HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.4

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Exercise 5.4

प्रश्न 1.
AP: 121, 117, 113, ………, का कौन-सा पद सबसे पहला ऋणात्मक पद होगा?
हल :
यहाँ पर AP = 121, 117, 113,…
माना nवाँ पद सबसे पहला ऋणात्मक पद है तो
a = 121
d = 117-121 = -4
a_n < 0
n = ?
हम जानते हैं कि a_n < 0
a+ (n-1)d <0
121 + (n-1)(-4) < 0
121-4n+4 <
125 < 4n n > \(\frac{125}{4}\)
n > 31.25
अतः 32वाँ पद सबसे पहला ऋणात्मक पद होगा।

प्रश्न 2.
किसी AP के तीसरे और सातवें पदों का योग 6 है और उनका गुणनफल 8 है। इस AP के प्रथम 16 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर माना दी गई AP का प्रथम पद =a
तथा सार्व अंतर = d
प्रश्नानुसार
a₃ + a₇ = 6
(a +2a) + (a +6a) = 6
2a + 8d = 6
a + 4d = 3 (दोनों ओर 2 से भाग करने पर) ………….(i)
a₃ x a₇ = 8
(a +2d)(a + 6d) = 8
a² + 6ad + 2ad + 12d² = 8
a²+ 8ad + 12d² = 8
समीकरण (i) से a = 3-4d को समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
(3-4a)² + 8(3-4d)d + 12d² = 8
9 – 24d + 16d² + 24d – 32d² + 12d² – 8 = 0
4d² + 1 = 0

अतः दी गई AP के प्रथम 16 पदों का योग = 20 व 76

प्रश्न 3.
एक सीढ़ी के क्रमागत डडे परस्पर 25cm की दूरी पर हैं (देखिए संलग्न आकृति में)। डंडों की लंबाई एक समान रूप से घटती जाती हैं तथा सबसे निचले डडे की लंबाई 45cm है और सबसे ऊपर वाले डडे की लंबाई 25cm है। यदि ऊपरी और निचले डडे के बीच की दूरी 2 1/2m है, तो डंडों को बनाने के लिए लकड़ी की कितनी लंबाई की आवश्यकता होगी?
हल :

यहाँ पर प्रश्नानुसार,
सीढ़ी के दो क्रमागत डंडों के बीच की दूरी = 25cm
सीढ़ी के सबसे निचले व सबसे ऊपरी डंडों के बीच की दूरी = 2.5m = 250cm
सीढ़ी के डंडों की संख्या = \(\frac{250}{25}\) = 10
दी गई स्थिति अनुसार AP के लिए
a = 45cm
l = 25cm
n = 10
अतः सीढ़ी के डंडों को बनाने के लिए आवश्यक लकड़ी की लंबाई
= \(\frac{n}{2}\)[a + l]
= \(\frac{10}{2}\)[45 + 25]
= 5 x 70 = 350cm
= 3.5m

प्रश्न 4.
एक पंक्ति के मकानों को क्रमागत रूप से संख्या 1 से 49 तक अंकित किया गया है। दर्शाइए कि x का एक ऐसा मान है कि से अंकित मकान से पहले के मकानों की संख्याओं का योग उसके बाद वाले मकानों की संख्याओं के योग । के बराबर है। x का मान ज्ञात कीजिए।
हल : यहाँ पर माना,
मकानों की पंक्ति = H₁, H₂, H₃, ………. , H_x-1, H_x, H_{x + 1}, ………….. , H₄₉
मकान संख्या = 1, 2, 3, ……….. , (x – 1), x, (x + 1), ………. 49
प्रश्नानुसार, 1 + 2 + 3 + …………. + (x – 1) = (x + 1) + (x + 2) + (x + 3)………..+ 49
1 + 2 + 3 +…… (x – 1) = [1 + 2 + 3 +……….. + (x – 1) + (x), (x + 1)+………. 49]
[1 + 2 + 3 +…. + x] [∵ S_x-1 = S₄₉ – S_x]

x² – x = 49 x 50 – x² – x[दोनों ओर 2 से गुणा करने पर]
2x² = 49 x 50
x² = 49 x 25
(x)² = (7 x 5)²
x = 35

प्रश्न 5.
एक फुटबाल के मैदान में एक छोटा चबूतरा है जिसमें 15 सीढ़ियाँ बनी हुई हैं। इन सीढ़ियों में से प्रत्येक की लंबाई 50m है और वह ठोस कंक्रीट (concrete) की बनी है। प्रत्येक सीढ़ी में 1/4 m की चढ़ाई है और 1/2 m का फैलाव (चौड़ाई) है। (देखिए संलग्न आकृति में)। इस चबूतरे को बनाने में लगी कंक्रीट का कुल आयतन परिकलित कीजिए।

हल :
यहाँ पर प्रश्नानुसार,
प्रत्येक सीढ़ी की लंबाई (l) = 50m
प्रत्येक सीढ़ी की चौड़ाई (b) = \(\frac{1}{4}\) m
पहली सीढ़ी की ऊँचाई (h₁)= \(\frac{1}{4}\)
दूसरी सीढ़ी की ऊँचाई (h₂) = 2 x \(\frac{1}{4} m=\frac{2}{4} m\)
तीसरी सीढ़ी की ऊँचाई (h₃) = 3 x \(\frac{1}{4} m=\frac{3}{4} m\)

= \(\frac{15}{2}\) x 100 = 15 x 50 = 750m