Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.3 Textbook Exercise Questions and Answers.
Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Exercise 3.3
प्रश्न 1.
निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए-
(i) x + y = 14
x – y = 4
(ii) s – t = 3
\(\frac{s}{3}+\frac{t}{2}\) = 6
(iii) 3x – y = 3
9x – 3y = 9
(iv) 0.2x + 0.3y = 1.3
0.4x + 0.5y = 2.3
(v) √2x + √3y = 0
√3 x – √8y = 0
(vi) \(\frac{3 x}{2}-\frac{5 y}{3}\) = -2
\(\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=\frac{13}{6}\)
हल :
(i) यहाँ पर
x + y = 14 ……….. (i)
y = 14-x
तथा x – y = 4 ………….. (ii)
y = 14 – x को समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
x – (14 – x) = 4
या x – 14 + x = 4
या 2x = 4 + 14
या 2x = 18
या x = \(\frac{18}{2}\) =9
x का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
9 + y = 14
y = 14 – 9 = 5
अतः अभीष्ट हल x = 9 व y = 5
(ii) यहाँ पर s – 1 = 3… (i)
s = 3+t
तथा \(\frac{s}{3}+\frac{t}{2}\) = 6 … (ii)
2s + 3t = 36 (दोनों ओर 6 से गुणा करने पर) … (ii)
s = 3 + t को समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर, .
2 (3 + t) + 3t = 36
6 + 2t + 3t = 36
5t = 36 – 6
5t = 30
या t = \(\frac{30}{5}\) = 6
t का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
s – 6 = 3
या s = 3 + 6 = 9
अतः अभीष्ट हल s = 9 व 1 = 6
(iii) यहाँ पर 3x – y = 3 … (i)
y = 3x – 3
तथा 9x – 3y = 9 … (ii)
y = 3x – 3 को समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
या 9x – 3 (3x – 3) = 9
या 9x – 9x + 9 = 9
9 = 9
यह कथन x के प्रत्येक मान के लिए सत्य है।
अतः समीकरण (i) व (ii) के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
(iv) यहाँ पर
0.2x + 0.3y = 1.3… (i)
x = \(\frac{1.3-0.3 y}{0.2}\)1.3 – 0.3y
तथा 0.4x + 0.5y = 2.3… (ii)
x = [atex]\frac{1.3-0.3 y}{0.2}[/latex] को समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
0.4( [atex]\frac{1.3-0.3 y}{0.2}[/latex] ) + 0.5y = 2.3
या 2 (1.3 – 0.3y) + 0.5y = 2.3
या 2.6 – 0.6y + 0.5y = 2.3
या -0.1y = 2.3 – 2.6
या – 0.1y = – 0.3
या y =[atex]\frac{-0.3}{-0.1}[/latex] = 3
y का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
या 0.2x + 0.3 (3) = 1.3
या 0.2x + 0.9 = 1.3
या 0.2x = 1.3 – 0.9
या 0.2x = 0.4
या x = \(\frac{0.4}{0.2}\) = 2
अतः अभीष्ट हल x = 2 व y = 3
(v) यहाँ पर
√2x- √3y = 0 ……(i)
या -3y – 4y = 0 [दोनों ओर √2 से गुणा करने पर]
या -7y = 0
या y = [ltex]\frac{0}{7}[/latex] = 0
y का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
√2x + √3 (0) = 0
या √2x + 0 = 0
√2x = 0
x = \(\frac{0}{\sqrt{2}}\)
अतः अभीष्ट हल x = 0 व y = 0
(vi) यहाँ पर
\(\frac{3 x}{2}-\frac{5 y}{3}\) = -2
9x – 10y = -12 (दोनों ओर 6 से गुणा करने पर) …(i)
x = \(\frac{10 y-12}{9}\)
तथा \(\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=\frac{13}{6}\)
2x + 3y = 13 (दोनों ओर 6 से गुणा करने पर) ………………(ii)
x = \(\frac{10 y-12}{9}\)को समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
\(2\left(\frac{10 y-12}{9}\right)\) + 3y = 13
या \(\frac{20 y-24}{9}\) + 3y = 13
या 20y – 24 + 27y = 117 (दोनों ओर 9 से गुणा करने पर)
या 47 y= 117 + 24
या y = \(\frac{141}{47}\) = 3
y का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
9x – 10 (3) = – 12
9x = – 12 + 30
9x = 18
x = \(\frac{18}{9}\)= 2
अतः अभीष्ट हल x = 2 व y =3
प्रश्न 2.
2x + 3y = 11 और 2x-4y = -24 को हल कीजिए और इससे ‘m’ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए y= me +3 हो।
हल :
यहाँ पर 2x + 3y = 11 …………… (i)
x = \(\frac{11-3 y}{2}\)
तथा 2x–4y = – 24 …. (ii)
x = \(\frac{11-3 y}{2}\) को समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
2(\(\frac{11-3 y}{2}\)) – 4y = – 24
या 11 – 3y – 4y = – 24
या -7y = – 24-11
या y = \(\frac{-35}{-7}\) = 5
y का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
2x + 3 (5) = 11
या 2x = 11-15
या x = \(\frac{-4}{2}\) =-2
अब x = – 2 व y = 5 को y = mx + 3 में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होगा,
या 5 = m (-2)+3
या 5 = – 2m +3
या 2m = 3-5
या m = \(\frac{-2}{2}\) = -1
अतः अभीष्ट हल x = – 2, y= 5 व m = – 1
प्रश्न 3.
निम्नलिखित समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल प्रतिस्थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए-
(i) दो संख्याओं का अंतर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
(ii) दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री अधिक है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
(iii) एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेदें 3800 रु० में खरीदीं। बाद में, उसने 3 बल्ले तथा 5 गेंदें 1750 रु० में खरीदी। प्रत्येक बल्ले और प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए।
(iv) एक नगर में टैक्सी के भाड़े में एक नियत भाड़े के अतिरिक्त चली गई दूरी पर भाड़ा सम्मिलित किया जाता है। 10 km दूरी के लिए भाड़ा 105 रु० है तथा 15 km के लिए भाड़ा 155 रु० है। नियत भाड़ा तथा प्रति km भाड़ा क्या है? एक व्यक्ति को 25 km यात्रा करने के लिए कितना भाड़ा देना होगा?
(v) यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों में 2 जोड़ दिया जाए, तो वह \(\frac{9}{11}\) हो जाती है। यदि अंश और हर दोनों में 3 जोड़ दिया जाए, तो वह \(\frac{5}{6}\) हो जाती है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।
(vi) पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी। पाँच वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु की सात गुनी थी। उनकी वर्तमान आयु क्या है?
हल :
(i) यहाँ पर
माना बड़ी संख्या = x .
व छोटी संख्या = y
प्रश्नानुसार रैखिक युग्म होंगे, x -y = 26 …………(1)
तथा x = 3y ………(ii)
x = 3y को समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
3y – y =
या 2y = 26
या y = \(\frac{26}{2}\) = 13
y का मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
x = 3(13)
x = 39
अतः अभीष्ट संख्याएँ = 39 व 13
(ii) यहाँ पर
माना बड़ा कोण = x
व छोटा कोण = y
प्रश्नानुसार रैखिक युग्म होंगे, x = y + 18° ……(i)
तथा x+ y = 180°(:: संपूरक कोणों का योग 180° होता है) …………… (ii)
x =y + 18° को समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
(y+ 18°) + y = 180°
या 2y = 180° – 18°
या y = \(\frac{162^{\circ}}{2}\) = 81°
y का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
x = 81° + 18° = 99°
अतः अभीष्ट कोण = 99° व 81°
(iii) यहाँ पर
माना क्रिकेट के 1 बल्ले का मूल्य = x रु०
तथा क्रिकेट की 1 गेंद का मूल्य = y रु०
प्रश्नानुसार रैखिक युग्म होंगे, 7x+ 6y = 3800 ………….(i)
तथा 3x + 5y = 1750 ………………(ii)
x = \(\frac{1750-5 y}{3}\)
x = \(\frac{1750-5 y}{3}\) को समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
7( \(\frac{1750-5 y}{3}\)) + 6y = 3800
या 7(1750 – 5y) + 18y = 11400 (दोनों ओर 3 से गुणा करने पर)
या 12250-35y + 18y = 11400
या – 17y = 11400-12250
या y = \(\frac{-850}{-17}\) = 50
y का मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
3x + 5(50) = 1750
या 3x = 1750 – 250
या x = \(\frac{1500}{3}\) = 500
अतः क्रिकेट के एक बल्ले का मूल्य = 500 रु०
तथा क्रिकेट की एक गेंद का मूल्य = 50 रु०
(iv) यहाँ पर
माना टैक्सी का नियत भाड़ा = x रु०
तथा अतिरिक्त प्रति कि०मी० भाड़ा = y रु०
प्रश्नानुसार रैखिक युग्म होंगे,
x + 10y = 105 ………….(i)
तथा x + 15y = 155 …………..(ii)
x = 155 – 15y
x = 155-15y को समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
155 – 15y + 10y = 105
या -5y = 105 – 155
या y = \(\frac{-50}{-5}\) = 10
y का मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
x + 15(10) = 155
या x = 155-150 = 5
अतः टैक्सी का नियत भाड़ा = 5 रु० ।।
तथा अतिरिक्त प्रति कि०मी० का भाड़ा = 10 रु०
25 कि०मी० यात्रा करने के लिए दिया जाने वाला भाड़ा = x + 25y
= [5+ 25 (10)] रुपए
= [5+ 250] रुपए
= 255 रुपए
(v) यहाँ पर
माना भिन्न का अंश = x
व भिन्न का हर = y
तो भिन्न = x/y
प्रश्नानुसार रैखिक युग्म होंगे, \(\frac{x+2}{y+2}=\frac{9}{11}\)
11x + 22 = 9y+ 18
11x – 9y = 18 – 22
11x – 9y = -4 ………….(i)
तथा \(\frac{x+3}{y+3}=\frac{5}{6}\)
6x + 18 = 5y + 15
6x-5y = 15-18
6x – 5y = -3
= 5y-3
x =\(\frac{5 y-3}{6}\) ……………(ii)
x = \(\frac{5 y-3}{6}\)को समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
11 (\(\frac{5 y-3}{6}\)) -9y = -4
या 11(5y – 3) – 54y = – 24 (दोनों ओर 6 से गुणा करने पर)
या 55y – 33 – 54y = -24
या y = 33 – 24 = 9
y का मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
6x – 5(9) = -3
या 6x = 45 -3
या x = \(\frac{42}{6}\) = 7
अतः अभीष्ट भिन्न = \(\frac{7}{9}\)
(vi) यहाँ पर
माना जैकब की वर्तमान आयु = x वर्ष
पुत्र की वर्तमान आयु = y वर्ष
प्रश्नानुसार रैखिक युग्म होंगे,
x + 5 = 3 (y+5)
x + 5 = 3y + 15
x = 3y + 15 – 5
x = 3y + 10……………(i)
x – 5 = 7(y – 5)
x – 5 = 7y – 35
x = 7y – 35 + 5
x = 7y – 30 ……………(ii)
x = 7y – 30 को समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
या 7y – 30 = 3y + 10
या 7y – 3y = 10+30
या 4y = 40
या y = 40/4 = 10
y का मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 7(10)-30
= 70 – 30 = 40
जब की वर्तमान आयु = 40 वर्ष
व पुत्र की वर्तमान आयु = 10 वर्ष