Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.2 Textbook Exercise Questions and Answers.
Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Exercise 6.2
यदि एक रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करे, तो वह तीसरी भुजा के समांतर होती है। [आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का विलोम]
हल :
दिया है : ΔABC में एक रेखा l भुजाओं AB और AC को क्रमशः D और E पर इस प्रकार काटती है कि \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\)
सिद्ध करना है : DE || BC
उपपत्ति: माना DE ∦ BC तब D से DE’ || BC खींचे।
अब, क्योंकि DE’ || BC.
[atex]\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{E}^{\prime} \mathrm{C}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{EC}}[/latex]
E’C || EC.
परंतु यह तभी संभव है जब E तथा E’ संपाती हों अर्थात् DE’ रेखा l हो जबकि DE’ || BC अतः
DE || BC [इति सिद्धम]
प्रश्न 1.
आकृति (i) और (ii) में, DE || BC है। (i) में EC और (ii) में AD ज्ञात कीजिए-
हल :
(i) दिया है, AD = 1.5cm, DB = 3cm, AE = 1cm, EC = ?
क्योंकि ΔABC में DE || BC,
इसलिए \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\)
\(\frac{1.5}{3}=\frac{1}{E C}\)
1.5 EC = 3 x 1
EC = \(\frac{3 \times 1}{1.5}\)= 2cm
(ii) दिया है, DB = 7.2cm, AE = 1.8cm, EC = 5.4cm, AD = ?
क्योंकि ΔABC में DE || BC,
इसलिए \(\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C}\)
\(\frac{\mathrm{AD}}{7.2}=\frac{1.8}{5.4}\)
DB – EC AD 1.8 7.2 5.4
AD = \(\frac{1.8 \times 7.2}{5.4}\) = 2.4 cm
प्रश्न 2.
किसी APQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिंदु E और F स्थित हैं। निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति के लिए, बताइए कि क्या EF || QR है
(i) PE = 3.9cm, EQ = 3cm, PF = 3.6cm और FR = 2.4cm
(ii) PE = 4cm, QE = 4.5cm, PF = 8cm और RF = 9cm
(iii) PQ = 1.28cm, PR = 2.56cm, PE = 0.18cm 3 PF = 0.36cm
हल :
(i) दिया है, PE = 3.9cm, EQ = 3cm, PF = 3.6cm, FR = 2.4cm
अब,
\(\frac{\mathrm{PE}}{\mathrm{EQ}}=\frac{3.9}{3}=\frac{39}{30}=\frac{13}{10}\) ……………(i)
\(\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{FR}}=\frac{3.6}{2.4}=\frac{36}{24}=\frac{3}{2}\) ……………(ii)
समीकरण (i) व (ii) से,
\(\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{FR}}=\frac{3.6}{2.4}=\frac{36}{24}=\frac{3}{2}\)
\(\frac{\mathrm{PE}}{\mathrm{EQ}} \neq \frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{FR}}\)
अतः EF समांतर नहीं है QR अर्थात् EF ∦ QR
(iii) दिया है, PE = 4cm, QE = 4.5cm, PF = 8cm, RF = 9cm
अब,
\(\frac{P E}{E Q}=\frac{4}{4.5}=\frac{40}{45}=\frac{8}{9}\) …………….(i)
\(\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{FR}}=\frac{8}{9}\) …………..(ii)
समीकरण (i) व (ii) से,
\(\frac{\mathrm{PE}}{\mathrm{EQ}}=\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{FR}}\)
अतः EF || QR
(iii) दिया है, PQ = 1.28cm, PR = 2.56cm, PE = 0.18cm, PF = 0.36cm
EQ=PQ-PE = 1.28 -0.18 = 1.10cm
FR = PR-PF = 2.56-0.36 = 2.20cm
अब,
\(\frac{\mathrm{PE}}{\mathrm{EQ}}=\frac{0.18}{1.10}=\frac{18}{110}=\frac{9}{55}\) ……………(i)
\(\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{FR}}=\frac{0.36}{2.20}=\frac{36}{220}=\frac{9}{55}\) ……………(ii)
समीकरण (i) व (ii) से,
\(\frac{\mathrm{PE}}{\mathrm{EQ}}=\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{FR}}\)
अतः EF || QR
प्रश्न 3.
संलग्न आकृति में यदि LM || CB और LN || CD हो तो सिद्ध कीजिए कि \(\frac{A M}{A B}=\frac{A N}{A D}\) है।
हल :
ΔABC में LM || BC
प्रश्न 4.
संलग्न आकृति में DE || AC और DF ||AE है। सिद्ध कीजिए कि \(\frac{\mathbf{B F}}{\mathbf{F E}}=\frac{\mathbf{B E}}{\mathbf{E C}}\) है।
हल :
ΔABC में DE || AC (दिया है)
\(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AD}}=\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{EC}}\) ……. (i)
ΔABE में DF || AE (दिया है)
[ltex]\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AD}}=\frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{FE}}[/latex] ……. (ii)
समीकरण (i) व (ii) की तुलना से,
\(\frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{FE}}=\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{EC}}\) (इति सिद्धम)
प्रश्न 5.
संलग्न आकृति में DE || OQ और DF || OR है। दर्शाइए कि EF || QR है।
हल :
ΔPQO में DE || OQ है
\(\frac{P E}{E Q}=\frac{P D}{D O}\) ……. (i)
ΔPRO में DF || OR है
\(\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{FR}}=\frac{\mathrm{PD}}{\mathrm{DO}}\) …… (ii)
समीकरण (i) व (ii) की तुलना से,
\(\frac{\mathrm{PE}}{\mathrm{EQ}}=\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{FR}}\)
अब क्योंकि ΔPQR में
\(\frac{\mathrm{PE}}{\mathrm{EQ}}=\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{FR}}\)
EF || QR (इति सिद्धम)
प्रश्न 6.
संलग्न आकृति में क्रमशः OP,OQ और OR पर स्थित बिंदु A, B और C इस प्रकार हैं कि AB || PQ और AC || PR है। दर्शाइए कि BC ||QR है।
हल :
ΔPOQ में AB || PQ है
\(\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{AP}}=\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{BQ}}\) …………..(i)
ΔPOR में AC || PR है
\(\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{AP}}=\frac{\mathrm{OC}}{\mathrm{CR}}\) ….. (ii)
समीकरण (i) व (ii) की तुलना से,
\(\frac{O B}{B Q}=\frac{O C}{C R}\)
अतःΔOQR में BC || QR (इति सिद्धम)
प्रश्न 7.
प्रमेय 6.1 (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय) का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से होकर दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है। (याद कीजिए कि आप इसे कक्षा IX में सिद्ध कर चुके हैं।)
हल :
दिया है : एक ΔABC में AB के मध्य-बिंदु D से एक रेखा ! ||BC खींची गई जो AC को E पर प्रतिच्छेद करती है।
सिद्ध करना है : E, AC का मध्य-बिंदु है।
उपपत्तिः क्योंकि D, AB का मध्य-बिंदु है, इसलिए,
AD = DB
\(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{1}{1}\)
परंतु ΔABC में l || BC
\(\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C}\) (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के अनुसार) ….(ii)
समीकरण (i) व (ii) की तुलना से,
\(\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}=\frac{1}{1}\)
(इति सिद्धम)
AE = EC
अतः E, AC का मध्य-बिंदु है।
प्रश्न 8.
प्रमेय 6.2 (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम) का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है। (याद कीजिए कि आप कक्षा IX में ऐसा कर चुके हैं।)
हल :
दिया है : एक ΔABC में D और E क्रमशः भुजाओं AB और AC के मध्य-बिंदु हैं।
सिद्ध करना है : DE || BC
उपपत्ति : क्योंकि D, भुजा AB का मध्य-बिंदु है,
AD = DB
\(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{1}{1}\) ………….(i)
इसी प्रकार E, भुजा AC का मध्य-बिंदु है।
AE = EC
\(\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}=\frac{1}{1}\) ….(ii)
समीकरण (i) व (ii) की तुलना से,
\(\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C}\)
अतः रेखा DE भुजाओं AB और AC को समानुपात में विभाजित करती है। आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम अनुसार,
DE || BC (इति सिद्धम)
प्रश्न 9.
ABCD एक समलंब है जिसमें AB || DC है तथा इसके विकर्ण परस्पर बिंदु ० पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि \(\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{BO}}=\frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{DO}}\) है।
हल :
दिया है : ABCD एक समलंब है जिसमें AB || DC तथा विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु 0 पर प्रतिच्छेद करते हैं।
सिद्ध करना है : \(\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{BO}}=\frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{DO}}\)
रचना : बिंदु O से OE || AB या DC खींचें जो AD को E पर काटे।
उपपत्ति : ΔADC में OE || DC (रचना द्वारा)
\(\frac{A E}{E D}=\frac{A O}{C O}\)
(आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से) …(1) इसी प्रकार ΔABD में OE || AB (रचना द्वारा)
\(\frac{A E}{E D}=\frac{B O}{D O}\)
(आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से) ….(ii)
समीकरण (i) व (ii) की तुलना से,
\(\frac{A O}{C O}=\frac{B O}{D O}\)
\(\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{BO}}=\frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{DO}}\) (इति सिद्धम)
प्रश्न 10.
एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि 4 4 है। दर्शाइए कि ABCD समलंब है।
हल :
दिया है : चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC तथा BD परस्पर बिंदु ० पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि
\(\)
सिद्ध करना है : ABCD एक समलंब है।
रचना : बिंदु 0 से OE || AB खींचो जो AD को E पर प्रतिच्छेद करे।
उपपत्ति :ΔABD में OE || AB (रचना द्वारा)
अतः आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम से,
OE || DC …………(iii)
परंतु OE || AB ……………(iv)
समीकरण (iii) व (iv) से,
DC || AB
इसलिए ABCD एक समलंब है।