HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.3

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Exercise 1.3

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि \(\sqrt{5}\) एक अपरिमेय संख्या है।
हल :
माना \(\sqrt{5}\) एक परिमेय संख्या है जो कि दिए गए के विपरीत है।
अब \(\) जहाँ a और b सह-अभाज्य पूर्णांक हैं तथा b 0 है।
→ \(\sqrt{5}\) b = a
दोनों ओर का वर्ग करने पर, 5b² = a²
इससे पता चलता है कि a², 5 से विभाज्य है, इसलिए a भी 5 से विभाज्य होगी। ……………….. (ii)
= a = 5m जहाँ m एक पूर्णांक है।
a का मान समीकरण (i) में रखने पर
5b² = (5m)²
5b² = 25m²
b² = 5m²
इसका अर्थ यह है कि 5 से 62 विभाजित हो जाता है इसलिए b भी 5 से विभाजित होगा। ……………………(iii)
इसी प्रकार समीकरण (ii) व (iii) से a और 6 में कम से कम एक उभयनिष्ठ गुणनखंड 5 है। इससे हमारी कल्पना गलत होती है कि a और b सह-अभाज्य हैं। जिस कारण \(\sqrt{5}\) एक परिमेय संख्या नहीं है।
अतः \(\sqrt{5}\) एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि 3 +2\(\sqrt{5}\) एक अपरिमेय संख्या है।
हल :
माना 3 + 2\(\sqrt{5}\) एक परिमेय संख्या है जो कि दिए गए के विपरीत है।
अब 3 + 2\(\sqrt{5}\) = a/b जहाँ a और b सह-अभाज्य पूर्णांक हैं तथा b ≠ 0 है।

क्योंकि a और b पूर्णांक हैं जिस कारण \(\frac{a-3 b}{2 b}\) एक परिमेय संख्या होगी।
इसलिए \(\sqrt{5}\) एक परिमेय संख्या होगी जो कि असत्य है क्योंकि \(\sqrt{5}\) एक अपरिमेय संख्या है।
अतः हमारी कल्पना गलत है जिससे सिद्ध होता है कि 3 + 2\(\sqrt{5}\) एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ अपरिमेय हैं
(i) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(ii) 7\(\sqrt{5}\)
(ii) 6 + \(\sqrt{5}\)
हल :
(i) यदि संभव हो तो माना \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) एक परिमेय संख्या है।
तो \(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{a}{b}\) जहाँ a और b सह-अभाज्य पूर्णांक हैं तथा b ≠ 0 है।
⇒\(\sqrt{2}\)a =b
दोनों ओर का वर्ग करने पर,
2a² = b² …………………(i)
इससे पता चलता है कि b², 2 से विभाज्य है, इसलिए b भी 2 से विभाज्य होगी। …………………(ii)
⇒ b = 2m जहाँ m एक पूर्णांक है।
b का मान समीकरण (i) में रखने पर
2a² = (2m)²
2a² = 4m²
या a² = \(\) = 2m² इसका अर्थ यह है कि a², 2 से विभाजित होता है, इसलिए a भी 2 से विभाजित होगा। ………………………(iii)
इसी प्रकार समीकरण (ii) व (iii) से a और b में कम से कम एक उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 है। इससे हमारी कल्पना गलत होती है कि a और b सह-अभाज्य हैं जिस कारण \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
एक परिमेय संख्या नहीं है।
अतः \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) एक अपरिमेय संख्या है।

(ii) यदि संभव हो तो माना 7\(\sqrt{5}\) एक परिमेय संख्या है।
तो 7\(\sqrt{5}\) = a/b जहाँ a और b सह-अभाज्य पूर्णांक हैं तथा b + 0 है।
⇒ \(\sqrt{5}\) = \(\frac{a}{7 b}\)
क्योंकि a और 6 पूर्णांक हैं इसलिए , एक परिमेय संख्या होगी।
⇒ \(\sqrt{5}\) एक परिमेय संख्या होगी जो कि असत्य है क्योंकि \(\sqrt{5}\) एक अपरिमेय संख्या है।
अतः हमारी कल्पना गलत है। इससे सिद्ध होता है कि 7\(\sqrt{5}\) एक अपरिमेय संख्या है।

(iii) यदि संभव हो तो माना 6 + \(\sqrt{2}\) एक परिमेय संख्या है।
तो 6 + \(\sqrt{2}\) = \(\frac{a}{b}\) जहाँ a और b सह-अभाज्य पूर्णांक हैं तथा b ≠ 0 है।
⇒ \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}-6\)
या \(\sqrt{2}=\frac{a-6 b}{b}\)
क्योंकि a और b पूर्णांक हैं जिस कारण \(\frac{a-6 b}{b}\) एक परिमेय संख्या होगी।
⇒ \(\sqrt{2}\) एक परिमेय संख्या होगी जो कि असत्य है क्योंकि \(\sqrt{2}\) एक अपरिमेय संख्या है।
अतः हमारी कल्पना गलत है। इससे सिद्ध होता है कि 6 + \(\sqrt{2}\) एक अपरिमेय संख्या है।