HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.2

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Exercise 5.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सारणी में, रिक्त स्थानों को भरिए, जहाँ AP का प्रथम पद a, सार्व अंतर d और nवाँ पद a_n है-

हल :
(i) यहाँ पर
प्रथम पद (a) = 7
सार्व अंतर (d) = 3
n = 8
हम जानते हैं कि
a_n = a + (n-1)d
7+ (8 – 1) x 3
= 7 + 21 = 28

(ii) यहाँ पर
प्रथम पद (a) = -18
सार्व अंतर (d) = ?
n = 10
a₁₀ = 0
हम जानते हैं कि
a_n = a + (n – 1)d
a₁₀ = a + (10 – 1)d
0 = -18 + 9(d)
9d = 18
d= 18/9 = 2
अतः सार्व अंतर (d) = 2

(iii) यहाँ पर
प्रथम पद (a) = ?
सार्व अंतर (d) = -3
n = 18
a₁₈= -5
हम जानते हैं कि
a_n = a + (n-1)d
a₁₈ = a + (18 – 1)d
-5 = a + 17(-3).
a = -5 +51
a = 46
प्रथम पद (a) = 46

(iv) यहाँ पर
प्रथम पद (a) =-18.9
सार्व अंतर (d) = 2.5
n = ?
a_n = 3.6
a_n= a + (n-1)d
3.6 = -18.9 + (n-1)2.5
3.6 + 18.9 = (n-1)2.5
n-1 = \(\frac{22.5}{2.5}\)
n = 9+ 1
n = 10

(v) यहाँ पर
प्रथम पद (a) = 3.5
सार्व अंतर (d) = 0
n = 105
a₁₀₅ = ? हम जानते हैं कि
a_n = a + (n-1)d
a₁₀₅ = 3.5 + (105 – 1)0
a₁₀₅ = 3.5

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए-
(i) AP : 10, 7, 4, ……. , का 30वाँ पद है
(A) 97 (B) 77 (C)-77 (D)-87
(ii) AP:-3,\(-\frac{1}{2}\), 2,…….. , का 11वाँ पद है-
(A) 28 (B) 22 . (C)-38 (D) -481/2
हल :
(i) यहाँ पर AP = 10, 7,4,…..
प्रथम पद (a) = 10
सार्व अंतर (a) = 7 – 10 = -3
n = 30
हम जानते हैं कि
a = a + (n-1)d
a₃₀ = a+29d
a₃₀ = 10 + 29(-3)
= 10 – 87 = -77
अतः सही उत्तर = C

(ii) यहाँ पर
AP = -3, \(-\frac{1}{2}\),2, …………
प्रथम पद (a) = -3
सार्व अंतर (d) = \(-\frac{1}{2}-(-3)=-\frac{1}{2}+3=\frac{-1+6}{2}=\frac{5}{2}\)
n = 11
हम जानते हैं कि
a_n = a+ (n-1)d
a₁₁ = a + 10d
a₁₁ = -3 + 10(5/2)
= -3 + 25 = 22
अतः सही उत्तर = B

प्रश्न 3.
निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ियों में, रिक्त खानों के पदों को ज्ञात कीजिए-

हल :
(i) हम जानते हैं कि यदि a, b, c समांतर श्रेढ़ी में हों तो

(ii) यहाँ पर

(iii) यहाँ पर

प्रथम पद (a) = 5
n = 4
a₄ = \(9 \frac{1}{2}=\frac{19}{2}\)
सार्व अंतर (d) = ?
हम जानते हैं कि
a₄ = a + 3d
\(\frac{19}{2}\) = 5 + 3d

(iv) यहाँ पर

प्रथम पद (a) = -4
n = 6
d = ?
a₆ = 6
हम जानते हैं कि
a₆ = a+ 5d
6 = -4 + 5d
5d = 6 +4
d = 10/5 =2
a₂ = a +d=-4 + 2 = -2
a₃ = a + 2d = -4 + 2(2) = -4 + 4 = 0
a₄ = a + 3d =-4 + 3(2) = -4 + 6 = 2
a₅ = a +4d = 4+ 4(2) = –4.+ 8 = 4

(v) यहाँ पर दिया है-

a₂ = 38
a + d = 38 ……….(i)
तथा a₆ = -22
a+ 5d = -22 …………….(ii)
समीकरण (i) को समीकरण (ii) में से घटाने पर प्राप्त होता है,
4d = -60
d= \(\frac{-60}{4}\) =-15
d का मान समीकरण (i) में रखने पर, .
a-15 = 38
a = 38+15 = 53
a₁ = 53
a₃ = a + 2d = 53 +2(-15)= 53 -30 = 23
a₄ = a + 3d = 53 + 3(-15)= 53-45 = 8
a₅ = a + 4d = 53 + 4(-15) = 53 – 60 = -7

प्रश्न 4.
AP: 3, 8, 13, 18, ……. का कौन-सा पद 78 है?
हल :
यहाँ पर A.P. = 3, 8, 13, 18, ……..
प्रथम पद (a) = 3
सार्व अंतर (d) = 8 – 3 = 5
a_n = 78
n = ?
हम जानते हैं कि
a_n = a + (n-1)d
78 = 3 + (n- 1)5
(n – 1)5 = 78-3
n – 1 = \(\frac{75}{5}\)
n = 15 + 1
n = 16
अतः दी गई AP का 16वाँ पद 78 होगा।

प्रश्न 5.
निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ियों में से प्रत्येक श्रेढ़ी में कितने पद हैं?
(i) 7, 13, 19,…………, 205
(i) 18, 15 1/2, 13….., -47
हल :
(i) यहाँ पर
AP = 7, 13, 19, ……….., 205
प्रथम पद (a) = 7
सार्व अंतर (d) = 13 – 7 = 6
a_n = 205
n = ?
हम जानते हैं कि
= a+ (n-1)d
205 = 7 + (n-1)6
(n – 1) = \(\frac{205-7}{6}=\frac{198}{6}\) = 33
n = 33 + 1 = 34
अतः दी गई AP में पदों की संख्या = 34

(ii) यहाँ पर
AP = 18,15 1/2, 1….., -47
प्रथम पद (a) = 18
सार्व अंतर (d) = \(\frac{31}{2}-18=\frac{31-36}{2}=-\frac{5}{2}\)
a_n = -47
n = ?
हम जानते हैं कि
= a_n + (n – 1)d
-47 = 18 + (n-1)(\left(-\frac{5}{2}\right))
(n-1) (\left(-\frac{5}{2}\right))= -47 – 18
(n-1) = -65 x (\(\left(-\frac{2}{5}\right)[/laex])
n-1 = 26
n = 26 + 1 = 27
अतः दी गई AP में पदों की संख्या = 27

प्रश्न 6.
क्या AP : 11, 8, 5, 2,…… का एक पद -150 है? क्यों?
हल :
यहाँ पर
AP = 11, 8, 5, 2, ………..
प्रथम पद (a) = 11
सार्व अंतर (d) = 8-11 = -3
माना दी गई AP का nवाँ पद (a_n) = -150
a+ (n-1)d = -150
11 + (n-1)-3 = -150

क्योंकि n पूर्णांक होना चाहिए।
इसलिए दी गई AP का एक पद -150 नहीं हो सकता।

प्रश्न 7.
उस AP का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है।
हल :
यहाँ पर
a₁₁ = 38
a+ 10d = 38 ……………….(i)
तथा a₁₆ = 73
a + 15d = 73 …………….(ii)
समीकरण (i) को समीकरण (ii) में से घटाने पर प्राप्त होता है,
15d – 10d = 73 – 38
5d = 35
d = 35/5 =7
d का मान समीकरण (i) में रखने पर,
a+ 10(7) = 38
a = 38 – 70 = -32
अब a₃₁ = a + 30d = -32 + 30(7) = -32 + 210 = 178
अतः AP का 31वाँ पद = 178

प्रश्न 8.
एक AP में 50 पद हैं, जिसका तीसरा पद 12 है और अंतिम पद 106 है। इसका 29वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर
n = 50
a₃ = 12
a+2d = 12 …………….(i)
तथा a₅₀ = 106
a + 49d = 106 …………….(ii)
समीकरण (i) को समीकरण (ii) में से घटाने पर प्राप्त होता है,
49d – 2d = 106 – 12
47d = 94
d = [latex]\frac{94}{47}\) = 2
d का मान समीकरण (i) में रखने पर,
a + 2(2) = 12
a = 12 -4 = 8
a₂₉ = a + 28d = 8 + 28(2) = 8 + 56 = 64
अतः AP का 29वाँ पद = 64

प्रश्न 9.
यदि किसी AP के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और -8 हैं, तो इसका कौन-सा पद शून्य होगा?
हल :
यहाँ पर
a₃ = 4
a+2d = 4 …….(i)
a₉ = -8
a + 8d = -8 ………(ii)
समीकरण (i) को समीकरण (ii) में से घटाने पर प्राप्त होता है,
8d – 2d = – 8 – 4
6d = -12
d= -12/6 = -2
d का मान समीकरण (i) में रखने पर,
a + 2(-2) = 4
a = 4 + 4 = 8
माना AP का nवाँ पद (a_n) = 0
a + (n – 1)d = 0
8 + (n – 1)(-2) = 0
(n-1) = \(\frac{-8}{-2}\)
n = 4 + 1 = 5
अतः AP का 5वाँ पद शून्य होगा।

प्रश्न 10.
किसी AP का 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है। इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर प्रश्नानुसार a₁₇ = a₁₀ + 7
a + 16d = a + 9d + 7
a + 16d – a – 9d = 7
7d = 7
d = \(\frac{7}{7}\) =1
अतः AP का सार्व अंतर (d) = 1

प्रश्न 11.
AP: 3, 15, 27, 39,…….. का कौन-सा पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा?
हल :
यहाँ पर
AP = 3, 15, 27, 39, …….
प्रथम पद (a) = 3
सार्व अंतर (a) = 15-3 = 12
माना AP का 7वाँ पद 54वें पद से 132 अधिक है
a_n = a₅₄ + 132
a + (n – 1)d = a+53d+ 132
(n – 1)12 = 53(12) + 132
= 636 + 132 = 768
n – 1 = \(\frac{768}{12}\) = 64
n = 64 + 1 = 65 अतः दी गई AP का 65वाँ पद 54वें पद से 132 अधिक है।

प्रश्न 12.
दो समांतर श्रेढ़ियों का सार्व अंतर समान है। यदि इनके 100वें पदों का अंतर 100 है, तो इनके 1000वें पदों का अंतर क्या होगा?
हल :
माना दोनों समांतर श्रेढ़ियों का सार्व अंतर = d
माना प्रथम समांतर श्रेढ़ी = a, a +d, a+2d, ……………., a + nd
व दूसरी समांतर श्रेढ़ी = a¹, a¹+d, a¹ + 2d, ……………., a¹ + nd
प्रथम समांतर श्रेढ़ी का 100वाँ पद (a₁₀₀) = a + 99d
दूसरी समांतर श्रेढ़ी का 100वाँ पद (a¹_1oo)= a¹ + 99d
a₁₀₀ – a¹₁₀₀ = a-a¹
100 = a – a¹
a – a¹ = 100 …..(i)
इसी प्रकार a₁₀₀₀ – a¹₁₀₀₀ = a – a¹
= 100 [समीकरण (i) से]
अतः दोनों समांतर श्रेढ़ियों के 1000वें पदों का अंतर = 100

प्रश्न 13.
तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं?
हल :
हम जानते हैं कि
7 से विभाज्यं तीन अंकों की सबसे छोटी संख्या = 105
7 से विभाज्य तीन अंकों की सबसे बड़ी संख्या = 994
अतः AP = 105, 112, 119,………, 994
प्रथम पद (a) = 105
सार्व अंतर (a) = 7
a_n = 994
n = ?
हम जानते हैं कि
a_n= a + (n – 1)d
994 = 105 + (n – 1)7
(n – 1) = \(\frac{994-105}{7}\)
n-1 = \(\frac{889}{7}\)
n = 127 + 1
n = 128
अतः तीन अंकों वाली 7 से विभाज्य संख्याओं की संख्या = 128

प्रश्न 14.
10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज हैं?
हल :
यहाँ पर 10 और 250 के बीच 4 के गुणज = 12, 16, 20, …………., 248
प्रथम पद (a) = 12
सार्व अंतर (a) = 16- 12 = 4
a_n = 248
n = ?
हम जानते हैं कि
= a_n + (n – 1)d
248 = 12 + (n – 1)4
(n-1) = \(\frac{248-12}{4}\)
n-1 = \(\frac{236}{4}\)
n = 59 + 1
n = 60
अतः 10 और 250 के बीच 4 के गुणजों की संख्या = 60 उत्तर

प्रश्न 15.
n के किस मान के लिए, दोनों समांतर श्रेढ़ियों 63, 65, 67,…….. और 3, 10, 17,…….. के इवें पद बराबर होंगे?
हल :
यहाँ पर
‘प्रथम AP = 63, 65, 67, …………
प्रथम पद (a) = 63
सार्व अंतर (a) = 65 – 63 = 2
nवाँ पद (a.) = a + (n – 1)d
= 63 + (n-1)2
= 63 + 2n-2 = 61 + 2n
तथा दूसरी AP = 3, 10, 17, ………..
प्रथम पद (a¹) = 3
सार्व अंतर (d¹) = 10 – 3 = 7
nवाँ पद (a¹_n) = a¹ + (n-1)d¹
= 3+ (n-1)7
= 3 + 7n – 7 = -4 + 7n
प्रश्नानुसार दोनों AP के n पद समान हैं।
a_n = a_n¹
61 + 2n = -4+7n
7n- 2n = 61 +4
5n = 65
n = \(\frac{65}{5}\)
n = 13
अतः दोनों समांतर श्रेढ़ियों के 13वें पद समान होंगे।

प्रश्न 16.
वह AP ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 16 है और 7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है।
हल :
यहाँ पर
a = 16
a+2d = 16 ……(i)
a₇ = a₅ + 12
a + 6d = a +4d + 12
a+6d -a-4d = 12
2d = 12
d = 12/2 = 6
d का मान समीकरण (i) में रखने पर, .
a + 2(6) = 16
a = 16 – 12 = 4
अतः अभीष्ट AP = 4, 10, 16, 22, ……….

प्रश्न 17.
AP: 3, 8, 13, …….., 253 में अंतिम पद से 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर
AP = 3, 8, 13, ……., 253
प्रथम पद (a) = 3
अंतिम पद (1) = 253
सार्व अंतर (d) = 8-3 = 5
अंतिम पद से 20वाँ पद = l- (20 – 1)d
= 253 – 19 x 5
= 253 – 95 = 158

प्रश्न 18.
किसी AP के चौथे और 8वें पदों का योग 24 है तथा छठे और 10वें पदों का योग 44 है। इस A.P.के प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए। हल : माना
AP का प्रथम पद = a
सार्व अंतर = d
प्रश्नानुसार
an + ag = 24
(a + 3d) + (a + 7a) = 24
2a+ 10d = 24
a + 5d = 12 (दोनों ओर 2 से भाग करने पर) ……………..(i)
as + a10 = 44
(a + 5a) + (a + 9d) = 44
2a + 14d = 44
a+7d = 22 (दोनों ओर 2 से भाग करने पर)। …………………(ii)
समीकरण (i) को समीकरण (ii) में से घटाने पर प्राप्त होता है,
2d = 10
या d = 10/2 = 5
d का मान समीकरण (i) में रखने पर,
a + 5(5) = 12
a = 12 – 25 = -13
अतः AP के प्रथम तीन पद = -13, -8,-3

प्रश्न 19.
सुब्बा राव ने 1995 में 5000 रु० के मासिक वेतन पर कार्य आरंभ किया और प्रत्येक वर्ष 200 रु० की वेतन वृद्धि प्राप्त की। किस वर्ष में उसका वेतन 7000 रु० हो गया?
हल :
यहाँ पर
प्रथम पद (a) = 5000 रु०
सार्व अंतर (d) = 200 रु०
n = ?
a_n = 7000 रु०
हम जानते हैं कि
a_n = a + (n-1)d
7000 = 5000 + (n – 1)200
n-1 = \(\frac{7000-5000}{200}=\frac{2000}{200}\) = 10
n = 10 + 1 = 11.
अतः सुब्बा राव का 11वें वर्ष का वेतन 7000 रु० होगा।

प्रश्न 20.
रामकली ने किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में 5 रु० की बचत की और फिर अपनी साप्ताहिक बचत 1.75 रु० बढ़ाती गई। यदि nवें सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचत 20.75 रु० हो जाती है, तो n ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर
प्रथम पद (a) = 5 रु०
सार्व अंतर (a) = 1.75 रु०
n = ?
a_n = 20.75 रु०
हम जानते हैं कि = a_n + (n-1)d
20.75 = 5 + (n – 1)1.75
n – 1 = \(\frac{20.75-5}{1.75}=\frac{15.75}{1.75}\) = 9
n = 9+ 1 = 10
अतः रामकली की 10वें सप्ताह में साप्ताहिक बचत 20.75 रु० होगी।