HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.2

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Exercise 2.2

प्रश्न 1.
निम्न द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए
(i) x² – 2x -8
(ii) 4s² – 4s +1
(iii) 6x² – 3 -7x
(iv) 4u² + 8u
(v) t² – 15
(vi) 3x² – x – 4
हल :
(i) यहाँ पर
p(x) = x² – 2x – 8
= x² – 4x + 2x – 8
= (x – 4)+ 2 (x – 4)
= (x-4) (x + 2)
बहुपद p (x) के शून्यकों के लिए
p(x) = 0
(x-4) (x + 2) = 0
x – 4 = 0 या x + 2 = 0
x = 4 या x = -2
अतः बहुपद x² – 2x – 8 के शून्यक α = 4 और β = – 2 हैं।
जाँच-
शून्यकों का योग = α + β = 4 + (-2) = 2

(ii) यहाँ पर
p(s) = 4s² – 4s + 1
= 4s² – 2s – 2s +1
= 25 (2s – 1)- 1 (2s – 1)
= (25 — 1) (2s – 1)
बहुपद p (s) के शून्यकों के लिए
p(s) = 0
(2s – 1) (2s – 1) = 0
2s – 1 = 0 या 25 – 1 = 0
s = 1/2 या s = 1/2
अतः बहुपद 4s² – 4x + 1 के शून्यक α = 1/2 और β = 1/2 हैं।
जाँच

(iii) यहाँ पर
p(x) = 6x² – 3 – 7x
= 6x² – 7x-3
= 6x² – 9x + 2x – 3
= 3x(2x – 3) + 1 (2x – 3)
= (2x-3) (3x+ 1)
बहुपद p (x) शून्यकों के लिए
p(x) = 0
(2x – 3) (3x + 1) = 0
2x – 3 = 0 या 3x + 1 = 0
x = \(\frac{3}{2}\) या x = 5
अतः बहुपद 6x² – 3 – 7x के शून्यक α = \(\frac{3}{2}\), और β = \(\frac{-1}{3}\) हैं।

(iv) यहाँ पर
P(u) = 4u² + 8u
= 4u(u + 2)
बहुपद p(u) के शून्यकों के लिए।
p(u) = 0
4u (u + 2) = 0
4u = 0 या u + 2 = 0
= 0 या u = -2
अतः बहुपद 4u² + 8u के शून्यक α = 0 और β = – 2 हैं।
जाँच शून्यकों का योग = α + β = 0 – 2 = -2

(v) यहाँ पर P(t) = t² – 15
बहुपद p(t) के शून्यकों के लिए p(t) = 0
t² – 15 = 0
t² = 15
t = ±√15
अतः बहुपद t² – 15 के शून्यक α = √15 और β = -√15 हैं।

(vi) यहाँ पर P(x) = 3x² – x – 4
= 3x² – 4x + 3x – 4
= x(3x – 4)+ 1 (3x – 4)
= (3x-4) (x + 1)
बहुपद p (x) के शून्यकों के लिए
p(x) = 0
(3x – 4) (x + 1) = 0
3x – 4 = 0 या x + 1 = 0
x = \(\frac{4}{3}\) या x = -1
अतः बहुपद 3x² – x – 4 के शून्यक α = \(\frac{4}{3}\) और β = -1 है।

प्रश्न 2.
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः दी गई संख्याएँ हैं-
(i) \(\frac{1}{4}\), -1
(ii) \(\sqrt{2}, \frac{1}{3}\)
(iii) 0, √5
(iv) 1,1
(v) \(-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\)
(vi) 4,1
हल :
(i) माना एक द्विघात बहुपद ax² + bx + c है तथा इसके शून्यक α और β हैं। .
प्रश्नानुसार, α + β = \(\frac{1}{4}=\frac{-b}{a}\)
और αβ = -1 = \(\frac{-4}{4}=\frac{c}{a}\)
यदि a = 4 है तो b = – 1 व c = -4 होगा।
अतः एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते संतुष्ट होती हैं = 4x² – x – 4

(ii) माना एक द्विघात बहुपद ax² + bx + c है तथा इसके शून्यक α और β हैं।
प्रश्नानुसार, α + β = \(\sqrt{2}=\frac{3 \sqrt{2}}{3}=\frac{-b}{a}\)
और αβ = \(\frac{1}{3}=\frac{c}{a}\)
यदि a = 3 है तो b = – 3√2 व c = 1 होगा।
अतः एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते संतुष्ट होती हैं = 3x² – 3√2x + 1

(iii) माना एक द्विघात बहुपद ax² + bx + c है तथा इसके शून्यक α और β हैं।
प्रश्नानुसार, α + β = 0 = \(\frac{0}{1}=\frac{-b}{a}\)
और αβ = \(\sqrt{5}=\frac{\sqrt{5}}{1}=\frac{c}{a}\)
यदि a = 1 है तो b = 0 व c = √5 होगा।
अतः एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते संतुष्ट होती हैं = x² + 0x + √5 = x² + √5

(iv) माना एक द्विघात बहुपद ax² + bx + c है तथा इसके शून्यक α और β हैं।
प्रश्नानुसार, α + β = 1 = \(\frac{1}{1}=\frac{-b}{a}\)
और αβ = 1 = \(\frac{1}{1}=\frac{c}{a}\)
यदि a=1 है तो b = -1 व c = 1 होगा।
अतः एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते संतुष्ट होती हैं = x² – x + 1

(v) माना एक द्विघात बहुपद ax² + bx + c है तथा इसके शून्यक α और β हैं।
प्रश्नानुसार, α + β = \(\frac{-1}{4}=\frac{-b}{a}\)
और αβ = \(\frac{1}{4}=\frac{c}{a}\)
यदि a=4 है तो b = 1 व c= 1 होगा।
अतः एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते संतुष्ट होती हैं = 4x² + x + 1

(vi) माना एक द्विघात बहुपद ax² + bx + c है तथा इसके शून्यक a और B हैं।
प्रश्नानुसार, α + β = 4 = \(\frac{4}{1}=\frac{-b}{a}\)
और αβ = \(\frac{1}{1}=\frac{c}{a}\)
यदि a = 1 है तो b = -4 व c = 1 होगा।
अतः एक द्विपात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते संतुष्ट होती हैं = x² – 4x + 1