Class 10

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Important Questions Chapter 6 त्रिभुज Important Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Important Questions Chapter 6 त्रिभुज

परीक्षोपयोगी अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न :

प्रश्न 1.
यदि आकृति (i) और (ii) में, PQ || BC हो, तो (i) में QC और (ii) में AQ ज्ञात कीजिए-

हल :
(i) आकृति अनुसार
AP = 1.5 cm, PB = 3 cm, AQ = 1.3 cm, QC = ?
ΔABC में, ∵ PQ || BC (दिया है)
∴ \(\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}}=\frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{QC}}\)
⇒ \(\frac{1.5}{3.0}=\frac{1.3}{\mathrm{QC}}\)
या 1.5 × QC = 1.3 × 3.0
या QC = \(\frac{1.3 \times 3.0}{1.5}\) = 2.6 cm
अतः QC = 2.6 cm

(ii) आकृति अनुसार
AP = 3 cm, PB = 6 cm, AQ = ?, QC = 5.3 cm
ΔABC में, ∵ PQ || BC (दिया है)

प्रश्न 2.
ABCD एक समलंब है जिसमें AB || DC है। असमांतर भुजाओं AD और BC पर क्रमशः बिंदु E और F इसे प्रकार स्थित हैं कि EF भुजा AB के समांतर है (देखिए संलग्न आकृति) । दर्शाइए कि \(\frac{\mathbf{A E}}{\mathbf{E D}}=\frac{\mathbf{B F}}{\mathbf{F C}}\) है।

सिद्ध कीजिए कि समलंब की समांतर भुजाओं के समांतर कोई रेखा, उन भुजाओं को जो समांतर नहीं हैं, आनुपातिकता (अर्थात् समान अनुपात) में विभाजित करती है।
हल :
दिया है : एक समलंब चतुर्भुज ABCD जिसमें AB || CD तथा EF इनके समांतर खींची गई रेखा है। जो AD और BC को क्रमशः E व F पर मिलती है।

सिद्ध करना है :
\(\frac{\mathbf{A E}}{\mathbf{E D}}=\frac{\mathbf{B F}}{\mathbf{F C}}\)
रचना : विकर्ण AC खींचिए जो रेखा EF को ‘O’ पर काटता है
प्रमाण : ΔADC में, EO || DC, अतः थेल्स प्रमेय से,
\(\frac{\mathbf{A E}}{\mathbf{E D}}=\frac{\mathbf{A O}}{\mathbf{O C}}\) ………..(i)
अब ΔABC में, OF || AB, अतः थेल्स प्रमेय से
\(\frac{\mathbf{A O}}{\mathbf{O C}}=\frac{\mathbf{B F}}{\mathbf{F C}}\) ………..(ii)
समीकरण (i) व (ii) से,
\(\frac{\mathbf{A E}}{\mathbf{E D}}=\frac{\mathbf{B F}}{\mathbf{F C}}\) [इति सिद्धम]

प्रश्न 3.
यदि तीन या अधिक समांतर रेखाएँ दो तिर्यक रेखाओं से प्रतिच्छेदित होती हों, तो सिद्ध कीजिए कि उनके द्वारा तिर्यक रेखाओं पर काटे गए अंतः खंड (intercepts) आनुपातिक होते हैं ।
[टिप्पणी : इस परिणाम को सामान्यतः आनुपातिकता अंतः खंड गुणधर्म कहते हैं ।]
हल :
दिया है : तीन समांतर रेखाएँ ‘l’, ‘m’ तथा ‘n’ जिनको दो तिर्यक रेखाएँ p तथा q क्रमश: A, B, C, F, E तथा D पर काटती हैं। जैसा कि आकृति में दिखाया गया है।
सिद्ध करना है : \(\frac{\mathbf{A B}}{\mathbf{B C}}=\frac{\mathbf{E F}}{\mathbf{E D}}\)

रचना : CF को मिलाइए जो रेखा BE को O पर काटती है ।
प्रमाण : ΔACF में, AF || BO अतः आधारभूत आनुपातिक प्रमेय से,
\(\frac{\mathbf{A B}}{\mathbf{B C}}=\frac{\mathbf{F O}}{\mathbf{O C}}\) ………….(i)
इसी प्रकार ΔFCD में, OE || CD, अतः आधारभूत आनुपातिक प्रमेय से,
\(\frac{\mathbf{F O}}{\mathbf{O C}}=\frac{\mathbf{F E}}{\mathbf{E D}}\) ………….(ii)
समीकरण (i) व (ii) से,
\(\frac{\mathbf{A B}}{\mathbf{B C}}=\frac{\mathbf{F E}}{\mathbf{E D}}\) [इति सिद्धम]

प्रश्न 4.
एक रेखाखंड AB 10 cm लंबाई का खींचिए और उसको 3 : 4 के आंतरिक अनुपात में विभाजित कीजिए ।
हल :
दिया है : एक रेखाखंड AB जिसकी लंबाई 10cm है ।
सिद्ध करना है : AB पर एक बिंदु P ऐसा जो इसे 3 : 4 के आंतरिक अनुपात में विभाजित करता हो ।

रचना के चरण :

1. 10 cm लंबाई वाला रेखाखंड AB खींचो।
2. A से न्यून कोण ∠BAY बनाते हुए एक रेखा AY खींचो ।
3. AY पर समान दूरी पर सात बिंदु A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆ और A₇ अंकित करो अर्थात् AA₁ = A₁A₂ = A₂A₃ = ………………. A₆A₇.
4. A₇B को मिलाओ ।
5. A₃ से A₃P || A₇B खींचो जोकि AB को P पर प्रतिच्छेद करे । अब बिंदु P रेखा AB पर अभीष्ट बिंदु है जो इसे 3 : 4 के आंतरिक अनुपात में विभाजित करता है अर्थात् AP : PB = 3 : 4

प्रश्न 5.
संलग्न आकृति में EF || AB || DC है । सिद्ध कीजिए कि \(\frac{\mathbf{A E}}{\mathbf{E D}}=\frac{\mathbf{B F}}{\mathbf{F C}}\)
हल :

ΔADC से, हम पाते हैं,
EP || DC [∵ EF || DC (दिया है)]
∴ \(\frac{\mathbf{A E}}{\mathbf{E D}}=\frac{\mathbf{A P}}{\mathbf{P C}}\) ………(i)
साथ ही ΔCAB से, हमें मिलता है,
FP || BA [∵ EF || AB (दिया है)]
∴ \(\frac{\mathbf{B F}}{\mathbf{F C}}=\frac{\mathbf{A P}}{\mathbf{P C}}\) ………(ii)
समीकरण (i) और (ii) से,
\(\frac{\mathbf{A E}}{\mathbf{E D}}=\frac{\mathbf{B F}}{\mathbf{F C}}\) [इति सिद्धम]

प्रश्न 6.
संलग्न आकृति में यदि EB = 2 cm; AE = 5cm AF = x; FC = x – 1 तथा EF || BC, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
हल :

क्योंकि त्रिभुज ABC में EF || BC
∴ \(\frac{\mathbf{A E}}{\mathbf{E B}}=\frac{\mathbf{A F}}{\mathbf{F C}}\)
परंतु, AE = 5 cm, EB = 2 cm
AF = x, FC = x – 1
⇒ \(\frac{5}{2}=\frac{x}{x-1}\)
या 5(x – 1) = 2x
या 5x – 5 = 2x
या 5x – 2x = 5
या 3x = 5
या x = \(\frac {5}{3}\)

प्रश्न 7.
संलग्न आकृति में, ΔEDC ~ ΔEBA, ∠BEC = 115° और ∠EDC = 70° है। ∠DEC, ∠DCE, ∠EAB, ∠AEB और ∠EBA ज्ञात कीजिए ।
हल :

आकृति अनुसार,
∠BEC = 115°, ∠EDC = 70°
∠DEC + ∠BEC = 180° (सरल रैखिक युग्म)
या ∠DEC + 115° = 180° [∵ ∠BEC = 115°]
या ∠DEC = 180° – 115° = 65°
अब ΔDEC में,
∠DEC + ∠EDC + ∠DCE = 180° (त्रिभुज के कोण )
⇒ 65° + 70° + ∠DCE = 180°
या 135° + ∠DCE = 180°
या ∠DCE = 180° – 135° = 45°
परंतु ΔEDC ~ ΔEBA (दिया है)
इसलिए
∠EAB = ∠DCE = 45°
∠AEB = ∠DEC = 65°
∠EBA = ∠EDC = 70°
अतः ∠DEC = 65°, ∠DCE = 45°, ∠EAB = 45°, ∠AEB = 65°, ∠EBA = 70°

प्रश्न 8.
संलग्न आकृति में, यदि PS || QR है, तो सिद्ध कीजिए कि ΔPOS ~ ΔROQ है ।
हल :

दिया है : आकृति में PS || QR
सिद्ध करना है : ΔPOS ~ ΔROQ
प्रमाण : ΔPOS और ΔROQ में
∠POS = ∠QOR (शीर्षाभिमुख कोण)
∠PSO = ∠RQO (एकांतर कोण)
∠SPO = ∠QRO (एकांतर कोण)
∴ ΔPOS ~ ΔROQ (कोण-कोण समरूपता नियम) [इति सिद्धम]

प्रश्न 9.
दो समरूप त्रिभुजों के परिमाप क्रमशः 30 cm और 20 cm हैं। यदि पहले त्रिभुज की एक भुजा 12 cm हो, तो दूसरे त्रिभुज की संगत भुजा ज्ञात कीजिए ।
हल :

माना ΔDEF और ΔABC अभीष्ट त्रिभुज हैं जिनके परिमाप क्रमशः 30 cm व 20 cm हैं।
माना भुजा EF = 12 cm
तो ΔABC की संगत भुजा BC = ?

अतः दूसरे त्रिभुज की संगत भुजा = 8 cm

प्रश्न 10.
संलग्न आकृति में, \(\frac{O A}{O C}=\frac{O D}{O B}\) है । सिद्ध कीजिए कि ∠A = ∠C और ∠B = ∠D है।

हल :
दिया है : \(\frac{O A}{O C}=\frac{O D}{O B}\)
सिद्ध करना है : ∠A = ∠C और ∠B = ∠D
प्रमाण : ΔAOD और ΔBOC में,
∠AOD = ∠BOC (शीर्षाभिमुख कोण)
एवं \(\frac{O A}{O C}=\frac{O D}{O B}\) (दिया है)
अतः ΔAOD ~ ΔBOC (∴ भुजा – कोण – भुजा समरूपता गुणधर्म से)
अतः ∠A = ∠C
व ∠D = ∠B
(यदि त्रिभुजें समरूप हों, तो संगत कोण समान होते हैं ।) [इति सिद्धम]

प्रश्न 11.
CM और RN क्रमशः ΔABC और ΔPQR की माध्यिकाएँ हैं यदि ΔABC ~ ΔPQR है, तो सिद्ध कीजिए कि ΔAMC ~ ΔPNR
हल :

दिया है : CM और RN क्रमशः ΔABC और ΔPQR की
माध्यिकाएँ हैं तथा ΔABC ~ ΔPQR है ।
सिद्ध करना है : ΔAMC ~ ΔPNR
प्रमाण : क्योंकि ΔABC ~ ΔPQR
∴ \(\frac{A B}{P Q}=\frac{B C}{Q R}=\frac{C A}{R P}\) …………..(i)
तथा ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q व ∠C = ∠R …………..(ii)
परन्तु AB = 2AM तथा PQ = 2PN [∵ CM और RN माध्यिकाएँ हैं] …. (iii)
समीकरण (i) व (iii) की तुलना से
\(\frac{2 A M}{2 P N}=\frac{C A}{R P}\)
⇒ \(\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{PN}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{RP}}\) ………(iv)
तथा ∠MAC = ∠NPR ……… (v)
समीकरण (iv) व (v) से हमें प्राप्त होता है ।
ΔAMC ~ ΔPNR (इति सिद्धम्)

प्रश्न 12.
संलग्न आकृति में, ∠A = ∠B और AD = BE है | सिद्ध कीजिए कि DE || AB है ।
हल :

दिया है : ∠A = ∠B और AD = BE
सिद्ध करना है : DE || AB
प्रमाण : ∠A = ∠B ………..(दिया है)
⇒ AC = BC (समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ)
या (DC + DA) = (EC + EB) …………(i)
परंतु AD = BE …….. (दिया है) …………..(ii)
समीकरण (i) और (ii) से,
DC + BE = EC + BE
या DC = EC …………..(iii)
समीकरण (iii) को (ii) से भाग करने पर
\(\frac{\mathrm{DC}}{\mathrm{AD}}=\frac{\mathrm{EC}}{\mathrm{BE}}\)
अतः DE || BC (थेल्स प्रमेय के विलोम से) [इति सिद्धम]

प्रश्न 13.
संलग्न आकृति में, XY || AC और XY त्रिभुजीय क्षेत्र ABC को दो बराबर क्षेत्रफल वाले भागों में विभाजित करता है । \(\frac {AX}{AB}\) ज्ञात कीजिए ।
हल :

दिया है : ΔABC में XY || AC
ΔABC का क्षेत्रफल = 2 × ΔBXY का क्षेत्रफल
सिद्ध करना है :
\(\frac {AX}{AB}\) = ?
अब : ΔABC और ΔXBY में,
∠B = ∠B (उभयनिष्ठ)
\(\frac{\mathrm{BA}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{BX}}{\mathrm{BY}}\)
∴ ΔABC ~ ΔXBY
हम जानते हैं कि समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है ।

प्रश्न 14.
एक सीढ़ी दीवार पर इस प्रकार टिकी हुई है कि इसका निचला सिरा दीवार से 2.5 मी की दूरी पर है तथा इसका ऊपरी सिरा भूमि से 6 मी की ऊँचाई पर बनी खिड़की तक पहुँचता है। सीढ़ी की लम्बाई ज्ञात कीजिए ।
हल :

यहाँ पर,
खिड़की की ऊँचाई (BC) = 6 मी
सीढ़ी के निचले सिरे की दीवार से दूरी (AC) = 2.5 मी
माना सीढ़ी की लम्बाई (AB) = x मी
समकोण ΔABC में
AB² = AC² + BC² (पाइथागोरस प्रमेय)
⇒ x² = (2.5)² + (6)²
या x² = 6.25 + 36
या x² = 42.25
या x² = \(\sqrt{42.25}\) = 6.5 मी
अतः सीढ़ी की लम्बाई = 6.5 मी

प्रश्न 15.
पृथ्वी से 15m ऊँचाई पर भवन की एक खिड़की तक 17 m लम्बाई की एक सीढ़ी पहुँचती है। सीढ़ी के पाद से भवन की दूरी ज्ञात कीजिए ।
हल :

यहाँ पर,
खिड़की की ऊँचाई (BC) = 15m
सीढ़ी की लम्बाई (AB) = 17 m
माना सीढ़ी के निचले सिरे की भवन की दीवार से दूरी (AC) = x m
समकोण ΔABC में पाइथागोरस प्रमेय से
AB² = AC² + BC²
⇒ (17)² = x² + (15)²
⇒ 289 = x² + 225
⇒ x² = 289 – 225
⇒ x = \(\sqrt{64}\) = 8 m
अतः सीढ़ी के निचले सिरे (पाद) की भवन की दीवार से दूरी = 8m

प्रश्न 16.
एक व्यक्ति पूरब की ओर 10m और फिर उत्तर की ओर 30m जाता है। प्रारंभिक बिंदु से उसकी दूरी ज्ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ पर व्यक्ति O बिंदु से पूर्व की ओर 10m दूरी तय कर A बिंदु पर पहुँचता तथा वहाँ से उत्तर की ओर 30 m दूरी तय करके B बिंदु पर पहुँचता है । व्यक्ति की दूरी OB ज्ञात करनी है ।
अर्थात्
OA = 10m
AB = 30m
OB = ?

अतः व्यक्ति की प्रारंभिक बिंदु से दूरी = 31.62 m

प्रश्न 17.
90 सें०मी० की लम्बाई वाली एक लड़की बल्ब लगे एक खम्भे के आधार से परे 1.2 मी० / सेकण्ड की चाल से चल रही है। यदि बल्ब भूमि से 3.6 मी० की ऊँचाई पर है, तो 4 सेकण्ड बाद उस लड़की की छाया की लम्बाई ज्ञात कीजिए ।
हल :

माना आकृति में AB एक खम्भा है जिस पर बल्ब लगा हुआ है तथा CD एक लड़की है जो खम्भे से 4 सेकण्ड चलने के पश्चात् दर्शाई गई है। माना DE लड़की की छाया है जिसे हमें ज्ञात करना है 1
लड़की द्वारा B से D तक 4 सेकण्ड में तय दूरी (BD)
= 1.2 × 4 = 4.8 मी०
समरूप त्रिभुजों ABE और CDE में (∵ ∠E = ∠E, ∠B = ∠D)

प्रश्न 18.
आयत ABCD के अभ्यंतर में कोई बिंदु O है । सिद्ध कीजिए कि OB² + OD² = OC² + OA² है।
हल :

दिया है : एक आयत ABCD, इसके अभ्यंतर में कोई बिंदु O है । OA, OB, OC और OD को मिलाया गया है ।
सिद्ध करना है : OB² + OD² = OC² + OA²
रचना : O से EOF || BC और BC || AD खींचो।
प्रमाण :
∵ EOF || BC और BC || AD है,
∴ AD || EOF || BC
∵ AD ⊥ AB ……….. (ABCD आयत है)
∴ EF ⊥ AB
इसी प्रकार EF ⊥ DF
∴ AEFD भी एक आयत है ⇒ AE = DF ………..(i)
इसी प्रकार, BEFC एक आयत है
⇒ EB = FC ………(ii)
∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4= 90°
समकोण ΔOBE में, OB² = OE² + EB² = OE² + FC² ….[(ii) से] …….(iii)
समकोण ΔODF में,
OD² = OF² + DF² = OF² + AE² ….[(i) से] …….(iv)
समीकरण (iii) और (iv) को जोड़ने पर,
OB² + OD² = OE² + FC² + OF² + AE² ……..(v)
परंतु समकोण ΔOFC में,
OF² + FC² = OC² ………..(vi)
और समकोण ΔOAE में, OE² + AE² = OA² ……….(vii)
(v), (vi) और (vii) से,
OB² + OD² = OC² + OA²

प्रश्न 19.
यदि आकृति में दिए हुए ΔABC में AB = 5 cm, AC = 10 cm, BD = 1.5 cm और CD = 3.5 cm हो तो जाँच कीजिए कि क्या AD, ∠A का समद्विभाजक है ।
हल :

प्रश्न 20.
दो खंभे एक समतल भूमि पर खड़े हैं । निम्नलिखित स्थितियों के लिए खंभों के ऊपरी सिरों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए :
(i) खंभों की ऊँचाई = 6 मी, 12 मी; खंभों के निचले सिरों के बीच की दूरी = 8 मी
(ii) खंभों की ऊँचाई = 7 मी, 12 मी; खंभों के निचले सिरों के बीच की दूरी = 12 मी
हल :

(i) दिया है-दो खंभे AB और CD क्रमशः 6 मी और 12 मी लम्बे हैं तथा उनके निचले सिरों के बीच की दूरी BD = 8 मी है। ज्ञात करना है-खंभों के ऊपरी सिरों के बीच की दूरी (AC) = ?
AB = 6 मी
CD = 12 मी
DE = AB = 6 मी
∴ CE = CD – DE
= (12 – 6) मी = 6 मी
AE = BD = 8 मी
अब समकोण त्रिभुज ACE में,
AC² = AE² + CE²
= (8)² + (6)²
= 64 + 36 = 100
या AC = \(\sqrt{100}\) = 10 मी
अतः दोनों खंभों के ऊपरी सिरों के बीच की दूरी = 10 मी

(ii) दिया है- दो खंभे AB और CD क्रमशः 7 मी और 12 मी लम्बे हैं तथा उनके निचले सिरों के बीच की दूरी BD = 12 मी है।

ज्ञात करना है – खंभों के ऊपरी सिरों के बीच की दूरी (AC) = ?
AB = 7 मी
CD = 12 मी
DE = AB = 7 मी
∴ CE = CD – DE
= (12 – 7) मी = 5 मी
AE = BD = 12 मी
अब समकोण त्रिभुज ACE में,
AC² = AE² + CE²
= (12)² + (5)²
= 144 + 25 = 169
या AC = \(\sqrt{169}\) = 13 मी
अतः दोनों खंभों के ऊपरी सिरों के बीच की दूरी = 13 मी

प्रश्न 21.
ΔABC एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है । यदि ∠ACB = 90° तथा AB = 5\(\sqrt{2}\) cm, तो AC मान ज्ञात कीजिए।
हल :

दिया है : ΔABC एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है ।
जिस कारण AC = BC तथा ∠ACB = 90° व AB = 5\(\sqrt{2}\)cm
ज्ञात करना है : AC = ?
अब : समकोण ΔACB में,
AC² + BC² = AB²
या AC² + AC² = (5\(\sqrt{2}\))² (∵ AC = BC दिया है)
या 2AC² = 50
या AC² = \(\frac {50}{2}\) = 25
या AC = 5 cm

प्रश्न 22.
एक चतुर्भुज ABCD का विकर्ण BD, ∠B और ∠D को समद्विभाजित करता है । सिद्ध कीजिए कि \(\frac{A \mathbf{B}}{B C}=\frac{D A}{C D}\) है ।
हल :

दिया है : एक चतुर्भुज ABCD का विकर्ण BD, ∠B और ∠D को समद्विभाजित करता है।
सिद्ध करना है :
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{DA}}{\mathrm{CD}}\)
रचना : A और C को मिलाइए जो BD को O पर मिलाता है ।
प्रमाण : ΔABC में BO, ∠B का समद्विभाजक है।
∴ \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{DA}}{\mathrm{CD}}\) ………(i)
इसी प्रकार ΔADC में ∠O, ∠D का समद्विभाजक है।
∴ \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{OC}}\) ………(ii)
समीकरण (i) व (ii) की तुलना से,
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DC}}\) [इति सिद्धम]

प्रश्न 23.
दो समरूप त्रिभुजों ABC और PQR के क्षेत्रफल क्रमशः 36 cm² तथा 64 cm² हैं। यदि BC = 4.2 cm हो तो QR ज्ञात कीजिए ।
हल :

बहुविकल्पीय प्रश्न :

प्रश्न 1.
यदि दो समान संख्या वाली भुजाओं वाले बहुभुजों में संगत कोण बराबर हों तथा उनकी संगत भुजाओं की लम्बाइयाँ समानुपाती हों तो उन्हें कहा जाता है-
(A) समरूप बहुभुज
(B) सर्वांगसम बहुभुज
(C) समान बहुभुज
(D) उपरोक्त में से कोई नहीं
हल :
(A) समरूप बहुभुज

प्रश्न 2.
यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समान्तर अन्य दो भुजाओं को काटते हुए कोई रेखा खींचे तो वह त्रिभुज की अन्य दोनों भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है । इस प्रमेय को कहा जाता है-
(A) पाइथागोरस प्रमेय
(B) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय
(C) पाइथागोरस प्रमेय का विलोम
(D) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का विलोम
हल :
(B) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय

प्रश्न 3.
यदि कोई रेखा किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती हो, तो यह रेखा तीसरी भुजा के समान्तर होती है, इसे कहा जाता है-
(A) पाइथागोरस प्रमेय
(B) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय
(C) पाइथागोरस प्रमेय का विलोम
(D) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का विलोम
हल :
(D) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का विलोम

प्रश्न 4.
संलग्न आकृति में यदि ST || QR हो तो PS का मान होगा-

(A) 3.0 cm
(B) 4.0 cm
(C) 4.5 cm
(D) 6.0 cm
हल :
(C) 4.5 cm

प्रश्न 5.
संलग्न आकृति में यदि PQ || BC हो तो QC का मान होगा-

(A) 2.6 cm
(B) 1.3 cm
(C) 3.9 cm
(D) 3.0 cm
हल :
(A) 2.6 cm

प्रश्न 6.
संलग्न आकृति में यदि PQ || BC हो तो AQ का मान होगा-

(A) 5.3 cm
(B) 2.65 cm
(C) 4.5 cm
(D) 1.65 cm
हल :
(B) 2.65 cm

प्रश्न 7.
त्रिभुज की किसी भुजा के मध्य – बिन्दु से दूसरी भुजा के समान्तर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को …………. करती है।
(A) त्रिभाजित
(B) चतुर्भाजित
(C) समद्विभाजित
(D) उपरोक्त में से कोई नहीं
हल :
(C) समद्विभाजित

प्रश्न 8.
सभी वृत्त ………….. होते हैं ।
(A) सर्वांगसम
(B) दोनों
(C) (A) व (B) दोनों
(D) उपरोक्त में से कोई नहीं
हल :
(B) समरूप

प्रश्न 9.
ΔABC में, AB तथा AC पर क्रमशः D तथा E बिन्दु इस प्रकार हैं कि DE || BC, यदि AD = 6 सेमी., DB = 9 सेमी. और AE = 8 सेमी., तो निम्न से AC का मान ज्ञात कीजिए-
(A) 12 सेमी.
(B) 16 सेमी.
(C) 20 सेमी.
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(C) 20 सेमी.

प्रश्न 10.
सभी ……….. त्रिभुज समरूप होते हैं ।
(A) विषमबाहु
(B) समद्विबाहु
(C) समबाहु
(D) समकोण
हल :
(C) समबाहु

प्रश्न 11.
भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं यदि उनके संगत कोण ……………… हों तथा उनकी संगत भुजाएँ ……………… हों ।
(A) बराबर ; समानुपाती
(B) असमान; समानुपाती
(C) समान; विषमपाती
(D) उपरोक्त में से कोई नहीं
हल :
(A) बराबर; समानुपाती

प्रश्न 12.
दी गई आकृति में DE || BC, तो EC का मान है :

(A) 2.7 सेमी
(B) 1.5 सेमी
(C) 2.4 सेमी
(D) 3 सेमी
हल :
(C) 2.4 सेमी

प्रश्न 13.
दी गई आकृति में DE || BC, तो DB का मान है :

(A) 2.4 सेमी
(B) 4.8 सेमी
(C) 1.8 सेमी
(D) 3.6 सेमी
हल :
(D) 3.6 सेमी

प्रश्न 14.
ΔABC में, AB तथा AC पर क्रमश: D तथा E बिन्दु इस प्रकार हैं कि DE || BC, यदि \(\frac {AD}{DB}\) = \(\frac {3}{4}\) तथा AC = 15 सेमी. निम्नलिखित में से AE का मान ज्ञात कीजिए-
(A) 6.43 सेमी.
(B) 6.34 सेमी.
(C) 4.63 सेमी.
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A) 6.43 सेमी.

प्रश्न 15.
किसी त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा होती है-
(A) तीसरी भुजा के लम्बवत्
(B) तीसरी भुजा के समान्तर
(C) तीसरी भुजा के असमान्तर
(D) तीसरी भुजा के बराबर
हल :
(B) तीसरी भुजा के समान्तर

प्रश्न 16.
संलग्न आकृति ΔABC में, DE || BC तथा \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{3}{5}\) यदि AC = 4.8 cm हो तो AE का मान होगा-

(A) 1.8cm
(B) 2.7 cm
(C) 3.0cm
(D) 3.6 cm
हल :
(A) 1.8.cm

प्रश्न 17.
त्रिभुजों के युग्मों में से कौन-सा युग्म समरूप नहीं है?

हल :

प्रश्न 18.
दी गई आकृति में ΔODC ~ ΔOAB, ∠BOC = 125°, ∠ODC = 70°, तो ∠OAB का मान है :

(A) 70°
(B) 35°
(C) 50°
(D) 55°
हल :
(A) 70°

प्रश्न 19.
दो समरूप त्रिभुजों के परिमाप क्रमशः 30 cm और 20 cm हैं। यदि पहले त्रिभुज की एक भुजा 12 cm हो, तो दूसरे त्रिभुज की संगत भुजा होगी-
(A) 12 cm
(B) 10 cm
(C) 8 cm
(D) 6 cm
हल :
(C) 8 cm

प्रश्न 20.
संलग्न आकृति में, यदि EB = 2 cm, AE = 5 cm, AF = x, FC = x – 1 तथा EF || BC, तो x का मान होगा-

(A) \(\frac {5}{3}\)cm
(B) \(\frac {5}{2}\)cm
(C) \(\frac {5}{4}\)cm
(D) \(\frac {3}{5}\)cm
हल :
(A) \(\frac {5}{3}\)cm

प्रश्न 21.
यदि दो समरूप त्रिभुजों की भुजाओं का अनुपात 3 : 5 है, तो इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात ……………… है ।
(A) 3 : 5
(B) 9 : 25
(C) 5 : 3
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(B) 9 : 25

प्रश्न 22.
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात 64 : 121 है, तो उनकी भुजाओं में अनुपात होगा-
(A) 8 : 11
(B) 11 : 8
(C) 64 : 121
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A) 8 : 11

प्रश्न 23.
कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई हैं-
(i) 3 cm, 6 cm, 8 cm
(ii) 5 cm, 12 cm, 13 cm
(iii) 5 cm, 8 cm, 10cm
इनमें से कोई नहीं
इनमें से समकोण त्रिभुज है-
(A) (i)
(B) (ii)
(C) (iii)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(B) (ii)

प्रश्न 24.
यदि दो त्रिभुजें ABC और DEF इस प्रकार हैं कि \(\frac{\mathbf{A B}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}=\frac{\mathbf{C A}}{\mathbf{F D}}=\frac{2}{5}\) हो तो ar (ΔABC) : ar (ΔDEF) होगा-
(A) 4 : 25
(B) 2 : 5
(C) 8 : 125
(D) 4 : 10
हल :
(A) 4 : 25

प्रश्न 25.
यदि दो समरूप त्रिभुजों की भुजाओं का अनुपात 2 : 3 है, तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात है :
(A) \(\sqrt{2}\) : \(\sqrt{3}\)
(B) 2 : 3
(C) 4 : 9
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(C) 4 : 9

प्रश्न 26.
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात बराबर होता है-
(A) संगत भुजाओं के अनुपात के
(B) संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के
(C) संगत भुजाओं के घनों के अनुपात के
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(B) संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के

प्रश्न 27.
किसी वर्ग की एक भुजा पर निर्मित समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल, उसके विकर्ण पर बने समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का ………….. होता है ।
(A) दुगुना
(B) तीन गुना
(C) एक-तिहाई
(D) आधा
हल :
(D) आधा

प्रश्न 28.
मान लीजिए ΔABC ~ ΔDEF है और इनके क्षेत्रफल क्रमशः 64 cm² और 121 cm² हैं । यदि EF = 15.4 cm, तो BC का मान है-
(A) 11.2 cm
(B) 11.4 cm
(C) 12.4 cm
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A) 11.2 cm

प्रश्न 29.
यदि दो समरूप त्रिभुजों की भुजाओं का अनुपात 3 : 2 है, तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात है-
(A) \(\sqrt{3}\) : \(\sqrt{2}\)
(B) 2 : 3
(C) 9 : 4
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(C) 9 : 4

प्रश्न 30.
त्रिभुज ABC और DEF समरूप हैं। यदि ΔABC का क्षेत्रफल = 16 cm², ΔDEF का क्षेत्रफल = 25 cm 2 और BC = 2.3 cm,
तो EF है-
(A) 2.875 cm
(C) 2.578 cm
(B) 2.758cm
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A) 2.875 cm

प्रश्न 31.
समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग अन्य दोनों भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। इस प्रमेय को कहा जाता है-
(A) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय
(B) पाइथागोरस प्रमेय
(C) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का विलोम
(D) पाइथागोरस प्रमेय का विलोम
हल :
(B) पाइथागोरस प्रमेय

प्रश्न 32.
किसी त्रिभुज में यदि एक भुजा का वर्ग अन्य दोनों भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो तो पहली भुजा के सामने का कोण समकोण होता है । यह है-
(A) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय
(B) पाइथागोरस प्रमेय
(C) आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का विलोम
(D) पाइथागोरस प्रमेय का विलोम
हल :
(D) पाइथागोरस प्रमेय का विलोम

प्रश्न 33.
त्रिभुज ABC और DEF समरूप हैं। यदि AC = 19cm और DF = 8 cm, तो दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात है-
(A) \(\frac {19}{8}\)
(B) \(\frac {361}{64}\)
(C) \(\frac {38}{65}\)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(B) \(\frac {361}{64}\)

प्रश्न 34.
एक सीढ़ी इस प्रकार रखी है कि उसका निचला सिरा किसी दीवार से 5m दूर है और उसका ऊपरी सिरा एक खिड़की तक पहुँचता है, जो भूमि से 12m ऊँचाई पर है। सीढ़ी की लंबाई होगी-
(A) 13m
(B) 14m
(C) 15m
(D) 17 m
हल :
(A) 13m

प्रश्न 35.
यदि एक समबाहु त्रिभुज ABC इस प्रकार है कि AD ⊥ BC है तो AD² =
(A) 2 CD²
(B) 3 CD²
(C) 4 CD²
(D) \(\sqrt{3}\) CD²
हल :
(B) 3 CD²

प्रश्न 36.
एक सीढ़ी किसी दीवार पर इस प्रकार टिकी हुई है कि इसका निचला सिरा दीवार से 2.5 m की दूरी पर है तथा इसका ऊपरी सिरा भूमि से 6m की ऊँचाई पर बनी एक खिड़की तक पहुँचता है। सीढ़ी की लंबाई होगी-
(A) 8.5m
(B) 7.5m
(C) 6.5m
(D) 11.0m
हल :
(C) 6.5m

प्रश्न 37.
20m लंबी एक सीढ़ी एक भवन की खिड़की पर पहुँचती है, जो भूमि से 16m की ऊँचाई पर है । भवन से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी होगी-
(A) 13m
(B) 12m
(C) 14m
(D) 15m
हल :
(B) 12 m

प्रश्न 38.
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात 4 : 5 है, तो उनकी संगत भुजाओं का अनुपात है :
(A) 4 : 5
(B) 16 : 25
(C) 2 : \(\sqrt{5}\)
(D) 5 : 4
हल :
(C) 2 : \(\sqrt{5}\)

प्रश्न 39.
कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई हैं-
(i) 5 cm, 12 cm, 15 cm
(ii) 5 cm, 6 cm, 8 cm
(iii) 8 cm, 15 cm, 17 cm
इनमें से समकोण त्रिभुज है-
(A) (i)
(B) (ii)
(C) (iii)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(C) (iii)

प्रश्न 40.
एक आदमी उत्तर की ओर 7m जाता है और फिर पूर्व की ओर 24m जाता है । बताइए कि वह प्रारंभिक बिंदु से कितनी दूरी पर है ?
(A) 25m
(B) 17m
(C) 31m
(D) 24 m
हल :
(A) 25m

प्रश्न 41.
एक सीढ़ी सड़क के एक ओर 12m ऊँची खिड़की पर पहुँचती है। सीढ़ी के निचले सिरे को हटाए बिना वह सीढ़ी सड़क के दूसरी ओर 9m ऊँची खिड़की तक पहुँचती है। यदि सीढ़ी की लंबाई 15m हो, तो सड़क की चौड़ाई होगी-
(A) 3 m
(B) 21 m
(C) 27 m
(D) 24 m
हल :
(B) 21m

प्रश्न 42.
एक व्यक्ति एक निश्चित बिंदु से प्रथम पूर्व की ओर कुछ दूर चलता है तदोपरांत 12 m उत्तर की ओर जाता है और इस प्रकार वह अपनी प्रथम स्थिति से 13m की दूरी पर पहुँचता है। उसके द्वारा पूर्व दिशा में चली दूरी होगी-
(A) 25m
(B) 1m
(C) 5m
(D) 7m
हल :
(C) 5m

प्रश्न 43.
6m और 11 m लंबे दो खंभे समतल मैदान में गड़े हैं। यदि उनके निचले सिरों की दूरी 12m हो तो उनके ऊपरी सिरों के बीच की दूरी होगी-
(A) 17m
(B) 11m
(C) 12 m
(D) 13m
हल :
(D) 13m

प्रश्न 44.
5 m तथा 8 m ऊँचाई के दो खंभे एक समान तल पर खड़े हुए हैं। यदि उनके निचले सिरों के मध्य की दूरी 4 m हो तो उनके ऊपरी सिरों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए ।
(A) 5m
(B) 4m
(C) 3m
(D) 8m
हल :
(A) 5m

प्रश्न 45.
ΔABC एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है । यदि ∠ACB = 90° तथा AB = 5 √2 cm हो तो AC का मान होगा-
(A) 4 cm
(B) 5 cm
(C) 10 cm
(D) 7.5 cm
हल :
(B) 5 cm

प्रश्न 46.
किसी समबाहु त्रिभुज में उसकी एक भुजा के वर्ग का तीन गुना उसके शीर्षलम्ब के वर्ग के …………….. गुने के बराबर होता है ।
(A) दुगुने
(B) तीन
(C) चार
(D) पाँच
हल :
(C) चार

प्रश्न 47.
ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D भुजा BC का मध्य-बिन्दु है । त्रिभुजों ABC और BDE के क्षेत्रफलों का अनुपात है-
(A) 1 : 4
(B) 1 : 2
(C) 2 : 1
(D) 4 : 1
हल :
(D) 4 : 1

प्रश्न 48.
ΔABC में AD, ∠BAC का समद्विभाजक है। यदि AB = 6 cm, AC = 5 cm व BD = 3 cm हो तो DC का मान होगा-
(A) 11.3 cm
(B) 2.5 cm
(C) 3.0 cm
(D) 5.5 cm
हल :
(B) 2.5 cm

प्रश्न 49.
यदि आकृति में AD, ∠A को समद्विभाजित करता है तथा AB = 12 cm, AC = 20 cm और BD = 5 cm हो, तो CD का मान होगा-
(A) 5.33 cm,
(B) 6.33 cm
(C) 7.33 cm
(D) 8.33 cm
हल :
(D) 8.33 cm

प्रश्न 50.
निम्नांकित आकृति में AD, ∠A का अर्द्धक है। यदि BD = 4 cm, DC = 3 cm और AB = 6 cm हो, तो AC का मान होगा-

(A) 4.5 cm
(B) 6.0 cm
(C) 9.0 cm
(D) 3.0 cm
हल :
(A) 4.5 cm

प्रश्न 51.
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात 5:3 है, तो उनकी संगत भुजाओं का अनुपात है : [ 2018 (Set-A)]
(A) 5 : 3
(B) 3 : 5
(C) \(\sqrt{5}\) : \(\sqrt{3}\)
(D) \(\sqrt{3}\) : \(\sqrt{5}\)
हल :
(C) \(\sqrt{5}\) : \(\sqrt{3}\)

प्रश्न 52.
कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई हैं-
(i) 3 cm, 4 cm, 6 cm
(ii) 5 cm, 12 cm, 16 cm
(iii) 8 cm, 15 cm, 17 cm
इनमें से समकोण त्रिभुज है-
(A) (i)
(B) (ii)
(C) (iii)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(C) (iii)

प्रश्न 53.
ΔABC में AD, ∠BAC का समद्विभाजक है। यदि AB = 10cm, AC = 14 cm व BD = 2.5 cm हो तो DC की लंबाई होगी-
(A) 7.0 cm
(B) 14.0 cm
(C) 3.5 cm
(D) 28.0 cm
हल :
(C) 3.5 cm

प्रश्न 54.
दो समरूप त्रिभुजों की संगत माध्यिकाओं का अनुपात 4 : 9 है, तो त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात है-

(A) 2 : 3
(B) 4 : 9
(C) 16 : 81
(D) 81 : 16
हल :
(C) 16 : 81

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Important Questions Chapter 4 द्विघात समीकरण Important Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Important Questions Chapter 4 द्विघात समीकरण

परीक्षोपयोगी अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न :

प्रश्न 1.
जाँच कीजिए कि समीकरण (2x + 1) (3x + 2) = 6(x – 1) (x – 2) द्विघात है अथवा नहीं?
हल :
यहाँ पर
(2x + 1) (3x + 2) = 6 (x – 1) (x – 2)
या 6x² + 4x + 3x + 2 = 6(x2 – 2x – x + 2)
या 6x² + 7x + 2 = 6x² – 18x + 12
या 6x² + 7x + 2 – 6x² + 18x – 12 = 0
या 25x – 10 = 0
∵ इस समीकरण की घात एक है
∵ दिया गया समीकरण द्विघात नहीं है ।

प्रश्न 2.
जाँच कीजिए कि x = – 1 व x = – 5 दिए गए समीकरण x² + 6x + 5 = 0 के हल हैं अथवा नहीं?
हल :
यहाँ पर दिया गया समीकरण है-
x² + 6x + 5 = 0
x = – 1 समीकरण में रखने पर,
बायां पक्ष
= x2 + 6x + 5
= (-1)² + 6 (-1) + 5
= 1 – 6 + 5 = 6 – 6 = 0 = दायां पक्ष
∴ x = – 1 दिए गए समीकरण का हल है ।
अब x = – 5 समीकरण में रखने पर,
बायां पक्ष = x² + 6x + 5
= (-5)² + 6(-5) + 5
= 25 – 30 + 5 = 30 – 30 = 0 = दायां पक्ष
∴ x = – 5 भी दिए गए समीकरण का हल है
अतः x = – 1 व x = – 5 दिए गए समीकरण के हल हैं।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरूपित कीजिए –
(i) एक आयत की एक भुजा उसकी दूसरी भुजा से 2cm बड़ी है । यदि आयत का क्षेत्रफल 195cm² हो तो आयत की भुजाएँ ज्ञात करनी हैं ।
(ii) तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ऐसे हैं कि प्रथम के वर्ग तथा अन्य दो के गुणनफल का योग 154 है । वे पूर्णांक ज्ञात करने हैं।
हल :
(i) माना आयत की पहली भुजा = x cm
तो आयत की दूसरी भुजा = (x + 2) cm
आयत का क्षेत्रफल = 195 cm²
प्रश्नानुसार,
x(x + 2) = 195
⇒ x² + 2x – 195 = 0
अतः आयत की भुजाएँ ज्ञात करने के उचित समीकरण है – x² + 2x – 195 = 0

(ii) माना तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांक = x,x + 1 व x + 2
प्रश्नानुसार,
(x)² + (x + 1)(x + 2) = 154
⇒ x² + x² + 3x + 2 – 154 = 0
⇒ 2x² + 3x – 152 = 0
अतः तीन पूर्णांक ज्ञात करने के लिए उचित समीकरण है – 2x² + 3x – 152 = 0

प्रश्न 4.
गुणनखंडन विधि से निम्न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए-
(i) ax² – 2abx = 0
(ii) \(\frac {1}{9}\)x² – \(\frac {2}{3}\)x + 1 = 0
हल :
(i) यहाँ पर ax² – 2abx = 0
या ax(x – 2b) = 0
⇒ ax = 0
⇒ x = \(\frac {0}{a}\)
⇒ x = 0
अतः अभीष्ट हल x = 0 x = 2b

(ii) यहाँ पर
\(\frac {1}{9}\)x² – \(\frac {2}{3}\)x + 1 = 0
या x² – 6x + 9 = 0
या x² – 3x – 3x + 9 = 0
या x (x – 3) – 3(x – 3) = 0
या (x – 3) (x – 3) = 0
⇒ (x – 3)² = 0
⇒ x – 3 = 0
⇒ x = 3
अतः अभीष्ट हल x = 3

प्रश्न 5.
गुणनखंडन विधि से निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए-
(i) 8x² – 22x – 21 = 0
(ii) abx² + (b² – ac) x – bc = 0
हल :
(i) यहाँ पर 8x² – 22x – 21 = 0
या 8x² – 28x + 6x – 21 = 0
या 4x (2x – 7) + 3 (2x – 7) = 0
या (2x – 7) (4x + 3) = 0
⇒ 2x – 7 = 0 या 4x + 3 = 0
⇒ 2x = 7 या 4x = – 3
⇒ x = \(\frac {7}{2}\) या x = \(\frac {-3}{4}\)
अतः अभीष्ट हल x = \(\frac {7}{2}\), \(\frac {-3}{4}\)

(ii) यहाँ पर abx² + (b² – ac) x – bc = 0
या abx² + xb² – acx – bc = 0
या bx (ax + b) – c (ax + b) = 0
या (bx – c) (ax + b) = 0
⇒ bx – c = 0 या ax + b = 0
⇒ bx = c या ax = – b
⇒ x = \(\frac {c}{b}\) या x = \(\frac {-b}{a}\)
अतः अभीष्ट हल x = – \(\frac {-b}{a}\), \(\frac {c}{b}\)

प्रश्न 6.
दो क्रमागत सम धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 100 है।
हल :
माना पहला सम धन पूर्णांक = 2x
तो दूसरा सम धन पूर्णांक = 2x + 2
प्रश्नानुसार, (2x)² + (2x + 2)² = 100
या 4x² + 4x² + 4 + 8x = 100
या 8x² + 8x + 4 – 100 = 0
या 8x² + 8x – 96 = 0
या x² + x – 12 = 0
या x² + 4x – 3x – 12 = 0
या x (x + 4) – 3 (x + 4) = 0
या (x + 4) (x – 3) = 0
⇒ x + 4 = 0 या x – 3 = 0
⇒ x = – 4 या x = 3
परंतु x = – 4 संभव नहीं है ।
∴ x = 3
∴ पहला समधन पूर्णांक = 2 × 3 = 6
∴ दूसरा समधन पूर्णांक = 2 × 3 + 2 = 8

प्रश्न 7.
विक्रम तीन लकड़ी की छड़ों से एक समकोण त्रिभुज बनाना चाहता है । समकोण त्रिभुज का कर्ण उसके आधार से 2 सें०मी० तथा शीर्षलंब से 4 सें०मी० बड़ा होना चाहिए। उसे लकड़ी की छड़ें कितनी लंबी लेनी चाहिएँ ?
हल :
माना समकोण त्रिभुज का कर्ण = x सें०मी०

तो आधार = (x – 2) सें०मी०
शीर्षलंब = (x – 4) सें०मी०
∴ पाइथागोरस प्रमेय द्वारा
(कर्ण)² = (आधार)² + (लंब)²
⇒ (x)² = (x – 2)² + (x – 4)²
या (x)² = (x)² – 4x + 4 + (x)² – 8x + 16
या (x)² = 2x² – 12x + 20
या 2x² – 12x + 20 – x² = 0
या (x)² – 12x + 20 = 0
या (x)² – 2x – 10x + 20 = 0
या x (x – 2 ) – 10 (x – 2) = 0
या (x – 10) (x – 2) = 0
⇒ x – 10 = 0 या x – 2 = 0
⇒ x = + 10 या x = 2
परंतु x = 2 नहीं हो सकता क्योंकि इस अवस्था में x – 2 = 2 – 2 = 0 होगा ।
∴ x = 10
तो कर्ण = 10 सें०मी०
आधार = 10 – 2 = 8 सें०मी०
शीर्षलंब = 10 – 4 = 6 सें०मी०
अतः लकड़ी की छड़ों की लंबाई = 6 सें०मी०; 8 सें०मी०; 10 सें०मी०

प्रश्न 8.
एक समकोण त्रिभुज की समकोण बनाने वाली एक भुजा दूसरी से 17 सें०मी० कम है । यदि कर्ण की लम्बाई 25 सें०मी० है, तो दोनों भुजाओं की लम्बाई ज्ञात कीजिए ।
हल :
माना समकोण त्रिभुज की एक भुजा तो समकोण त्रिभुज की दूसरी भुजा = x सें०मी०
तो समकोण त्रिभुज =(x – 17) सें०मी०
कर्ण की लम्बाई = 25 सें०मी०.
प्रश्नानुसार,
या (x)² + (x – 17)² = (25)²
या x² + x² + 289 – 34x = 625
या 2x² – 34x + 289 – 625 = 0
या 2x² – 34x – 336 = 0
या x² – 17x – 168 = 0 (दोनों ओर 2 से भाग करने पर)
या x² – 24x + 7x – 168 = 0
या (x – 24) + 7 (x – 24) = 0
(x – 24 ) (x + 7) = 0
⇒ x – 24 = 0 या x + 7 = 0
⇒ x = 24 या x = – 7 ( सम्भव नहीं है )
अतः समकोण त्रिभुज की भुजाएँ = 24 सें०मी० व (24 – 17) सें०मी०
= 24 सें०मी० व 7 सें०मी०

प्रश्न 9.
दो ऐसे क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए, जिनके वर्गों का योग 290 हो ।
हल :
माना दो क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांक = x व x + 2
प्रश्नानुसार
(x)² + (x + 2)² = 290
⇒ x² + x² + 4x + 4 – 290 = 0
⇒ 2x² + 4x – 286 = 0
⇒ x² + 2x – 143 = 0 (दोनों ओर 2 से भाग करने पर)
⇒ x² + 13x – 11x – 143 = 0
⇒ x(x + 13) – 11 (x + 13) = 0
⇒ (x + 13) (x – 11) = 0
⇒ x + 13 = 0 या x – 11 = 0
⇒ x = – 13 या x = 11
परन्तु x एक धनात्मक विषम पूर्णांक है अतः x ≠ – 13
∴ x = 11
अतः क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांक = 11 व 13

प्रश्न 10.
एक किसान 100 मी०² क्षेत्रफल वाला आयताकार सब्जी का बगीचा बनाना चाहता है। क्योंकि उसके पास घेराबंदी के लिए 30 मी० लंबाई का काँटेदार तार है, इसलिए वह आयताकार बगीचे की तीन भुजाओं की घेराबंदी इस तार से करता है तथा चौथी भुजा की घेराबंदी के लिए अपने सहन की दीवार का उपयोग करता है । बगीचे की विमाएँ (dimensions) ज्ञात कीजिए ।
हल :
माना पहली भुजा की लंबाई = x मी०
तो दूसरी भुजा की लंबाई = (30 – 2x) मी०
प्रश्नानुसार,
या x(30 – 2x) = 100
या 30x – 2x² = 100
या – 2x² + 30x – 100 = 0
या x² – 15x + 50 = 0
या x² – 10x – 5x + 50 = 0
या x (x – 10) – 5 (x – 10) = 0
या (x – 10) (x – 5) = 0
⇒ x – 10 = 0 या x – 5 = 0
⇒ x = 10 या x = 5
परंतु x = 10 संभव नहीं है क्योंकि इससे बाग वर्गाकार हो जाएगा।
∴ x = 5
∴ पहली भुजा की लंबाई = 5 मी०
तथा दूसरी भुजा की लंबाई = 30 – 2x = 30 – 2 × 5 = 20 मी०

प्रश्न 11.
ज्ञात कीजिए कि क्या द्विघात समीकरण 3x² – 5x + 2 = 0 के मूल वास्तविक हैं? यदि हैं तो उन्हें ज्ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ पर
3x² – 5x + 2 = 0
a = 3, b = – 5, c = 2
विविक्तकर b² – 4ac
= (-5)² – 4(3)(2)
= 25 – 24 = 1 > 0
अतः समीकरण के वास्तविक मूल हैं
अब द्विघाती सूत्र के उपयोग से,

प्रश्न 12.
पूर्ण वर्ग बनाकर समीकरण 5x² – 6x – 2 = 0 के मूल ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर, 5x² – 6x – 2 = 0
दोनों ओर 5 से गुणा करने पर
⇒ 25x² – 30x – 10 = 0
⇒ (5x)² – 2 × 5x × 3 + (3)² – (3)² – 10 = 0
⇒ (5x – 3)² = 19
⇒ 5x – 3 = ± \(\sqrt{19}\)
⇒ x = \(\frac{3 \pm \sqrt{19}}{5}\)
अतः दी गई समीकरण के अभीष्ट मूल = \(\frac{3+\sqrt{19}}{5}\) व \(\frac{3-\sqrt{19}}{5}\)

प्रश्न 13.
P के वे मान ज्ञात कीजिए जिनके लिए द्विघात समीकरण px² – 6x – 2 = 0 के मूल वास्तविक हों ।
हल :
दिया गया समीकरण px² – 6x – 2 = 0
यहाँ पर a = p, b = – 6, c = – 2
∴ विविक्तकर = b² – 4ac
= (-6)² – 4(p)(-2) = 36 + 8p
वास्तविक मूल के लिए D ≥ 0 होना चाहिए ।
⇒ 36 + 8p ≥ 0
या 8p ≥ – 36
या p ≥ \(\frac {-36}{8}\)
या p ≥ \(\frac {-9}{2}\)

प्रश्न 14.
समीकरण 3x² – 2x + \(\frac {1}{3}\) = 0 का विविक्तकर ज्ञात कीजिए और फिर मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि वे वास्तविक हैं, तो उन्हें ज्ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ पर 3x² – 2x + \(\frac {1}{3}\) = 0
⇒ a = 3, b = – 2, c = \(\frac {1}{3}\)
∴ विविक्तकर = b² – 4ac
= (-2)² – 4(3)(\(\frac {1}{3}\))
= 4 – 4 = 0
∴ द्विघात समीकरण के दो बराबर वास्तविक मूल हैं ।
अब द्विघाती सूत्र के उपयोग से,

प्रश्न 15.
एक नाव को, जिसकी शांत जल में चाल 15 कि०मी० / घंटा है, धारा की दिशा में 30 कि०मी० जाने तथा फिर धारा की दिशा के विपरीत लौटने में कुल 4 घंटे 30 मिनट का समय लगता है । धारा की चाल ज्ञात कीजिए ।
हल :
शांत जल में नाव की चाल = 15 कि०मी० / घंटा
माना जल की धारा की चाल = x कि०मी० / घंटा
पहली अवस्था में जब नाव जल की धारा की दिशा में जाएगी
कुल तय की गई दूरी = 30 कि०मी० / घंटा
जल की धारा की दिशा में नाव की चाल = (15 + x) कि०मी० / घंटा
जल की धारा की दिशा में 30 कि०मी० दूरी तय तरने में
लिया गया समय = \(\frac{30}{(15+x)}\) घंटा
दूसरी अवस्था में जब नाव जल की धारा के विपरीत दिशा में जाएगी
कुल तय की गई दूरी = 30 कि०मी० / घंटा
विपरीत दिशा में नाव की चाल = (15 – x) कि०मी० / घंटा
जल की धारा की विपरीत दिशा में 30 कि०मी० दूरी तय तरने में
लिया गया समय = \(\frac{30}{(15- x)}\) घंटा
प्रश्नानुसार,

प्रश्न 16.
दो स्टेशनों के बीच 168 किमी यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी, सवारी गाड़ी से 1 घंटा कम समय लेती है ( स्टेशनों पर ठहरने का समय ध्यान में न लिया जाए) यदि एक्सप्रेस गाड़ी की चाल सवारी गाड़ी से 14 किमी / घण्टा अधिक है, तो दोनों रेलगाड़ियों की औसत चाल ज्ञात कीजिए ।
हल :
माना सवारी गाड़ी की औसत चाल = x किमी / घंटा
तो एक्सप्रेस गाड़ी की औसत चाल = (x + 14) किमी / घंटा
सवारी गाड़ी द्वारा 168 किमी दूरी तय करने में लिया गया समय = \(\frac {168}{x}\) घंटे
एक्सप्रेस गाड़ी द्वारा 168 किमी दूरी तय करने में लिया गया समय = \(\frac{168}{(x+14)}\) घंटे
प्रश्नानुसार,
\(\frac{168}{x}-\frac{168}{x+14}\) = 1
⇒ 168 (x + 14) – 168x = x(x + 14) (दोनों ओर x (x + 14) से गुणा करने पर)
⇒ 168x + 2352 – 168x = x² + 14x
या x² + 14x – 2352 = 0
या x² + 56x – 42x – 2352 = 0
या x(x + 56) – 42(x + 56) = 0
⇒ (x + 56)(x – 42) = 0
⇒ x + 56 = 0 या x – 42 = 0
⇒ x = – 56 या x = 42
परंतु x = – 56 असंभव है, क्योंकि चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती,
अतः सवारी गाड़ी की औसत चाल = 42 किमी / घंटा
तथा एक्सप्रेस गाड़ी की औसत चाल = (42 + 14) = 56 किमी / घंटा

प्रश्न 17.
एक रेलगाड़ी एकसमान चाल से 180 किमी की दूरी चलती है । यदि उसकी चाल 6 किमी / घण्टा अधिक हो, तो उसे उतनी ही दूर जाने में 1 घंटा कम समय लगता है। गाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए ।
हल :
माना रेलगाड़ी की सामान्य चाल रेलगाड़ी की बढ़ी हुई चाल = x किमी / घंटा
रेलगाड़ी द्वारा चली गई कुल दूरी = x + 6 किमी / घंटा
रेलगाड़ी द्वारा चली गई कुल दूरी = 180 किमी
रेलगाड़ी द्वारा सामान्य चाल से 180 किमी दूरी तय करने में लिया गया समय = \(\frac {180}{x}\) घंटे
रेलगाड़ी द्वारा बढ़ी हुई चाल से 180 किमी दूरी तय करने में लिया गया समय = \(\frac{180}{x+6}\) घंटे
प्रश्नानुसार,
\(\frac{180}{x}-\frac{180}{x+6}\) = 1
⇒ 180(x + 6) – 180x = x(x + 6) (दोनों ओर x (x + 6) से गुणा करने पर)
⇒ 180x + 1080 – 180x = x² + 6x
⇒ x² + 6x – 1080 = 0
⇒ x² + 36x – 30x – 1080 = 0
⇒ x(x + 36) – 30(x + 36) = 0
⇒ (x + 36) (x – 30) = 0
⇒ x + 36 = 0 या x – 30 = 0
⇒ x = – 36 या x = 30
परंतु x = – 36 असंभव है, क्योंकि चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती,
अतः रेलगाड़ी की सामान्य चाल 30 किमी / घंटा

प्रश्न 18.
बहुपद p(x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5 को बहुपद g (x) = x² – x + 1 से भाग कीजिए। भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ पर,
p(x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5
g(x) = x² – x + 1
क्योंकि p(x) की घात 4 तथा g (x) की घात 2 है ।
इसलिए भागफल q(x) की घात = 4 – 2 = 2 तथा शेषफल की घात 2 से कम होगी ।
माना q(x) = ax² + bx + c (भागफल)
तथा r(x) = dx + e (भागफल)
विभाजन एल्गोरिथ्म के प्रयोग से
p(x) = g (x) × q (x) + r (x)
⇒ x⁴ – 3x² + 4x + 5 = (x² – x + 1) × (ax² + bx + c) + (dx + e)
⇒ x⁴ + 0.x³ – 3x² + 4x + 5 = ax⁴ + bx³ + cx² – ax³ – bx² – cx + ax² + bx + c + dx + e
⇒ x⁴ + 0.x³ – 3x² + 4x + 5 = ax⁴ +(b – a)x³ + (c – b + a)x² + (b – c + d)x + (c + e)
दोनों ओर x की समान घातों के गुणांकों को बराबर करने पर
a = 1 (i)
b – a = 0 ⇒ b = a = 1 (ii)
c – b + a = – 3 ⇒ c – 1 + 1 = – 3 या c = – 3 (iii)
b – c + d = 4 ⇒ 1 – (-3) + d = 4 ⇒ 4 + d = 4 या d = 4 – 4= 0 (iv)
c+ e = 5 ⇒ – 3 + e = 5 या ⇒ = 5 + 3 = 8
a, b, c, d व e के मान प्रतिस्थापित करने पर
भागफल = q(x) = ax² + bx + c
= x² + x – 3
शेषफल = r(x) = dx + e = 0.x + 8 = 8

प्रश्न 19.
पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से समीकरण 4x² + 3x + 5 = 0 के वास्तविक मूल ज्ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ पर

\(\frac {-71}{64}\) अर्थात् R.H.S. ऋणात्मक है।
(x + \(\frac {3}{8}\))², x के किसी भी वास्तविक मान के लिए ऋणात्मक नहीं हो सकता है।
अतः दिए गए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं है।

बहुविकल्पीय प्रश्न :

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से कौन-सी समीकरण द्विघात है ?
(A) x³ – 6x² + 2x – 1 = 0
(B) x² + \(\frac{1}{x^2}\) = 2(x ≠ 0)
(C) (2x + 1)(3x + 2) = 6 (x – 1)(x – 2)
(D) 16x² – 3 = (2x + 5) (5x – 3)
हल :
(D) 16x² – 3 = (2x + 5) (5x – 3)

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में से कौन-सी समीकरण द्विघात नहीं है ?
(A) (x – 2) (x + 3) + 1 = 0
(B) x + \(\frac {1}{x}\) = x² (x ≠ 0)
(C) 7x = 2x²
(D) (x + 1) (x + 3) = 0
हल :
(B) x + \(\frac {1}{x}\) = x² (x ≠ 0)

प्रश्न 3.
निम्नलिखित में से कौन-सी समीकरण द्विघात है ?
(A) 3x² – 4x + 2 = 2x² – 2x + 4
(B) x + \(\frac {3}{x}\) = 5x²
(C) x³ + 5x² + x – 5 = 0
(D) (x + 4)(x – 4) = x (x + 2) + 8
हल :
(A) 3x² – 4x + 2 = 2x² – 2x + 4

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से कौन-सी समीकरण द्विघात नहीं है ?
(A) x² – 6x – 4 = 0
(B) 6 – x (x² + 2) = 0
(C) 3x² – 4 = 0
(D) x² + \(\sqrt{2}\)x – 4 = 0
हल :
(B) 6 – x (x² + 2) = 0

प्रश्न 5.
किन्हीं दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है । इसके लिए उचित द्विघात समीकरण होगी-
(A) x² + x – 306 = 0
(B) x² – x + 306 = 0
(C) x² + x + 306 = 0
(D) – x² + x – 306 = 0
हल :
(A) x² + x – 306 = 0

प्रश्न 6.
एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528m² है । यदि क्षेत्र की लंबाई (मीटरों में) चौड़ाई x मी० के दुगुने से एक अधिक है। इसके लिए उचित द्विघात समीकरण होगी-
(A) 2x² – x – 528 = 0
(B) 2x² + x – 528 = 0
(C) 2x² + x + 528 = 0
(D) 2x² – x + 528 = 0
हल :
(B) 2x² + x – 528 = 0

प्रश्न 7.
समीकरण (x + 1)² = 2 (x – 3) कैसी समीकरण है?
(A) एकल घात
(B) त्रिघात
(C) द्विघात
(D) शून्य घात
हल :
(C) द्विघात

प्रश्न 8.
द्विघात समीकरण (x – 2)² – 25 = 0 के हल होंगे-
(A) -7, 3
(B) -7, – 3
(C) 7, – 3
(D) 7, 3
हल :
(C) 7, – 3

प्रश्न 9.
द्विघात समीकरण 5x² – 30 = 0 के …………….. हल होंगे।
(A) ± \(\sqrt{6}\)
(B) ± 6
(C) ± \(\sqrt{5}\)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A) ± \(\sqrt{6}\)

प्रश्न 10.
यदि a, b तथा c धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हों तो चर में द्विघात समीकरण का व्यापक रूप होगा-
(A) ay² + c = 0
(B) ay² + by + c = 0
(C) ay² = 0
(D) ay² + by = 0
हल :
(B) ay² + by + c = 0

प्रश्न 11.
द्विघात समीकरण 6x² – 5x – 21 = 0 के हल होंगे-
(A) \(\frac{3}{2}, \frac{-7}{3}\)
(B) \(\frac{-3}{2}, \frac{7}{3}\)
(C) \(\frac{-3}{2}, \frac{-7}{3}\)
(D) \(\frac{3}{2}, \frac{7}{3}\)
हल :
(B) \(\frac{-3}{2}, \frac{7}{3}\)

प्रश्न 12.
k का मान जिसके लिए, द्विघात समीकरण 2x² – kx + 5 = 0 के दोनों मूल बराबर हैं, वह है-
(A) 0
(B) ± 2\(\sqrt{10}\)
(C) 40
(D) 10
हल :
(B) ± 2\(\sqrt{10}\)

प्रश्न 13.
x² – 10x + 21 = 0 के मूल हैं-
(A) 7, 3
(B) – 7, – 3
(C) – 7, 3
(D) 7, – 3
हल :
(A) 7, 3

प्रश्न 14.
द्विघात समीकरण 2x² + 2\(\sqrt{3}\)x + 3 = 0 के मूलों की प्रकृति निम्न में से किस प्रकार की है ?
(A) दो भिन्न-भिन्न, वास्तविक मूल
(B) दो बराबर वास्तविक मूल
(C) कोई वास्तविक मूल नहीं
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(C) कोई वास्तविक मूल नहीं

प्रश्न 15.
द्विघात समीकरण y² – 8y + 16 = 0 का अभीष्ट हल होगा-
(A) y = 4
(B) y = – 4
(C) y = 2
(D) y = – 2
हल :
(A) y = 4

प्रश्न 16.
द्विघात समीकरण x² – 4qx + 4q² = 0 का अभीष्ट हल होगा –
(A) – 2q
(B) 2q
(C) q
(D) – 9
हल :
(B) 2q

प्रश्न 17.
द्विघात समीकरण 25x² – 30x + 9 = 0 का अभीष्ट हल होगा-
(A) \(\frac {3}{5}\)
(B) \(\frac {-3}{5}\)
(C) \(\frac {5}{3}\)
(D) \(\frac {-5}{3}\)
हल :
(A) \(\frac {3}{5}\)

प्रश्न 18.
द्विघात समीकरण 2x² – 5x + 3 = 0 के मूल होंगे-
(A) – 1 व \(\frac {-3}{2}\)
(B) – 1 व \(\frac {3}{2}\)
(C) 1 व \(\frac {3}{2}\)
(D) 1 व \(\frac {-3}{2}\)
हल :
(C) 1 व \(\frac {3}{2}\)

प्रश्न 19.
द्विघात समीकरण 3x² – 2x – 1 = 0 के दो मूलों का गुणनफल होगा-
(A) \(\frac {-1}{3}\)
(B) \(\frac {1}{3}\)
(C) \(\frac {2}{3}\)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A) \(\frac {-1}{3}\)

प्रश्न 20.
द्विघात समीकरण x² – 3x – 10 = 0 के मूल होंगे-
(A) – 2 व 5
(B) 2 व – 5
(C) – 2 व – 5
(D) 2 व 5
हल :
(A) – 2 व 5

प्रश्न 21.
द्विघात समीकरण x² + 6x + 5 = 0 के दो मूलों का गुणनफल निम्नलिखित में से ज्ञात कीजिए-
(A) – 5
(B) 5
(C) \(\frac {1}{5}\)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A) – 5

प्रश्न 22.
द्विघात समीकरण 3x² + 2x – 5 = 0 के दो मूलों का गुणनफल होगा-
(A) \(\frac {-5}{3}\)
(B) \(\frac {5}{3}\)
(C) \(\frac {3}{5}\)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A) \(\frac {-5}{3}\)

प्रश्न 23.
द्विघात समीकरण 8x² – 22x – 21 = 0 के हल होंगे-
(A) \(\frac{7}{2}, \frac{3}{4}\)
(B) \(\frac{-7}{2}, \frac{3}{4}\)
(C) \(\frac{7}{2}, \frac{-3}{4}\)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(C) \(\frac{7}{2}, \frac{-3}{4}\)

प्रश्न 24.
k का मान जिसके लिए, द्विघांत समीकरण 3x² – kx + 5 = 0 के दोनों मूल बराबर हैं, वह है-
(A) 0
(B) 60
(C) ± 2\(\sqrt{15}\)
(D) 15
हल :
(C) ± 2\(\sqrt{15}\)

प्रश्न 25.
x² – 5x + 6 = 0 के मूल हैं-
(A) 5, – 6
(B) 2, 3
(C) 6, – 1
(D) -2, – 3
हल :
(B) 2, 3

प्रश्न 26.
द्विघात समीकरण x² + 4x + 1 = 0 का विविक्तकर क्या होगा ?
(A) 12
(B) 14
(C) 16
(D) -12
हल :
(A) 12

प्रश्न 27.
द्विघात समीकरण 4x² – ax + 2 = 0 का विविक्तकर ……………………. होगा ।
(A) a² – 32
(B) a² + 32.
(C) a² = 32
(D) a² = – 32
हल :
(A) a² – 32

प्रश्न 28.
\(\sqrt{3}\)x² – 2\(\sqrt{2}\)x – 2\(\sqrt{3}\) = 0 का विविक्तकर होगा-
(A) 8
(B) 16
(C) 32
(D) 24
हल :
(C) 32

प्रश्न 29.
निम्नलिखित में से किस समीकरण के मूल वास्तविक हैं ?
(A) 2x² + x – 1 = 0
(B) 3x² + 2x – 1 = 0
(C) x² + 4x + 4 = 0
(D) 2x² + 5x + 5 = 0
हल :
(D) 2x² + 5x + 5 = 0

प्रश्न 30.
किस भारतीय गणितज्ञ ने सर्वप्रथम व्यापक द्विघात समीकरण के मूलों के लिए सूत्र प्रतिपादित किया ?
(A) आर्यभट्ट
(B) ब्रह्मगुप्त
(C) महावीर
(D) श्री धराचार्य
हल :
(D) श्री धराचार्य

प्रश्न 31.
निम्नलिखित में से किस समीकरण के मूल वास्तविक हैं ?
(A) x² + x + 1 = 0
(B) x² + 4x + 4 = 0
(C) 2x² + 5x + 5 = 0
(D) उपरोक्त सभी के
हल :
(B) x² + 4x + 4 = 0

प्रश्न 32.
k के किस मान के लिए द्विघात समीकरण kx² + 4x + 1 = 0 के दो मूल बराबर हैं-
(A) – 4
(B) 4
(C) 16
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(B) 4

प्रश्न 33.
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 हो, तो वे पूर्णांक हैं-
(A) 18 तथा 19
(B) 12 तथा 13
(C) 16 तथा 17
(D) 17 तथा 18
हल :
(D) 17 तथा 18

प्रश्न 34.
p के किस मान के लिए द्विघात समीकरण 3x² – 5x + p = 0 के मूल बराबर होंगे ?
(A) p = \(\frac {25}{12}\)
(B) p = \(\frac {-25}{12}\)
(C) p = \(\frac {12}{25}\)
(D) p = \(\frac {-12}{25}\)
हल :
(A) p = \(\frac {25}{12}\)

प्रश्न 35.
द्विघात समीकरण 4x² + kx + 9 = 0 में k के किस मान के लिए उसके दो मूल बराबर है-
(A) ± 4
(B) ± 6
(C) ± 12
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(C) ± 12

प्रश्न 36.
p के किस मान के लिए द्विघात समीकरण 2x² + px + 18 = 0 के मूल वास्तविक होंगे ?
(A) p ≥ 13
(B) p ≤ 18
(C) p ≥ 18
(D) p ≥ 12
हल :
(D) p ≥ 12

प्रश्न 37.
द्विघात समीकरण जिसके मूलों का योग 5 तथा गुणनफल 6 है होगी-
(A) x² – 5x + 6 = 0
(B) x² – 5x – 6 = 0
(C) x² + 5x + 6 = 0
(D) x² + 5x – 6 = 0
हल :
(A) x² – 5x + 6 = 0

प्रश्न 38.
एक हॉल की लंबाई उसकी चौड़ाई से 5 मी० अधिक है । यदि हॉल के फर्श का क्षेत्रफल 84 वर्ग मी० हो
तो हॉल की लंबाई होगी-
(A) 12 मी०
(B) 7 मी०
(C) 14 मी०
(D) 6 मी०
हल :
(A) 12 मी०

प्रश्न 39.
12 को दो ऐसे भागों में विभक्त कीजिए जिनके वर्गों का योग 74 है-
(A) 8, 4
(B) 7, 5
(C) 9, 3
(D) 10, 2
हल :
(B) 7, 5

प्रश्न 40.
19 को दो ऐसे भागों में विभक्त करें जिनके वर्गों का योग 193 है
(A) 14, 5
(B) 12, 7
(C) 13, 6
(D) 11, 8
हल :
(B) 12, 7

प्रश्न 41.
द्विघात समीकरण x² – kx + 9 = 0 में k के किस मान के लिए उसके दो मूल बराबर हैं-
(A) ± 5
(C) ± 4
(B) ± 6
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(B) ± 6

प्रश्न 42.
निम्नलिखित में से क्रमागत सम धनात्मक पूर्णांक जिनके वर्गों का योग 100 है-
(A) 4, 6
(B) 5, 7
(C) 6, 8
(D) 8, 10
हल :
(C) 6, 8

प्रश्न 43.
दो क्रमागत विषम प्राकृत संख्याएँ जिनके वर्गों का योग 202 हो तो इन संख्याओं का योग होगा-
(A) 22
(B) 9
(C) 11
(D) 20
हल :
(D) 20

प्रश्न 44.
3 से आरंभ करके n क्रमागत विषम प्राकृत संख्याओं के योग का सूत्र S = n (n + 2) होता है । यदि S = 168 हो तो n का मान होगा-
(A) 16
(B) 14
(C) 13
(D) 12
हल :
(D) 12

प्रश्न 45.
प्रथम n क्रमागत सम प्राकृत संख्याओं का योग S निम्नलिखित संबंध द्वारा दर्शाया जाता है- S = n (n + 1) यदि योग 420 हो, तो n का मान-
(A) 18
(B) 19
(C) 20
(D) 21
हल :
(C) 20

प्रश्न 46.
यदि द्विघात समीकरण 5x² – 8x + 4k = 0 के मूल समान हों, तो k का मान होगा-
(A) \(\frac {5}{4}\)
(B) \(\frac {1}{2}\)
(C) \(\frac {4}{5}\)
(D) 2
हल :
(C) \(\frac {4}{5}\)

प्रश्न 47.
x² – 7x + 12 = 0 के मूल हैं-
(A) -3, -4
(B) 3, 4
(C) 6, 2
(D) -6, 2
हल :
(B) 3, 4

प्रश्न 48.
द्विघात समीकरण 2x² – 2\(\sqrt{3}\)x – 3 = 0 के मूलों की प्रकृति निम्न में से किस प्रकार की है ?
(A) दो भिन्न-भिन्न, वास्तविक मूल
(B) दो बराबर वास्तविक मूल
(C) कोई वास्तविक मूल नहीं
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A) दो भिन्न-भिन्न, वास्तविक मूल

प्रश्न 49.
समीकरण 3x² – 2x + \(\frac {1}{3}\) = 0 के मूल हैं-
(A) 3 तथा 2
(B) \(\frac {1}{3}\) तथा \(\frac {1}{3}\)
(C) \(\frac {1}{3}\) तथा \(\frac {1}{2}\)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(B) \(\frac {1}{3}\) तथा \(\frac {1}{3}\)

प्रश्न 50.
द्विघात समीकरण 2x² – 2\(\sqrt{2}\)x + 1 = 0 के मूल होंगे-
(A) वास्तविक तथा भिन्न
(B) वास्तविक तथा समान
(C) वास्तविक तथा शून्य
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(B) वास्तविक तथा समान

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Important Questions Chapter 9 त्रिकोणमिति का अनुप्रयोग Important Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Important Questions Chapter 9 त्रिकोणमिति का अनुप्रयोग

परीक्षोपयोगी अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न :

प्रश्न 1.
1.5 m लम्बा एक आदमी एक चिमनी से 28.5m की दूरी पर है। उसकी आँखों से चिमनी के शिखर का उन्नयन कोण 45° है । चिमनी की ऊँचाई बताइए ।
हल :

माना AB एक चिमनी है तथा CD एक आदमी है जिसकी ऊँचाई 1.5 m है जो चिमनी से 28.5m की दूरी पर खड़ा है । इस प्रकार उन्नयन ∠ADE = 45° है ।
अब समकोण त्रिभुज ADE में, \(\frac {AE}{DE}\) = tan 45°
⇒ \(\frac {AE}{CB}\) = 1
⇒ AE = 28.5 × 1
= 28.5 m
अतः चिमनी की ऊँचाई (AB) = AE + BE
= AE + CD
= (28.5 + 1.5) m
= 30m

प्रश्न 2.
मीनार के आधार से 40m की दूरी पर भूमि पर एक बिंदु से मीनार की चोटी का उन्नयन कोण 30° है और मीनार की चोटी पर रखी पानी की टंकी के ऊपरी सिरे का उन्नयन कोण 45° है। ज्ञात कीजिए-
(i) मीनार की ऊँचाई ।
(ii) टंकी की गहराई ।
हल :
मान लो, AB (= h) मीनार की ऊँचाई, BC पानी की टंकी की गहराई है, पानी की टंकी से उन्नयन कोण 30° वनता है और टंकी के ऊपरी सिरे से 45° का कोण बनता है ।
समकोण ΔAOB में,

समकोण ΔCAO में,
\(\frac {CA}{AO}\) = tan 45°
या \(\frac {CA}{40}\) = 1
या AC = 40 m
∴ BC = AC – AB
= 40 – 23.1
= 16.9 m
∴ मीनार की ऊँचाई = 23.1 m
पानी की टंकी की गहराई =16.9m

प्रश्न 3.
100 m ऊँचे एक प्रकाश स्तंभ की चोटी से एक प्रेक्षक समुद्र में एक जहाज को ठीक अपनी ओर आते हुए देखता है । यदि जहाज का अवनमन कोण 30° से बदलकर 45° हो जाता है, तो प्रेक्षण की इस अवधि में जहाज द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए ।
हल :
मान लीजिए, A और B जहाज की दो स्थितियाँ हैं। मान लीजिए प्रेक्षण की अवधि में जहाज द्वारा तय की गई दूरी d m है, अर्थात् AB = d m है।
मान लीजिए, प्रेक्षक बिंदु O पर है ( आकृति में) स्पष्टतः OC = 100 m है।

माना B से C की दूरी km है। बिंदु O से A और B के अवनमन कोण क्रमशः 30° और 45° ज्ञात हैं
अतः ∠AOP = 30°, ∠BOP = 45°
⇒ ∠AOP = ∠OAC = 30°
तथा ∠POB = ∠OBC = 45°
समकोण ΔOCB में,
\(\frac {k}{100}\) = cot 45° = 1
या k = 100
समकोण ΔOCA में,
\(\frac{d+k}{100}\) = cot 30° = \(\sqrt{3}\)
∴ d + k = 100\(\sqrt{3}\)
या d + 100 = 100\(\sqrt{3}\)
या d = 100\(\sqrt{3}\) – 100 = 100(\(\sqrt{3}\) – 1) = 100(1.732 – 1)
= 100 × 0.732 = 73.2 m
अतः जहाज द्वारा A से B तक तय की गई दूरी 73.2m है ।

प्रश्न 4.
भूमि के बिन्दु P से एक 10 मी ऊँचे भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। भवन के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। ध्वज की लम्बाई और बिन्दु P से भवन की दूरी ज्ञात कीजिए ।
हल :

यहाँ पर,
AB एक 10 मी ऊँचा भवन है जिसके शिखर A पर AC ध्वज लगा है ।
अब भवन की ऊँचाई (AB) = 10 मी
माना ध्वज की लंबाई (AC) = h मी
तथा बिन्दु P से B की दूरी = x मी
समकोण ΔABP में,
\(\frac {AB}{PB}\) = tan 30°
⇒ \(\frac{10}{x}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) मी
या x = 10\(\sqrt{3}\)
समकोण ΔCBP में,
\(\frac {BC}{PB}\) = tan45°
⇒ \(\frac{h+10}{x}\) = 1
या x = h + 10
10\(\sqrt{3}\) = h + 10 (समीकरण (i) से)
h = 10\(\sqrt{3}\) – 10
h = 10(\(\sqrt{3}\) – 1) मी
अतः ध्वज की लंबाई = 10(\(\sqrt{3}\) – 1) मी
बिन्दु P से भवन की दूरी = 10\(\sqrt{3}\) मी

प्रश्न 5.
एक समतल जमीन पर खड़ी मीनार की छाया उस स्थिति में 40 मी अधिक लम्बी हो जाती है जबकि सूर्य का उन्नयन कोण 60° से घटकर 30° हो जाता है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।
हल :

माना AB = h मी मीनार की ऊँचाई है। जब सूर्य का उन्नयन कोण 30° है तो मीनार की छाया DB है और जब सूर्य का उन्नयन कोण 60° है तो मीनार की छाया CB है ।
अतः DC = 40 मी

प्रश्न 6.
आँधी चलने से दो भागों में टूटे हुए एक वृक्ष का ऊपरी भाग भूमि से 30° का कोण बनाता है। वृक्ष का ऊपरी सिरा जिस स्थान पर भूमि को छूता है वह स्थान वृक्ष के आधार – बिंदु से 10m की दूरी पर है | वृक्ष ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।
हल :

मान लीजिए AB = h m वृक्ष की ऊँचाई है । AC टूटे हुए वृक्ष का एक भाग है।
तब ∠COB = 30° तथा OB = 10m
समकोण ΔCOB में,
tan 30° = \(\frac {CB}{OB}\)
या \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) = \(\frac {CB}{10}\)
या \(\sqrt{3}\)CB = 10
या CB = \(\frac{10}{\sqrt{3}}\) ………………(i)
इसी प्रकार, समकोण ΔCOB में,

प्रश्न 7.
एक सड़क, 50m ऊँची मीनार के आधार तक, सीधी जाती है। मीनार की चोटी से सड़क पर खड़ी दो कारों के अवनमन कोण क्रमश: 30° और 60° हैं। दोनों कारों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए और बताइए कि प्रत्येक कार मीनार के आधार से कितनी दूरी पर है ?
हल :

मान लीजिए, AB (= 50m) मीनार की ऊँचाई है तथा C और D सड़क पर खड़ी दो कारों की स्थिति है ।
∠CAX = 30° तथा ∠DAX = 60°
⇒ ∠CAX = ∠CAB = 30°
तथा ∠DAX = ∠ADB = 60°
समकोण ΔACB में,


अब, CB = CD + DB
= 57.74 + 28.87 = 86.61 m
अतः दोनों कारों के बीच की दूरी = 57.74m
पहली कार की मीनार के आधार से दूरी = 86.61 m
दूसरी कार की मीनार के आधार से दूरी = 28.87 m

प्रश्न 8.
एक बिजली मिस्त्री को एक 5 m ऊँचे खंभे पर आ गई खराबी की मरम्मत करनी है। मरम्मत का काम करने के लिए उसे खंभे के शिखर से 1.3m नीचे एक बिन्दु तक पहुँचने के लिए प्रयुक्त सीढ़ी की लम्बाई कितनी होनी चाहिए जिससे कि क्षैतिज से 60° के कोण पर झुकने से वह अपेक्षित स्थिति तक पहुँच जाये और यह भी बताइए कि खंभे का पाद-बिन्दु कितनी दूरी पर सीढ़ी के पाद-बिन्दु से होना चाहिए ? (\(\sqrt{3}\) = 1.73)
हल :

आकृति अनुसार बिजली मिस्त्री को खम्भे AD पर बिन्दु B तक पहुँचना है।
अतः BD = AD – AB
= (5 – 1.3) m = 3.7 m
यहाँ पर BC सीढ़ी को प्रकट करता है । हमें इसकी लम्बाई अर्थात् समकोण ΔBDC का कर्ण ज्ञात करना है।
अब समकोण ΔBDC में

अतः उसे सीढ़ी के पाद को खम्भे से 2.14 m की दूरी पर रखना चाहिए ।

प्रश्न 9.
नदी के पुल पर एक बिंदु से, नदी के सम्मुख किनारों पर अवनमन कोण क्रमशः 30° व 45° हैं । यदि पुल की ऊँचाई किनारों से 3m हो, तो नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए ।
हल :
आकृति में, A और B नदी के सम्मुख किनारों के बिंदुओं को प्रकट करते हैं, जिससे कि AB नदी की चौड़ाई है। 3 m की ऊँचाई पर बने पुल पर एक बिंदु P है अर्थात् DP = 3m है। हम नदी की चौड़ाई ज्ञात करना चाहते हैं जो कि ΔAPB की भुजा AB की लंबाई है।

अब AB = AD + DB
समकोण ΔAPD में ∠A = 30°
∴ tan 30° = \(\frac {PD}{AD}\)
या \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) = \(\frac {3}{AD}\)
या AD = 3\(\sqrt{3}\) m
अब समकोण ΔPBD में ∠B = 45° है ।
tan 45° = \(\frac {PD}{DB}\)
या 1 = \(\frac {3}{DB}\)
या DB = 3m
अतः AB = AD + BD = (3\(\sqrt{3}\) + 3) m = 3 (\(\sqrt{3}\) + 1) m
इस प्रकार, नदी की चौड़ाई = 3 (\(\sqrt{3}\) + 1) m

प्रश्न 10.
दो मीनारों के बीच की क्षैतिज दूरी 140 m है। दूसरी मीनार की चोटी से पहली मीनार की चोटी का उन्नयन कोण 30° है। यदि दूसरी मीनार की ऊँचाई 60m है, तो पहली मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।
हल :

माना AB और CD दो मीनारें हैं ।
दूसरी मीनार की ऊँचाई (CD) = 60 m
और दोनों मीनारों के बीच की दूरी,
DB = 140 m
माना AE = h m
अब CE = DB = 140 m
EB = CD = 60 m
तो पहली मीनार की ऊँचाई (AB) = (60 + h) m
समकोण ΔAEC में,

अतः पहली मीनार की ऊँचाई = 60 + h
= 60 + 80.83 = 140.83 m

प्रश्न 11.
धरती पर एक मीनार ऊर्ध्वाधर खड़ी हैं। धरती के एक बिन्दु से, जो मीनार के पाद-बिन्दु से 15m दूर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।
हल :

माना मीनार AB का शिखर A तथा पाद- बिन्दु B है जिसकी ऊँचाई hm है। बिन्दु C मीनार के पाद-बिन्दु B से 15 m की दूरी पर है।
प्रश्नानुसार
AB = hm
BC = 15m
∠ACB = 60°
समकोण ΔABC में
\(\frac {AB }{BC}\) = tan 60°
⇒ \(\frac {h}{15}\) = \(\sqrt{3}\)
⇒ h = 15\(\sqrt{3}\)m
अतः मीनार की ऊँचाई (AB) = \(\sqrt{3}\)m.

प्रश्न 12.
एक हवाई जहाज से जो कि 200m की ऊँचाई पर है, एक नदी के दोनों तटों पर आमने-सामने के दो बिंदुओं के अवनमन कोण क्रमशः 45° तथा 60° हैं। नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए ।
हल :
माना हवाई जहाज बिंदु P पर स्थित है जिसकी भूमि के स्थित बिंदु M से ऊँचाई 200m है।
माना बिंदु A और B नदी के किनारों पर विपरीत दिशाओं में स्थित दो बिंदु हैं जिनके अवनमन कोण 60° व 45° हैं।

माना AM = x m
तथा BM = y m

बहुविकल्पीय प्रश्न :

प्रश्न 1.
sin θ° का मान होता है-
(A) शून्य
(B) \(\frac {1}{2}\)
(C) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(D) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
हल :
(A) शून्य

प्रश्न 2.
sin 45° का मान होता है-
(A) शून्य
(B) \(\frac {1}{2}\)
(C) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(D) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
हल :
(C) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

प्रश्न 3.
sin 90° का मान होता है-
(A) शून्य
(B) \(\frac {1}{2}\)
(C) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
(D) 1
हल :
(D) 1

प्रश्न 4.
θ के किस मान के लिए cosθ = \(\frac {1}{2}\) होगा ?
(A) 30°
(B) 45°
(C) 60°
(D) 90°
हल :
(C) 60°

प्रश्न 5.
θ के किस मान के लिए tan θ और cot θ का मान बराबर होगा-
(A) 30°
(C) 60°
(B) 45°
(D) 90°
हल :
(B) 45°

प्रश्न 6.
ΔABC में, ∠B समकोण है, AB = 12 cm और ∠A = 30° है आकृति अनुसार BC का मान होगा-

(A) 4\(\sqrt{3}\)cm
(B) 8\(\sqrt{m}\) cm
(C) 2\(\sqrt{m}\) cm
(D) \(\sqrt{m}\) cm
हल :
(A) 4\(\sqrt{3}\) cm

प्रश्न 7.
प्रश्न 6 की त्रिभुज में AC का मान होगा-
(A) 4\(\sqrt{3}\) cm
(B) 2\(\sqrt{3}\) cm
(C) 8\(\sqrt{3}\) cm
(D) 3\(\sqrt{3}\) cm
हल :
(C) 8\(\sqrt{3}\) cm

प्रश्न 8.
समकोण ΔABC में ∠C = 90°, ∠A = 30° तथा AB = 10 cm हो तो BC का मान होगा-
(A) 10 cm
(B) 5\(\sqrt{3}\) cm
(C) 5\(\sqrt{2}\) cm
(D) 5 cm
हल :
(D) 5 cm

प्रश्न 9.
समकोण ΔABC में ∠C = 90°, ∠A = 30° तथा AB = 10 cm हो तो AC का मान होगा-
(A) 10 cm
(B) 5\(\sqrt{3}\) cm
(C) 5\(\sqrt{2}\) cm
(D) 5 cm
हल :
(B) 5\(\sqrt{3}\) cm

प्रश्न 10.
एक मीनार भूमि पर ऊर्ध्वाधर खड़ी है। भूमि पर मीनार के आधार से 20m दूरी पर स्थित एक बिंदु से उसकी चोटी का उन्नयन कोण 60° है। मीनार की ऊँचाई होगी-
(A) 20\(\sqrt{3}\) m
(B) 20\(\sqrt{2}\) m
(C) \(\frac{20 \sqrt{3}}{3}\)
(D) \(\frac{20 \sqrt{2}}{2}\)
हल :
(A) 20\(\sqrt{3}\) m

प्रश्न 11.
एक सीढ़ी एक दीवार पर इस प्रकार टिकी है कि उसका ऊपरी सिरा दीवार के शिखर को छूता है। सीढ़ी का निचला सिरा दीवार से 2m की दूरी पर है। सीढ़ी भूमि के साथ 60° का कोण बनाती है। दीवार की ऊँचाई होगी-
(A) \(\frac{2 \sqrt{3}}{3}\)
(B) 2\(\sqrt{2}\) m
(C) 2\(\sqrt{3}\) m
(D) \(\sqrt{2}\) m
हल :
(C) 2\(\sqrt{3}\) m

प्रश्न 12.
भूमि पर स्थिर एक ऊर्ध्वाधर बाँस के ऊपरी सिरे से एक तनी हुई रस्सी बांधी गई है और रस्सी का दूसरा सिरा भूमि पर स्थिर किया गया है । सर्कस का एक कलाकार भूमि से रस्सी पर चढ़ रहा है। बांस की ऊँचाई 12 m है और रस्सी भूमि से 30° का कोण बनाती है । कलाकार द्वारा बाँस के ऊपरी सिरे पर पहुँचने में तय की गई दूरी होगी-
(A) 6m
(B) 12m
(C) 18m
(D) 24 m
हल :
(D) 24 m

प्रश्न 13.
संलग्न आकृति में x का मान होगा-

(A) \(\frac{20 \sqrt{3}}{3}\) m
(B) 20\(\sqrt{3}\) m
(C) \(\frac{10 \sqrt{3}}{3}\) m
(D) 10\(\sqrt{3}\) m
हल :
(A) \(\frac{20 \sqrt{3}}{3}\) m

प्रश्न 14.
संलग्न त्रिभुज में x का मान होगा-

(A) \(\frac{1.5 \sqrt{3}}{3}\) m
(B) 1.5\(\sqrt{3}\) m
(C) 3\(\sqrt{3}\) m
(D) \(\frac{1.5 \sqrt{3}}{3}\) m
हल :
(B) 1.5\(\sqrt{3}\) m

प्रश्न 15.
संलग्न त्रिभुज ABC में AC का मान होगा-

(A) \(\frac{10 \sqrt{2}}{3}\) m
(B) \(\frac{10 \sqrt{3}}{3}\) m
(C) 10\(\sqrt{2}\) m
(D) 5\(\sqrt{2}\) m
हल :
(C) 10\(\sqrt{2}\) m

प्रश्न 16.
संलग्न त्रिभुज AOB में h का मान होगा-

(A) \(\frac{215 \sqrt{2}}{2}\) m
(B) \(\frac{215 \sqrt{2}}{3}\) m
(C) \(\frac{215 \sqrt{3}}{3}\) m
(D) \(\frac{215 \sqrt{3}}{2}\) m
हल :
(D) \(\frac{215 \sqrt{3}}{2}\) m

प्रश्न 17.
सूर्य का उन्नयन कोण क्या होगा जब किसी ऊर्ध्वाधर खंभे की छाया की लंबाई खंभे की ऊँचाई के बराबर हो —
(A) 45°
(B) 30°
(C) 60°
(D) 90°
हल :
(A) 45°

प्रश्न 18.
किसी मीनार के आधार से a और b की दूरियों पर एक ही रेखा में स्थित दो बिंदुओं क्रमशः P और Q से देखने पर, मीनार के ऊपरी सिरे के उन्नयन कोण पूरक पाए जाते हैं। मीनार की ऊँचाई होगी-
(A) ab
(B) \(\sqrt{ab}\)
(C) \(\frac {a}{b}\)
(D) \(\sqrt{\frac{a}{b}}\)
हल :
(B) \(\sqrt{ab}\)

प्रश्न 19.
एक छड़ तथा उसकी छाया के बीच 1 : \(\sqrt{3}\) का अनुपात है, सूर्य का उन्नयन कोण होगा-
(A) 30°
(B) 45°
(C) 60°
(D) 90°
हल :
(A) 30°

प्रश्न 20.
संलग्न त्रिभुज ABC में AB की लंबाई होगी-

(A) 6 cm
(B) 6\(\sqrt{3}\) cm
(C) 3 cm
(D) 3\(\sqrt{3}\) cm
हल :
(C) 3 cm

प्रश्न 21.
एक मीनार 100\(\sqrt{3}\)m ऊँची है। इसके आधार से 100m दूर स्थित किसी बिंदु से इसके शिखर का उन्नयन कोण होगा-
(A) 30°
(B) 45°
(C) 60°
(D) 90°
हल :
(C) 60°

प्रश्न 22.
एक पतंग की डोर 100 m लंबी है तथा यह आसमान में उड़ते समय क्षैतिज तल से 60° का कोण बनाती है। यह मानते हुए कि पतंग की डोर बिल्कुल सीधी तनी हुई है। पतंग की क्षैतिज से ऊँचाई होगी-
(A) 50\(\sqrt{3}\) m
(B) 100\(\sqrt{3}\) m
(C) \(\frac{100 \sqrt{3}}{3}\) m
(D) \(\frac{50 \sqrt{3}}{3}\) m
हल :
(A) 50\(\sqrt{3}\) m

प्रश्न 23.
एक दीवार के सहारे खड़ी एक सीढ़ी का उन्नयन कोण दीवार से 9.5m दूर जमीन पर स्थित एक बिंदु से 60° है। सीढ़ी की लंबाई होगी-
(A) 9.5m
(B) 19m
(C) 9.5\(\sqrt{3}\) m
(D) 9.5\(\sqrt{2}\) m
हल :
(B) 19m

प्रश्न 24.
बिजली का एक खंभा 10m ऊँचा है। खंभे को सीधा लंबवत् रखने के लिए स्टील के तार का एक सिरा खंभे की चोटी से बँधा है और दूसरा, भूमि पर स्थिर किया गया है । यदि स्टील का तार खंभे के आधार बिंदु से होकर जाने वाले क्षैतिज के साथ 45° का कोण बनाए, तो बिजली के खंभे के आधार से कितनी दूरी पर भूमि पर स्थिर बिंदु है?
(A) 10\(\sqrt{3}\) m
(B) 20\(\sqrt{3}\) m
(C) 10m
(D) 20m
हल :
(C) 10m

प्रश्न 25.
एक मीनार जमीन पर सीधी खड़ी है। मीनार के आधार से 50m की दूरी पर जमीन पर स्थित एक बिंदु से मीनार की चोटी का उन्नयन कोण 60° है। मीनार की ऊँचाई होगी-
(A) \(\frac{50}{\sqrt{3}}\) m
(B) 100 m
(C) 100\(\sqrt{3}\) m
(D) 50\(\sqrt{3}\) m
हल :
(D) 50\(\sqrt{3}\) m

प्रश्न 26.
दो खंभों जिनकी ऊँचाई 25 m और 19m हैं, के शीर्ष एक तार से जुड़े हैं । यदि तार क्षैतिज के साथ 30° का कोण बनाती हो तो तार की लंबाई होगी-
(A) 6m
(B) 12 m
(C) 8m
(D) 10m
हल :
(B) 12 m

प्रश्न 27.
धरती पर एक मीनार ऊर्ध्वाधर खड़ी है। धरती के एक बिंदु से जो मीनार के पाद- बिंदु से 15m दूर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° हो तो मीनार की ऊँचाई होगी-
(A) 15 \(\sqrt{3}\) m
(B) 15m
(C) \(\frac{15}{\sqrt{3}}\)
(D) 30 \(\sqrt{3}\) m
हल :
(A) 15 \(\sqrt{3}\) m

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Important Questions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Important Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Important Questions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय

परीक्षोपयोगी अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न :

प्रश्न 1.
यदि cos θ = \(\frac {8}{17}\) हो तो कोण θ के अन्य पाँच त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात करो ।
हल :

माना ΔABC में कोण B समकोण है तथा ∠A = θ तो
cos θ = \(\frac{8}{17}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\)
⇒ AB = 8 इकाई
AC = 17 इकाई

प्रश्न 2.
यदि ∠B और ∠Q ऐसे न्यून कोण हों जिससे कि sin B = sin Q, तो सिद्ध कीजिए कि ∠B = ∠Q
हल :
माना दो समकोण त्रिभुज ABC और PQR जहाँ sin B = sin Q

समीकरण (i) और (ii) से हमें प्राप्त होता है,
\(\frac{A C}{P R}=\frac{A B}{P Q}=\frac{B C}{Q R}\)
⇒ ΔACB ~ ΔPRQ
अतः ∠B = ∠Q

प्रश्न 3.
यदि sec α = \(\frac {5}{4}\) हो तो \(\frac {1 – tanα}{1 + tanα}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल :

माना ΔABC में कोण ∠B समकोण है तथा ∠A = α तो
sec α = \(\frac{5}{4}=\frac{A C}{A B}\)
⇒ AC = 5 इकाई
AB = 4 इकाई

प्रश्न 4.
यदि sin (A + B) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) और sin (A – B) = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), 0° < A + B ≤ 90°, A > B, तो A और B का मान ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ पर,
sin (A + B) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
⇒ sin (A + B) = sin 60°
⇒ A + B = 60° ………….(i)
तथा sin (A – B) = \(\frac {1}{2}\)
⇒ sin (A – B) = sin 30°
⇒ A – B = 30° ………….(ii)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर,
2A = 90° या A = \(\frac {90°}{2}\) = 45°
A का मान समीकरण (i) में रखने पर,
45° + B = 60°
⇒ B = 60° – 45° = 15°
अतः A = 45° व B = 15°

प्रश्न 5.
निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए-
(i) \(\frac{\tan 65^{\circ}}{\cot 25^{\circ}}\)
(ii) \(\frac{\cot 50^{\circ}}{\tan 40^{\circ}}\)
हल :

प्रश्न 6.
दर्शाइए कि \(\frac {cosec 39°}{sec 51°}\) = 1
हल :

प्रश्न 7.
cot 85° + cos 75° को 0° और 17° के बीच के कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों के पदों में व्यक्त कीजिए ।
हल :
यहाँ पर,
cot 85° + cos 75°
= cot (90° – 5°) + cos(90° – 15°)
= tan 5° + sin 15°

प्रश्न 8.
मान निकालिए-

हल :

प्रश्न 9.

हल :

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए :

हल :

प्रश्न 11.

हल :

प्रश्न 12.
7 sec² B – 7 tan² B का मान ज्ञात कीजिए
हल :
यहाँ पर, 7 sec² B – 7 tan² B
= 7(1 + tan² B) – 7 tan² B
= 7 + 7 tan² B – 7 tan² B
= 7

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए कि sin⁶ θ + cos⁶ θ + 3sin²θ cos²θ = 1
हल :
यहाँ पर,
बायाँ पक्ष = sin⁶ θ + cos⁶ θ + 3sin²θ cos²θ
= (sin²θ)³ + (cos²θ)³ + 3 sin²θ cos²θ (sin²θ + cos²θ) [∵ sin²θ + cos²θ = 1]
= (sin² θ + cos² θ)³ [∵ a³ + b³ + 3ab (a + b) = (a + b)³]
= (1)³
= 1 = दायाँ पक्ष

प्रश्न 14.
यदि a cosθ + b sinθ = m तथा a sinθ – b cosθ = n है, तो सिद्ध कीजिए कि a² + b² = m² + n²
हल :
यहाँ पर,
m = a cosθ + b sinθ
n = a sinθ – b cosθ
दायाँ पक्ष = m² + n²
= (a cos θ + b sin θ)² + (a sin θ – b cos θ)²
= a² cos²θ + b² sin²θ + 2ab sinθ cosθ + a² sin² θ + b² cos² θ – 2 ab sinθ cosθ
= a² cos²θ + a² sin² + b² sin² θ + b² cos² θ
= a² (cos² θ + sin² θ) + b² (sin² θ + cos² θ)
= a² + b² [∵ sin² θ + cos² θ = 1]
= बायाँ पक्ष

प्रश्न 15.
θ का मान ज्ञात कीजिए, यदि sin (θ +36°) = cos θ, जहाँ θ + 36°, एक न्यून कोण है।
हल :
यहाँ पर दिया गया है।
sin (θ + 36°) = cos θ
या cos [90° – (θ + 36°)] = cos θ
⇒ 90° – (θ +36°) = θ
या 90° – θ – 36° = θ
या 54° = θ + θ
या 2θ = 54°
या θ = 27°

प्रश्न 16.
सिद्ध कीजिए कि-
sin⁴θ – cos⁴θ = sin²θ – cos²θ = 2sin²θ – 1 = 1 – 2cos²θ
हल :
बायाँ पक्ष = sin⁴θ – cos⁴θ
= (sin²θ)² – (cos²θ)²
= (sin²θ – cos²θ) (sin²θ + cos²θ)
= (sin²θ – cos²θ) × 1
= sin²θ – cos²θ
पुनः sin²θ – cos²θ = sin²θ – [1 – sin²θ]
= sin²θ – 1 + sin²θ
= 2sin²θ – 1
इसी प्रकार sin²θ – cos²θ = (1 – cos²θ) – cos²θ
= 1 – cos²θ – cos²θ
= 1 – 2cos²θ = दायाँ पक्ष

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए कि tan 6° tan 12°tan 78° tan 84° = 1
हल :
यहाँ पर
बायाँ पक्ष = tan 6° tan 12° tan 78° tan 84°
= tan 6° tan 12° tan (90° – 12°) tan (90° – 6°)
= tan 6° tan 12° cot 12° cot 6° [∵ tan (90° – θ) = cot θ]
= tan 6° tan 12° \(\frac{1}{\tan 12^{\circ}} \cdot \frac{1}{\tan 6^{\circ}}\) [∵ cot θ = \(\frac {1}{tan θ}\)]
= 1 = दायाँ पक्ष

प्रश्न 18.
दर्शाइएा कि sin²6° + sin² 12° + sin² 78° + sin² 84° = 2
हल :
यहाँ पर,
बायाँ पक्ष = sin²6° + sin² 12° + sin² 78° + sin² 84°
= sin² 6° + sin² 12° + [sin (90° – 12°)]² + [sin (90° – 6°)]²
= sin² 6° + sin² 12° + cos² 12° + cos² 6° [∵ sin (90° – θ) = cos θ]
= (sin² 6° + cos² 6°) + (sin² 12° + cos² 12°)
= 1 + 1 [∵ sin²θ + cos²θ = 1]
= 2 = दायाँ पक्ष

प्रश्न 19.

हल :
यहाँ पर,

प्रश्न 20.
यदि cos 4A = sin (A – 20°), जहाँ 4A एक न्यूनकोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ पर,
cos 4A = sin (A – 20°)
⇒ sin(90° – 4A) = sin (A – 20°)
⇒ 90° – 4A = A – 20°
या 90° + 20° = A + 4A
या 5A = 110°
या A = \(\frac {110°}{5}\) = 22°

प्रश्न 21.
सिद्ध कीजिए कि cos 35°. cosec 55° = 1
हल :
यहाँ पर,
बायाँ पक्ष = cos 35°. cosec 55°
= cos 35°. cosec (90° – 35°)
= cos 35°. sec 35° [∵ cosec (90°- θ) = sec θ]
= cos 35° . \(\frac {1}{cos 35°}\) [∵ sec θ = \(\frac {1}{cos θ}\)]
= 1 = दायाँ पक्ष

प्रश्न 22.

हल :
यहाँ पर,

प्रश्न 23.
यदि A = 30°, तो बताइए कि sin 3A = 3 sin A – 4 sin³ A
हल :
यहाँ पर,
A = 30° के लिए
बायाँ पक्ष = sin 3A = sin 90° = 1 …………….(i)
दायाँ पक्ष = 3 sin A – 4 sin³ A
= 3 sin 30° – 4 sin³ 30°
= 3 (\(\frac {1}{2}\)) – 4 (\(\frac {1}{2}\))³
= \(\frac{3}{2}-4\left(\frac{1}{8}\right)=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=\frac{3-1}{2}=\frac{2}{2}\)
= 1 …………….(ii)
अतः समीकरण (i) और (ii) से स्पष्ट है कि बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष

प्रश्न 24.
यदि sin (A – B) = \(\frac {1}{2}\), cos (A + B) = \(\frac {1}{2}\), 0° < A + B ≤ 90°, A > B, तो A और B ज्ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ पर,
sin (A – B) = \(\frac {1}{2}\)
⇒ sin (A – B) = sin 30°
⇒ A – B = 30° ……………….(i)
तथा cos (A + B) = \(\frac {1}{2}\)
⇒ cos (A + B) = cos 60°
⇒ A + B = 60° ……………….(ii)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर,
2A = 90° या A = \(\frac {90°}{2}\) = 45°
A का मान समीकरण (i) में रखने पर,
45° – B = 30°
⇒ B = 45° – 30° = 15°
अतः A = 45° व B = 15°

प्रश्न 25.
ΔOPQ में, जिसका कोण P समकोण है, OP = 7 cm और OQ – PQ = 1 cm | sin Q और cos Q के मान ज्ञात कीजिए ।
हल :

समकोण ΔOPQ से हमें प्राप्त होता है।
OQ² = OP² + PQ²
⇒ (1 + PQ)² = OP² + PQ²
⇒ 1 + PQ² + 2PQ = OP² + PQ²
⇒ 1 + 2PQ = (7)²
⇒ 2PQ = 49 – 1
⇒ PQ = \(\frac {48}{2}\) = 24cm और OQ = 1 + PQ = 1 + 24 = 25 cm
अत: sin Q = \(\frac {7}{25}\) और cos Q = \(\frac {24}{25}\)

बहुविकल्पीय प्रश्न :

प्रश्न 1.
संलग्न समकोण त्रिभुज POQ में sin 6 का मान होगा-

(A) \(\frac {PQ}{OP}\)
(B) \(\frac {OQ}{OP}\)
(C) \(\frac {PQ}{OQ}\)
(D) \(\frac {OP}{PQ}\)
हल :
(A) \(\frac {PQ}{OP}\)

प्रश्न 2.
प्रश्न 1 की आकृति में cos θ का मान होगा-
(A) \(\frac {PQ}{OP}\)
(B) \(\frac {OQ}{OP}\)
(C) \(\frac {PQ}{OQ}\)
(D) \(\frac {OP}{OQ}\)
हल :
(B) \(\frac {OQ}{OP}\)

प्रश्न 3.
\(\frac{\sin 20^{\circ}}{\cos 70^{\circ}}\) का मान होगा :
(A) 2 sin 20°
(B) 0
(C) – 1
(D) 1
हल :
(D) 1

प्रश्न 4.
sin² 30° + cos² 30° का मान है :
(A) 0
(B) 1
(C) -1
(D) 2 cos² 30°
हल :
(B) 1

प्रश्न 5.
यदि cos θ = \(\frac {12}{13}\) हो, तो sin θ का मान है :
(A) \(\frac {13}{12}\)
(B) \(\frac {12}{5}\)
(C) \(\frac {5}{13}\)
(D) 1
हल :
(C) \(\frac {5}{13}\)

प्रश्न 6.
रिक्त स्थान भरें : cosec²θ = ………………. + cot²θ
(A) 1
(B) sin²θ
(C) tan²θ
(D) – 1
हल :
(A) 1

प्रश्न 7.
\(\frac{2 \tan 45^{\circ}}{1+\tan ^2 45^{\circ}}\) का मान है :
(A) cos 90°
(B) tan 90°
(C) sin 90°
(D) sin 45°
हल :
(C) sin 90°

प्रश्न 8.
यदि tan A = \(\frac {5}{12}\), तो cos A का मान है :
(A) \(\frac {5}{13}\)
(B) \(\frac {12}{5}\)
(C) \(\frac {13}{5}\)
(D) \(\frac {12}{13}\)
हल :
(D) \(\frac {12}{13}\)

प्रश्न 9.
यदि cot A = \(\frac {7}{24}\), तो sin A का मान है :
(A) \(\frac {24}{7}\)
(B) \(\frac {24}{25}\)
(C) \(\frac {25}{24}\)
(D) \(\frac {7}{25}\)
हल :
(B) \(\frac {24}{25}\)

प्रश्न 10.
\(\frac{2 \tan 60^{\circ}}{1+\tan ^2 60^{\circ}}\) का मान है :
(A) sin 60°
(B) cos 60°
(C) tan 30°
(D) sin 30°
हल :
(A) sin 60°

प्रश्न 11.
\(\frac {1}{tan θ}\) को कहा जाता है-
(A) cosec θ
(B) sec θ
(C) cot θ
(D) sin θ
हल :
(C) cot θ

प्रश्न 12.
cos²θ + sin²θ का मान सदैव होता है-
(A) शून्य
(B) 1
(C) 2
(D) 3
हल :
(B) 1

प्रश्न 13.
यदि cos A = \(\frac {7}{25}\) हो, तो tan A का मान होगा :
(A) \(\frac {25}{7}\)
(B) \(\frac {24}{7}\)
(C) \(\frac {24}{25}\)
(D) \(\frac {25}{24}\)
हल :
(B) \(\frac {24}{7}\)

प्रश्न 14.
\(\frac {cosec 32°}{sec 58°}\) का मान क्या है ?
(A) 0
(B) -1
(C) 1
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(C) 1

प्रश्न 15.
व्यंजक sin θ (cosec θ – sin θ) का सरल रूप होगा-
(A) sin² θ
(B) tan² θ
(C) cot² θ
(D) cos² θ
हल :
(D) cos² θ

प्रश्न 16.
tan⁴ A + tan² A को sec A के रूप में लिखा जा सकता है-
(A) sec⁴ A – sec² A
(B) sec⁴ A + sec² A
(C) sec⁴ A . sec² A
(D) sec⁴ A – sec⁴ A
हल :
(A) sec⁴ A – sec² A

प्रश्न 17.
3 cot² A – 3 cosec² A का मान होगा-
(A) शून्य
(B) -6
(C) -3
(D) 3
हल :
(C) – 3

प्रश्न 18.
cosec (90° – θ) का मान है –
(A) sec θ
(B) sin θ
(C) 1
(D) 0
हल :
(A) sec θ

प्रश्न 19.
\(\frac{1-\tan ^2 30^{\circ}}{1+\tan ^2 30^{\circ}}\) का मान है :
(A) cos 60°
(B) tan 60°
(C) sin 60°
(D) tan 30°
हल :
(A) cos 60°

प्रश्न 20.
यदि tan θ = \(\frac {15}{8}\) हो, तो sin θ का मान होगा :
(A) \(\frac {15}{17}\)
(B) \(\frac {17}{8}\)
(C) \(\frac {8}{15}\)
(D) 1
हल :
(A) \(\frac {15}{17}\)

प्रश्न 21.
रिक्त स्थान भरें : sec²θ – tan²θ = ………………. .
(A) 1
(B) -1
(C) 0
(D) 2sec²θ
हल :
(A) 1

प्रश्न 22.
(1 + sin θ) (1 – sin θ) का सरल रूप होगा-
(A) sin²θ
(B) cos²θ
(C) tan²θ
(D) sec²θ
हल :
(B) cos²θ

प्रश्न 23.
(1 + cos θ) (1 – cosθ) का सरल रूप होगा-
(A) sin²θ
(B) cos²θ
(C) tan²θ
(D) cosec²θ
हल :
(A) sin²θ

प्रश्न 24.
3 sin 30° – 4 sin³ 30° का मान है :
(A) sin 60°
(B) sin 90°
(C) 0
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(B) sin 90°

प्रश्न 25.
(A) 1
(B) – 1
(C) 0
(D) \(\frac {1}{2}\)
हल :
(D) \(\frac {1}{2}\)

प्रश्न 26.
sin A . cosec A बराबर है :
(A) 2 sec A
(B) cos²A
(C) 1
(D) 0
हल :
(C) 1

प्रश्न 27.
निम्नलिखित में से कौन-सा कथन असत्य है ?
(A) tan (90° – θ) = cot θ
(B) cot (90° – θ) = tan θ
(C) sec (90° – θ) = cosec θ
(D) cosec (90° – θ) = sin θ
हल :
(D) cosec (90° – θ) = sin θ

प्रश्न 28.
निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है ?
(A) cosec (90° – θ) = sec θ
(B) cosec (90° – θ) = sin θ
(C) cosec (90° – θ) = cot θ
(D) cosec (90° – θ) = tan θ
हल :
(A) cosec (90° – θ) = sec θ

प्रश्न 29.
यदि cosec θ = 2 हो तो tan θ का मान होगा :
(A) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
(B) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
(C) \(\frac {1}{2}\)
(D) \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
हल :
(B) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

प्रश्न 30.
sin 39° – cos 51° का मान होगा :
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) -1
हल :
(A) 0

प्रश्न 31.
यदि 2 sin θ = \(\sqrt{3}\) हो तो θ का मान होगा-
(A) 60°
(B) 45°
(C) 30°
(D) 0°
हल :
(A) 60°

प्रश्न 32.
यदि sin A = \(\frac {5}{13}\), तो sec A का मान है :
(A) \(\frac {13}{5}\)
(B) \(\frac {13}{12}\)
(C) \(\frac {12}{13}\)
(D) \(\frac {12}{5}\)
हल :
(B) \(\frac {13}{12}\)

प्रश्न 33.
cosec 25° – sec 65° का मान होगा-
(A) -1
(B) 0
(C) 1
(D) 2
हल :
(B) 0

प्रश्न 34.
\(\frac{\tan 64^{\circ}}{\cot 26^{\circ}}\) का मान होगा :
(A) 0
(B) 1
(C) – 1
(D) 2 tan 64°
हल :
(B) 1

प्रश्न 35.
sin 60°. cos 30° बराबर है :
(A) 1
(B) \(\frac{2 \sqrt{3}}{4}\)
(C) \(\frac {4}{3}\)
(D) \(\frac {3}{4}\)
हल :
(D) \(\frac {3}{4}\)

प्रश्न 36.
cos 45° – sin 45° का मान होगा-
(A) -1
(B) 0
(C) 1
(D) 2
हल :
(B) 0

प्रश्न 37.
6sec²θ – 6tan²θ बराबर है :
(A) 1
(B) – 6
(C) 6
(D) 0
हल :
(C) 6

प्रश्न 38.
\(\frac{\cos 20^{\circ}}{\sin 70^{\circ}}\) + \(\frac{\cos \theta}{\sin \left(90^{\circ}-\theta\right)}\) का मान होगा-
(A) 1
(B) – 1
(C) 2
(D) – 2
हल :
(C) 2

प्रश्न 39.
sin θ. cos (90° – θ) + cos θ. sin (90° – θ) का मान होगा-
(A) – 1
(B) 1
(C) 2
(D) -2
हल :
(B) 1

प्रश्न 40.
cos θ. cos (90° – θ) – sin θ sin (90° – θ) का मान होगा-
(A) – 1
(B) 1
(C) 2
(D) शून्य
हल :
(D) शून्य

प्रश्न 41.
ΔABC में, जिसका कोण B समकोण है AB = 24 cm और BC = 7 cm है। cos A का मान है-
(A) \(\frac {7}{25}\)
(B) \(\frac {24}{25}\)
(C) \(\frac {7}{24}\)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(B) \(\frac {24}{25}\)

प्रश्न 42.
sin 81° + tan 71° को 0° और 45° के कोणों के बीच में निरूपित किया जा सकता है-
(A) sin 9° + tan 19°
(B) cos 9° + cot 19°
(C) tan 9° + cot 19°
(D) sec 9° + cosec 19°
हल :
(B) cos 9° + cot 19°

प्रश्न 43.
ΔABC में, जिसका कोणं B समकोण है, AB = 24 cm और BC = 7 cm है। cos C का मान है-
(A) \(\frac {7}{25}\)
(B) \(\frac {7}{24}\)
(C) \(\frac {24}{25}\)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A) \(\frac {7}{25}\)

प्रश्न 44.
रिक्त स्थान भरें : tan²θ = ……………….. – 1
(A) cot²θ
(B) sec²θ
(C) cosec²θ
(D) cos²θ
हल :
(B) sec²θ

प्रश्न 45.
\(\frac{\cos ^2 20^{\circ}+\cos ^2 70^{\circ}}{\sin ^2 59^{\circ}+\sin ^2 31^{\circ}}\) का मान होगा-
(A) 2
(B) – 2
(C) 1
(D) – 1
हल :
(C) 1

प्रश्न 46.
ΔABC में, जिसका कोण B समकोण है, AB = 24 cm और BC = 7 cm है । sin A का मान है-
(A) \(\frac {7}{25}\)
(B) \(\frac {7}{24}\)
(C) \(\frac {24}{25}\)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A) \(\frac {7}{25}\)

प्रश्न 47.
ΔABC में, जिसका कोण B समकोण है, AB = 24 cm और BC = 7 cm है। sin C का मान है-
(A) \(\frac {24}{25}\)
(B) \(\frac {7}{25}\)
(C) \(\frac {7}{24}\)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A) \(\frac {24}{25}\)

प्रश्न 48.
\(\frac{\cos \left(90^{\circ}-\theta\right)}{\sin \theta}+\frac{\sin \theta}{\cos \left(90^{\circ}-\theta\right)}\) का मान होगा-
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
हल :
(B) 2

प्रश्न 49.
sin 60° – cos 30° का मान होगा-
(A) -1
(B) 1
(C) 0
(D) 2
हल :
(C) 0

प्रश्न 50.
cos θ × sec θ बराबर है :
(A) -1
(B) 1
(C) 0
(D) 2 cos
हल :
(B) 1

Haryana State Board HBSE 10th Class Science Notes Chapter 16 Management of Natural Resources Notes.

Haryana Board 10th Class Science Notes Chapter 16 Management of Natural Resources

What Happens When we Add Our Waste to the Environment?

Natural resources:

• The resources which occur naturally, and which cannot be created by man, are called natural resources. The components of the atmosphere, hydrosphere and lithosphere which are used for the maintenance of life are called natural resources.
• Water, land, air, forests, minerals, plants and animals are also natural resources.

Five R’s for saving the environment:
Refuse:
Refuse refers to the concept of saying No to things that people offer you but you do not need. In other words one must refuse unnecessary things. Example: Refuse to use single-use plastic carry bags.

Reduce:
Reduce means to use less. One can reduce the burden on environment by reducing consumption. Example: Instead of washing the car with pipes wipe it with wet cloth. Reducing wastage of food

Reuse:
The method of reuse refers to using an item again and again rather than throwing it away. Example: Rather than using plastic bags, buy proper shopping bags made out of cloth.

Repurpose:
At times when a product cannot be used further for its original purpose than use it for some other use. This is called repurpose. Example: We can make cloth bags from old trousers.

Recycle:
The action or process of converting waste into reusable material is called recycling.
Under recycling one can collect material such as plastic, paper, glass and metal items and recycle them to make required things instead of synthesizing or extracting fresh plastic, paper, glass or metal.

Sustainable development:
Economic development done without depleting the natural resources is called sustainable development.

Biodiversity:
The diversity of plant and animal life in a particular habitat or in the world as a whole is called biodiversity.

Stakeholder:
A person with an interest or concern in something is called the stake holder.

Stakeholders of forests:

• People who live in or around forests are dependent on forest produce for various aspects of their life.
• The Forest Department of the Government which owns the land and controls the resources from forests.
• The industrialists. All the industrialists covering those who use ‘tendu’ leaves to make bidis to the ones who owns paper mills. All those who use various forest produce, but are not dependent on the forests of any one area. In other words, they may source raw material from any forest.
• The wildlife and nature enthusiasts who want to conserve nature in its pristine form.

Dependency on water:

• Usually man depends upon fresh water for fulfilling his daily requirements.
• Irregularities in the rainfall may create flood or drought, thus imbalancing the quantity of fresh water on earth and causing disasters. Thus, life on earth is fully dependent on fresh water.

Construction of large dams is criticized mainly because of the following three problems:

• Social problems: Construction of large dams requires displacing large number of peasants and tribals residing nearby without paying them adequate compensation or rehabilitation. This leads to social problems.
• Economic problems: Such dams swallow huge amount of public money and do not generate proportionate benefits.
• Environmental problems: Massive construction of dams leads to large scale deforestation and huge loss to biological diversity.
• People who have been displaced by various development projects are largely poor tribals. They face dual loss – first they have to give their land and access to forests without receiving proper compensation and second they do not even get any benefit from such projects.

Watershed:
Any surface area from which draining of water resulting from rainfall is collected and drained through a common point is called a watershed. Watershed is similar to drainage basin or catchment area.

Watershed management:
The process of adopting practices of ‘land use’ and ‘water management’ in order to protect and improve the quality of the water and other natural resources within a watershed is known as watershed management.

Water-harvesting:
In general, water harvesting is the activity of collecting the water directly. The rainwater so collected can be stored for direct use or can be recharged into the groundwater.

Coal and petroleum:
Coal and petroleum are fossil fuels. Thesewere formed due to the degradation of bio mass millions of years ago. It is estimated that petroleum discovered so far will last for about 40 years and coal for about 200 years. Hence, it is utmost important to preserve them. Methods of conserving fossil fuels.

• Making maximum use of renewable energy
• Using public transport, constructing efficient building, etc.
• Developing more efficient engines for the vehicles
• Protecting fossil fuels from accidental fires

Haryana State Board HBSE 10th Class Science Notes Chapter 15 Our Environment Notes.

Haryana Board 10th Class Science Notes Chapter 15 Our Environment

What Happens When we Add Our Waste to the Environment?

Environment:

• The air, water and land in or on which people, animals and plants live is called environment.
• Biotic components such as plants and animals and abiotic components such as air, water, soil,etc. are the two components of environment.

Waste:
Unwanted or unusable items, remains or leftovers or by-products of household garbage together are termed as waste.

Biodegradable and non-biodegradable waste:
The waste materials, which are broken down to simpler substances by biological processes, are called biodegradable wastes, while those which cannot be broken down to simpler substances are called non-biodegradable wastes. For example, vegetables and fruits are biodegradable, while glass, plastics and polythene, etc. are non-biodegradable.

Ecosystem – What are its Components?

Food Chains and Webs

Food chain:
Living organisms of an ecosystem depend on each other for their food requirement and form a chain which is known as food chain.

In a food chain, the producers are at the first trophic level, the primary consumers (herbivores) at second, small carnivores i.e. secondary consumers at the third level and large carnivores or tertiary consumers at the fourth trophic level. The flow of energy in an ecosystem is always unidirectional.

Food web:

• The network of interconnected food chains functioning in an ecosystem is called food web.
• The relationship among individuals in the food chain is not represented by a straight line but as a series of branching lines which together form the food web.

Biological magnification:
When harmful chemicals and pesticides such as DOT, BHC, etc. enter in the food chain, level. The phenomenon is called biological magnification. Humans occupy the top level of any food chain. Hence, there is maximum concentration of harmful chemicals in humans. In other words blo-magnification is highest at the human level.

Ozone:

• Ozone (O₃) is a gaseous molecule formed by three atoms of oxygen. It is a deadly poisonous gas. Ozone layer is located at the higher levels of the atmosphere i.e. in stratosphere.
• The ozone layer absorbs harmful ultraviolet rays coming from the sun and protects us. Unfortunately, this layer is depleting and this is posing a serious problem for our planet.

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Important Questions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Important Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Important Questions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ

परीक्षोपयोगी अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न :

प्रश्न 1.
निम्नलिखित AP के लिए प्रथम पद a और सार्व अंतर d लिखिए-
(i) -225, -425, -625, -825,
(ii) \(\frac{3}{2}, \frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{3}{2}\), ………………..
हल :
(i) यहाँ पर AP = – 225, – 425, – 625, – 825, ………..
अतः प्रथम पद (a) = – 225
और सार्व अंतर (d) = – 425 – (225)
= – 425 + 225 = – 200

(ii) यहाँ पर AP = \(\frac{3}{2}, \frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{3}{2}\), …………….
अतः प्रथम पद (a) = \(\frac{3}{2}\)
और सार्व अंतर (d) = \(\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\)
= \(\frac{1-3}{2}\)
= \(\frac{-2}{2}\) = – 1

प्रश्न 2.
AP का सार्व अंतर ज्ञात कीजिए और उसके अगले दो पद लिखिए-
(i) 51, 59, 67, 75, …………
(ii) 75, 67, 59, 51, ………..
हल :
(i) यहाँ पर
AP = 51, 59, 67, 75, ……….
⇒ प्रथम पद (a₁) = 51
सार्व अंतर (d) = 59 – 51 = 8
∴ a₅ = a₄ + d = 75 + 8 = 83
a₆ = a₅+ d = 83 + 8 = 91

(ii) यहाँ पर
⇒ प्रथम पद (a₁) = 75
सार्व अंतर (d) = 67 – 75 = – 8
∴ a₅ = a₄ + d = 51 + (-8) = 51 – 8 = 43
a₆ = a₅ + d = 43 + (-8) = 43 – 8 = 35

प्रश्न 3.
समांतर श्रेढ़ी 2, 4, 6, 8, 10, …………… का 15वाँ पद ज्ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ पर दिया गया अनुक्रम है-
2, 4, 6, 8, 10, …….
प्रथम पद (a) = 2
और सार्व अंतर (d) = 4 – 2 = 2
∵ a_n = a + (n – 1)d
a₁₅ = a + (15 – 1)d
= 2 + 14 × 2
= 2 + 28 = 30

प्रश्न 4.
उस AP का 12 वाँ पद ज्ञात कीजिए जिसका –
(i) प्रथम पद 9 और सार्व अंतर 10 है ।
(ii) प्रथम पद – 20 और सार्व अंतर 4 है ।
हल :
(i) यहाँ पर
प्रथम पद (a) = 9
सार्व अंतर (d) = 10
∴ a₁₂ = a + 11d
= 9 + 11 × 10
= 9 + 110
= 119

(ii) यहाँ पर
प्रथम पद (a) = – 20
सार्व अंतर (d) = 4
∴ a₁₂ = a + 11d
= – 20 + 11 × 4
= – 20 + 44
= 24

प्रश्न 5.
समांतर श्रेढ़ी 7, 3, -1, -5, -9, …………. का n वाँ पद ज्ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ पर दिया गया अनुक्रम है-
7, 3, -1, -5, -9, ……….
प्रथम पद (a) = 7
सर्व अंतर (d) = 3 – 7 = – 4
a_n = a + (n – 1)d
= 7 + (n – 1) (-4)
= 7 – 4n + 4 = 11 – 4n

प्रश्न 6.
प्रथम 1000 धन – पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर प्रथम 1000 धन पूर्णांक = 1, 2, 3, 4, …………, 1000
∴ a = 1
l = 1000
n = 1000
A.P. के प्रथम n पदों का योगफल (S_n) = \(\frac {n}{2}\)(a + l)
⇒ S¹⁰⁰⁰ = \(\frac {1000}{2}\)(1 + 1000)
= 500 × 1001
= 500500

प्रश्न 7.
उस समांतर श्रेढ़ी का पता करें जिसका तीसरा पद 16 और सातवाँ पद 40 है ।
हल :
माना समांतर श्रेढ़ी = a, a + d, a + 2d, …………….
तो a_n = a + 2d
तथा a₇ = a + 6d
प्रश्नानुसार,
a₃ = 16
⇒ a + 2d = 16 ………(i)
तथा a₇ = 40
⇒ a + 6d = 40 …….(ii)
समीकरण (i) को समीकरण (ii) में से घटाने पर,
4d = 24
या d = \(\frac {24}{4}\) = 6
d का मान समीकरण (i) में रखने पर,
a + 2(6) = 16
या a = 16 – 12 = 4
∵ समांतर श्रेढ़ी का प्रथम पद 4 और इसका सार्व अंतर 6 है ।
∴ समांतर श्रेढ़ी = 4, 10, 16, 22, 28, 34, …………….

प्रश्न 8.
क्या संख्याओं की सूची 5, 11, 17, 23, …………. का कोई पद 301 है, क्यों?
हल :
यहाँ पर सूची = 5, 11, 17, 23, ……………
a₂ – a₁ = 11 – 5 = 6
a₃ – a₂ = 17 – 11 = 6
a₄ – a₃ = 23 – 17 = 6
क्योंकि दो क्रमागत पदों के बीच अंतर समान है, इसलिए दी गई सूची A . P . है ।
⇒ प्रथम पद (a) = 5
सार्व अंतर (d) = 11 – 5 = 6
माना AP का n वाँ पद 301 है तो
a_n = a + (n – 1)d
301 = 5 + (n – 1) × 6
(n – 1) = \(\frac{301-5}{6}=\frac{296}{6}=\frac{148}{3}\)
n = \(\frac {148}{3}\) + 1 = \(\frac{148+3}{3}=\frac{151}{3}\)
क्योंकि एक धनात्मक पूर्णांक नहीं है, इसलिए दी गई A. P. कोई पद 301 नहीं हो सकता ।

प्रश्न 9.
एक A. P. का 8वाँ पद – 23 है तथा 12वाँ पद – 39 है। A. P. ज्ञात कीजिए ।
हल :
माना A.P. = a, a + d, a + 2d, ……………..
तो a₈ = a + 7d
तथा a₁₂ = a + 11d
प्रश्नानुसार,
a₈ = – 23
⇒ a + 7d = – 23 (i)
तथा a₁₂ = – 39
⇒ a + 11d = – 39 (ii)
समीकरण (i) को समीकरण (ii) में से घटाने परं
4d = – 16
या d = \(\frac {-16}{4}\) = – 4
d का मान समीकरण (i) में रखने पर
a + 7 (- 4) = – 23
या a = – 23 + 28 = 5
∵ A.P. a = 5 तथा d = – 4
∴ A.P. = 5, 1, -3, -7.

प्रश्न 10.
किसी AP का प्रथम पद 5 और 100वाँ पद – 292 है । इस A. P. का 50वाँ पद ज्ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ पर दी गई समांतर श्रेढ़ी के लिए-
प्रथम पद (a) = 5
100 वाँ पद (a₁₀₀) = – 292
⇒ a + 99d = – 292
या 5 + 99d = – 292
या 99d = – 292 – 5
या 99d = – 297
या d = \(\frac {- 297}{99}\) = – 3
अतः समांतर श्रेढ़ी का 50 वाँ पद (a₅₀) = a + 49d
= 5 + 49 (-3)
= 5 – 147 = – 142

प्रश्न 11.
उस AP के पहले 50 पदों का योगफल ज्ञात करें जिसका दूसरा पद 14 और 5वाँ पद 26 है।
हल :
माना
AP का प्रथम पद = a
और सार्व अंतर = d
प्रश्नानुसार
a₂ = 14
⇒ a + d = 14 …………(i)
तथा a₅ = 26
⇒ a + 4d = 26 …………..(ii)
समीकरण (i) को समीकरण (ii) में से घटाने पर,
3d = 12
या d = \(\frac {12}{3}\) = 4
d का मान समीकरण (i) में रखने पर,
a + 4 = 14
या a = 14 – 4 = 10
हम जानते हैं कि
S_n = \(\frac {n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
⇒ S₅₀ = \(\frac {50}{2}\)[2(10) + (50 – 1) (4)]
= 25[20 + 196]
= 25 × 216 = 5400

प्रश्न 12.
यदि एक A. P. के पहले 6 पदों का योग 12 और पहले 10 पदों का योग 60 है, तो उस A. P. के n पदों का योग ज्ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ पर, A. P. के लिए
S₆ = 12
S₁₀ = 60
S_n = ?
हम जानते हैं कि S_n = \(\frac {n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
S₁₀ = \(\frac {10}{2}\) [2a + (10 – 1) d]
60 = 5 [2a + 9d] ………..(i)
2a + 9b = 12
तथा S₆ = \(\frac {6}{2}\)[2a + (6 – 1)]d
⇒ 12 = 3[2a + 5d]
⇒ 2a + 5d = 4 ……..(ii)

समीकरण (ii) को समीकरण (i) में से घटाने पर,
4d = 8
या d = \(\frac {8}{4}\) = 2
d का मान समीकरण (i) में रखने पर,
2a + 9(2) = 12
या 2a = 12 – 18
या a = \(\frac {-6}{2}\) = – 3
अब S_n = \(\frac {n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
= \(\frac {n}{2}\)[2(-3) + (n – 1)(2)]
= \(\frac {n}{2}\)[-6 + 2n – 2]
या S_n = \(\frac {n}{2}\)(2n – 8)
= n² – 4n

प्रश्न 13.
समांतर श्रेढ़ी – 4, – 1, 2, 5, 8,………………. के पहले 8 पदों और पदों का योग ज्ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ पर दी हुई समांतर श्रेढ़ी है-
-4, -1, 2, 5, 8, ……….
∴ प्रथम पद (a) = – 4
और सार्व अंतर (d) = – 1 – (-4) = – 1 + 4 = 3
हम जानते हैं कि S_n = \(\frac {n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
⇒ S₈ = \(\frac {8}{2}\)[2(-4) + (8 – 1)(3)]
= 4[-8 + 21]
= 4 × 13 = 52
और S₁₂ = \(\frac {12}{2}\)[2(-4) + (12 – 1)(3)]
= 6[-8 + 33] = 6 × 25 = 150

प्रश्न 14.
योगफल ज्ञात कीजिए प्रथम –
(i) 100 प्राकृत संख्याओं का ।
(ii) n प्राकृत संख्याओं का ।
हल :
(i) यहाँ पर दी हुई समांतर श्रेढ़ी है-
1, 2, 3, 4, …… 100
∴ प्रथम पद (a) = 1
और सार्व अंतर (d) = 2 – 1 = 1
पदों की संख्या (n) = 100
हम जानते हैं कि
S_n = \(\frac {n}{2}\)[2a + (n – 1) d]
⇒ S₁₀₀ = \(\frac {100}{2}\)[2 × 1 + (100 – 1) × 1]
= 50[2 + 99]
= 50 × 101 = 5050

(ii) यहाँ पर दी हुई समांतर श्रेढ़ी है–
1, 2, 3, 4, ……. n
∴ प्रथम पद (a) = 1
सार्व अंतर (d) = 2 – 1 = 1
पदों की संख्या = n
हम जानते हैं कि
S_n = \(\frac {n}{2}\)[2a + (n – 1) d]
⇒ S_n = \(\frac {n}{2}\)[2 × 1 + (n – 1) (1)]
= \(\frac {n}{2}\)[2 + n – 1]
= \(\frac {n}{2}\)[n + 1]

प्रश्न 15.
दो अंकों वाली कितनी संख्याएँ 3 से विभाज्य हैं?
हल :
हम जानते हैं कि
3 से विभाज्य दो अंकों की सबसे छोटी संख्या = 12
3 से विभाज्य दो अंकों की सबसे बड़ी संख्या = 99
अतः AP = 12, 15, 18, ………….. 99
प्रथम पद (a) = 12
सार्व अंतर (d) = 3
हम जानते हैं कि a_n = a + (n – 1)d
⇒ 99 = 12 + (n – 1) × 3
⇒ n – 1 = \(\frac{99-12}{3}\)
⇒ n – 1 = \(\frac {87}{3}\)
⇒ n = 29 + 1
⇒ n = 30
अतः दो अंकों वाली 3 से विभाज्य संख्याओं की संख्या = 30

प्रश्न 16.
योगफल ज्ञात कीजिए – (-5) + (-8) + (-11) + ………………. + (-230)
हल :
यहाँ पर दी हुई समांतर श्रेढ़ी है-
(-5) + (-8) + (-11) + ……… + (-230)
∴ प्रथम पद (a) = – 5
और सार्व अंतर (d) = (-8) – (-5) = – 8 + 5 = – 3
अंतिम पद (l) = – 230
हम जानते हैं कि
l = a + (n – 1) d
⇒ – 230 = 5 + (n – 1) (-3)
या – 230 = – 5 – 3n + 3
या – 230 + 5 – 3 = – 3n
या – 3n = – 228
या n = \(\frac {-228}{-3}\) = 76
अतः S_n = \(\frac {n}{2}\)(a + l)
⇒ S₇₆ = \(\frac {76}{2}\)[- 5 – 230]
= 38 × (- 235) = – 8930

प्रश्न 17.
यदि A. P. के पहले 6 पदों का योग 96 है और पहले 10 पदों का योग 240 है, तो उस A. P. के n पदों का योग ज्ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ पर, A. P. के लिए S₆ = 96
S₁₀ = 240
S_n = ?
हम जानते हैं कि S_n = \(\frac {n}{2}\)[2a + (n – 1) d]
⇒ S₁₀ = \(\frac {10}{2}\)[2a + (10 – 1)d]
240 = 5[2a + 9d]
2a + 9d = 48 ……………..(i)
तथा S₆ = \(\frac {6}{2}\) = 2[2a + (6 – 1)d]
96 = 3[2a +5d]
2a + 5d = 32 ……………..(ii)
समीकरण (ii) को समीकरण (i) में से घटाने पर प्राप्त होता है,
4d = 16
d = \(\frac {16}{4}\) = 4
d का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
2a + 9(4) = 48
या 2a = 48 – 36
या a = \(\frac {12}{2}\) = 6
अब S_n = \(\frac {n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
= \(\frac {n}{2}\)[2(6) + (n – 1)4]
= \(\frac {n}{2}\)[12 + 4n – 4]
= \(\frac {n}{2}\)[4n + 8] = 2n² + 4n

प्रश्न 18.
यदि A. P. के पहले 10 पदों का योग -60 और पहले 15 पदों का योग -165 है, तो उसके पहले n पदों का योग ज्ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ पर, A.P. के लिए
S₁₀ = -60
S₁₅ = -165
S_n = ?
हम जानते हैं कि S_n = \(\frac {n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
⇒ S₁₀ = \(\frac {10}{2}\)[2a + (10 – 1)d]
⇒ – 60 = 5[2a + 9d]
⇒ 2a + 9d = – 12 ……………(i)
तथा S₁₅ = \(\frac {15}{2}\)[2a + (15 – 1)d]
⇒ – 165 × \(\frac {2}{15}\) = 2a + 14d
⇒ 2a + 14d = – 22 …………… (ii)
समीकरण (i) को समीकरण (ii) में से घटाने पर प्राप्त होता है,
5d = – 10
या d = – 2
d का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
2a + 9(-2) = -12
या 2a = – 12 + 18
या 2a = 6
या a = \(\frac {6}{2}\) = 3
अब S_n = \(\frac {n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
= \(\frac {n}{2}\)[2(3) + (n – 1)(-2)]
= \(\frac {n}{2}\)[6 – 2n + 2]
= \(\frac {n}{2}\)[8 – 2n]
= 4n – n²

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
रीना ने एक पद के लिए आवेदन किया और उसका चयन हो गया। उसे यह पद 8000 रु० के मासिक वेतन और 500 रु० वार्षिक की वेतन वृद्धि के साथ दिया गया। इसके लिए (रुपयों में) उचित स मांतर श्रेढ़ी (AP) होगी –
(A) 8000, 8500, 9000, ……..
(B) 8000, 7500, 7000, ……….
(C) 8500, 9000, 9500, ……….
(D) 8500, 8000, 7500, ……….
हल :
(A) 8000, 8500, 9000, ………..

प्रश्न 2.
एक सीढ़ी के डंडों की लंबाइयाँ नीचे से ऊपर की ओर एक समान रूप से 2cm घटती जाती हैं। सबसे नीचे वाला डंडा लंबाई में 45cm है। नीचे से, पहले, दूसरे, तीसरे, ……. डंडों की लंबाइयाँ (cm में) क्रमशः होगी-
(A) 45, 47, 49, 51, …………..
(B) 45, 43, 41, 39, …………
(C) 45, 41, 37, 33, …………..
(D) 45, 49, 53, 57, ………….
हल :
(B) 45, 43, 41, 39, …………..

प्रश्न 3.
किसी बचत योजना में, कोई धनराशि प्रत्येक 3 वर्षों के बाद स्वयं की \(\frac {5}{4}\) गुनी हो जाती है। 8000 रु० के निवेश की 3, 6, 9 और 12 वर्षों के बाद परिपक्वता राशियाँ (रुपयों में) क्रमशः होंगी-
(A) 10000, 30000, 90000 और 2,70000
(B) 10000, 7500, 5000 और 4000
(C) 10000, 12500, 15625 और 19531.25
(D) उपरोक्त में से कोई नहीं
हल :
(C) 10000, 12500, 15625 और 19531.25

प्रश्न 4.
शकीला अपनी पुत्री की गुल्लक में 100 रु० तब डालती है, जब वह एक वर्ष की हो जाती है तथा प्रत्येक वर्ष इसमें 50 रु० की वृद्धि करती जाती है। उसके पहले, दूसरे, तीसरे, चौथे, ……………. जन्म दिवसों पर उसकी गुल्लक में डाली गई राशियाँ (रुपयों में) क्रमशः होगी-
(A) 200, 250, 300, 350, ………..
(B) 50, 100, 150, 200, ………….
(C) 100, 200, 300, 400, …………
(D) 100, 150, 200, 250, ………..
हल :
(D) 100, 150, 200, 250, …………

प्रश्न 5.
इनमें से कौन-सी A. P. श्रेणी है?
(A) 2, 4, 8, 12, ……..
(B) 0.2, 0.22, 0.222, ……..
(C) – 10, – 6, – 2, 2 ………….
(D) 1, 3, 9, 27, ……..
हल :
(C) – 10, – 6, – 2, 2 ………

प्रश्न 6.
समांतर श्रेढ़ी 7, 3, – 1, – 5, – 9 का सार्व अंतर है-
(A) 4
(B) – 4
(C) \(\frac {3}{7}\)
(D) \(\frac {7}{3}\)
हल :
(B) – 4

प्रश्न 7.
इनमें से कौन-सी A. P. श्रेणी है?
(A) a, a², a³, ……………
(B) 1², 3², 5², 7², ………
(C) a, 2a, 3a, 4a, ………….
(D) 1, 3, 9, 27, …………
हल :
(C) a, 2a, 3a, 4a, ……..

प्रश्न 8.
समांतर श्रेढ़ी 12, 2, – 8, – 18 ………. का सार्व अंतर है-
(A) -10
(B) 10
(C) \(\frac {3}{7}\)
(D) – 4
हल :
(A) – 10

प्रश्न 9.
निम्नलिखित में से कौन-सा क्रम समांतर श्रेढ़ी में नहीं है ?
(A) 3, 3, 3, 3, ……..
(B) 2, 2, 2, 2, ………..
(C) 3, 5, 8, 12, 20, ………
(D) 5, 5, 5, 5, ………..
हल :
(C) 3, 5, 8, 12, 20 ……..

प्रश्न 10.
एक समांतर श्रेढ़ी संख्याओं की एक ऐसी सूची होती है जिसमें प्रत्येक पद (पहले पद के अतिरिक्त) अपने पद में एक …………. संख्या जोड़ने पर प्राप्त होता है ।
(A) निश्चित
(B) विषम
(C) सम
(D) अभाज्य
हल :
(A) निश्चित

प्रश्न 11.
एक समांतर श्रेढ़ी संख्याओं की एक ऐसी सूची होती है जिसमें प्रत्येक पद (पहले पद के अतिरिक्त) अपने पद में एक निश्चित संख्या जोड़ने पर प्राप्त होता है । यह निश्चित संख्या AP का क्या कहलाती है?
(A) प्रथम पद
(B) अंतिम पद
(C) सार्व अंतर
(D) n वाँ पद
हल :
(C) सार्व अंतर

प्रश्न 12.
प्रथम पद a तथा सार्व अंतर d वाली समांतर श्रेढ़ी का n वाँ पद होगा-
(A) \(\frac {n}{2}\)(a + l)
(B) a + (n – 1)d
(C) d + (n – 1)a
(D) \(\frac {n}{2}\)(a + d)
हल :
(B) a + (n – 1) d

प्रश्न 13.
समांतर श्रेढ़ी – 5 – 1, 3, 7 का सार्व अंतर है-
(A) – 4
(B) 4
(C) 6
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(B) 4

प्रश्न 14.
समांतर श्रेढ़ी p, p + 90, p + 180, p + 270, ……… [ जहाँ p = (999)⁹⁹⁹] का सार्व अंतर है –
(A) 90
(B) – 90
(C) p
(D) शून्य
हल :
(A) 90

प्रश्न 15.
समांतर श्रेढ़ी – 125, – 325, – 525, – 725 ………… का सार्व अंतर है-
(A) – 125
(B) 125
(C) 200
(D) – 200
हल :
(D) – 200

प्रश्न 16.
प्रथम पद f तथा सार्व अंतर d वाली समांतर श्रेढ़ी का p वाँ पद होगा-
(A) f + (n – 1) d
(B) \(\frac {n}{2}\) (f + d)
(C) d + (p – 1) f
(D) f + (p – 1) d
हल :
(D) f + (p – 1 ) d

प्रश्न 17.
समांतर श्रेढ़ी 2.8, 3.0, 3.2, 3.4, …………. के अगले दो पद होंगे-
(A) 3.8 व 4.0
(B) 2.8 व 3.0
(C) 3.0 व 3.2
(D) 3.6 व 3.8
हल :
(D) 3.6 व 3.8

प्रश्न 18.
उस समांतर श्रेढ़ी (AP) के प्रथम 51 पदों का योगफल क्या होगा जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमशः 14 और 18 हैं?
(A) 5410
(B) 5510
(C) 5610
(D) 5710
हल :
(C) 5610

प्रश्न 19.
A.P. 13, 15\(\frac {1}{2}\), 18, 20\(\frac {1}{2}\), ……………. का 11वाँ पद है :
(A) 38
(B) 40\(\frac {1}{2}\)
(C) 43
(D) 45\(\frac {1}{2}\)
हल :
(A) 38

प्रश्न 20.
समांतर श्रेढ़ी 10.0, 10.5, 11.0, 11.5, …………… का 10वाँ पद होगा-
(A) 15.5
(B) 14.0
(C) 14.5
(D) 15.0
हल :
(C) 14.5

प्रश्न 21.
यदि एक समांतर श्रेढ़ी में S_n = 256, a = 1 और d = 2 तो n का मान होगा-
(A) 18
(B) 14
(C) 15
(D) 16
हल :
(D) 16

प्रश्न 22.
यदि A.P. का तीसरा पद 5 और 7 वाँ पद 13 है, तो उसका सार्व अंतर (common difference) है :
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
हल :
(D) 16

प्रश्न 23.
समांतर श्रेढ़ी (A.P.) – 11, – 7, – 3, ……………….. का सार्व अन्तर (common difference) है-
(A) 4
(B) – 4
(C) – 11
(D) – 18
हल :
(A) 4

प्रश्न 24.
A.P. 5, 6\(\frac {1}{2}\), 8, 9\(\frac {1}{2}\), ……………. का 15 वाँ पद है :
(A) 15\(\frac {1}{2}\)
(B) 14\(\frac {1}{2}\)
(C) 26
(D) 27\(\frac {1}{2}\)
हल :
(C) 26

प्रश्न 25.
समांतर श्रेढ़ी 4, 10, 16, 22, ……………. के अगले दो पद होंगे-
(A) 26 व 32
(B) 28 व 34
(C) 34 व 40
(D) 28 व 32
हल :
(B) 28 व 34

प्रश्न 26.
समांतर श्रेढ़ी 1, – 1, – 3, – 5, ………………. के अगले दो पद होंगे-
(A) – 7 व – 9
(B) – 7 व – 8
(C) – 9 व – 11
(D) – 7 व – 11
हल :
(A) – 7 व – 9

प्रश्न 27.
संख्याओं की निम्नलिखित सूची में से कौन-सी सूची AP नहीं है ?
(A) 2, 8, 14, 20, …………….
(B) 1, 2, 3, 4, ……………..
(C) 2, 2, 2, 2, ……………..
(D) 1, 1, 2, 2, 3, 3, …………..
हल :
(D) 1, 1, 2, 2, 3, 3, …………..

प्रश्न 28.
यदि एक A.P. का तीसरा पद 12 और 10 वाँ पद 26 है, तो उसका 20वाँ पद है :
(A) 46
(B) 52
(C) 50
(D) 44
हल :
(A) 46

प्रश्न 29.
प्रथम पद 4 तथा सार्व अंतर – 3 वाली AP के प्रथम दो पद होंगे-
(A) 4 व 1
(B) 4 व 7
(C) 4 व – 2
(D) 4 व 10
हल :
(A) 4 व 1

प्रश्न 30.
प्रथम पद – 2 तथा सार्व अंतर 0 वाली AP के प्रथम चार पद होंगे-
(A) -2, -4, -6, -8
(B) -2, -2, -2, -2
(C) -2, 0, 2, 4
(D) 0, 0, 0, 0
हल :
(B) -2, -2, -2, -2

प्रश्न 31.
AP : 3, 1, – 1, – 3, ………. के प्रथम पद व सार्व अंतर क्रमशः होंगे-
(A) 3 व 2
(B) 3 व 4
(C) 3 व – 2
(D) – 2 व 3
हल :
(C) 3 व – 2

प्रश्न 32.
A.P. 0.6, 1.7, 2.8, 3.9, …………… का 14 वाँ पद है :
(A) 14.9
(B) 16.0
(C) 17.1
(D) 18.2
हल :
(A) 14.9

प्रश्न 33.
दी हुई A. P. का a = 10 तथा d = 10 है, तो इस A. P. का द्वितीय पद ……………. है ।
(A) 10
(B) 20
(C) 30
(D) 40
हल :
(B) 20

प्रश्न 34.
AP : \(\sqrt{m}\), \(\sqrt{m}\), \(\sqrt{m}\), \(\sqrt{m}\), ………… का सार्व अंतर होगा-
(A) \(\sqrt{6}\)
(B) 2
(C) \(\sqrt{2}\)
(D) \(\sqrt{4}\)
हल :
(C) \(\sqrt{2}\)

प्रश्न 35.
A. P. 13, 15\(\frac {1}{2}\), 18, 20\(\frac {1}{2}\), …………… का 11 वाँ पद है :
(A) 38
(B) 40\(\frac {1}{2}\)
(C) 43
(D) 45\(\frac {1}{2}\)
हल :
(A) 38

प्रश्न 36.
यदि किसी A. P. का तीसरा पद 4 और 9वाँ पद – 8 है, तो उनका सार्व अंतर (common difference) है :
(A) – 2
(B) 2
(C) 4
(D) – 8
हल :
(A) – 2

प्रश्न 37.
यदि किसी समांतर श्रेढ़ी (AP) का प्रथम पद \(\frac {1}{2}\) और सार्व अंतर \(\frac {1}{12}\) हो तो उसका 12 वाँ पद होगा-
(A) \(\frac {17}{12}\)
(B) \(\frac {15}{12}\)
(C) \(\frac {16}{12}\)
(D) \(\frac {13}{12}\)
हल :
(A) \(\frac {17}{12}\)

प्रश्न 38.
\(\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \frac{9}{3}, \frac{13}{3}\) …………….. A. P. के लिए, निम्न से सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए ।
(A) \(\frac {-4}{3}\)
(B) \(\frac {2}{3}\)
(C) \(\frac {4}{3}\)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(C) \(\frac {4}{3}\)

प्रश्न 39.
-0.1, -0.2, -0.3, …………… A. P. का 10वा पद हैं-
(A) – 0.9
(B) – 0.8
(C) – 1.0
(D) – 1.1
हल :
(C) – 1.0

प्रश्न 40.
A. P. 2, 7, 12, ………. का 10वाँ पद है-
(A) -47
(B) 47
(C) 57
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(B) 47

प्रश्न 41.
दी हुई A. P. का a = – 2 तथा d = 0 है, तो इस A. P. का द्वितीय पद ……………. है-
(A) – 2
(B) 0
(C) 2
(D) 4
हल :
(A) – 2

प्रश्न 42.
A.P. – 10, – 6, – 2, 2, …………… का 20वाँ पद है :
(A) 66
(B) – 66
(C) 77
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A) 66

प्रश्न 43.
यदि 11, x, 5 किसी AP के पद हों तो x का मान होगा-
(A) 6
(B) 7
(C) 8
(D) 9
हल :
(C) 8

प्रश्न 44.
A.P. \(\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \frac{9}{3}, \frac{13}{3}\), ……………. का 15 वाँ पद है :
(A) \(\frac {61}{3}\)
(B) 6
(C) 5
(D) 19
हल :
(D) 19

प्रश्न 45.
समांतर श्रेढ़ी 18, 15 \(\frac {1}{2}\), 13, ………. – 47 में पदों की संख्या होगी-
(A) 27
(B) 28
(C) 29
(D) 30
हल :
(A) 27

प्रश्न 46.
दी हुई A. P. का a = 4 तथा d = – 3 है, तो इस A. P. का द्वितीय पद ……………… है :
(A) 4
(B) 1
(C) – 2
(D) – 5
हल :
(B) 1

प्रश्न 47.
समांतर श्रेढ़ी 25, 50, 75, 100, …………. का कौन-सा पद 1000 होगा ?
(A) 37वाँ
(B) 38वाँ
(C) 39वाँ
(D) 40वाँ
हल :
(D) 40वाँ

प्रश्न 48.
34 + 32 + 30 +…………………+ 10 का मान है :
(A) 294
(B) 289
(C) 286
(D) 386
हल :
(C) 286

प्रश्न 49.
समांतर श्रेढ़ी (AP) – 6, 0, 6, ……………. के प्रथम 13 पदों का योगफल होगा-
(A) 390
(B) 396
(C) 402
(D) 408
हल :
(A) 390

प्रश्न 50.
2 + 4 + 6 + …….. + 200 का योगफल होगा-
(A) 1010
(B) 10100
(C) 101000
(D) 101
हल :
(B) 10100

प्रश्न 51.
(-5) + (-8) + (-11) + …… + (-230) का योगफल होगा-
(A) -8730
(B) -8830
(C) -8930
(D) -9030
हल :
(C) – 8930

प्रश्न 52.
प्रथम 100 प्राकृत संख्याओं का योगफल होगा-
(A) 5050
(B) 4950
(C) 5150
(D) 5250
हल :
(A) 5050

प्रश्न 53.
यदि किसी AP का प्रथम पद a तथा सार्व अंतर d हो तो इसके n पदों का योग होगा-
(A) \(\frac {n}{2}\)[a + (n – 1)d]
(B) \(\frac {n}{2}\)[2a + (n – 1)d]
(C) \(\frac {n}{2}\)[4a+ (n – 1)d]
(D) \(\frac {n}{2}\)[3a + (n – 1)d]
हल :
(B) \(\frac {n}{2}\)[2a + (n – 1)d]

प्रश्न 54.
AP : 8, 3, -2, …………. के प्रथम 22 पदों का योग होगा-
(A) – 969
(B) – 974
(C) – 979
(D) – 984
हल :
(C) – 979

प्रश्न 55.
प्रथम n धन पूर्णांकों का योग होगा-
(A) \(\frac{(n-1)(n+1)}{2}\)
(B) \(\frac{n(n-1)}{2}\)
(C) \(\frac{n(n+2)}{2}\)
(D) \(\frac{n(n+1)}{2}\)
हल :
(D) \(\frac{n(n+1)}{2}\)

प्रश्न 56.
(A) – 24
(B) – 30
(C) – 36
(D) – 42
हल :
(B) – 30

प्रश्न 57.
किसी अनुक्रम का n वाँ पद 9 – 5n है,
(A) 4, – 1, – 6, – 11, ……….
(B) 5, 4, 3, 2, 1, …………..
(C) 7, 9, 11, 13, ………….
(D) 7, 11, 15, ……………
हल :
(A) 4, – 1, – 6, – 11, ……….

प्रश्न 58.
यदि किसी समांतर श्रेढ़ी का 9वाँ तथा 5वाँ पद क्रमशः 28 और
16 हो तो इस श्रेढ़ी के 15 पदों का योग होगा-
(A) 325
(B) 350
(C) 375
(D) 400
हल :
(C) 375

प्रश्न 59.
किसी AP का सार्व अंतर वही जो एक अन्य AP का, इनमें से एक का प्रथम पद 3 और दूसरी का 8 है । इनके चौथे पदों में अंतर होगा-
(A) 3
(B) 11
(C) 5
(D) 4
हल :
(C) 5

प्रश्न 60.
प्रथम पद f और अंतिम पद l वाली समांतर श्रेढ़ी के m पदों का योगफल होगा-
(A) \(\frac {l}{2}\)(m + f)
(B) \(\frac {m}{2}\)(f + l)
(C) \(\frac {f}{2}\) (m + l)
(D) f + (m – 1)l
हल :
(B) \(\frac {m}{2}\)(f + l)

प्रश्न 61.
यदि किसी AP में a = 5, d = 3, a_n = 50 ह्ये तो n का मान होगा-
(A) 16
(B) 15
(C) 17
(D) 18
हल :
(A) 16

प्रश्न 62.
यदि किसी AP में a₁₂ = 37 व d = 3 हो तो a का मान होगा-
(A) 6
(B) 5
(C) 4
(D) 3
हल :
(C) 4

प्रश्न 63.
यदि किसी AP में a = 8, a_n = 62, n = 6 हो तो d का मान होगा-
(A) \(\frac {51}{5}\)
(B) \(\frac {52}{5}\)
(C) \(\frac {53}{5}\)
(D) \(\frac {54}{5}\)
हल :
(D) \(\frac {54}{5}\)

प्रश्न 64.
अनुक्रम a_n = 3n + 2 का तीसरा पद होगा-
(A) 8
(B) 11
(C) 14
(D) 17
हल :
(B) 11

प्रश्न 65.
अनुक्रम a_n = (-1)^n-1 . 2ⁿ का चौथा पद होगा-
(A) 8
(B) – 8
(C) – 16
(D) 16
हल :
(C) – 16

Haryana State Board HBSE 10th Class Science Notes Chapter 14 Sources of Energy Notes.

Haryana Board 10th Class Science Notes Chapter 14 Sources of Energy

What is a Good Source of Energy

Source of energy:
A source from which useful energy can be extracted either directly or indirectly by means of a conversion or transformation is known as the source of energy. For example, sources of energy to provide us heat for cooking are LPG, kerosene, sunlight, etc.

Factors to consider while selecting an energy source:
The source of energy should be

• Availability,
• Output,
• Accessibility
• Transportation and storage and
• Economical.

Conventional (Non-renewable) source of energy:
A source of energy which we cannot regenerate or reuse once we have used it is called a conventional or non-renewable source of energy. For example, coal, petroleum and natural gas, thermal power plants, hydro power plants, bio-mass and wind energy.

Non-conventional (Renewable) source of energy:
Those sources of energy which are inexhaustible or say can be renewed are called non-conventional (renewable) sources of energy. For example, solar energy, tidal energy, wind energy, geothermal energy, etc.

Fossil fuels:
Fuels such as coal natural gas and petroleum formed in the earth crust due to decaying of plants and animal remains millions of years ago are known as fossil fuels.

Disadvantages of fossil fuels:

• Produces smoke
• Cause severe air pollution,
• Causes acid rain.
• Causes global warming.

Thermal power plant:
Thermal power plant is a set-up which converts heat energy into electrical energy on a large scale basis.

Hydropower plant:
Hydropower or hydroelectric plants use the potential energy of water stored at height (in dams) and the kinetic energy of the falling water for generating electricity. The power produced is called hydroelectricity or hydel electricity.

Disadvantages:

• Dams can be constructed only in some hilly areas,
• People living in low areas have to be relocated.
• Large ecosystems get destroyed
• Methane gas gets produced in large quantity.

Biomass:
The waste material from plants or animals such as cattle dung, dried leaves, etc. which is not used for food or feed is called biomass.

Biogas:
The gas prepared by decomposing cow dung, plant residue such as dead plants, dried leaves, residue obtained after harvesting a crop, vegetable waste and sewage in a pit is called biogas or gobar gas.

Advantages:

• An excellent fuel used for cooking and lightening
• Burns without smoke and leaves no residue
• High thermal capacity
• The slurry is an excellent manure

Biogas can also be used for lightening the villages.

Wind:
Moving air is called wind. Wind possesses kinetic energy. This kinetic energy can be used to do work or obtain electricity through a machine called wind mill.

Advantages:

• Does not cause any pollution
• It is renewable,
• Does not cause any recurring expense.

Limitations:

• Wind farm can be established only at those places where wind blows for most of the year that too with a minimum speed of 15 km/h
• Requires power back-up facility
• Required large area,
• Initial set-up cost is quite high,so is the maintenance.

Alternetive or Non-conventional Sources of Energy

Alternate (non-conventional) sources of energy:
Sources of energy which we have not yet started using on a regular and routine basis are called non-conventional sources of energy. Example: Solar energy, oceanic energy, geothermal energy and nuclear energy.

Solar energy.
The energy obtained from the sun is called solar energy. This energy is available in two forms namely, light and heat.

Solar appliances and their uses:

Energy from sea:
Tidal energy:
The level of ocean water rises and falls due to the gravitational pull of moon on the earth. The difference ¡n the tides give us energy which is called tidal energy.

Wave energy:
The winds blowing over ocean produces waves. These waves possess large amount of kinetic energy. Several devices have been developed to trap wave energy for rotating the turbine and hence producing electricity.

Ocean Thermal Energy Conversion (OTEC):
The energy available due to the difference in the temperature of water at the surface of the ocean and at deeper levels of the ocean is called Ocean Thermal Energy (OTE). The plant set-up to harnass this energy is called Ocean Thermal Energy Conversion (OTEC) Plant.

Geothermal energy:
The deep interior region of the earth where magma is found is very hot. The energy utilized from this heat is called geothermal energy. At some places, steam and hot water ooze out on their own through cracks of the rocks. Such sites serve as hot water springs or natural geysers.

Nuclear energy:

• When the nucleus of a heavy atom (such as uranium, plutonium or thorium) is bombarded with low-energy neutrons, it gets split into lighter nuclei. This process is called nuclear fission.
• During the splitting of nucleus, tremendous amount of energy is released. This energy is called nuclear energy.

Advantages:

• Produces 10 million times the energy produced by the combustion of an atom of carbon from coal,
• The nuclear fuel can itself go on chain reaction and release energy at a controlled rate.

Limitations:

• The biggest problem is the storage and disposal of used nuclear fuel.
• In case of accident if the radiations leak, they can cause very large and widespread effect.
• The installation cost is very high.

Haryana State Board HBSE 10th Class Science Notes Chapter 13 Magnetic Effects of Electric Current Notes.

Haryana Board 10th Class Science Notes Chapter 13 Magnetic Effects of Electric Current

Magnetic Field and Magnetic Field Lines

Magnet and magnetism:
Substances that have property of attracting metals such as iron, nickel, cobalt, etc. are called magnets. This property of attraction possessed by magnets is called magnetism.

Bar magnet:
A magnet in the shape of a bar having two magnetic poles, nam&y the north pole and the south pole is known as a bar magnet.

Magnetic field:
The region surrounding the magnet in which magnetic force can be experienced is called magnetic field. Field lines are drawn to describe the extent of the magnetic peki.

Magnetic compass:
Magnetic compass is a small instrument which helps us to locate the -direction. The compass has a dial on which directions namely North N, South S, East E, and West W are marked.

Magnetic Field Due to a current-carrying conductor

Magnetic field formed due to a linear (straight) conductor carrying current:

It depends upon the following two factors —

• The magnetic field produced due to the current passing in the conductor is proportional to the electric current i.e. magnetic field intensity α electric current.
• The magnetic field intensity goes on decreasing as the distance from the conductor increases i.e. magnetic field intensity α 1/distance.

Right Hand Thumb Rule:

• The direction of magnetic field associated with the electric current can be found with the help of the ‘Right Hand Thumb Rule’.
• For knowing the direction of magnetic field, imagine that you are holding the conducting wire in your right hand so that your thumb points in the direction of the current (I), then the direction in which your fingers encircle the wire will give the direction of magnetic field around the wire.

Magnetic field produced due to a current carrying loop of wire:
The magnetic field B produced at the centre of the coil is —

• Directly proportional to the current (I) flowing through it i.e. B α I
• Inversely proportional to the radius (r) of the loop i.e. B α 1
• Directly proportional to the total number of turns N of the coil i.e. B α N. This means if a ring is made up of closely spaced N turns, the magnetic field at the centre of the ring will be N times stronger. Thus, magnetic field intensity
  points in the direction of the current (I), then the direction in which your fingers encircle the wire will give the direction of magnetic field around the wire.

Magnetic field produced due to a current carrying loop of wire:

The magnetic field B produced at the centre of the coil is —

• Directly proportional to the current (I) flowing through it i.e. B α I
• Inversely proportional to the radius (r) of the loop i.e. B α 1/r
• Directly proportional to the total number of turns N of the coil i.e. B α N. This means if a the magnetic field at the centre of the ring will be N times stronger. Thus, magnetic field intensity

Solenoid:

• A long met wire turned several times to form the structure of a coiled cylinder is known as a solenoid.
• On passing electric current, a magnetic field is produced inside the solenoid. The magnetic field resulting due to N turns will be N times stronger than the magnetic Seki resulting by each circular coil.

The factors on which the strength of the magnetic field produced by a current carrying solenoid depends are —

• Number of turns (N) In the solenoid: More the number of turns (N) in the solenoid, stronger will be the magnetic field produced.
• Strength of the current (I): Greater the current (I) passing through solenoid, stronger will be the magnetic field produced.
• Nature of core material: If material such as a soft iron cylinder is used in making the solenoid core, the magnetic field will be quite strong.

Electromagnet:

A soft iron core placed inside a solenoid behaves like a powerful magnet when a current is passed through solenoid. Such a magnet (with magnetic field around) is called an electromagnet.

Force on a Current-Carn’in Conductor in a Magnetic Field

Fleming’s left hand rule:

Arrange your left hand such that the tore finger, the center finger and thumb remain at right angle to each other. Adjust your hand in such a way that the forefinger points in the direction of magnetic field and the centre finger points in the direction of current, then the direction in which the thumb points will be the direction of magnetic force.

Electric motor:
An electric motor is a rotating device which converts electric energy into mechanical energy.

Principie of electric motor:

• When a current carrying conductor (or a coil) is placed in a magnetic field, the conductor experiences force and it rotates.
• It is used in electric fan, mixer-grinder, washing machine, DVD players, etc.

Electromagnetic induction:

• When the magnetic line of force passing through a closed circuit change, voltage and hence a current is induced in It. This phenomenon is called electromagnetic induction. The voltage produced is called induced force (e.m.f.) and the current is called induced current.
• The direction of electric current can be found out with the help of Fleming’s right hand rule.

Fleming’s right hand rule:
Arrange the forefinger, middle finger and thumb of a right hand at right angle to one another. Adjust the forefinger in the direction of magnetic field, and thumb pointing in the direction of motion of conductor. The direction of middle finger will then indicate the direction of induced electric current.

Galvanometer:
A galvanometer is an instrument that can detect the presence of current in a circuit i.e. whether the current is flowing in the circuit or not.

Electric generator:

An electric generator is a device which converts mechanical energy into electric energy. The electric generator works on the principle of electromagnetic induction.

Types of electric current:

• DC current: The current that always flows in the same direction is known as direct current (DC). Batteries used in radio/cell phone, watch, laptop, etc. works on DC.
• AC current: The current that changes direction after equal intervals of time is known as alternating current (AC). Appliances such as fan, tubelight, TV, refrigerator. etc. run on AC Current.

Domestic Electric Circuits:
The current that comes to our house from the power stations is Alternate Current (AC). From power station, this power is transmitted to our houses through thick underground cables or over head electric poles and cables.

Three main wires enter the main board of our house. They are :

• Wire with red coloured insulation. This wire is known as live wire or positive.
• Wire with black coloured insulation. This wire is known as neutral wire or ‘negative’.
• Wire with green coloured insulation. This wire is known as earth (or earthing) wire.

Short circuit:
If positive (live) and negative wires touch each other accidently, such a situation is called short-circuit

Fuse:
A fuse is a safety device made out of small metallic strip with a low melting point. It works on the heating effect of the electric current.

Overloading:
If a large number of electrical appliances are switched on simultaneously, they start drawing large amount of current from the mains. When the current drawn exceeds the safety limit it is called over loading. Overloading may cause short- circuit. Fuse can help in preventing short-circuit.

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Important Questions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Important Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Important Questions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति

परीक्षोपयोगी अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न :

प्रश्न 1.
यदि cos θ = \(\frac {8}{17}\) हो तो कोण θ के अन्य पाँच त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात करो ।
हल :
माना ΔABC में कोण B समकोण है तथा ∠A = θ तो

प्रश्न 2.
यदि ∠B और ∠Q ऐसे न्यून कोण हों जिससे कि sin B = sin Q, तो सिद्ध कीजिए कि ∠B = ∠Q
हल :
माना दो समकोण त्रिभुज ABC और PQR जहाँ sin B = sin Q

समीकरण (i) और (ii) से हमें प्राप्त होता है,
\(\frac{A C}{P R}=\frac{A B}{P Q}=\frac{B C}{Q R}\)
⇒ ΔACB ~ ΔPRQ
अतः ∠B = ∠Q

प्रश्न 3.
यदि sec α = \(\frac {5}{4}\) हो तो \(\frac{1-\tan \alpha}{1+\tan \alpha}\) का मान ज्ञात कीजिए ।
हल :

माना ΔABC में कोण ∠B समकोण है तथा ∠A = α तो
sec α = \(\frac{5}{4}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}\)
⇒ AC = 5 इकाई
AB = 4 इकाई

प्रश्न 4.
यदि sin (A + B) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) और sin (A – B) = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), 0° < A + B ≤ 90°, A > B, तो A और B का मान ज्ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ पर,
sin (A + B) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
⇒ sin (A + B) = sin 60°
⇒ A + B = 60° ……………..(i)
तथा sin (A – B) = \(\frac {1}{2}\)
⇒ sin (A – B) = sin 30°
⇒ A – B = 30° ……………..(ii)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर,
2A = 90° या A = \(\frac {90°}{2}\) = 45°
A का मान समीकरण (i) में रखने पर,
45° + B = 60°
⇒ B = 60° – 45° = 15°
अतः A = 45° व B = 15°

प्रश्न 5.
निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए-
(i) \(\frac{\tan 65^{\circ}}{\cot 25^{\circ}}\)
(ii) \(\frac{\cot 50^{\circ}}{\tan 40^{\circ}}\)
हल :

प्रश्न 6.

हल :

प्रश्न 7.
cot 85° + cos 75° को 0° और 17° के बीच के कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों के पदों में व्यक्त कीजिए ।
हल :
यहाँ पर,
cot 85° + cos 75°
= cot (90° – 5°) + cos(90° – 15°)
= tan 5° + sin 15°

प्रश्न 8.
मान निकालिए-
(i) sin²20° + sin2 70°
(ii) \(\frac{\cos ^2 20^{\circ}+\cos ^2 70^{\circ}}{\sin ^2 59^{\circ}+\sin ^2 31^{\circ}}\)
हल :
(i) sin² 20° + sin² 70° = sin² 20° + [sin (90° – 20°)]²
= sin² 20° + cos² 20°
= 1

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए :

हल :

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए :
\(\frac{\sin \theta-\cos \theta+1}{\sin \theta+\cos \theta-1}=\frac{1}{\sec \theta-\tan \theta}\)
हल :
यहाँ पर,

प्रश्न 11.

हल :
यहाँ पर,

प्रश्न 12.
7 sec² B – 7tan² B का मान ज्ञात कीजिए
हल :
यहाँ पर, 7 sec² B – 7 tan² B
= 7 (1 + tan²B) – 7 tan² B [∵ 1 + tan²θ = sec²θ]
= 7 + 7 tan² B – 7 tan² B
= 7

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए कि sin⁶θ + cos⁶θ + 3sin²θ cos²θ = 1
हल :
यहाँ पर,
बायाँ पक्ष = sin⁶θ + cos⁶θ + 3sin²θ cos²θ
= (sin²θ)³ + (cos²θ)³ + 3 sin²θ cos²θ (sin²θ + cos²θ) [∵ sin²θ + cos²θ = 1]
= (sin²θ + cos²θ)³ [∵ a³ + b³ + 3ab (a + b) = (a + b)³]
= (1)³
= 1 = दायाँ पक्ष

प्रश्न 14.
यदि a cosθ + b sinθ = m तथा a sinθ – b cosθ = n, है, तो A का मान ज्ञात कीजिए । a² + b² = m² + n²
हल :
यहाँ पर, m = a cosθ + b sinθ
और n = a sin θ – b cos θ
दायाँ पक्ष = m² + n²
= (a cosθ + b sinθ)² + (a sinθ – b cosθ)²
= a² cos²θ + b² sin²θ + 2ab sinθ cosθ + a² sin² θ + b² cos² θ – 2 ab sinθ cosθ
= a² cos²θ + a² sin²θ + b² sin² θ + b² cos² θ
= a² (cos² θ + sin² θ) + b² (sin² θ + cos² θ)
= a² + b² [∵ sin² θ + cos²θ = 1]
= बायाँ पक्ष

प्रश्न 15.
θ का मान ज्ञात कीजिए, यदि sin (θ + 36°) = cos θ, जहाँ θ + 36°, एक न्यून कोण है।
हल :
यहाँ पर दिया गया है।
या sin (θ + 36°) = cos θ
⇒ cos [90° – (θ + 36°)] = cos θ
या 90° – (θ + 36°) = θ
या 90° – θ – 36° = θ
या 54° = θ + θ
या 2θ = 54°
या θ = 27°

प्रश्न 16.
सिद्ध कीजिए कि-
sin⁴θ – cos⁴θ = sin²θ – cos²θ = 2sin²θ – 1 = 1 – 2cos²θ
हल :
यहाँ पर
बायाँ पक्ष
= sin⁴θ – cos⁴θ
= (sin²θ)² – (cos²θ)²
= (sin²θ – cos²θ) (sin²θ + cos²θ)
= (sin²θ – cos²θ) × 1
= sin²θ – cos²θ
पुन: sin²θ – cos²θ = sin²θ -[1 – sin²θ]
= sin²θ – 1 + sin²θ
= 2sin²θ – 1
इसी प्रकार sin²θ – cos²θ = (1 – cos²θ) – cos²θ
= 1- cos²θ – cos²θ
= 1 – 2cos²θ = बायाँ पक्ष

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए कि tan 6° tan 12°tan 78° tan 84° = 1
हल :
यहाँ पर
बायाँ पक्ष = tan 6° tan 12° tan 78° tan 84°
= tan 6° tan 12° tan (90° – 12°) tan (90° – 6°)
= tan 6° tan 12° cot 12° cot 6° [∵ tan (90° – θ) = cot θ]
= tan 6° tan 12° \(\frac{1}{\tan 12^{\circ}} \cdot \frac{1}{\tan 6^{\circ}}\)
[∵ cot θ = \(\frac {1}{tan θ}\)]
= 1 = दायाँ पक्ष

प्रश्न 18.
sin² 6° + sin² 12° + sin² 78° + sin² 84° = 2
हल :
यहाँ पर,
बायाँ पक्ष = sin² 6° + sin² 12° + sin² 78° + sin² 84°
= sin² 6° + sin² 12° + [sin (90° – 12°)]² + [sin (90° – 6°)]²
= sin² 6° + sin² 12° + cos² 12° + cos² 6° [∵ sin (90° – θ) = cos θ]
= (sin² 6° + cos² 6°) + (sin² 12° + cos² 12°)
= 1 + 1 [∵ sin² θ + cos² θ = 1]
= 2 = दायाँ पक्ष

प्रश्न 19.
सिद्ध कीजिए कि : \(\sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}}+\sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}}\) = 2cosec θ
हल :
यहाँ पर

प्रश्न 20.
यदि cos 4A = sin (A – 20°), जहाँ 4A एक न्यूनकोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ पर,
cos 4A = sin (A – 20°)
⇒ sin(90° – 4A) = sin (A – 20°)
⇒ 90° – 4A = A – 20°
या 90° + 20° = A + 4A
या 5A = 110°
या A = \(\frac {110°}{5}\) = 22°

प्रश्न 21.
सिद्ध कीजिए कि cos 35°. cosec 55° = 1
हल :
यहाँ पर,
बायाँ पक्ष = cos 35°. cosec 55°
= cos 35°. cosec (90° – 35°)
= cos 35°. sec 35° [∵ cosec (90°- θ) = sec θ]
= cos 35°. \(\frac{1}{\cos 35^{\circ}}\) [∵ sec θ = \(\frac {1}{cos θ}\)]
= 1 = दायाँ पक्ष

प्रश्न 22.
सिद्ध कीजिए कि : \(\sqrt{\frac{1+\sin \theta}{1-\sin \theta}}+\sqrt{\frac{1-\sin \theta}{1+\sin \theta}}\) = 2sec θ
हल :
यहाँ पर,

प्रश्न 23.
यदि A = 30°, तो बताइए कि sin 3A = 3 sin A – 4 sin³ A
हल :
यहाँ पर,
A = 30° के लिए
बायाँ पक्ष = sin 3A = sin 90° = 1 …………..(i)
दायाँ पक्ष = 3 sin A – 4 sin³ A
= 3 sin 30° – 4 sin³ 30°
= 3 (\(\frac {1}{2}\)) – 4 (\(\frac {1}{2}\))³
= \(\frac{3}{2}-4\left(\frac{1}{8}\right)=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=\frac{3-1}{2}=\frac{2}{2}\)
= 1 ……………..(ii)
अतः समीकरण (i) और (ii) से स्पष्ट है कि बायाँ पक्ष =.दायाँ पक्ष

प्रश्न 24.
यदि sin (A – B) = \(\frac {1}{2}\), cos (A + B) = \(\frac {1}{2}\), 0° < A + B ≤ 90°, A > B, तो A और B ज्ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ पर,
⇒ sin (A – B) = \(\frac {1}{2}\)
⇒ sin (A – B) = sin 30°
A – B = 30° ………………(i)
तथा cos (A + B) = \(\frac {1}{2}\)
⇒ cos (A + B) = cos 60°
⇒ A + B = 60° …………….(ii)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर,
2A = 90° या A = \(\frac {90°}{2}\) = 45°
A का मान समीकरण (i) में रखने पर,
45° – B = 30°
⇒ B = 45° – 30° = 15°
अतः A = 45° व B = 15°

प्रश्न 25.
ΔOPQ में, जिसका कोण P समकोण है, OP = 7 cm और OQ – PQ = 1 cm | sin Q और cos Q के मान ज्ञात कीजिए ।
हल :

समकोण ΔOPQ से हमें प्राप्त होता है।
OQ² = OP² + PQ²
⇒ (1 + PQ)² = OP² + PQ² [∵ OQ – PQ = 1 cm]
⇒ 1 + PQ² + 2PQ = OP² + PQ²
⇒ 1 + 2PQ = (7)²
⇒ 2PQ = 49 – 1
⇒ PQ = \(\frac {48}{2}\) = 24 cm और OQ = 1 + PQ = 1 + 24 = 25 cm
अत: sin Q = \(\frac {7}{25}\) और cos Q = \(\frac {24}{25}\)

बहुविकल्पीय प्रश्न :

प्रश्न 1.
संलग्न समकोण त्रिभुज POQ में sin θ का मान होगा-

(A) \(\frac {PQ}{OP}\)
(B) \(\frac {OQ}{OP}\)
(C) \(\frac {PQ}{OQ}\)
(D) \(\frac {OP}{PQ}\)
हल :
(A) \(\frac {PQ}{OP}\)

प्रश्न 2.
प्रश्न 1 की आकृति में cos θ का मान होगा-
(A) \(\frac {PQ}{OP}\)
(B) \(\frac {OQ}{OP}\)
(C) \(\frac {PQ}{OQ}\)
(D) \(\frac {OP}{OQ}\)
हल :
(A) \(\frac {OQ}{OP}\)

प्रश्न 3.
\(\frac{\sin 20^{\circ}}{\cos 70^{\circ}}\) का मान होगा :
(A) 2 sin 20°
(B) 0
(C) – 1
(D) 1
हल :
(D) 1

प्रश्न 4.
sin²30° + cos²30° का मान है :
(A) 0
(B) 1
(C) -1
(D) 2 cos²30°
हल :
(B) 1

प्रश्न 5.
यदि cos θ = \(\frac {12}{13}\) हो, तो sin θ का मान है :
(A) \(\frac {13}{12}\)
(B) \(\frac {12}{5}\)
(C) \(\frac {5}{13}\)
(D) 1
हल :
(C) \(\frac {5}{13}\)

प्रश्न 6.
रिक्त स्थान भरें : cosec²θ = ……………….. + cot²θ.
(A) 1
(B) sin²θ
(C) tan²θ
(D) -1
हल :
(A) 1

प्रश्न 7.
\(\frac{2 \tan 45^{\circ}}{1+\tan ^2 45^{\circ}}\) का मान है :
(A) cos 90°
(B) tan 90°
(C) sin 90°
(D) sin 45°
हल :
(C) sin 90°

प्रश्न 8.
यदि tan A = \(\frac {5}{12}\), तो cos A का मान है :
(A) \(\frac {5}{13}\)
(B) \(\frac {12}{5}\)
(C) \(\frac {13}{5}\)
(D) \(\frac {12}{13}\)
हल :
(D) \(\frac {12}{13}\)

प्रश्न 9.
यदि cot A = \(\frac {7}{24}\), तो sin A का मान है :
(A) \(\frac {24}{7}\)
(B) \(\frac {24}{25}\)
(C) \(\frac {25}{24}\)
(D) \(\frac {7}{25}\)
हल :
(B) \(\frac {24}{25}\)

प्रश्न 10.
\(\frac{2 \tan 60^{\circ}}{1+\tan ^2 60^{\circ}}\) का मान है :
(A) sin 60°
(B) cos 60°
(C) tan 30°
(D) sin 30°
हल :
(A) sin 60°

प्रश्न 11.
\(\frac {1}{tan θ}\) को कहा जाता है-
(A) cosec θ
(B) sec θ
(C) cot θ
(D) sin θ
हल :
(C) cot θ

प्रश्न 12.
cos² θ + sin² θ का मान सदैव होता है-
(A) शून्य
(B) 1
(C) 2
(D) 3
हल :
(B) 1

प्रश्न 13.
यदि cos A = \(\frac {7}{25}\) हो, तो tan A का मान होगा :
(A) \(\frac {25}{7}\)
(B) \(\frac {24}{7}\)
(C) \(\frac {24}{25}\)
(D) \(\frac {25}{24}\)
हल :
(B) \(\frac {24}{7}\)

प्रश्न 14.

(A) 0
(B) -1
(C) 1
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(C) 1

प्रश्न 15.
व्यंजक sin θ (cosec θ – sin θ) का सरल रूप होगा-
(A) sin² θ
(B) tan² θ
(C) cot² θ
(D) cos² θ
हल :
(D) cos² θ

प्रश्न 16.
tan⁴ A + tan² A को sec A के रूप में लिखा जा सकता है-
(A) sec⁴ A – sec² A
(B) sec⁴ A – sec² A
(C) sec⁴ A . sec² A
(D) sec⁴ A – sec⁴ A
हल :
(A) sec⁴ A – sec² A

प्रश्न 17.
3cot²A – 3cosec²A का मान होगा-
(A) शून्य
(B) -6
(C) -3
(D) 3
हल :
(C) – 3

प्रश्न 18.
cosec (90° – θ) का मान है :
(A) sec θ
(B) sin θ
(C) 1
(D) 0
हल :
(A) sec θ

प्रश्न 19.
\(\frac{1-\tan ^2 30^{\circ}}{1+\tan ^2 30^{\circ}}\) का मान है :
(A) cos 60°
(B) tan 60°
(C) sin 60°
(D) tan 30°
हल :
(A) cos 60°

प्रश्न 20.
यदि tan θ = \(\frac {15}{8}\) हो, तो sin θ का मान होगा :
(A) \(\frac {15}{17}\)
(B) \(\frac {17}{8}\)
(C) \(\frac {8}{15}\)
(D) 1
हल :
(A) \(\frac {15}{17}\)

प्रश्न 21.
रिक्त स्थान भरें : sec²θ – tan²θ = …………………
(A) 1
(B) -1
(C) 0
(D) 2sec²θ
हल :
(A) 1

प्रश्न 22.
(1 + sin θ) (1 – sin θ) का सरल रूप होगा-
(A) sin² θ
(B) cos² θ
(C) tan² θ
(D) sec² θ
हल :
(B) cos² θ

प्रश्न 23.
(1 + cos θ) (1 – cosθ) का सरल रूप होगा-
(A) sin² θ
(B) cos² θ
(C) tan² θ
(D) cosec² θ
हल :
(A) sin² θ

प्रश्न 24.
3 sin 30° – 4 sin³ 30° का मान है :
(A) sin 60°
(B) sin 90°
(C) 0
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(B) sin 90°

प्रश्न 25.
tan 45° – sin 30° का मान होगा :
(A) 1
(B) – 1
(C) 0
(D) \(\frac {1}{2}\)
हल :
(D) \(\frac {1}{2}\)

प्रश्न 26.
sin A . cosec A बराबर है :
(A) 2 sec A
(B) cos² A
(C) 1
(D) 0
हल :
(C) 1

प्रश्न 27.
निम्नलिखित में से कौन-सा कथन असत्य है ?
(A) tan (90° – θ) = cot θ
(B) cot (90° – θ) = tan θ
(C) sec (90° – θ) = cosec θ
(D) cosec (90° – θ) = sin θ
हल :
(D) cosec (90° – θ) = sin θ

प्रश्न 28.
निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है ?
(A) cosec (90° – θ) = sec θ
(B) cosec (90° – θ) = sec θ
(C) cosec (90° – θ) = cot θ
(D) cosec (90° – θ) = tan θ
हल :
(A) cosec (90° – θ) = sec θ

प्रश्न 29.
यदि cosec θ = 2 हो तो tan θ का मान होगा :
(A) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
(B) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
(C) \(\frac {1}{2}\)
(D) \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
हल :
(B) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

प्रश्न 30.
sin 39° – cos 51° का मान होगा :
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) -1
हल :
(A) 0

प्रश्न 31.
यदि 2 sin θ = \(\sqrt{3}\) हो तो θ का मान होगा-
(A) 60°
(B) 45°
(C) 30°
(D) 0°
हल :
(A) 60°

प्रश्न 32.
यदि sin A = \(\frac {5}{13}\), तो sec A का मान है :
(A) \(\frac {13}{5}\)
(B) \(\frac {13}{12}\)
(C) \(\frac {12}{13}\)
(D) \(\frac {12}{5}\)
हल :
(B) \(\frac {13}{12}\)

प्रश्न 33.
cosec 25° – sec 65° का मान होगा-
(A) -1
(B) 0
(C) 1
(D) 2
हल :
(B) 0

प्रश्न 34.
\(\frac{\tan 64^{\circ}}{\cot 26^{\circ}}\) का मान होगा :
(A) 0
(B) 1
(C) – 1
(D) 2 tan 64°
हल :
(B) 1

प्रश्न 35.
sin 60°. cos 30° बराबर है :
(A) 1
(B) \(\frac{2 \sqrt{3}}{4}\)
(C) \(\frac {4}{3}\)
(D) \(\frac {3}{4}\)
हल :
(D) \(\frac {3}{4}\)

प्रश्न 36.
cos 45° – sin 45° का मान होगा-
(A) -1
(B) 0
(C) 1
(D) 2
हल :
(B) 0

प्रश्न 37.
6sec²θ – 6tan²θ बराबर है :
(A) 1
(B) – 6
(C) 6
(D) 0
हल :
(C) 6

प्रश्न 38.
\(\frac{\cos 20^{\circ}}{\sin 70^{\circ}}+\frac{\cos \theta}{\sin \left(90^{\circ}-\theta\right)}\) का मान होगा-
(A) 1
(B) – 1
(C) 2
(D) – 2
हल :
(C) 2

प्रश्न 39.
sin θ. cos (90° – θ) + cos θ. sin (90° – θ) का मान होगा-
(A) – 1
(B) 1
(C) 2
(D) -2
हल :
(B) 1

प्रश्न 40.
cos θ . cos (90° – θ) – sin θ . sin (90° – θ) का मान होगा-
(A) – 1
(B) 1
(C) 2
(D) शून्य
हल :
(D) शून्य

प्रश्न 41.
ΔABC में, जिसका कोण B समकोण है AB = 24 cm और BC = 7 cm है। cos A का मान है-
(A) \(\frac {7}{25}\)
(B) \(\frac {24}{25}\)
(C) \(\frac {7}{24}\)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(B) \(\frac {24}{25}\)

प्रश्न 42.
sin 81° + tan 71° को 0° और 45° के कोणों के बीच में निरूपित किया जा सकता है-
(A) sin 9° + tan 19°
(B) cos 9° + cot 19°
(C) tan 9° + cot 19°
(D) sec 9° + cosec 19°
हल :
(B) cos 9° + cot 19°

प्रश्न 43.
ΔABC में, जिसका कोणं B समकोण है, AB = 24 cm और BC = 7 cm है। cos C का मान है-
(A) \(\frac {7}{25}\)
(B) \(\frac {7}{24}\)
(C) \(\frac {24}{25}\)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A) \(\frac {7}{25}\)

प्रश्न 44.
रिक्त स्थान भरें : tan²θ = ………………….. -1
(A) cot²θ
(B) sec²θ
(C) cosec²θ
(D) cos²θ
हल :
(B) sec²θ

प्रश्न 45.
\(\frac{\cos ^2 20^{\circ}+\cos ^2 70^{\circ}}{\sin ^2 59^{\circ}+\sin ^2 31^{\circ}}\) का मान होगा-
(A) 2
(B) -2
(C) 1
(D) – 1
हल :
(C) 1

प्रश्न 46.
ΔABC में, जिसका कोण B समकोण है, AB = 24 cm और BC = 7 cm है । sin C का मान है-
(A) \(\frac {7}{25}\)
(B) \(\frac {7}{24}\)
(C) \(\frac {24}{25}\)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A) \(\frac {7}{25}\)

प्रश्न 47.
ΔABC में, जिसका कोण B समकोण है, AB = 24 cm और BC = 7 cm है। sin C का मान है-
(A) \(\frac {24}{25}\)
(B) \(\frac {7}{25}\)
(C) \(\frac {7}{24}\)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A) \(\frac {24}{25}\)

प्रश्न 48.
\(\frac{\cos \left(90^{\circ}-\theta\right)}{\sin \theta}+\frac{\sin \theta}{\cos \left(90^{\circ}-\theta\right)}\)
का मान होगा-
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
हल :
(B) 2

प्रश्न 49.
sin 60° – cos 30° का मान होगा-
(A) -1
(B) 1
(C) 0
(D) 2
हल :
(C) 0

प्रश्न 50.
cos θ × sec θ बराबर है :
(A) -1
(B) 1
(C) 0
(D) 2 cos
हल :
(B) 1

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Important Questions Chapter 3 दो चरों वाले रखिक समीकरण युग्म Important Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Important Questions Chapter 3 दो चरों वाले रखिक समीकरण युग्म

परीक्षोपयोगी अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न :

प्रश्न 1.
जसलीन ने एक पेंसिल और एक रबड़ 3 रु० में खरीदी। ऐसी ही दो पेंसिल व 5 रबड़ के लिए जतिन ने 12 रु० दिए। इस स्थिति को बीजगणितीय एवं ग्राफीय रूपों में व्यक्त कीजिए ।
हल :
माना 1 पेंसिल का मूल्य x रु० तथा एक रबड़ का मूल्य ५ रु० हो तो रैखिक समीकरण-युग्म होगा-
x + y = 3 ……….(i)
2x + 5y = 12 ………….(ii)

ग्राफीय निरूपण के लिए,
x + y = 3
2x + 5y = 12

⇒ x = 3 – y

⇒ x = \(\frac{12-5 y}{2}\)

ग्राफ पेपर पर बिंदु A (0, 3) व B (3, 0) लेकर उन्हें मिलाकर रेखा AB प्राप्त करें जो समीकरण (i) को निरूपित करेगी तथा बिंदु C (6, 0) तथा बिंदु D (1, 2) लेकर मिलाकर रेखा CD प्राप्त करें जो समीकरण (ii) को निरूपित करेगी।
दोनों रेखाएँ AB और CD परस्पर बिंदु R (1, 2) पर प्रतिच्छेद करती हैं । अतः 1 पेंसिल का मूल्य 1 रु० व 1 रबड़ का मूल्य 2 रु०

प्रश्न 2.
निम्नलिखित समीकरणों को हल कीजिए :
\(\frac{2 x}{3}+\frac{y}{2}\) = 3
\(\frac{x}{2}-\frac{2 y}{3}=\frac{1}{6}\)
हल :
यहाँ पर,
\(\frac{2 x}{3}+\frac{y}{2}\) = 3
⇒ 4x + 3y = 18 (दोनों ओर 6 से गुणा करने पर) …………(i)
तथा \(\frac{x}{2}-\frac{2 y}{3}=\frac{1}{6}\)
⇒ 3x – 4y = 1 (दोनों ओर 6 से गुणा करने पर) …………(ii)
समीकरण (i) को 4 से तथा समीकरण (ii) को 3 से गुणा करने पर व जोड़ने पर,
16x + 12y = 72
9x – 12y = 3
या 25x = 75
या x = \(\frac {75}{25}\) = 3
x का मान समीकरण (i) में रखने पर,
4(3) + 3y = 18
या 3y = 18 – 12
या y = \(\frac {6}{3}\) = 2
अतः x = 3 व y = 2

प्रश्न 3.
समीकरणों 2x + y = 6 और 2x – y + 2 = 0 को आलेखित कीजिए। अक्ष के साथ इन समीकरणों को निरूपित करने वाली रेखाएँ जो त्रिभुज बनाती हैं उसके शीर्ष ज्ञात कीजिए। इस प्रकार बने त्रिभुजाकार क्षेत्र को छायांकित कीजिए ।
हल :
यहाँ पर
2x + y = 6 ……….. (i)
2x – y + 2 = 0 ……….. (ii)
समीकरण (i) से,
y = 6 – 2x

बिंदुओं A (0, 6) और B(3, 0) को आलेखित कर रेखा AB प्राप्त कीजिए जो समीकरण (i) को निरूपित करती है।
समीकरण (ii) से
y = 2x + 2

बिंदुओं P(0, 2) और Q (- 1, 0) को आलेखित कर रेखा PQ प्राप्त कीजिए
जो समीकरण (ii) को निरूपित करती है ।
अब (i) रेखा AB और PQ का प्रतिच्छेदन बिंदु T(1, 4) है।
(ii) रेखा AB, x- अक्ष को B (3, 0) पर काटती है ।
(iii) रेखा PQ, x – अक्ष को Q (-1, 0) पर काटती है ।
इस प्रकार, त्रिभुज के शीर्ष (1, 4), (3, 0) तथा (- 1, 0) हैं । अभीष्ट
छायांकित क्षेत्र आकृति में दर्शाया गया है।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित समीकरणों को हल कीजिए :
\(\frac{x}{2}+\frac{2 y}{3}\) = – 1
\(\frac{x}{3}-\frac{y}{2}=\frac{13}{6}\)
हल :
यहाँ पर
\(\frac{x}{2}+\frac{2 y}{3}\) = – 1
⇒ 3x + 4y = – 6 (दोनों ओर 6 से गुणा करने पर ) …………… (i)
तथा \(\frac{x}{3}-\frac{y}{2}=\frac{13}{6}\)
⇒ 2x – 3y = 13 (दोनों ओर 6 से गुणा करने पर ) … (ii)
समीकरण (i) को 3 से तथा समीकरण (ii) को 4 से गुणा करने पर,
9x + 12y = – 18 … (iii)
8x – 12y = 52 … (iv)
समीकरण (iii) व (iv) को जोड़ने पर,
17x = 34
या x = \(\frac {34}{17}\) = 2
x का मान समीकरण (i) में रखने पर,
3 (2) + 4y = – 6
या 4y = – 6 – 6
या y = \(\frac {- 12}{4}\) = – 3
अतः x = 2 व y = -3

प्रश्न 5.
निम्नलिखित समीकरणों को हल कीजिए :
\(\frac{2 x}{3}-\frac{3 y}{2}\) = – 2
\(\frac{x}{2}+\frac{4 y}{3}=\frac{25}{3}\)
हल :
यहाँ पर,
\(\frac{2 x}{3}-\frac{3 y}{2}\) = – 2
⇒ 4x – 9y = – 12 (दोनों ओर 6 से गुणा करने पर ) …………(i)
तथा \(\frac{x}{2}+\frac{4 y}{3}=\frac{25}{3}\)
⇒ 3x + 8y = 50 (दोनों ओर 6 से गुणा करने पर ) …………(ii)
समीकरण (i) को 8 से तथा समीकरण (ii) को 9 से गुणा करने पर,
32x – 72y = – 96 …………….(iii)
27x + 72y = 450 ………….. (iv)
समीकरण (iii) व (iv) को जोड़ने पर प्राप्त होगा,
59x = 354
या x = \(\frac {354}{59}\) = 6
x का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,
4(6) – 9y = -12
या – 9y = – 12 – 24
या y = \(\frac {-36}{-9}\) = 4
अतः अभीष्ट हल x = 6 व y = 4

प्रश्न 6.
निम्नलिखित रैखिक समीकरण-युग्म को विलोपन विधि से हल कीजिए-
– 6x + 5y = 2 और 5x + 6y = 9
हल :
यहाँ पर
– 6x + 5y = 2 …………(i)
– 5x + 6y = 9 …………..(ii)
समीकरण (i) को 6 से तथा समीकरण (ii) को 5 से गुणा करने पर,
– 36x + 30y = 12 ………….(iii)
– 25x + 30y = 45 ………….(iv)
घटाने पर

x = \(\frac {-33}{11}\) = 3
या x = 3 को समीकरण (i) में रखने पर,
या – 6 (3) + 5y = 2
या – 18 + 5y = 2
या 5y = 2 + 18
या 5y = 20
या y = \(\frac {20}{5}\) = 4
अतः अभीष्ट हल x = 3 व y = 4

प्रश्न 7.
रैखिक समीकरण – युग्म 2x + 3y = 7 और 6x – 5y = 11 को वज्र-गुणन विधि से हल कीजिए ।
हल :
यहाँ पर
2x + 3y – 7 = 0 ….(i)
व 6x – 5y – 11 = 0
वज्र – गुणन विधि से हल करने के लिए

प्रश्न 8.
हल कीजिए :
\(\frac{2}{x}+\frac{3}{y}\) और \(\frac{5}{x}-\frac{4}{y}\) = – 2
हल :
यहाँ पर,
2(\(\frac {1}{x}\)) + 3(\(\frac {1}{y}\)) = 13 ………….(i)
5(\(\frac {1}{x}\)) – 4(\(\frac {1}{y}\)) = – 2 ………….(ii)
समीकरण (i) व (ii) में \(\frac {1}{x}\) = p व \(\frac {1}{y}\) = q प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है-
2p + 3q = 13 ………….(iii)
5p – 4q = -2 ………….(iv)
समीकरण (iii) को 4 से व (iv) को 3 से गुणा करने व जोड़ने पर प्राप्त होता है-

या p = \(\frac {46}{23}\) = 2
p का मान समीकरण (iii) में प्रतिस्थापित करने पर
2 (2) + 3q = 13
या 3q = 13 – 4
या q = \(\frac {9}{3}\) = 3
p और q का मान पुनः प्रतिस्थापित करने पर \(\frac {1}{x}\) = p और \(\frac {1}{y}\) = q
\(\frac {1}{x}\) = 2 और \(\frac {1}{y}\) = 3
⇒ x = \(\frac {1}{2}\) व y = \(\frac {1}{3}\).

प्रश्न 9.
समीकरण – युग्म 2x – 3y = 1 और kx + 5y= 7 में k का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए युग्म का अद्वितीय हल हो ।
हल :
यहाँ पर
2x – 3y = 1 ……………(i)
kx + 5y = 7 ……………(ii)
a₁ = 2, b₁ = – 3
a₂ = k, b₂ = 5
अद्वितीय हल होने के लिए आवश्यक है,
\(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\)
⇒ \(\frac{2}{k} \neq \frac{-3}{5}\)
या k ≠ \(\frac {10}{-3}\)
अतः \(\frac {10}{-3}\) के अतिरिक्त k के सभी मानों के लिए दिए गए समीकरण – युग्म का एक अद्वितीय हल होगा।

प्रश्न 10.
k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए समीकरण – युग्म 2x + ky = 1 और 3x – 5y = 7 का कोई हल न हो।
हल :
यहाँ पर
2x + ky – 1 = 0 ……..(i)
3x – 5y – 7 = 0 ………(ii)
a₁ = 2, b₁ = k, c₁ = – 1
a₂ = 3, b₂ = – 5, c₂ = – 7
समीकरण-युग्म का कोई हल न होने के लिए आवश्यक है कि,
\(\frac{a_1}{a_2}:=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\)
⇒ \(\frac {2}{3}\) = \(\frac {k}{- 5}\)
या 3k = – 10
या k = \(\frac {-10}{3}\)
अतः k = \(\frac {-10}{3}\) के लिए समीकरण -युग्म का कोई हल नहीं होगा ।

प्रश्न 11.
k के किस मान के लिए समीकरण – युग्म x + 2y + 7 = 0 व 2x + ky + 14 = 0 संपाती रेखाएँ प्रदर्शित करेगी?
हल :
यहाँ पर
x + 2y + 7 = 0 …………(i)
2x + ky + 14 = 0 ………….(ii)
⇒ a₁ = 1, b₁ = 2, c₁ = 7, a₂ = 2, b₂ = k, c₂ = 14
संपाती रेखाएँ अर्थात् अनंत अनेक हल होने के लिए आवश्यक है

अतः k = 4 के लिए समीकरण-युग्म की रेखाएँ संपाती होंगी।

प्रश्न 12.
पाँच वर्ष पहले नीता की आयु, गीता की आयु की तीन गुनी थी। दस वर्ष पश्चात् नीता की आयु, गीता की आयु की दुगुनी होगी। इस समय नीता और गीता की आयु क्या है ?
हल :
माना गीता की वर्तमान आयु = x वर्ष
तथा नीता की वर्तमान आयु = y वर्ष
प्रश्नानुसार पाँच वर्ष पहले, y – 5 = 3(x – 5)
या y – 5 = 3x – 15
या y – 3x = – 15 + 5
या y – 3x = – 10 ………….(i)
प्रश्नानुसार दस वर्ष बाद,
y + 10 = 2 (x + 10)
या y + 10 = 2x + 20
या y = 2x + 20 – 10
या y = 2x + 10 ………….(ii)
y का मान समीकरण (i) में रखने पर,
2x + 10 – 3x = – 10
या 2x – 3x = – 10 – 10
– x = – 20
या x = 20
∴ गीता की वर्तमान आयु = 20 वर्ष
तथा नीता की वर्तमान आयु = 2 × 20 + 10 = 50 वर्ष

प्रश्न 13.
किसी भिन्न के अंश और हर दोनों में से प्रत्येक में यदि 1 जोड़ दें, तो वह \(\frac {4}{5}\) बन जाती है। परंतु यदि प्रत्येक में से 5 घटा दें, तो वह \(\frac {1}{2}\) हो जाती है । वह भिन्न ज्ञात कीजिए ।
हल :
माना भिन्न का अंश = x
तथा भिन्न का हर = y
∴ भिन्न = \(\frac {x}{y}\)
पहली शर्त के अनुसार, \(\frac{x+1}{y+1}=\frac{4}{5}\)
या 5x + 5 = 4y + 4
या 5x – 4y = 4 – 5
या 5x – 4y = – 1 ………….(i)
दूसरी शर्त के अनुसार, \(\frac{x-5}{y-5}=\frac{1}{2}\)
या 2x – 10 = y – 5
या 2x – y = – 5 + 10
या 2x – y = 5 ………….(ii)
समीकरण (i) को 1 से तथा समीकरण (ii) को 4 से गुणा करने पर,

या x = \(\frac {-21}{-3}\) = 7
x = 7 को समीकरण (i) में रखने पर,
5 (7) – 4y = – 1
या 35 – 4y = – 1
या – 4y = – 1 – 35
या – 4y = – 36
या y = \(\frac {-36}{-4}\) = 9
अतः अभीष्ट भिन्न = \(\frac {7}{9}\)

प्रश्न 14.
दो अंकों वाली एक संख्या के अंकों का योग 8 है । अंकों को पलटने पर प्राप्त होने वाली संख्या दी गई संख्या से 36 अधिक है । वह संख्या ज्ञात कीजिए ।
हल :
माना संख्या की इकाई का अंक = x और दहाई का अंक = y
तो संख्या = 10y + x
∴ अंकों को पलटने पर प्राप्त संख्या = 10x + y
पहली शर्त के अनुसार,
x + y = 8 …….. (i)
दूसरी शर्त के अनुसार,
(10x + y) – (10y + x) = 36
या 10x + y – 10y – x = 36
या 9x – 9y = 36
x – y = 4 ………… (ii) (दोनों ओर 9 से भाग करने पर)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर,
x – y = 4 …….. (ii)
x + y = 8 …….. (i)
2x = 12 ⇒ x = \(\frac {12}{2}\) = 6
x का मान समीकरण (i) में रखने पर,
या y = 8 – 6 = 2
अतः अभीष्ट संख्या = 10 × 2 + 6 = 26

प्रश्न 15.
तीन कुर्सियों और दो मेजों का मूल्य 1850 रु० है । पाँच कुर्सियों और तीन मेजों का मूल्य 2850 रु० है । दो कुर्सियों और दो मेजों का मूल्य ज्ञात कीजिए ।
हल :
माना कि एक कुर्सी का मूल्य = x रुपए
और एक मेज का मूल्य = y रुपए
पहली शर्त के अनुसार,
3x + 2y = 1850 ……. (i)
दूसरी शर्त के अनुसार,
5x + 3y = 2850 ……. (ii)
समीकरण (i) को 3 से तथा समीकरण (ii) को 2 से गुणा करने पर,

x का मान समीकरण (i) में रखने पर,
3 × 150 + 2y = 1850
या 450 + 2y = 1850
या 2y = 1850 – 450
या 2y = 1400
y = \(\frac {1400}{2}\) = 700
∴ 2 कुर्सियों और 2 मेजों का मूल्य = 2x + 2y
= 2 × 150 + 2 × 700
= 300 + 1400 = 1700 रुपए

प्रश्न 16.
स्टेशन A से स्टेशन B के 2 टिकटों और स्टेशन A से स्टेशन C के 3 टिकटों के लिए 795 रु० देने पड़ते हैं। परंतु स्टेशन A से B के 3 और A से C के 5 टिकटों के लिए कुल 1300 रु० देने पड़ते हैं। स्टेशन A से B का और स्टेशन A से C तक का किराया ज्ञात कीजिए ।
हल :
माना, स्टेशन A से स्टेशन B तक किराया = x रु०
तथा स्टेशन A से स्टेशन C तक किराया = y रु०
प्रश्नानुसार,
2x + 3y = 795 ……….(i)
3x + 5y = 1300 ……….(ii)
समीकरण (i) को 3 से तथा समीकरण (ii) को 2 से गुणा कर घटाने पर,

या y = 215
y का मान समीकरण (i) में रखने पर,
2x + 3 × 215 = 795
या 2x = 795 – 3 × 215
x = \(\frac{795-645}{2}=\frac{150}{2}\) = 75
अतः स्टेशन A से स्टेशन B तक किराया = 75 रु०
और स्टेशन A से स्टेशन C तक किराया = 215 रु०

प्रश्न 17.
यदि एक आयत की लंबाई को 2 मात्रक बढ़ा दें और उसकी चौड़ाई को 2 मात्रक घटा दें, तो उसका क्षेत्रफल 28 वर्ग मात्रक घट जाता है । यदि लंबाई को 1 मात्रक कम कर दें और चौड़ाई को 2 मात्रक बढ़ा दें, तो क्षेत्रफल 33 वर्ग मात्रक बढ़ जाता है । आयत की विमाएँ (dimensions) ज्ञात कीजिए ।
हल :
माना आयत की लम्बाई = x मात्रक
तथा आयत की चौड़ाई = y मात्रक
तो आयत का क्षेत्रफल = xy वर्ग मात्रक
पहली शर्त के अनुसार,
(x + 2) (y – 2) = xy – 28
या xy – 2x + 2y – 4 = xy – 28
या – 2x + 2y = xy – 28 – xy + 4
या – 2x + 2y = – 24
या x – y = 12 ……………(i)
दूसरी शर्त के अनुसार,
या (x – 1) (y + 2) = xy + 33
या xy + 2x – y – 2 = xy + 33
या 2x – y = xy + 33 – xy + 2
या 2x – y = 35 ……………(ii)
समीकरण (ii) को समीकरण (i) में से घटाने पर,

या x = 23
x का मान समीकरण (i) में रखने पर,.
23 – y = 12
या – y = 12 – 23
या – y = – 11
या y = 11
अतः आयत की लंबाई = 23 मात्रक
तथा आयत की चौड़ाई = 11 मात्रक

प्रश्न 18.
हल कीजिए :
\(\frac{5}{x}-\frac{4}{y}\) = – 2 और \(\frac{2}{x}+\frac{3}{y}\) = 13
हल :
यहाँ पर
5(\(\frac {1}{x}\)) – 4(\(\frac {1}{y}\)) = – 2 …………..(i)
2(\(\frac {1}{x}\)) + 3(\(\frac {1}{y}\)) = 13 …………..(ii)
माना \(\frac {1}{x}\) = p व \(\frac {1}{y}\) = q समीकरण (i) व (ii) में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है-
5p – 4q = – 2 …………..(iii)
2p + 3q = 13 …………..(iv)
समीकरण (iii) को 3 से तथा (iv) को 4 से गुणा करके जोड़ने पर प्राप्त होता है-

या p = \(\frac {46}{23}\) = 2
p का मान समीकरण (iii) में रखने पर
5 (2) – 4q = – 2
⇒ – 4q = – 2 – 10
⇒ q = \(\frac {-12}{-4}\) = 3
p और q का मान पुनः प्रतिस्थापित करने पर
\(\frac {1}{x}\) = p और \(\frac {1}{y}\) = q
\(\frac {1}{x}\) = 2 और \(\frac {1}{y}\) = 3
⇒ x = \(\frac {1}{2}\) और y = \(\frac {1}{3}\)

प्रश्न 19.
एक व्यक्ति नदी की धारा की दिशा में 2 घंटे में 20 कि०मी० और धारा के विरुद्ध 2 घंटे में 4 कि०मी० नाव चला सकता है। स्थिर जल में इस व्यक्ति की नाव चलाने की चाल और धारा की चाल ज्ञात कीजिए ।
हल :
माना स्थिर जल में नाव की चाल = x कि०मी० / घंटा
और धारा की चाल = y कि०मी० / घंटा
अतः जल के बहाव की ओर नाव की चाल = (x + y) कि०मी० / घंटा
और जल के बहाव के विपरीत नाव की चाल = (x – y) कि०मी० / घंटा
पहली शर्त के अनुसार, 20 = (x + y) × 2
या x + y = 10 ………..(i)
दूसरी शर्त के अनुसार, 4 = (x – y) × 2
या x – y = 2 ………..(ii)
समीकरण (i) और समीकरण (ii) को जोड़ने पर,
2x = 12 ⇒ x = \(\frac {12}{2}\) = 6
x का मान समीकरण (i) में रखने पर,
6 + y = 10
या y = 10 – 6 = 4
अतः स्थिर जल में नाव की चाल = 6 कि०मी० / घंटा
और धारा की चाल = 4 कि०मी० / घंटा

प्रश्न 20.
हल कीजिए : \(\frac{1}{2 x}-\frac{1}{y}\) = – 1, \(\frac{1}{x}+\frac{1}{2y}\) = 8
हल :
यहाँ पर,
\(\frac {1}{2}\)(\(\frac {1}{x}\)) – \(\frac {1}{y}\) = – 1 …………(i)
\(\frac {1}{x}\) + \(\frac {1}{2}\)(\(\frac {1}{y}\)) = 8 …………(ii)
समीकरण (i) व (ii) में \(\frac {1}{x}\) = p व \(\frac {1}{y}\) = q प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है ।
\(\frac {1}{2}\)p – q = – 1
या p – 2q = – 2 …………(iii)
p + \(\frac {1}{2}\)q = 8
या 2p + q = 16 …………(iv)
समीकरण (iv) को 2 से गुणा करके समीकरण (iii) में जोड़ने पर प्राप्त होता है ।

या p = \(\frac {30}{5}\) = 6
p का मान समीकरण (iii) में रखने पर
6 – 2q = – 2
⇒ – 2q = – 2 – 6
⇒ q = \(\frac {-8}{-2}\) = 4
p और q का मान पुनः प्रतिस्थापित करने पर – \(\frac {1}{x}\) = p और \(\frac {1}{y}\) = q
\(\frac {1}{x}\) = 6 और \(\frac {1}{y}\) = 4
⇒ x = \(\frac {1}{6}\) और y = \(\frac {1}{4}\)

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि दो चरों वाले रैखिक समीकरण के ग्राफ में l और m रेखाएँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करें तो-
(A) समीकरण -युग्म के अनेक हल होते हैं
(B) समीकरण-युग्म का अद्वितीय हल होता है
(C) समीकरण -युग्म का कोई हल नहीं होता
(D) समीकरण-युग्म के दो हल होते हैं
हल :
(B) समीकरण-युग्म का अद्वितीय हल होता है

प्रश्न 2.
यदि दो चरों वाले रैखिक समीकरण के ग्राफ में p और q रेखाएँ एक-दूसरे के समांतर हों तो ………………………
(A) समीकरण -युग्म के अनेक हल होते हैं
(B) समीकरण-युग्म का अद्वितीय हल होता है
(C) समीकरण -युग्म का कोई हल नहीं होगा
(D) समीकरण -युग्म के दो हल होते हैं।
हल :
(C) समीकरण-युग्म का कोई हल नहीं होगा

प्रश्न 3.
समीकरणों a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 में यदि \(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\), तो निम्नलिखित में कौन-सा सत्य है?
(A) समांतर रेखाएँ
(B) प्रतिच्छेदित रेखाएँ
(C) संपाती रेखाएँ
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(B) प्रतिच्छेदित रेखाएँ

प्रश्न 4.
समीकरणों a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 में यदि \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) तो निम्नलिखित में कौन-सा सत्य है ?
(A) प्रतिच्छेदित रेखाएँ
(B) संपाती रेखाएँ
(C) समांतर रेखाएँ
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(B) संपाती रेखाएँ

प्रश्न 5.
समीकरणों a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 में यदि \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\), तो निम्नलिखित में कौन-सा सत्य है ?
(A) प्रतिच्छेद करती हुई रेखाएँ
(B) संपाती रेखाएँ
(C) समांतर रेखाएँ
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(C) समांतर रेखाएँ

प्रश्न 6.
समीकरणों x + y = 5, x – y = 5 और x = 0 को आलेखित करने पर बनने वाले त्रिभुज का x – अक्ष पर स्थित शीर्ष होगा-
(A) (0, 5)
(B) (5, 0)
(C) (0, – 5)
(D) (0, 0)
हल :
(B) (5, 0)

प्रश्न 7.
ग्राफ में दर्शाए गए रैखिक युग्म के कितने हल होंगे?
(A) कोई नहीं
(B) एक
(C) दो
(D) अपरिमित रूप से अनेक
हल :
(A) कोई नहीं

प्रश्न 8.

(A) (0, 2)
(B) (0, – 4)
(C) (6, 0)
(D) (0, 6)
हल :
(C) (6, 0)

प्रश्न 9.
संलग्न ग्राफ में दर्शाए गए रैखिक युग्म 2x – 4y – 10 = 0 व x – 2y = 5 के अभीष्ट हलों की संख्या होगी-

(A) कोई नहीं
(B) केवल एक
(C) दो
(D) अपरिमित रूप से अनेक
हल :
(D) अपरिमित रूप से अनेक

प्रश्न 10.
राम की आयु श्याम की आयु से 8 वर्ष अधिक है। दोनों की आयु का योगफल 28 वर्ष है तो राम की आयु होगी-
(A) 18 वर्ष
(B) 10 वर्ष
(C) 8 वर्ष
(D) 16 वर्ष
हल :
(A) 18 वर्ष

प्रश्न 11.
एक संख्या दूसरी संख्या से दोगुनी है और इनका योगफल 150 है, तो बड़ी संख्या होगी-
(A) 25
(B) 50
(C) 75
(D) 100
हल :
(D) 100

प्रश्न 12.
एक संख्या को 2 से गुणा करके 6 जोड़ने पर 28 प्राप्त होता है । इसका रैखिक समीकरण होगा-
(A) 2x + 28 = 6
(B) 2x + 6 = 28
(c) \(\frac {x}{2}\) + 6 = 28
(D) \(\frac{x+6}{2}\) = 28
हल :
(B) 2x + 6 = 28

प्रश्न 13.
रैखिक समीकरणों के युग्म 2x – ky + 3 = 0 तथा 3x + 2y – 1 = 0 का कोई हल नहीं है, के लिए k का मान ………………. है ।
(A) \(\frac {-4}{3}\)
(B) \(\frac {4}{3}\)
(C) 6
(D) – 6
हल :
(A) \(\frac {-4}{3}\)

प्रश्न 14.
समीकरणों x – 2y – 3 = 0 तथा 3x + ky – 1 = 0 के अद्वितीय हल के लिए k का मान होगा-
(A) k ≠ 6
(B) k ≠ 3
(C) k ≠ – 6
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(C) k ≠ – 6

प्रश्न 15.
समीकरणों a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 में \(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\),
(A) कोई हल नहीं
(C) अद्वितीय हल
हल :
(C) अद्वितीय हल

प्रश्न 16.
k के किस मान के लिए, निम्नलिखित रैखिक समीकरणों के युग्म के एक अद्वितीय (unique) हल है ?
4x + ky + 8 = 0
2x + 2y + 5 = 0
(A) k ≠ 4
(B) k ≠ 2
(C) k = 4
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A) k ≠ 4

प्रश्न 17.
k के किस मान के लिए, निम्नलिखित रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं?
kx + 4y + 6 = 0
3x + 8y + 12 = 0
(A) k = 6
(B) k = 3
(C) k = 2
(D) k = 1.5
हल :
(D) k = 1.5

प्रश्न 18.
k के किस मान के लिए, निम्नलिखित रैखिक समीकरणों का कोई हल नहीं है ?
6x + 4y + k = 0
3x + 2y + 5 = 0
(A) k = 10
(B) k ≠ 10
(C) k = 5
(D) k = 2.5
हल :
(B) k ≠ 10

प्रश्न 19.
समीकरण – युग्म 5x + 2y = 16 और 7x – 4y = 2 में ……………………. होंगे।
(A) अनेक हल
(B) कोई हल नहीं
(C) अद्वितीय हल
(D) दो हल
हल :
(C) अद्वितीय हल

प्रश्न 20.
समीकरण – युग्म \(\sqrt{2}\)x – \(\sqrt{3}\)y = 0 और \(\sqrt{5}\)x + \(\sqrt{2}\)y = 0 का हल होगा-
(A) (0, 0)
(B) (1, 1)
(C) (-1, – 1)
(D) \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\)
हल :
(A) (0, 0)

प्रश्न 21.
समीकरण-युग्म x + y = 7 और 2x – 3y = 11 में से x का निराकरण करने पर y का मान …………………. होगा।
(A) \(\frac {32}{5}\)
(B) \(\frac {3}{5}\)
(C) \(\frac {5}{3}\)
(D) \(\frac {5}{32}\)
हल :
(B) \(\frac {3}{5}\)

प्रश्न 22.
समीकरण ax + by – c = 0 जहाँ x – अक्ष पर मिलता है, वह बिंदु होगा-
(A) (\(\frac {-c}{a}\), 0)
(B) (0, \(\frac {c}{b}\))
(C) (0, \(\frac {c}{a}\))
(D) (\(\frac {c}{a}\), 0)
हल :
(D) (\(\frac {c}{a}\), 0)

प्रश्न 23.
समीकरण-युग्म 3x – 5y = 1 और 5x + 2y = 19 को हल करने पर x का मान होगा
(A) \(\frac {97}{31}\)
(B) \(\frac {52}{31}\)
(C) \(\frac {31}{97}\)
(D) \(\frac {31}{52}\)
हल :
(A) \(\frac {97}{31}\)

प्रश्न 24.
समीकरणों 2x + 3y – 5 = 0 तथा kx – 6y – 8 = 0 के एक अद्वितीय हल के लिए, k का मान होगा-
(A) k ≠ 4
(B) k ≠ – 4
(C) k ≠ – 6
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(B) k ≠ – 4

प्रश्न 25.
समीकरणों a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 में \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\), तो निम्नलिखित में कौन-सा सत्य है ?
(A) अद्वितीय हल
(B) कोई हल नहीं
(C) अपरिमित हल
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(C) अपरिमित हल

प्रश्न 26.
‘K’ का वह मान, जिनके लिए रैखिक समीकरणों kx + 3y + (3 – k) = 0 तथा 12x + ky – k = 0 के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं,
(A) – 6
(C) 12
(B) – 12
(D) + 6
हल :
(A) – 6

प्रश्न 27.
समीकरणों a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 में यदि \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\), तो निम्नलिखित में कौन-सा सत्य है ?
(A) अद्वितीय हल
(B) कोई हल नहीं
(C) अपरिमित हल
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(B) कोई हल नहीं

प्रश्न 28.
किसी भिन्न के अंश में 1 जोड़ने और उसके हर में से 1 घटाने पर 1 प्राप्त होता है। यदि यह भी ज्ञात हो कि उसके हर में 1 जोड़ने पर \(\frac {1}{2}\) प्राप्त होता है, तो भिन्न होगी –
(A) \(\frac {2}{5}\)
(B) \(\frac {5}{2}\)
(C) \(\frac {3}{5}\)
(D) \(\frac {5}{3}\)
हल :
(C) \(\frac {3}{5}\)

प्रश्न 29.
किसी भिन्न के हर में 5 जोड़ने और उसके अंश में से 5 घटाने पर \(\frac {1}{7}\) प्राप्त होता है। यदि उसके अंश में से 3 घटाया जाए और उसके हर में 3 जोड़ा जाए, तो \(\frac {1}{3}\) प्राप्त होता है, तो भिन्न होगी-
(A) \(\frac {7}{9}\)
(B) \(\frac {9}{7}\)
(C) \(\frac {5}{9}\)
(D) \(\frac {2}{9}\)
हल :
(A) \(\frac {7}{9}\)

प्रश्न 30.
दो अंकों वाली एक संख्या के अंकों का योग 8 है। अंकों को पलटने पर प्राप्त होने वाली संख्या दी गई संख्या से 36 अधिक है । वह संख्या होगी-
(A) 62
(B) 26
(C) 35
(D) 53
हल :
(B) 26

प्रश्न 31.
एक परिमेय संख्या का हर अंश से 5 अधिक है । यदि हर और अंश में से 2-2 घटा दिए जाएं तो संख्या \(\frac {2}{7}\) बन जाती है । परिमेय संख्या होगी-
(A) \(\frac {1}{6}\)
(B) \(\frac {4}{9}\)
(C) \(\frac {2}{7}\)
(D) \(\frac {3}{8}\)
हल :
(B) \(\frac {4}{9}\)

प्रश्न 32.
एक संख्या दो अंकों की बनी है, जिसके अंकों का योग 8 है। यदि संख्या में 18 जोड़ दिया जाए तो अंक अपना स्थान बदल लेते हैं । संख्या होगी-
(A) 26
(B) 62
(C) 35
(D) 44
हल :
(C) 35

प्रश्न 33.
दो अंकों वाली एक संख्या के अंकों का योग 9 है। अंकों का परस्पर क्रम बदलने पर प्राप्त संख्या दी गई संख्या से 27 अधिक है । दी गई संख्या होगी-
(A) 63
(B) 36
(C) 27
(D) 72
हल :
(B) 36

प्रश्न 34.
एक व्यक्ति कुछ मासिक वेतन पर नौकरी शुरू करता है और प्रत्येक वर्ष उसके वेतन में एक नियत वृद्धि होती रहती है । यदि 4 वर्ष के बाद उसका वेतन 1800 रु० हो तो उसका आरंभिक वेतन ……………….. होगा ।
(A) 1300 रु०
(B) 50 रु०
(C) 1000 रु०
(D) 1200 रु०
हल :
(A) 1300 रु०

प्रश्न 35.
चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग होता है-
(A) 90°
(B) 180°
(C) 360°
(D) 270°
हल :
(B) 180°

प्रश्न 36.
1500 रु० हो और 10 वर्ष के बाद उसका वेतन होगा ।
(A) 26 मी०, 10 मी०
(B) 20 मी०, 16 मी०
(C) 22 मी०, 14 मी०
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(B) 20 मी०, 16 मी०

प्रश्न 37.
राम ने 5 कुर्सियाँ और 2 मेजें 1625 रु० की खरीदीं। श्याम ने 1 मेज और 2 कुर्सियाँ 750 रु० की खरीदीं। प्रति कुर्सी और प्रति मेज, मूल्य क्रमशः होगा-
(A) 125 रु०; 500 रु०
(B) 500 रु०; 125 रु०
(C) 175 रु०; 400 रु०
(D) 400 रु०; 175 रु०
हल :
(A) 125 रु०; 500 रु०

प्रश्न 38.
3 कुर्सियाँ और 2 मेजों का मूल्य 700 रु० है और 5 कुर्सियों और 3 मेजों का मूल्य 1100 रु० है । 2 कुर्सियों और 2 मेजों का मूल्य होगा-
(A) 400 रु०
(B) 500 रु०
(C) 1800 रु०
(D) 600 रु०
हल :
(D) 600 रु०

प्रश्न 39.
एक संख्या दूसरी से 5 अधिक है, संख्याओं का योगफल 75 हो तो छोटी संख्या होगी-
(A) 35
(B) 40
(C) 45
(D) 30
हल :
(A) 35

प्रश्न 40.
दो संख्याओं का अनुपात 5 : 7 है और योगफल 360 है तो बड़ी संख्या होगी –
(A) 150
(B) 180
(C) 210
(D) 240
हल :
(C) 210

प्रश्न 41.
दो संख्याओं का अनुपात 5 : 4 है और यदि प्रत्येक संख्या में 10 जोड़ दिया जाए तो अनुपात 6 : 5 बन जाता है । संख्याएँ होंगी-
(A) 50, 40
(B) 40, 30
(C) 60, 50
(D) 45, 35
हल :
(A) 50, 40

प्रश्न 42.
दो संख्याओं का अनुपात 3 : 4 है, यदि प्रत्येक संख्या में से 7 घटा दिया जाए तो अनुपात 2 : 3 बन जाता है । संख्याएँ होंगी-
(A) 22, 29
(B) 21, 28
(C) 23, 31
(D) 28, 35
हल :
(B) 21,28

प्रश्न 43.
दो धनात्मक पूर्णांकों का अंतर 36 है। इन पूर्णांकों में 4 : 3 का अनुपात है। ये पूर्णांक होंगे-
(A) 144, 108
(B) 108, 72
(C) 180, 144
(D) 216, 180
हल :
(A) 144, 108