HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.4

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Exercise 1.4

प्रश्न 1.
बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार सांत हैं या असांत आवर्ती हैं-

हल :
हम जानते हैं कि जिस परिमेय संख्या के हर को 2n 5m के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ n और m ऋणेतर पूर्णांक हों तो उस संख्या का दशमलव प्रसार सांत होता है अन्यथा असांत आवर्ती होता है।
(i) यहाँ पर,
\(\frac{13}{3125}=\frac{13}{5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5}=\frac{13}{5^{5}}\)
क्योंकि हर में केवल 5^m है।

अतः परिमेय संख्या \(\frac{13}{3125}\) का दशमलव प्रसार सांत होगा।

(ii) यहाँ पर,
\(\frac{17}{8}=\frac{17}{2 \times 2 \times 2}=\frac{17}{2^{3}}\)

क्योंकि हर में केवल 2ⁿ है।
अतः परिमेय संख्या \(\frac{17}{8}\) का दशमलव प्रसार सांत होगा।

(iii) यहाँ पर,
\(\frac{64}{455}=\frac{64}{5 \times 7 \times 13}\)

क्योंकि हर में 5^m के अतिरिक्त 7 व 13 भी है।
अतः परिमेय संख्या \(\frac{64}{455}\) का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा।

(iv) यहाँ पर,
\(\frac{15}{1600}=\frac{15}{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5}=\frac{15}{2^{6} 5^{2}}\)

क्योंकि हर में केवल 2ⁿ5^m है।
अतः परिमेय संख्या \(\frac{15}{1600}\) का दशमलव प्रसार सांत होगा।

(v) यहाँ पर,
\(\frac{29}{343}=\frac{29}{7 \times 7 \times 7}=\frac{29}{7^{3}}\)

क्योंकि हर 2ⁿ5^m नहीं है बल्कि 7^l है।
अतः परिमेय संख्या \(\frac{29}{343}\) का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा।

(vi) यहाँ पर, \(\frac{23}{2^{3} 5^{2}}\) क्योंकि हर में केवल 2ⁿ5^m है।
अतः परिमेय संख्या \(\frac{23}{2^{3} 5^{2}}\) का दशमलव प्रसार सांत होगा।

(vii) यहाँ पर, \(\frac{129}{2^{2} 5^{7} 7^{5}}\) क्योंकि हर के अभाज्य गुणनखंडों में 2ⁿ5^m के अतिरिक्त 7 भी है।
अतः परिमेय संख्या \(\frac{129}{2^{2} 5^{7} 7^{5}}\) का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा।

(viii) यहाँ पर,
\(\frac{6}{15}=\frac{6}{3 \times 5}=\frac{2}{5}\)

क्योंकि हर के अभाज्य गुणनखंड में केवल 5m है।
अतः परिमेय संख्या \(\frac{6}{15}\) का दशमलव प्रसार सांत होगा।

(ix) यहाँ पर,
\(\frac{35}{50}=\frac{5 \times 7}{2 \times 5 \times 5}=\frac{7}{2^{1} \times 5^{1}}\)

क्योंकि हर के अभाज्य गुणनखंडों में केवल 2 व 5 हैं।
अतः परिमेय संख्या \(\frac{35}{50}\) का दशमलव प्रसार सांत होगा।

(x) यहाँ पर,
\(\frac{77}{210}=\frac{7 \times 11}{2 \times 3 \times 5 \times 7}=\frac{11}{2^{1} \times 3^{1} \times 5^{1}}\)

क्योंकि हर के अभाज्य गुणनखंडों में 2ⁿ5^m के अतिरिक्त 3 भी है।
अतः परिमेय संख्या \(\frac{77}{210}=\frac{7 \times 11}{2 \times 3 \times 5 \times 7}=\frac{11}{2^{1} \times 3^{1} \times 5^{1}}\) का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसारों को लिखिए
(i) \(\frac{13}{3125}\)
(ii) \(\frac{17}{8}\)
(iii) \(\frac{15}{1600}\)
(iv) \(\frac{23}{2^{3} 5^{2}}\)
(v) \(\frac{6}{15}\)
(vi) \(\frac{35}{50}\)
हल :
(i) यहाँ पर,

(ii) यहाँ पर,

(iii) यहाँ पर,

(iv) यहाँ पर,

(v) यहाँ पर,

(vi) यहाँ पर,

प्रश्न 3.
कुछ वास्तविक संख्याओं के दशमलव प्रसार नीचे दर्शाए गए हैं। प्रत्येक स्थिति के लिए निर्धारित कीजिए कि यह संख्या परिमेय संख्या है या नहीं। यदि यह परिमेय संख्या है और \(\frac{p}{q}\) के रूप की है तो के अभाज्य गुणनखंडों के बारे में आप क्या कह सकते हैं?
(i) 43.123456789
(ii) 0.120120012000120000……………
(iii) 43.\(\overline{123456789}\)
हल :
(i) यहाँ पर दी गई संख्या = 43.123456789
क्योंकि दी गई संख्या एक सात दशमलव संख्या है। इसलिए यह \(\frac{p}{q}\) के रूप की परिमेय संख्या होगी, जिसमें 4 के अभाज्य गुणनखंड 2 या 5 या दोनों होंगे।

(ii) यहाँ पर दी गई संख्या = 0.120120012000120000…..
क्योंकि दी गई संख्या एक असांत आवर्ती दशमलव संख्या है। इसलिए यह एक अपरिमेय संख्या होगी।

(iii) यहाँ पर दी गई संख्या = 43.\(\overline{123456789}\)
क्योंकि दी गई संख्या एक असांत आवर्ती तथा दोहराई जाने वाली दशमलव प्रसार संख्या है। इसलिए यह \(\frac{p}{q}\) के रूप की परिमेय संख्या होगी, जिसमें q के अभाज्य गुणनखंड 2 या 5 के अतिरिक्त एक और गुणनखंड होगा।