = m² + n²
= (a cos θ + b sin θ)² + (a sin θ – b cos θ)²
= a² cos²θ + b² sin²θ + 2ab sinθ cosθ + a² sin² θ + b² cos² θ – 2 ab sinθ cosθ
= a² cos²θ + a² sin² + b² sin² θ + b² cos² θ
= a² (cos² θ + sin² θ) + b² (sin² θ + cos² θ)
= a² + b² [∵ sin² θ + cos² θ = 1]
= बायाँ पक्ष

प्रश्न 15.
θ का मान ज्ञात कीजिए, यदि sin (θ +36°) = cos θ, जहाँ θ + 36°, एक न्यून कोण है।
हल :
यहाँ पर दिया गया है।
sin (θ + 36°) = cos θ
या cos [90° – (θ + 36°)] = cos θ
⇒ 90° – (θ +36°) = θ
या 90° – θ – 36° = θ
या 54° = θ + θ
या 2θ = 54°
या θ = 27°

प्रश्न 16.
सिद्ध कीजिए कि-
sin⁴θ – cos⁴θ = sin²θ – cos²θ = 2sin²θ – 1 = 1 – 2cos²θ
हल :
बायाँ पक्ष = sin⁴θ – cos⁴θ
= (sin²θ)² – (cos²θ)²
= (sin²θ – cos²θ) (sin²θ + cos²θ)
= (sin²θ – cos²θ) × 1
= sin²θ – cos²θ
पुनः sin²θ – cos²θ = sin²θ – [1 – sin²θ]
= sin²θ – 1 + sin²θ
= 2sin²θ – 1
इसी प्रकार sin²θ – cos²θ = (1 – cos²θ) – cos²θ
= 1 – cos²θ – cos²θ
= 1 – 2cos²θ = दायाँ पक्ष

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए कि tan 6° tan 12°tan 78° tan 84° = 1
हल :
यहाँ पर
बायाँ पक्ष = tan 6° tan 12° tan 78° tan 84°
= tan 6° tan 12° tan (90° – 12°) tan (90° – 6°)
= tan 6° tan 12° cot 12° cot 6° [∵ tan (90° – θ) = cot θ]
= tan 6° tan 12° \(\frac{1}{\tan 12^{\circ}} \cdot \frac{1}{\tan 6^{\circ}}\) [∵ cot θ = \(\frac {1}{tan θ}\)]
= 1 = दायाँ पक्ष

प्रश्न 18.
दर्शाइएा कि sin²6° + sin² 12° + sin² 78° + sin² 84° = 2
हल :
यहाँ पर,
बायाँ पक्ष = sin²6° + sin² 12° + sin² 78° + sin² 84°
= sin² 6° + sin² 12° + [sin (90° – 12°)]² + [sin (90° – 6°)]²
= sin² 6° + sin² 12° + cos² 12° + cos² 6° [∵ sin (90° – θ) = cos θ]
= (sin² 6° + cos² 6°) + (sin² 12° + cos² 12°)
= 1 + 1 [∵ sin²θ + cos²θ = 1]
= 2 = दायाँ पक्ष

प्रश्न 19.

हल :
यहाँ पर,

प्रश्न 20.
यदि cos 4A = sin (A – 20°), जहाँ 4A एक न्यूनकोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ पर,
cos 4A = sin (A – 20°)
⇒ sin(90° – 4A) = sin (A – 20°)
⇒ 90° – 4A = A – 20°
या 90° + 20° = A + 4A
या 5A = 110°
या A = \(\frac {110°}{5}\) = 22°

प्रश्न 21.
सिद्ध कीजिए कि cos 35°. cosec 55° = 1
हल :
यहाँ पर,
बायाँ पक्ष = cos 35°. cosec 55°
= cos 35°. cosec (90° – 35°)
= cos 35°. sec 35° [∵ cosec (90°- θ) = sec θ]
= cos 35° . \(\frac {1}{cos 35°}\) [∵ sec θ = \(\frac {1}{cos θ}\)]
= 1 = दायाँ पक्ष

प्रश्न 22.

हल :
यहाँ पर,

प्रश्न 23.
यदि A = 30°, तो बताइए कि sin 3A = 3 sin A – 4 sin³ A
हल :
यहाँ पर,
A = 30° के लिए
बायाँ पक्ष = sin 3A = sin 90° = 1 …………….(i)
दायाँ पक्ष = 3 sin A – 4 sin³ A
= 3 sin 30° – 4 sin³ 30°
= 3 (\(\frac {1}{2}\)) – 4 (\(\frac {1}{2}\))³
= \(\frac{3}{2}-4\left(\frac{1}{8}\right)=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=\frac{3-1}{2}=\frac{2}{2}\)
= 1 …………….(ii)
अतः समीकरण (i) और (ii) से स्पष्ट है कि बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष

प्रश्न 24.
यदि sin (A – B) = \(\frac {1}{2}\), cos (A + B) = \(\frac {1}{2}\), 0° < A + B ≤ 90°, A > B, तो A और B ज्ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ पर,
sin (A – B) = \(\frac {1}{2}\)
⇒ sin (A – B) = sin 30°
⇒ A – B = 30° ……………….(i)
तथा cos (A + B) = \(\frac {1}{2}\)
⇒ cos (A + B) = cos 60°
⇒ A + B = 60° ……………….(ii)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर,
2A = 90° या A = \(\frac {90°}{2}\) = 45°
A का मान समीकरण (i) में रखने पर,
45° – B = 30°
⇒ B = 45° – 30° = 15°
अतः A = 45° व B = 15°

प्रश्न 25.
ΔOPQ में, जिसका कोण P समकोण है, OP = 7 cm और OQ – PQ = 1 cm | sin Q और cos Q के मान ज्ञात कीजिए ।
हल :

समकोण ΔOPQ से हमें प्राप्त होता है।
OQ² = OP² + PQ²
⇒ (1 + PQ)² = OP² + PQ²
⇒ 1 + PQ² + 2PQ = OP² + PQ²
⇒ 1 + 2PQ = (7)²
⇒ 2PQ = 49 – 1
⇒ PQ = \(\frac {48}{2}\) = 24cm और OQ = 1 + PQ = 1 + 24 = 25 cm
अत: sin Q = \(\frac {7}{25}\) और cos Q = \(\frac {24}{25}\)

बहुविकल्पीय प्रश्न :

प्रश्न 1.
संलग्न समकोण त्रिभुज POQ में sin 6 का मान होगा-

(A) \(\frac {PQ}{OP}\)
(B) \(\frac {OQ}{OP}\)
(C) \(\frac {PQ}{OQ}\)
(D) \(\frac {OP}{PQ}\)
हल :
(A) \(\frac {PQ}{OP}\)

प्रश्न 2.
प्रश्न 1 की आकृति में cos θ का मान होगा-
(A) \(\frac {PQ}{OP}\)
(B) \(\frac {OQ}{OP}\)
(C) \(\frac {PQ}{OQ}\)
(D) \(\frac {OP}{OQ}\)
हल :
(B) \(\frac {OQ}{OP}\)

प्रश्न 3.
\(\frac{\sin 20^{\circ}}{\cos 70^{\circ}}\) का मान होगा :
(A) 2 sin 20°
(B) 0
(C) – 1
(D) 1
हल :
(D) 1

प्रश्न 4.
sin² 30° + cos² 30° का मान है :
(A) 0
(B) 1
(C) -1
(D) 2 cos² 30°
हल :
(B) 1

प्रश्न 5.
यदि cos θ = \(\frac {12}{13}\) हो, तो sin θ का मान है :
(A) \(\frac {13}{12}\)
(B) \(\frac {12}{5}\)
(C) \(\frac {5}{13}\)
(D) 1
हल :
(C) \(\frac {5}{13}\)

प्रश्न 6.
रिक्त स्थान भरें : cosec²θ = ………………. + cot²θ
(A) 1
(B) sin²θ
(C) tan²θ
(D) – 1
हल :
(A) 1

प्रश्न 7.
\(\frac{2 \tan 45^{\circ}}{1+\tan ^2 45^{\circ}}\) का मान है :
(A) cos 90°
(B) tan 90°
(C) sin 90°
(D) sin 45°
हल :
(C) sin 90°

प्रश्न 8.
यदि tan A = \(\frac {5}{12}\), तो cos A का मान है :
(A) \(\frac {5}{13}\)
(B) \(\frac {12}{5}\)
(C) \(\frac {13}{5}\)
(D) \(\frac {12}{13}\)
हल :
(D) \(\frac {12}{13}\)

प्रश्न 9.
यदि cot A = \(\frac {7}{24}\), तो sin A का मान है :
(A) \(\frac {24}{7}\)
(B) \(\frac {24}{25}\)
(C) \(\frac {25}{24}\)
(D) \(\frac {7}{25}\)
हल :
(B) \(\frac {24}{25}\)

प्रश्न 10.
\(\frac{2 \tan 60^{\circ}}{1+\tan ^2 60^{\circ}}\) का मान है :
(A) sin 60°
(B) cos 60°
(C) tan 30°
(D) sin 30°
हल :
(A) sin 60°

प्रश्न 11.
\(\frac {1}{tan θ}\) को कहा जाता है-
(A) cosec θ
(B) sec θ
(C) cot θ
(D) sin θ
हल :
(C) cot θ

प्रश्न 12.
cos²θ + sin²θ का मान सदैव होता है-
(A) शून्य
(B) 1
(C) 2
(D) 3
हल :
(B) 1

प्रश्न 13.
यदि cos A = \(\frac {7}{25}\) हो, तो tan A का मान होगा :
(A) \(\frac {25}{7}\)
(B) \(\frac {24}{7}\)
(C) \(\frac {24}{25}\)
(D) \(\frac {25}{24}\)
हल :
(B) \(\frac {24}{7}\)

प्रश्न 14.
\(\frac {cosec 32°}{sec 58°}\) का मान क्या है ?
(A) 0
(B) -1
(C) 1
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(C) 1

प्रश्न 15.
व्यंजक sin θ (cosec θ – sin θ) का सरल रूप होगा-
(A) sin² θ
(B) tan² θ
(C) cot² θ
(D) cos² θ
हल :
(D) cos² θ

प्रश्न 16.
tan⁴ A + tan² A को sec A के रूप में लिखा जा सकता है-
(A) sec⁴ A – sec² A
(B) sec⁴ A + sec² A
(C) sec⁴ A . sec² A
(D) sec⁴ A – sec⁴ A
हल :
(A) sec⁴ A – sec² A

प्रश्न 17.
3 cot² A – 3 cosec² A का मान होगा-
(A) शून्य
(B) -6
(C) -3
(D) 3
हल :
(C) – 3

प्रश्न 18.
cosec (90° – θ) का मान है –
(A) sec θ
(B) sin θ
(C) 1
(D) 0
हल :
(A) sec θ

प्रश्न 19.
\(\frac{1-\tan ^2 30^{\circ}}{1+\tan ^2 30^{\circ}}\) का मान है :
(A) cos 60°
(B) tan 60°
(C) sin 60°
(D) tan 30°
हल :
(A) cos 60°

प्रश्न 20.
यदि tan θ = \(\frac {15}{8}\) हो, तो sin θ का मान होगा :
(A) \(\frac {15}{17}\)
(B) \(\frac {17}{8}\)
(C) \(\frac {8}{15}\)
(D) 1
हल :
(A) \(\frac {15}{17}\)

प्रश्न 21.
रिक्त स्थान भरें : sec²θ – tan²θ = ………………. .
(A) 1
(B) -1
(C) 0
(D) 2sec²θ
हल :
(A) 1

प्रश्न 22.
(1 + sin θ) (1 – sin θ) का सरल रूप होगा-
(A) sin²θ
(B) cos²θ
(C) tan²θ
(D) sec²θ
हल :
(B) cos²θ

प्रश्न 23.
(1 + cos θ) (1 – cosθ) का सरल रूप होगा-
(A) sin²θ
(B) cos²θ
(C) tan²θ
(D) cosec²θ
हल :
(A) sin²θ

प्रश्न 24.
3 sin 30° – 4 sin³ 30° का मान है :
(A) sin 60°
(B) sin 90°
(C) 0
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(B) sin 90°

प्रश्न 25.
(A) 1
(B) – 1
(C) 0
(D) \(\frac {1}{2}\)
हल :
(D) \(\frac {1}{2}\)

प्रश्न 26.
sin A . cosec A बराबर है :
(A) 2 sec A
(B) cos²A
(C) 1
(D) 0
हल :
(C) 1

प्रश्न 27.
निम्नलिखित में से कौन-सा कथन असत्य है ?
(A) tan (90° – θ) = cot θ
(B) cot (90° – θ) = tan θ
(C) sec (90° – θ) = cosec θ
(D) cosec (90° – θ) = sin θ
हल :
(D) cosec (90° – θ) = sin θ

प्रश्न 28.
निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है ?
(A) cosec (90° – θ) = sec θ
(B) cosec (90° – θ) = sin θ
(C) cosec (90° – θ) = cot θ
(D) cosec (90° – θ) = tan θ
हल :
(A) cosec (90° – θ) = sec θ

प्रश्न 29.
यदि cosec θ = 2 हो तो tan θ का मान होगा :
(A) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
(B) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
(C) \(\frac {1}{2}\)
(D) \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
हल :
(B) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

प्रश्न 30.
sin 39° – cos 51° का मान होगा :
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) -1
हल :
(A) 0

प्रश्न 31.
यदि 2 sin θ = \(\sqrt{3}\) हो तो θ का मान होगा-
(A) 60°
(B) 45°
(C) 30°
(D) 0°
हल :
(A) 60°

प्रश्न 32.
यदि sin A = \(\frac {5}{13}\), तो sec A का मान है :
(A) \(\frac {13}{5}\)
(B) \(\frac {13}{12}\)
(C) \(\frac {12}{13}\)
(D) \(\frac {12}{5}\)
हल :
(B) \(\frac {13}{12}\)

प्रश्न 33.
cosec 25° – sec 65° का मान होगा-
(A) -1
(B) 0
(C) 1
(D) 2
हल :
(B) 0

प्रश्न 34.
\(\frac{\tan 64^{\circ}}{\cot 26^{\circ}}\) का मान होगा :
(A) 0
(B) 1
(C) – 1
(D) 2 tan 64°
हल :
(B) 1

प्रश्न 35.
sin 60°. cos 30° बराबर है :
(A) 1
(B) \(\frac{2 \sqrt{3}}{4}\)
(C) \(\frac {4}{3}\)
(D) \(\frac {3}{4}\)
हल :
(D) \(\frac {3}{4}\)

प्रश्न 36.
cos 45° – sin 45° का मान होगा-
(A) -1
(B) 0
(C) 1
(D) 2
हल :
(B) 0

प्रश्न 37.
6sec²θ – 6tan²θ बराबर है :
(A) 1
(B) – 6
(C) 6
(D) 0
हल :
(C) 6

प्रश्न 38.
\(\frac{\cos 20^{\circ}}{\sin 70^{\circ}}\) + \(\frac{\cos \theta}{\sin \left(90^{\circ}-\theta\right)}\) का मान होगा-
(A) 1
(B) – 1
(C) 2
(D) – 2
हल :
(C) 2

प्रश्न 39.
sin θ. cos (90° – θ) + cos θ. sin (90° – θ) का मान होगा-
(A) – 1
(B) 1
(C) 2
(D) -2
हल :
(B) 1

प्रश्न 40.
cos θ. cos (90° – θ) – sin θ sin (90° – θ) का मान होगा-
(A) – 1
(B) 1
(C) 2
(D) शून्य
हल :
(D) शून्य

प्रश्न 41.
ΔABC में, जिसका कोण B समकोण है AB = 24 cm और BC = 7 cm है। cos A का मान है-
(A) \(\frac {7}{25}\)
(B) \(\frac {24}{25}\)
(C) \(\frac {7}{24}\)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(B) \(\frac {24}{25}\)

प्रश्न 42.
sin 81° + tan 71° को 0° और 45° के कोणों के बीच में निरूपित किया जा सकता है-
(A) sin 9° + tan 19°
(B) cos 9° + cot 19°
(C) tan 9° + cot 19°
(D) sec 9° + cosec 19°
हल :
(B) cos 9° + cot 19°

प्रश्न 43.
ΔABC में, जिसका कोणं B समकोण है, AB = 24 cm और BC = 7 cm है। cos C का मान है-
(A) \(\frac {7}{25}\)
(B) \(\frac {7}{24}\)
(C) \(\frac {24}{25}\)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A) \(\frac {7}{25}\)

प्रश्न 44.
रिक्त स्थान भरें : tan²θ = ……………….. – 1
(A) cot²θ
(B) sec²θ
(C) cosec²θ
(D) cos²θ
हल :
(B) sec²θ

प्रश्न 45.
\(\frac{\cos ^2 20^{\circ}+\cos ^2 70^{\circ}}{\sin ^2 59^{\circ}+\sin ^2 31^{\circ}}\) का मान होगा-
(A) 2
(B) – 2
(C) 1
(D) – 1
हल :
(C) 1

प्रश्न 46.
ΔABC में, जिसका कोण B समकोण है, AB = 24 cm और BC = 7 cm है । sin A का मान है-
(A) \(\frac {7}{25}\)
(B) \(\frac {7}{24}\)
(C) \(\frac {24}{25}\)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A) \(\frac {7}{25}\)

प्रश्न 47.
ΔABC में, जिसका कोण B समकोण है, AB = 24 cm और BC = 7 cm है। sin C का मान है-
(A) \(\frac {24}{25}\)
(B) \(\frac {7}{25}\)
(C) \(\frac {7}{24}\)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A) \(\frac {24}{25}\)

प्रश्न 48.
\(\frac{\cos \left(90^{\circ}-\theta\right)}{\sin \theta}+\frac{\sin \theta}{\cos \left(90^{\circ}-\theta\right)}\) का मान होगा-
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
हल :
(B) 2

प्रश्न 49.
sin 60° – cos 30° का मान होगा-
(A) -1
(B) 1
(C) 0
(D) 2
हल :
(C) 0

प्रश्न 50.
cos θ × sec θ बराबर है :
(A) -1
(B) 1
(C) 0
(D) 2 cos
हल :
(B) 1

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Important Questions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Important Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Important Questions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति

परीक्षोपयोगी अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न :

प्रश्न 1.
यदि cos θ = \(\frac {8}{17}\) हो तो कोण θ के अन्य पाँच त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात करो ।
हल :
माना ΔABC में कोण B समकोण है तथा ∠A = θ तो

प्रश्न 2.
यदि ∠B और ∠Q ऐसे न्यून कोण हों जिससे कि sin B = sin Q, तो सिद्ध कीजिए कि ∠B = ∠Q
हल :
माना दो समकोण त्रिभुज ABC और PQR जहाँ sin B = sin Q

समीकरण (i) और (ii) से हमें प्राप्त होता है,
\(\frac{A C}{P R}=\frac{A B}{P Q}=\frac{B C}{Q R}\)
⇒ ΔACB ~ ΔPRQ
अतः ∠B = ∠Q

प्रश्न 3.
यदि sec α = \(\frac {5}{4}\) हो तो \(\frac{1-\tan \alpha}{1+\tan \alpha}\) का मान ज्ञात कीजिए ।
हल :

माना ΔABC में कोण ∠B समकोण है तथा ∠A = α तो
sec α = \(\frac{5}{4}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}\)
⇒ AC = 5 इकाई
AB = 4 इकाई

प्रश्न 4.
यदि sin (A + B) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) और sin (A – B) = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), 0° < A + B ≤ 90°, A > B, तो A और B का मान ज्ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ पर,
sin (A + B) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
⇒ sin (A + B) = sin 60°
⇒ A + B = 60° ……………..(i)
तथा sin (A – B) = \(\frac {1}{2}\)
⇒ sin (A – B) = sin 30°
⇒ A – B = 30° ……………..(ii)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर,
2A = 90° या A = \(\frac {90°}{2}\) = 45°
A का मान समीकरण (i) में रखने पर,
45° + B = 60°
⇒ B = 60° – 45° = 15°
अतः A = 45° व B = 15°

प्रश्न 5.
निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए-
(i) \(\frac{\tan 65^{\circ}}{\cot 25^{\circ}}\)
(ii) \(\frac{\cot 50^{\circ}}{\tan 40^{\circ}}\)
हल :

प्रश्न 6.

हल :

प्रश्न 7.
cot 85° + cos 75° को 0° और 17° के बीच के कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों के पदों में व्यक्त कीजिए ।
हल :
यहाँ पर,
cot 85° + cos 75°
= cot (90° – 5°) + cos(90° – 15°)
= tan 5° + sin 15°

प्रश्न 8.
मान निकालिए-
(i) sin²20° + sin2 70°
(ii) \(\frac{\cos ^2 20^{\circ}+\cos ^2 70^{\circ}}{\sin ^2 59^{\circ}+\sin ^2 31^{\circ}}\)
हल :
(i) sin² 20° + sin² 70° = sin² 20° + [sin (90° – 20°)]²
= sin² 20° + cos² 20°
= 1

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए :

हल :

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए :
\(\frac{\sin \theta-\cos \theta+1}{\sin \theta+\cos \theta-1}=\frac{1}{\sec \theta-\tan \theta}\)
हल :
यहाँ पर,

प्रश्न 11.

हल :
यहाँ पर,

प्रश्न 12.
7 sec² B – 7tan² B का मान ज्ञात कीजिए
हल :
यहाँ पर, 7 sec² B – 7 tan² B
= 7 (1 + tan²B) – 7 tan² B [∵ 1 + tan²θ = sec²θ]
= 7 + 7 tan² B – 7 tan² B
= 7

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए कि sin⁶θ + cos⁶θ + 3sin²θ cos²θ = 1
हल :
यहाँ पर,
बायाँ पक्ष = sin⁶θ + cos⁶θ + 3sin²θ cos²θ
= (sin²θ)³ + (cos²θ)³ + 3 sin²θ cos²θ (sin²θ + cos²θ) [∵ sin²θ + cos²θ = 1]
= (sin²θ + cos²θ)³ [∵ a³ + b³ + 3ab (a + b) = (a + b)³]
= (1)³
= 1 = दायाँ पक्ष

प्रश्न 14.
यदि a cosθ + b sinθ = m तथा a sinθ – b cosθ = n, है, तो A का मान ज्ञात कीजिए । a² + b² = m² + n²
हल :
यहाँ पर, m = a cosθ + b sinθ
और n = a sin θ – b cos θ
दायाँ पक्ष = m² + n²
= (a cosθ + b sinθ)² + (a sinθ – b cosθ)²
= a² cos²θ + b² sin²θ + 2ab sinθ cosθ + a² sin² θ + b² cos² θ – 2 ab sinθ cosθ
= a² cos²θ + a² sin²θ + b² sin² θ + b² cos² θ
= a² (cos² θ + sin² θ) + b² (sin² θ + cos² θ)
= a² + b² [∵ sin² θ + cos²θ = 1]
= बायाँ पक्ष

प्रश्न 15.
θ का मान ज्ञात कीजिए, यदि sin (θ + 36°) = cos θ, जहाँ θ + 36°, एक न्यून कोण है।
हल :
यहाँ पर दिया गया है।
या sin (θ + 36°) = cos θ
⇒ cos [90° – (θ + 36°)] = cos θ
या 90° – (θ + 36°) = θ
या 90° – θ – 36° = θ
या 54° = θ + θ
या 2θ = 54°
या θ = 27°

प्रश्न 16.
सिद्ध कीजिए कि-
sin⁴θ – cos⁴θ = sin²θ – cos²θ = 2sin²θ – 1 = 1 – 2cos²θ
हल :
यहाँ पर
बायाँ पक्ष
= sin⁴θ – cos⁴θ
= (sin²θ)² – (cos²θ)²
= (sin²θ – cos²θ) (sin²θ + cos²θ)
= (sin²θ – cos²θ) × 1
= sin²θ – cos²θ
पुन: sin²θ – cos²θ = sin²θ -[1 – sin²θ]
= sin²θ – 1 + sin²θ
= 2sin²θ – 1
इसी प्रकार sin²θ – cos²θ = (1 – cos²θ) – cos²θ
= 1- cos²θ – cos²θ
= 1 – 2cos²θ = बायाँ पक्ष

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए कि tan 6° tan 12°tan 78° tan 84° = 1
हल :
यहाँ पर
बायाँ पक्ष = tan 6° tan 12° tan 78° tan 84°
= tan 6° tan 12° tan (90° – 12°) tan (90° – 6°)
= tan 6° tan 12° cot 12° cot 6° [∵ tan (90° – θ) = cot θ]
= tan 6° tan 12° \(\frac{1}{\tan 12^{\circ}} \cdot \frac{1}{\tan 6^{\circ}}\)
[∵ cot θ = \(\frac {1}{tan θ}\)]
= 1 = दायाँ पक्ष

प्रश्न 18.
sin² 6° + sin² 12° + sin² 78° + sin² 84° = 2
हल :
यहाँ पर,
बायाँ पक्ष = sin² 6° + sin² 12° + sin² 78° + sin² 84°
= sin² 6° + sin² 12° + [sin (90° – 12°)]² + [sin (90° – 6°)]²
= sin² 6° + sin² 12° + cos² 12° + cos² 6° [∵ sin (90° – θ) = cos θ]
= (sin² 6° + cos² 6°) + (sin² 12° + cos² 12°)
= 1 + 1 [∵ sin² θ + cos² θ = 1]
= 2 = दायाँ पक्ष

प्रश्न 19.
सिद्ध कीजिए कि : \(\sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}}+\sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}}\) = 2cosec θ
हल :
यहाँ पर

प्रश्न 20.
यदि cos 4A = sin (A – 20°), जहाँ 4A एक न्यूनकोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ पर,
cos 4A = sin (A – 20°)
⇒ sin(90° – 4A) = sin (A – 20°)
⇒ 90° – 4A = A – 20°
या 90° + 20° = A + 4A
या 5A = 110°
या A = \(\frac {110°}{5}\) = 22°

प्रश्न 21.
सिद्ध कीजिए कि cos 35°. cosec 55° = 1
हल :
यहाँ पर,
बायाँ पक्ष = cos 35°. cosec 55°
= cos 35°. cosec (90° – 35°)
= cos 35°. sec 35° [∵ cosec (90°- θ) = sec θ]
= cos 35°. \(\frac{1}{\cos 35^{\circ}}\) [∵ sec θ = \(\frac {1}{cos θ}\)]
= 1 = दायाँ पक्ष

प्रश्न 22.
सिद्ध कीजिए कि : \(\sqrt{\frac{1+\sin \theta}{1-\sin \theta}}+\sqrt{\frac{1-\sin \theta}{1+\sin \theta}}\) = 2sec θ
हल :
यहाँ पर,

प्रश्न 23.
यदि A = 30°, तो बताइए कि sin 3A = 3 sin A – 4 sin³ A
हल :
यहाँ पर,
A = 30° के लिए
बायाँ पक्ष = sin 3A = sin 90° = 1 …………..(i)
दायाँ पक्ष = 3 sin A – 4 sin³ A
= 3 sin 30° – 4 sin³ 30°
= 3 (\(\frac {1}{2}\)) – 4 (\(\frac {1}{2}\))³
= \(\frac{3}{2}-4\left(\frac{1}{8}\right)=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=\frac{3-1}{2}=\frac{2}{2}\)
= 1 ……………..(ii)
अतः समीकरण (i) और (ii) से स्पष्ट है कि बायाँ पक्ष =.दायाँ पक्ष

प्रश्न 24.
यदि sin (A – B) = \(\frac {1}{2}\), cos (A + B) = \(\frac {1}{2}\), 0° < A + B ≤ 90°, A > B, तो A और B ज्ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ पर,
⇒ sin (A – B) = \(\frac {1}{2}\)
⇒ sin (A – B) = sin 30°
A – B = 30° ………………(i)
तथा cos (A + B) = \(\frac {1}{2}\)
⇒ cos (A + B) = cos 60°
⇒ A + B = 60° …………….(ii)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर,
2A = 90° या A = \(\frac {90°}{2}\) = 45°
A का मान समीकरण (i) में रखने पर,
45° – B = 30°
⇒ B = 45° – 30° = 15°
अतः A = 45° व B = 15°

प्रश्न 25.
ΔOPQ में, जिसका कोण P समकोण है, OP = 7 cm और OQ – PQ = 1 cm | sin Q और cos Q के मान ज्ञात कीजिए ।
हल :

समकोण ΔOPQ से हमें प्राप्त होता है।
OQ² = OP² + PQ²
⇒ (1 + PQ)² = OP² + PQ² [∵ OQ – PQ = 1 cm]
⇒ 1 + PQ² + 2PQ = OP² + PQ²
⇒ 1 + 2PQ = (7)²
⇒ 2PQ = 49 – 1
⇒ PQ = \(\frac {48}{2}\) = 24 cm और OQ = 1 + PQ = 1 + 24 = 25 cm
अत: sin Q = \(\frac {7}{25}\) और cos Q = \(\frac {24}{25}\)

बहुविकल्पीय प्रश्न :

प्रश्न 1.
संलग्न समकोण त्रिभुज POQ में sin θ का मान होगा-

(A) \(\frac {PQ}{OP}\)
(B) \(\frac {OQ}{OP}\)
(C) \(\frac {PQ}{OQ}\)
(D) \(\frac {OP}{PQ}\)
हल :
(A) \(\frac {PQ}{OP}\)

प्रश्न 2.
प्रश्न 1 की आकृति में cos θ का मान होगा-
(A) \(\frac {PQ}{OP}\)
(B) \(\frac {OQ}{OP}\)
(C) \(\frac {PQ}{OQ}\)
(D) \(\frac {OP}{OQ}\)
हल :
(A) \(\frac {OQ}{OP}\)

प्रश्न 3.
\(\frac{\sin 20^{\circ}}{\cos 70^{\circ}}\) का मान होगा :
(A) 2 sin 20°
(B) 0
(C) – 1
(D) 1
हल :
(D) 1

प्रश्न 4.
sin²30° + cos²30° का मान है :
(A) 0
(B) 1
(C) -1
(D) 2 cos²30°
हल :
(B) 1

प्रश्न 5.
यदि cos θ = \(\frac {12}{13}\) हो, तो sin θ का मान है :
(A) \(\frac {13}{12}\)
(B) \(\frac {12}{5}\)
(C) \(\frac {5}{13}\)
(D) 1
हल :
(C) \(\frac {5}{13}\)

प्रश्न 6.
रिक्त स्थान भरें : cosec²θ = ……………….. + cot²θ.
(A) 1
(B) sin²θ
(C) tan²θ
(D) -1
हल :
(A) 1

प्रश्न 7.
\(\frac{2 \tan 45^{\circ}}{1+\tan ^2 45^{\circ}}\) का मान है :
(A) cos 90°
(B) tan 90°
(C) sin 90°
(D) sin 45°
हल :
(C) sin 90°

प्रश्न 8.
यदि tan A = \(\frac {5}{12}\), तो cos A का मान है :
(A) \(\frac {5}{13}\)
(B) \(\frac {12}{5}\)
(C) \(\frac {13}{5}\)
(D) \(\frac {12}{13}\)
हल :
(D) \(\frac {12}{13}\)

प्रश्न 9.
यदि cot A = \(\frac {7}{24}\), तो sin A का मान है :
(A) \(\frac {24}{7}\)
(B) \(\frac {24}{25}\)
(C) \(\frac {25}{24}\)
(D) \(\frac {7}{25}\)
हल :
(B) \(\frac {24}{25}\)

प्रश्न 10.
\(\frac{2 \tan 60^{\circ}}{1+\tan ^2 60^{\circ}}\) का मान है :
(A) sin 60°
(B) cos 60°
(C) tan 30°
(D) sin 30°
हल :
(A) sin 60°

प्रश्न 11.
\(\frac {1}{tan θ}\) को कहा जाता है-
(A) cosec θ
(B) sec θ
(C) cot θ
(D) sin θ
हल :
(C) cot θ

प्रश्न 12.
cos² θ + sin² θ का मान सदैव होता है-
(A) शून्य
(B) 1
(C) 2
(D) 3
हल :
(B) 1

प्रश्न 13.
यदि cos A = \(\frac {7}{25}\) हो, तो tan A का मान होगा :
(A) \(\frac {25}{7}\)
(B) \(\frac {24}{7}\)
(C) \(\frac {24}{25}\)
(D) \(\frac {25}{24}\)
हल :
(B) \(\frac {24}{7}\)

प्रश्न 14.

(A) 0
(B) -1
(C) 1
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(C) 1

प्रश्न 15.
व्यंजक sin θ (cosec θ – sin θ) का सरल रूप होगा-
(A) sin² θ
(B) tan² θ
(C) cot² θ
(D) cos² θ
हल :
(D) cos² θ

प्रश्न 16.
tan⁴ A + tan² A को sec A के रूप में लिखा जा सकता है-
(A) sec⁴ A – sec² A
(B) sec⁴ A – sec² A
(C) sec⁴ A . sec² A
(D) sec⁴ A – sec⁴ A
हल :
(A) sec⁴ A – sec² A

प्रश्न 17.
3cot²A – 3cosec²A का मान होगा-
(A) शून्य
(B) -6
(C) -3
(D) 3
हल :
(C) – 3

प्रश्न 18.
cosec (90° – θ) का मान है :
(A) sec θ
(B) sin θ
(C) 1
(D) 0
हल :
(A) sec θ

प्रश्न 19.
\(\frac{1-\tan ^2 30^{\circ}}{1+\tan ^2 30^{\circ}}\) का मान है :
(A) cos 60°
(B) tan 60°
(C) sin 60°
(D) tan 30°
हल :
(A) cos 60°

प्रश्न 20.
यदि tan θ = \(\frac {15}{8}\) हो, तो sin θ का मान होगा :
(A) \(\frac {15}{17}\)
(B) \(\frac {17}{8}\)
(C) \(\frac {8}{15}\)
(D) 1
हल :
(A) \(\frac {15}{17}\)

प्रश्न 21.
रिक्त स्थान भरें : sec²θ – tan²θ = …………………
(A) 1
(B) -1
(C) 0
(D) 2sec²θ
हल :
(A) 1

प्रश्न 22.
(1 + sin θ) (1 – sin θ) का सरल रूप होगा-
(A) sin² θ
(B) cos² θ
(C) tan² θ
(D) sec² θ
हल :
(B) cos² θ

प्रश्न 23.
(1 + cos θ) (1 – cosθ) का सरल रूप होगा-
(A) sin² θ
(B) cos² θ
(C) tan² θ
(D) cosec² θ
हल :
(A) sin² θ

प्रश्न 24.
3 sin 30° – 4 sin³ 30° का मान है :
(A) sin 60°
(B) sin 90°
(C) 0
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(B) sin 90°

प्रश्न 25.
tan 45° – sin 30° का मान होगा :
(A) 1
(B) – 1
(C) 0
(D) \(\frac {1}{2}\)
हल :
(D) \(\frac {1}{2}\)

प्रश्न 26.
sin A . cosec A बराबर है :
(A) 2 sec A
(B) cos² A
(C) 1
(D) 0
हल :
(C) 1

प्रश्न 27.
निम्नलिखित में से कौन-सा कथन असत्य है ?
(A) tan (90° – θ) = cot θ
(B) cot (90° – θ) = tan θ
(C) sec (90° – θ) = cosec θ
(D) cosec (90° – θ) = sin θ
हल :
(D) cosec (90° – θ) = sin θ

प्रश्न 28.
निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है ?
(A) cosec (90° – θ) = sec θ
(B) cosec (90° – θ) = sec θ
(C) cosec (90° – θ) = cot θ
(D) cosec (90° – θ) = tan θ
हल :
(A) cosec (90° – θ) = sec θ

प्रश्न 29.
यदि cosec θ = 2 हो तो tan θ का मान होगा :
(A) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
(B) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
(C) \(\frac {1}{2}\)
(D) \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
हल :
(B) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

प्रश्न 30.
sin 39° – cos 51° का मान होगा :
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) -1
हल :
(A) 0

प्रश्न 31.
यदि 2 sin θ = \(\sqrt{3}\) हो तो θ का मान होगा-
(A) 60°
(B) 45°
(C) 30°
(D) 0°
हल :
(A) 60°

प्रश्न 32.
यदि sin A = \(\frac {5}{13}\), तो sec A का मान है :
(A) \(\frac {13}{5}\)
(B) \(\frac {13}{12}\)
(C) \(\frac {12}{13}\)
(D) \(\frac {12}{5}\)
हल :
(B) \(\frac {13}{12}\)

प्रश्न 33.
cosec 25° – sec 65° का मान होगा-
(A) -1
(B) 0
(C) 1
(D) 2
हल :
(B) 0

प्रश्न 34.
\(\frac{\tan 64^{\circ}}{\cot 26^{\circ}}\) का मान होगा :
(A) 0
(B) 1
(C) – 1
(D) 2 tan 64°
हल :
(B) 1

प्रश्न 35.
sin 60°. cos 30° बराबर है :
(A) 1
(B) \(\frac{2 \sqrt{3}}{4}\)
(C) \(\frac {4}{3}\)
(D) \(\frac {3}{4}\)
हल :
(D) \(\frac {3}{4}\)

प्रश्न 36.
cos 45° – sin 45° का मान होगा-
(A) -1
(B) 0
(C) 1
(D) 2
हल :
(B) 0

प्रश्न 37.
6sec²θ – 6tan²θ बराबर है :
(A) 1
(B) – 6
(C) 6
(D) 0
हल :
(C) 6

प्रश्न 38.
\(\frac{\cos 20^{\circ}}{\sin 70^{\circ}}+\frac{\cos \theta}{\sin \left(90^{\circ}-\theta\right)}\) का मान होगा-
(A) 1
(B) – 1
(C) 2
(D) – 2
हल :
(C) 2

प्रश्न 39.
sin θ. cos (90° – θ) + cos θ. sin (90° – θ) का मान होगा-
(A) – 1
(B) 1
(C) 2
(D) -2
हल :
(B) 1

प्रश्न 40.
cos θ . cos (90° – θ) – sin θ . sin (90° – θ) का मान होगा-
(A) – 1
(B) 1
(C) 2
(D) शून्य
हल :
(D) शून्य

प्रश्न 41.
ΔABC में, जिसका कोण B समकोण है AB = 24 cm और BC = 7 cm है। cos A का मान है-
(A) \(\frac {7}{25}\)
(B) \(\frac {24}{25}\)
(C) \(\frac {7}{24}\)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(B) \(\frac {24}{25}\)

प्रश्न 42.
sin 81° + tan 71° को 0° और 45° के कोणों के बीच में निरूपित किया जा सकता है-
(A) sin 9° + tan 19°
(B) cos 9° + cot 19°
(C) tan 9° + cot 19°
(D) sec 9° + cosec 19°
हल :
(B) cos 9° + cot 19°

प्रश्न 43.
ΔABC में, जिसका कोणं B समकोण है, AB = 24 cm और BC = 7 cm है। cos C का मान है-
(A) \(\frac {7}{25}\)
(B) \(\frac {7}{24}\)
(C) \(\frac {24}{25}\)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A) \(\frac {7}{25}\)

प्रश्न 44.
रिक्त स्थान भरें : tan²θ = ………………….. -1
(A) cot²θ
(B) sec²θ
(C) cosec²θ
(D) cos²θ
हल :
(B) sec²θ

प्रश्न 45.
\(\frac{\cos ^2 20^{\circ}+\cos ^2 70^{\circ}}{\sin ^2 59^{\circ}+\sin ^2 31^{\circ}}\) का मान होगा-
(A) 2
(B) -2
(C) 1
(D) – 1
हल :
(C) 1

प्रश्न 46.
ΔABC में, जिसका कोण B समकोण है, AB = 24 cm और BC = 7 cm है । sin C का मान है-
(A) \(\frac {7}{25}\)
(B) \(\frac {7}{24}\)
(C) \(\frac {24}{25}\)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A) \(\frac {7}{25}\)

प्रश्न 47.
ΔABC में, जिसका कोण B समकोण है, AB = 24 cm और BC = 7 cm है। sin C का मान है-
(A) \(\frac {24}{25}\)
(B) \(\frac {7}{25}\)
(C) \(\frac {7}{24}\)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A) \(\frac {24}{25}\)

प्रश्न 48.
\(\frac{\cos \left(90^{\circ}-\theta\right)}{\sin \theta}+\frac{\sin \theta}{\cos \left(90^{\circ}-\theta\right)}\)
का मान होगा-
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
हल :
(B) 2

प्रश्न 49.
sin 60° – cos 30° का मान होगा-
(A) -1
(B) 1
(C) 0
(D) 2
हल :
(C) 0

प्रश्न 50.
cos θ × sec θ बराबर है :
(A) -1
(B) 1
(C) 0
(D) 2 cos
हल :
(B) 1

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Important Questions Chapter 6 त्रिभुज Important Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Important Questions Chapter 6 त्रिभुज

परीक्षोपयोगी अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न :

प्रश्न 1.
यदि आकृति (i) और (ii) में, PQ || BC हो, तो (i) में QC और (ii) में AQ ज्ञात कीजिए-

हल :
(i) आकृति अनुसार
AP = 1.5 cm, PB = 3 cm, AQ = 1.3 cm, QC = ?
ΔABC में, ∵ PQ || BC (दिया है)
∴ \(\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}}=\frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{QC}}\)
⇒ \(\frac{1.5}{3.0}=\frac{1.3}{\mathrm{QC}}\)
या 1.5 × QC = 1.3 × 3.0
या QC = \(\frac{1.3 \times 3.0}{1.5}\) = 2.6 cm
अतः QC = 2.6 cm

(ii) आकृति अनुसार
AP = 3 cm, PB = 6 cm, AQ = ?, QC = 5.3 cm
ΔABC में, ∵ PQ || BC (दिया है)

प्रश्न 2.
ABCD एक समलंब है जिसमें AB || DC है। असमांतर भुजाओं AD और BC पर क्रमशः बिंदु E और F इसे प्रकार स्थित हैं कि EF भुजा AB के समांतर है (देखिए संलग्न आकृति) । दर्शाइए कि \(\frac{\mathbf{A E}}{\mathbf{E D}}=\frac{\mathbf{B F}}{\mathbf{F C}}\) है।

सिद्ध कीजिए कि समलंब की समांतर भुजाओं के समांतर कोई रेखा, उन भुजाओं को जो समांतर नहीं हैं, आनुपातिकता (अर्थात् समान अनुपात) में विभाजित करती है।
हल :
दिया है : एक समलंब चतुर्भुज ABCD जिसमें AB || CD तथा EF इनके समांतर खींची गई रेखा है। जो AD और BC को क्रमशः E व F पर मिलती है।

सिद्ध करना है :
\(\frac{\mathbf{A E}}{\mathbf{E D}}=\frac{\mathbf{B F}}{\mathbf{F C}}\)
रचना : विकर्ण AC खींचिए जो रेखा EF को ‘O’ पर काटता है
प्रमाण : ΔADC में, EO || DC, अतः थेल्स प्रमेय से,
\(\frac{\mathbf{A E}}{\mathbf{E D}}=\frac{\mathbf{A O}}{\mathbf{O C}}\) ………..(i)
अब ΔABC में, OF || AB, अतः थेल्स प्रमेय से
\(\frac{\mathbf{A O}}{\mathbf{O C}}=\frac{\mathbf{B F}}{\mathbf{F C}}\) ………..(ii)
समीकरण (i) व (ii) से,
\(\frac{\mathbf{A E}}{\mathbf{E D}}=\frac{\mathbf{B F}}{\mathbf{F C}}\) [इति सिद्धम]

प्रश्न 3.
यदि तीन या अधिक समांतर रेखाएँ दो तिर्यक रेखाओं से प्रतिच्छेदित होती हों, तो सिद्ध कीजिए कि उनके द्वारा तिर्यक रेखाओं पर काटे गए अंतः खंड (intercepts) आनुपातिक होते हैं ।
[टिप्पणी : इस परिणाम को सामान्यतः आनुपातिकता अंतः खंड गुणधर्म कहते हैं ।]
हल :
दिया है : तीन समांतर रेखाएँ ‘l’, ‘m’ तथा ‘n’ जिनको दो तिर्यक रेखाएँ p तथा q क्रमश: A, B, C, F, E तथा D पर काटती हैं। जैसा कि आकृति में दिखाया गया है।
सिद्ध करना है : \(\frac{\mathbf{A B}}{\mathbf{B C}}=\frac{\mathbf{E F}}{\mathbf{E D}}\)

रचना : CF को मिलाइए जो रेखा BE को O पर काटती है ।
प्रमाण : ΔACF में, AF || BO अतः आधारभूत आनुपातिक प्रमेय से,
\(\frac{\mathbf{A B}}{\mathbf{B C}}=\frac{\mathbf{F O}}{\mathbf{O C}}\) ………….(i)
इसी प्रकार ΔFCD में, OE || CD, अतः आधारभूत आनुपातिक प्रमेय से,
\(\frac{\mathbf{F O}}{\mathbf{O C}}=\frac{\mathbf{F E}}{\mathbf{E D}}\) ………….(ii)
समीकरण (i) व (ii) से,
\(\frac{\mathbf{A B}}{\mathbf{B C}}=\frac{\mathbf{F E}}{\mathbf{E D}}\) [इति सिद्धम]

प्रश्न 4.
एक रेखाखंड AB 10 cm लंबाई का खींचिए और उसको 3 : 4 के आंतरिक अनुपात में विभाजित कीजिए ।
हल :
दिया है : एक रेखाखंड AB जिसकी लंबाई 10cm है ।
सिद्ध करना है : AB पर एक बिंदु P ऐसा जो इसे 3 : 4 के आंतरिक अनुपात में विभाजित करता हो ।

रचना के चरण :

1. 10 cm लंबाई वाला रेखाखंड AB खींचो।
2. A से न्यून कोण ∠BAY बनाते हुए एक रेखा AY खींचो ।
3. AY पर समान दूरी पर सात बिंदु A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆ और A₇ अंकित करो अर्थात् AA₁ = A₁A₂ = A₂A₃ = ………………. A₆A₇.
4. A₇B को मिलाओ ।
5. A₃ से A₃P || A₇B खींचो जोकि AB को P पर प्रतिच्छेद करे । अब बिंदु P रेखा AB पर अभीष्ट बिंदु है जो इसे 3 : 4 के आंतरिक अनुपात में विभाजित करता है अर्थात् AP : PB = 3 : 4

प्रश्न 5.
संलग्न आकृति में EF || AB || DC है । सिद्ध कीजिए कि \(\frac{\mathbf{A E}}{\mathbf{E D}}=\frac{\mathbf{B F}}{\mathbf{F C}}\)
हल :

ΔADC से, हम पाते हैं,
EP || DC [∵ EF || DC (दिया है)]
∴ \(\frac{\mathbf{A E}}{\mathbf{E D}}=\frac{\mathbf{A P}}{\mathbf{P C}}\) ………(i)
साथ ही ΔCAB से, हमें मिलता है,
FP || BA [∵ EF || AB (दिया है)]
∴ \(\frac{\mathbf{B F}}{\mathbf{F C}}=\frac{\mathbf{A P}}{\mathbf{P C}}\) ………(ii)
समीकरण (i) और (ii) से,
\(\frac{\mathbf{A E}}{\mathbf{E D}}=\frac{\mathbf{B F}}{\mathbf{F C}}\) [इति सिद्धम]

प्रश्न 6.
संलग्न आकृति में यदि EB = 2 cm; AE = 5cm AF = x; FC = x – 1 तथा EF || BC, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
हल :

क्योंकि त्रिभुज ABC में EF || BC
∴ \(\frac{\mathbf{A E}}{\mathbf{E B}}=\frac{\mathbf{A F}}{\mathbf{F C}}\)
परंतु, AE = 5 cm, EB = 2 cm
AF = x, FC = x – 1
⇒ \(\frac{5}{2}=\frac{x}{x-1}\)
या 5(x – 1) = 2x
या 5x – 5 = 2x
या 5x – 2x = 5
या 3x = 5
या x = \(\frac {5}{3}\)

प्रश्न 7.
संलग्न आकृति में, ΔEDC ~ ΔEBA, ∠BEC = 115° और ∠EDC = 70° है। ∠DEC, ∠DCE, ∠EAB, ∠AEB और ∠EBA ज्ञात कीजिए ।
हल :

आकृति अनुसार,
∠BEC = 115°, ∠EDC = 70°
∠DEC + ∠BEC = 180° (सरल रैखिक युग्म)
या ∠DEC + 115° = 180° [∵ ∠BEC = 115°]
या ∠DEC = 180° – 115° = 65°
अब ΔDEC में,
∠DEC + ∠EDC + ∠DCE = 180° (त्रिभुज के कोण )
⇒ 65° + 70° + ∠DCE = 180°
या 135° + ∠DCE = 180°
या ∠DCE = 180° – 135° = 45°
परंतु ΔEDC ~ ΔEBA (दिया है)
इसलिए
∠EAB = ∠DCE = 45°
∠AEB = ∠DEC = 65°
∠EBA = ∠EDC = 70°
अतः ∠DEC = 65°, ∠DCE = 45°, ∠EAB = 45°, ∠AEB = 65°, ∠EBA = 70°

प्रश्न 8.
संलग्न आकृति में, यदि PS || QR है, तो सिद्ध कीजिए कि ΔPOS ~ ΔROQ है ।
हल :

दिया है : आकृति में PS || QR
सिद्ध करना है : ΔPOS ~ ΔROQ
प्रमाण : ΔPOS और ΔROQ में
∠POS = ∠QOR (शीर्षाभिमुख कोण)
∠PSO = ∠RQO (एकांतर कोण)
∠SPO = ∠QRO (एकांतर कोण)
∴ ΔPOS ~ ΔROQ (कोण-कोण समरूपता नियम) [इति सिद्धम]

प्रश्न 9.
दो समरूप त्रिभुजों के परिमाप क्रमशः 30 cm और 20 cm हैं। यदि पहले त्रिभुज की एक भुजा 12 cm हो, तो दूसरे त्रिभुज की संगत भुजा ज्ञात कीजिए ।
हल :

माना ΔDEF और ΔABC अभीष्ट त्रिभुज हैं जिनके परिमाप क्रमशः 30 cm व 20 cm हैं।
माना भुजा EF = 12 cm
तो ΔABC की संगत भुजा BC = ?

अतः दूसरे त्रिभुज की संगत भुजा = 8 cm

प्रश्न 10.
संलग्न आकृति में, \(\frac{O A}{O C}=\frac{O D}{O B}\) है । सिद्ध कीजिए कि ∠A = ∠C और ∠B = ∠D है।

हल :
दिया है : \(\frac{O A}{O C}=\frac{O D}{O B}\)
सिद्ध करना है : ∠A = ∠C और ∠B = ∠D
प्रमाण : ΔAOD और ΔBOC में,
∠AOD = ∠BOC (शीर्षाभिमुख कोण)
एवं \(\frac{O A}{O C}=\frac{O D}{O B}\) (दिया है)
अतः ΔAOD ~ ΔBOC (∴ भुजा – कोण – भुजा समरूपता गुणधर्म से)
अतः ∠A = ∠C
व ∠D = ∠B
(यदि त्रिभुजें समरूप हों, तो संगत कोण समान होते हैं ।) [इति सिद्धम]

प्रश्न 11.
CM और RN क्रमशः ΔABC और ΔPQR की माध्यिकाएँ हैं यदि ΔABC ~ ΔPQR है, तो सिद्ध कीजिए कि ΔAMC ~ ΔPNR
हल :

दिया है : CM और RN क्रमशः ΔABC और ΔPQR की
माध्यिकाएँ हैं तथा ΔABC ~ ΔPQR है ।
सिद्ध करना है : ΔAMC ~ ΔPNR
प्रमाण : क्योंकि ΔABC ~ ΔPQR
∴ \(\frac{A B}{P Q}=\frac{B C}{Q R}=\frac{C A}{R P}\) …………..(i)
तथा ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q व ∠C = ∠R …………..(ii)
परन्तु AB = 2AM तथा PQ = 2PN [∵ CM और RN माध्यिकाएँ हैं] …. (iii)
समीकरण (i) व (iii) की तुलना से
\(\frac{2 A M}{2 P N}=\frac{C A}{R P}\)
⇒ \(\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{PN}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{RP}}\) ………(iv)
तथा ∠MAC = ∠NPR ……… (v)
समीकरण (iv) व (v) से हमें प्राप्त होता है ।
ΔAMC ~ ΔPNR (इति सिद्धम्)

प्रश्न 12.
संलग्न आकृति में, ∠A = ∠B और AD = BE है | सिद्ध कीजिए कि DE || AB है ।
हल :

दिया है : ∠A = ∠B और AD = BE
सिद्ध करना है : DE || AB
प्रमाण : ∠A = ∠B ………..(दिया है)
⇒ AC = BC (समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ)
या (DC + DA) = (EC + EB) …………(i)
परंतु AD = BE …….. (दिया है) …………..(ii)
समीकरण (i) और (ii) से,
DC + BE = EC + BE
या DC = EC …………..(iii)
समीकरण (iii) को (ii) से भाग करने पर
\(\frac{\mathrm{DC}}{\mathrm{AD}}=\frac{\mathrm{EC}}{\mathrm{BE}}\)
अतः DE || BC (थेल्स प्रमेय के विलोम से) [इति सिद्धम]

प्रश्न 13.
संलग्न आकृति में, XY || AC और XY त्रिभुजीय क्षेत्र ABC को दो बराबर क्षेत्रफल वाले भागों में विभाजित करता है । \(\frac {AX}{AB}\) ज्ञात कीजिए ।
हल :

दिया है : ΔABC में XY || AC
ΔABC का क्षेत्रफल = 2 × ΔBXY का क्षेत्रफल
सिद्ध करना है :
\(\frac {AX}{AB}\) = ?
अब : ΔABC और ΔXBY में,
∠B = ∠B (उभयनिष्ठ)
\(\frac{\mathrm{BA}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{BX}}{\mathrm{BY}}\)
∴ ΔABC ~ ΔXBY
हम जानते हैं कि समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है ।

प्रश्न 14.
एक सीढ़ी दीवार पर इस प्रकार टिकी हुई है कि इसका निचला सिरा दीवार से 2.5 मी की दूरी पर है तथा इसका ऊपरी सिरा भूमि से 6 मी की ऊँचाई पर बनी खिड़की तक पहुँचता है। सीढ़ी की लम्बाई ज्ञात कीजिए ।
हल :

यहाँ पर,
खिड़की की ऊँचाई (BC) = 6 मी
सीढ़ी के निचले सिरे की दीवार से दूरी (AC) = 2.5 मी
माना सीढ़ी की लम्बाई (AB) = x मी
समकोण ΔABC में
AB² = AC² + BC² (पाइथागोरस प्रमेय)
⇒ x² = (2.5)² + (6)²
या x² = 6.25 + 36
या x² = 42.25
या x² = \(\sqrt{42.25}\) = 6.5 मी
अतः सीढ़ी की लम्बाई = 6.5 मी

प्रश्न 15.
पृथ्वी से 15m ऊँचाई पर भवन की एक खिड़की तक 17 m लम्बाई की एक सीढ़ी पहुँचती है। सीढ़ी के पाद से भवन की दूरी ज्ञात कीजिए ।
हल :

यहाँ पर,
खिड़की की ऊँचाई (BC) = 15m
सीढ़ी की लम्बाई (AB) = 17 m
माना सीढ़ी के निचले सिरे की भवन की दीवार से दूरी (AC) = x m
समकोण ΔABC में पाइथागोरस प्रमेय से
AB² = AC² + BC²
⇒ (17)² = x² + (15)²
⇒ 289 = x² + 225
⇒ x² = 289 – 225
⇒ x = \(\sqrt{64}\) = 8 m
अतः सीढ़ी के निचले सिरे (पाद) की भवन की दीवार से दूरी = 8m

प्रश्न 16.
एक व्यक्ति पूरब की ओर 10m और फिर उत्तर की ओर 30m जाता है। प्रारंभिक बिंदु से उसकी दूरी ज्ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ पर व्यक्ति O बिंदु से पूर्व की ओर 10m दूरी तय कर A बिंदु पर पहुँचता तथा वहाँ से उत्तर की ओर 30 m दूरी तय करके B बिंदु पर पहुँचता है । व्यक्ति की दूरी OB ज्ञात करनी है ।
अर्थात्
OA = 10m
AB = 30m
OB = ?

अतः व्यक्ति की प्रारंभिक बिंदु से दूरी = 31.62 m

प्रश्न 17.
90 सें०मी० की लम्बाई वाली एक लड़की बल्ब लगे एक खम्भे के आधार से परे 1.2 मी० / सेकण्ड की चाल से चल रही है। यदि बल्ब भूमि से 3.6 मी० की ऊँचाई पर है, तो 4 सेकण्ड बाद उस लड़की की छाया की लम्बाई ज्ञात कीजिए ।
हल :

माना आकृति में AB एक खम्भा है जिस पर बल्ब लगा हुआ है तथा CD एक लड़की है जो खम्भे से 4 सेकण्ड चलने के पश्चात् दर्शाई गई है। माना DE लड़की की छाया है जिसे हमें ज्ञात करना है 1
लड़की द्वारा B से D तक 4 सेकण्ड में तय दूरी (BD)
= 1.2 × 4 = 4.8 मी०
समरूप त्रिभुजों ABE और CDE में (∵ ∠E = ∠E, ∠B = ∠D)

प्रश्न 18.
आयत ABCD के अभ्यंतर में कोई बिंदु O है । सिद्ध कीजिए कि OB² + OD² = OC² + OA² है।
हल :

दिया है : एक आयत ABCD, इसके अभ्यंतर में कोई बिंदु O है । OA, OB, OC और OD को मिलाया गया है ।
सिद्ध करना है : OB² + OD² = OC² + OA²
रचना : O से EOF || BC और BC || AD खींचो।
प्रमाण :
∵ EOF || BC और BC || AD है,
∴ AD || EOF || BC
∵ AD ⊥ AB ……….. (ABCD आयत है)
∴ EF ⊥ AB
इसी प्रकार EF ⊥ DF
∴ AEFD भी एक आयत है ⇒ AE = DF ………..(i)
इसी प्रकार, BEFC एक आयत है
⇒ EB = FC ………(ii)
∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4= 90°
समकोण ΔOBE में, OB² = OE² + EB² = OE² + FC² ….[(ii) से] …….(iii)
समकोण ΔODF में,
OD² = OF² + DF² = OF² + AE² ….[(i) से] …….(iv)
समीकरण (iii) और (iv) को जोड़ने पर,
OB² + OD² = OE² + FC² + OF² + AE² ……..(v)
परंतु समकोण ΔOFC में,
OF² + FC² = OC² ………..(vi)
और समकोण ΔOAE में, OE² + AE² = OA² ……….(vii)
(v), (vi) और (vii) से,
OB² + OD² = OC² + OA²

प्रश्न 19.
यदि आकृति में दिए हुए ΔABC में AB = 5 cm, AC = 10 cm, BD = 1.5 cm और CD = 3.5 cm हो तो जाँच कीजिए कि क्या AD, ∠A का समद्विभाजक है ।
हल :

प्रश्न 20.
दो खंभे एक समतल भूमि पर खड़े हैं । निम्नलिखित स्थितियों के लिए खंभों के ऊपरी सिरों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए :
(i) खंभों की ऊँचाई = 6 मी, 12 मी; खंभों के निचले सिरों के बीच की दूरी = 8 मी
(ii) खंभों की ऊँचाई = 7 मी, 12 मी; खंभों के निचले सिरों के बीच की दूरी = 12 मी
हल :

(i) दिया है-दो खंभे AB और CD क्रमशः 6 मी और 12 मी लम्बे हैं तथा उनके निचले सिरों के बीच की दूरी BD = 8 मी है। ज्ञात करना है-खंभों के ऊपरी सिरों के बीच की दूरी (AC) = ?
AB = 6 मी
CD = 12 मी
DE = AB = 6 मी
∴ CE = CD – DE
= (12 – 6) मी = 6 मी
AE = BD = 8 मी
अब समकोण त्रिभुज ACE में,
AC² = AE² + CE²
= (8)² + (6)²
= 64 + 36 = 100
या AC = \(\sqrt{100}\) = 10 मी
अतः दोनों खंभों के ऊपरी सिरों के बीच की दूरी = 10 मी

(ii) दिया है- दो खंभे AB और CD क्रमशः 7 मी और 12 मी लम्बे हैं तथा उनके निचले सिरों के बीच की दूरी BD = 12 मी है।

ज्ञात करना है – खंभों के ऊपरी सिरों के बीच की दूरी (AC) = ?
AB = 7 मी
CD = 12 मी
DE = AB = 7 मी
∴ CE = CD – DE
= (12 – 7) मी = 5 मी
AE = BD = 12 मी
अब समकोण त्रिभुज ACE में,
AC² = AE² + CE²
= (12)² + (5)²
= 144 + 25 = 169
या AC = \(\sqrt{169}\) = 13 मी
अतः दोनों खंभों के ऊपरी सिरों के बीच की दूरी = 13 मी

प्रश्न 21.
ΔABC एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है । यदि ∠ACB = 90° तथा AB = 5\(\sqrt{2}\) cm, तो AC मान ज्ञात कीजिए।
हल :

दिया है : ΔABC एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है ।
जिस कारण AC = BC तथा ∠ACB = 90° व AB = 5\(\sqrt{2}\)cm
ज्ञात करना है : AC = ?
अब : समकोण ΔACB में,
AC² + BC² = AB²
या AC² + AC² = (5\(\sqrt{2}\))² (∵ AC = BC दिया है)
या 2AC² = 50
या AC² = \(\frac {50}{2}\) = 25
या AC = 5 cm

प्रश्न 22.
एक चतुर्भुज ABCD का विकर्ण BD, ∠B और ∠D को समद्विभाजित करता है । सिद्ध कीजिए कि \(\frac{A \mathbf{B}}{B C}=\frac{D A}{C D}\) है ।
हल :

दिया है : एक चतुर्भुज ABCD का विकर्ण BD, ∠B और ∠D को समद्विभाजित करता है।
सिद्ध करना है :
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{DA}}{\mathrm{CD}}\)
रचना : A और C को मिलाइए जो BD को O पर मिलाता है ।
प्रमाण : ΔABC में BO, ∠B का समद्विभाजक है।
∴ \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{DA}}{\mathrm{CD}}\) ………(i)
इसी प्रकार ΔADC में ∠O, ∠D का समद्विभाजक है।
∴ \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{OC}}\) ………(ii)
समीकरण (i) व (ii) की तुलना से,
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DC}}\) [इति सिद्धम]

प्रश्न 23.
दो समरूप त्रिभुजों ABC और PQR के क्षेत्रफल क्रमशः 36 cm² तथा 64 cm² हैं। यदि BC = 4.2 cm हो तो QR ज्ञात कीजिए ।
हल :

बहुविकल्पीय प्रश्न :

प्रश्न 1.
यदि दो समान संख्या वाली भुजाओं वाले बहुभुजों में संगत कोण बराबर हों तथा उनकी संगत भुजाओं की लम्बाइयाँ समानुपाती हों तो उन्हें कहा जाता है-
(A) समरूप बहुभुज
(B) सर्वांगसम बहुभुज
(C) समान बहुभुज
(D) उपरोक्त में से कोई नहीं
हल :
(A) समरूप बहुभुज

प्रश्न 2.
यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समान्तर अन्य दो भुजाओं को काटते हुए कोई रेखा खींचे तो वह त्रिभुज की अन्य दोनों भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है । इस प्रमेय को कहा जाता है-
(A) पाइथागोरस प्रमेय
(B) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय
(C) पाइथागोरस प्रमेय का विलोम
(D) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का विलोम
हल :
(B) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय

प्रश्न 3.
यदि कोई रेखा किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती हो, तो यह रेखा तीसरी भुजा के समान्तर होती है, इसे कहा जाता है-
(A) पाइथागोरस प्रमेय
(B) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय
(C) पाइथागोरस प्रमेय का विलोम
(D) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का विलोम
हल :
(D) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का विलोम

प्रश्न 4.
संलग्न आकृति में यदि ST || QR हो तो PS का मान होगा-

(A) 3.0 cm
(B) 4.0 cm
(C) 4.5 cm
(D) 6.0 cm
हल :
(C) 4.5 cm

प्रश्न 5.
संलग्न आकृति में यदि PQ || BC हो तो QC का मान होगा-

(A) 2.6 cm
(B) 1.3 cm
(C) 3.9 cm
(D) 3.0 cm
हल :
(A) 2.6 cm

प्रश्न 6.
संलग्न आकृति में यदि PQ || BC हो तो AQ का मान होगा-

(A) 5.3 cm
(B) 2.65 cm
(C) 4.5 cm
(D) 1.65 cm
हल :
(B) 2.65 cm

प्रश्न 7.
त्रिभुज की किसी भुजा के मध्य – बिन्दु से दूसरी भुजा के समान्तर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को …………. करती है।
(A) त्रिभाजित
(B) चतुर्भाजित
(C) समद्विभाजित
(D) उपरोक्त में से कोई नहीं
हल :
(C) समद्विभाजित

प्रश्न 8.
सभी वृत्त ………….. होते हैं ।
(A) सर्वांगसम
(B) दोनों
(C) (A) व (B) दोनों
(D) उपरोक्त में से कोई नहीं
हल :
(B) समरूप

प्रश्न 9.
ΔABC में, AB तथा AC पर क्रमशः D तथा E बिन्दु इस प्रकार हैं कि DE || BC, यदि AD = 6 सेमी., DB = 9 सेमी. और AE = 8 सेमी., तो निम्न से AC का मान ज्ञात कीजिए-
(A) 12 सेमी.
(B) 16 सेमी.
(C) 20 सेमी.
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(C) 20 सेमी.

प्रश्न 10.
सभी ……….. त्रिभुज समरूप होते हैं ।
(A) विषमबाहु
(B) समद्विबाहु
(C) समबाहु
(D) समकोण
हल :
(C) समबाहु

प्रश्न 11.
भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं यदि उनके संगत कोण ……………… हों तथा उनकी संगत भुजाएँ ……………… हों ।
(A) बराबर ; समानुपाती
(B) असमान; समानुपाती
(C) समान; विषमपाती
(D) उपरोक्त में से कोई नहीं
हल :
(A) बराबर; समानुपाती

प्रश्न 12.
दी गई आकृति में DE || BC, तो EC का मान है :

(A) 2.7 सेमी
(B) 1.5 सेमी
(C) 2.4 सेमी
(D) 3 सेमी
हल :
(C) 2.4 सेमी

प्रश्न 13.
दी गई आकृति में DE || BC, तो DB का मान है :

(A) 2.4 सेमी
(B) 4.8 सेमी
(C) 1.8 सेमी
(D) 3.6 सेमी
हल :
(D) 3.6 सेमी

प्रश्न 14.
ΔABC में, AB तथा AC पर क्रमश: D तथा E बिन्दु इस प्रकार हैं कि DE || BC, यदि \(\frac {AD}{DB}\) = \(\frac {3}{4}\) तथा AC = 15 सेमी. निम्नलिखित में से AE का मान ज्ञात कीजिए-
(A) 6.43 सेमी.
(B) 6.34 सेमी.
(C) 4.63 सेमी.
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A) 6.43 सेमी.

प्रश्न 15.
किसी त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा होती है-
(A) तीसरी भुजा के लम्बवत्
(B) तीसरी भुजा के समान्तर
(C) तीसरी भुजा के असमान्तर
(D) तीसरी भुजा के बराबर
हल :
(B) तीसरी भुजा के समान्तर

प्रश्न 16.
संलग्न आकृति ΔABC में, DE || BC तथा \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{3}{5}\) यदि AC = 4.8 cm हो तो AE का मान होगा-

(A) 1.8cm
(B) 2.7 cm
(C) 3.0cm
(D) 3.6 cm
हल :
(A) 1.8.cm

प्रश्न 17.
त्रिभुजों के युग्मों में से कौन-सा युग्म समरूप नहीं है?

हल :

प्रश्न 18.
दी गई आकृति में ΔODC ~ ΔOAB, ∠BOC = 125°, ∠ODC = 70°, तो ∠OAB का मान है :

(A) 70°
(B) 35°
(C) 50°
(D) 55°
हल :
(A) 70°

प्रश्न 19.
दो समरूप त्रिभुजों के परिमाप क्रमशः 30 cm और 20 cm हैं। यदि पहले त्रिभुज की एक भुजा 12 cm हो, तो दूसरे त्रिभुज की संगत भुजा होगी-
(A) 12 cm
(B) 10 cm
(C) 8 cm
(D) 6 cm
हल :
(C) 8 cm

प्रश्न 20.
संलग्न आकृति में, यदि EB = 2 cm, AE = 5 cm, AF = x, FC = x – 1 तथा EF || BC, तो x का मान होगा-

(A) \(\frac {5}{3}\)cm
(B) \(\frac {5}{2}\)cm
(C) \(\frac {5}{4}\)cm
(D) \(\frac {3}{5}\)cm
हल :
(A) \(\frac {5}{3}\)cm

प्रश्न 21.
यदि दो समरूप त्रिभुजों की भुजाओं का अनुपात 3 : 5 है, तो इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात ……………… है ।
(A) 3 : 5
(B) 9 : 25
(C) 5 : 3
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(B) 9 : 25

प्रश्न 22.
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात 64 : 121 है, तो उनकी भुजाओं में अनुपात होगा-
(A) 8 : 11
(B) 11 : 8
(C) 64 : 121
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A) 8 : 11

प्रश्न 23.
कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई हैं-
(i) 3 cm, 6 cm, 8 cm
(ii) 5 cm, 12 cm, 13 cm
(iii) 5 cm, 8 cm, 10cm
इनमें से कोई नहीं
इनमें से समकोण त्रिभुज है-
(A) (i)
(B) (ii)
(C) (iii)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(B) (ii)

प्रश्न 24.
यदि दो त्रिभुजें ABC और DEF इस प्रकार हैं कि \(\frac{\mathbf{A B}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}=\frac{\mathbf{C A}}{\mathbf{F D}}=\frac{2}{5}\) हो तो ar (ΔABC) : ar (ΔDEF) होगा-
(A) 4 : 25
(B) 2 : 5
(C) 8 : 125
(D) 4 : 10
हल :
(A) 4 : 25

प्रश्न 25.
यदि दो समरूप त्रिभुजों की भुजाओं का अनुपात 2 : 3 है, तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात है :
(A) \(\sqrt{2}\) : \(\sqrt{3}\)
(B) 2 : 3
(C) 4 : 9
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(C) 4 : 9

प्रश्न 26.
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात बराबर होता है-
(A) संगत भुजाओं के अनुपात के
(B) संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के
(C) संगत भुजाओं के घनों के अनुपात के
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(B) संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के

प्रश्न 27.
किसी वर्ग की एक भुजा पर निर्मित समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल, उसके विकर्ण पर बने समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का ………….. होता है ।
(A) दुगुना
(B) तीन गुना
(C) एक-तिहाई
(D) आधा
हल :
(D) आधा

प्रश्न 28.
मान लीजिए ΔABC ~ ΔDEF है और इनके क्षेत्रफल क्रमशः 64 cm² और 121 cm² हैं । यदि EF = 15.4 cm, तो BC का मान है-
(A) 11.2 cm
(B) 11.4 cm
(C) 12.4 cm
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A) 11.2 cm

प्रश्न 29.
यदि दो समरूप त्रिभुजों की भुजाओं का अनुपात 3 : 2 है, तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात है-
(A) \(\sqrt{3}\) : \(\sqrt{2}\)
(B) 2 : 3
(C) 9 : 4
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(C) 9 : 4

प्रश्न 30.
त्रिभुज ABC और DEF समरूप हैं। यदि ΔABC का क्षेत्रफल = 16 cm², ΔDEF का क्षेत्रफल = 25 cm 2 और BC = 2.3 cm,
तो EF है-
(A) 2.875 cm
(C) 2.578 cm
(B) 2.758cm
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A) 2.875 cm

प्रश्न 31.
समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग अन्य दोनों भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। इस प्रमेय को कहा जाता है-
(A) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय
(B) पाइथागोरस प्रमेय
(C) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का विलोम
(D) पाइथागोरस प्रमेय का विलोम
हल :
(B) पाइथागोरस प्रमेय

प्रश्न 32.
किसी त्रिभुज में यदि एक भुजा का वर्ग अन्य दोनों भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो तो पहली भुजा के सामने का कोण समकोण होता है । यह है-
(A) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय
(B) पाइथागोरस प्रमेय
(C) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का विलोम
(D) पाइथागोरस प्रमेय का विलोम
हल :
(D) पाइथागोरस प्रमेय का विलोम

प्रश्न 33.
त्रिभुज ABC और DEF समरूप हैं। यदि AC = 19cm और DF = 8 cm, तो दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात है-
(A) \(\frac {19}{8}\)
(B) \(\frac {361}{64}\)
(C) \(\frac {38}{65}\)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(B) \(\frac {361}{64}\)

प्रश्न 34.
एक सीढ़ी इस प्रकार रखी है कि उसका निचला सिरा किसी दीवार से 5m दूर है और उसका ऊपरी सिरा एक खिड़की तक पहुँचता है, जो भूमि से 12m ऊँचाई पर है। सीढ़ी की लंबाई होगी-
(A) 13m
(B) 14m
(C) 15m
(D) 17 m
हल :
(A) 13m

प्रश्न 35.
यदि एक समबाहु त्रिभुज ABC इस प्रकार है कि AD ⊥ BC है तो AD² =
(A) 2 CD²
(B) 3 CD²
(C) 4 CD²
(D) \(\sqrt{3}\) CD²
हल :
(B) 3 CD²

प्रश्न 36.
एक सीढ़ी किसी दीवार पर इस प्रकार टिकी हुई है कि इसका निचला सिरा दीवार से 2.5 m की दूरी पर है तथा इसका ऊपरी सिरा भूमि से 6m की ऊँचाई पर बनी एक खिड़की तक पहुँचता है। सीढ़ी की लंबाई होगी-
(A) 8.5m
(B) 7.5m
(C) 6.5m
(D) 11.0m
हल :
(C) 6.5m

प्रश्न 37.
20m लंबी एक सीढ़ी एक भवन की खिड़की पर पहुँचती है, जो भूमि से 16m की ऊँचाई पर है । भवन से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी होगी-
(A) 13m
(B) 12m
(C) 14m
(D) 15m
हल :
(B) 12 m

प्रश्न 38.
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात 4 : 5 है, तो उनकी संगत भुजाओं का अनुपात है :
(A) 4 : 5
(B) 16 : 25
(C) 2 : \(\sqrt{5}\)
(D) 5 : 4
हल :
(C) 2 : \(\sqrt{5}\)

प्रश्न 39.
कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई हैं-
(i) 5 cm, 12 cm, 15 cm
(ii) 5 cm, 6 cm, 8 cm
(iii) 8 cm, 15 cm, 17 cm
इनमें से समकोण त्रिभुज है-
(A) (i)
(B) (ii)
(C) (iii)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(C) (iii)

प्रश्न 40.
एक आदमी उत्तर की ओर 7m जाता है और फिर पूर्व की ओर 24m जाता है । बताइए कि वह प्रारंभिक बिंदु से कितनी दूरी पर है ?
(A) 25m
(B) 17m
(C) 31m
(D) 24 m
हल :
(A) 25m

प्रश्न 41.
एक सीढ़ी सड़क के एक ओर 12m ऊँची खिड़की पर पहुँचती है। सीढ़ी के निचले सिरे को हटाए बिना वह सीढ़ी सड़क के दूसरी ओर 9m ऊँची खिड़की तक पहुँचती है। यदि सीढ़ी की लंबाई 15m हो, तो सड़क की चौड़ाई होगी-
(A) 3 m
(B) 21 m
(C) 27 m
(D) 24 m
हल :
(B) 21m

प्रश्न 42.
एक व्यक्ति एक निश्चित बिंदु से प्रथम पूर्व की ओर कुछ दूर चलता है तदोपरांत 12 m उत्तर की ओर जाता है और इस प्रकार वह अपनी प्रथम स्थिति से 13m की दूरी पर पहुँचता है। उसके द्वारा पूर्व दिशा में चली दूरी होगी-
(A) 25m
(B) 1m
(C) 5m
(D) 7m
हल :
(C) 5m

प्रश्न 43.
6m और 11 m लंबे दो खंभे समतल मैदान में गड़े हैं। यदि उनके निचले सिरों की दूरी 12m हो तो उनके ऊपरी सिरों के बीच की दूरी होगी-
(A) 17m
(B) 11m
(C) 12 m
(D) 13m
हल :
(D) 13m

प्रश्न 44.
5 m तथा 8 m ऊँचाई के दो खंभे एक समान तल पर खड़े हुए हैं। यदि उनके निचले सिरों के मध्य की दूरी 4 m हो तो उनके ऊपरी सिरों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए ।
(A) 5m
(B) 4m
(C) 3m
(D) 8m
हल :
(A) 5m

प्रश्न 45.
ΔABC एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है । यदि ∠ACB = 90° तथा AB = 5 √2 cm हो तो AC का मान होगा-
(A) 4 cm
(B) 5 cm
(C) 10 cm
(D) 7.5 cm
हल :
(B) 5 cm

प्रश्न 46.
किसी समबाहु त्रिभुज में उसकी एक भुजा के वर्ग का तीन गुना उसके शीर्षलम्ब के वर्ग के …………….. गुने के बराबर होता है ।
(A) दुगुने
(B) तीन
(C) चार
(D) पाँच
हल :
(C) चार

प्रश्न 47.
ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D भुजा BC का मध्य-बिन्दु है । त्रिभुजों ABC और BDE के क्षेत्रफलों का अनुपात है-
(A) 1 : 4
(B) 1 : 2
(C) 2 : 1
(D) 4 : 1
हल :
(D) 4 : 1

प्रश्न 48.
ΔABC में AD, ∠BAC का समद्विभाजक है। यदि AB = 6 cm, AC = 5 cm व BD = 3 cm हो तो DC का मान होगा-
(A) 11.3 cm
(B) 2.5 cm
(C) 3.0 cm
(D) 5.5 cm
हल :
(B) 2.5 cm

प्रश्न 49.
यदि आकृति में AD, ∠A को समद्विभाजित करता है तथा AB = 12 cm, AC = 20 cm और BD = 5 cm हो, तो CD का मान होगा-
(A) 5.33 cm,
(B) 6.33 cm
(C) 7.33 cm
(D) 8.33 cm
हल :
(D) 8.33 cm

प्रश्न 50.
निम्नांकित आकृति में AD, ∠A का अर्द्धक है। यदि BD = 4 cm, DC = 3 cm और AB = 6 cm हो, तो AC का मान होगा-

(A) 4.5 cm
(B) 6.0 cm
(C) 9.0 cm
(D) 3.0 cm
हल :
(A) 4.5 cm

प्रश्न 51.
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात 5:3 है, तो उनकी संगत भुजाओं का अनुपात है : [ 2018 (Set-A)]
(A) 5 : 3
(B) 3 : 5
(C) \(\sqrt{5}\) : \(\sqrt{3}\)
(D) \(\sqrt{3}\) : \(\sqrt{5}\)
हल :
(C) \(\sqrt{5}\) : \(\sqrt{3}\)

प्रश्न 52.
कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई हैं-
(i) 3 cm, 4 cm, 6 cm
(ii) 5 cm, 12 cm, 16 cm
(iii) 8 cm, 15 cm, 17 cm
इनमें से समकोण त्रिभुज है-
(A) (i)
(B) (ii)
(C) (iii)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(C) (iii)

प्रश्न 53.
ΔABC में AD, ∠BAC का समद्विभाजक है। यदि AB = 10cm, AC = 14 cm व BD = 2.5 cm हो तो DC की लंबाई होगी-
(A) 7.0 cm
(B) 14.0 cm
(C) 3.5 cm
(D) 28.0 cm
हल :
(C) 3.5 cm

प्रश्न 54.
दो समरूप त्रिभुजों की संगत माध्यिकाओं का अनुपात 4 : 9 है, तो त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात है-

(A) 2 : 3
(B) 4 : 9
(C) 16 : 81
(D) 81 : 16
हल :
(C) 16 : 81