Class 10

Haryana Board HBSE 10th Class Social Science Important Questions

HBSE 10th Class Social Science Important Questions in English Medium

HBSE 10th Class History Important Questions

• Chapter 1 The Rise of Nationalism in Europe Important Questions
• Chapter 2 Nationalism in India Important Questions
• Chapter 3 The Making of a Global World Important Questions
• Chapter 4 The Age of Industrialisation Important Questions
• Chapter 5 Print Culture and the Modern World Important Questions

HBSE 10th Class Geography Important Questions

• Chapter 1 Resource and Development Important Questions
• Chapter 2 Forest and Wildlife Resources Important Questions
• Chapter 3 Water Resources Important Questions
• Chapter 4 Agriculture Important Questions
• Chapter 5 Minerals and Energy Resources Important Questions
• Chapter 6 Manufacturing Industries Important Questions
• Chapter 7 Lifelines of National Economy Important Questions

HBSE 10th Class Civics Important Questions

• Chapter 1 Power Sharing Important Questions
• Chapter 2 Federalism Important Questions
• Chapter 3 Democracy and Diversity Important Questions
• Chapter 4 Gender Religion and Caste Important Questions
• Chapter 5 Popular Struggles and Movements Important Questions
• Chapter 6 Political Parties Important Questions
• Chapter 7 Outcomes of Democracy Important Questions
• Chapter 8 Challenges to Democracy Important Questions

HBSE 10th Class Economics Important Questions

• Chapter 1 Development Important Questions
• Chapter 2 Sectors of Indian Economy Important Questions
• Chapter 3 Money and Credit Important Questions
• Chapter 4 Globalisation and the Indian Economy Important Questions
• Chapter 5 Consumer Rights Important Questions

HBSE 10th Class Social Science Important Questions in Hindi Medium

HBSE 10th Class History Important Questions in Hindi

• Chapter 1 यूरोप में राष्ट्रवाद का उदय Important Questions
• Chapter 2 इंडो-चाइना में राष्ट्रवादी आंदोलन Important Questions
• Chapter 3 भारत में राष्ट्रवाद Important Questions
• Chapter 4 भूमंडलीकृत विश्व का बनना Important Questions
• Chapter 5 औद्योगीकरण का युग Important Questions
• Chapter 6 काम, आराम और जीवन Important Questions
• Chapter 7 मुद्रण संस्कृति और आधुनिक दुनिया Important Questions
• Chapter 8 उपन्यास, समाज और इतिहास Important Questions

HBSE 10th Class Geography Important Questions in Hindi

• Chapter 1 संसाधन एवं विकास Important Questions
• Chapter 2 वन और वन्य जीव संसाधन Important Questions
• Chapter 3 जल संसाधन Important Questions
• Chapter 4 कृषि Important Questions
• Chapter 5 खनिज और ऊर्जा संसाधन Important Questions
• Chapter 6 विनिर्माण उद्योग Important Questions
• Chapter 7 राष्ट्रीय अर्थव्यवस्था की जीवन रेखाएँ Important Questions

HBSE 10th Class Civics Important Questions in Hindi

• Chapter 1 सत्ता की साझेदारी Important Questions
• Chapter 2 संघवाद Important Questions
• Chapter 3 लोकतंत्र और विविधता Important Questions
• Chapter 4 जाति, धर्म और लैंगिक मसले Important Questions
• Chapter 5 जन-संघर्ष और आंदोलन Important Questions
• Chapter 6 राजनीतिक दल Important Questions
• Chapter 7 लोकतंत्र के परिणाम Important Questions
• Chapter 8 लोकतंत्र की चुनौतियाँ Important Questions

HBSE 10th Class Economics Important Questions in Hindi

• Chapter 1 विकास Important Questions
• Chapter 2 भारतीय अर्थव्यवस्था के क्षेत्रक Important Questions
• Chapter 3 मुद्रा और साख Important Questions
• Chapter 4 वैश्वीकरण और भारतीय अर्थव्यवस्था Important Questions
• Chapter 5 उपभोक्ता अधिकार Important Questions

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Exercise 8.4

प्रश्न 1.
त्रिकोणमितीय अनुपातों sin A, sec A और tan A को cotA के पदों में व्यक्त कीजिए।
हल :
हम जानते हैं कि
cot²A+ 1 = cosec²A

प्रश्न 2.
∠A के अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को secA के पदों में लिखिए।
हल :
हम जानते हैं कि

प्रश्न 3.
मान निकालिए-
(i) \(\frac{\sin ^{2} 63^{\circ}+\sin ^{2} 27^{\circ}}{\cos ^{2} 17^{\circ}+\cos ^{2} 73^{\circ}}\)
(ii) sin 25° cos 65° + cos 25° sin 650.
हल :
(i) \(\frac{\sin ^{2} 63^{\circ}+\sin ^{2} 27^{\circ}}{\cos ^{2} 17^{\circ}+\cos ^{2} 73^{\circ}}\)
= \(\frac{\cos ^{2} 27^{\circ}+\sin ^{2} 27^{\circ}}{\sin ^{2} 73^{\circ}+\cos ^{2} 73^{\circ}}\)
= 1/1 [∵ sinθ + cosθ = 1]
= 1

(ii) sin 25°.cos 65° + cos 25°.sin 65°
= sin (90° – 65°).cos 65° + cos (90° -65°).sin 65°
= cos 65°.cos.65° + sin 65°.sin 65°
= cos²65° + sin² 65° = 1

प्रश्न 4.
सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प की पुष्टि कीजिए-
(i) 9 sec²A – 9 tan²A बराबर है.
(A) 1
(B) 9
(C) 8
(D) 0

(ii) (1 + tanθ + secθ) (1 + cotθ – cosecθ) बराबर है-
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) -1

(iii) (sec A+ tan A) (1 – sin A) बराबर है-
(A) sec A
(B) sin A
(C) cosec A
(D) cos A

(iv) \(\frac{1+\tan ^{2} A}{1+\cot ^{2} A}\) बराबर है-
(A) sec² A
(B)-1
(C) cot² A
(D) tan² A.
हल :
9 sec² A – 9 tan² A = 9 (tan² A + 1) – 9 tan² A
= 9 tan² A + 9 – 9 tan² A.
= 9
अतः सही विकल्प = B

(ii) (1 + tanθ + secθ) (1 + cotθ – cosecθ)

अतः सही विकल्प = C

(iii) (sec A+ tan A) (1 – sin A)

अतः सही विकल्प = D

(iv)

अतः सही विकल्प = D

प्रश्न 5.
निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ सिद्ध कीजिए, जहाँ वे कोण, जिनके लिए व्यंजक परिभाषित है, न्यून कोण है
(i) (cosec θ – cot θ)² = \(\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}\)
(ii) \(\frac{\cos A}{1+\sin A}+\frac{1+\sin A}{\cos A}=2 \sec A\)
(iii) \(\frac{\tan \theta}{1-\cot \theta}+\frac{\cot \theta}{1-\tan \theta}\) = 1 + sec θ cosec θ
(iv) \(\frac{1+\sec A}{\sec A}=\frac{\sin ^{2} A}{1-\cos A}\)
सर्वसमिका cosec² A = 1 + cot² A को लागू करके
\(\frac{\cos A-\sin A+1}{\cos A+\sin A-1}\) = cosec A+ cot A
(vi) \(\sqrt{\frac{1+\sin \mathrm{A}}{1-\sin \mathrm{A}}}\) = sec A + tan A
(vii) \(\frac{\sin \theta-2 \sin ^{3} \theta}{2 \cos ^{3} \theta-\cos \theta}\) = tan θ
(viii) (sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)² = 7 + tan² A+ cot² A
(ix) (cosec A-sin A) (sec A- cos A) = \(\frac{1}{\tan A+\cot A}\)
(x) \(\left(\frac{1+\tan ^{2} A}{1+\cot ^{2} A}\right)=\left(\frac{1-\tan A}{1-\cot A}\right)^{2}\) = tan²A

(i) यहाँ पर,
= (cosec θ – cot θ)²

(ii) यहाँ पर,

(iii) यहाँ पर,

(iv) यहाँ पर,

(v) यहाँ पर,

(vi) यहाँ पर,

(vii) यहाँ पर,

(viii) यहाँ पर,
बायाँ पक्ष = (sin A+ cosec A)² + (cos A + sec A)²
= sin² A + cosec² A + 2 sin A.cosec A + cos² A + sec² A + 2cos A.sec A
= (sin² A + cos² A) + 2 sin A. cosec A + 2cosA. sec A + cosec² A + sec² A
= 1+2 sin A. \(\frac{1}{\sin A}\) + 2 cos A. \(\frac{1}{\cos A}\)
+(cot² A + 1) + (tan² A + 1)
= 1 + 2 + 2 + cot² A + 1 + tan² A + 1
= 7 + tan² A + cot² A = दायाँ पक्ष

(ix) यहाँ पर,
बायाँ पक्ष = (cosec A- sin A) (sec A- cos A)

(x) यहाँ पर,

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Exercise 7.4

प्रश्न 1.
बिंदुओं A(2,-2) और B(3, 7) को जोड़ने वाले रेखाखंड को रेखा 2x +y-4 = 0 जिस अनुपात में विभाजित करती है उसे ज्ञात कीजिए।
हल :
माना रेखा 2x + y – 43 = 0 बिंदुओं A (2,-2) और B (3,7) को जोड़ने वाले रेखाखंड को बिंदु P पर k:1 के अनुपात में विभाजित करती है, तो

या 2 (3k + 2) + (7k-2)-4 (k+ 1) = 0
या 6k + 4 + 7k – 2 – 4k – 4 = 0
या 9k – 2 = 0
या 9k = 2
या k = \(\frac{2}{9}\)
अतः वांछित अनुपात = 2 : 9

प्रश्न 2.
x और ” में एक संबंध ज्ञात कीजिए, यदि बिंदु (x,y), (1, 2) और (7,0) सरेखी हैं।
हल :
A(x,y), B(1,2) और (7,0) संरेखी बिंदु तभी होंगे जब इनसे बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होगा।
\(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
या \(\frac{1}{2}\)[x(2 – 0)+1(0 – y)+7(y -2)] = 0
या \(\frac{1}{2}\)[2x – 1(y – y) + 7y – 14] = 0
या \(\frac{1}{2}\)[[2x + 6y – 14] = 0
x + 3y – 7 = 0

प्रश्न 3.
बिंदुओं (6,-6), (3,-7) और (3, 3) से होकर जाने वाले वृत्त का केंद्र ज्ञात कीजिए।
हल :

माना O(x, y) उस वृत्त का केंद्र है जो बिंदुओं
A (6-6), B (3-7) तथा C (3, 3), A (6,-6) से होकर जाता है, तो OA = OB = OC (वृत्त की त्रिज्याएँ)
(OA)² = (OB)² = (OC)²
(OA)² = (OB)²
(x-6)² + (y + 6)² = (x – 3)²+ (y + 7)²
x² + 36 – 12x + 12 + 36 + 12 = x² + y² + 9 – 6x + y² + 49 + 14y
x² + y² + 12y – 12x + 72 = x² + y² – 6x + 14y + 58
12y- 12x + 6x – 14y = 58 – 72
-6x – 2y= – 14
3x + y = 7 (दोनों ओर – 2 भाग करने पर)
इसी प्रकार (OB)² = (OC)²
(x -3)² + (y+ 7)² = (x – 3)² + (y – 3)²
या y² + 49 + 14y = y² + 9 – 6y
या 14y + 6y = 9-49
या 20y = – 40
या y = -40/20 = -2
y का मान समीकरण (i) में रखने पर
3x – 2 = 7
या 3x = 7 + 2
x = \(\frac{9}{3}\) = 3
अतः वृत्त का केंद्र 0 (3, -2) है।

प्रश्न 4.
किसी वर्ग के दो सम्मुख शीर्ष (-1, 2) और (3, 2) हैं। वर्ग के अन्य दोनों शीर्ष ज्ञात कीजिए।
हल :

माना A(-1, 2) तथा C (3, 2) दिए गए वर्ग ABCD के दो सम्मुख शीर्ष हैं तथा B (x, y) एक अज्ञात शीर्ष है, तो
AB = BC
AB² = BC²
(x + 1)² + (y – 2)² = (x – 3)² + (y – 2)²
x² + 1 + 2x + y² + 4 – 4y = x² + 9 – 6x + y² + 4 – 4y
2x – 4y + 6x + 4y = 13 -5
8x = 8
x = \(\frac{8}{8}\) = 1

इसी प्रकार AB² + BC² = AC² [:: ZB = 90°]
(x + 1)² + (y – 2)² + (x – 3)² + (y – 2)² = (3 + 1)² + (2 – 2)²
x² + 1 + 2x + y² + 4 – 4y + x² + 9 – 6x + y² + 4 – 4y = 16
2x² + 2y² – 4x – 8y = 16 – 18
2x² + 2y² – 4x – 8y = -2
x² + y² – 2x – 4y = – 1 (दोनों ओर 2 से भाग करने पर)
x = 1 प्रतिस्थापित करने पर
(1)² + y² – 2 (1) – 4y = -1
1 + y² – 2 – 4y + 1 = 0
y² – 4y = 0
y(y – 4)= 0
y = 0 या y -4 = 0
y = 0 या y = 4
अतः वर्ग के अन्य शीर्ष (1,0) व (1, 4) हैं।

प्रश्न 5.
कृष्णानगर के एक सेकेंडरी स्कूल के कक्षा X के विद्यार्थियों को उनके बागवानी क्रियाकलाप के लिए, एक आयताकार भूखंड दिया गया है। गुलमोहर की पौध (sapling) को परस्पर 1 m की दूरी पर इस भूखंड की परिसीमा (boundary) पर लगाया जाता है। इस भूखंड के अंदर एक त्रिभुजाकार घास लगा हुआ लॉन (Lawn) है, जैसाकि संलग्नआकृति में दर्शाया गया है। विद्यार्थियों को भूखंड के शेष भाग में फूलों के पौधे के बीज बोने हैं।
(i) A को मूलबिंदु मानते हुए, त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(ii) यदि मूलबिंदु C हो, तो APQR के शीर्षों के निर्देशांक क्या होंगे? . साथ ही, उपरोक्त दोनों स्थितियों में, त्रिभुजों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। आप क्या सोचते हैं?

हल :
(i) प्रश्नानुसार A मूलबिंदु तथा AD को x-अक्ष व AB को y-अक्ष मानते हुए त्रिभुज PQR के शीर्षों के निर्देशांक होंगे- P(4, 6), Q (3, 2) व R (6, 5)
यहाँ पर x₁ = 4, y₁ = 6, x₂ = 3, y₂ = 2, x₃ = 6, y₃ = 5
∆POR का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[4(2- 5)+3(5-6)+6(6-2)]
= \(\frac{1}{2}\)[(4) (-3) + (3)(-1)+6 (4)]
= \(\frac{1}{2}\)[-12 – 3 + 24]
=\(\frac{1}{2}\) x 9 = 4.5 वर्ग मात्रक

(ii) यदि C को मूलबिंदु तथा CB तथा CD को x-अक्ष व y-अक्ष मानें तो∆PQR के शीर्षों के निर्देशांक होंगे P(1, 2, 2), Q (13, 6) व R (10, 3)
यहाँ पर x₁ = 12, y₁ = 2, x₂ = 13, y₂ = 6, x₃ = 10,y₃ = 3
∆PQR का क्षेत्रफल =\(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[12(6-3)+13(3-2)+10 (2-6)]
= \(\frac{1}{2}\)[12 x 3 + 13 x 1 + 10(-4)]
= \(\frac{1}{2}\)[36 + 13 -40]
= \(\frac{1}{2}\) x 9 = 9/2 = 4.5 वर्ग मात्रक
अतः दोनों अवस्थाओं में त्रिभुज का क्षेत्रफल समान है।

प्रश्न 6.
एक त्रिभुज ABC के शीर्ष A(4, 6), B(1, 5) और C(7, 2) हैं। भुजाओं AB और AC को क्रमशः D और E पर प्रतिच्छेद करते हुए एक रेखा इस प्रकार खींची गई है कि \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}}=\frac{1}{4}\) है। ∆ADE का क्षेत्रफल परिकलित कीजिए और इसकी तुलना AABC के क्षेत्रफल से कीजिए।(प्रमेय 6.2 और प्रमेय 6.6 का स्मरण कीजिए।)
हल :

प्रश्नानुसार

अतः D और E, क्रमशः AB और AC को 1 : 3 के अनुपात में विभाजित करते हैं।
D के निर्देशांक

अब ΔADB के क्षेत्रफल के लिए
x₁ = 4, y₁ = 6, x₂ = 13/4, y₂ = 23/4 x₃ = 19/4 y₃ = 5
∴ ΔADE का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]

ΔABC का क्षेत्रफल के लिए-
x₁ = 4, y₁ = 6, x₂ = 1, y₂ = 5 x₃ = 7 y₃ = 2
ΔABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\) [4(5 – 2) + 1(2-6) + 7(6-5)]
= \(\frac{1}{2}\)[12-4+7]
= \(\frac{1}{2}\) – 15 = 15/2 वर्ग मात्रक

ΔADE का क्षेत्रफल : ΔABC का क्षेत्रफल = 1 : 16

प्रश्न 7.
मान लीजिए A(4, 2), B(6, 5) और C(1, 4) एक त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं।
(i) A से होकर जाने वाली माध्यिका BC से D पर मिलती है। बिंदु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(ii)AD पर स्थित ऐसे बिंदु Pके निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि AP : PD = 2 : 1 हो।
(iii) माध्यिकाओं BE और CF पर ऐसे बिंदुओ Q और R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि BQ : OE = 2:1 हो और CR : RF = 2 : 1 हो।
(iv) आप क्या देखते हैं?
[नोट : वह बिंदु जो तीनों माध्यिकाओं में सार्वनिष्ठ हो, उस त्रिभुज का केंद्रक (centroid) कहलाता है और वह प्रत्येक माध्यिका को 2 :1 के अनुपात में विभाजित करता है।
(v) यदि A(x₁, y₁), B(x<sub<2, y₂) और C(x₃, y₃) त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं, तो इस त्रिभुज के केंद्रक के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल :
(i) क्योंकि A से होकर जाने वाली माध्यिका AD भुजा BC को D पर मिलती है इससे पता चलता है कि D, BC का मध्य-बिंदु है।

(ii) प्रश्नानुसार, AP : PD = 2 : 1

(iii) क्योंकि BE शीर्ष B से माध्यिका है इसलिए E, AC का मध्य-बिंदु होगा।


(iv) हम देखते हैं कि P, Q तथा R के निर्देशांक समान हैं। इसलिए P, Q तथा R एक ही बिंदु है। इसे त्रिभुज का केंद्रक कहते हैं।
(v) हम जानते हैं कि त्रिभुज का केंद्रक प्रत्येक माध्यिका को शीर्ष से 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है। माना D, BC
का मध्य-बिंदु है, तो D\(\mathrm{D}\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right)\)
माना G(x,y) त्रिभुज ABC का केंद्रक है तो AG : GD = 2 : 1

प्रश्न 8.
बिंदुओं A(-1,-1), B(-1, 4), C(5, 4) और D(5,-1) से एक आयत ABCD बनता है। P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं। क्या चतुर्भुज PQRS एक वर्ग है? क्या यह एक आयत है? क्या यह एक समचतुर्भुज है? सकारण उत्तर दीजिए।
हल :
यहाँ पर आयत ABCD के शीर्ष A(-1,-1), B(-1, 4), C(5,4) तथा D(5,-1) हैं। क्योंकि P, Q, R तथा S क्रमशः AB, BC, CD तथा DA के मध्य-बिंदु हैं इसलिए इनके निर्देशांक होंगे-


अब क्योंकि PQ = QR = RS = SP
परंतु PR ≠ Qs
∴ PQRS एक समचतुर्भुज है।

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Exercise 7.1

प्रश्न 1.
बिंदुओं के निम्नलिखित युग्मों के बीच की दूरियाँ ज्ञात कीजिए-
(i) (2,3), (4,1)
(ii) (-5, 7), (-1,3)
(iii) (a, b), (-a,-b)
हल :
(i) माना A(2, 3) व B(4, 1) है।
हम जानते हैं कि दो बिंदुओं के बीच की दूरी

(ii) माना A(-5, 7) व B(-1, 3) है।
हम जानते हैं कि दो बिंदुओं के बीच की दूरी

(iii) माना A(a, b) व B(-a,-b) है।
हम जानते हैं कि दो बिंदुओं के बीच की दूरी

प्रश्न 2.
बिंदुओं (0, 0) और (36, 15) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। क्या अब आप अनुच्छेद 7.2 में दिए दोनों शहरों A और B के बीच की दूरी ज्ञात कर सकते हैं ?
[अनुच्छेद 7.2 एक शहर B एक अन्य शहर A से 36 km पूर्व और 15 km उत्तर की ओर है तो शहर B की शहर A से दूरी ज्ञात कीजिए]
हल :

माना P (0, 0) व Q(36, 15) है।
हम जानते हैं कि दो बिंदुओं के बीच की दूरी

अनुच्छेद 7.2 के अनुसार शहर B की शहर A से दूरी = 39 km

प्रश्न 3.
निर्धारित कीजिए कि क्या बिंदु (1,5), (2, 3) और (-2,-11) सरेखी हैं।
हल :
माना तीनों बिंदु A(1, 5), B(2, 3) और C (-2, -11) हैं। ये बिंदु तभी संरेखी हो सकते हैं, जब दो रेखाखंडों की लंबाई का योग तीसरे रेखाखंड की लंबाई के समान हो।
अब दूरी सूत्र द्वारा,

समीकरण (i), (ii) व (iii) से स्पष्ट है कि किन्हीं दो रेखाखंडों का योग तीसरे रेखाखंड के समान नहीं है। अतः बिंदु (1, 5), (2, 3) व (-2, -11) संरेखी नहीं हैं।

प्रश्न 4.
जाँच कीजिए कि क्या बिंदु (5,-2), (6, 4) और (7,-2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
हल :
माना तीन बिंदु A(5,-2), B(6, 4) और C (7,-2) हैं। ये बिंदु तभी समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष होंगे, यदि किन्हीं दो रेखाखंडों की लंबाई समान होगी।
अतः दूरी सूत्र द्वारा,

समीकरण (i) व (ii) से स्पष्ट है कि AB = BC
अतः बिंदु (5, -2), (6, 4) व (7,-2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।

प्रश्न 5.
किसी कक्षा में, चार मित्र बिंदुओं A, B, C और
D पर बैठे हुए हैं, जैसाकि संलग्न आकृति में दर्शाया गया है। चंपा और चमेली कक्षा के अंदर आती हैं और कुछ मिनट तक देखने के बाद, चंपा चमेली से पूछती है, ‘क्या तुम नहीं सोचती हो कि ABCD एक वर्ग है?’ चमेली इससे सहमत नहीं है। दूरी सूत्र का प्रयोग करके, बताइए कि इनमें से कौन सा सही है।

हल :
यहाँ पर आकृति अनुसार, A(3, 4), B(6, 7), C(9, 4) व D(6, 1) हैं।
अब दूरी सूत्र से,


समीकरण (i), (ii), (iii), (iv), (v) व (vi)
भुजा AB = भुजा BC = भुजा CD = भुजा DA
तथा विकर्ण AC = विकर्ण BD
अतः बिंदु A, B, C व D एक वर्ग है, जिससे पता चलता है कि चंपा सही है।

प्रश्न 6.
निम्नलिखित बिंदुओं द्वारा बनने वाले चतुर्भुज का प्रकार (यदि कोई है तो) बताइए तथा अपने उत्तर के लिए कारण भी दीजिए
(i) (-1, -2), (1,0), (-1, 2), (-3,0)
(ii) (-3,5), (3, 1), (0, 3), (-1,-4)
(iii) (4, 5), (7,6), (4,3), (1, 2)
हल :
(i) माना दिए गए बिंदु A(-1,-2), B(1, 0), C(-1, 2), व D(-3, 0) हैं।
अब दूरी सूत्र से,

अतः AC = BD
क्योंकि चतुर्भुज की सभी भुजाएँ व विकर्ण समान हैं इसलिए ये बिंदु एक वर्ग के हैं।

(ii) माना दिए गए बिंदु A(-3, 5), B(3, 1), C(0, 3), व D(-1,-4) हैं।
अब दूरी सूत्र से,


भुजाओं के माप से पता चलता है कि ABCD चतुर्भुज संभव नहीं है।

(iii) माना दिए गए बिंदु A(4, 5), B(7, 6), C(4, 3), व D(1, 2) हैं।
अब दूरी सूत्र से,

क्योंकि AB = CD = \(\sqrt{10}\)
तथा BC = DA = \(\sqrt{18}\)
चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं।

क्योंकि AC ≠ BD
अतः ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।

प्रश्न 7.
x-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो (2,-5) और (-2, 9) से समदूरस्थ हैं।
हल :
माना x-अक्ष पर बिंदु A(x, 0) है जो B(2,-5) तथा C(-2, 9) से समदूरस्थ हैं।
AB = AC
AB² = AC²
(2-x)² + (-5-0)² = (-2-x)² + (9-0)²
4 + x² – 4x + 25 = 4 + x² + 4x + 81
29 – 85 = 4x + 4x
-56 = 8x
x = -56/8 =-7
अतः x-अक्ष पर वांछित बिंदु = (-7, 0)

प्रश्न 8.
y का वह मान ज्ञात कीजिए, जिसके लिए बिंदु P(2,-3) और Q(10,y) के बीच की दूरी 10 मात्रक है।
हल :
प्रश्नानुसार, P(2,-3), Q(10, y) तथा PQ = 10 मात्रक अब
PQ = 10
(PQ)² = 100
(10-2)² + (y + 3)² = 100
64 + y² +9+ 6y = 100
y² + 6y + 73 – 100 = 0
y² + 6y – 27 = 0
y + 9y – 3y – 27 = 0
y(y +9)-3(+ 9) = 0
(y + 9) (y – 3) = 0
y + 9 = 0 या y – 3 = 0
y = -9 या y = 3
अतः y का वांछित मान =-9 व 3 है।

प्रश्न 9.
यदि Q(0, 1) बिंदुओं P(5,-3) और Rx, 6) से समदूरस्थ है, तो x के मान ज्ञात कीजिए। दूरियाँ QR और PR भी ज्ञात कीजिए।
हल :
क्योंकि बिंदु Q(0, 1) बिंदुओं P(5,-3) व R(x, 6) से समदूरस्थ है।
PQ = RQ
PQ² = RQ²
(0-5)² + [1 – (-3)]² = (0 –x)² + (1 – 6)²
(-5) + (4)² = (-x) + (-5)²
25 + 16 = x² + 25
x² = 16
x = ±4
अतः R के निर्देशांक (±4, 6) हैं। .

प्रश्न 10.
x और ” में एक ऐसा संबंध ज्ञात कीजिए कि बिंदु (x,y) बिंदुओं (3, 6) और (-3, 4) से समदूरस्थ हो।
हल :
माना बिंदु P(x, y) बिंदुओं A(3, 6) व B(-3, 4) से समदूरस्थ है तो
AP = BP
AP² = BP²
(x-3)² + (y-6)² = [x – (-3)]² + (y-4)²
या x² + 9 – 6x + y² + 36 – 12y = x² + 9 + 6x + y² + 16 – 8y
या x² +y² – 6x – 12y + 45 = x² + y² + 6x – 8y + 25
या 6x + 6x – 8y + 12y + 25 – 45 = 0
या 12x + 4y – 20 = 0
या 3x + y – 5 = 0

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Exercise 5.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ियों का योग ज्ञात कीजिए
(i) 2, 7, 12, ………, 10 पदों तक
(ii) -37,-33,-29, ………, 12 पदों तक
(iii) 0.6, 1.7, 2.8,….., 100 पदों तक
(iv) \(\frac{1}{15}, \frac{1}{12}, \frac{1}{10}[/laex] ,…………….. 11 पदों तक
हल :
(i) यहाँ पर
AP = 2, 7, 12, ……..
प्रथम पद (a) = 2
सार्व अंतर (d) = 7 – 2 = 5
n = 10
हम जानते हैं कि
S_n = [latex]\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)
S₁₀ = \(\frac{1}{2}\)[2(2) + (10 – 15] .
5(4+ 45)
= 5 x 49 = 245

(ii) यहाँ पर
AP = -37,-33, -29, ……..
प्रथम पद (a) = -37
सार्व अंतर (d) = –33 – (-37) = -33 + 37 = 4
n = 12
हम जानते हैं कि
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)
S₁₂ = \(\frac{12}{2}\)[2(-37) + (12 – 1)4]
6(-74 +44)
= 6 x -30 = -180

(iii) यहाँ पर
AP = 0.6, 1.7, 2.8, …
प्रथम पद (a) = 0.6
सार्व अंतर (d) = 1.7-0.6 = 1.1
n = 100
हम जानते हैं कि
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)
S₁₀₀ =\(\frac{100}{2}\) [2(0.6) + (100 – 1)1.1]
= 50(1.2 + 108.9)
= 50 x 110.1 = 5505

(iv) यहाँ पर AP = \(\frac{1}{15}, \frac{1}{12}, \frac{1}{10}, \ldots \ldots\)

प्रश्न 2.
नीचे दिए हुए योगफलों को ज्ञात कीजिए-
(i) 7+ 10\(\frac{1}{2}\) + 14 + ….. + 84
(ii) 34+ 32 + 30+…… + 10
(iii) -5 + (-8) + (-11) + …… + (-230)
हल :
(i) यहाँ पर
AP = 7+ 10\(\frac{1}{2}\) + 14 + ….. + 84.
प्रथम पद (a) = 7
सार्व अंतर (d) = \(\frac{21}{2}-7=\frac{21-14}{2}=\frac{7}{2}\)
अंतिम पद (l) = 84
हम जानते हैं कि l = a + (n-1)d
84 = 7 + (n-1)\(\frac{7}{2}\)
n – 1 = (84-7) x \(\frac{2}{7}\)
n – 1 = 77 x \(\frac{2}{7}\)
n = 22 + 1 = 23
S_n = \(\frac{n}{2}\)[a + l] .
S₂₃ = \(\frac{23}{2}\)[7+ 84] .
= \(\frac{23}{2} \times 91=\frac{2093}{2}=1046 \frac{1}{2}\)

(ii) यहाँ पर
AP = 34 + 32 + 30 + …….. + 10
प्रथम पद (a) = 34
सार्व अंतर (a) = 32 – 34 = -2
अंतिम पद (l) = 10
हम जानते हैं कि l = a + (n– 1)d
10 = 34 + (n-1)(-2)
n – 1 = \(\frac{10-34}{-2}=\frac{-24}{-2}\) = 12
n = 12 + 1 = 13
S_n = \(\frac{n}{2}\)[a + l]
S₁₃ = \(\frac{13}{2}\)[34 + 10]
= \(\frac{13}{2}\) – 44 = 13 x 22 = 286 उत्तर

(iii) यहाँ पर
AP = (-5) + (-8) + (-11) + ……. + (-230)
प्रथम पद (a) = -5
सार्व अंतर (d) = -8 – (-5) =-8 + 5 =-3
अंतिम पद (l) = -230
हम जानते हैं कि l = a + (n-1)d
-230 = -5 + (n- 1)(-3)
n – 1 = \(\frac{-230+5}{-3}=\frac{-225}{-3}\) =75
n = 75 + 1 = 76
S_n = \(\frac{n}{2}\) = [a + l]
S₇₆ = \(\frac{76}{2}\) [-5+ (-230)]
= 38 x (-235) = -8930

प्रश्न 3.
एक AP में,
(i) a = 5, 4 = 3 और a_n = 50 दिया है। n और S_n ज्ञात कीजिए।
(ii) a = 7 और a₁₃ = 35 दिया है। d और S₁₃ ज्ञात कीजिए।
(iii) a₁₂ = 37 और d = 3 दिया है। a और S₁₂ ज्ञात कीजिए।
(iv) a₃ = 15 और S₁₀ = 125 दिया है। d और a₁₀ ज्ञात कीजिए।
(v) d = 5 और S₉ = 75 दिया है। a और a₉ ज्ञात कीजिए।
(vi) a = 2, d = 8 और S_n = 90 दिया है। n और a_n ज्ञात कीजिए।
(vii) a = 8, a_n = 62 और S_n = 210 दिया है। n और dज्ञात कीजिए।
(viii) a_n = 4, d = 2 और S_n = -14 दिया है। n और aज्ञात कीजिए।
(ix) a = 3, n= 8 और S = 192 दिया है। d ज्ञात कीजिए।
(x) 1 = 28, S = 144 और कुल 9 पद हैं। a ज्ञात कीजिए।
हल :
(i) यहाँ पर
a = 5, d = 3 ; a_n = 50
n= ? ; s_n = ?
हम जानते हैं कि
a_n = a+ (n-1)d
50 = 5+(n-1)(3)
n – 1 = \(\frac{50-5}{3}=\frac{45}{3}\) = 15
n = 15 +1 = 16
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a+(n-1)d]
S₁₆ \(\frac{16}{2}\)[2(5) + (16-1)(3)]
= 8[10 + 45] = 8 x 55 = 440
n = 16, S₁₆ = 440

(ii) यहाँ पर
a = 7, a₁₃ = 35, n = 13
d= ?; S₁₃ = ?
हम जानते हैं कि a_n = a + (n-1)d
a₁₃ = 7 + (13-1)d
35 – 7 = 12d
d = \(\frac{28}{12}=\frac{7}{3}\)
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n-1)d]
S_n = \(\frac{13}{2}\)[2(7) + (13-1)\(\frac{7}{3}\)]
= \(\frac{13}{2}\)[14 + 28] = \(\frac{13}{2}\) x 42 = 13 x 21 = 273
अतः d = -1 , S₁₃ = 273

(iii) यहाँ पर
a₁₂ = 37, d = 3
a=?; S₁₂ =?
हम जानते हैं कि
a_n = a+ (n-1)d
a₁₂ = a+ (12-1) (3)
37-33 = a
a = 4
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n-1)d]
S₁₂\(\frac{12}{2}\)2(4) + 12-1)(3)]
= 6[8 + 33]=6×41 = 246
अतः a = 4, S₁₂ = 246

(iv) यहाँ पर
a₃ = 15, S₁₀ = 125, n = 10
d= ?; a₁₀ =?
हम जानते हैं कि
s_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n-1)d]
S₁₀ = \(\frac{10}{2}\)[2a + (10 -1)d]
\(\frac{125}{5}\) = 2a+9d
2a + 9d = 25 …………….(i)
इसी प्रकार
a_n = a+ (n-1)d
a₃ = a +(3-1)d
15 = a+2d
a+2d = 15
2a+4d = 30 (दोनों ओर 2 से गुणा करने पर) ………………(ii)
समीकरण (ii) को समीकरण (i) में से घटाने पर प्राप्त होता है,
5d = -5
d = \(\frac{-5}{5}\) =-1
d का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
2a + 9(-1) = 25
2a = 25 +9
a = \(\frac{34}{2}\) = 17
a_n = a + (n-1)d
a₁₀ = 17 + (10-1)(-1)
= 17 – 9 = 8
अतः d = -1 तथा a₁₀ = 8

(v) यहाँ पर d= 5, S₉ = 75;n= 9
a = ? ; a₉ = ?
हम जानते हैं कि

(vi) यहाँ पर
a = 2, d = 8 , S_n = 90
n= ? ; a_n = ?
हम जानते हैं कि
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n-1)d]
90 = \(\frac{n}{2}\)[2(2) + (n-1) (8)]
180 = n[4 + 8n – 8]
180 = 8n² – 4n
8n² – 4n – 180 = 0
2n² – n – 45 = 0 (दोनों ओर 4 से भाग करने पर)
2n² – 10n+ 9n – 45 = 0
2n(n-5) + 9(n-5) = 0
(n-5)(2n + 9) = 0
n – 5 = 0 या 2n + 9 = 0
n = 5 या n= -9/2
परंतु n = -9/2 असंभव है।
n = 5
a_n = a + (n-1)d
a₅ = 2 + (5-1) (8)
= 2 + 32 = 34
अतःn = 5 व a₅ = 34

(vii) यहाँ पर
a = 8, a_n = 62 , S_n = 210
n= ? ; d= ?
हम जानते हैं कि a_n = a + (n-1)d
62 = 8 + (n-1)d
(n-1)d = 62-8
(n-1)d = 54 …………..(i)
इसी प्रकार
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n-1)d]
210 = \(\frac{n}{2}\) [2(8) + 54][समीकरण (ii) से]
420 = n x 70
n = \(\frac{420}{70}\) = 6
n का मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
(6-1)d = 54
d = \(\frac{54}{5}\)
अतः n = 6 व d = \(\frac{54}{5}\)

(viii) यहाँ पर a_n = 4, d = 2 , s_n = -14
n= ? ; a= ?
हम जानते हैं कि a_n = a + (n – 1)d
4 = a + (n-1) (2)
4 = a + 2n – 2
a + 2n = 6
इसी प्रकार
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – l)d]
-14 = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n-1) (2)]
-14 = an + n² – n
-14 = (6- 2n)n + n² – n[समीकरण (1) से]
-14 = 6n – 2n² + n² – n
-14 = -n² + 5n
n² – 5n – 14 = 0
n² – 7n + 2n – 14 = 0
n(n – 7) + 2(n – 7) = 0
(n – 7)(n + 2) = 0
n – 7 = 0 या n+ 2 = 0
n = 7 या n = -2
परंतु n = -2 असंभव है।
n = 7
n का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
a+2(7) = 6
a = 6 – 14 = -8
अतः a = -8 व n = 7

(ix) यहाँ पर
a = 3 , n = 8 S = 192, d = ?
हम जानते हैं कि S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n-1)d] ..
192 = \(\frac{8}{2}\)[2(3) + (8 – 1)a]
\(\frac{192}{4}\)= 6 + 7d
7d = 48 – 6
d = \(\frac{42}{7}\) = 6
अतःd=6 उत्तर

(x) यहाँ पर
l = 28, S = 144 , n = 9,a = ?
हम जानते हैं कि S_n = \(\frac{n}{2}\)[a + l]
144 = \(\frac{9}{2}\)[a+28]
a+28 = 144 x \(\frac{2}{9}\) = 16 x 2 = 32
a = 32-28 =4
अतः a = 4

प्रश्न 4.
636 योग प्राप्त करने के लिए, AP: 9, 17,25,…… के कितने पद लेने चाहिएँ?
हल :
यहाँ पर दी गई AP = 9, 17,25,…………..
a = 9
= 17 – 9 = 8
S_n = 636
n = ?
हम जानते हैं कि
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a+ (n-1)d]
636 = \(\frac{n}{2}\)[2(9) + (n-1)(8)]
636 = \(\frac{n}{2}\) [18 + 8n-8]
636 = \(\frac{n}{2}\)[8n+ 10]
4n² + 5n-636 = 0
4n² + 53n – 48n – 636 = 0
n(4n +53)-12(4n +53) = 0 .
(4n+53)(n-12) = 0
4n + 53 = 0 या n – 12 = 0
n = \(\frac{-53}{4}\) n = 12
परंतु : n = \(\frac{-53}{4}\) असंभव है।
अतः n= 12

प्रश्न 5.
किसी AP का प्रथम पद 5, अंतिम पद 45 और योग 400 है। पदों की संख्या और सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर AP के लिए प्रथम पद (a) = 5
अंतिम पद (l) = 45
योग (S_n) = 400
पदों की संख्या (n) = ?
सार्व अंतर (d) = ?
हम जानते हैं कि S_n = \(\frac{n}{2}\)[a+!]
400 = \(\frac{n}{2}\)[5 + 45]
n = \(\frac{400 \times 2}{50}\) = 16
a_n = a+ (n-1)d
45 = 5 + (16 – 1)d
d = \(\frac{45-5}{15}=\frac{40}{15}=\frac{8}{3}\)
अतः पदों की संख्या (n) = 16 तथा सार्व अंतर (d) = \(\frac{8}{3}\)

प्रश्न 6.
किसी AP के प्रथम और अंतिम पद क्रमशः 17 और 350 हैं। यदि सार्व अंतर है, तो इसमें कितने पद हैं और इनका योग क्या है?
हल :
यहाँ पर AP के लिए प्रथम पद (a) = 17
अंतिम पद (l) = 350
सार्व अंतर (a) = 9
पदों की संख्या (n) = ?
योग (S_n) = ?
हम जानते हैं कि l = a + (n – 1)d
350 = 17 + (n – 1)(9)
(n-1) = \(\frac{350-17}{9}=\frac{333}{9}\) = 37
n = 37 + 1 = 38
S_n = \(\frac{n}{2}\)[a + l]
S₃₈ = \(\frac{38}{2}\)[17+350]
= 19×367 = 6973
अतः पदों की संख्या (n) = 38 तथा योग (S_n) = 6973

प्रश्न 7.
उस AP के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसमें d=7 है और 22वाँ पद 149 है।
हल :
यहाँ पर AP के लिए सार्व अंतर (d) = 7
22वाँ पद (a₂₂) = 149
पदों की संख्या (n) = 22
योग (S₂₂) = ?
हम जानते हैं कि a_n = a + (n – 1)d
a₂₂ = a + (22 – 1)(7)
149 = a + 147
a = 149 – 147 = 2
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
S₂₂ = \(\frac{22}{2}\)[2(2) + (22 – 1)(7)]
= 11[4+147] = 11 x 151 = 1661
अतः योग (S₂₂) = 1661

प्रश्न 8.
उस AP के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमशः 14 और 18 हैं।
हल :
यहाँ पर AP के लिए n = 51, a₂ = 14, a₃ = 18, S₅₁ = ?
हम जानते हैं कि a₂ = a + (2 – 1)d
14 = a+d
a+d = 14 ………….(i)
a₃ = a + (3 – 1)d
18 = a+2d
a+2d = 18 …..(ii)
समीकरण (i) को समीकरण (ii) में से घटाने पर प्राप्त होता है,
d = 4
d का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
a + 4 = 14
a = 14 – 4 = 10
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
S₅₁ = \(\frac{51}{2}\)[22 (10) + (51 – 1)(4)]
= \(\frac{51}{2}\) [20 + 200]
= \(\frac{51}{2}\) x 220 = 51 x 110 = 5610
अतः S₅₁ = 5610

प्रश्न 9.
यदि किसी AP के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो इसके प्रथम । पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर AP के लिए
S₇ = 49
S₁₇ = 289
S_n = ?
हम जानते हैं कि S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
S₁₇ = \(\frac{17}{2}\)[2a + (17-1947
289 = 17[a + 8d]
a + 8d = 17 …………..(i)
S₇ = \(\frac{7}{2}\)[2a + (7 – 1)d]
49 = 7[a + 34]
a+3d = 7 ……………(ii)
समीकरण (ii) को समीकरण (1) में से घटाने पर प्राप्त होता है,
5d = 10
d = \(\frac{10}{2}\) = 2
d का मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
a + 8(2) = 17
a = 17-16 = 1
s, = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1)]
= \(\frac{n}{2}\) [2(1) + (n – 1)(2)]
= \(\frac{n}{2}\)[2 + 2n-2]
= \(\frac{n}{2}\) x 2n = n²

प्रश्न 10.
दर्शाइए कि a₁, a₂,……….,a_n……… से एक AP बनती है, यदि a_n नीचे दिए अनुसार परिभाषित है
(i) a_n = 3 + 4n
(ii) a_n = 9 – 5n
साथ ही, प्रत्येक स्थिति में, प्रथम 15 का योग ज्ञात कीजिए।
हल :
(i) यहाँ पर
a_n = 3 +4n
a₁ = 3 + 4(1)= 7
a₂ = 3 + 4(2)= 11
a₃ = 3 + 4(3) = 15
a₄= 3 + 4(4)= 19
…………………….
…………………….
AP = 7, 11, 15, 19, ….
a = 7
d = 11-7=4
हम जानते हैं कि
S_n= \(\frac{n}{2}\) [2a + (n-1)d]
S₁₅= \(\frac{15}{2}\) = 2(7) + (15 – 1)(4)
= \(\frac{15}{2}\)[14+56]
= \(\frac{n}{2}\) x 70 = 15 x 35 = 525

(ii) यहाँ पर
a_n = 9 – 5n
a₁ = 9-5(1)=4
a₂ = 9-5(2) =–1
a₃ = 9 – 5(3) =-6
a₄= 9 – 5(4)=-11
……………………
……………………
अतः
AP= 4,-1,-6,-11,..
a = 4
d = -1 – 4 = -5
हम जानते हैं किs, S_n= \(\frac{n}{2}\) [2a + (n-1)d]
S₁₅ = \(\frac{15}{2}\)[2(4) + (15 – 1)(-5)]
= \(\frac{15}{2}\)[18-70]
= \(\frac{15}{2}\) x (-62)
= 15 x (-31) = -465

प्रश्न 11.
यदि किसी AP के प्रथम । पदों का योग 4n-n²है, तो इसका प्रथम पद (अर्थात् s₁) क्या है? प्रथम दो पदों का योग क्या है? दूसरा पद क्या है? इसी प्रकार, तीसरे, 10वें और nवें पद ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर AP के लिए
s_n = 4n-n²
n = 1 प्रतिस्थापित करने पर,
S₁ = 4(1)- (1)² = 4-1 =3
अतः प्रथम पद (a₁) = 3
n = 2 प्रतिस्थापित करने पर,
S₁ = 4(2)-(2)² = 8-4 = 4
a₂ = S₂ – S₁ = 4 – 3 = 1
दूसरा पद (a₂) = 1
इसी प्रकार s₃ = 4(3)- (3)² = 12-9 =3
a₃ = S₃-S₂ = 3-4 = -1
s₉ = 4(9)-(9)² = 36-81 = -45
S₁₀ = 4(10)-(10)² = 40-100 = -60
a₁₀ = S₁ – s₉ = -60 -(-45)
= -60 + 45 = – 15

S_n-1 = 4(n-1)-(n-1)²
= (4n-4)-(n²-2n + 1)
= 4n-4-n² + 2n-1
= 6n-n²-5
a_n = S_n – S_n-1
= (4n-n²)-(6n-n²-5)
= 4n – n²-6n + n² + 5
= 5 – 2n
अतः a₁ = 3, a₂ = 1, a₃ = -1, a₁₀ =-15, a_n = 5- 2n

प्रश्न 12.
ऐसे प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो 6 से विभाज्य हैं।
हल :
यहाँ पर
AP = 6, 12, 18, 24,……..
a = 6
d = 12 – 6 = 6
n = 40
हम जानते हैं कि
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n- 1)4]
S₄₀ = [\(\frac{40}{2}\)2(6) + (40 – 1)(6)]
= 20[12 + 234]
= 20 x 246 = 4920

प्रश्न 13.
8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर AP = 8, 16, 24, 32, ……..
a = 8
d = 16 – 8 = 8
n = 15
हम जानते हैं कि
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n- 1)d]
S₁₅ = \(\frac{15}{2}\)[2(8) + (15- 1)(8)]
= \(\frac{15}{2}\) [16 + 112]
= \(\frac{15}{2}\) x 128 = 15 x 64 = 960

प्रश्न 14.
0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर ।
AP = 1, 3, 5, 7, …….., 49
a = 1
d = 3 – 1 = 2
l = 49
n = 25
हम जानते हैं कि S_n = \(\frac{n}{2}\)[a+l]
S₂₅ = \(\frac{25}{2}\) [1+49]
= \(\frac{25}{2}\) x 50 = 25 x 25 = 625

प्रश्न 15.
निर्माण कार्य से संबंधित किसी ठेके में, एक निश्चित तिथि के बाद कार्य को विलंब से पूरा करने के लिए, जुर्माना लगाने का प्रावधान इस प्रकार है : पहले दिन के लिए 200 रु०, दूसरे दिन के लिए 250 रु०, तीसरे दिन के लिए 300 रु० इत्यादि अर्थात् प्रत्येक उतरोत्तर दिन का जुर्माना अपने से ठीक पहले दिन के जुर्माने से 50 रु० अधिक है। एक ठेकेदार को जुर्माने के रूप में कितनी राशि अदा करनी पड़ेगी, यदि वह इस कार्य में 30 दिन का विलंब कर देता है?
हल :
यहाँ पर
AP = 200, 250, 300, ……………..
a = 200
d = 250 – 200 = 50
n = 30
S₃₀ = ?
हम जानते हैं कि
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n-1)d]
S₃₀ = \(\frac{30}{2}\)[2(200) + (30 – 1)(50)]
= 15[400 + 1450]
= 15 x 1850 = 27,750 रु०

प्रश्न 16.
किसी स्कूल के विद्यार्थियों को उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 नकद पुरस्कार देने के लिए 700 रु० की राशि रखी गई है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से 20 रु० कम है, तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर AP के लिए
n = 7
s₇ = 700
d = -20
n = 7
हम जानते हैं कि – S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n–1)]
S₇ = \(\frac{7}{2}\)[2a + (7 – 1)(-20)]
700 x \(\frac{2}{7}\) = 2a – 120
2a = 200 + 120
a = \(\frac{320}{2}\) = 160
अतः पुरस्कारों के मूल्य (रुपयों में) की A.P. = a, a + d, a + 2d, a + 3d, a +4d, a + 5d, a + 6d
= 160, 160 – 20, 160 – 40, 160 -60, 160 -80, 160 – 100, 160 – 120
= 160, 140, 120, 100, 80, 60, 40

प्रश्न 17.
एक स्कूल के विद्यार्थियों ने वायु प्रदूषण कम करने के लिए स्कूल के अंदर और बाहर पेड़ लगाने के बारे में सोचा। यह निर्णय लिया गया कि प्रत्येक कक्षा का प्रत्येक अनुभाग अपनी कक्षा की संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा। उदाहरणार्थ, कक्षा I का एक अनुभाग 1 पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 2 पेड़ लगाएगा, कक्षा III का एक अनुभाग 3 पेड़ लगाएगा, इत्यादि और ऐसा कक्षा XII तक के लिए चलता रहेगा। प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग हैं। इस स्कूल के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की संख्या कितनी होगी?
हल :
यहाँ पर प्रश्नानुसार,
कक्षा [ के 3 अनुभागों द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या = 3 x 1 = 3
कक्षा के 3 अनुभागों द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या = 3 x 2 = 6
कक्षा III के 3 अनुभागों द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या = 3 x 3 = 9
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
कक्षा XII के 3 अनुभागों द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या= 3 x 12 = 36
इसी प्रकार AP = 3, 6, 9, …….., 36
a = 3 d = 6 – 3 = 3, n = 12
36-3=3. n= 12.1336, l = 36
अब S_n = \(\frac{n}{2}\)[a + l]
S₁₂ = \(\frac{12}{2}\)[3 +36]
= 6 x 39 = 234
अतः स्कूल के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए पेड़ों की कुल संख्या = 234

प्रश्न 18.
केंद्र A से प्रारंभ करते हुए, बारी-बारी से केंद्रों A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं 0.5cm, 1.0cm, 1.5cm, 2.0cm, ….. वाले उतरोत्तर अर्धवृत्तों को खींचकर एक सर्पिल (spiral) बनाया गया है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। तेरह क्रमागत अर्धवृत्तों से बने इस सर्पिल की कुल लंबाई क्या है?
(π = 22/7 लीजिए)

हल :
माना l₁, l₂, l₃….. l₁₃ अर्धवृत्तों की लंबाइयाँ हैं जिनकी त्रिज्याएँ क्रमशः r₁ = 0.5cm, r₂ = 1.0cm, r₃ = 1.5cm, ………….है
अब l₁ = πr₁ = π(0.5)cm = \(\frac{\pi}{2}\)cm
l₂ = πr₂ = π(0.5)cm = 2(\(\frac{\pi}{2}\))cm
l₃ = πr₃ = π(0.5)cm = 3(\(\frac{\pi}{2}\))cm
…………………………..
…………………………..
l₁₃ = πr₁₃ = π(6.5)cm = 13(\(\frac{\pi}{2}\))cm
इस प्रकार 13 अर्धवृत्तों से बने सर्पिल की कुल लंबाई = l₁ + l₂ + l₃ ……………..+ l l₁₃

प्रश्न 19.
200 लट्ठों (logs) को ढेरी के रूप में इस प्रकार रखा जाता है : सबसे नीचे वाली पंक्ति में 20 लट्टे, उससे अगली पंक्ति में 19 लढे, उससे अगली पंक्ति में 18 लढे, इत्यादि (देखिए आकृति में)। ये 200 लढे कितनी पंक्तियों में रखे गए हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में कितने लढे हैं?

हल :
माना 200 लट्ठों को n पंक्तियों में रखा जाता है। प्रश्नानुसार
AP = 20, 19, 18, …….
a = 20
d = 19 – 20 = -1
S_n = 200
n = ?
हम जानते हैं कि
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n-1)d]
200 = \(\frac{n}{2}\)[2(20) + (n-1)(-1)]
400 = n[40 – n+ 1]
400 = 41n – n²
n² – 41n + 400 = 0
n² – 25n – 16n + 400 = 0
n(n-25)-16(n-25) = 0
(n-25)(n-16) = 0
n-25 = 0 या n-16 = 0
या n = 16
यदि n= 25 हो तो
a₂₅= a + 24d
= 20 + 24(-1) = -4, जो कि असंभव है।
अतः n = 16 a₁₆= a+ 15d
= 20 + 15(-1)= 5
अतः पंक्तियों की संख्या (n) = 16 तथा सबसे ऊपर वाली पंक्ति में लट्ठों की संख्या = 5

प्रश्न 20.
एक आलू दौड़ (potato race) में, प्रारंभिक स्थान पर एक बाल्टी रखी हुई है, जो पहले आलू से 5m की दूरी पर है तथा अन्य आलुओं को एक सीधी रेखा में परस्पर 3m की दूरियों पर रखा गया है। इस रेखा पर 10 आलू रखे गए हैं (देखिए आकृति)।

प्रत्येक प्रतियोगी बाल्टी से चलना प्रारंभ करती है, निकटतम आलू को उठाती है, उसे लेकर वापस आकर दौड़कर बाल्टी में डालती है, दूसरा आलू उठाने के लिए वापस दौड़ती है, उसे उठाकर वापस बाल्टी में डालती है औरथ्वह ऐसा तब तक करती रहती है, जब तक सभी आलू बाल्टी में न आ जाएँ। इसमें प्रतियोगी को कुल कितनी दूरी दौड़नी पड़ेगी?
हल :
प्रश्नानुसार,
प्रथम आलू के लिए प्रतियोगी द्वारा चली गई दूरी = (2 x 5)m = 10m
दूसरे आलू के लिए प्रतियोगी द्वारा चली गई दूरी = 2 x (5 + 3)m = 16m
तीसरे आलू के लिए प्रतियोगी द्वारा चली गई दूरी = 2 x (5 + 2 x 3)m = 22m
………………….. ………………..
………………….. ………………..
दसवें आलू के लिए प्रतियोगी द्वारा चली गई दूरी = 2 x (5 + 9 x 3)m = 64m
इस प्रकार AP = 10, 16, 22, ………,64
a = 10, d = 16-10 = 6, l = 64,n = 10
अब S_n = \(\frac{n}{2}\)[a + l]
S₁₀ = \(\frac{10}{2}\) [10 + 64]
= 5 x 74 =370
अतः सभी 10 आलू बाल्टी में डालने के लिए प्रतियोगी द्वारा चली गई कुल दूरी = 370m

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.6 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Exercise 3.6

प्रश्न 1.
निम्नलिखित समीकरणों के युग्मों को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदल करके हल कीजिए-

हल :
(i) यहाँ पर

माना 1/x = u व 1/y = v तो समीकरण-युग्म (i) व (ii) से प्राप्त होगा,
\(\frac{1}{2}\)u + \(\frac{1}{3}\)v = 2
3u + 2v = 12 (दोनों ओर 6 से गुणा करने पर) ……………(i)
\(\frac{1}{3} u+\frac{1}{2} v=\frac{13}{6}\)
2u+3y = 13 (दोनों ओर 6 से गुणा करने पर) ……………(iv)
समीकरण (ii) को 3 से तथा समीकरण (iv) को 2 से गुणा करके घटाने पर प्राप्त होगा,

या u = \(\frac{10}{5}\) = 2
u का मान समीकरण (iii) में रखने पर,
या 3(2)+ 2v = 12
2v = 12 – 6
या v = \(\frac{6}{2}\) = 3
अब u = 2 ⇒ \(\frac{1}{x}\) = 2 ⇒ x = \(\frac{1}{2}\)
व v = 3 ⇒ \(\frac{1}{y}\) = 3 ⇒ y = \(\frac{1}{3}\)
अतः अभीष्ट हल x = \(\frac{1}{2}\) व.y = \(\frac{1}{3}\)

(ii) यहाँ पर

2u + 3v = 2 ………….(iii)
4u – 9v = -1 …(iv)
समीकरण युग्म समीकरण (iii) को 3 से गुणा करके समीकरण (iv) में जोड़ने पर,

u का मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
2(1/2) + 3v = 2
या 3v = 2 – 1
या v = \(\frac{1}{3}\)

(ii) यहाँ पर
\(\frac{4}{x}\) + 3 y = 14 ……………….(i)
व \(\frac{3}{x}\) – 4y = 23 ……………..(ii)
माना \(\frac{1}{x}\) = u, तो समीकरण (i) व (ii) से प्राप्त होगा,
4u + 3y = 14 …………..(iii)
34 – 4y = 23 …………………(iv)
समीकरण (iii) को 4 से व समीकरण (iv) को 3 से गुणा करके परस्पर जोड़ने से,

u का मान समीकरण (iii) में प्रतिस्थापित करने पर,
4(5) +3y = 14
या 3y = 14 – 20
या y = \(\frac{-6}{3}\) = -2
अब u = 5 ⇒ \(\frac{1}{x}\) = 5 ⇒ x = \(\frac{1}{5}\)
अतः अभीष्ट हल x = \(\frac{1}{5}\) व y = -2

(iv) यहाँ पर

माना \(\frac{1}{x-1}\) = u तथा ,\(\frac{1}{y-2}\) = v तो समीकरण (i) व (ii) से प्राप्त होगा,
5u + v = 2 …(iii)
6u – 3y = 1 …(iv)
समीकरण (iii) को 3 से गुणा करके समीकरण (iv) में जोड़ने से-

u का मान समीकरण (iii) में प्रतिस्थापित करने पर,

अतः अभीष्ट हल x = 4 व y = 5

(v) यहाँ पर
\(\frac{7 x-2 y}{x y}\) = 5

माना \(\frac{1}{y}\) = u तथा \(\frac{1}{x}\) = v तो समीकरण (i) व (ii) से प्राप्त होता है,
7u – 2v = 5
व 8u + 7v = 15
समीकरण (iii) को 7 से व समीकरण (iv) को 2 से गुणा करके जोड़ने पर,

u का मान समीकरण (iv) में प्रतिस्थापित करने पर,
8(1)+ 7v = 15
या 7v = 15 – 8
या v = 7/7 = 1
अब u = 1 ⇒ \(\frac{1}{y}\) = 1 ⇒ y = 1
v = 1 ⇒ \(\frac{1}{x}\) = 1 ⇒ x = 1
अतः अभीष्ट हल x = 1 व y = 1

(vi) यहाँ पर
6x + 3y = 6xy
या \(\frac{6}{y}+\frac{3}{x}\) = 6 (दोनों ओर xy से भाग करने पर) …………..(i)
2x + 4y = 5xy
या \(\frac{2}{y}+\frac{4}{x}\) = 5 (दोनों ओर xy से भाग करने पर) ………….(ii)
माना \(\frac{1}{y}\) = u तथा \(\frac{1}{x}\) = v तो समीकरण (i) व (ii) से प्राप्त होगा,
6u + 3v = 6 ………………(iii)
2u+ 4v = 5 ………………….(iv)
समीकरण (iv) को 3 से गुणा करके समीकरण (iii) में से घटाने पर,

v का मान समीकरण (iii) में प्रतिस्थापित करने पर,
6u + 3(1) = 6
या 6u = 6 – 3
या u = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
अब u = \(\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{y}=\frac{1}{2}\) ⇒ y = 2
v = 1 ⇒ \(\frac{1}{x}\) = 1 ⇒ x = 1
अतः अभीष्ट हल x = 1 व y = 2

(vii) यहाँ पर

माना \(\frac{1}{x+y}\) = u तथा \(\frac{1}{x-y}\) = v तो समीकरण () व (i) से प्राप्त होगा,
10u + 2v = 4 …………….(iii)
15u – 5v = -2 …………….(iv)
समीकरण (iii) को 5 से तथा समीकरण (iv) को 2 से गुणा करके परस्पर जोड़ने से,

u का मान समीकरण (iii) में प्रतिस्थापित करने पर,
10(1/5) + 2v = 4
या 2v = 4 – 2
या v = 2/2 = 1
अब u = \(\frac{1}{5} \Rightarrow \frac{1}{x+y}=\frac{1}{5}\) ⇒ x + y = 5
v = 1⇒ \(\frac{1}{x-y}\) 1 ⇒ x – y = 1
समीकरण (v) व समीकरण (vi) को जोड़ने पर,
2x = 6
या x = \(\frac{6}{2}\) = 3
x का मान समीकरण (v) में प्रतिस्थापित करने पर,
3 + y = 5
या y = 5 – 3
या y = 2
अतः अभीष्ट हल x = 3 व y = 2

(viii) यहाँ पर

u का मान समीकरण (iii) में प्रतिस्थापित करने पर,
4(1/4) + 4v = 3
या 4v = 3 – 1
या v = \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)

समीकरण (v) व समीकरण (vi) को जोड़ने पर,
6x = 6
या x = 6/6 = 1
x का मान समीकरण (v) में प्रतिस्थापित करने पर,
3(1) + y = 4
या y = 4 – 3 = 1
या y = 1
अतः अभीष्ट हल x = 1 व y = 1

प्रश्न 2.
निम्नलिखित समस्याओं को रैखिक समीकरण युग्म के रूप में व्यक्त कीजिए और फिर उनके हल ज्ञात कीजिए
(i) (रितु धारा के अनुकूल 2 घंटे में 20 km तैर सकती है और धारा के प्रतिकूल 2 घंटे में 4 km तैर सकती है। उसकी स्थिर जल में तैरने की चाल तथा धारा की चाल ज्ञात कीजिए।
(ii) 2 महिलाएँ एवं 5 पुरुष एक कसीदे के काम को साथ-साथ 4 दिन में पूरा कर सकते हैं, जबकि 3 महिलाएँ एवं 6 पुरुष इसको 3 दिन में पूरा कर सकते हैं। ज्ञात कीजिए कि इसी कार्य को करने में एक अकेली महिला कितना समय लेगी। पुनः इसी कार्य को करने में एक पुरुष कितना समय लेगा?
(iii) रूही 300 km दूरी पर स्थित अपने घर जाने के लिए कुछ दूरी रेलगाड़ी द्वारा तथा कुछ दूरी बस द्वारा तय करती है। यदि वह 60 km रेलगाड़ी द्वारा तथा शेष बस द्वारा यात्रा करती है तो उसे 4 घंटे लगते हैं। यदि वह 100 km रेलगाड़ी से तथा शेष बस से यात्रा करे, तो उसे 10 मिनट अधिक लगते हैं। रेलगाड़ी एवं बस की क्रमशः चाल ज्ञात कीजिए।
हल :
(i) माना रितु की स्थिर जल में तैरने की चाल = x km/h.
तथा धारा की चाल = y km/h
रितु की धारा के अनुकूल तैरने की चाल = (x + y) km/h
रितु की धारा के प्रतिकूल तैरने की चाल = (x -y) km/h
प्रश्नानुसार रैखिक समीकरण युग्म होंगे,
2(x + y) = 20 ⇒ x + y = 10 ……………(i)
तथा 2(x – y) = 4 ⇒ x – y = 2 …………(ii)
समीकरण (i) व (ii) को जोड़ने पर,
2x = 12
या x = 12/2 = 6
x का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
6 +y = 10
या y = 10 – 6 = 4
अतः रितु की स्थिर जल में तैरने की चाल = 6 km/h
तथा धारा की चाल = 4 km/h

(ii) माना 1 महिला कसीदे के काम को समाप्त करने में दिन लगाती है तथा 1 पुरुष कसीदे के काम को समाप्त करने में y दिन लगाता है।
1 महिला का 1 दिन का काम = \(\frac{1}{x}\)
1 पुरुष का 1 दिन का काम = \(\frac{1}{y}\)
प्रश्नानुसार रैखिक समीकरण-युग्म होगा,
\(\frac{2}{x}+\frac{5}{y}=\frac{1}{4}\) …………..(i)
व \(\frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac{1}{3}\) …………..(ii)
माना \(\frac{1}{x}\) = u व \(\frac{1}{y}\) = v तो समीकरण (i) व (ii) से प्राप्त होगा,
2u + 5v = \(\frac{1}{4}\) 8u + 20v = 1 …………(iii)
3u + 6v = \(\frac{1}{3}\) 9u + 18v = 1 …………(iv)
समीकरण (iii) को 9 से व समीकरण (iv) को 8 से गुणा करके घटाने पर

या v = \(\frac{1}{36}\)
v का मान समीकरण (iii) में रखने पर,
8u + 20 (\(\frac{1}{36}\)) = 1

अतः 1 महिला कसीदे के काम को समाप्त कर सकती है = 18 दिन में
1 पुरुष कसीदे के काम को समाप्त कर सकता है = 36 दिन में

(iii) माना रेलगाड़ी की चाल = x km/h
तथा बस की चाल = y km/h
प्रश्नानुसार रैखिक समीकरण-युग्म होगा,

या x = 15 x 4 = 60
अतः रेलगाड़ी की चाल = 60 km/h
बस की चाल = 80 km/h