HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Ex 13.1

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Ex 13.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Exercise 13.1

(जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = \(\frac{22}{7}[/ltaex] लीजिए।)

प्रश्न 1.
दो घनों, जिनमें से प्रत्येक का आयतन 64 cm है, के संलग्न फलकों को मिलाकर एक ठोस बनाया जाता है। इससे प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

माना दिए गए प्रत्येक घन की भुजा = a cm
प्रश्नानुसार,
दिए गए प्रत्येक घन का आयतन = 64 cm³
a³ = 64
(a)³ = (4)³
a = 4
अब दो घनों को मिलाकर रखने से बने घनाभ के लिए
लंबाई (l) = (4 +4) cm = 8 cm
चौड़ाई (b) = 4 cm
ऊँचाई (h) = 4 cm
घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (लं० × चौ० + चौ० × ॐ + ऊँ० × लं०)
= 2 (8 × 4+4 × 4 +4 × 8) cm²
= 2 (32 + 16 + 32) cm²
= 2 × 80 cm² = 160 cm²

प्रश्न 2.
कोई बर्तन एक खोखले अर्धगोले के आकार का है जिसके ऊपर एक खोखला बेलन अध्यारोपित है। अर्धगोले का व्यास 14 cm है और इस बर्तन (पात्र) की कुल ऊँचाई 13 cm है। इस बर्तन का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

यहाँ पर, बर्तन के अर्धगोले का व्यास = 14 cm
बर्तन के अर्धगोले की त्रिज्या (r) = [latex]\frac{14}{2}\) cm = 7 cm
बर्तन के अर्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr²
= 2 × \(\) × 7 × 7 cm²
= 308 cm²

बर्तन के बेलनाकार भाग की त्रिज्या (r) = \(\frac{14}{2}\) cm cm = 7 cm
बर्तन के बेलनाकार भाग की ऊँचाई (h) = (13 – 7) cm = 6 cm
बर्तन के बेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 7 × 6 cm²
= 264 cm²
अतः बर्तन का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल = (308 + 264) cm²
= 572 cm²

प्रश्न 3.
एक खिलौना त्रिज्या 3.5 cm वाले एक शंकु के आकार का है, जो उसी त्रिज्या वाले एक अर्धगोले पर अध्यारोपित है। इस खिलौने की संपूर्ण ऊँचाई 15.5 cm है। इस खिलौने का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

यहाँ पर,
खिलौने के अर्धगोलाकार भाग की त्रिज्या (r) = 3.5 cm
खिलौने के अर्धगोलाकार भाग का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr²
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 3.5 × 3.5 cm²
= 77 cm²
खिलौने के शंकु वाले भाग की त्रिज्या (r= 3.5 cm
खिलौने के शंकु वाले भाग की ऊँचाई (h) = (15.5-3.5) cm = 12 cm

खिलौने के शंकु वाले भाग का पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
= \(\frac{22}{7}\) × 3.5 × 12.5 cm²
= 137.5 cm²
अतः खिलौने का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = (अर्धगोलाकार + शंकु वाले भाग का पृष्ठीय क्षेत्रफल)
= (77 + 137.5) cm² = 214.5 cm²

प्रश्न 4.
भुजा 7 cm वाले एक घनाकार ब्लॉक के ऊपर एक अर्धगोला रखा हुआ है। अर्धगोले का अधिकतम व्यास क्या हो सकता है? इस प्रकार बने ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

यहाँ पर,
घनाकार ब्लॉक की भुजा = 7 cm
प्रश्नानुसार अर्धगोले का अधिकतम व्यास = घनाकार ब्लॉक की भुजा
अर्धगोले का अधिकतम व्यास = 7 cm
अर्धगोले की त्रिज्या (r) = \(\frac{7}{2}\) cm
घनाकार ब्लॉक का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 (भुजा)²
= 6 × 7 × 7 cm²
= 294 cm²
अर्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 πr² – πr² = πr²
= \(\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}\) cm²
= \(\frac{77}{2}\) cm² = 38.5 cm²
अतः पूर्ण ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = (294 + 38.5) cm²
= 332.5 cm²

प्रश्न 5.
एक घनाकार ब्लॉक के एक फलक को अंदर की ओर से काटकर एक अर्धगोलाकार गड्ढा इस प्रकार बनाया गया है कि अर्धगोले का व्यास l घन के एक किनारे के बराबर है। शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर, घनाकार ब्लॉक की भुजा = l मात्रक
घनाकार ब्लॉक का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 (भुजा)²
= 6l² वर्ग मात्रक
अर्धगोले का व्यास = l मात्रक
अर्धगोले की त्रिज्या (r) = \(\frac{l}{2}\) मात्रक
अर्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल – 2 πr² – πr²
= πr²
= \(\pi\left(\frac{l}{2}\right)^{2}=\frac{\pi l^{2}}{4}\) = वर्ग मात्रक
अतः शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6l² + \(\frac{\pi l^{2}}{4}\)
= \(\frac{l^{2}}{4}\) [π + 24] वर्ग मात्रक उत्तर

प्रश्न 6.
दवा का एक कैप्सूल (capsule) एक बेलन के आकार का है जिसके दोनों सिरों पर एक-एक अर्धगोला लगा हुआ है (देखिए संलग्न आकृति)। पूरे कैप्सूल की लंबाई 14 mm है और उसका व्यास 5 mm है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

यहाँ पर, कैप्सूल के बेलनाकार भाग का व्यास = 5 mm
कैप्सूल के बेलनाकार भाग की त्रिज्या (r) = \(\frac{5}{2}\)mm
कैप्सूल के बेलनाकार भाग की ऊँचाई (h) = (14 – \(\frac{5}{2}-\frac{5}{2}\) ) mm = 9 mm
कैप्सूल के बेलनाकार भाग का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= 2 × \(\frac{22}{7} \times \frac{5}{2}\) × 9mm²
= \(\frac{990}{7}\) mm²
कैप्सूल के दोनों अर्धवृत्ताकार सिरों की त्रिज्या (r) = \(\frac{5}{2}\) mm
कैप्सूल के दोनों अर्धवृत्ताकार सिरों का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 [2πr²]

प्रश्न 7.
कोई तंबू एक बेलन के आकार का है जिस पर एक शंकु अध्यारोपित है। यदि बेलनाकार भाग की ऊँचाई और व्यास क्रमशः 2.1 m और 4 m हैं तथा शंकु की तिर्यक ऊँचाई 2.8 m है तो इस तंबू को बनाने में प्रयुक्त कैनवस (canvas) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। साथ ही, 500 रु० प्रति m² की दर से इसमें प्रयुक्त कैनवस की लागत ज्ञात कीजिए। (ध्यान दीजिए कि तंबू के आधार को कैनवस से नहीं ढका जाता है।)
हल :

यहाँ पर, तंबू के बेलनाकार भाग का व्यास = 4 m
तंबू के बेलनाकार भाग की त्रिज्या (r) = \(\frac{4}{2}\)m = 2 m
तंबू के बेलनाकार भाग की ऊँचाई (h) = 2.1 m
तंबू के बेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
= 2 × \(\frac{22}{7}\)x 2 × 2.1 m²
= 26.4 m²
तंबू के शंकु वाले भाग की त्रिज्या (r) = \(\frac{4}{2}\)m = 2 m
तंबू के शंकु वाले भाग की तिर्यक ऊँचाई (l) = 2.8 m
→ तंबू के शंकु वाले भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
= \(\frac{22}{7}\) × 2 × 2.8 m²
= 17.6 m²
अतः तंबू बनाने के लिए आवश्यक कैनवस का क्षेत्रफल = (26.4 + 17.6) m² = 44 m²
1 m² कैनवस की लागत = 500 रु०
44 m² कैनवस की लागत = 44 × 500 रु० = 22000 रु०

प्रश्न 8.
ऊँचाई 2.4 cm और व्यास 1.4 cm वाले एक ठोस बेलन में से इसी ऊँचाई और इसी व्यास वाला एक शंक्वाकार खोल (cavity) काट लिया जाता है। शेष बचे ठोस का निकटतम वर्ग सेंटीमीटर तक पृष्टीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

यहाँ पर, बेलनाकार ठोस का व्यास = 1.4 cm
बेलनाकार ठोस की त्रिज्या (r₁) = \(\frac{1.4}{2}\) cm = 0.7 cm
बेलनाकार ठोस की ऊँचाई (h₁) = 2.4 cm
बेलनाकार ठोस का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (A₁) = 2πr₁h₁
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 0.7 × 2.4 cm² = 10.56 cm²
तथा बेलनाकार ठोस के आधार का क्षेत्रफल (A₂) = πr₁² = \(\frac{22}{7}\) × 0.7 × 0.7 cm²
= 1.54 cm²
काटे गए शंक्वाकार खोल की तिर्यक ऊँचाई (l₁) = \(\sqrt{r_{1}^{2}+h_{1}^{2}}\)
= \(\sqrt{(0.7)^{2}+(2.4)^{2}}\) cm
= \(\sqrt{(0.49+5.76)}\) cm
= \(\sqrt{6.25}\) cm
= (0.7) + (2.4) cm = 2.5 cm
काटे गए शंक्वाकार खोल का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (A₃) = πr₁l₁
= \(\frac{22}{7}\) × 0.7 × 2.5 cm²
= 5.5 cm²
अतः शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = A₁ + A₂ + A₃
= [10.56 + 1.54 + 5.5) cm²
= 17.6 cm² ≅ 18 cm²

प्रश्न 9.
लकड़ी के एक ठोस बेलन के प्रत्येक सिरे पर एक अर्धगोला खोदकर निकालते हुए, एक वस्तु बनाई गई है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। यदि बेलन की ऊँचाई 10 cm है और आधार की त्रिज्या 3.5 cm है तो इस वस्तु का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

यहाँ पर, दिए गए ठोस बेलन के
आधार की त्रिज्या (r) = 3.5 cm
दिए गए ठोस बेलन की ऊँचाई (h) = 10 cm
दिए गए ठोस बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (A₁) = 2πrh
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 3.5 × 10 cm² = 220 cm²
निकाले गए प्रत्येक अर्धगोले की त्रिज्या (r)= 3.5 cm
निकाले गए दोनों अर्धगोलों का पृष्ठीय क्षेत्रफल (A₂) = 2 (2πr²)
= 4 × \(\frac{22}{7}\) × 3.5 × 3.5 cm²
= 154 cm²
अतः दी गई वस्तु का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = A₁ + A₂
= (220 + 154) cm²
= 374 cm²