HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Exercise 2.3

प्रश्न 1.
विभाजन. एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके निम्न में p(x) को g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए-
(i) p(x) = x³ – 3x² + 5x-3, g(x) = x² – 2 .
(ii) p(x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5, g(x) = x² + 1 – x
(iii) px) = x⁴ – 5x + 6, g(x) = 2-x²
हल :
(1) यहाँ पर
p(x) = x³ – 3x² + 5x-3, g(x) = x² – 2
क्योंकि p (x) की घात = 3 व g (x) की घात = 2
इसलिए भागफल q (x) की घात = 3-2 = 1 तथा शेषफल की घात 2 से कम होगी।
माना q(x) = ar + b (भागफल)
तथा r(x) = cx + d (शेषफल)
विभाजन एल्गोरिथ्म के प्रयोग से
p(x) = g(x) x q(x) +r(x)
= x³ – 3x²+ 5x – 3 = (x² – 2) (ar + b) + (cx + d)
x³ – 3x² + 5x – 3 = ax³ + bx² – 2ax – 2b + cx +d
x³ – 3x² + 5x -3 = ax³ + bx² + (c – 2a)x – (2b – d)
दोनों ओर x की समान घातों के गुणांकों को बराबर करने पर
a = 1 …..(i)
b = -3 ……(ii)
c – 2a = 5 ………..(iii)
2b-d = 3 …….(iv)
a = 1 समीकरण (iii) में रखने पर
c – 2 (1) = 5
c = 5 + 2 = 7
b = – 3 समीकरण (iv) में रखने पर
2 (-3) – d = 3
-d = 3 +6 = 9
d = -9
अतः भागफल = q(x) = ar + b = 1 x – 3
= x – 3
शेषफल = r (x) = cx + d = 7x – 9

(ii) यहाँ पर
p(x) = x⁴ – 3x² + 4x +5
g(x) = x² – x + 1
क्योंकि p (x) की घात 4 तथा g (x) की घात 2 है।
इसलिए भागफल q (x) की घात = 4-2 = 2 तथा शेषफल की घात 2 से कम होगी।
बहुपद माना q(x) = ax² + bx + c
(भागफल) तथा r(x) = dx + e
(शेषफल) विभाजन एल्गोरिथ्म के प्रयोग से
px) = g (x) x q (x) +r (x)
x⁴ – 3x² + 4x + 5 = (x² – x + 1) x (ax² + bx + c) + (dx + e)
x⁴ + 0x³ – 3x² + 4x + 5 = ax⁴ + bx³ + cx² – ar³ – bx² – cx + ax² + bx + c + dx + e
x⁴ + 0.x³ – 3x² + 4x + 5 = ax⁴ + (b-a)x³ + (c-b+a)x² + (b-c+d)x + (c+e)
दोनों ओर x की समान घातों के गुणांकों को बराबर करने पर
a = 1 ……. (i)
b – a = 0 ⇒ b = a = 1 …(ii)
c – b + a = -3 ⇒ c – 1 + 1 = -3 या c = -3
b – c + d = 4 ⇒ 1 – (-3) + d = 4 ⇒ 4 + d = 4 या d = 4 – 4= 0 …………(iv)
c + e = 5 ⇒ -3 + e = 5 या e = 5 + 3 = 8
a, b, c, da e के मान प्रतिस्थापित करने पर
भागफल = q (x) = ax² + bx + c
= x² + x – 3
शेषफल = r (x) = dx + e = 0.x+ 8 = 8

(iii) यहाँ पर
p(x) = x⁴ – 5x + 6
g(x) = 2 – x² = -x² + 2
क्योंकि p (x) की घात 4 तथा g (x) की घात 2 है।
इसलिए भागफल q (x) की घात = (4-2) = 2 तथा शेषफल की घात 2 से कम होगी।
माना q(x) = ax² + bx + c (भागफल)
तथा r(x) = dx +e (शेषफल)
विभाजन एल्गोरिथ्म के प्रयोग से
p(x) = g(x) x q(x) +r(x)
⇒ x⁴ + 0x³ + 0x² – 5x + 6 = (-x² + 2) (ax² + bx + c ) + (dx + e)
⇒ x⁴+ 0.x³ + 0.2x² – 5x +6 = – ax⁴ – bx³ – cx² + 2ax² + 2bx + 2c + dx + e
⇒ x⁴ + 0x³ + 0x² – 5x + 6 = -ax⁴ – bx³ + (2a-c)x² + (2b + a)x + (2c + e)

दोनों ओर x की समान घातों के गुणांकों को बराबर करने पर
-a = 1 या a= -1 …………..(i)
-b = 0 या b= 0 ………….(ii)
2a – c = 0 ⇒ 2 (-1) – c = 0 ⇒ c = -2 ………….(iii)
2b + d = -5 ⇒ 2 (0) + d= -5 ⇒ d=-5 ……………(iv)
2c +e = 6 ⇒ 2 (-2) + e = 6 ⇒ e = 6 +4 = 10 …………….(v)
अतः भागफल = ax² + bx +c
= (-1) x² + 0.x + (-2)
= -x² – 2
शेषफल = dx + e = 5x + 10

प्रश्न 2.
पहले बहुपद से दूसरे बहुपद को भाग करके, जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखंड है
(i) t² – 3, 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12
(ii) x² + 3x + 1, 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2
(ii) x³ – 3x + 1, x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1
हल :
(i) यहाँ पर

क्योंकि यहाँ पर शेषफल शून्य है इसलिए t² – 3, 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12 का एक गुणनखंड है।

(ii) यहाँ पर

क्योंकि यहाँ पर शेषफल शून्य है इसलिए x² + 3x + 1, 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2 का एक गुणनखंड है।

(iii) यहाँ पर

क्योंकि यहाँ पर शेषफल शून्य नहीं है इसलिए x³ – 3x + 1, x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1 का गुणनखंड नहीं है।
हैं

प्रश्न 3.
3x⁴ + 6x³ – 2x² – 10x – 5 के अन्य सभी शून्यक ज्ञात कीजिए, यदि इसके दो शून्यक \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) और \(-\sqrt{\frac{5}{3}}\) हैं।
हल :
क्योंकि दिए गए बहुपद के दो शून्यक \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) और \(-\sqrt{\frac{5}{3}}\) हैं।

इस प्रकार विभाजन एल्गोरिथ्म से
3x⁴ + 6x³ – 2x² – 10x – 5 = (3x² – 5) (x² + 2x + 1)
= (√3x + √5) (√3x – √15) (x + 1)²
अतः दिए बहुपद के शून्यक हैं = [atex]-\sqrt{\frac{5}{3}}, \sqrt{\frac{5}{3}}[/latex]; -1 और – 1

प्रश्न 4.
यदि x³ – 3x² + x + 2 को एक बहुपद g(x) से भाग देने पर, भागफल और शेषफल क्रमशः x-2 और -2x + 4 हैं तो g(x) ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर
बहुपद = p(x) = x³ – 3x² + x + 2
भाजक = g(x) = ?
भागफल = q(x) = x – 2
शेषफल = r(x) = – 2x +4
विभाजन एल्गोरिथ्म अनुसार p(x) = g(x) x q(x) + r(x)


अतः g (x) = x² – 3 + 1

प्रश्न 5.
बहुपदों p(x), g(x), q(x) और r(x) के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिथ्म को संतुष्ट करते हों तथा
(i) घात p(x) = घात (x)
(ii) घात q(x) = घात r(x)
(iii) घात r(r) = 0
हल :
(i) माना p(x) = 5x² – 5x + 35; g(x) = 5

अतः
q(x) = x² – x + 7
r(x) = 0
घात p(x) = घात q(x)
तथा p(x) = g (x) x q(x) + r(x)
अर्थात् यहाँ पर विभाजन एल्गोरिथ्म संतुष्ट होता है।

(ii) माना p(x) = x + x² + x + 1; g(x) = x² – 1

अतः q (x) = x + 1 तथा r(x) = 2x +2
q (x) की घात = r(x) की घात

तथा p(x) = g(x) x q(x) + r(x)
अर्थात् यहाँ पर विभाजन एल्गोरिथ्म सन्तुष्ट होता है।

(iii) माना p(x) = x³ + 2x² – x + 2; g(x) =x² – 1

अतः q(x) = x + 2 तथा r(x) = 4
घात r(x) = 0
तथा p(x) = g(x) x q(x) + r(x)
अर्थात् यहाँ पर विभाजन एल्गोरिथ्म संतुष्ट होता है।
नोट- इस प्रश्न के अन्य कई उदाहरण हो सकते हैं।