HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.7

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.7 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Exercise 3.7

प्रश्न 1.
दो मित्रों अनी और बीजू की आयु में 3 वर्ष का अंतर है। अनी के पिता धरम की आयु अनी की आयु की दुगुनी और बीजू की आयु अपनी बहन कैथी की आयु की दुगुनी है। कैथी और धरम की आयु का अंतर 30 वर्ष है। अनी और बीजू की आयु ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर माना अनी की वर्तमान आयु = x वर्ष
तथा बीजू की वर्तमान आयु = y वर्ष
धरम की वर्तमान आयु = 2x वर्ष
कैथी की वर्तमान आयु = y/2 वर्ष,
प्रश्नानुसार रैखिक समीकरण-युग्म होंगे,
x – y = 3 ……………..(i)
तथा 2x – \(\frac{y}{2}\) = 30
या 4x – y = 60 …………………. (ii)
समीकरण (1) को समीकरण (ii) में से घटाने पर प्राप्त होगा,
3x = 57
x = \(\frac{57}{3}\)= 19
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
19-y = 3
या y = 19 – 3 = 16
अतः अनी की वर्तमान आयु = 19 वर्ष
तथा बीजू की वर्तमान आयु = 16 वर्ष

प्रश्न 2.
एक मित्र दूसरे से कहता है कि ‘यदि मुझे एक सौ दे दो, तो मैं आपसे दो गुना धनी बन जाऊँगा।’ दूसरा उत्तर देता है ‘यदि आप मुझे दस दे दें, तो मैं आपसे छः गुना धनी बन जाऊँगा।’ बताइए कि उनकी क्रमशः क्या संपत्तियाँ हैं? | भास्कर II की बीजगणित से ।
हल :
यहाँ पर माना पहले मित्र की संपत्ति = x रु०
व दूसरे मित्र की संपत्ति = yरु०
प्रश्नानुसार रैखिक समीकरण-युग्म होंगे,
x + 100 = 26v-100)
x + 100 = 2y– 200
x – 2y = –200 – 100
x – 2y = -300 …………..(i)
y + 10 = 6(x – 10)
y + 10 = 6x – 60
6x – y = 10 + 60
6x – y = 70 ……………(ii)
समीकरण (ii) को 2 से गुणा करके, इसमें से समीकरण (i) को घटाने पर प्राप्त होगा,

x का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
40 – 2y = -300
-2y = -300 – 40
y = \(\frac{-340}{-2}\) = 170
अतः पहले मित्र की संपत्ति = 40 रु०
तथा दूसरे मित्र की संपत्ति = 170 रु०

प्रश्न 3.
एक रेलगाड़ी कुछ दूरी समान चाल से तय करती है। यदि रेलगाड़ी 10 km/n अधिक तेज चलती होती, तो उसे नियत समय से 2 घंटे कम लगते और यदि रेलगाड़ी 10 km/h धीमी चलती होती, तो उसे नियत समय से 3 घटे अधिक लगते। रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर माना रेलगाड़ी की सामान्य चाल = x km/h
तथा सामान्य चाल से नियत दूरी तय करने में लिया गया समय =y h
सामान्य चाल से तय दूरी = xy km
पहली स्थिति में, चाल = (x + 10) km/h
समय = (7–2)h
दूरी = (x + 10) (y-2)
xy = xy-2x + 10y-20
2x – 10y = -20 ……………….(i)
दूसरी स्थिति में,
चाल = (x — 10) km/h
समय = (v+ 3)h
दूरी = (x-10) (y+3)
xy = xy + 3x- 10y-30
3x – 10y = 30 ………………(ii)
अब समीकरण (i) को समीकरण (ii) में से घटाने पर,

x का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
2(50)- 10y = -20
या -10y = -20 – 100
या y = \(\frac{-120}{-10}\) = 12
अतः रेलगाड़ी द्वारा तय अभीष्ट दूरी = 50 x 12 = 600 km

प्रश्न 4.
एक कक्षा के विद्यार्थियों को पंक्तियों में खड़ा होना है। यदि पंक्ति में 3 विद्यार्थी अधिक होते, तो 1 पंक्ति कम होती। यदि पंक्ति में 3 विद्यार्थी कम होते, तो 2 पंक्तियाँ अधिक बनतीं। कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना प्रत्येक पंक्ति में विद्यार्थियों की संख्या = x
तथा पंक्तियों की संख्या = y .
कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या = xy
पहली स्थिति में, प्रत्येक पंक्ति में विद्यार्थियों की संख्या = (x + 3)
पंक्तियों की संख्या = (y-1)
कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या = (x + 3) (y – 1)
xy = xy – x + 3y – 3
x – 3y = -3 ………….. (i)
दूसरी स्थिति में, प्रत्येक पंक्ति में विद्यार्थियों की संख्या = (x – 3)
पंक्तियों की संख्या = (y+2)
कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या = (x – 3) (y + 2)
xy = xy + 2x – 3y – 6
2x – 3y = 6. ……………..(ii)
अब समीकरण (i) को समीकरण (ii) में से घटाने पर,

x का मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
9 – 3y = -3
3y = 9 + 3
y = \(\frac{12}{3}\) = 4
अतः कक्षा में विद्यार्थियों की अभीष्ट संख्या = 9×4 = 36

प्रश्न 5.
एक ΔABC में, ∠C = 3 ∠B= 2 (∠A + ∠B) है। त्रिभुज के तीनों कोण ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर
∠C = 3∠B ……………(i)
तथा ∠C = 2 (∠A+ ∠B) …………………(ii)
हम जानते हैं कि त्रिभुज ABC में,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
दोनों ओर 2 से गुणा करने पर,
2∠A + 2∠B+2∠C = 360°
या 2 (∠A + ∠B) + ∠C = 360°
या ∠C + 2∠C = 360°
⇒ 3∠C = 360° = ∠C= \(\frac{360^{\circ}}{3}\) = 120°
समीकरण (1) से,
3∠B = ∠C ⇒ 3∠B = 120° = ∠B = \(\frac{120^{\circ}}{3}\) =40°
अब ∠A + ∠B + ∠C = 180°
या ∠A + 40° + 120° = 180° ⇒ ∠A+ 160° = 180°
या ∠A = 180° – 160° = 20°
अतः ∠A = 20°, ∠B = 40° और ∠C = 120°

प्रश्न 6.
समीकरणों 5x – y = 5 और 3x – y = 3 के ग्राफ खींचिए। इन रेखाओं और y-अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। इस प्रकार बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का परिकलन कीजिए।
हल :
यहाँ पर
5x – y = 5 …….(i)
x = \(\frac{5+y}{5}\)

3x – y = 3 ……..(ii)
x = \(\frac{3+y}{3}\)

अब ग्राफ पेपर पर बिंदु A(1,0) तथा बिंदु B(0, -5) लेकर उन्हें मिलाकर रेखा AB प्राप्त करें जो समीकरण (i) को प्रदर्शित करेगी तथा बिंदु C(2, 3) व बिंदु D(0, -3) लेकर उन्हें मिलाकर CD रेखा प्राप्त करें जो. समीकरण (ii) को प्रदर्शित करेगी।

रेखाओं AB और CD से ‘-अक्ष पर त्रिभुज ABD बनता है जिसके शीर्षों के निर्देशांक A(1,0), B (0, -5) व D(0,-3) हैं।
ΔABD का क्षेत्रफल = (ΔOAB – ΔOAD) का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) x OA x OB – \(\frac{1}{2}\) x OA x OD
= \(\frac{1}{2}\) x 1 x 5 – \(\frac{1}{2}\) x 1 x 3
=\(\frac{5}{2}-\frac{3}{2}=\frac{2}{2}\) = 1 वर्ग इकाई

प्रश्न 7.
निम्नलिखित रैखिक समीकरणों के युग्मों को हल कीजिए-
(i) px + gy = p – q
qx – py = p + q
(ii) ax + by = c
bx + ay = 1 + c
(iii) \(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\)= 0
ax + by = a² + b²
(iv) (a-b)x + (a + b)y = a² – 2ab – b²
(a + b) (x +y) = a² + b²
(v) 152x – 378y =-74
-378x + 152y = -604
हल :
यहाँ पर
या px + qy = p – q
px + qy – (p-q) = 0 …………..(i)
qx – py = p + q
qx – py – (p +q) = 0 ……………(ii)
वज्र-गुणन विधि से हल करने के लिए,

x = 1 तथा y = -1
अतः अभीष्ट हल x = 1 व y = -1

(ii) यहाँ पर
ax + by = c.
ax + by – c = 0 …………….(i)
तथा bx + ay = 1 + c
bx + ay – (1 + c) = 0 …………..(ii)
वज्र-गुणन विधि से हल करने के लिए,

(iii) यहाँ पर
\(\frac{1}{a}\)x – \(\frac{1}{b}\)y = 0
या \(\frac{1}{a}\)x – \(\frac{1}{b}\)y + 0.c = 0
तथा ax + by = a² + b²
या ax + by – (a² + b²) = 0
वज्र-गुणन विधि से हल करने के लिए,

x = a तथा y = b
अतः अभीष्ट हल x = a व y = b

(iv) यहाँ पर
(a – b)x + (a + b)y = a² – 2ab – b²
या (a – b)x + (a + b)y – (a² – 2ab – b²) = 0
तथा (a + b)(x +y) = a² + b²
या (a + b)x + (a + b)y – (a² + b²) = 0
वज्र-गुणन विधि से हल करने के लिए,

(v) यहाँ पर
152x – 378y = -74 …………(i)
तथा -378x + 152y = -604 …………..(ii)
समीकरण (ii) को समीकरण (i) में से घटाने पर,

या x – y = 1 ………..(iii) [दोनों ओर 530 से भाग देने पर]
समीकरण (i) व (ii) को जोड़ने पर,
-226x-226y = -678
x+y = 3 ……………..(iv)
अब समीकरण (iii) व समीकरण (iv) को जोड़ने पर,

या x = 4/2 = 2
x का मान समीकरण (iv) में प्रतिस्थापित करने पर,
2 + y = 3
y = 3 – 2 = 1
अतः अभीष्ट हल x = 2 व y = 1

प्रश्न 8.
ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है (देखिए आकृति में)। इस चक्रीय चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए।
हल :

हम जानते हैं कि चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है। इसलिए चतुर्भुज ABCD में,
∠A+ ∠C = 180°
4y + 20 – 4x = 180
-4x + 4y = 180-20
-4x + 4y = 160
x-y = -40
∠B + ∠D = 180°
3y – 5 – 7x + 5 = 180°
– 7x + 3y = 180°
समीकरण (i) को 3 से गुणा करके समीकरण (ii) में जोड़ने पर

x का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
-15-y = 40
-y = -40 + 15 = – 25
y = 25
∠A = 4y + 20 = 4(25) + 20 = 120°
∠B = 3y-5 = 3(25)-5 = 70°
∠C = -4x = -4(-15) = 60°
∠D = -7x + 5
= -7(-15) +5
= 105+5= 110°
अतः अभीष्ट कोण ∠A = 120°, ∠B = 70°, ∠C = 60° व ∠D = 110°