HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.1

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Exercise 15.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित कथनों को पूरा कीजिए-

(i) घटना E की प्रायिकता + घटना ‘E नहीं की प्रायिकता = ………………. है।
(ii) उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती ……… है। ऐसी घटना ……….. कहलाती है।
(iii) उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है ……………… है। ऐसी घटना …………… कहलाती है।
(iv) किसी प्रयोग की सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग …..
(v) किसी घटना की प्रायिकता ……………. से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा ……………. से छोटी या उसके बराबर होती है।
हल :
(i) 1
(ii) शून्य; असंभव घटना
(iii) 1; अवश्य या निश्चित घटना
(iv) 1
(v) शून्य; 1

प्रश्न 2.
निम्नलिखित प्रयोगों में से किन-किन प्रयोगों के परिणाम समप्रायिक हैं? स्पष्ट कीजिए।
(i) एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है। कार चलना प्रारंभ हो जाती है या कार चलना प्रारंभ नहीं होती है।
(ii) एक खिलाड़ी बास्केटबॉल को बास्केट में डालने का प्रयत्न करती है। वह बास्केट में बॉल डाल पाती है या नहीं डाल पाती है।
(ii) एक सत्य-असत्य प्रश्न का अनुमान लगाया जाता है। उत्तर सही है या गलत होगा।
(iv) एक बच्चे का जन्म होता है। वह एक लड़का है या एक लड़की है।
हल :
(i) इस प्रयोग में कि एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयास करता है। कार चलना प्रारंभ हो जाती है या कार चलना प्रारंभ नहीं होती है। इसके परिणाम समप्रायिक नहीं है।
(ii) इस प्रयोग में एक खिलाड़ी बास्केटबॉल को बास्केट में डालने का प्रयत्न करती है। वह बास्केट में बॉल डाल पाती है या नहीं डाल पाती है। इसके परिणाम समप्रायिक नहीं है।
(iii) इस प्रयोग में एक सत्य-असत्य प्रश्न का अनुमान लगाया जाता है। उत्तर सही है या गलत होगा। इसके परिणाम समप्रायिक हैं क्योंकि इसमें किसी एक घटना के घटने या न घटने के परिणाम समान हैं।
(iv) इस घटना में एक बच्चे का जन्म होता है। वह एक लड़का है या एक लड़की है। इसके परिणाम समप्रायिक हैं क्योंकि इसमें किसी एक घटना के घटने या न घटने के परिणाम समान हैं।

प्रश्न 3.
फुटबॉल के खेल को प्रारंभ करते समय यह निर्णय लेने के लिए कि कौन-सी टीम पहले बॉल लेगी, इसके लिए सिक्का उछालना एक न्यायसंगत विधि क्यों माना जाता है?
हल :
क्योंकि किसी सिक्के को उछालने पर चित और पट में से कोई एक परिणाम प्राप्त होने की संभावनाएँ समान हैं। इसलिए फुटबॉल के खेल को प्रारंभ करते समय यह निर्णय लेने के लिए कि कौन-सी टीम पहले बॉल लेगी, इसके लिए सिक्का उछालना एक न्यायसंगत विधि है।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती?
(A) 2/3
(B) -1.5
(C) 15%
(D) 0.7
हल :
(B)-1.5 (क्योंकि किसी घटना की प्रायिकता (P) हमेशा शुन्य और 1 के बीच होती है।)

प्रश्न 5.
यदि P(E) = 0.05 है, तो ‘E नहीं की प्रायिकता क्या है? हल : यहाँ पर,
P(E) = 0.05
P(E नहीं) = ?
हम जानते हैं कि
P(E) + P(E नहीं) = 1
P(E नहीं) = 1- P(E)
= 1- 0.05 = 0.95

प्रश्न 6.
एक थैले में केवल नींबू की महक वाली मीठी गोलियाँ हैं। मालिनी बिना थैले में झाँके उसमें से एक गोली निकालती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह निकाली गई गोली
(i) संतरे की महक वाली है?
(ii) नींबू की महक वाली है?
हल :
(i) थैले में से संतरे की महक वाली गोली निकलने की प्रायिकता शून्य है क्योंकि थैले में केवल नींबू की महक वाली मीठी गोलियाँ हैं। अर्थात्
P(संतरे की महक वाली गोली) = 0
(ii) थैले में से नींबू की महक वाली गोली निकलने की प्रायिकता एक है क्योंकि थैले में केवल नींबू की महक वाली मीठी गोलियाँ ही हैं। अर्थात्
P(नींबू की महक वाली गोली) = 1

प्रश्न 7.
यह दिया हुआ है कि 3 विद्यार्थियों के एक समूह में से 2 विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन न होने की प्रायिकता 0.992 है। इसकी क्या प्रायिकता है कि इन 2 विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन हो?
हल :
माना 2 विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन होने की प्रायिकता को E से लिखा जाता है तो प्रश्नानुसार,
P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 0.992
P(E) = ?
हम जानते हैं कि
P(E) + P(\(\overline{\mathrm{E}}\)) = 1
P(E) = 1 – P(\(\overline{\mathrm{E}}\))
= 1-0.992 = 0.008
अतः 2 विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन होने की प्रायिकता 0.008 होगी।

प्रश्न 8.
एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। इस थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। इसकी प्रायिकता क्या है कि गेंद (1) लाल हो? (it) लाल नहीं हो?
हल :
यहाँ पर,
थैले में लाल गेंदों की संख्या = 3
थैले में काली गेंदों की संख्या = 5
थैले में गेंदों की कुल संख्या = 3 +5 = 8
∴ सभी संभव परिणामों की संख्या = 8

(i) लाल गेंद के अनुकूल परिणामों की संख्या = 3
P (लाल गेंद हो) = \(\frac{3}{8}\)

(ii) P (लाल गेंद नहीं हो) = 1 – \(\frac{3}{8}\)
= \(\frac{8-3}{8}=\frac{5}{8}\)

प्रश्न 9.
एक डिब्बे में 5 लाल कंचे, 8 सफेद कंचे और 4 हरे कंचे हैं। इस डिब्बे में से एक कंचा यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाला गया कंचा
(i) लाल है? (ii) सफेद है? (iii) हरा नहीं है?
हल :
यहाँ पर,
डिब्बे में लाल कंचों की संख्या = 5
डिब्बे में सफेद कंचों की संख्या = 8
डिब्बे में हरे कंचों की संख्या = 4
डिब्बे में कुल कंचों की संख्या = 5 + 8 + 4 = 17
∴ सभी संभव परिणामों की संख्या = 17

(i) लाल कंचे के अनुकूल परिणामों की संख्या = 5
∴ P (लाल कंचा) = \(\frac{5}{17}\)

(ii) सफेद कंचे के अनुकूल परिणामों की संख्या = 8
∴ (सफेद कंचा) = \(\frac{8}{17}\)

(iii) , हरे कंचे के अनुकूल परिणामों की संख्या = 4
∴ P (हरा कंचा) = \(\frac{4}{17}\)
P (हरा कंचा नहीं) = \(1-\frac{4}{17}=\frac{17-4}{17}=\frac{13}{17}\)

प्रश्न 10.
एक पिग्गी बैंक (piggy bank) में, 50 पैसे के सौ सिक्के हैं, 1 रु० के पचास सिक्के हैं, 2 रु० के बीस सिक्के और 5 रु० के दस सिक्के हैं। यदि पिग्गी बैंक को हिलाकर उल्टा करने पर कोई एक सिक्का गिरने के परिणाम समप्रायिक हैं, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि वह गिरा हुआ सिक्का (1) 50 पैसे का होगा? (ii) 5 रु० का नहीं होगा?
हल :
यहाँ पर, पिग्गी बैंक में
50 पैसे के सिक्कों की संख्या = 100
1 रु० के सिक्कों की संख्या = 50
2 रु० के सिक्कों की संख्या = 20
5 रु० के सिक्कों की संख्या = 10
∴ पिग्गी बैंक में सिक्कों की कुल संख्या = 100 + 50 + 20 + 10 = 180
∴ सभी संभव परिणामों की संख्या = 180

(i) 50 पैसे के सिक्के के अनुकूल परिणामों की संख्या = 100
∴ P (50 पैसे का सिक्का) = \(\frac{100}{180}=\frac{5}{9}\)

(ii) 5 रु० के सिक्के के अनुकूल परिणामों की संख्या = 10
∴ P (5 रु० का सिक्का) = \(\frac{10}{180}=\frac{1}{18}\)
P (5 रु० का सिक्का नहीं) = \(1-\frac{1}{18}=\frac{18-1}{18}=\frac{17}{18}\)

प्रश्न 11.
गोपी अपने जल-जीव कुंड (aquarium) के लिए एक दुकान से मछली खरीदती है। दुकानदार एक टंकी, जिसमें 5 नर मछली और 8 मादा मछली हैं, में से एक मछली यादृच्छया उसे देने के लिए निकालती है (देखिए संलग्न आकृति)। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाली गई मछली नर मछली है?

हल :
यहाँ पर, टंकी में
नर मछलियों की संख्या = 5
मादा मछलियों की संख्या = 8
∴ टंकी में मछलियों की कुल संख्या = 5 + 8 = 13
∴ सभी संभव परिणामों की संख्या = 13
नर मछली के अनुकूल परिणामों की संख्या = 5
∴ P (नर मछली) = \(\frac{5}{13}\)

प्रश्न 12.
संयोग (chance) के एक खेल में, एक तीर को घुमाया जाता है, जो विश्राम में आने के । बाद संख्याओं 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 और 8 में से किसी एक संख्या को इंगित करता है (देखिए संलग्न आकृति)। यदि ये सभी परिणाम समप्रायिक हों तो इसकी क्या प्रायिकता है कि यह तीर इंगित
(i) 8 को करेगा?
(ii) एक विषम संख्या को करेगा?
(iii) 2 से बड़ी संख्या को करेगा?
(iv) 9 से छोटी संख्या को करेगा?

हल :
यहाँ पर,
_ बिंदुओं की कुल संख्या = 8 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)
सभी संभव परिणामों की संख्या = 8

(i) यहाँ पर, अनुकूल परिणामों की संख्या = 1
∴ P (तीर 8 को इंगित करेगा) = \(\frac{1}{8}\)

(ii) यहाँ पर, अनुकूल परिणामों की संख्या = 4 (विषम संख्याएँ = 1, 3, 5, 7)
∴ P (तीर एक विषम संख्या को इंगित करेगा) = \(\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)

(iii) यहाँ पर, अनुकूल परिणामों की संख्या = 6 (2 से बड़े बिंदु = 3, 4, 5, 6, 7, 8)
P (तीर 2 से बड़ी संख्या को इंगित करेगा) = \(\frac{6}{8}=\frac{3}{4} \)

(iv) यहाँ पर, अनुकूल परिणामों की संख्या = 8 (9 से छोटी संख्याएँ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)
∴ P (तीर 9 से छोटी संख्या को इंगित करेगा) = \(\frac{8}{8}\) = 1

प्रश्न 13.
एक पासे को एक बार फेंका जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए-
(i) एक अभाज्य संख्या
(ii) 2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या
(iii) एक विषम संख्या।
हल :
यहाँ पर, पासे को एक बार फेंकने पर सभी संभव परिणामों की संख्या = 6

(i) अनुकूल परिणामों की संख्या = 3 (अभाज्य संख्याएँ = 2, 3, 5)
∴ P (एक अभाज्य संख्या) = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

(ii) अनुकूल परिणामों की संख्या = 3 (संख्याएँ = 3, 4, 5)
P (2 और 6 के बीच की संख्या) = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

iii) अनुकूल परिणामों की संख्या = 3 (विषम संख्याएँ = 1, 3, 5)
P (एक विषम संख्या) = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

प्रश्न 14.
52 पत्तों को अच्छी प्रकार से फेंटी गई एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए-
(i) लाल रंग का बादशाह
(ii) एक फेस कार्ड अर्थात् तस्वीर वाला पत्ता
(iii) लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता
(iv) पान का गुलाम
(v) हुकुम का पत्ता (vi) एक ईंट की बेगम
हल :
यहाँ पर,
ताश की गड्डी में पत्तों की कुल संख्या = 52
सभी संभव परिणामों की संख्या = 52

(i) लाल रंग के बादशाहों की संख्या = 2
अनुकूल परिणामों की संख्या = 2
अतः P (लाल रंग का बादशाह) = \(\frac{2}{52}=\frac{1}{26}\)

(ii) तस्वीर वाले पत्तों की संख्या = 12 (बादशाह, बेगम, गुलाम)
अनुकूल परिणामों की संख्या = 12
P (एक फेस कार्ड अर्थात् तस्वीर वाला पत्ता) = \(\frac{12}{52}=\frac{3}{13}\)

(iii) लाल रंग के तस्वीर वाले पत्तों की संख्या = 6
अनुकूल परिणामों की संख्या = 6
P (लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता) = \(\frac{6}{52}=\frac{3}{26}\)

(iv) पान के गुलामों की संख्या = 1
अनुकूल परिणामों की संख्या = 1
P (पान का गुलाम) = \(\frac{1}{52}\)

(v) हुकुम के पत्तों की संख्या = 13
अनुकूल परिणामों की संख्या = 13
P (हुकुम का पत्ता) = \(\frac{13}{52}=\frac{1}{4}\)

(vi) ईंट की बेगमों की संख्या = 1
अनुकूल परिणामों की संख्या = 1
अतः P (एक ईंट की बेगम) = \(\frac{1}{52}\)

प्रश्न 15.
ताश के पाँच पत्तों-ईंट का दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह और इक्का-को पलट करके अच्छी प्रकार फेंटा जाता है। फिर इनमें से यादृच्छया एक पत्ता निकाला जाता है।
(i) इसकी क्या प्रायिकता है कि यह पत्ता बेगम का है?
(ii) यदि बेगम निकल आती है, तो उसे अलग रख दिया जाता है और एक अन्य पत्ता निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि दूसरा निकाला गया पत्ता (a) एक इक्का है? (b) एक बेगम है?
हल :
यहाँ पर,
(i) ताश के पत्तों की संख्या = 5 (ईंट का दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह व इक्का)
सभी संभव परिणामों की संख्या = 5
बेगम की संख्या = 1
अनुकूल परिणामों की संख्या = 1
अतः P (एक बेगम पत्ता) = \(\frac{1}{5}\)

(ii) बेगम निकालने के बाद पत्तों की संख्या = 4
सभी संभव परिणामों की संख्या = 4
(a) इक्कों की संख्या = 1
अनुकूल परिणामों की संख्या = 1
अतः P (एक इक्का है) = \(\frac{1}{4}\)
(b) बेगम की संख्या = 0
अनुकूल परिणामों की संख्या = 0
अतः P (एक बेगम है) = \(\frac{0}{4}\) = 0

प्रश्न 16.
किसी कारण 12 खराब पेन 132 अच्छे पेनों में मिल गए हैं। केवल देखकर यह नहीं बताया जा सकता है कि कोई पेन खराब है या अच्छा है। इस मिश्रण में से, एक पेन यादृच्छया निकाला जाता है। निकाले गए पेन की अच्छा होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर,
अच्छे पेनों की संख्या = 132
खराब पेनों की संख्या = 12
पेनों की कुल संख्या = 132 + 12 = 144
सभी संभव परिणामों की संख्या = 144
अनुकूल परिणामों की संख्या (अच्छे पेन) = 132
∴ P (एक अच्छे पेन) = \(\frac{132}{144}=\frac{11}{12}\)

प्रश्न 17.
(i) 20 बल्बों के एक समूह में 4 बल्ब खराब हैं। इस समूह में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब होगा?
(ii) मान लीजिए (i) में निकाला गया बल्ब खराब नहीं है और न ही इसे दुबारा बल्बों के साथ मिलाया जाता है। अब शेष बल्बों में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब नहीं होगा?
हल :
यहाँ पर,
(i) बल्बों की कुल संख्या = 20
सभी संभव परिणामों की संख्या = 20
खराब बल्बों की संख्या = 4
अनुकूल परिणामों की संख्या = 4
अतः P (एक खराब बल्ब) = \(\frac{4}{20}=\frac{1}{5}\)

(ii) क्योंकि घटना (i) में निकाला गया बल्ब खराब नहीं है और न ही इसे दुबारा बल्बों के साथ मिलाया जाता है।
∴ बल्बों की शेष संख्या = 20 – 1 = 19
सभी संभव परिणामों की संख्या = 19
अच्छे बल्बों की संख्या = 19-4 = 15
अनुकूल परिणामों की संख्या = 15
अतः P (एक खराब बल्ब नहीं) = \(\frac{15}{19}\)

प्रश्न 18.
एक पेटी में 90 डिस्क (discs) हैं, जिन पर 1 से 90 तक संख्याएँ अंकित हैं। यदि इस पेटी में से एक डिस्क यादृच्छया निकाली जाती है तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस डिस्क पर अंकित होगी-1) दो अंकों की एक संख्या (it) एक पूर्ण वर्ग संख्या (ii) 5 से विभाज्य एक संख्या।
हल :
यहाँ पर,
पेटी में डिस्कों पर अंकित संख्याएँ = 90 (1 से 90 तक)
सभी संभव परिणामों की संख्या = 90
(i) दो अंकों की संख्याओं वाली डिस्कों की संख्या = 81 (10 से 90 तक)
अनुकूल परिणामों की संख्या = 81
∴ P (दो अंकों की एक संख्या वाली डिस्क) = \(\frac{81}{90}=\frac{9}{10}\)

(ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या वाली डिस्कों की संख्या = 9 (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81)
अनुकूल परिणामों की संख्या = 9
∴ P (एक पूर्ण वर्ग संख्या वाली डिस्क) = \(\frac{9}{90}=\frac{1}{10}\)

(iii) 5 से विभाज्य संख्या वाली डिस्कों की संख्या – 18 (5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90)
अनुकूल परिणामों की संख्या = 18
∴ P (5 से विभाज्य संख्या वाली डिस्क) = \(\frac{18}{90}=\frac{1}{5}\)

प्रश्न 19.
एक बच्चे के पास ऐसा पासा है जिसके फलकों पर निम्नलिखित अक्षर अंकित हैं-

इस पासे को एक बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि (1)A प्राप्त हो? (ii) D प्राप्त हो?
हल :
यहाँ पर,
सभी संभव परिणामों की संख्या = 6
(i) ‘A’ के अनुकूल परिणामों की संख्या = 2

= \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)

(ii) ‘D’ के अनुकूल परिणामों की संख्या = 1

= \(\frac{1}{6}\)

प्रश्न 20.
मान लीजिए आप एक पासे को संलग्न आकृति में दर्शाए आयताकार क्षेत्र में यादृच्छया रूप से गिराते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह पासा 1m व्यास वाले वृत्त के अंदर गिरेगा?

हल :
यहाँ पर,
दिए गए आयताकार क्षेत्र का क्षेत्रफल = 3 m x 2 m = 6 m²
1 m व्यास वाले वृत्त की त्रिज्या = \(\frac{1}{2}\) m
1 m व्यास वाले वृत्त का क्षेत्रफल = \(\pi\left(\frac{1}{2} m\right)^{2}=\frac{\pi}{4} m^{2}\)
∴ सभी संभव परिणामों की संख्या = 6
अनुकूल परिणामों की संख्या = \(\frac{\pi}{4}\)
अतः P (पासे के वृत्त के अंदर गिरना) = \(\frac{\pi / 4}{6}=\frac{\pi}{24}\)

प्रश्न 21.
144 बॉल पेनों के एक समूह में 20 बॉल पेन खराब हैं और शेष अच्छे हैं। आप वही पेन खरीदना चाहेंगे जो अच्छा हो, परंतु खराब पेन आप खरीदना नहीं चाहेंगे। दुकानदार इन पेनों में से, यादृच्छया एक पेन निकालकर आपको देता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) आप वह पेन खरीदेंगे?
(ii) आप वह पेन नहीं खरीदेंगे?
हल :
यहाँ पर,
बॉल पेनों की कुल संख्या = 144
खराब बॉल पेनों की संख्या = 20
अच्छे बॉल पेनों की संख्या = 144 – 20 = 124

(i) सभी संभव परिणामों की संख्या = 144
अनुकूल परिणामों की संख्या = 124
P (पेन खरीदेंगी) = \(\frac{124}{144}=\frac{31}{36}\)

(ii) सभी संभव परिणामों की संख्या = 144
अनुकूल परिणामों की संख्या = 20
P (पेन नहीं खरीदेंगी) = \(\frac{20}{144}=\frac{5}{36}\)

प्रश्न 22.
(i) निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए-

(i) एक विद्यार्थी यह तर्क देता है कि ‘यहाँ कुल 11 परिणाम 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 और 12 हैं। अतः प्रत्येक की प्रायिकता \(\frac{1}{11}\)है। क्या आप इस तर्क से सहमत हैं? सकारण उत्तर दीजिए।
हल :
दो पासों को एक साथ फेंकने पर सभी संभव परिणामों की संख्या = 6 x 6 = 36

(i) दोनों पासों की संख्याओं का योग 3 होने के अनुकूल परिणाम = 2 [(1, 2), (2, 1)]
∴ P (पासों की संख्याओं का योग 3) = \(\frac{2}{36}=\frac{1}{18}\)
दोनों पासों की संख्याओं का योग 4 होने के अनुकूल परिणाम = 3 [(1, 3), (2, 2), (3, 1)]
∴ P (पासों की संख्याओं का योग 4) = \(\frac{3}{36}=\frac{1}{12}\)
दोनों पासों की संख्याओं का योग 5 होने के अनुकूल परिणाम = 4 [(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)]
∴ P (पासों की संख्याओं का योग 5) = \(\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\)
दोनों पासों की संख्याओं का योग 6 होने के अनुकूल परिणाम = 5 [(1, 5), (2,4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)]
∴ P (पासों की संख्याओं का योग 6) = \(\frac{5}{36}\)
दोनों पासों की संख्याओं का योग 7 होने के अनुकूल परिणाम = 6 [(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)]
∴ P (पासों की संख्याओं का योग 7) = \(\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\)
दोनों पासों की संख्याओं का योग 9 होने के अनुकूल परिणाम = 4 [(3, 6), (4, 5), (5,4), (6, 3)]
∴ P (पासों की संख्याओं का योग 9) = \(\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\)
दोनों पासों की संख्याओं का योग 10 होने के अनुकूल परिणाम = 3 [(5, 5), (4, 6), (6, 4)]
∴ P(पासों की संख्याओं का योग 10) = \(\frac{3}{36}=\frac{1}{12}\)
दोनों पासों की संख्याओं का योग 11 होने के अनुकूल परिणाम = 2 [(5, 6), (6, 5)]
∴ P (पासों की संख्याओं का योग 11) = \(\frac{2}{36}=\frac{1}{18}\)
दोनों पासों की संख्याओं का योग 12 होने के अनुकूल परिणाम = 1 [6, 6]
∴ p(पासों की संख्याओं का योग 12) = \(\frac{1}{36}\)
अतः दी गई सारणी इस प्रकार पूरी होगी-

(ii) नहीं, ये 11 परिणाम सम-संभावी नहीं हैं।

प्रश्न 23.
एक खेल में एक रुपए के सिक्के को तीन बार उछाला जाता है और प्रत्येक बार का परिणाम लिख लिया जाता है। तीनों परिणाम समान होने पर, अर्थात् तीन चित या तीन पट प्राप्त होने पर, हनीफ खेल में जीत जाएगा, अन्यथा वह हार जाएगा। हनीफ के खेल में हार जाने की प्रायिकता परिकलित कीजिए।
हल :
यहाँ पर,
एक रुपए के सिक्के को तीन बार उछालने पर सभी संभव परिणामों की संख्या = 2³ = 8
[HHH, HTH, THH, TTH, HHT, HTT, THT, TTT]
हनीफ के खेल जीत जाने के अनुकूल परिणाम = 2 (HHH, TIT)
हनीफ के खेल हार जाने के अनुकूल परिणाम = 8 -2 = 6
P (हनीफ का खेल हार जाना) = \(\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\)
अतः 3/4 संभव परिणाम हैं-HHH, TTT, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, यहाँ THH का अर्थ पहले उछाल में पट, दूसरे में चित तथा तीसरे में भी चित इत्यादि।

प्रश्न 24.
एक पासे को दो बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) 5 किसी भी बार में नहीं आएगा? (ii) 5 कम-से-कम एक बार आएगा?
(संकेत-एक पासे को दो बार फेंकना और दो पासों को एक साथ फेंकना एक ही प्रयोग माना जाता है।)
हल :
एक पासे को दो बार फेंकने पर सभी संभव परिणामों की संख्या = 6 x 6 = 36
अर्थात्

(i) 5 किसी भी बार में नहीं आने के अनुकूल परिणामों की संख्या = 36 – 11 = 25
अतःP (5 किसी भी बार में नहीं आएगा) = \(\frac{25}{36}\)
(ii) 5 कम-से-कम एक बार आने के अनुकूल परिणामों की संख्या = 11
अतः P (5 कम-से-कम एक बार आएगा) = \(\frac{11}{36}\)

प्रश्न 25.
निम्नलिखित में से कौन से तर्क सत्य हैं और कौन से तर्क असत्य हैं? सकारण उत्तर दीजिए।
(i) यदि दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है, तो इसके तीन संभावित परिणाम-दो चित, दो पट या प्रत्येक एक बार हैं। अतः इनमें से प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता है।
(ii) यदि एक पासे को फेंका जाता है, तो इसके दो संभावित परिणाम-एक विषम संख्या या एक सम संख्या हैं। अतः एक विषम संख्या ज्ञात करने की प्रायिकता , है।
हल :
(i) सत्य नहीं है। हम इस प्रकार परिणामों को वर्गीकृत कर सकते हैं परंतु वे सम-संभावी नहीं है क्योंकि दोनों सिक्कों को उछालने पर यह हो सकता है कि पहले पर चित और दूसरे पर पट या पहले पर पट तथा दूसरे पर चित आए। इसलिए एक पर पट तथा दूसरे पर चित आने की संभावना दोनों पर चित या दोनों पर पट आने की संभावनाओं का दुगुना है।
(ii) सही है। प्रश्न में विचारित दोनों परिणाम सम-संभावी हैं।