HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.5

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Exercise 3.5

प्रश्न 1.
निम्नलिखित रैखिक समीकरणों के युग्मों में से किसका एक अद्वितीय हल है, किसका कोई हल नहीं है या किसके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं। अद्वितीय हल की स्थिति में, उसे वज्र-गुणन विधि से ज्ञात कीजिए।
(i) x – 3y – 3 = 0
3x – 9y – 2 = 0
(ii) 2x + y =5
3x + 2y = 8
(iii) 3x – 5y = 20
6x – 10y = 40
(iv) x – 3y – 7 = 0
3x – 3y – 15 = 0
हल :
(i) यहाँ पर x – 3y – 3 = 0 ….(i)
3x – 9y – 2 = 0 ….(ii)
a₁ = 1; b₁ = -3; c₁ = -3
a₂ = 3; b₂ = – 9; c₂ = -2

इसलिए दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है।

(ii) यहाँ पर
2x + y-5 = 0
व 3x + 2y – 8 = 0
a₁ = 2; b₁ = 1; c₁ = -5
a₂ = 3; b₂ = 2; c₂ = – 8

इसलिए दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का अद्वितीय हल है।

अब वज्र-गुणन विधि से हल करने के लिए

x = 2 और y =1
अतः अभीष्ट हल x = 2 व y=1

(iii) यहाँ पर
3x – 5y – 20 = 0 …………….(i)
6x – 10y – 40 = 0 …………….(ii)
a₁ = 3; b₁ = -5; c₁ = – 20
a₂ = 6; b₂ = – 10; c₂ = – 40

इसलिए दिए गए रैखिक समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

(iv) यहाँ पर
x – 3y – 7 = 0
3x – 3y – 15 = 0
a₁ = 1; b₁ = -3; c₁ = – 7
a₂ = 3; b₂ = -3; c₂ = – 15

इसलिए दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का अद्वितीय हल है।

अब वज्र-गुणन विधि से हल करने के लिए

x = 4 और y = -1
अतः अभीष्ट हल x = 4 व y = – 1

प्रश्न 2.
(i) a और b के किन मानों के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?
2x + 3y = 7
(a – b)x + (a + b)y = 3a + b -2

(ii) k के किस मान के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है?
3x + y = 1
(2k – 1)x + (k – 1)y = 2k + 1
हल :
(i) यहाँ पर 2x + 3y – 7 = 0 …………..(i)
व . (a – b)x + (a + b)y – (3a + b – 2) = 0 …………..(ii)
a₁ = 2; b₁ = 3; c₁ = -7 .
a₂ = a – b; b₂ = a + b; c₂ = – (3a + b -2)
दिए गए रैखिक समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल के लिए आवश्यक है कि,

2(a + b) = 3(a – b) व -2 (3a + b – 2) = -7(a – b)
या 2a + 2b = 3a-36 व -6a-2b + 4 = – 7a + 7b
या 3a – 3b – 2a – 2b = 0 व – 6a – 2b + 4 + 7a – 7b = 0
या a – 5b = 0 व a – 9b + 4 = 0
अर्थात् a – 5b = 0 …………(1)
व a – 9b + 4 = 0…(ii)

अब वज्र-गुणन विधि से हल करने के लिए

a = 5 व b = 1
अतः अभीष्ट मान a = 5 व b = 1 के लिए रैखिक समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे।

(ii) यहाँ पर
3x + y – 1 = 0 …(i)
व (2k – 1)x + (k – 1) – (2k + 1) = 0 …(ii)
4₁ = 3; b₁ = 1; csub>1 = -1
a₂ = 2k- 1; b₂ = k- 1; c₂ = – (2k + 1)
दिए गए रैखिक समीकरण युग्म के कोई भी हल न होने के लिए आवश्यक है कि,
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\)
\(\frac{3}{2 k-1}=\frac{1}{k-1}\)
या 3(k – 1) = 1(2k– 1)
या 3k – 3 = 2k – 1
या 3k – 2k = -1 +3
या k = 2
अतः अभीष्ट मान k = 2 के लिए रैखिक समीकरण युग्म का कोई भी हल नहीं होगा।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित रैखिक समीकरणों के युग्म को प्रतिस्थापन एवं वज्र-गुणन विधियों से हल कीजिए। किस विधि को आप अधिक उपयुक्त मानते हैं?
8x + 5y = 9
3r + 2y = 4
हल :
यहाँ पर
8x + 5y – 9 = 0 ………………..(i)
3x + 2y – 4 = 0 ………………….(ii)
प्रतिस्थापन विधि से हल करने के लिए समीकरण (i) से y = \(\frac{9-8 x}{5}\)
y = \(\frac{9-8 x}{5}\) को समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
3x + 2(\(\frac{9-8 x}{5}\)) -4 = 0
या 15x + 2(9 – 8x) – 20 = 0 (दोनों ओर 5 से गुणा करने पर)
या 15x + 18 – 16x – 20 = 0
या -x – 2 = 0
या x = -2
x का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
8(-2) + 5y – 9 = 0
या 5y = 9 + 16
या y =\(\frac{25}{5}\) = 5
अतः अभीष्ट हल x = -2 व y = 5

वज्र-गुणन विधि से हल करने के लिए-

अतः अभीष्ट हल x = -2 व y = 5
अतः वज्र-गुणन विधि अधिक उपयुक्त है।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) किसी बीजगणितीय विधि से ज्ञात कीजिए
(i) एक छात्रावास के मासिक व्यय का एक भाग नियत है तथा शेष इस पर निर्भर करता है कि छात्र ने कितने दिन भोजन लिया है। जब एक विद्यार्थी A को, जो 20 दिन भोजन करता है, 1000 रु० छात्रावास के व्यय के लिए अदा करने पड़ते हैं, जबकि एक विद्यार्थी B को, जो 26 दिन भोजन करता है छात्रावास के व्यय के लिए 1180 रु० अदा करने पड़ते हैं। नियत व्यय और प्रतिदिन के भोजन का मूल्य ज्ञात कीजिए।
(ii) एक भिन्न \(\frac{1}{3}\) हो जाती है, जब उसके अंश से 1 घटाया जाता है और वह \(\frac{1}{4}\) हो जाती है। जब हर में 8 जोड़ दिया जाता है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।
(iii) यश ने एक टेस्ट में 40 अंक अर्जित किए, जब उसे प्रत्येक सही उत्तर पर 3 अंक मिले तथा अशुद्ध उत्तर पर 1 अंक की कटौती की गई। यदि उसे सही उत्तर पर 4 अंक मिलते तथा अशुद्ध उत्तर पर 2 अंक कटते, तो यश 50 अंक अर्जित करता। टेस्ट में कितने प्रश्न थे?
(iv) एक राजमार्ग पर दो स्थान A और B, 100 km की दूरी पर हैं। एक कार A से तथा दूसरी कार B से एक ही समय चलना प्रारंभ करती है। यदि ये कारें भिन्न-भिन्न चालों से एक ही दिशा में चलती हैं, तो वे 5 घंटे पश्चात मिलती हैं और यदि ये विपरीत दिशा में चलती हैं तो वे 1 घंटे पश्चात् मिलती हैं। दोनों कारों की चाल ज्ञात कीजिए।
(v) एक आयत का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई कम हो जाता है, यदि उसकी लंबाई 5 इकाई कम कर दी जाती है और चौड़ाई 3 इकाई बढ़ा दी जाती है। यदि हम लंबाई को 3 इकाई और चौड़ाई को 2 इकाई बढ़ा दें, तो क्षेत्रफल 67 वर्ग इकाई बढ़ जाता है। आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हल :
(i) यहाँ पर
माना छात्रावास का मासिक नियत व्यय = x रु०
व छात्र के प्रतिदिन के भोजन का व्यय = y रु०
प्रश्नानुसार रैखिक समीकरण युग्म होंगे,
x + 20y = 1000 (विद्यार्थी A के लिए) …………….(i)
x + 26y = 1180 (विद्यार्थी B के लिए) ………..(ii)
समीकरण (ii) को समीकरण (i) में से घटाने पर

y का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
x + 20(30) = 1000
x = 1000 – 600 = 400
अतः छात्रावास का मासिक नियत व्यय = 400 रु०
व छात्र के प्रतिदिन के भोजन का व्यय = 30 रु०

(ii) यहाँ पर
माना भिन्न = \(\frac{x}{y}\)
प्रश्नानुसार रैखिक समीकरण युग्म होंगे,
\(\frac{x-1}{y}=\frac{1}{3}\)
3x – 3 = y
3x – y = 3 …………………(i)
\(\frac{x}{y+8}=\frac{1}{4}\)
या 4x = y +8
या 4x -y = 8
समीकरण (ii) को समीकरण (i) में से घटाने पर,

या x = 5

x = 5 x का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
3(5) – y = 3:
या -y = 3 – 15
या -y = – 12
या y = 12
अतः अभीष्ट भिन्न = \(\frac{5}{12}\)

(iii) यहाँ पर
माना यश के टेस्ट में सही उत्तरों की संख्या = x
व यश के टेस्ट में अशुद्ध उत्तरों की संख्या = y
प्रश्नानुसार रैखिक समीकरण युग्म होंगे,
3x – y = 40 ……………(i)
व 4x – 2y = 50
2x – y = 25
समीकरण (ii) को समीकरण (i) में से घटाने पर,

x का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
3(15) – y = 40
या -y = 40 – 45
या -y = -5
या y = 5
अतः   प्रश्नों की कुल संख्या = x +y = 15 + 5 = 20

(iv) यहाँ पर
माना स्थान A से चलने वाली कार की चाल = u km/h
व स्थान B से चलने वाली कार की चाल = v km/h
स्थान A से चलने वाली कार द्वारा 5 घंटे व 1 घंटे में क्रमशः तय दूरी = 5u km व u km
स्थान B से चलने वाली कार द्वारा 5 घंटे व 1 घंटे में क्रमशः तय दूरी = 5v km व v km
प्रश्नानुसार रैखिक समीकरण युग्म होंगे,
5u – 5v = 100
या u – v = 20 (दोनों ओर 5 से भाग करने पर) …………..(i)
u + v = 100 …..(ii)
समीकरण (i) व समीकरण (ii) को जोड़ने पर
2u = 120
या u = \(\frac{120}{2}\) = 60
u का मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
60 +v = 100
या v = 100 -60 = 40
अतः स्थान A से चलने वाली कार की चाल = 60 km/h
व स्थान B से चलने वाली कार की चाल = 40 km/h

(v).यहाँ पर
माना आयत की लंबाई = x इकाई
तथा आयत की चौड़ाई = y इकाई
तो आयत का क्षेत्रफल = xy वर्ग इकाई
प्रश्नानुसार रैखिक समीकरण युग्म होंगे, ..
(x -5) (y + 3) = xy – 9
या xy + 3x – 5y – 15 = xy – 9
या xy + 3x – 5y-xy = – 9 + 15
या 3x – 5y = 6 …………(i)
(x + 3) (y + 2) = xy + 67
या xy + 2x + 3y + 6 = xy + 67
या xy + 2x + 3y – xy = 67 – 6
या 2x + 3y = 61 …………..(ii)
समीकरण (i) को 3 से तथा समीकरण (ii) को 5 से गुणा करके परस्पर जोड़ने से,

या x = \(\frac{323}{19}\) = 17
x का मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
2(17) + 3y = 61
या 3y = 61 – 34
या y = \(\frac{27}{3}\) = 9
अतः आयत की लंबाई = 17 इकाई
व आयत की चौड़ाई = 9 इकाई