HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.3

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Exercise 7.3

प्रश्न 1.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष हैं
(i) (2, 3), (-1,0), (2,-4)
(ii) (-5,-1), (3,-5), (5, 2)
हल :
(i) माना दिए गए त्रिभुज ABC के शीर्ष A(2, 3), B(-1,0) व C(2,-4) हैं।
यहाँ पर,
x₁ = 2, y₁ = 3
x₂ = -1, Y₂ = 0
y₃ = 2,Y₃ =-4
अब
ΔABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[2{0 – (-4)} + (-1){-4-3} + 2(3 – 0)]
= \(\frac{1}{2}\)[8 + 7 + 6] = \(\frac{1}{2}\) x 21 = \(\frac{21}{2}\) वर्ग मात्रक

(ii) माना दिए गए त्रिभुज ABC के शीर्ष A(-5, -1), B(3,-5) व C(5, 2) हैं। यहाँ पर,
x₁ =-5, y₁ = -1
x₂ = 3, y₂ = -5
x₃ = 5, y₃ = 2 .
ΔABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[(-5){-5-2} +3{2 – (-1)} + 5{-1 – (-5)}]
= \(\frac{1}{2}\) [35 +9 + 20]
= \(\frac{1}{2}\) x 64 = 32 वर्ग मात्रक

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में से प्रत्येक में ‘K’ का मान ज्ञात कीजिए, ताकि तीनों बिंदु सरेखी हों-
(1) (7,-2), (5, 1), (3,k)
(ii) (8, 1), (k,-4), (2,-5)
हल :
(i) माना दिए गए बिंदु A(7;-2), B(5, 1) व C(3, K) हैं। तो,
x₁ = 7, y₁ =-2
x₂ = 5, y₂ =1
x₃ = 3, y₃ = k
ΔABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[7(1 – k) + 5{k- (-2)} + 3(-2-1)]
= \(\frac{1}{2}\)[7 – 7k + 5k + 10 – 9]
= \(\frac{1}{2}\)[8 – 2k] = 4-k
यदि तीनों बिंदु संरेखी हों तो त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होगा।
4-k = 0 या
k = 4

(ii) माना दिए गए बिंदु A(8, 1), B(k, -4) व C(2,-5) हैं।
x₁ = 8, y₁ = 1
x₂ =k, y₂ = 4
x₃ = 2, y₃ =-5
अब \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ -y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[2{0 – (-4)} + (-1){-4-3} + 2(3 – 0)]
= \(\frac{1}{2}\)[8 +7+ 6] = \(\frac{1}{2}\) x 21 = \(\frac{21}{2}\) वर्ग मात्रक

(iii) माना दिए गए त्रिभुज ABC के शीर्ष A(-5, -1), B(3,-5) व C(5, 2) हैं।
यहाँ पर,
x₁ =-5, y₁ = -1
x₂ = 3, y₂ =-5
x₃ = 5, y₃ = 2
अब ΔABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[(-5){-5-2} + 3{2 – (-1)} + 5{-1-(-5)}]
= \(\frac{1}{2}\)[35 +9 + 20] = \(\frac{1}{2}\) x 64 = 32 वर्ग मात्रक

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में से प्रत्येक में ‘K’ का मान ज्ञात कीजिए, ताकि तीनों बिंदु सरेखी हों
(i) (7,-2), (5, 1), (3,k)
(ii) (8, 1), (k, -4), (2,-5)
हल :
(i) माना दिए गए बिंदु A(7;-2), B(5, 1) व C(3, K) हैं।
तो, x₁ = 7, y₁ = -2
x₂ = 5, y₂ = 1
x₃ = 3, y₃ =k
ΔABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[7(1 – k) + 5{k- (-2)} + 3(-2 – 1)]
= \(\frac{1}{2}\)[7 – 7k + 5k + 10 – 9]
= \(\frac{1}{2}\)[8 – 2k] = 4 – k
यदि तीनों बिंदु संरेखी हों तो त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होगा।
4-k = 0
k = 4

(ii) माना दिए गए बिंदु A(8, 1), B(k, -4) व C(2,-5) हैं।
x₁ = 8, y₁ =1
x₂ = k, y₂ =-4.
x₃ = 2, y₃ = -5
∆ABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[8{-4 – (-5)} + k(-5 – 1) + 2{1 – (4)}]
= \(\frac{1}{2}\)[8 – 6k + 10]
= \(\frac{1}{2}\)[18 – 6k] = 9 -3k
यदि तीनों बिंदु संरेखी हों तो त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होगा।
या  9 – 3k = 0
या 3k = 9
या k = \(\frac{9}{3}\) = 3

प्रश्न 3.
शीर्षों (0,-1), (2, 1) और (0, 3) वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। इस क्षेत्रफल का दिए हुए त्रिभुज के क्षेत्रफल के साथ अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :

माना A(0, -1), B(2, 1) तथा C(0, 3) दिए गए त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं। D, E तथा F क्रमशः भुजाओं BC, CA तथा AB के मध्य-बिंदु हैं तो
D के निर्देशांक = \(\left(\frac{2+0}{2}, \frac{1+3}{2}\right)\)= (1,2)
E के निर्देशांक = \(\left(\frac{0+0}{2}, \frac{3-1}{2}\right)\) = (0, 1)
F के निर्देशांक = \(\left(\frac{0+2}{2}, \frac{-1+1}{2}\right)\) = (1,0)
अब ΔABC के क्षेत्रफल के लिए,
x₁ = 0, y₁ = -1,
x₂ = 2, y₂ = 1,
x₃ = 0, y₃ = 3
ΔABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[0(1 – 3) + 2{3 – (-1)} + 0(-1 – 1)]
= \(\frac{1}{2}\)[0 + 8 + 0] = \(\frac{1}{2}\) x 8 = 4 वर्ग मात्रक
इसी प्रकार ΔDEF के क्षेत्रफल के लिए,
x₁ = 1, y₁ = 2,
x₂ = 0, y₂ = 1,
x₃ = 1, x₃ = 0
∴ ΔDEF का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[1(1 – 0) + 0(0 – 2) + 1(2 – 1)]
= \(\frac{1}{2}\)[1+ 0 + 1] = \(\frac{1}{2}\)x 2 = 1 वर्ग मात्रक
अब ΔDEF का क्षेत्रफल : ΔABC का क्षेत्रफल = 1 : 4

प्रश्न 4.
उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में (-4,-2), (-3,-5), (3,-2) और (2, 3) हैं।
हल :

माना A(- 4, -2), B(-3, -5), C(3, -2) तथा D(2, 3) चतुर्भुज ABCD के शीर्ष हैं तो A और C को मिलाकर दो त्रिभुज ABC तथा ACD प्राप्त होते हैं।
अब ΔABC के क्षेत्रफल के लिए,
x₁ =-4, y₁ =-2,
x₂ = -3, y₂ =-5,
x₃ = 3, y₃ = -2
ΔABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
\(\frac{1}{2}\)[(-4){-5-(-2)} + (-3){-2 – (-2)} + 3{-2 -(-5)}]
= \(\frac{1}{2}\)[(4)(-3) + (-3)(0) + (3)(3)]
= \(\frac{1}{2}\)[12 + 0 +9] = 21/2 = 10.5 वर्ग मात्रक
अब ΔACD के क्षेत्रफल के लिए,
x₁ = -4,y₁ = -2,
x₂ = 3, y₂ = -2,
x₃ = 2, y₃ = 3
ΔABC का क्षेत्रफल =\(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[(-4){-2-3} + (3){3 -(-2)} + 2{-2-(-2)}]
= \(\frac{1}{2}\)[(-4)(-5) + (3)(5) + (2)(0)]
= \(\frac{1}{2}\)[20 + 15 + 0] = \(\frac{1}{2}\) x 35 = 17.5 वर्ग मात्रक अतः चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = (ΔABC + ΔACD) का क्षेत्रफल
= (10.5 + 17.5) वर्ग मात्रक
= 28 वर्ग मात्रक

प्रश्न 5.
कक्षा IX में आपने पढ़ा है (अध्याय 9, उदाहरण 3) कि किसी त्रिभुज की एक माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। उस त्रिभुज ABC के लिए इस परिणाम का सत्यापन कीजिए जिसके शीर्ष A(4,-6), B(3,-2) और C(5, 2) हैं।
हल :

यहाँ पर त्रिभुज ABC के शीर्ष A(4,-6), B(3,-2), C(5, 2) हैं। माना D
भुजा BC का मध्य-बिंदु है तो D के निर्देशांक \(\left(\frac{3+5}{2}, \frac{-2+2}{2}\right)\) = (4,0) होंगे।
अब ΔABD के क्षेत्रफल के लिए,
x₁ = 4, y₁ = -6,
x₂ = 3, y₂ = -2,
x₃ = 4, y₃ = 0
ΔABD का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[4(-2 – 0) + 3{0 – (-6)} + 4{-6-(-2)}]
= \(\frac{1}{2}\)[(4)(-2) + (3)(6) + (4)(44)]
= \(\frac{1}{2}\)[-8+ 18-16]
= \(\frac{1}{2}\)[-24 + 18] = \(\frac{1}{2}\) x -6
= -3 = 3 वर्ग मात्रक [∵ क्षेत्रफल ऋणात्मक नहीं होता।]

अब ΔABC के क्षेत्रफल के लिए,
x₁ = 4, y₁ = -6,
x₂ = 3, y₂ = -2,
x₃ = 5, y₃ = 2
ΔABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[4(-2-2) + 3{2 -(-6)} +5 {-6-(-2)}]
= \(\frac{1}{2}\)[(4)(-4) + (3)(8) + (5)(-4)]
= \(\frac{1}{2}\)[-16 + 24 – 20] = \(\frac{1}{2}\) x (-12)
= – 6 = 6 वर्ग मात्रक
[∵ क्षेत्रफल ऋणात्मक नहीं होता।]

ΔABC का क्षेत्रफल = 2(ΔABD का क्षेत्रफल)
अतः त्रिभुज की माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफलों के त्रिभुजों में विभाजित करती है।