HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.3

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Exercise 14.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित बारंबारता बंटन किसी मोहल्ले के 68 उपभोक्ताओं की बिजली की मासिक खपत दर्शाता है। इन आँकड़ों के माध्यक, माध्य और बहुलक ज्ञात कीजिए। इनकी तुलना कीजिए।

हल :
माध्यक के लिए-

यहाँ पर n = 68
\(\frac{n}{2}=\frac{68}{2}\) = 34 जो कि वर्ग-अंतराल 125-145 में आता है।
अतः माध्यक वर्ग — 125-145
माध्यक वर्ग की निम्न सीमा (l) = 125
वर्ग-माप (h) = 20
माध्यक वर्ग के ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता (c_f) = 22
माध्यक वर्ग की बारंबारता (f) = 20
अब माध्यक = l + \(\left(\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right)\) x h
= 125 + \(\left(\frac{34-22}{20}\right)\) x 20 = 125 + 12
= 137 इकाई
माध्य के लिए-
माना कल्पित माध्य (a) = 135
वर्ग-माय (h) = 20
u_i = \(\frac{x_{i}-a}{h}=\frac{x_{i}-135}{20}\)

बहुलक के लिए यहाँ पर अधिकतम वर्ग बारंबारता 20 है तथा इस बारंबारता का संगत वर्ग 125-145 है।
बहुलक वर्ग = 125-145
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (1) = 125
वर्ग-माप (h) = 20
बहुलक वर्ग की बारंबारता (f₁) = 20
बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता (f₀) = 13
बहुलक वर्ग के ठीक बाद में आने वाले
वर्ग की बारंबारता (f₂) = 14
बहुलक = \(l+\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right) \times h\)
= 125 + \(\) x 20
= 125 + \(\frac{7}{13}\) x 20
= 125 + 10.76
= 135.76 इकाई
यहाँ पर दिए गए आंकड़ों के लिए तीनों मापक लगभग समान हैं।

प्रश्न 2.
यदि नीचे दिए हुए बंटन का माध्यक 28.5 हो तो x और ‘ के मान ज्ञात कीजिए-

हल :
यहाँ पर दिया गया है-माध्यक = 28.5; n = 60

क्योंकि माध्यक 28.5 दिया है. इसलिए माध्यक वर्ग = 20-30
\(\frac{n}{2}=\frac{60}{2}\) = 30
माध्यक वर्ग की निम्न सीमा (l) = 20
वर्ग-माप (h) = 10
माध्यक वर्ग के ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता (cf) = 5+x
माध्यक वर्ग की बारंबारता (f) = 20
हम जानते हैं कि माध्यक = l + \(\left(\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right)\) x h
28.5 = 20 + \(\frac{30-(5+x)}{20}\) x 10
28.5 – 20 = \(\frac{30-5-x}{2}\)
2 8.5 x 2 = 25 – x
x = 25 – 17 = 8
45 + x + y = 60
45 + 8 + y = 60
y = 60 – 53
= 7

प्रश्न 3.
एक जीवन बीमा एजेंट 100 पॉलिसी धारकों की आयु के बंटन के निम्नलिखित आँकड़े ज्ञात करता है। माध्यक आयु परिकलित कीजिए, यदि पॉलिसी केवल उन्हीं व्यक्तियों को दी जाती है, जिनकी आयु 18 वर्ष या उससे अधिक हो, परंतु 60 वर्ष से कम हो।

हल :

यहाँ पर n = 100
\(\) = 50 जो वर्ग-अंतराल 35-40 में आता है।
अतः माध्यक वर्ग = 35-40
अब माध्यक वर्ग की निम्न सीमा (l) = 35
वर्ग-माप (h) = 5
माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता (cf) = 45
माध्यक वर्ग की बारंबारता (f) = 33
माध्यक = l + \(\left(\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right)\) x h = 35 + \(\frac{50-45}{33}\) x 5
= 35 + \(\frac{25}{33}\) = 35 + 0.76 = 35.76
अतः माध्यक आयु = 35.76 वर्ष

प्रश्न 4.
एक पौधे की 40 पत्तियों की लंबाइयाँ निकटतम मिलीमीटरों में मापी जाती है तथा प्राप्त आँकड़ों को निम्नलिखित सारणी के रूप में निरूपित किया जाता है-

पत्तियों की माध्यक लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर माध्यक ज्ञात करने के लिए, आँकड़ों को सतत वर्ग अंतरालों में बदलना पड़ेगा, क्योंकि सूत्र में वर्ग अंतरालों को सतत माना गया है, जो निम्नलिखित होंगे-

n = 40 ⇒ \(\frac{n}{2}=\frac{40}{2}\) = 20 जो कि वर्ग-अंतराल 144.5 – 153.5 में आता है।
अतः माध्यक वर्ग = 144.5-153.5
अब माध्यक वर्ग की निम्न सीमा (l) = 144.5
वर्ग-माप (h) = 9
माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता (cf) = 17
माध्यक वर्ग की बारंबारता (f) = 12
माध्यक = l + \(\left(\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right)\) x h = 14.5 + \(\frac{3}{12}\) x 9
= 144.5 + 2.25 = 146.75
अतः पत्तियों की माध्यक लम्बाई = 146.75 mm

प्रश्न 5.
निम्नलिखित सारणी 400 नियॉन लैंपों के जीवनकालों (life time) को प्रदर्शित करती है-

एक लैंप का माध्यक जीवनकाल ज्ञात कीजिए।
हल:

यहाँ पर n = 400 ⇒ \(\frac{n}{2}=\frac{400}{2}\) = 200 जो कि वर्ग-अंतराल 3000-3500 में आता है।
अतः माध्यक वर्ग = 3000-3500
अब माध्यक वर्ग की निम्न सीमा (l) = 3000
वर्ग-माप (h) = 500
माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता (cf) = 130
माध्यक वर्ग की बारंबारता (f) = 86
माध्यक = l + \(\left(\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right)\) x h
= 3000 + \(\left(\frac{200-130}{86}\right)\) x 500
= 3000 + \(\frac{70}{86}\) x 500
= 3000 + 406.98 = 3406.98
अतः दिए गए लैंपों का माध्यक जीवनकाल = 3406.98 घण्टे

प्रश्न 6.
एक स्थानीय टेलीफ़ोन निर्देशिका से 100 कुलनाम (surnames) लिए गए और उनमें प्रयुक्त अंग्रेज़ी वर्णमाला के अक्षरों की संख्या का निम्नलिखित बारंबारता बंटन प्राप्त हुआ-

कुलनामों में माध्यक अक्षरों की संख्या ज्ञात कीजिए। कुलनामों में माध्य अक्षरों की संख्या ज्ञात कीजिए। साथ ही, कुलनामों का बहुलक ज्ञात कीजिए।
हल :
माध्यक के लिए-

यहाँ पर n = 100
\(\frac{n}{2}=\frac{100}{2}\) = 50 जो कि वर्ग-अंतराल 7-10 में आता है।
अतः माध्यक वर्ग = 7-10
अब माध्यक वर्ग की निम्न सीमा (l) = 7
वर्ग-माप (h) = 3
माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता (cf) = 36
माध्यक वर्ग की बारंबारता (f) = 40
माध्यक = l + \(\left(\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right)\) x h = 7 + \(\left(\frac{50-36}{40}\right)\) x 3
= 7 + \(\frac{14}{40}\) x 3 = 7 + 1.05 = 8.05
माध्य के लिए-

∴ माध्य = \(\frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}=\frac{832}{100}\) = 8.32
बहुलक के लिए यहाँ पर अधिकतम वर्ग बारंबारता 40 है तथा इस बारंबारता का संगत वर्ग 7-10 है।
बहुलक वर्ग = 7-10
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (l) = 7
वर्ग-माप (h) = 3
बहुलक वर्ग की बारंबारता (f₁) = 40
बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता (f₀) = 30
बहुलक वर्ग के ठीक बाद में आने वाले वर्ग की बारंबारता (f₂) = 16
बहुलक = l + \(\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right)\) x h = 7 + \(\left(\frac{40-30}{2 \times 40-30-16}\right)\) x 3
= 7 + \(\left(\frac{40-30}{2 \times 40-30-16}\right)\) x 3
= 7+ \(\frac{10}{34}\) x 3 = 7 + 0.88 = 37.88
अतः माध्यक = 8.05, माध्य = 8.32 व बहुलक = 7.88

प्रश्न 7.
नीचे दिया हुआ बंटन एक कक्षा के 30 विद्यार्थियों के भार दर्शा रहा है। विद्यार्थियों का माध्यक भार ज्ञात कीजिए।

हल:

यहाँ पर n = 30
\(\frac{n}{2}=\frac{30}{2}\) = 15 जो कि वर्ग-अंतराल 55-60 में आता है।
अतः माध्यक वर्ग = 55-60
अब माध्यक वर्ग की निम्न सीमा (l) = 55
वर्ग-माप (h) = 5
माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता (cf) = 13
माध्यक वर्ग की बारंबारता (f) = 6
माध्यक = l + \(\left(\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right)\) x h = 55 + \(\left(\frac{15-13}{6}\right)\) x 5
= 55 + \(\frac{2}{6}\) x 5 = 55 + 1.67 = 56.67
अतः विद्यार्थियों का माध्यक भार = 56.67 किलोग्राम