HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 12 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.2

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 12 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल Exercise 12.2

प्रश्न 1.
6cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण 60° है।
हल :
यहाँ पर, – वृत्त की त्रिज्या (r) = 6cm
त्रिज्यखंड का कोण (θ) = 60°
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \(\frac{\theta}{360}\) × πr²
= \(\frac{60}{360} \times \frac{22}{7}\) × 6 × 6 cm²
= \(\frac{132}{7}\) cm²

प्रश्न 2.
एक वृत्त, के चतुर्थांश (quadrant) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी परिधि 22cm है।
हल :
यहाँ पर,
माना वृत्त की त्रिज्या = r cm
वृत्त की परिधि = 22 cm
2πr = 22 cm

प्रश्न 3.
एक घड़ी की मिनट की सुई जिसकी लंबाई 14cm है। इस सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर घड़ी की मिनट की सुई की लंबाई (r) = 14cm
360 5 मिनट में मिनट की सुई द्वारा तय कोण (θ) = \(\frac{360}{60}\) × 5 = 30°
अतः मिनट की सुई द्वारा 5 मिनट में
रचित क्षेत्रफल = \(\frac{\theta}{360}\) × πr²
= \(\frac{30}{360} \times \frac{22}{7}\) × 14 x 14 cm²
= \(\frac{154}{3}\) cm²

प्रश्न 4.
10cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर एक समकोण अंतरित करती है। निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए-
(i) संगत लघु वृत्तखंड (ii) संगत दीर्घ त्रिज्यखंड (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए।)
हल :

यहाँ पर – वृत्त की त्रिज्या (7) = 10cm
माना जीवा AB द्वारा वृत्त के केंद्र पर
अंतरित कोण (θ₁) = 90°
लघु वृत्तखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण (θ₁) = 90°
तथा दीर्घ वृत्तखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण (θ₂) = 360° – 90°
= 270°

(i) संगत लघु वृत्तखंड APB का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड OAPB का क्षेत्रफल – त्रिभुज AOB का क्षेत्रफल
= \(\frac{\theta_{1}}{360} \times \pi r^{2}-\frac{1}{2}\) × OA × OB
= \(\frac{90}{360}\) × 3.14 × 10 × 10 – \(\frac{1}{2}\) × 10 × 10]cm²
= [78.5 – 50]cm² = 28.5cm²

(ii) संगत दीर्घखंड OAQB का क्षेत्रफल = \(\frac{\theta_{2}}{360} \times \pi r^{2}\)
= \(\frac{270}{360}\) × 3.14 × 10 × 10 cm²
= 235.5 cm²

प्रश्न 5.
त्रिज्या 21cm वाले वृत्त का एक चाप केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करता है। ज्ञात कीजिए-
(i) चाप की लंबाई
(ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
(iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखंड का क्षेत्रफल
हल :
यहाँ पर
वृत्त की त्रिज्या (r) = 21cm
चाप APB द्वारा केंद्र पर
अंतरित कोण (θ) = 60°
(i) चाप APB की लंबाई = \(\frac{\theta}{360}\) × 2πr
= \(\frac{60}{360} \times 2 \times \frac{22}{7}\) × 21 cm
= 22cm

(ii) त्रिज्यखंड OAPB का क्षेत्रफल = \(\frac{\theta}{360}\) × πr²
= \(\frac{60}{360} \times \frac{22}{7}\) × 21 × 21 cm²
= 231 cm²

(iii) त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) r²sinθ
= \(\frac{1}{2}\) × 21 × 21 × sin 60°
= \(\frac{1}{2}\) × 441 × \(\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{~cm}^{2}=\frac{441 \sqrt{3}}{4} \mathrm{~cm}^{2}\)
संगत जीवा AB द्वारा बनाए गए छायांकित वृत्तखंड का क्षेत्रफल = (त्रिज्यखंड OAPB – त्रिभुज OAB) का क्षेत्रफल
= ( 231 – \(\frac{441}{4} \sqrt{3}\))cm²

प्रश्न 6.
15cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करती है। संगत लघु और दीर्घ वृत्तखंडों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(π = 3.14 और √3 = 1.73 का प्रयोग कीजिए।)
हल :

यहाँ पर, वृत्त की त्रिज्या (r) = 15cm
माना जीवा AB द्वारा केंद्र पर ।
अंतरित कोण (θ) = 60°
लघु त्रिज्याखंड OAPB का क्षेत्रफल = \(\frac{\theta}{360}\) × πr²
= \(\frac{60}{360}\) × 3.14 × 15 × 15 cm²
= 117.75 cm²

त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) r²sin θ
= \(\frac{1}{2}\) × 15 × 15 × sin 60°
= \(\frac{225}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}\) cm²
= \(\frac{225 \times 1.73}{4}\) cm²
= 97.3125 cm²

वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
= 3.14 × 15 × 15 cm²
= 706.5 cm²

(i) लघु वृत्तखंड APB का क्षेत्रफल = (त्रिज्यखंड OAPB – त्रिभुज OAB) का क्षेत्रफल
= (117.75 – 97.3125) cm²
= 20.4375 cm2 उत्तर दीर्घ वृत्तखंड AQB का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल – लघुखंड का क्षेत्रफल
= (706.5 – 20.4375) cm²
= 686.0625 cm²

प्रश्न 7.
त्रिज्या 12cm वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर 120° का कोण अंतरित करती है। संगत वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(π = 3.14 और √3 = 1.73 का प्रयोग कीजिए।)
हल :

यहाँ पर,
वृत्त की त्रिज्या (r) = 12cm
जीवा AB द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण (θ) = 120°
त्रिज्यखंड OAPB का क्षेत्रफल = \(\frac{\theta}{360}\) × πr²
= \(\frac{120}{360}\) × 3.14 × 12 × 12 cm²
= 150.72 cm²
त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल = r² sin\(\frac{\theta}{2}\) . cos\(\frac{\theta}{2}\)
= 12 × 12 × \(\sin \frac{120^{\circ}}{2} \cdot \cos \frac{120^{\circ}}{2}\)
= 144 × sin60°. cos60°
= 144 × \(\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2}\) cm²
= 36 × 1.73 cm² = 62.28 cm²
संगत लघु वृत्तखंड APB (छायांकित)का क्षेत्रफल = (त्रिज्यखंड OAPB – त्रिभुज OAB) का क्षेत्रफल
= (150.72 – 62.28) cm²
= 88.44 cm²

प्रश्न 8.
15m भुजा वाले एक वर्गाकार घास के मैदान के एक कोने पर लगे खूटे से एक Awadhan घोड़े को 5 m लंबी रस्सी से बाँध दिया गया है (देखिए संलग्न आकृति)। ज्ञात कीजिए
(i) मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ घोड़ा घास चर सकता है।
(ii) चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि, यदि घोड़े को 5 m लंबी रस्सी के स्थान पर 10m लंबी रस्सी से बाँध दिया जाए। (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए।)
हल :

(i) पहली अवस्था में, मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ तक घोड़ा चर सकता है
= \(\frac{\pi r^{2}}{4}=\frac{1}{4}\) × 3.14 × 5 × 5 m²
= \(\frac{78.5}{4}\) m² = 19.625m²

(ii) दूसरी अवस्था में,
मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ तक घोड़ा चर सकता है
= \(\frac{\pi \mathrm{R}^{2}}{4}=\frac{1}{4}\) × 3.14 × 10 ×10 m²
= \(\frac{314}{4}\) = m² = 78.5m²
अतः दूसरी अवस्था में चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि = (78.5 — 19.625)m²
= 58.875m²

प्रश्न 9.
एक वृत्ताकार ब्रूच (brooch) को चाँदी के तार से बनाया जाना है जिसका व्यास 35mm है। तार को वृत्त के 5 व्यासों को बनाने में भी प्रयुक्त किया गया है जो उसे 10 बराबर त्रिज्यखंडों में विभाजित करता है जैसा कि संलग्न आकृति में दर्शाया गया है। तो ज्ञात कीजिए
(i) कुल वांछित चाँदी के तार की लंबाई
(ii) बेच के प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

हल :
(i) यहाँ पर, वृत्ताकार ब्रूच का व्यास (d) = 35mm
वृत्ताकार ब्रूच की त्रिज्या (r) = \(\frac{d}{2}=\frac{35}{2}\) = 35mm
∴ वृत्ताकार ब्रूच की परिधि के लिए आवश्यक चाँदी की तार की लंबाई = 2πr
= 2 × \(\frac{22}{7} \times \frac{35}{2}\) mm = 110 mm .
10 बराबर त्रिज्यखंडों में बाँटने के लिए 5 व्यासों की लंबाई के लिए आवश्यक चाँदी की तार = 35 × 5mm = 175mm
अतः कुल आवश्यक चाँदी की तार की लंबाई = (110 + 175)mm == 285 mm

(ii) यहाँ पर, वृत्ताकार ब्रूच के प्रत्येक त्रिज्यखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण (θ) = \(\frac{360^{\circ}}{10}\) = 36°
वृत्ताकार ब्रूच के प्रत्येक त्रिज्यखंड की त्रिज्या (r) = \(\frac{35}{2}\) mm
अतः वृत्ताकार ब्रूच के प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \(\frac{\theta}{360}\) × πr²
= \(\frac{36}{360} \times \frac{22}{7} \times \frac{35}{2} \times \frac{35}{2}\) mm²
= \(\frac{385}{4}\) mm²

प्रश्न 10.
एक छतरी में आठ ताने हैं, जो बराबर दूरी पर लगे हुए हैं (देखिए संलग्न आकृति)। छतरी को 45cm त्रिज्या वाला एक सपाट वृत्त मानते हुए, इसकी दो क्रमागत तानों के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :
यहाँ पर,
छतरी के दो क्रमागत तानों के बीच त्रिज्यखंड द्वारा केंद्र पर
अंतरित कोण (θ) = \(\frac{360^{\circ}}{8}\) = 45°
छतरी के वृत्ताकार भाग की त्रिज्या (r) = 45cm
अतः छतरी के दो क्रमागत तानों के बीच त्रिज्यखंड का क्षेत्र = \(\frac{\theta}{360}\) × πr²
= \(\frac{22}{7}\) × 45 cm²
= \(\frac{22275}{28}\) ² = 795.53 cm²

प्रश्न 11.
किसी कार के दो वाइपर (Wipers) हैं, परस्पर कभी आच्छादित नहीं होते हैं। प्रत्येक वाइपर की पत्ती की लंबाई 25cm है और 115° के कोण तक घूम कर सफाई कर सकता है। पत्तियों की प्रत्येक बुहार के साथ जितना क्षेत्रफल साफ हो जाता है, वह ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर, कार का प्रत्येक वाइपर जितने त्रिज्यखंड वाले वृत्त के क्षेत्र को साफ कर सकता है। इसके लिए,
त्रिज्या (r) = 25cm
त्रिज्यखंड कोण (θ) = 115°
क्षेत्रफल (A) = \(\frac{\theta}{360}\) × πr²
= \(\frac{115}{360} \times \frac{22}{7}\) × 25 × 25 cm²
= \(\frac{158125}{252}\) cm² = 627.48 cm²

प्रश्न 12.
जहाज़ों को समुद्र में जलस्तर के नीचे स्थित चट्टानों की चेतावनी देने के लिए, एक लाइट हाउस (light house) 80° कोण वाले एक त्रिज्यखंड में 16.5km की दूरी तक लाल रंग का प्रकाश फैलाता है। समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसमें जहाज़ों को चेतावनी दी जा सके। (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए।)
हल :
यहाँ पर,
लाइट हाउस द्वारा चेतावनी देने वाले त्रिज्यखंड की त्रिज्या (r) = 16.5 km
लाइट हाउस द्वारा चेतावनी देने वाले त्रिज्यखंड का कोण (θ) = 80°
लाइट हाउस द्वारा चेतावनी देने वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (A) = \(\frac{\theta}{360}\) × πr²
= \(\frac{80}{360}\) × 3.14 × 16.5 × 16.5 km²
= \(\frac{1709.73}{9}\) km²
= 189.97 km²

प्रश्न 13.
एक गोल मेज़पोश पर छः समान डिज़ाइन बने हुए हैं जैसाकि संलग्न आकृति में दर्शाया गया है। यदि मेज़पोश की त्रिज्या 28cm है, तो 0.35 रु० प्रति वर्ग सेंटीमीटर की दर से इन डिज़ाइनों को बनाने की लागत ज्ञात कीजिए।
(√3 = 1.7 का प्रयोग कीजिए।)

हल :
यहाँ पर,
मेज़पोश के प्रत्येक डिजाइन की जीवा द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण (θ) = \(\frac{360^{\circ}}{6}\) = 60°
मेज़पोश की त्रिज्या (r) = 28cm

= [410.67 – 333.20]cm²
= 77.47 cm²
अतः मेज़पोश के डिजाइन का कुल क्षेत्रफल = 6 × प्रत्येक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
= 6 × 77.47 cm²
= 464:82 cm²
1 cm² डिजाइन को बनाने की लागत = 0.35 रु०
464.82 cm² डिजाइन को बनाने की लागत = 464.82 × 0.35 रु०
= 162.68 रु०

प्रश्न 14.
निम्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए-
त्रिज्या R वाले वृत्त के उस त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल जिसका कोण p° है, निम्नलिखित है-
(A) \(\frac{p}{180}\) × 2πR
(B) \(\frac{p}{180}\) × πR²
(C) \(\frac{p}{360}\) × 2πR
(D) \(\frac{p}{720}\) × 2πR²
हल :
यहाँ पर, वृत्त के त्रिज्यखंड की त्रिज्या (7) = R
वृत्त के त्रिज्यखंड का कोण (θ) = P
वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (A) = \(\frac{\theta}{360}\) × πr² = \(\frac{p}{360}\) × πR²
= \(\frac{p}{360 \times 2}\) × 2πR² [दोनों ओर 2 से गुणा करने पर]
= \(\frac{p}{720}\) × πR²
अतः अभीष्ट सही उत्तर = D