Class 10 – Page 3 – Haryana Board Solutions

HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.4

October 31, 2023 November 10, 2023 / Class 10 / By Prasanna

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Exercise 1.4

प्रश्न 1.
बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार सांत हैं या असांत आवर्ती हैं-

हल :
हम जानते हैं कि जिस परिमेय संख्या के हर को 2n 5m के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ n और m ऋणेतर पूर्णांक हों तो उस संख्या का दशमलव प्रसार सांत होता है अन्यथा असांत आवर्ती होता है।
(i) यहाँ पर,
\(\frac{13}{3125}=\frac{13}{5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5}=\frac{13}{5^{5}}\)
क्योंकि हर में केवल 5^m है।

अतः परिमेय संख्या \(\frac{13}{3125}\) का दशमलव प्रसार सांत होगा।

(ii) यहाँ पर,
\(\frac{17}{8}=\frac{17}{2 \times 2 \times 2}=\frac{17}{2^{3}}\)

क्योंकि हर में केवल 2ⁿ है।
अतः परिमेय संख्या \(\frac{17}{8}\) का दशमलव प्रसार सांत होगा।

(iii) यहाँ पर,
\(\frac{64}{455}=\frac{64}{5 \times 7 \times 13}\)

क्योंकि हर में 5^m के अतिरिक्त 7 व 13 भी है।
अतः परिमेय संख्या \(\frac{64}{455}\) का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा।

(iv) यहाँ पर,
\(\frac{15}{1600}=\frac{15}{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5}=\frac{15}{2^{6} 5^{2}}\)

क्योंकि हर में केवल 2ⁿ5^m है।
अतः परिमेय संख्या \(\frac{15}{1600}\) का दशमलव प्रसार सांत होगा।

(v) यहाँ पर,
\(\frac{29}{343}=\frac{29}{7 \times 7 \times 7}=\frac{29}{7^{3}}\)

क्योंकि हर 2ⁿ5^m नहीं है बल्कि 7^l है।
अतः परिमेय संख्या \(\frac{29}{343}\) का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा।

(vi) यहाँ पर, \(\frac{23}{2^{3} 5^{2}}\) क्योंकि हर में केवल 2ⁿ5^m है।
अतः परिमेय संख्या \(\frac{23}{2^{3} 5^{2}}\) का दशमलव प्रसार सांत होगा।

(vii) यहाँ पर, \(\frac{129}{2^{2} 5^{7} 7^{5}}\) क्योंकि हर के अभाज्य गुणनखंडों में 2ⁿ5^m के अतिरिक्त 7 भी है।
अतः परिमेय संख्या \(\frac{129}{2^{2} 5^{7} 7^{5}}\) का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा।

(viii) यहाँ पर,
\(\frac{6}{15}=\frac{6}{3 \times 5}=\frac{2}{5}\)

क्योंकि हर के अभाज्य गुणनखंड में केवल 5m है।
अतः परिमेय संख्या \(\frac{6}{15}\) का दशमलव प्रसार सांत होगा।

(ix) यहाँ पर,
\(\frac{35}{50}=\frac{5 \times 7}{2 \times 5 \times 5}=\frac{7}{2^{1} \times 5^{1}}\)

क्योंकि हर के अभाज्य गुणनखंडों में केवल 2 व 5 हैं।
अतः परिमेय संख्या \(\frac{35}{50}\) का दशमलव प्रसार सांत होगा।

(x) यहाँ पर,
\(\frac{77}{210}=\frac{7 \times 11}{2 \times 3 \times 5 \times 7}=\frac{11}{2^{1} \times 3^{1} \times 5^{1}}\)

क्योंकि हर के अभाज्य गुणनखंडों में 2ⁿ5^m के अतिरिक्त 3 भी है।
अतः परिमेय संख्या \(\frac{77}{210}=\frac{7 \times 11}{2 \times 3 \times 5 \times 7}=\frac{11}{2^{1} \times 3^{1} \times 5^{1}}\) का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसारों को लिखिए
(i) \(\frac{13}{3125}\)
(ii) \(\frac{17}{8}\)
(iii) \(\frac{15}{1600}\)
(iv) \(\frac{23}{2^{3} 5^{2}}\)
(v) \(\frac{6}{15}\)
(vi) \(\frac{35}{50}\)
हल :
(i) यहाँ पर,

(ii) यहाँ पर,

(iii) यहाँ पर,

(iv) यहाँ पर,

(v) यहाँ पर,

(vi) यहाँ पर,

प्रश्न 3.
कुछ वास्तविक संख्याओं के दशमलव प्रसार नीचे दर्शाए गए हैं। प्रत्येक स्थिति के लिए निर्धारित कीजिए कि यह संख्या परिमेय संख्या है या नहीं। यदि यह परिमेय संख्या है और \(\frac{p}{q}\) के रूप की है तो के अभाज्य गुणनखंडों के बारे में आप क्या कह सकते हैं?
(i) 43.123456789
(ii) 0.120120012000120000……………
(iii) 43.\(\overline{123456789}\)
हल :
(i) यहाँ पर दी गई संख्या = 43.123456789
क्योंकि दी गई संख्या एक सात दशमलव संख्या है। इसलिए यह \(\frac{p}{q}\) के रूप की परिमेय संख्या होगी, जिसमें 4 के अभाज्य गुणनखंड 2 या 5 या दोनों होंगे।

(ii) यहाँ पर दी गई संख्या = 0.120120012000120000…..
क्योंकि दी गई संख्या एक असांत आवर्ती दशमलव संख्या है। इसलिए यह एक अपरिमेय संख्या होगी।

(iii) यहाँ पर दी गई संख्या = 43.\(\overline{123456789}\)
क्योंकि दी गई संख्या एक असांत आवर्ती तथा दोहराई जाने वाली दशमलव प्रसार संख्या है। इसलिए यह \(\frac{p}{q}\) के रूप की परिमेय संख्या होगी, जिसमें q के अभाज्य गुणनखंड 2 या 5 के अतिरिक्त एक और गुणनखंड होगा।

HBSE 10th Class Hindi Solutions Kshitij & Kritika Bhag 2 Haryana Board

October 29, 2023 November 10, 2023 / Class 10 / By Prasanna

Haryana Board HBSE 10th Class Hindi Solutions क्षितिज कृतिका भाग 2

HBSE 10th Class Hindi Solutions Kshitij Bhag 2

HBSE Haryana Board 10th Class Hindi Kshitij काव्य-खंड

HBSE Haryana Board 10th Class Hindi Kshitij गद्य-खंड

HBSE 10th Class Hindi Solutions Kritika Bhag 2

HBSE Haryana Board 10th Class Hindi Kritika

HBSE Class 10 Hindi व्याकरण

HBSE Class 10 Hindi रचना

HBSE 10th Class Hindi Question Paper Design

Class: 10th
Subject: Hindi
Paper: Annual or Supplementary
Marks: 80
Time: 3 Hours

1. Weightage to Objectives:

Objective	K	C	E	A	Total
Percentage of Marks	27.5	50	18.75	3.75	100
Marks	22	40	15	3	80

2. Weightage to Form of Questions:

Forms of Questions	E	SA	VSA	O	Total
No. of Questions	3	10	8	2 (8 + 8)	23
Marks Allotted	18	30	16	16	80
Estimated Time	46	90	28	16	180

3. Weightage to Content:

Units/Sub-Units	Marks
1. व्याकरण – संधि, उपसर्ग, प्रत्यय, वाच्य, समास, विलोम, पर्यायवाची, मुहावरे, लोकोक्तियाँ, शब्द, पद, पदबंध, वाक्य, विकारी व अविकारी शब्द, अनेकार्थक, अयोगवाह	14
2. अलंकार, छंद	4
निबंध लेखन	6
पत्र-लेखन	6
3. क्षितिज (भाग-2) (काव्य-खण्ड)
बहुविकल्पीय प्रश्न	1 × 8 = 8
काव्यांश पर आधारित अर्थग्रहण सम्बन्धी प्रश्न	5
काव्यांश सराहना/सौन्दर्यबोध सम्बन्धी प्रश्न	4
जीवन मूल्य/रचनात्मक	3
क्षितिज (भाग-2) (गद्य-खण्ड)
बहुविकल्पी प्रश्न	1 × 8 = 8
लेखक परिचय	6
गद्यांश पर आधारित अर्थग्रहण सम्बन्धी प्रश्न	4
जीवन मूल्य/रचनात्मक प्रश्न	2
5. कृतिका (भाग-2)
विषय वस्तु व बोध प्रश्न	10
Total	80

4. Scheme of Sections:

5. Scheme of Options: Internal Choice in Long Answer Question i.e. Essay Type in Two Questions

HBSE 10th Class Social Science Solutions Geography Chapter 3 जल संसाधन

October 27, 2023 November 10, 2023 / Class 10 / By Prasanna

Haryana State Board HBSE 10th Class Social Science Solutions Geography Chapter 3 जल संसाधन Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Social Science Solutions Geography Chapter 3 जल संसाधन

HBSE 10th Class Geography जल संसाधन Textbook Questions and Answers

प्रश्न 1. बहुवैकल्पिक प्रश्न

(i) नीचे दी गई सूचना के आधार पर स्थितियों को “जल की कमी से प्रभावित’ या ‘जल की कमी से अप्रभावित’ में वर्गीकृत कीजिए।
(क) अधिक वार्षिक वर्षा वाले क्षेत्र
(ख) अधिक वर्षा और अधिक जनसंख्या वाले क्षेत्र
(ग) अधिक वर्षा वाले परंतु अत्यधिक प्रदूषित जल क्षेत्र
(घ)कम वर्षा और कम जनसंख्या वाले क्षेत्र
उत्तरः
(क) जल की कमी से प्रभावित
(ख) जल की कमी से प्रभावित
(ग) जल की कमी से प्रभावित
(घ) जल की कमी से प्रभावित

(ii) निम्नलिखित में से कौन-सा वक्तव्य बहुउद्देशीय नदी परियोजनाओं के पक्ष में दिया गया तर्क नहीं है?
(क)बहुउद्देशीय परियोजनाएँ उन क्षेत्रों में जल लाती है जहाँ जल की कमी होती है।
(ख) बहुउद्देशीय परियोजनाएँ जल बहाव की नियंत्रित करके बाढ़ पर काबू पाती है।
(ग) बहुउद्देशीय परियोजनाओं से बृहत् स्तर पर विस्थापन होता है और आजीविका खत्म होती है।
(घ)बहुउद्देशीय परियोजनाएँ हमारे उद्योग और घरों के लिए विद्युत पैदा करती हैं।
उत्तर-
(ग) बहुउद्देशीय परियोजनाओं से बृहत् स्तर पर विस्थापन होता है और आजीविका खत्म होती है। .

(iii) यहाँ कुछ गलत वक्तव्य दिए गए हैं। इसमें गलती पहचाने और दोबारा लिखें।
(क) शहरों की बढ़ती संख्या, उनकी विशालता और सघन जनसंख्या तथा शहरी जीवन शैली ने जल संसाधनों के सही उपयोग में मदद की है।
उत्तर-
शहरों की बढ़ती संख्या उनकी विशालता और सघन जनसंख्या तथा शहरी जीवन-शैली के कारण न केवल जल और ऊर्जा की आवश्यकता में बढ़ोत्तरी हुई है, अपितु इन से संबंधित समस्याएँ बढ़ी हैं।

(ख) नदियों पर बाँध बनाने और उनको नियंत्रित करने से उनका प्राकृतिक बहाव और तलछट बहाव प्रभावित नहीं होता।
उत्तर-
नदियों पर बाँध बनाने तथा उनको नियंत्रित करने से उनका प्राकृतिक बहाव अवरूद्ध होता है, जिसके कारण तलछट बहाव कमी आती है।

(ग) गुजरात में साबरमती बेसिन में सूखे के दौरान शहरी क्षेत्रों में अधिक जल आपूर्ति करने पर भी किसान नहीं भड़के।
उत्तर-
गुजरात में साबरमती बेसिन में सूखे के दौरान शहरी क्षेत्रों में अधिक जल आपूर्ति करने पर परेशान किसान उपद्रव करने को तैयार हो गए।

(घ)आज राजस्थान में इंदिरा गांधी नहर से उपलब्ध पेयजल के बावजूद छत वर्षा जल संग्रहण लोकप्रिय हो रहा है।
उत्तर-
आज पश्चिमी राजस्थान में छत वर्षाजल संग्रहण की रीति इंदिरा गाँधी नहर से उपलब्ध बारहमासी पेयजल के कारण कम होती जा रही है।

प्रश्न 2. निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर लगभग 30 शब्दों में दीजिए।

(i) व्याख्या करें कि जल किस प्रकार नवीकरण योग्य संसाधन है?
उत्तर-
पृथ्वी का तीन-चौथाई भाग जल से आच्छादित है। परन्तु इसमें प्रयोग लाने योग्य अलवणीय जल का अनुपात बहुत कम है जिसका निरन्तर नवीकरण और पुनर्भरण जलीय चक्र द्वारा होता रहता है। सम्पूर्ण जल जलीय चक्रय में गतिशील रहता है जिससे जल नवीकरण सुनिश्चित होता है।

(ii) जल दुर्लभता क्या है और इसके मुख्य कारण क्या हैं?
उत्तर-
जल दुर्भलता से तात्पर्य, मनुष्य द्वारा प्रयोग करने के लिये जल की कमी का होना है। . अधिकतर जल की कमी इसके अतिशोषण, अत्यधिक प्रयोग और समाज के विभिन्न वर्गों में जल के असमान वितरण के कारण होती है।

(iii) बहुउद्देशीय परियोजनाओं से होने वाले लाभ और हानियों की तुलना करें।
उत्तर-
बहुउद्देशीय परियोजनाओं के लाभ
(अ)जल विद्युत उत्पादन
(ब) सिचाईं
(स) बाढ़ नियन्त्रण
(द) मत्स्य पालन
(क) गृह एवं औद्योगिक उपयोग
(ख) आंतरिक नौका चालना

बहुउद्देशीय परियोजनाओं की हानियां :

(अ) नदियों का प्राकृतिक बहाव अरूद्ध होना
(ब) नदियों के तलछट में पानी का कम बहाव
(स) बाढ़ के मैदानों में बने जलाशयों के कारण उस क्षेत्र की वनस्पति एवं अपघटन।

3. निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर लगभग 120 शब्दों में दीजिए।

(i) राजस्थान के अर्ध-शुष्क क्षेत्रों में वर्षा जल संग्रहण किस प्रकार किया जाता है? व्याख्या कीजिए।
उत्तर-
राजस्थान के अर्ध-शुष्क और शुष्क क्षेत्र में लगभग प्रत्येक घर में पीने का पानी संग्रहित करने हेतु भूमिगत टैंक या ‘टाँका’ हुआ करते थे। इसका आकार एक बड़े कक्ष जितना हो सकता है। टाँका यहाँ सुविकसित छत वर्षाजल संग्रहण तन्त्र का अभिन्न अंग है जिसे मुख्य घर या आँगन में बनाया जाता था। वे घरों की ढलवाँ छतों से पाइप द्वारा जुड़े हुए थे। छत से वर्षा का पानी इन नलों द्वारा भूमिगत टाँका तक पहुँचता था। वर्षा का प्रथम तल छत और नलो की सफाई हेतु प्रयुक्त किया जाता है। इसके बाद होने वाली वर्षा जल संग्रहणीय होता टाँका में वर्षाजल अगली वर्षा ऋतु तक संग्रहित किया जा सकता है। यह इसे जल की कमी वाली ग्रीष्म ऋतु तक पीने का जल उपलब्ध करवाने वाला जल स्रोत बनाता है। वर्षा जल को प्राकृतिक जल का शुद्धतम रूप समझा जाता है।

(ii) परंपरागत वर्षा जल संग्रहण की पद्धतियों को आधुनिक काल में अपना कर जल संरक्षण एवं भंडारण किस प्रकार किया जा रहा है।
उत्तर-
प्राचीन भारत में उत्कृष्ट जलीय निर्माणों के साथ-साथ जल संग्रहण ढाँचे भी पाए जाते थे। लोगों ने स्थानीय पारिस्थितिकीय परिस्थितियों और उनकी जल आवश्यकतानुसार वर्षाजल, भौमजल, नदी जल, तथा बाढ़ जल संग्रहण के अनेक उपाय विकसित कर लिए थे। इन्हीं परंपरागत वर्षा जल संग्रहण के तरीकों को आधुनिककाल में अपना कर संरक्षण निम्नलिखित प्रकार से किया जा रहा है-

पी.वी.सी. पाइप का उपयोग करके छत का वर्षा जल संग्रहित किया जाता है।
रेत और ईंट प्रयोग करके जल का छनन किया जाता
भूमिगत पाइप द्वारा जल हौज तक ले जाता है जहाँ से इसे तुरन्त प्रयोग किया जा सकता है।
हौज से अतिरिक्त जल कुएँ तक ले जाया जाता है। (v) कुएँ का जल भूमिगत जल का पुनर्भरण करता है। (vi) बाद में इस जल का उपयोग किया जा सकता है।

HBSE 10th Class Social Science Solutions Geography Chapter 6 विनिर्माण उद्योग

October 27, 2023 November 10, 2023 / Class 10 / By Prasanna

Haryana State Board HBSE 10th Class Social Science Solutions Geography Chapter 6 विनिर्माण उद्योग Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Social Science Solutions Geography Chapter 6 विनिर्माण उद्योग

HBSE 10th Class Geography विनिर्माण उद्योग Textbook Questions and Answers

1. बहुवैकल्पिक प्रश्न

(1) निम्न से कौन-सा उद्योग चूना पत्थर को कच्चे माल के रूप में प्रयुक्त करता है?
(क) एल्यूमिनियम
(ख) चीनी
(ग) सीमेंट
(घ) पटसन
उत्तर-
(ग) सीमेंट

(ii) निम्न से कौन-सी एजेंसी सार्वजनिक क्षेत्र में स्टील को बाज़ार में उपलब्ध कराती है?
(क) हेल (HAIL)
(ख) सेल (SAIL)
(ग) टाटा स्टील
(घ) एम एन सी सी (MNCC)
उत्तर-
सेल (SAIL)

(iii) निम्न से कौन-सा उद्योग बॉक्साइट को कच्चे माल के रूप में प्रयोग करता है?
(क) एल्यूमिनियम
(ख) सीमेंट
(ग) पटसन
(घ) स्टील
उत्तर-
(क) एल्यूमिनियम

(iv) निम्न से कौन-सा उद्योग दूरभाष, कंप्यूटर आदि संयंत्र निर्मित करते है?
(क) स्टील
(ख) एल्यूमिनियम
(ग) इलैक्ट्रानिक
(घ) सूचना प्रौद्योगिकी
उत्तर-
(ग) इलैक्ट्रानिक

2. निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर लगभग 30 शब्दों में दीजिए।

(i) विनिर्माण क्या है?
उत्तर-
विनिर्माण-कच्चे पदार्थ को मूल्यवान उत्पादन में परिवर्तित कर अधिक मात्रा में वस्तुओं के उत्पादन को विनिर्माण अथवा वस्तु निर्माण कहलाता है। उदाहरणार्थ-कागज लकड़ी से, चीनी गन्ने से. लोहा-इस्पात लौह-अयस्क से तथा एल्यूमिनियम बॉक्साइड निर्मित होता है।

(ii) उद्योगों की अवस्थिति को प्रभावित करने वाले तीन भौतिक कारक बताएँ।
उत्तर-
उद्योगों की अवस्थिति को प्रभावित करने वाले तीन भौतिक कारक निम्नलिखित है
(क) कच्चे की उपलब्धता
(ख) शक्ति के साधन
(ग) जल तथा जलवायिक दशाएँ विनिर्माण उद्योग की स्थापना हेतु वही स्थान उपयुक्त है जहाँ ये कारक उपलब्ध हो।

(iii) औद्योगिक अवस्थिति को प्रभावित करने वाले तीन मानवीय कारक बताएँ।
उत्तर-
उद्योगों की अवस्थिति को प्रभावित करने वाले तीन मानवीय कारक निम्नलिखित हैं-
(क) काम करने वाले मजदूर
(ख) बाज़ार की उपलब्धता
(ग) धन की आवश्यकता

औद्योगिक प्रक्रिया के प्रारम्भ होने के साथ-साथ नगरीकरण प्रारम्भ होता है। कभी-कभी उद्योग शहरों के समीप या शहरों में लगाये जाते हैं। इस प्रकार औद्योगीकरण तथा नवीकरण साथ-साथ चलते हैं। नगर उद्योगों का बाजार तथा सेवाए उपलब्ध कराते हैं।

(iv) आधारभूत उद्योग क्या है? उदाहरण देकर बताएँ।
उत्तर-
आधारभूत उद्योग-ऐसे उद्योग जो खनिज व ध तुओं को कच्चे माल के रूप में प्रयोग करते हैं, आधारभूत उद्योग कहलाते हैं, उदाहरणार्थ-लोहा तथा इस्पात उद्योग, सीमेंट उद्योग आदि आधारभूत उद्योग है।

3. निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर लगभग 120 शब्दों में दीजिए।

(i) समंवित इस्पात उद्योग मिनी इस्पात उद्योगों से कैसे भिन्न है? इस उद्योग की क्या समस्याएँ हैं? किन सुधारों के अंतर्गत इसकी उत्पादन क्षमता बढ़ी है?
उत्तर-
समन्वित इस्पात अर्थात् संकलित इस्पात उद्योग एक बड़ा संयत्र होता है। जिसमें कच्चे माल को एक स्थान पर इकट्ठा करने से लेकर इस्पात बनाने उसे ढालने और उसे आकार देने तक का प्रत्येक कार्य किया जाता है। जबकि मिनी इस्पात उद्योग छोटे संयत्र है जिनमें विद्युत भट्टी, रद्दी इस्पात व स्पंज आयरन का प्रयोग होता है। इनमें रि-रोलर्स होते हैं जिनमें इस्पात सिल्लियों का प्रयोग के मृदु व मिश्रित इस्पात का उत्पादन करते हैं।

इस्पात उद्योग की संरचना-इस उद्योग में उच्च लागत तथा कोकिंग कोयले की सीमित उपलब्धता, कम श्रमिक ___ उत्पादकता ऊर्जा की अनियमित पूर्ति तथा अविकसित अवसंरचना जैसी अनेक समस्याएँ हैं। .
किये गये सुधार-निजी क्षेत्र में उद्यमियों के प्रत्येक से तथा उदारीकरण व प्रत्यक्ष विदेशी निवेश ने इस्पात उद्योग को प्रोत्साहित किया। इस उद्योग को अधिक स्पर्धावान बनाने हेतु अनुसंधान और विकास के संसाधनों को निश्चित करने की आवश्यकता है।

(ii) उद्योग पर्यावरण को कैसे प्रदूषित करते हैं?
उत्तर-
उद्योग चार प्रकार से पर्यावरण को प्रदूषित करते हैं। ये चार प्रकार निम्नलिखित हैं-

(1) वायु प्रदूषण-अधिक अनुपात में अनैच्छिक गैसों की उपस्थिति( जैसे-सल्फर डाइऑक्साइड तथा कार्बन मोनोऑक्साइड वायु को प्रदूषित करते हैं। रसायन व कागज उद्योग, ईंटों के भट्टे, तेलशोधनशालएँ, प्रगलन उद्योग, जीवाश्म ईंधन दहन और छोटे-बड़े कारखाने प्रदूषण के निममों का उल्लंघन करते हुए धुआँ निष्कासित करते हैं। जहरीली गैसों के रिसाव जैसे दुष्परिणाम होते हैं( जैसे-भोपाल गैस त्रासदी में हुआ था जिसका दुष्प्रभाव लगभग 20 वर्ष व्यतीत के पश्चात् भी आज महसूस किया जा रहा है।

(2) जल प्रदूषण-उद्योगों द्वारा कार्बनिक तथा अकार्बनिक अपशिष्ट पदार्थों को नदी में छोड़ने से जल प्रदूषित होता है। कागज, लुग्दी, रसायन, वस्त्र तथा रंगाई उद्योग, तेल शोधन शालएँ, चमड़ा उद्योग तथा इलेक्ट्रोप्लेटिंग ऐसे उद्योग हैं, जो रंग. अपमार्जक, अम्ल, लवण, सीसा, पारा आदि जल में बहते हैं और जल प्रदूषण का कारण बनते हैं।

(3) तापीय प्रदूषण-कारखानों द्वारा गर्म पानी नदियों में छोड़ने से जलीय जीवन पर बुरा असर पड़ता है। परमाणु ऊर्जा संयंत्रों के अपशिष्ट व परमाणु शस्त्र उत्पादक कारखानों से कैंसर और जन्मजात विकार जैसे रोग फैलते हैं। मलबे के ढेर मिट्टी को अनुपजाऊ बनाते हैं। वर्षा जल के साथ प्रदूषक जमीन में रिसते हुए भूमिगत जल तक पहुँचकर उसे भी प्रदूषित कर देते हैं।

(4) ध्वनि प्रदूषण-औद्योगिक तथा निर्माण कार्य और कारखानों के उपकरणों के द्वारा कोलाहल उत्पन्न होने से ध्वनि प्रदूषण होता है जो श्रवण अक्षमता, हृदय गति, रक्त चाप आदि में वृद्धि करता है।

(iii) उद्योगों द्वारा पर्यावरण निम्नीकरण को कम करने हेतु उठाये गए विभिन्न उपायों की चर्चा करें?
उत्तर-
उद्योगों द्वारा पर्यावरण निम्नीकरण को कम करने हेतु उठाये गये विभिन्न उपाय
(क) विभिन्न प्रक्रियाओं में जल का न्यूनतम उपयोग तथा जल का दो या अधिक उत्तरोत्तर अवस्थाओं में पुनर्चक्रण द्वारा पुन: उपयोग। . (ख) जल की आवश्यकता पूर्ति हेतु वर्षा जल का संग्रहण नदियों व तालाबों में गर्म जल तथा अपशिष्ट पदार्थों को प्रवाहित करने से पूर्व उनका शोधन करना।
औद्योगिक अपशिष्ट का शोधन निम्नलिखित चरणों में किया जा सकता है।

यान्त्रिक साधनों द्वारा प्राथमिक शोधन। इसके अन्तर्गत अपशिष्ट पदार्थों की छंटाई, उनके छोटे-छोटे टुकड़े करना ढकना तथा तलछट जमाव आदि शामिल है।
जैविक प्रक्रियाओं द्वारा द्वितीयक शोधन।
जैविक, रासायनिक तथा भौतिक प्रक्रियाओं द्वारा तृतीयक शोधन। इसमें उपशिष्ट जल को पुनर्चक्रण द्वारा दोबारा प्रयोग योग्य बनाया जाता है।
जहाँ भूमिगत जल का स्तर कम हैं, वहाँ उद्योगों द्वारा इसके निष्कासन पर कानूनी प्रतिबन्ध होना चाहिए।
वायु में निलंबित प्रदूषण को कम करने हेतु कारखानों में ऊँची चिमनियाँ, उनमें एलेक्ट्रोस्टैटिक अवक्षेपण, स्क्रबर उपकरण तथा गैसीय प्रदूषक पदार्थों को जड़त्वीय रूप से अलग करने हेतु उपकरण होना चाहिए।
कारखानों में कोयले की अपेक्षा तेल व गैस के प्रयोग से धुंए के निष्कासन में कमी लायी जा सकती है।

फरीदाबाद में यमुना एक्शन प्लान के
अंतर्गत वाहित मल उपचार संयंत्र

मशीनों व उपकरणों का उपयोग किया जा सकता है तथा जेनेटरों में साइलेंसर (Silencers) लगाया जा सकता है।
ऐसी मशीनरी का प्रयोग किया जाए जो ऊर्जा सक्षम हों तथा कम ध्वनि प्रदुषण करे।
ध्वनि अवशोषित करने वाले उपकरणों के इस्तेमाल के साथ कानों पर शोर नियंत्रण उपकरण भी पहनने चाहिये।

क्रियाकलाप

उद्योगों के संदर्भ में प्रत्येक के लिए एक शब्द दें (संकेतिक अक्षर संख्या कोष्ठक में दी गई है तथा उत्तर अंग्रेजी के शब्दों में हैं)

मशीनरी चलाने में प्रयुक्त — (5) POWER
कारखानों में काम करने वाले व्यक्ति — (6) WORKER
उत्पाद को जहाँ बेचा जाता है — (6) MARKET
वह व्यक्ति जो सामान बेचता है — (8) RETAILER
वस्तु उत्पादन — (7) PRODUCT
निर्माण या उत्पादन — (11) MANUFACTURE
भूमि, जल तथा वायु अवनयन — (9) POLLUTION

प्रोजेक्ट कार्य

अपने क्षेत्र के एक कृषि आधारित तथा एक खनिज आधारित उद्योग को चुनें।
(i) ये कच्चे माल के रूप में क्या प्रयोग करते हैं?
(ii) विनिर्माण प्रक्रिया में अन्य निवेश क्या हैं जिनसे परिवहन लागत बढ़ती है।
(iii) क्या ये कारखाने पर्यावरण नियमों का पालन करते हैं?
उत्तर-
विद्यार्थी अपने शिक्षक की सहायता से स्वयं करें।

क्रियाकलाप

निम्न वर्ग पहेली में क्षैतिज अथवा ऊमर्वामार अक्षरों को जोड़ते हुए निम्न प्रश्नों के उत्तर दें।
नोट : पहेली के उत्तर अंग्रेज़ी के शब्दों में हैं।

(i) वस्त्र, चीनी, वनस्पति तेल तथा रोपण उद्योग जो कृषि से कच्चा माल प्राप्त करते हैं, उन्हें कहते हैं.
(ii) चीनी उद्योग में प्रयुक्त होने वाला कच्चा पदार्थ।
(iii) इस रेशे को गोल्डन फाइबर (Golden Fibre) भी कहते हैं।
(iv) लौह-अयस्क, कोकिंग कोयला तथा चूना पत्थर इस उद्योग के प्रमुख कच्चे माल हैं।
(v) छत्तीसगढ़ में स्थित सार्वजनिक क्षेत्र का लोहा-इस्पात उद्योग।
(vi) उत्तर प्रदेश में इस स्थान पर डीज़ल रेलवे इंजन बनाए जाते हैं।

HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.3

October 26, 2023 November 10, 2023 / Class 10 / By Prasanna

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Exercise 6.3

नोट : यह प्रश्नावली निम्नलिखित तीन प्रमेय पर आधारित है
प्रमेय 6.3 : यदि दो त्रिभुजों में, संगत कोण बराबर हों, तो उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में (समानुपाती) होती हैं और इसीलिए ये त्रिभुज समरूप होते हैं।

हल :
दिया है : ΔABC और ΔDEF में ∠A = ∠D, ∠B = ∠E तथा ∠C = ∠F है।
सिद्ध करना है : ΔABC ~ ΔDEF
रचना : ΔDEF में DP = AB तथा DQ =AC काटिए और P व Q को मिलाइए।
उपपत्ति : ΔABC और ΔDPQ में,
AB = DP (रचना से)
∠A = ∠D (दिया है)
AC = DQ (रचना से)
∴ ΔABC ≅ ΔDPQ (भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता)
∠B = ∠DPQ
∠B = ∠E= ∠DEF
∴ ∠DPQ = ∠DEF
परंतु ये संगतकोण हैं।
PQ || EF

अतः ΔABC ≅ ΔDPQ (इति सिद्धम)

प्रमेय 6.4 : यदि दो त्रिभुजों में एक त्रिभुज की भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की भुजाओं के समानुपाती (अर्थात् एक ही अनुपात में) हों, तो इनके संगत कोण बराबर होते हैं और इसीलिए दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं।
हल :

दिया है : ΔABC और ΔDEF में,
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{FD}}\) है।
सिद्ध करना है : ΔABC ~ ΔDEF
रचना : ΔDEF में DP = AB तथा DQ = AC काटिए। Pव Q को मिलाइए।
उपपत्ति : दिया है,
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DF}}\)
\(\frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{DQ}}{\mathrm{DF}}\) [∵ AB = DP व AC = DQ (रचना से)]
[∵ΔDEF में रेखा PQ, भुजाओं DE व DF को समानुपात में काटती है]
∠P = ∠E व ∠Q = ∠F (संगत कोण युग्म)
अब ΔDPQ व ΔDEF में,
∠P = ∠E a ∠Q = ∠F
ΔDPQ ~ ΔDEF

PQ = BC
अतः ΔABC व ΔDPQ
AB = DP, AC = DQ व BC = PQ
ΔABC ≅ ΔDPQ ———— (ii) (भुजा-भुजा-भुजा सर्वांगसमता)
समीकरण (i) व (ii) की तुलना से, . ΔABC ~ ΔDEF (इति सिद्धम)

प्रमेय 6.5 : यदि एक त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के एक कोण के बराबर हो तथा इन कोणों को अंतर्गत करने वाली भुजाएँ समानुपाती हों, तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं।
हल :

दिया है : ΔABC और ΔDEF में \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DF}}\) तथा ∠A = ∠D है।
सिद्ध करना है : ΔABC ~ ΔDEF
रचना : ΔDEF में DP = AB तथा DQ = AC काटिए B और P व Q को मिलाइए।
उपपत्ति : \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DF}}ABC और ΔDPQ में,
AB = DP, AC = DQ (रचना से)
∠A = ∠D (दिया है)
ΔABC ≅ ΔDPQ (भुजा-कोण-भुजा सर्वांगसमता)
ΔABC ~ ΔDPQ … (i) (दिया है)
\(\frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{DQ}}{\mathrm{DF}}\) [∵ AB = DP व AC = DQ (रचना से)]
PQ || EF (थेल्स प्रमेय के विलोम से)
∠P = ∠E a ∠Q = ∠F (संगत कोण युग्म)
ΔDPQ तथा ΔDEF में,
∠D = ∠D, ∠P = ∠E व ∠Q = ∠F
ΔDPQ ~ ΔDEF (कोण-कोण-कोण समरूपता) …..(ii)
समीकरण (i) व (ii) की तुलना से,
ΔABC ~ ΔDEF (इति सिद्धम)

प्रश्न 1.
बताइए कि निम्नांकित आकृति में दिए त्रिभुजों के युग्मों में से कौन-कौन से युग्म समरूप हैं। उस समरूपता कसौटी को लिखिए जिसका प्रयोग आपने उत्तर देने में किया है तथा साथ ही समरूप त्रिभुजों को सांकेतिक रूप में व्यक्त कीजिए।

हल :
(i) यहाँ पर ΔABC और ΔPQR में,
∠A = ∠P
∠B = ∠Q
व ∠c = ∠R
ΔABC ~ ΔPQR (कोण-कोण-कोण समरूपता)

(ii) यहाँ पर ΔABC और ΔQRP में,

(iii) यहाँ पर ΔMPL और ΔDEF में,

इसलिए ΔMPL और ΔDEF समरूप नहीं है क्योंकि ये समरूपता की भुजा-भुजा-भुजा कसौटी को सत्यापित नहीं करती।

(iv) यहाँ पर ΔMNL और ΔQPR में,

इसलिए ΔMNL ~ ΔQPR भुजा-कोण-भुजा समरूपता से)

(v) यहाँ पर ΔABC और ΔDEF में,
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DF}}=\frac{2.5}{5}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
परंतु ∠B ≠ ∠F (∵ ∠B दिया नहीं है।)
अतः ΔABC और ΔDEF समरूप नहीं है।

(vi) यहाँ पर ΔDEF और ΔPQR में,
∠P = 180° – (∠Q+ ∠R)
= 180° – (80° + 30°) = 70°
∠F = 180° – (∠D+ ∠E)
= 180° – (70° + 80°) = 30°
∠D = ∠P (प्रत्येक 70°)
∠E = ∠Q व (प्रत्येक 80°)
∠F = ∠R. (प्रत्येक 30°)
ΔDEF ~ ΔPQR (कोण-कोण-कोण समरूपता से)

प्रश्न 2.
संलग्न आकृति में, ΔODC ~ ΔOBA, ∠BOC = 125° और ∠CDO = 70° है। ∠DOC, ∠DCO और ∠OAB ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर, ∠BOC = 125°
व ∠CDO = 70°

∠DOC + ∠BOC = 180°
∠DOC + 125° := 180°
∠DOC = 180° – 125° = 55°
अब ΔDOC में, ∠DOC + ∠CDO + ∠DCO = 180°
55° + 70° + ∠DCO = 180°
∠DCO = 180° – 125° = 55°
परंतु ΔODC ~ ΔOBA (दिया है)
इसलिए ∠OAB = ∠DCO
= 55°
अतः ∠DOC = 55°, ∠DCO = 55° व ∠OAB = 55° उत्तर

प्रश्न 3.
समलंब ABCD, जिसमें AB ||DC है, के विकर्ण AC और BD परस्पर 0 पर प्रतिच्छेद करते हैं। दो त्रिभुजों की समरूपता कसौटी का प्रयोग करते हुए, दर्शाइए की \(\frac{O A}{O C}=\frac{O B}{O D}\) है

हल :
दिया है : ABCD एक समलंब है जिसमें AB || DC है। इसके विकर्ण AC और BD, O पर मिलते हैं।
सिद्ध करना है : \(\frac{O A}{O C}=\frac{O B}{O D}\)
प्रमाण : ΔOAB और ΔODC में,
∠AOB = ∠COD (शीर्षाभिमुख कोण)
∠OAB = ∠OCD (एकांतर कोण)
∠OBA = ∠ODC (एकांतर कोण)
ΔOAB ~ ΔODC (कोण-कोण-कोण समरूपता नियम से)
\(\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OC}}=\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OD}}\) (समरूप त्रिभुजों के संगत भागों का अनुपात) [इति सिद्धम]

प्रश्न 4.
संलग्न आकृति में, \(\frac{Q R}{Q S}=\frac{Q T}{P R}\) तथा ∠1 = ∠2 है। दर्शाइए कि ΔPQS ~ ΔTQR है।

हल :
यहाँ पर
\(\frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{QS}}=\frac{\mathrm{QT}}{\mathrm{PR}}\) (दिया है)
\(\frac{\mathrm{PR}}{\mathrm{QS}}=\frac{\mathrm{QT}}{\mathrm{QR}}\) …(i)
तथा ∠1 = ∠2 (दिया है)
PR = PQ …. (ii) [ ∵ ΔPQR में समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ]
समीकरण (i) व (ii) की तुलना से,
\(\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{QS}}=\frac{\mathrm{QT}}{\mathrm{QR}}\)
\(\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{QT}}=\frac{\mathrm{QS}}{\mathrm{QR}}\)
अब ΔPQS और ΔTQR में,
\(\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{QT}}=\frac{\mathrm{QS}}{\mathrm{QR}}\)
∠PQS = ∠TQR
ΔPQS ~ ΔTQR (भुजा-कोण-भुजा समरूपता से)

प्रश्न 5.
ΔPQR की भुजाओं PR और QR पर क्रमशः बिंदु S और T इस प्रकार स्थित हैं कि ∠P= ∠RTS है। दर्शाइए कि ΔRPQ ~ΔRTS है।

हल :
दिया है : ΔPQR की भुजाओं PR और QR पर क्रमशः बिंदु S और T इस प्रकार है कि ∠P= ∠RTS
सिद्ध करना है: ΔRPQ ~ ΔRTS
प्रमाण : ΔRPQ और ΔRTS में, .
∠R = ∠R (उभयनिष्ठ)
∠P = ∠RTS (दिया है)
∴ कोण-कोण समरूपता गुणधर्म से,
ΔRPQ ~ ΔRTS

प्रश्न 6.
संलग्न आकृति में, यदि ΔABE ≅ ΔACD है, तो दर्शाइए कि ΔADE ~ ΔABC है।

हल :
दिया है : ΔABE ≅ ΔACD
सिद्ध करना है : ΔADE ~ ΔABC
प्रमाण : ΔABE ≅ ΔACD (दिया है)
AB = AC
AE = AD

अब ΔADE और ΔABC में,
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AE}}\)
∠BAC = ∠DAE (उभयनिष्ठ)
ΔADE ~ ΔABC (भुजा-कोण-भुजा समरूपता से) (इति सिद्धम)

प्रश्न 7.
संलग्न आकृति में, ΔABC के शीर्षलंब AD और CE परस्पर बिंदु Pपर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि-
(i) ΔAEP ~ ΔCDP
(ii) ΔABD ~ ΔCBE
(iii) ΔAEP ~ ΔADB
(iv) ΔPDC ~ ΔBEC

हल :
दिया है : ΔABC के दो शीर्षलंब AD व CE हैं अर्थात् AD ⊥ BC व CE ⊥ AB हैं।

(i) सिद्ध करना है : ΔAEP ~ ΔCDP
प्रमाण : ΔAEP और ΔCDP में,
∠AEP = ∠CDP (प्रत्येक 90°)
∠APE = ∠CPD (शीर्षाभिमुख कोण)
ΔAEP ~ ΔCDP (कोण-कोण समरूपता नियम से) [इति सिद्धम]

(ii) सिद्ध करना है : ΔABD ~ ΔCBE
प्रमाण : ΔABD और ΔCBE में
∠ADB = ∠CEB (प्रत्येक 90°)
∠ABD = ∠CBE (उभयनिष्ठ)
ΔABD ~ ΔCBE (कोण-कोण समरूपता नियम से) [इति सिद्धम]

(iii) सिद्ध करना है : ΔAEP ~ ΔADB
प्रमाण : ΔAEP और ΔADB में,
∠AEP = ∠ADB (प्रत्येक 90°)
∠EAP = ∠DAB (उभयनिष्ठ)
ΔAEP ~ ΔADB (कोण-कोण समरूपता नियम से) [इति सिद्धम]

(iv) सिद्ध करना है : ΔPDC ~ ΔBEC
प्रमाण : ΔPDC और ΔBEC में
∠PDC = ∠EEC (प्रत्येक 90°)
∠PCD = ∠ECB (उभयनिष्ठ)
ΔPDC ~ ΔBEC (कोण-कोण समरूपता नियम से) [इति सिद्धम]

प्रश्न 8.
समांतर चतुर्भुज ABCD की बढ़ाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिंदु है तथा BE भुजा CD को F पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि ΔABE ~ ΔCFB है।
हल :
दिया है : ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, जिसकी भुजा AD को E तक बढ़ाया गया है तथा BE को मिलाने पर BE भुजा CD को F बिंदु पर प्रतिच्छेदित करती है।

सिद्ध करना है : ΔABE ~ ΔCFB
प्रमाण : ΔABE और ΔCFB में,
∠A = ∠C (समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण)
∠AEB = ∠CBF (एकांतर कोण)
ΔABE ~ ΔCFB (कोण-कोण समरूपता नियम से) [इति सिद्धम]

प्रश्न 9.
संलग्न आकृति में, ABC और AMPदो समकोण त्रिभुज हैं, जिनके कोण Bऔर M समकोण हैं। सिद्ध कीजिए कि
(i) ΔABC ~ ΔAMP
(ii) \(\frac{\mathbf{C A}}{\mathbf{P A}}=\frac{\mathbf{B C}}{\mathbf{M P}}\)

हल :
दिया है-दो समकोण ΔABC व ΔAMP में ∠ABC= 90° व ∠AMP = 90°
(i) सिद्ध करना है-ΔABC ~ ΔAMP
प्रमाण-ΔABC और ΔAMP में,
∠ABC = ∠AMP (प्रत्येक 90°)
∠BAC = ∠MAP (उभयनिष्ठ)
ΔABC ~ ΔAMP (कोण-कोण समरूपता नियम से) (इति सिद्धम)

(ii) सिद्ध करना है \(\frac{\mathbf{C A}}{\mathbf{P A}}=\frac{\mathbf{B C}}{\mathbf{M P}}\)
प्रमाण-ΔABC और ΔAMP में,
∠ABC = ∠AMP (प्रत्येक 90°)
∠BAC = ∠MAP
(उभयनिष्ठ) ΔABC ~ ΔAMP (कोण-कोण समरूपता नियम से)
अतः \(\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{PA}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{MP}}\)
(समरूप त्रिभुजों के संगत भाग) (इति सिद्धम)

प्रश्न 10.
CD और GH क्रमशः ∠ACB और ∠EGF के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिंदु D और Hक्रमशः ΔABC और ΔFEG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं। यदि ΔABC ~ ΔFEG है, तो दर्शाइए कि
(i) GH FG
(ii) ΔDCB ~ ΔHGE
(iii) ΔDCA ~ ΔHGF
हल :
दिया है : दो त्रिभुज ABC और FEG में CD और GH क्रमशः ∠ACB और ∠EGF के समद्विभाजक हैं तथा ΔABC ~ ΔFEG हैं।

(i) सिद्ध करना है : \(\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{GH}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{FG}}\)
प्रमाण : ΔADC और ΔFHG में,
∠A = ∠F [∵ ΔABC ~ ΔFEG]
तथा∠C = ∠G [∵ ΔABC ~ ΔFEG]
या \(\frac{1}{2}\) ∠C = \(\frac{1}{2}\)∠G
या ∠ACD = ∠FGH
ΔADC ~ ΔFHG (कोण-कोण समरूपता नियम से)
\(\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{GH}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{FG}}\)(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) [इति सिद्धम]

(ii) सिद्ध करना है : ΔDCB ~ ΔHGE
प्रमाण : ΔDCB और ΔHGE में,
∴ ∠DBC = ∠HEG [ ∵ ΔABC ~ ΔFEG]
तथा ∠C = ∠G [ ∵ ΔABC ~ ΔFEG]
या \(\frac{1}{2}\)∠C = ∠G\(\frac{1}{2}\)
या ∠BCD = ∠EGH
∴ ΔDCB ~ ΔHGE (कोण-कोण समरूपता नियम से) [इति सिद्धम]

(iii) सिद्ध करना है : ΔDCA ~ ΔHGF
प्रमाण : ΔDCA और ΔHGF में,
∠A = ∠F [∵ ΔABC – ΔFEG] |
तथा ∠C = ∠G [∵ ΔABC – ΔFEG]
या \(\frac{1}{2}\)∠C = ∠G\(\frac{1}{2}\)
या ∠ACD = ∠FGH
∴ ΔDCA ~ ΔHGF(कोण-कोण समरूपता नियम से) [इति सिद्धमा)

प्रश्न 11.
संलग्न आकृति में, AB = AC वाले, एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की बढ़ाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिंदु है। यदि AD ⊥ BC और EF ⊥ AC है तो सिद्ध कीजिए कि ΔABD ~ΔECF है।

हल :
दिया है : एक समद्विबाहु ΔABC जिसमें AB = AC है। इसकी बढ़ाई गई भुजा CB पर E कोई बिंदु है। AD ⊥ BC तथा EF ⊥ AC है।
सिद्ध करना है : ΔABD ~ ΔECF
प्रमाण : ΔABD और ΔECF में,
∠B = ∠C [∵ AB = AC दिया है]
∠ADB = ∠EFC (प्रत्येक 90°)
ΔABD ~ ΔECF (कोण-कोण समरूपता नियम से) [इति सिद्धम]

प्रश्न 12.
एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की क्रमशः भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PM के समानुपाती हैं (देखिए संलग्न आकृति)। दर्शाइए कि ΔABC ~ ΔPQR है।

हल :
दिया है : दो त्रिभुजों ABC और PQR में AD व PM क्रमशः भुजाओं BC और QR की माध्यिकाएँ हैं तथा
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{PM}}\)
सिद्ध करना है : ΔABC ~ ΔPQR
प्रमाण : क्योंकि AD भुजा BC की माध्यिका है।
∴ BD = \(\frac{1}{2}\)BC
इसी प्रकार QM = \(\frac{1}{2}\)QR

ΔABD ~ ΔPQM(भुजा-भुजा-भुजा समरूपता से)
∠B = ∠Q (समरूप त्रिभुजों के संगत भाग)
अब ΔABC व ΔPQR में
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}\) व ∠B = ∠Q
ΔABC ~ ΔPQR (भुजा-कोण-भुजा समरूपता से) [इति सिद्धम]

प्रश्न 13.
एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार स्थित है कि ∠ADC = ∠BAC है। दर्शाइए कि CA² =CB.CD है।
हल : दिया है : ΔABC की भुजा BC पर D कोई ऐसा बिंदु है कि ∠ADC = ∠BAC
सिद्ध करना है : CA² = CB.CD

प्रमाण : ΔABC और ΔADC में,
∠BAC = ∠ADC (दिया है)
∠BCA = ∠DCA (उभयनिष्ठ)
तथा ∠ABC = ∠DAC (त्रिभुज का तीसरा कोण)
अतः ΔABC ~ ΔADC (कोण-कोण समरूपता से)
\(\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{CB}}{\mathrm{CA}}\) ( ∵ समरूप त्रिभुजों के संगत भाग समान अनुपाती होते हैं।)
CA² = CB.CD इति सिद्धमा

प्रश्न 14.
एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और AC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज की भुजाओं PQ और PR तथा माध्यिका PM के क्रमशः समानुपाती हैं। दर्शाइए कि ΔABC ~ΔPQR है।
हल :
दिया है : दो त्रिभुजों ABC और PQR में AD व PM क्रमशः भुजाओं BC और QR की माध्यिकाएँ हैं तथा
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{A C}{P R}=\frac{A D}{P M}\)

सिद्ध करना है : ΔABC ~ ΔPQR
रचना : D से DE || AB तथा M से MN || PQ खींचिए।
प्रमाण : क्योंकि D, BC का मध्य बिंदु है तथा DE || AB (रचना से)
E,AC का मध्य-बिंदु है।
अर्थात् DE = \(\frac{1}{2}\) AB
इसी प्रकार MN =\(\frac{1}{2}\) PQ

ΔADE ~ ΔPMN (भुजा-भुजा-भुजा समरूपता नियम से)
∠DAE = ∠MPN
∠DAC = CMPR …..(ii)
इसी प्रकार ∠DAB = ∠MPQ …… (ii)
समीकरण (i) व (ii) से,
∠DAC + ∠DAB = ∠MPR + ∠MPQ
∠BAC = ∠QPR
अब ΔABC और ΔPQR में,
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{A C}{P R}\) तथा ∠BAC = ∠QPR
∴ ΔABC ~ ΔPOR (भुजा-कोण-भुजा समरूपता से) [इति सिद्धमा

प्रश्न 15.
लंबाई 6m वाले एक ऊर्ध्वाधर स्तंभ की भूमि पर छाया की लंबाई 4m है, जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लंबाई 28m है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :

दिया है : एक स्तंभ PM = 6m जिसकी छाया OM = 4m है।
सिद्ध करना है : एक मीनार NS की ऊँचाई (माना xm) जिसकी छाया OS की लंबाई 28m है।
प्रमाण : ΔOPM व ΔONS में,
∠O = ∠O (उभयनिष्ठ)
∠OMP = ∠OSN (प्रत्येक 90°)
∴ ΔOMP ~ ΔONS (कोण-कोण समरूपता)
\(\frac{P M}{N S}=\frac{O M}{O S}\)
\(\frac{6}{x}=\frac{4}{28}\)
x = \(\) = 42
अतः मीनार की ऊँचाई = 42m

प्रश्न 16.
AD और PM त्रिभुजों ABC और PQR की क्रमशः माध्यिकाएँ हैं, जबकि AABC ~ APQR है। सिद्ध कीजिए कि \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{PM}}\) है।
हल :

दिया है : AD और PM त्रिभुजों ABC व PQR की क्रमशः माध्यिकाएँ हैं जहाँ ΔABC ~ ΔPQR है।
सिद्ध करना है : \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{PM}}\)
प्रमाण : क्योंकि ΔABC ~ ΔPQR (दिया है)।

HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.1

October 25, 2023 November 10, 2023 / Class 10 / By Prasanna

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Exercise 6.1

नोट : यह प्रश्नावली विभिन्न आकृतियों की समरूपता पर आधारित है। भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं यदि (1) उनके सभी संगत कोण बराबर हों तथा (ii) उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात (समानुपात) में हों।

प्रश्न 1.
कोष्ठकों में दिए शब्दों में से सही शब्दों का प्रयोग करते हुए, रिक्त स्थानों को भरिए-
(i) सभी वृत्त …………… होते हैं। (समरूप, सर्वांगसम)
(ii) सभी वर्ग …………… होते हैं। (समरूप, सर्वांगसम)
(iii) सभी …………… त्रिभुज समरूप होते हैं। (समद्विबाहु, समबाहु)
(iv) भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि (i) उनके संगत कोण ………..हों तथा (ii) उनकी संगत भुजाएँ …………… हों। (बराबर, समानुपाती)
हल :
(i) समरूप, (ii) समरूप, (iii) समबाहु, (iv) बराबर; समानुपाता।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित युग्मों के दो भिन्न-भिन्न उदाहरण दीजिए(i) समरूप आकृतियाँ (ii) ऐसी आकृतियाँ जो समरूप नहीं हैं।
हल :
(i) समरूप आकृतियाँ : समान आकार वाली आकृतियों को समरूप आकृतियाँ कहते हैं। यह आवश्यक नहीं है कि वे समान आमाप (size) की भी हों; जैसे (a) सभी वृत्त समरूप होते हैं। (b) सभी समबाहु त्रिभुज समरूप होते हैं। (c) सभी वर्ग समरूप होते हैं।
(ii) ऐसी आकृतियाँ जो समरूप नहीं हैं : जिन आकृतियों का आकार तथा आमाप दोनों भिन्न-भिन्न होते हैं वे समरूप नहीं होती हैं; जैसे (a) समबाहु त्रिभुज तथा समद्विबाहु त्रिभुज समरूप नहीं होते। (b) वर्ग तथा आयत समरूप नहीं होते। (c) त्रिभुज तथा वर्ग समरूप नहीं होते।

प्रश्न 3.
बताइए कि निम्नलिखित चतुर्भुज समरूप हैं या नहीं :

हल :
दिए गए चतुर्भुज PQRS और ABCD समरूप नहीं हैं क्योंकि इनके कोण समान नहीं हैं।

HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.2

October 25, 2023 November 10, 2023 / Class 10 / By Prasanna

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Exercise 6.2

यदि एक रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करे, तो वह तीसरी भुजा के समांतर होती है। [आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का विलोम]
हल :
दिया है : ΔABC में एक रेखा l भुजाओं AB और AC को क्रमशः D और E पर इस प्रकार काटती है कि \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\)
सिद्ध करना है : DE || BC
उपपत्ति: माना DE ∦ BC तब D से DE’ || BC खींचे।
अब, क्योंकि DE’ || BC.

[atex]\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{E}^{\prime} \mathrm{C}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{EC}}[/latex]
E’C || EC.
परंतु यह तभी संभव है जब E तथा E’ संपाती हों अर्थात् DE’ रेखा l हो जबकि DE’ || BC अतः
DE || BC [इति सिद्धम]

प्रश्न 1.
आकृति (i) और (ii) में, DE || BC है। (i) में EC और (ii) में AD ज्ञात कीजिए-

हल :
(i) दिया है, AD = 1.5cm, DB = 3cm, AE = 1cm, EC = ?
क्योंकि ΔABC में DE || BC,
इसलिए \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}\)
\(\frac{1.5}{3}=\frac{1}{E C}\)
1.5 EC = 3 x 1
EC = \(\frac{3 \times 1}{1.5}\)= 2cm

(ii) दिया है, DB = 7.2cm, AE = 1.8cm, EC = 5.4cm, AD = ?
क्योंकि ΔABC में DE || BC,
इसलिए \(\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C}\)
\(\frac{\mathrm{AD}}{7.2}=\frac{1.8}{5.4}\)
DB – EC AD 1.8 7.2 5.4
AD = \(\frac{1.8 \times 7.2}{5.4}\) = 2.4 cm

प्रश्न 2.
किसी APQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिंदु E और F स्थित हैं। निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति के लिए, बताइए कि क्या EF || QR है
(i) PE = 3.9cm, EQ = 3cm, PF = 3.6cm और FR = 2.4cm
(ii) PE = 4cm, QE = 4.5cm, PF = 8cm और RF = 9cm
(iii) PQ = 1.28cm, PR = 2.56cm, PE = 0.18cm 3 PF = 0.36cm

हल :
(i) दिया है, PE = 3.9cm, EQ = 3cm, PF = 3.6cm, FR = 2.4cm
अब,
\(\frac{\mathrm{PE}}{\mathrm{EQ}}=\frac{3.9}{3}=\frac{39}{30}=\frac{13}{10}\) ……………(i)
\(\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{FR}}=\frac{3.6}{2.4}=\frac{36}{24}=\frac{3}{2}\) ……………(ii)
समीकरण (i) व (ii) से,
\(\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{FR}}=\frac{3.6}{2.4}=\frac{36}{24}=\frac{3}{2}\)
\(\frac{\mathrm{PE}}{\mathrm{EQ}} \neq \frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{FR}}\)
अतः EF समांतर नहीं है QR अर्थात् EF ∦ QR

(iii) दिया है, PE = 4cm, QE = 4.5cm, PF = 8cm, RF = 9cm
अब,
\(\frac{P E}{E Q}=\frac{4}{4.5}=\frac{40}{45}=\frac{8}{9}\) …………….(i)
\(\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{FR}}=\frac{8}{9}\) …………..(ii)
समीकरण (i) व (ii) से,
\(\frac{\mathrm{PE}}{\mathrm{EQ}}=\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{FR}}\)
अतः EF || QR

(iii) दिया है, PQ = 1.28cm, PR = 2.56cm, PE = 0.18cm, PF = 0.36cm
EQ=PQ-PE = 1.28 -0.18 = 1.10cm
FR = PR-PF = 2.56-0.36 = 2.20cm
अब,
\(\frac{\mathrm{PE}}{\mathrm{EQ}}=\frac{0.18}{1.10}=\frac{18}{110}=\frac{9}{55}\) ……………(i)
\(\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{FR}}=\frac{0.36}{2.20}=\frac{36}{220}=\frac{9}{55}\) ……………(ii)
समीकरण (i) व (ii) से,
\(\frac{\mathrm{PE}}{\mathrm{EQ}}=\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{FR}}\)
अतः EF || QR

प्रश्न 3.
संलग्न आकृति में यदि LM || CB और LN || CD हो तो सिद्ध कीजिए कि \(\frac{A M}{A B}=\frac{A N}{A D}\) है।

हल :
ΔABC में LM || BC

प्रश्न 4.
संलग्न आकृति में DE || AC और DF ||AE है। सिद्ध कीजिए कि \(\frac{\mathbf{B F}}{\mathbf{F E}}=\frac{\mathbf{B E}}{\mathbf{E C}}\) है।

हल :
ΔABC में DE || AC (दिया है)
\(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AD}}=\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{EC}}\) ……. (i)
ΔABE में DF || AE (दिया है)
[ltex]\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AD}}=\frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{FE}}[/latex] ……. (ii)
समीकरण (i) व (ii) की तुलना से,
\(\frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{FE}}=\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{EC}}\) (इति सिद्धम)

प्रश्न 5.
संलग्न आकृति में DE || OQ और DF || OR है। दर्शाइए कि EF || QR है।

हल :
ΔPQO में DE || OQ है
\(\frac{P E}{E Q}=\frac{P D}{D O}\) ……. (i)
ΔPRO में DF || OR है
\(\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{FR}}=\frac{\mathrm{PD}}{\mathrm{DO}}\) …… (ii)
समीकरण (i) व (ii) की तुलना से,
\(\frac{\mathrm{PE}}{\mathrm{EQ}}=\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{FR}}\)
अब क्योंकि ΔPQR में
\(\frac{\mathrm{PE}}{\mathrm{EQ}}=\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{FR}}\)
EF || QR (इति सिद्धम)

प्रश्न 6.
संलग्न आकृति में क्रमशः OP,OQ और OR पर स्थित बिंदु A, B और C इस प्रकार हैं कि AB || PQ और AC || PR है। दर्शाइए कि BC ||QR है।

हल :
ΔPOQ में AB || PQ है
\(\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{AP}}=\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{BQ}}\) …………..(i)
ΔPOR में AC || PR है
\(\frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{AP}}=\frac{\mathrm{OC}}{\mathrm{CR}}\) ….. (ii)
समीकरण (i) व (ii) की तुलना से,
\(\frac{O B}{B Q}=\frac{O C}{C R}\)
अतःΔOQR में BC || QR (इति सिद्धम)

प्रश्न 7.
प्रमेय 6.1 (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय) का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से होकर दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है। (याद कीजिए कि आप इसे कक्षा IX में सिद्ध कर चुके हैं।)

हल :
दिया है : एक ΔABC में AB के मध्य-बिंदु D से एक रेखा ! ||BC खींची गई जो AC को E पर प्रतिच्छेद करती है।
सिद्ध करना है : E, AC का मध्य-बिंदु है।
उपपत्तिः क्योंकि D, AB का मध्य-बिंदु है, इसलिए,
AD = DB
\(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{1}{1}\)
परंतु ΔABC में l || BC
\(\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C}\) (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के अनुसार) ….(ii)
समीकरण (i) व (ii) की तुलना से,
\(\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}=\frac{1}{1}\)
(इति सिद्धम)
AE = EC
अतः E, AC का मध्य-बिंदु है।

प्रश्न 8.
प्रमेय 6.2 (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम) का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है। (याद कीजिए कि आप कक्षा IX में ऐसा कर चुके हैं।)

हल :
दिया है : एक ΔABC में D और E क्रमशः भुजाओं AB और AC के मध्य-बिंदु हैं।
सिद्ध करना है : DE || BC
उपपत्ति : क्योंकि D, भुजा AB का मध्य-बिंदु है,
AD = DB
\(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{1}{1}\) ………….(i)
इसी प्रकार E, भुजा AC का मध्य-बिंदु है।
AE = EC
\(\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}=\frac{1}{1}\) ….(ii)
समीकरण (i) व (ii) की तुलना से,
\(\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C}\)
अतः रेखा DE भुजाओं AB और AC को समानुपात में विभाजित करती है। आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम अनुसार,
DE || BC (इति सिद्धम)

प्रश्न 9.
ABCD एक समलंब है जिसमें AB || DC है तथा इसके विकर्ण परस्पर बिंदु ० पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि \(\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{BO}}=\frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{DO}}\) है।

हल :
दिया है : ABCD एक समलंब है जिसमें AB || DC तथा विकर्ण AC और BD परस्पर बिंदु 0 पर प्रतिच्छेद करते हैं।
सिद्ध करना है : \(\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{BO}}=\frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{DO}}\)
रचना : बिंदु O से OE || AB या DC खींचें जो AD को E पर काटे।
उपपत्ति : ΔADC में OE || DC (रचना द्वारा)
\(\frac{A E}{E D}=\frac{A O}{C O}\)
(आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से) …(1) इसी प्रकार ΔABD में OE || AB (रचना द्वारा)
\(\frac{A E}{E D}=\frac{B O}{D O}\)
(आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से) ….(ii)
समीकरण (i) व (ii) की तुलना से,
\(\frac{A O}{C O}=\frac{B O}{D O}\)
\(\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{BO}}=\frac{\mathrm{CO}}{\mathrm{DO}}\) (इति सिद्धम)

प्रश्न 10.
एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि 4 4 है। दर्शाइए कि ABCD समलंब है।

हल :
दिया है : चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC तथा BD परस्पर बिंदु ० पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि
\(\)
सिद्ध करना है : ABCD एक समलंब है।
रचना : बिंदु 0 से OE || AB खींचो जो AD को E पर प्रतिच्छेद करे।
उपपत्ति :ΔABD में OE || AB (रचना द्वारा)

अतः आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम से,
OE || DC …………(iii)
परंतु OE || AB ……………(iv)
समीकरण (iii) व (iv) से,
DC || AB
इसलिए ABCD एक समलंब है।

HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.1

October 24, 2023 November 10, 2023 / Class 10 / By Prasanna

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Exercise 5.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित स्थितियों में से किन स्थितियों में संबद्ध संख्याओं की सूची AP है और क्यों?
(i) प्रत्येक किलोमीटर के बाद का टैक्सी का किराया, जबकि प्रथम किलोमीटर के लिए किराया 15 रु० है और प्रत्येक अतिरिक्त किलोमीटर के लिए किराया 8 रु० है।
(ii) किसी बेलन (cylinder) में उपस्थित हवा की मात्रा, जबकि वायु निकालने वाला पंप प्रत्येक बार बेलन की शेष हवा का 1/4 भाग बाहर निकाल देता है।
(ii) प्रत्येक मीटर की खुदाई के बाद, एक कुआँ खोदने में आई लागत, जबकि प्रथम मीटर खुदाई की लागत 150 रु० है और बाद में प्रत्येक मीटर खुदाई की लागत 50 रु० बढ़ती जाती है।
(iv) खाते में प्रत्येक वर्ष का मिश्रधन, जबकि 10000 रु० की राशि 8% वार्षिक की दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर जमा की जाती है।
हल :
(i) यहाँ पर, प्रथम 1 कि०मी० का टैक्सी का किराया = 15 रु०
प्रत्येक अतिरिक्त 1 कि०मी० का टैक्सी का किराया = 8 रु०
अतः टैक्सी का 1 कि०मी०, 2 कि०मी०, 3 कि०मी०, 4 कि०मी० इत्यादि का क्रमशः किराया
= 15 रु०, 23 रु०, 31 रु०, 39 रु०……………..
इस प्रकार संबंध संख्याओं की सूची = 15, 23, 31, 39….
∵ सार्व अंतर (d) = 23 – 15 = 8
अतः संबंध संख्याओं की सूची AP है जिसका सार्व अंतर 8 है।

(ii) यहाँ पर, माना बेलन में उपस्थित हवा की मात्रा = Vm³

क्योंकि क्रमागत संख्याओं में समान अंतर नहीं है।
इसलिए संबंध संख्याओं की सूची AP में नहीं है।

(iii) यहाँ पर, प्रथम 1 मी० कुएँ की खुदाई का व्यय = 150 रु०
प्रत्येक अतिरिक्त 1 मी० कुएँ की खुदाई का व्यय = 50 रु०
अतः कुएँ की खुदाई का 1 मी०, 2 मी०, 3 मी०, 4 मी० ………….. इत्यादि का व्यय
= 150 रु०, 200 रु०, 250 रु०, 300 रु०…….
इस प्रकार संबंध संख्याओं की सूची = 150, 200, 250, 300…
सार्व अंतर (d) = 200 – 150 = 50
अतः संबंध संख्याओं की सूची AP है जिसका सार्व अंतर 50 है।

(iv) यहाँ पर,
मूलधन = 10,000 रु०
दर = 8% वार्षिक

3 वर्ष बाद मिश्रधन = 10000 x \(\frac{108}{100} \times \frac{108}{100} \times \frac{108}{100}\) = 12597.12 रु०
अतः संबंध संख्याओं की सूची = 10800, 11664, 12597.12 …………
यहाँ पर 11664 – 10800 = 864
तथा 12597.12 – 11664 = 933.12
864 ≠ 933.12
क्योंकि क्रमागत संख्याओं में समान अंतर नहीं है।
इसलिए संबंध संख्याओं की सूची AP में नहीं है।

प्रश्न 2.
दी हुई A.P. के प्रथम चार पद लिखिए, जबकि प्रथम पद a और सार्व अंतर d निम्नलिखित हैं-
(i) a= 10, d = 10
(ii) a =-2, d = 0
(iii) a = 4, d = -3
(iv) a =-1, d = 1/2
(v) a = -1.25, d = -0.25
हल :
(i) यहाँ पर
प्रथम पद (a) = 10
सार्व अंतर (a) = 10
a₂ = a + 1d = 10 + 10 = 20
a₃ = a + 2d = 10 + 2 x 10 = 30
a₄ = a + 3d = 10 + 3 x 10 = 40
अतः AP के प्रथम चार पद = 10, 20, 30, 40

(ii) यहाँ पर
प्रथम पद (a) = -2
सार्व अंतर (a) = 0
a₂ = a + 1d = -2 + 1 x 0 = -2
a₃ = a + 2d = -2 + 2 x 0 = -2
a₄ = a + 3d = -2 + 3 x 0 = -2
अतः AP के प्रथम चार पद = -2,-2,-2,-2

(iii) यहाँ पर
प्रथम पद (a) = 4
सार्व अंतर (d) = -3
a₂ = a + 1d = 4 + 1(-3)= 4 – 3 = 1
a₃ = a + 2d = 4 + 2(-3) = 4 – 6 = -2
a₄ = a+ 3d = 4 + 3(-3) = 4 – 9 = -5
अतः AP के प्रथम चार पद = 4, 1,-2,-5

(iv) यहाँ पर
प्रथम पद (a) = -1
सार्व अंतर (d) = 1/2

अतः AP के प्रथम चार पद =-1, –\(\frac{1}{2}\), 0, \(\frac{1}{2}\)

(v) यहाँ पर
प्रथम पद (a) = -1.25
सार्व अंतर (d) = -0.25
a₂ = a + 1d = -1.25 +1 (-0.25) = –1.50
a₃ = a+2d = -1.25 + 2 (-0.25) = -1.75
a₄ = a + 3d = -1.25 + 3 (-0.25) = -2.00
अतः AP के प्रथम चार पद = -1.25, -1.50,-1.75, -2.00

प्रश्न 3.
निम्नलिखित में से प्रत्येक AP के लिए प्रथम पद तथा सार्व अंतर लिखिए
(i) 3, 1, -1, -3, …………
(ii) -5,-1, 3, 7, ………. …. 1 5 9 13
(iii) \(\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \frac{9}{3}, \frac{13}{3}\)
(iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3.9, ……..
हल :
(i) यहाँ पर दी गई
AP = 3,1,-1,-3, …………
प्रथम पद (a) = 3
सार्व अंतर (d) = 1-3 = -2
अतः = 3 व d= – 2

(ii) यहाँ पर दी गई
AP = -5, -1, 3, 7, …………
प्रथम पद (a) = -5
सार्व अंतर (d) = -1 – (-5) = -1 + 5 = 4
अतः a = -5 व d = 4

(iii) यहाँ पर दी गई

(iv) यहाँ पर दी गई
AP = 0.6, 1.7, 2.8, 3.9,
प्रथम पद (a) = 0.6
सार्व अंतर (d) = 1.7-0.6 = 1.1
अतः a = 0.6 व d = 1.1

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से कौन-कौन AP हैं? यदि कोई AP है, तो इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए और इनके तीन और पद लिखिए।
(i) 2, 4, 8, 16, …………
(ii) 2,\(\frac{5}{2}\),3, \(\frac{7}{2}\), ……….
(iii) -1.2,-3.2, -5.2, -7.2, ……………………
(iv) -10, -6, -2, 2, …………
(v) 3,3 + -2 , 3 + 272, 3 + 3-12,………
(vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, ………………
(vii) 0, -4, -8, –12, ………….
(viii) \(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\)
(ix) 1, 3, 9, 27, ……
(x) a, 2a, 3a, 4a, …….
(xi) a, a², a³, a⁴, ……
(xii) 12, 18, 18, 132 ,…..
(xiii) √3, √6, √9, √2 , ………
(xiv) 1², 3²,5²,7², …………………………
(xv) 1²,5²,7², 73 ……………
हल :
(i) यहाँ पर दिया गया अनुक्रम है-2, 4, 8, 16, …………
a₂ – a₁ = 4 – 2 = 2
a₃ – 4₂ = 8 – 4 =4
a₄ – a₃ = 16 – 8 = 8
`क्योंकि दो क्रमागत पदों का अंतर समान नहीं है।
इसलिए दिया गया अनुक्रम AP नहीं है।

(ii) यहाँ पर दिया गया अनुक्रम है-2,\(\frac{5}{2}\),3, \(\frac{7}{2}\), ……….

क्योंकि दो क्रमागत पदों का अंतर समान है।
अतः दिया गया अनुक्रम AP है, जिसका सार्व अंतर (d) =\(\frac{1}{2}\)
AP के अगले तीन पद होंगे
a₅ = a + 4d = 2 + 4 x \(\frac{1}{2}\) = 2 + 2 = 4
a₆ = a + 5d = 2 + 5 x \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{4+5}{2}=\frac{9}{2}\)
a₇ = a + 6d = 2 +6 x \(\frac{1}{2}\) = 2 + 3 = 5

(iii) यहाँ पर दिया गया अनुक्रम है- -1.2,-3.2, -5.2, -7.2, ……………………
a₂ – a₁ = -3.2 – (-1.2) = -3.2 + 1.2 = 2.0
a₃ – a₂ = -5.2 -(-3.2)=-5.2 + 3.2 = -2.0
a₄ – a₃ = -7.2 – (-5.2) = -7.2 + 5.2 = -2.0
क्योंकि दो क्रमागत पदों का अंतर समान है।
अतः दिया गया अनुक्रम AP है, जिसका सार्व अंतर (d) = -2
AP के अगले तीन पद होंगे
a₅ = a + 4d = -1.2 + 4(-2) = -1.2 – 8 = -9.2
a₆ = a+ 5d = -1.2 + 5(-2) = -1.2 – 10 = -11.2
a₇ = a + 6d = -1.2 + 6(-2) = -1.2 – 12 = -13.2

(iv) यहाँ पर दिया गया अनुक्रम है- -10, -6, -2, 2, …………
a₂ – a₁ = -6-(-10) = -6 + 10 = 4
a₃ – a₂ = -2 -(-6) = -2 + 6 = 4
a₄ – a₃ = 2 – (-2)= 2 + 2 = 4
क्योंकि दो क्रमागत पदों का अंतर समान है।
अतः दिया गया अनुक्रम AP है, जिसका सार्व अंतर (d) = 4
AP के अगले तीन पद होंगे
a₅ = a +4d = -10 + 4(4) = -10 + 16 = 6
a₆ = a+ 5d = -10 + 5(4) = -10 + 20 = 10
a₇ = a + 6d = -10 + 6(4) = -10 + 24 = 14

(v) यहाँ पर दिया गया अनुक्रम है- 3,3 + -2 , 3 + 272, 3 + 3-12,………
a₂ – a₁ = (3 + √2)-3 = 3 + √2 – 3 = √2
a₃ – a₂ = (3 + 2√2)- (3 + √2) = 3 + 2√2 -3 – √2 = √2
a₄ – a₃ = (3 + 3√2)- (3 + 2√2) = 3 +3√2 – 3 – 2√2 = √2
क्योंकि दो क्रमागत पदों का अंतर समान है।
अतः दिया गया अनुक्रम AP है, जिसका सार्व अंतर (d) = √2
AP के अगले तीन पद होंगे
a₅ = a +4d = 3 +4√2
a₆= a+ 5d = 3 + 5√2
a₇ = a + 6d = 3 + 6√2

(vi) यहाँ पर दिया गया अनुक्रम है-0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, ………………
a₂ – a₁ = 0.22 – 0.2 = 0.02
a₃ – a₂ = 0.222 – 0.22 = 0.002
a₄ – a₃ = 0.2222 – 0.222 = 0.0002
क्योंकि दो क्रमागत पदों का अंतर समान नहीं है।
इसलिए दिया गया अनुक्रम AP नहीं है।

(vii) यहाँ पर दिया गया अनुक्रम है- 0, -4, -8, –12, ………….
a₂ – a₁ = -4 – 0 = -4
a₃ – a₂ = -8 -(-4) = -8 + 4 =-4
a₄ – a₃ = -12 – (-8) = -12 + 8 = -4
क्योंकि दो क्रमागत पदों का अंतर समान है।
अतः दिया गया अनुक्रम AP है, जिसका सार्व अंतर (d) = -4
AP के अगले तीन पद होंगे
a₅ = a + 4d = 0 + 4(-4)= –16
a₆ = a + 5d = 0 + 5(-4) = -20
a₇ = a + 6d = 0 + 6(-4)= -24

(viii) यहाँ पर दिया गया अनुक्रम है- \(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\)

क्योंकि दो क्रमागत पदों का अंतर समान है।
अतः दिया गया अनुक्रम AP है, जिसका सार्व अंतर (d) = 0
AP के अगले तीन पद होंगे
a₅ = a + 4d = –\(\frac{1}{2}\) + 4(0) = –\(\frac{1}{2}\)
a₆ = a + 4d = –\(\frac{1}{2}\) + 5(0) = –\(\frac{1}{2}\)
a₇ = a + 6d = 1 + 6(0) = –\(\frac{1}{2}\) + 6(0) = –\(\frac{1}{2}\)

(ix) यहाँ पर दिया गया अनुक्रम है-1, 3, 9, 27, ……
a₂ – a₁ = 3 – 1 = 2
a₃ – a₂ = 9 – 3 = 6
a₄ – a₃ = 27 – 9 = 18
क्योंकि दो क्रमागत पदों का अंतर समान नहीं है।
इसलिए दिया गया अनुक्रम AP नहीं है।

(x) यहाँ पर दिया गया अनुक्रम है- a, 2a, 3a, 4a, …….
a₂ – a₁ = 2a – a = a
a₃ – a₂ = 3a – 2a = a
a₄ – a₃ = 4a – 3a = a
क्योंकि दो क्रमागत पदों का अंतर समान है।
अतः दिया गया अनुक्रम AP है, जिसका सार्व अंतर (d) = a
AP के अगले तीन पद होंगे
a₅ = a + 4d = a + 4(a) = 5a
a₆ = a + 5d = a + 5(a) = 6a
a₇ = a + 6d = a + 6(a) = 7a

(xi) यहाँ पर दिया गया अनुक्रम है-a, a², a³, a⁴, ……
a₂ – a₁ = a² – a = a(a-1)
a₃ – a₂ = a³ – a² = a²(a-1)
a₄ – a₃ = a⁴ – a³ = a³(a-1)
क्योंकि दो क्रमागत पदों का अंतर समान नहीं है।
इसलिए दिया गया अनुक्रम AP नहीं है।

(xii) यहाँ पर दिया गया अनुक्रम है- 12, 18, 18, 132 ,…..
a₂ – a₁ = √8 – √2 = 2√2 – √2 = 2
a₃ – a₂ = √18 – √8 = 3√2 – 2√2 = 12
a₄ – a₃ = √32 – √18 = 4√2 – 3√2 = 2
क्योंकि दो क्रमागत पदों का अंतर समान है। अतः दिया गया अनुक्रम AP है, जिसका सार्व अंतर (d) = √2
AP के अगले तीन पद होंगे-
a₅ = a +4d = √2 + 4(√2) = 5√2 = √50
a₆ = a + 5d. = √2 + 5(√2) = 6√2 = √72
a₇ = a + 6d = √2 + 6(√2) = 7√2 = √98

(xiii) यहाँ पर दिया गया अनुक्रम है- √3, √6, √9, √2 , ………
a₂ – a₁ = √6 – √3 = √3 (√2 – 1)
a₃ – a₂ = √9 – √6 = √3 (√3 – √2)
a₄ – a₃ = √12 – √5 = 2√3 -3
क्योंकि दो क्रमागत पदों का अंतर समान नहीं है।
इसलिए दिया गया अनुक्रम AP नहीं है।।

(xiv) यहाँ पर दिया गया अनुक्रम है-1², 3²,5²,7², …………………………
= 1, 9, 25, 49,.. ……..
a² – a¹ = 9 – 1 = 8
a³ – a² = 25 – 9 = 16
a⁴ – a³ = 49 – 25 = 24
क्योंकि दो क्रमागत पदों का अंतर समान नहीं है।
इसलिए दिया गया अनुक्रम AP नहीं है।

(xv) यहाँ पर दिया गया अनुक्रम है – 1²,5²,7², 73 ……………
= 1, 25, 49,73……
a² – a¹ = 25 – 1 = 24
a³ – a² = 49 – 25 = 24
a⁴ – a³ = 73 – 49 = 24
क्योंकि दो क्रमागत पदों का अंतर समान है।
अतः दिया गया अनुक्रम AP है, जिसका सार्व अंतर (d) = 24
AP के अगले तीन पद होंगे-
a⁵ = a + 4d = 1 + 4(24)= 1 + 96 = 97
a⁶ = a + 5d = 1 + 5(24) = 1 + 120 = 121
a⁷ = a + 6d = 1+ 6(24) = 1 + 144 = 145

HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.2

October 24, 2023 November 10, 2023 / Class 10 / By Prasanna

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Exercise 5.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सारणी में, रिक्त स्थानों को भरिए, जहाँ AP का प्रथम पद a, सार्व अंतर d और nवाँ पद a_n है-

हल :
(i) यहाँ पर
प्रथम पद (a) = 7
सार्व अंतर (d) = 3
n = 8
हम जानते हैं कि
a_n = a + (n-1)d
7+ (8 – 1) x 3
= 7 + 21 = 28

(ii) यहाँ पर
प्रथम पद (a) = -18
सार्व अंतर (d) = ?
n = 10
a₁₀ = 0
हम जानते हैं कि
a_n = a + (n – 1)d
a₁₀ = a + (10 – 1)d
0 = -18 + 9(d)
9d = 18
d= 18/9 = 2
अतः सार्व अंतर (d) = 2

(iii) यहाँ पर
प्रथम पद (a) = ?
सार्व अंतर (d) = -3
n = 18
a₁₈= -5
हम जानते हैं कि
a_n = a + (n-1)d
a₁₈ = a + (18 – 1)d
-5 = a + 17(-3).
a = -5 +51
a = 46
प्रथम पद (a) = 46

(iv) यहाँ पर
प्रथम पद (a) =-18.9
सार्व अंतर (d) = 2.5
n = ?
a_n = 3.6
a_n= a + (n-1)d
3.6 = -18.9 + (n-1)2.5
3.6 + 18.9 = (n-1)2.5
n-1 = \(\frac{22.5}{2.5}\)
n = 9+ 1
n = 10

(v) यहाँ पर
प्रथम पद (a) = 3.5
सार्व अंतर (d) = 0
n = 105
a₁₀₅ = ? हम जानते हैं कि
a_n = a + (n-1)d
a₁₀₅ = 3.5 + (105 – 1)0
a₁₀₅ = 3.5

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए-
(i) AP : 10, 7, 4, ……. , का 30वाँ पद है
(A) 97 (B) 77 (C)-77 (D)-87
(ii) AP:-3,\(-\frac{1}{2}\), 2,…….. , का 11वाँ पद है-
(A) 28 (B) 22 . (C)-38 (D) -481/2
हल :
(i) यहाँ पर AP = 10, 7,4,…..
प्रथम पद (a) = 10
सार्व अंतर (a) = 7 – 10 = -3
n = 30
हम जानते हैं कि
a = a + (n-1)d
a₃₀ = a+29d
a₃₀ = 10 + 29(-3)
= 10 – 87 = -77
अतः सही उत्तर = C

(ii) यहाँ पर
AP = -3, \(-\frac{1}{2}\),2, …………
प्रथम पद (a) = -3
सार्व अंतर (d) = \(-\frac{1}{2}-(-3)=-\frac{1}{2}+3=\frac{-1+6}{2}=\frac{5}{2}\)
n = 11
हम जानते हैं कि
a_n = a+ (n-1)d
a₁₁ = a + 10d
a₁₁ = -3 + 10(5/2)
= -3 + 25 = 22
अतः सही उत्तर = B

प्रश्न 3.
निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ियों में, रिक्त खानों के पदों को ज्ञात कीजिए-

हल :
(i) हम जानते हैं कि यदि a, b, c समांतर श्रेढ़ी में हों तो

(ii) यहाँ पर

(iii) यहाँ पर

प्रथम पद (a) = 5
n = 4
a₄ = \(9 \frac{1}{2}=\frac{19}{2}\)
सार्व अंतर (d) = ?
हम जानते हैं कि
a₄ = a + 3d
\(\frac{19}{2}\) = 5 + 3d

(iv) यहाँ पर

प्रथम पद (a) = -4
n = 6
d = ?
a₆ = 6
हम जानते हैं कि
a₆ = a+ 5d
6 = -4 + 5d
5d = 6 +4
d = 10/5 =2
a₂ = a +d=-4 + 2 = -2
a₃ = a + 2d = -4 + 2(2) = -4 + 4 = 0
a₄ = a + 3d =-4 + 3(2) = -4 + 6 = 2
a₅ = a +4d = 4+ 4(2) = –4.+ 8 = 4

(v) यहाँ पर दिया है-

a₂ = 38
a + d = 38 ……….(i)
तथा a₆ = -22
a+ 5d = -22 …………….(ii)
समीकरण (i) को समीकरण (ii) में से घटाने पर प्राप्त होता है,
4d = -60
d= \(\frac{-60}{4}\) =-15
d का मान समीकरण (i) में रखने पर, .
a-15 = 38
a = 38+15 = 53
a₁ = 53
a₃ = a + 2d = 53 +2(-15)= 53 -30 = 23
a₄ = a + 3d = 53 + 3(-15)= 53-45 = 8
a₅ = a + 4d = 53 + 4(-15) = 53 – 60 = -7

प्रश्न 4.
AP: 3, 8, 13, 18, ……. का कौन-सा पद 78 है?
हल :
यहाँ पर A.P. = 3, 8, 13, 18, ……..
प्रथम पद (a) = 3
सार्व अंतर (d) = 8 – 3 = 5
a_n = 78
n = ?
हम जानते हैं कि
a_n = a + (n-1)d
78 = 3 + (n- 1)5
(n – 1)5 = 78-3
n – 1 = \(\frac{75}{5}\)
n = 15 + 1
n = 16
अतः दी गई AP का 16वाँ पद 78 होगा।

प्रश्न 5.
निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ियों में से प्रत्येक श्रेढ़ी में कितने पद हैं?
(i) 7, 13, 19,…………, 205
(i) 18, 15 1/2, 13….., -47
हल :
(i) यहाँ पर
AP = 7, 13, 19, ……….., 205
प्रथम पद (a) = 7
सार्व अंतर (d) = 13 – 7 = 6
a_n = 205
n = ?
हम जानते हैं कि
= a+ (n-1)d
205 = 7 + (n-1)6
(n – 1) = \(\frac{205-7}{6}=\frac{198}{6}\) = 33
n = 33 + 1 = 34
अतः दी गई AP में पदों की संख्या = 34

(ii) यहाँ पर
AP = 18,15 1/2, 1….., -47
प्रथम पद (a) = 18
सार्व अंतर (d) = \(\frac{31}{2}-18=\frac{31-36}{2}=-\frac{5}{2}\)
a_n = -47
n = ?
हम जानते हैं कि
= a_n + (n – 1)d
-47 = 18 + (n-1)(\left(-\frac{5}{2}\right))
(n-1) (\left(-\frac{5}{2}\right))= -47 – 18
(n-1) = -65 x (\(\left(-\frac{2}{5}\right)[/laex])
n-1 = 26
n = 26 + 1 = 27
अतः दी गई AP में पदों की संख्या = 27

प्रश्न 6.
क्या AP : 11, 8, 5, 2,…… का एक पद -150 है? क्यों?
हल :
यहाँ पर
AP = 11, 8, 5, 2, ………..
प्रथम पद (a) = 11
सार्व अंतर (d) = 8-11 = -3
माना दी गई AP का nवाँ पद (a_n) = -150
a+ (n-1)d = -150
11 + (n-1)-3 = -150

क्योंकि n पूर्णांक होना चाहिए।
इसलिए दी गई AP का एक पद -150 नहीं हो सकता।

प्रश्न 7.
उस AP का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है।
हल :
यहाँ पर
a₁₁ = 38
a+ 10d = 38 ……………….(i)
तथा a₁₆ = 73
a + 15d = 73 …………….(ii)
समीकरण (i) को समीकरण (ii) में से घटाने पर प्राप्त होता है,
15d – 10d = 73 – 38
5d = 35
d = 35/5 =7
d का मान समीकरण (i) में रखने पर,
a+ 10(7) = 38
a = 38 – 70 = -32
अब a₃₁ = a + 30d = -32 + 30(7) = -32 + 210 = 178
अतः AP का 31वाँ पद = 178

प्रश्न 8.
एक AP में 50 पद हैं, जिसका तीसरा पद 12 है और अंतिम पद 106 है। इसका 29वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर
n = 50
a₃ = 12
a+2d = 12 …………….(i)
तथा a₅₀ = 106
a + 49d = 106 …………….(ii)
समीकरण (i) को समीकरण (ii) में से घटाने पर प्राप्त होता है,
49d – 2d = 106 – 12
47d = 94
d = [latex]\frac{94}{47}\) = 2
d का मान समीकरण (i) में रखने पर,
a + 2(2) = 12
a = 12 -4 = 8
a₂₉ = a + 28d = 8 + 28(2) = 8 + 56 = 64
अतः AP का 29वाँ पद = 64

प्रश्न 9.
यदि किसी AP के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और -8 हैं, तो इसका कौन-सा पद शून्य होगा?
हल :
यहाँ पर
a₃ = 4
a+2d = 4 …….(i)
a₉ = -8
a + 8d = -8 ………(ii)
समीकरण (i) को समीकरण (ii) में से घटाने पर प्राप्त होता है,
8d – 2d = – 8 – 4
6d = -12
d= -12/6 = -2
d का मान समीकरण (i) में रखने पर,
a + 2(-2) = 4
a = 4 + 4 = 8
माना AP का nवाँ पद (a_n) = 0
a + (n – 1)d = 0
8 + (n – 1)(-2) = 0
(n-1) = \(\frac{-8}{-2}\)
n = 4 + 1 = 5
अतः AP का 5वाँ पद शून्य होगा।

प्रश्न 10.
किसी AP का 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है। इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर प्रश्नानुसार a₁₇ = a₁₀ + 7
a + 16d = a + 9d + 7
a + 16d – a – 9d = 7
7d = 7
d = \(\frac{7}{7}\) =1
अतः AP का सार्व अंतर (d) = 1

प्रश्न 11.
AP: 3, 15, 27, 39,…….. का कौन-सा पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा?
हल :
यहाँ पर
AP = 3, 15, 27, 39, …….
प्रथम पद (a) = 3
सार्व अंतर (a) = 15-3 = 12
माना AP का 7वाँ पद 54वें पद से 132 अधिक है
a_n = a₅₄ + 132
a + (n – 1)d = a+53d+ 132
(n – 1)12 = 53(12) + 132
= 636 + 132 = 768
n – 1 = \(\frac{768}{12}\) = 64
n = 64 + 1 = 65 अतः दी गई AP का 65वाँ पद 54वें पद से 132 अधिक है।

प्रश्न 12.
दो समांतर श्रेढ़ियों का सार्व अंतर समान है। यदि इनके 100वें पदों का अंतर 100 है, तो इनके 1000वें पदों का अंतर क्या होगा?
हल :
माना दोनों समांतर श्रेढ़ियों का सार्व अंतर = d
माना प्रथम समांतर श्रेढ़ी = a, a +d, a+2d, ……………., a + nd
व दूसरी समांतर श्रेढ़ी = a¹, a¹+d, a¹ + 2d, ……………., a¹ + nd
प्रथम समांतर श्रेढ़ी का 100वाँ पद (a₁₀₀) = a + 99d
दूसरी समांतर श्रेढ़ी का 100वाँ पद (a¹_1oo)= a¹ + 99d
a₁₀₀ – a¹₁₀₀ = a-a¹
100 = a – a¹
a – a¹ = 100 …..(i)
इसी प्रकार a₁₀₀₀ – a¹₁₀₀₀ = a – a¹
= 100 [समीकरण (i) से]
अतः दोनों समांतर श्रेढ़ियों के 1000वें पदों का अंतर = 100

प्रश्न 13.
तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं?
हल :
हम जानते हैं कि
7 से विभाज्यं तीन अंकों की सबसे छोटी संख्या = 105
7 से विभाज्य तीन अंकों की सबसे बड़ी संख्या = 994
अतः AP = 105, 112, 119,………, 994
प्रथम पद (a) = 105
सार्व अंतर (a) = 7
a_n = 994
n = ?
हम जानते हैं कि
a_n= a + (n – 1)d
994 = 105 + (n – 1)7
(n – 1) = \(\frac{994-105}{7}\)
n-1 = \(\frac{889}{7}\)
n = 127 + 1
n = 128
अतः तीन अंकों वाली 7 से विभाज्य संख्याओं की संख्या = 128

प्रश्न 14.
10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज हैं?
हल :
यहाँ पर 10 और 250 के बीच 4 के गुणज = 12, 16, 20, …………., 248
प्रथम पद (a) = 12
सार्व अंतर (a) = 16- 12 = 4
a_n = 248
n = ?
हम जानते हैं कि
= a_n + (n – 1)d
248 = 12 + (n – 1)4
(n-1) = \(\frac{248-12}{4}\)
n-1 = \(\frac{236}{4}\)
n = 59 + 1
n = 60
अतः 10 और 250 के बीच 4 के गुणजों की संख्या = 60 उत्तर

प्रश्न 15.
n के किस मान के लिए, दोनों समांतर श्रेढ़ियों 63, 65, 67,…….. और 3, 10, 17,…….. के इवें पद बराबर होंगे?
हल :
यहाँ पर
‘प्रथम AP = 63, 65, 67, …………
प्रथम पद (a) = 63
सार्व अंतर (a) = 65 – 63 = 2
nवाँ पद (a.) = a + (n – 1)d
= 63 + (n-1)2
= 63 + 2n-2 = 61 + 2n
तथा दूसरी AP = 3, 10, 17, ………..
प्रथम पद (a¹) = 3
सार्व अंतर (d¹) = 10 – 3 = 7
nवाँ पद (a¹_n) = a¹ + (n-1)d¹
= 3+ (n-1)7
= 3 + 7n – 7 = -4 + 7n
प्रश्नानुसार दोनों AP के n पद समान हैं।
a_n = a_n¹
61 + 2n = -4+7n
7n- 2n = 61 +4
5n = 65
n = \(\frac{65}{5}\)
n = 13
अतः दोनों समांतर श्रेढ़ियों के 13वें पद समान होंगे।

प्रश्न 16.
वह AP ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 16 है और 7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है।
हल :
यहाँ पर
a = 16
a+2d = 16 ……(i)
a₇ = a₅ + 12
a + 6d = a +4d + 12
a+6d -a-4d = 12
2d = 12
d = 12/2 = 6
d का मान समीकरण (i) में रखने पर, .
a + 2(6) = 16
a = 16 – 12 = 4
अतः अभीष्ट AP = 4, 10, 16, 22, ……….

प्रश्न 17.
AP: 3, 8, 13, …….., 253 में अंतिम पद से 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर
AP = 3, 8, 13, ……., 253
प्रथम पद (a) = 3
अंतिम पद (1) = 253
सार्व अंतर (d) = 8-3 = 5
अंतिम पद से 20वाँ पद = l- (20 – 1)d
= 253 – 19 x 5
= 253 – 95 = 158

प्रश्न 18.
किसी AP के चौथे और 8वें पदों का योग 24 है तथा छठे और 10वें पदों का योग 44 है। इस A.P.के प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए। हल : माना
AP का प्रथम पद = a
सार्व अंतर = d
प्रश्नानुसार
an + ag = 24
(a + 3d) + (a + 7a) = 24
2a+ 10d = 24
a + 5d = 12 (दोनों ओर 2 से भाग करने पर) ……………..(i)
as + a10 = 44
(a + 5a) + (a + 9d) = 44
2a + 14d = 44
a+7d = 22 (दोनों ओर 2 से भाग करने पर)। …………………(ii)
समीकरण (i) को समीकरण (ii) में से घटाने पर प्राप्त होता है,
2d = 10
या d = 10/2 = 5
d का मान समीकरण (i) में रखने पर,
a + 5(5) = 12
a = 12 – 25 = -13
अतः AP के प्रथम तीन पद = -13, -8,-3

प्रश्न 19.
सुब्बा राव ने 1995 में 5000 रु० के मासिक वेतन पर कार्य आरंभ किया और प्रत्येक वर्ष 200 रु० की वेतन वृद्धि प्राप्त की। किस वर्ष में उसका वेतन 7000 रु० हो गया?
हल :
यहाँ पर
प्रथम पद (a) = 5000 रु०
सार्व अंतर (d) = 200 रु०
n = ?
a_n = 7000 रु०
हम जानते हैं कि
a_n = a + (n-1)d
7000 = 5000 + (n – 1)200
n-1 = \(\frac{7000-5000}{200}=\frac{2000}{200}\) = 10
n = 10 + 1 = 11.
अतः सुब्बा राव का 11वें वर्ष का वेतन 7000 रु० होगा।

प्रश्न 20.
रामकली ने किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में 5 रु० की बचत की और फिर अपनी साप्ताहिक बचत 1.75 रु० बढ़ाती गई। यदि nवें सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचत 20.75 रु० हो जाती है, तो n ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर
प्रथम पद (a) = 5 रु०
सार्व अंतर (a) = 1.75 रु०
n = ?
a_n = 20.75 रु०
हम जानते हैं कि = a_n + (n-1)d
20.75 = 5 + (n – 1)1.75
n – 1 = \(\frac{20.75-5}{1.75}=\frac{15.75}{1.75}\) = 9
n = 9+ 1 = 10
अतः रामकली की 10वें सप्ताह में साप्ताहिक बचत 20.75 रु० होगी।

HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.4

October 24, 2023 November 10, 2023 / Class 10 / By Prasanna

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Exercise 5.4

प्रश्न 1.
AP: 121, 117, 113, ………, का कौन-सा पद सबसे पहला ऋणात्मक पद होगा?
हल :
यहाँ पर AP = 121, 117, 113,…
माना nवाँ पद सबसे पहला ऋणात्मक पद है तो
a = 121
d = 117-121 = -4
a_n < 0
n = ?
हम जानते हैं कि a_n < 0
a+ (n-1)d <0
121 + (n-1)(-4) < 0
121-4n+4 <
125 < 4n n > \(\frac{125}{4}\)
n > 31.25
अतः 32वाँ पद सबसे पहला ऋणात्मक पद होगा।

प्रश्न 2.
किसी AP के तीसरे और सातवें पदों का योग 6 है और उनका गुणनफल 8 है। इस AP के प्रथम 16 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर माना दी गई AP का प्रथम पद =a
तथा सार्व अंतर = d
प्रश्नानुसार
a₃ + a₇ = 6
(a +2a) + (a +6a) = 6
2a + 8d = 6
a + 4d = 3 (दोनों ओर 2 से भाग करने पर) ………….(i)
a₃ x a₇ = 8
(a +2d)(a + 6d) = 8
a² + 6ad + 2ad + 12d² = 8
a²+ 8ad + 12d² = 8
समीकरण (i) से a = 3-4d को समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
(3-4a)² + 8(3-4d)d + 12d² = 8
9 – 24d + 16d² + 24d – 32d² + 12d² – 8 = 0
4d² + 1 = 0

अतः दी गई AP के प्रथम 16 पदों का योग = 20 व 76

प्रश्न 3.
एक सीढ़ी के क्रमागत डडे परस्पर 25cm की दूरी पर हैं (देखिए संलग्न आकृति में)। डंडों की लंबाई एक समान रूप से घटती जाती हैं तथा सबसे निचले डडे की लंबाई 45cm है और सबसे ऊपर वाले डडे की लंबाई 25cm है। यदि ऊपरी और निचले डडे के बीच की दूरी 2 1/2m है, तो डंडों को बनाने के लिए लकड़ी की कितनी लंबाई की आवश्यकता होगी?
हल :

यहाँ पर प्रश्नानुसार,
सीढ़ी के दो क्रमागत डंडों के बीच की दूरी = 25cm
सीढ़ी के सबसे निचले व सबसे ऊपरी डंडों के बीच की दूरी = 2.5m = 250cm
सीढ़ी के डंडों की संख्या = \(\frac{250}{25}\) = 10
दी गई स्थिति अनुसार AP के लिए
a = 45cm
l = 25cm
n = 10
अतः सीढ़ी के डंडों को बनाने के लिए आवश्यक लकड़ी की लंबाई
= \(\frac{n}{2}\)[a + l]
= \(\frac{10}{2}\)[45 + 25]
= 5 x 70 = 350cm
= 3.5m

प्रश्न 4.
एक पंक्ति के मकानों को क्रमागत रूप से संख्या 1 से 49 तक अंकित किया गया है। दर्शाइए कि x का एक ऐसा मान है कि से अंकित मकान से पहले के मकानों की संख्याओं का योग उसके बाद वाले मकानों की संख्याओं के योग । के बराबर है। x का मान ज्ञात कीजिए।
हल : यहाँ पर माना,
मकानों की पंक्ति = H₁, H₂, H₃, ………. , H_x-1, H_x, H_{x + 1}, ………….. , H₄₉
मकान संख्या = 1, 2, 3, ……….. , (x – 1), x, (x + 1), ………. 49
प्रश्नानुसार, 1 + 2 + 3 + …………. + (x – 1) = (x + 1) + (x + 2) + (x + 3)………..+ 49
1 + 2 + 3 +…… (x – 1) = [1 + 2 + 3 +……….. + (x – 1) + (x), (x + 1)+………. 49]
[1 + 2 + 3 +…. + x] [∵ S_x-1 = S₄₉ – S_x]

x² – x = 49 x 50 – x² – x[दोनों ओर 2 से गुणा करने पर]
2x² = 49 x 50
x² = 49 x 25
(x)² = (7 x 5)²
x = 35

प्रश्न 5.
एक फुटबाल के मैदान में एक छोटा चबूतरा है जिसमें 15 सीढ़ियाँ बनी हुई हैं। इन सीढ़ियों में से प्रत्येक की लंबाई 50m है और वह ठोस कंक्रीट (concrete) की बनी है। प्रत्येक सीढ़ी में 1/4 m की चढ़ाई है और 1/2 m का फैलाव (चौड़ाई) है। (देखिए संलग्न आकृति में)। इस चबूतरे को बनाने में लगी कंक्रीट का कुल आयतन परिकलित कीजिए।

हल :
यहाँ पर प्रश्नानुसार,
प्रत्येक सीढ़ी की लंबाई (l) = 50m
प्रत्येक सीढ़ी की चौड़ाई (b) = \(\frac{1}{4}\) m
पहली सीढ़ी की ऊँचाई (h₁)= \(\frac{1}{4}\)
दूसरी सीढ़ी की ऊँचाई (h₂) = 2 x \(\frac{1}{4} m=\frac{2}{4} m\)
तीसरी सीढ़ी की ऊँचाई (h₃) = 3 x \(\frac{1}{4} m=\frac{3}{4} m\)

= \(\frac{15}{2}\) x 100 = 15 x 50 = 750m

HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.2

October 23, 2023 November 10, 2023 / Class 10 / By Prasanna

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Exercise 4.2

प्रश्न 1.
गुणनखंड विधि से निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :
(i) x² – 3x – 10 = 0
(ii) 2x² + x – 6 = 0
(iii) √2x² + 7x + 5√2 = 0
(iv) 2x² – x + \(\frac{1}{8}\) = 0
(v) 100x² – 20x + 1 = 0
हल:
(i) यहाँ पर,
x² – 3x – 10 = 0
⇒ x² – 5x + 2x – 10 = 0
⇒ x(x – 5) + 2(x -5) = 0
⇒ (x – 5)(x + 2) = 0
⇒ x – 5 = 0 या x + 2 = 0
⇒ x = 5 या x = -2
अतः दी गई द्विघात समीकरण के मूल = 5 व -2

(ii) यहाँ पर,
2x² + x – 6 = 0
⇒ 2x² + 4x – 3x – 6 = 0
⇒ 2x(x + 2) – 3(x + 2) = 0
⇒ (x + 2)(2x – 3) = 0
⇒ x + 2 = 0 या 2x-3 = 0
⇒ x = -2 याx = \(\frac{3}{2}\)
अतः दी गई द्विघात समीकरण के मूल = -2 व \(\frac{3}{2}\)

(iii) यहाँ पर,
√2x² + 7x + 5√2 = 0
⇒ √2x² + 5x + 2x + 5√2 = 0
⇒ x(√2x + 5) + 12 (√2x + 5) = 0
⇒ (√2x + 5)(x + √2) = 0
⇒ √2x + 5 = 0 या x + √2 = 0
⇒ x = \(\frac{-5}{\sqrt{2}}\) या x = -√2
अतः दी गई द्विघात समीकरण के मूल = \(\frac{-5}{\sqrt{2}}\) व -√2

(iv) यहाँ पर,
2x² – x + \(\frac{1}{8}\) = 0 (दोनों ओर 8 से गुणा करने पर)
⇒ 16x² – 8x + 1 = 0
⇒ 16x² – 4x – 4x + 1 = 0
⇒ 4x(4x – 1) – 1(4x – 1) = 0
⇒ (4x – 1)(4x – 1) = 0
⇒ 4x – 1 = 0 या 4x – 1 = 0
⇒ x = \(\frac{1}{4}\) या x = \(\frac{1}{4}\)
अतः दी गई द्विघात समीकरण के मूल = \(\frac{1}{4}\) व \(\frac{1}{4}\)

(v) यहाँ पर,
100x² – 20x + 1 = 0
⇒ 100x² – 10x – 10x + 1 = 0
⇒ 10x(10x – 1)- 1(10x – 1) = 0
⇒ (10x – 1)(10x – 1) = 0
⇒ 10x – 1= 0 या 10x – 1 = 0
x = 1/10 या x = 1/10
अतः दी गई द्विघात समीकरण के मूल = 1/10 व 1/10

प्रश्न 2.
निम्नलिखित द्विघात समीकरणों को हल कीजिए-
(i) x² – 45x + 324 = 0
(ii) x² – 55x + 750 = 0
हल:
(i) यहाँ पर,
x² – 45x + 324 = 0
⇒ x² – 36x – 9x + 324 = 0
⇒ x(x – 36) – 9(x – 36) = 0
⇒ (x – 36)(x – 9) = 0
⇒ x – 36 = 0 या x – 9 = 0
⇒ x = 36 या x = 9
अतः दी गई द्विघात समीकरण के अभीष्ट हल = 36 व 9

(ii) यहाँ पर,
x² – 55x + 750 = 0
⇒ x² – 30x – 25x + 750 = 0
⇒ x(x – 30) – 25(x – 30) = 0
⇒ (x – 30)(x – 25) = 0
⇒ x – 30 = 0 या x – 25 = 0
⇒ x = 30 या x = 25
अतः दी गई द्विघात समीकरण के अभीष्ट हल = 30 व 25

प्रश्न 3.
ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो।
हल :
माना दो संख्याएँ = x तथा
प्रश्नानुसार,
x+y = 27 ………….(i)
xy = 182 ……(ii)
समीकरण (i) से x = 27-y को समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,
(27 – y)y = 182
⇒ 27y – y² = 182
⇒ y² – 27y + 182 = 0
⇒ y² – 14y – 13y + 182 = 0
⇒ y(y – 14) – 13(y – 14) = 0
⇒ (y – 14)(y – 13) = 0
⇒ y – 14 = 0 या y – 13 = 0
⇒ y = 14 या y = 13
यदि y = 14 तो x = 27 – 14 = 13
यदि y = 13 तो x = 27 – 13 = 14
अतः अभीष्ट संख्याएँ = 13 व 14

प्रश्न 4.
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो।
हल:
माना दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक = x तथा x +1
प्रश्नानुसार
(x)² + (x + 1)² = 365
⇒ x² + x² + 2x + 1 – 365 = 0
⇒ 2x² + 2x – 364 = 0
⇒ x² + x – 182 = 0 (दोनों ओर 2 से भाग करने पर)
⇒ x² + 14x – 13x – 182 = 0
⇒ x(x + 14)- 13(x + 14) = 0
⇒ (x + 14)(x – 13) = 0
⇒ x + 14 = 0 या x – 13 = 0
⇒ x = -14 या x = 13
परंतु x = -14 संभव नहीं है, क्योंकि पूर्णांक धनात्मक है।
अतः अभीष्ट क्रमागत धनात्मक पूर्णाक = 13 व 14

प्रश्न 5.
एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7cm कम है। यदि कर्ण 13cm का हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना,
समकोण त्रिभुज का आधार = x cm
तो समकोण त्रिभुज की ऊँचाई = (x – 7)cm
समकोण त्रिभुज का कर्ण = 13cm
हम जानते हैं कि (आधार)² + (लंब)² = (कर्ण)²
⇒ (x)² + (x – 7)² = (13)²
⇒ x² + x² – 14x + 49 – 169 = 0
⇒ 2x² – 14x – 120 = 0
⇒ x² – 7x – 60 = 0 (दोनों ओर 2 से भाग करने पर)
⇒ x² – 12x + 5x -60 = 0
⇒ x(x – 12) + 5(x – 12) = 0
⇒ (x – 12)(x + 5) = 0
⇒ x – 12 = 0 या x + 5 = 0
⇒ x = 12 या x = -5
परंतु x = -5 संभव नहीं हैं, क्योंकि समकोण त्रिभुज की भुजाएँ ऋणात्मक नहीं हो सकती।
अत ∴ समकोण त्रिभुज का आधार = 12cm
समकोण त्रिभुज की ऊँचाई = (12 – 7)cm = 5cm

प्रश्न 6.
एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है। एक विशेष दिन यह देखा गया कि प्रत्येक नग की निर्माण लागत (रुपयों में) उस दिन के निर्माण किए बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक थी। यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत 90 रु० थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नग की लागत ज्ञात कीजिए।
हल:
माना विशेष दिन में निर्माण किए गए बर्तनों की संख्या =x
तो विशेष दिन में निर्माण किए गए प्रत्येक बर्तन की लागत= (2x + 3)रु०
प्रश्नानुसार,
x x (2x + 3) = 90
⇒ 2x² + 3x – 90 = 0
⇒ 2x² + 15x – 12x – 90 = 0
⇒ x(2x + 15) – 6(2x + 15) = 0
⇒ (2x + 15)(x – 6) = 0
⇒ 2x + 15 = 0 या x – 6 = 0
⇒ x = -15/2 या x = 6
परंतु x = -15/2 संभव नहीं है, क्योंकि बर्तनों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती।
अतः विशेष दिन में निर्माण किए गए बर्तनों की संख्या = 6
विशेष दिन में निर्माण किए गए बर्तनों की लागत = (2 x 6 + 3)रु० = 15 रु०