Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.4 Textbook Exercise Questions and Answers.
Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Exercise 3.4
प्रश्न 1.
निम्नलिखित समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापना विधि से हल कीजिए। कौन-सी विधि अधिक उपयुक्त है?
(i) x +y = 5 और 2x – 3y =4
(ii) 3x + 4y = 10 और 2x – 2y = 2
(iii) 3x – 5y – 4 = 0 और 9x = 2y + 7
(iv) \(\frac{x}{2}+\frac{2 y}{3}\) = -1 और x – \(\frac{y}{3}\) = 3
हल :
(i) यहाँ पर
x + y = 5 …………(i)
2x – 3y = 4 ………….(ii)
विलोपन विधि से हल
समीकरण (i) को 3 से गुणा करके समीकरण (ii) में जोड़ने पर प्राप्त होगा,
प्रतिस्थापन विधि से हल
समीकरण (i) से x = 5-y को समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
2 (5-7)-3y = 4
या10 – 2y – 3y = 4
-5y = 4 – 10
या y = \(\frac{-6}{-5}=\frac{6}{5}\)
y का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
x + \(\frac{6}{5}\) = 5
x = 5 – \(\frac{6}{5}=\frac{25-6}{5}=\frac{19}{5}\)
अतः अभीष्ट हल x = \(\frac{19}{5}\) y = \(\frac{6}{5}\)
दोनों ही विधियाँ उपयुक्त हैं।
(ii) यहाँ पर
3x + 4y = 10 ………..(i)
2x-2y = 2 …………..(ii)
विलोपन विधि से हल
समीकरण (ii) को 2 से गुणा करके समीकरण (i) में जोड़ने पर प्राप्त होगा,
या x = \(\frac{14}{7}\) = 2
‘x का मान समीकरण (i) में रखने पर,
3(2) +4y = 10
या 4y = 10-6
या y = 4/4 = 1
अतः अभीष्ट हल x = 2 व y = 1
प्रतिस्थापन विधि से हल
समीकरण (i) से x = \(\frac{10-4 y}{3}\)
x = \(\frac{10-4 y}{3}\) का मान समीकरण (ii) में रखने पर,
2 (\(\frac{10-4 y}{3}\)) -29 – 2
या 2 (10 -4y)- 6y = 6 (दोनों ओर 3 से गुणा करने पर)
या 20 – 8y – 6y = 6
या – 14y = 6 – 20
या y = -14/-14 = 1
y का मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
3x +4 (1) = 10
या 3x = 10 – 4
या x = \(\frac{6}{3}\) = 2
अतः अभीष्ट हल x = 2 व y = 1
दोनों ही विधियाँ उपयुक्त हैं।
(iii) यहाँ पर
3x – 5y – 4 = 0
या 3x – 5y = 4 ………….(i)
9x = 2y+7
या 9x – 2y = 7 …………(ii)
विलोपन विधि से हल
समीकरण (i) को 3 से गुणा करके उसमें से समीकरण (ii) घटाने पर,
प्रतिस्थापन विधि से हल
समीकरण (i) से x = \(\frac{4+5 y}{3}\)
x = \(\frac{4+5 y}{3}\) का मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
9 (\(\frac{4+5 y}{3}\)) – 2y = 7
3 (4 + 5y) – 2y = 7
12 + 15y – 2y = 7
13y = 7 – 12
y = \(\frac{-5}{13}\)
y का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
अतः अभीष्ट हल x = \(\frac{9}{13}\) व y = \(\frac{-5}{13}\)
दोनों ही विधियाँ उपयुक्त हैं।
(iv) यहाँ पर
\(\frac{x}{2}+\frac{2 y}{3}\) = -1
या 3x +4y = – 6 (दोनों ओर 6 से गुणा करने पर) …………..(i)
तथा x – \(\frac{y}{3}\) = 3
3x – y = 9 (दोनों ओर 3 से गुणा करने पर)
विलोपन विधि से हल
क्योंकि समीकरण (i) व (ii) में x के गुणांक समान हैं इसलिए समीकरण (ii) को समीकरण (i) में से घटाने पर,
या y = \(\frac{-15}{5}\) = -3
y का मान समीकरण (i) में रखने पर,
3x +4(- 3) = -6
या 3x= -6 + 12
या x = 6/3 = 2
अतः अभीष्ट हल x = 2 व y = – 3
प्रतिस्थापन विधि से हल
समीकरण (ii) से x = \(\frac{9+y}{3}\)
x = \(\frac{9+y}{3}\) को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
3(\(\frac{9+y}{3}\)) +4y = – 6
9 + y + 4y = -6
5y = -6-9
y = \(\frac{-15}{5}\) =-3
y का मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
3x +4 (-3) = -6
3x = -6+ 12.
x = \(\frac{6}{3}\) = 2
अतः अभीष्ट हल x = 2 व y = -3
दोनों ही विधियाँ उपयुक्त हैं।
प्रश्न 2.
निम्नलिखित समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए-
(i) यदि हम अंश में 1 जोड़ दें तथा हर में से 1 घटा दें, तो भिन्न 1 में बदल जाती है। यदि हर में 1 जोड़ दें, तो यह 1/2 हो जाती है। वह भिन्न क्या है?
(ii) पाँच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की आयु की तीन गुनी थी। दस वर्ष पश्चात्, नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी। नूरी और सोनू की आयु कितनी है?
(iii) दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या का नौ गुना, संख्या के अंकों को पलटने से बनी संख्या का दो गुना है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।
(iv) मीना 2000 रु० निकालने के लिए एक बैंक गई। उसने खजाँची से 50 रु० तथा 100 रु० के नोट देने के लिए कहा। मीना ने कुल 25 नोट प्राप्त किए। ज्ञात कीजिए कि उसने 50 रु० और 100 रु० के कितने-कितने नोट प्राप्त किए?
(v) किराए पर पुस्तकें देने वाले किसी पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का अलग किराया है। सरिता ने सात दिनों तक एक पुस्तक रखने के लिए 27 रु० अदा किए, जबकि सूसी ने एक पुस्तक पाँच दिनों तक रखने के 21 रु० अदा किए। नियत किराया तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए।
हल :
(i), यहाँ पर
माना भिन्न = \(\frac{x}{y}\),
प्रश्नानुसार रैखिक समीकरण होगी, \(\frac{x+1}{y-1}\) = 1
x +1 = y-1
x – y = -1 – 1
x – y = -2 …………..(i)
\(\frac{x}{y+1}=\frac{1}{2}\)
या 2x = y +1
2x -y = 1 …….(ii)
समीकरण (ii) को समीकरण (i) में से घटाने पर,
या x = 3
x का मान समीकरण (i) में रखने पर,
3-y = – 2
या -y = -2 – 3
या -y = -5
या y = 5
अतः अभीष्ट भिन्न = \(\frac{3}{5}\)
(ii) यहाँ पर
माना नूरी की वर्तमान आयु = x वर्ष
व सोनू की वर्तमान आयु = y वर्ष
प्रश्नानुसार रैखिक समीकरण होगी, x-5 = 3 (y-5)
x-5 = 3y- 15
या x – 3y = – 15 +5
या 3y = – 10
तथा x+ 10 = 2 (y + 10)
या x + 10 = 2y + 20
या x – 2y = 20 – 10
या x – 2y = 10
समीकरण (ii) को समीकरण (i) में से घटाने पर,
या y = 20
y का मान समीकरण (i) में रखने पर,
x – 3 (20) = – 10
x = – 10 + 60
x = 50
अतः नूरी की वर्तमान आयु = 50 वर्ष
व सोनू की वर्तमान आयु = 20 वर्ष
(iii) यहाँ पर
माना दो अंकों की संख्या की इकाई का अंक = x
व दो अंकों की संख्या की दहाई का अंक = y
संख्या = x + 10y
अंक पलटने पर प्राप्त संख्या = 10x +y
प्रश्नानुसार रैखिक समीकरण होगी, xy = 9
तथा 9 (x + 10y) = 2 (10x + y)
या 9x + 90y = 20x +2y
या 20x – 9x +2y – 90y = 0
या 11x – 88y = 0
या x – 8y = 0 (दोनों ओर 11 से भाग करने पर)
समीकरण (ii) को समीकरण (i) में से घटाने पर,
या y = 9/9
y = 1
y का मान समीकरण (i) में रखने पर,
x + 1 = 9
x = 9-1 = 8
अतः अभीष्ट संख्या = x + 10y = 8 + 10 (1) = 18
(iv) यहाँ पर
माना 50 रु० वाले नोटों की संख्या = x
व 100 रु० वाले नोटों की संख्या = y
प्रश्नानुसार रैखिक समीकरण होगी x + y = 25
व 50x + 100y = 2000
या x + 2y = 40 (दोनों ओर 50 से भाग देने पर)
समीकरण (ii) को समीकरण (i) में से घटाने पर,
या y = 15
y का मान समीकरण (i) में रखने पर,
x+ 15 = 25
x = 25 – 15 = 10
अतः 50 रु० वाले नोटों की संख्या = 10
व 100 रु० वाले नोटों की संख्या = 15
(v) यहाँ पर
माना पुस्तक का प्रथम 3 दिन का नियत किराया = x रु०
व पुस्तक का प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया = y रु०
प्रश्नानुसार रैखिक समीकरण होगी, x +4y = 27 (सरिता के लिए) ………….(i)
व x + 2y = 21(सूसी के लिए) ……………(ii)
समीकरण (ii) को समीकरण (1) में से घटाने पर,
2y = 6
y = 6/2
y = 3
y का मान समीकरण (i) में रखने पर,
x +4 (3) = 27 या
या x = 27-12 = 15
x = 15
अतः पुस्तक का प्रथम 3 दिन का नियत किराया = 15 रु०
पुस्तक का प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया = 3 रु०