HBSE 10th Class Maths Important Questions Chapter 4 द्विघात समीकरण

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Important Questions Chapter 4 द्विघात समीकरण Important Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Important Questions Chapter 4 द्विघात समीकरण

परीक्षोपयोगी अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न :

प्रश्न 1.
जाँच कीजिए कि समीकरण (2x + 1) (3x + 2) = 6(x – 1) (x – 2) द्विघात है अथवा नहीं?
हल :
यहाँ पर
(2x + 1) (3x + 2) = 6 (x – 1) (x – 2)
या 6x² + 4x + 3x + 2 = 6(x2 – 2x – x + 2)
या 6x² + 7x + 2 = 6x² – 18x + 12
या 6x² + 7x + 2 – 6x² + 18x – 12 = 0
या 25x – 10 = 0
∵ इस समीकरण की घात एक है
∵ दिया गया समीकरण द्विघात नहीं है ।

प्रश्न 2.
जाँच कीजिए कि x = – 1 व x = – 5 दिए गए समीकरण x² + 6x + 5 = 0 के हल हैं अथवा नहीं?
हल :
यहाँ पर दिया गया समीकरण है-
x² + 6x + 5 = 0
x = – 1 समीकरण में रखने पर,
बायां पक्ष
= x2 + 6x + 5
= (-1)² + 6 (-1) + 5
= 1 – 6 + 5 = 6 – 6 = 0 = दायां पक्ष
∴ x = – 1 दिए गए समीकरण का हल है ।
अब x = – 5 समीकरण में रखने पर,
बायां पक्ष = x² + 6x + 5
= (-5)² + 6(-5) + 5
= 25 – 30 + 5 = 30 – 30 = 0 = दायां पक्ष
∴ x = – 5 भी दिए गए समीकरण का हल है
अतः x = – 1 व x = – 5 दिए गए समीकरण के हल हैं।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरूपित कीजिए –
(i) एक आयत की एक भुजा उसकी दूसरी भुजा से 2cm बड़ी है । यदि आयत का क्षेत्रफल 195cm² हो तो आयत की भुजाएँ ज्ञात करनी हैं ।
(ii) तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ऐसे हैं कि प्रथम के वर्ग तथा अन्य दो के गुणनफल का योग 154 है । वे पूर्णांक ज्ञात करने हैं।
हल :
(i) माना आयत की पहली भुजा = x cm
तो आयत की दूसरी भुजा = (x + 2) cm
आयत का क्षेत्रफल = 195 cm²
प्रश्नानुसार,
x(x + 2) = 195
⇒ x² + 2x – 195 = 0
अतः आयत की भुजाएँ ज्ञात करने के उचित समीकरण है – x² + 2x – 195 = 0

(ii) माना तीन क्रमागत धनात्मक पूर्णांक = x,x + 1 व x + 2
प्रश्नानुसार,
(x)² + (x + 1)(x + 2) = 154
⇒ x² + x² + 3x + 2 – 154 = 0
⇒ 2x² + 3x – 152 = 0
अतः तीन पूर्णांक ज्ञात करने के लिए उचित समीकरण है – 2x² + 3x – 152 = 0

प्रश्न 4.
गुणनखंडन विधि से निम्न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए-
(i) ax² – 2abx = 0
(ii) \(\frac {1}{9}\)x² – \(\frac {2}{3}\)x + 1 = 0
हल :
(i) यहाँ पर ax² – 2abx = 0
या ax(x – 2b) = 0
⇒ ax = 0
⇒ x = \(\frac {0}{a}\)
⇒ x = 0
अतः अभीष्ट हल x = 0 x = 2b

(ii) यहाँ पर
\(\frac {1}{9}\)x² – \(\frac {2}{3}\)x + 1 = 0
या x² – 6x + 9 = 0
या x² – 3x – 3x + 9 = 0
या x (x – 3) – 3(x – 3) = 0
या (x – 3) (x – 3) = 0
⇒ (x – 3)² = 0
⇒ x – 3 = 0
⇒ x = 3
अतः अभीष्ट हल x = 3

प्रश्न 5.
गुणनखंडन विधि से निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए-
(i) 8x² – 22x – 21 = 0
(ii) abx² + (b² – ac) x – bc = 0
हल :
(i) यहाँ पर 8x² – 22x – 21 = 0
या 8x² – 28x + 6x – 21 = 0
या 4x (2x – 7) + 3 (2x – 7) = 0
या (2x – 7) (4x + 3) = 0
⇒ 2x – 7 = 0 या 4x + 3 = 0
⇒ 2x = 7 या 4x = – 3
⇒ x = \(\frac {7}{2}\) या x = \(\frac {-3}{4}\)
अतः अभीष्ट हल x = \(\frac {7}{2}\), \(\frac {-3}{4}\)

(ii) यहाँ पर abx² + (b² – ac) x – bc = 0
या abx² + xb² – acx – bc = 0
या bx (ax + b) – c (ax + b) = 0
या (bx – c) (ax + b) = 0
⇒ bx – c = 0 या ax + b = 0
⇒ bx = c या ax = – b
⇒ x = \(\frac {c}{b}\) या x = \(\frac {-b}{a}\)
अतः अभीष्ट हल x = – \(\frac {-b}{a}\), \(\frac {c}{b}\)

प्रश्न 6.
दो क्रमागत सम धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 100 है।
हल :
माना पहला सम धन पूर्णांक = 2x
तो दूसरा सम धन पूर्णांक = 2x + 2
प्रश्नानुसार, (2x)² + (2x + 2)² = 100
या 4x² + 4x² + 4 + 8x = 100
या 8x² + 8x + 4 – 100 = 0
या 8x² + 8x – 96 = 0
या x² + x – 12 = 0
या x² + 4x – 3x – 12 = 0
या x (x + 4) – 3 (x + 4) = 0
या (x + 4) (x – 3) = 0
⇒ x + 4 = 0 या x – 3 = 0
⇒ x = – 4 या x = 3
परंतु x = – 4 संभव नहीं है ।
∴ x = 3
∴ पहला समधन पूर्णांक = 2 × 3 = 6
∴ दूसरा समधन पूर्णांक = 2 × 3 + 2 = 8

प्रश्न 7.
विक्रम तीन लकड़ी की छड़ों से एक समकोण त्रिभुज बनाना चाहता है । समकोण त्रिभुज का कर्ण उसके आधार से 2 सें०मी० तथा शीर्षलंब से 4 सें०मी० बड़ा होना चाहिए। उसे लकड़ी की छड़ें कितनी लंबी लेनी चाहिएँ ?
हल :
माना समकोण त्रिभुज का कर्ण = x सें०मी०

तो आधार = (x – 2) सें०मी०
शीर्षलंब = (x – 4) सें०मी०
∴ पाइथागोरस प्रमेय द्वारा
(कर्ण)² = (आधार)² + (लंब)²
⇒ (x)² = (x – 2)² + (x – 4)²
या (x)² = (x)² – 4x + 4 + (x)² – 8x + 16
या (x)² = 2x² – 12x + 20
या 2x² – 12x + 20 – x² = 0
या (x)² – 12x + 20 = 0
या (x)² – 2x – 10x + 20 = 0
या x (x – 2 ) – 10 (x – 2) = 0
या (x – 10) (x – 2) = 0
⇒ x – 10 = 0 या x – 2 = 0
⇒ x = + 10 या x = 2
परंतु x = 2 नहीं हो सकता क्योंकि इस अवस्था में x – 2 = 2 – 2 = 0 होगा ।
∴ x = 10
तो कर्ण = 10 सें०मी०
आधार = 10 – 2 = 8 सें०मी०
शीर्षलंब = 10 – 4 = 6 सें०मी०
अतः लकड़ी की छड़ों की लंबाई = 6 सें०मी०; 8 सें०मी०; 10 सें०मी०

प्रश्न 8.
एक समकोण त्रिभुज की समकोण बनाने वाली एक भुजा दूसरी से 17 सें०मी० कम है । यदि कर्ण की लम्बाई 25 सें०मी० है, तो दोनों भुजाओं की लम्बाई ज्ञात कीजिए ।
हल :
माना समकोण त्रिभुज की एक भुजा तो समकोण त्रिभुज की दूसरी भुजा = x सें०मी०
तो समकोण त्रिभुज =(x – 17) सें०मी०
कर्ण की लम्बाई = 25 सें०मी०.
प्रश्नानुसार,
या (x)² + (x – 17)² = (25)²
या x² + x² + 289 – 34x = 625
या 2x² – 34x + 289 – 625 = 0
या 2x² – 34x – 336 = 0
या x² – 17x – 168 = 0 (दोनों ओर 2 से भाग करने पर)
या x² – 24x + 7x – 168 = 0
या (x – 24) + 7 (x – 24) = 0
(x – 24 ) (x + 7) = 0
⇒ x – 24 = 0 या x + 7 = 0
⇒ x = 24 या x = – 7 ( सम्भव नहीं है )
अतः समकोण त्रिभुज की भुजाएँ = 24 सें०मी० व (24 – 17) सें०मी०
= 24 सें०मी० व 7 सें०मी०

प्रश्न 9.
दो ऐसे क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए, जिनके वर्गों का योग 290 हो ।
हल :
माना दो क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांक = x व x + 2
प्रश्नानुसार
(x)² + (x + 2)² = 290
⇒ x² + x² + 4x + 4 – 290 = 0
⇒ 2x² + 4x – 286 = 0
⇒ x² + 2x – 143 = 0 (दोनों ओर 2 से भाग करने पर)
⇒ x² + 13x – 11x – 143 = 0
⇒ x(x + 13) – 11 (x + 13) = 0
⇒ (x + 13) (x – 11) = 0
⇒ x + 13 = 0 या x – 11 = 0
⇒ x = – 13 या x = 11
परन्तु x एक धनात्मक विषम पूर्णांक है अतः x ≠ – 13
∴ x = 11
अतः क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांक = 11 व 13

प्रश्न 10.
एक किसान 100 मी०² क्षेत्रफल वाला आयताकार सब्जी का बगीचा बनाना चाहता है। क्योंकि उसके पास घेराबंदी के लिए 30 मी० लंबाई का काँटेदार तार है, इसलिए वह आयताकार बगीचे की तीन भुजाओं की घेराबंदी इस तार से करता है तथा चौथी भुजा की घेराबंदी के लिए अपने सहन की दीवार का उपयोग करता है । बगीचे की विमाएँ (dimensions) ज्ञात कीजिए ।
हल :
माना पहली भुजा की लंबाई = x मी०
तो दूसरी भुजा की लंबाई = (30 – 2x) मी०
प्रश्नानुसार,
या x(30 – 2x) = 100
या 30x – 2x² = 100
या – 2x² + 30x – 100 = 0
या x² – 15x + 50 = 0
या x² – 10x – 5x + 50 = 0
या x (x – 10) – 5 (x – 10) = 0
या (x – 10) (x – 5) = 0
⇒ x – 10 = 0 या x – 5 = 0
⇒ x = 10 या x = 5
परंतु x = 10 संभव नहीं है क्योंकि इससे बाग वर्गाकार हो जाएगा।
∴ x = 5
∴ पहली भुजा की लंबाई = 5 मी०
तथा दूसरी भुजा की लंबाई = 30 – 2x = 30 – 2 × 5 = 20 मी०

प्रश्न 11.
ज्ञात कीजिए कि क्या द्विघात समीकरण 3x² – 5x + 2 = 0 के मूल वास्तविक हैं? यदि हैं तो उन्हें ज्ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ पर
3x² – 5x + 2 = 0
a = 3, b = – 5, c = 2
विविक्तकर b² – 4ac
= (-5)² – 4(3)(2)
= 25 – 24 = 1 > 0
अतः समीकरण के वास्तविक मूल हैं
अब द्विघाती सूत्र के उपयोग से,

प्रश्न 12.
पूर्ण वर्ग बनाकर समीकरण 5x² – 6x – 2 = 0 के मूल ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर, 5x² – 6x – 2 = 0
दोनों ओर 5 से गुणा करने पर
⇒ 25x² – 30x – 10 = 0
⇒ (5x)² – 2 × 5x × 3 + (3)² – (3)² – 10 = 0
⇒ (5x – 3)² = 19
⇒ 5x – 3 = ± \(\sqrt{19}\)
⇒ x = \(\frac{3 \pm \sqrt{19}}{5}\)
अतः दी गई समीकरण के अभीष्ट मूल = \(\frac{3+\sqrt{19}}{5}\) व \(\frac{3-\sqrt{19}}{5}\)

प्रश्न 13.
P के वे मान ज्ञात कीजिए जिनके लिए द्विघात समीकरण px² – 6x – 2 = 0 के मूल वास्तविक हों ।
हल :
दिया गया समीकरण px² – 6x – 2 = 0
यहाँ पर a = p, b = – 6, c = – 2
∴ विविक्तकर = b² – 4ac
= (-6)² – 4(p)(-2) = 36 + 8p
वास्तविक मूल के लिए D ≥ 0 होना चाहिए ।
⇒ 36 + 8p ≥ 0
या 8p ≥ – 36
या p ≥ \(\frac {-36}{8}\)
या p ≥ \(\frac {-9}{2}\)

प्रश्न 14.
समीकरण 3x² – 2x + \(\frac {1}{3}\) = 0 का विविक्तकर ज्ञात कीजिए और फिर मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि वे वास्तविक हैं, तो उन्हें ज्ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ पर 3x² – 2x + \(\frac {1}{3}\) = 0
⇒ a = 3, b = – 2, c = \(\frac {1}{3}\)
∴ विविक्तकर = b² – 4ac
= (-2)² – 4(3)(\(\frac {1}{3}\))
= 4 – 4 = 0
∴ द्विघात समीकरण के दो बराबर वास्तविक मूल हैं ।
अब द्विघाती सूत्र के उपयोग से,

प्रश्न 15.
एक नाव को, जिसकी शांत जल में चाल 15 कि०मी० / घंटा है, धारा की दिशा में 30 कि०मी० जाने तथा फिर धारा की दिशा के विपरीत लौटने में कुल 4 घंटे 30 मिनट का समय लगता है । धारा की चाल ज्ञात कीजिए ।
हल :
शांत जल में नाव की चाल = 15 कि०मी० / घंटा
माना जल की धारा की चाल = x कि०मी० / घंटा
पहली अवस्था में जब नाव जल की धारा की दिशा में जाएगी
कुल तय की गई दूरी = 30 कि०मी० / घंटा
जल की धारा की दिशा में नाव की चाल = (15 + x) कि०मी० / घंटा
जल की धारा की दिशा में 30 कि०मी० दूरी तय तरने में
लिया गया समय = \(\frac{30}{(15+x)}\) घंटा
दूसरी अवस्था में जब नाव जल की धारा के विपरीत दिशा में जाएगी
कुल तय की गई दूरी = 30 कि०मी० / घंटा
विपरीत दिशा में नाव की चाल = (15 – x) कि०मी० / घंटा
जल की धारा की विपरीत दिशा में 30 कि०मी० दूरी तय तरने में
लिया गया समय = \(\frac{30}{(15- x)}\) घंटा
प्रश्नानुसार,

प्रश्न 16.
दो स्टेशनों के बीच 168 किमी यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी, सवारी गाड़ी से 1 घंटा कम समय लेती है ( स्टेशनों पर ठहरने का समय ध्यान में न लिया जाए) यदि एक्सप्रेस गाड़ी की चाल सवारी गाड़ी से 14 किमी / घण्टा अधिक है, तो दोनों रेलगाड़ियों की औसत चाल ज्ञात कीजिए ।
हल :
माना सवारी गाड़ी की औसत चाल = x किमी / घंटा
तो एक्सप्रेस गाड़ी की औसत चाल = (x + 14) किमी / घंटा
सवारी गाड़ी द्वारा 168 किमी दूरी तय करने में लिया गया समय = \(\frac {168}{x}\) घंटे
एक्सप्रेस गाड़ी द्वारा 168 किमी दूरी तय करने में लिया गया समय = \(\frac{168}{(x+14)}\) घंटे
प्रश्नानुसार,
\(\frac{168}{x}-\frac{168}{x+14}\) = 1
⇒ 168 (x + 14) – 168x = x(x + 14) (दोनों ओर x (x + 14) से गुणा करने पर)
⇒ 168x + 2352 – 168x = x² + 14x
या x² + 14x – 2352 = 0
या x² + 56x – 42x – 2352 = 0
या x(x + 56) – 42(x + 56) = 0
⇒ (x + 56)(x – 42) = 0
⇒ x + 56 = 0 या x – 42 = 0
⇒ x = – 56 या x = 42
परंतु x = – 56 असंभव है, क्योंकि चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती,
अतः सवारी गाड़ी की औसत चाल = 42 किमी / घंटा
तथा एक्सप्रेस गाड़ी की औसत चाल = (42 + 14) = 56 किमी / घंटा

प्रश्न 17.
एक रेलगाड़ी एकसमान चाल से 180 किमी की दूरी चलती है । यदि उसकी चाल 6 किमी / घण्टा अधिक हो, तो उसे उतनी ही दूर जाने में 1 घंटा कम समय लगता है। गाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए ।
हल :
माना रेलगाड़ी की सामान्य चाल रेलगाड़ी की बढ़ी हुई चाल = x किमी / घंटा
रेलगाड़ी द्वारा चली गई कुल दूरी = x + 6 किमी / घंटा
रेलगाड़ी द्वारा चली गई कुल दूरी = 180 किमी
रेलगाड़ी द्वारा सामान्य चाल से 180 किमी दूरी तय करने में लिया गया समय = \(\frac {180}{x}\) घंटे
रेलगाड़ी द्वारा बढ़ी हुई चाल से 180 किमी दूरी तय करने में लिया गया समय = \(\frac{180}{x+6}\) घंटे
प्रश्नानुसार,
\(\frac{180}{x}-\frac{180}{x+6}\) = 1
⇒ 180(x + 6) – 180x = x(x + 6) (दोनों ओर x (x + 6) से गुणा करने पर)
⇒ 180x + 1080 – 180x = x² + 6x
⇒ x² + 6x – 1080 = 0
⇒ x² + 36x – 30x – 1080 = 0
⇒ x(x + 36) – 30(x + 36) = 0
⇒ (x + 36) (x – 30) = 0
⇒ x + 36 = 0 या x – 30 = 0
⇒ x = – 36 या x = 30
परंतु x = – 36 असंभव है, क्योंकि चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती,
अतः रेलगाड़ी की सामान्य चाल 30 किमी / घंटा

प्रश्न 18.
बहुपद p(x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5 को बहुपद g (x) = x² – x + 1 से भाग कीजिए। भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ पर,
p(x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5
g(x) = x² – x + 1
क्योंकि p(x) की घात 4 तथा g (x) की घात 2 है ।
इसलिए भागफल q(x) की घात = 4 – 2 = 2 तथा शेषफल की घात 2 से कम होगी ।
माना q(x) = ax² + bx + c (भागफल)
तथा r(x) = dx + e (भागफल)
विभाजन एल्गोरिथ्म के प्रयोग से
p(x) = g (x) × q (x) + r (x)
⇒ x⁴ – 3x² + 4x + 5 = (x² – x + 1) × (ax² + bx + c) + (dx + e)
⇒ x⁴ + 0.x³ – 3x² + 4x + 5 = ax⁴ + bx³ + cx² – ax³ – bx² – cx + ax² + bx + c + dx + e
⇒ x⁴ + 0.x³ – 3x² + 4x + 5 = ax⁴ +(b – a)x³ + (c – b + a)x² + (b – c + d)x + (c + e)
दोनों ओर x की समान घातों के गुणांकों को बराबर करने पर
a = 1 (i)
b – a = 0 ⇒ b = a = 1 (ii)
c – b + a = – 3 ⇒ c – 1 + 1 = – 3 या c = – 3 (iii)
b – c + d = 4 ⇒ 1 – (-3) + d = 4 ⇒ 4 + d = 4 या d = 4 – 4= 0 (iv)
c+ e = 5 ⇒ – 3 + e = 5 या ⇒ = 5 + 3 = 8
a, b, c, d व e के मान प्रतिस्थापित करने पर
भागफल = q(x) = ax² + bx + c
= x² + x – 3
शेषफल = r(x) = dx + e = 0.x + 8 = 8

प्रश्न 19.
पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से समीकरण 4x² + 3x + 5 = 0 के वास्तविक मूल ज्ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ पर

\(\frac {-71}{64}\) अर्थात् R.H.S. ऋणात्मक है।
(x + \(\frac {3}{8}\))², x के किसी भी वास्तविक मान के लिए ऋणात्मक नहीं हो सकता है।
अतः दिए गए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं है।

बहुविकल्पीय प्रश्न :

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से कौन-सी समीकरण द्विघात है ?
(A) x³ – 6x² + 2x – 1 = 0
(B) x² + \(\frac{1}{x^2}\) = 2(x ≠ 0)
(C) (2x + 1)(3x + 2) = 6 (x – 1)(x – 2)
(D) 16x² – 3 = (2x + 5) (5x – 3)
हल :
(D) 16x² – 3 = (2x + 5) (5x – 3)

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में से कौन-सी समीकरण द्विघात नहीं है ?
(A) (x – 2) (x + 3) + 1 = 0
(B) x + \(\frac {1}{x}\) = x² (x ≠ 0)
(C) 7x = 2x²
(D) (x + 1) (x + 3) = 0
हल :
(B) x + \(\frac {1}{x}\) = x² (x ≠ 0)

प्रश्न 3.
निम्नलिखित में से कौन-सी समीकरण द्विघात है ?
(A) 3x² – 4x + 2 = 2x² – 2x + 4
(B) x + \(\frac {3}{x}\) = 5x²
(C) x³ + 5x² + x – 5 = 0
(D) (x + 4)(x – 4) = x (x + 2) + 8
हल :
(A) 3x² – 4x + 2 = 2x² – 2x + 4

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से कौन-सी समीकरण द्विघात नहीं है ?
(A) x² – 6x – 4 = 0
(B) 6 – x (x² + 2) = 0
(C) 3x² – 4 = 0
(D) x² + \(\sqrt{2}\)x – 4 = 0
हल :
(B) 6 – x (x² + 2) = 0

प्रश्न 5.
किन्हीं दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है । इसके लिए उचित द्विघात समीकरण होगी-
(A) x² + x – 306 = 0
(B) x² – x + 306 = 0
(C) x² + x + 306 = 0
(D) – x² + x – 306 = 0
हल :
(A) x² + x – 306 = 0

प्रश्न 6.
एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528m² है । यदि क्षेत्र की लंबाई (मीटरों में) चौड़ाई x मी० के दुगुने से एक अधिक है। इसके लिए उचित द्विघात समीकरण होगी-
(A) 2x² – x – 528 = 0
(B) 2x² + x – 528 = 0
(C) 2x² + x + 528 = 0
(D) 2x² – x + 528 = 0
हल :
(B) 2x² + x – 528 = 0

प्रश्न 7.
समीकरण (x + 1)² = 2 (x – 3) कैसी समीकरण है?
(A) एकल घात
(B) त्रिघात
(C) द्विघात
(D) शून्य घात
हल :
(C) द्विघात

प्रश्न 8.
द्विघात समीकरण (x – 2)² – 25 = 0 के हल होंगे-
(A) -7, 3
(B) -7, – 3
(C) 7, – 3
(D) 7, 3
हल :
(C) 7, – 3

प्रश्न 9.
द्विघात समीकरण 5x² – 30 = 0 के …………….. हल होंगे।
(A) ± \(\sqrt{6}\)
(B) ± 6
(C) ± \(\sqrt{5}\)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A) ± \(\sqrt{6}\)

प्रश्न 10.
यदि a, b तथा c धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हों तो चर में द्विघात समीकरण का व्यापक रूप होगा-
(A) ay² + c = 0
(B) ay² + by + c = 0
(C) ay² = 0
(D) ay² + by = 0
हल :
(B) ay² + by + c = 0

प्रश्न 11.
द्विघात समीकरण 6x² – 5x – 21 = 0 के हल होंगे-
(A) \(\frac{3}{2}, \frac{-7}{3}\)
(B) \(\frac{-3}{2}, \frac{7}{3}\)
(C) \(\frac{-3}{2}, \frac{-7}{3}\)
(D) \(\frac{3}{2}, \frac{7}{3}\)
हल :
(B) \(\frac{-3}{2}, \frac{7}{3}\)

प्रश्न 12.
k का मान जिसके लिए, द्विघात समीकरण 2x² – kx + 5 = 0 के दोनों मूल बराबर हैं, वह है-
(A) 0
(B) ± 2\(\sqrt{10}\)
(C) 40
(D) 10
हल :
(B) ± 2\(\sqrt{10}\)

प्रश्न 13.
x² – 10x + 21 = 0 के मूल हैं-
(A) 7, 3
(B) – 7, – 3
(C) – 7, 3
(D) 7, – 3
हल :
(A) 7, 3

प्रश्न 14.
द्विघात समीकरण 2x² + 2\(\sqrt{3}\)x + 3 = 0 के मूलों की प्रकृति निम्न में से किस प्रकार की है ?
(A) दो भिन्न-भिन्न, वास्तविक मूल
(B) दो बराबर वास्तविक मूल
(C) कोई वास्तविक मूल नहीं
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(C) कोई वास्तविक मूल नहीं

प्रश्न 15.
द्विघात समीकरण y² – 8y + 16 = 0 का अभीष्ट हल होगा-
(A) y = 4
(B) y = – 4
(C) y = 2
(D) y = – 2
हल :
(A) y = 4

प्रश्न 16.
द्विघात समीकरण x² – 4qx + 4q² = 0 का अभीष्ट हल होगा –
(A) – 2q
(B) 2q
(C) q
(D) – 9
हल :
(B) 2q

प्रश्न 17.
द्विघात समीकरण 25x² – 30x + 9 = 0 का अभीष्ट हल होगा-
(A) \(\frac {3}{5}\)
(B) \(\frac {-3}{5}\)
(C) \(\frac {5}{3}\)
(D) \(\frac {-5}{3}\)
हल :
(A) \(\frac {3}{5}\)

प्रश्न 18.
द्विघात समीकरण 2x² – 5x + 3 = 0 के मूल होंगे-
(A) – 1 व \(\frac {-3}{2}\)
(B) – 1 व \(\frac {3}{2}\)
(C) 1 व \(\frac {3}{2}\)
(D) 1 व \(\frac {-3}{2}\)
हल :
(C) 1 व \(\frac {3}{2}\)

प्रश्न 19.
द्विघात समीकरण 3x² – 2x – 1 = 0 के दो मूलों का गुणनफल होगा-
(A) \(\frac {-1}{3}\)
(B) \(\frac {1}{3}\)
(C) \(\frac {2}{3}\)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A) \(\frac {-1}{3}\)

प्रश्न 20.
द्विघात समीकरण x² – 3x – 10 = 0 के मूल होंगे-
(A) – 2 व 5
(B) 2 व – 5
(C) – 2 व – 5
(D) 2 व 5
हल :
(A) – 2 व 5

प्रश्न 21.
द्विघात समीकरण x² + 6x + 5 = 0 के दो मूलों का गुणनफल निम्नलिखित में से ज्ञात कीजिए-
(A) – 5
(B) 5
(C) \(\frac {1}{5}\)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A) – 5

प्रश्न 22.
द्विघात समीकरण 3x² + 2x – 5 = 0 के दो मूलों का गुणनफल होगा-
(A) \(\frac {-5}{3}\)
(B) \(\frac {5}{3}\)
(C) \(\frac {3}{5}\)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A) \(\frac {-5}{3}\)

प्रश्न 23.
द्विघात समीकरण 8x² – 22x – 21 = 0 के हल होंगे-
(A) \(\frac{7}{2}, \frac{3}{4}\)
(B) \(\frac{-7}{2}, \frac{3}{4}\)
(C) \(\frac{7}{2}, \frac{-3}{4}\)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(C) \(\frac{7}{2}, \frac{-3}{4}\)

प्रश्न 24.
k का मान जिसके लिए, द्विघांत समीकरण 3x² – kx + 5 = 0 के दोनों मूल बराबर हैं, वह है-
(A) 0
(B) 60
(C) ± 2\(\sqrt{15}\)
(D) 15
हल :
(C) ± 2\(\sqrt{15}\)

प्रश्न 25.
x² – 5x + 6 = 0 के मूल हैं-
(A) 5, – 6
(B) 2, 3
(C) 6, – 1
(D) -2, – 3
हल :
(B) 2, 3

प्रश्न 26.
द्विघात समीकरण x² + 4x + 1 = 0 का विविक्तकर क्या होगा ?
(A) 12
(B) 14
(C) 16
(D) -12
हल :
(A) 12

प्रश्न 27.
द्विघात समीकरण 4x² – ax + 2 = 0 का विविक्तकर ……………………. होगा ।
(A) a² – 32
(B) a² + 32.
(C) a² = 32
(D) a² = – 32
हल :
(A) a² – 32

प्रश्न 28.
\(\sqrt{3}\)x² – 2\(\sqrt{2}\)x – 2\(\sqrt{3}\) = 0 का विविक्तकर होगा-
(A) 8
(B) 16
(C) 32
(D) 24
हल :
(C) 32

प्रश्न 29.
निम्नलिखित में से किस समीकरण के मूल वास्तविक हैं ?
(A) 2x² + x – 1 = 0
(B) 3x² + 2x – 1 = 0
(C) x² + 4x + 4 = 0
(D) 2x² + 5x + 5 = 0
हल :
(D) 2x² + 5x + 5 = 0

प्रश्न 30.
किस भारतीय गणितज्ञ ने सर्वप्रथम व्यापक द्विघात समीकरण के मूलों के लिए सूत्र प्रतिपादित किया ?
(A) आर्यभट्ट
(B) ब्रह्मगुप्त
(C) महावीर
(D) श्री धराचार्य
हल :
(D) श्री धराचार्य

प्रश्न 31.
निम्नलिखित में से किस समीकरण के मूल वास्तविक हैं ?
(A) x² + x + 1 = 0
(B) x² + 4x + 4 = 0
(C) 2x² + 5x + 5 = 0
(D) उपरोक्त सभी के
हल :
(B) x² + 4x + 4 = 0

प्रश्न 32.
k के किस मान के लिए द्विघात समीकरण kx² + 4x + 1 = 0 के दो मूल बराबर हैं-
(A) – 4
(B) 4
(C) 16
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(B) 4

प्रश्न 33.
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 हो, तो वे पूर्णांक हैं-
(A) 18 तथा 19
(B) 12 तथा 13
(C) 16 तथा 17
(D) 17 तथा 18
हल :
(D) 17 तथा 18

प्रश्न 34.
p के किस मान के लिए द्विघात समीकरण 3x² – 5x + p = 0 के मूल बराबर होंगे ?
(A) p = \(\frac {25}{12}\)
(B) p = \(\frac {-25}{12}\)
(C) p = \(\frac {12}{25}\)
(D) p = \(\frac {-12}{25}\)
हल :
(A) p = \(\frac {25}{12}\)

प्रश्न 35.
द्विघात समीकरण 4x² + kx + 9 = 0 में k के किस मान के लिए उसके दो मूल बराबर है-
(A) ± 4
(B) ± 6
(C) ± 12
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(C) ± 12

प्रश्न 36.
p के किस मान के लिए द्विघात समीकरण 2x² + px + 18 = 0 के मूल वास्तविक होंगे ?
(A) p ≥ 13
(B) p ≤ 18
(C) p ≥ 18
(D) p ≥ 12
हल :
(D) p ≥ 12

प्रश्न 37.
द्विघात समीकरण जिसके मूलों का योग 5 तथा गुणनफल 6 है होगी-
(A) x² – 5x + 6 = 0
(B) x² – 5x – 6 = 0
(C) x² + 5x + 6 = 0
(D) x² + 5x – 6 = 0
हल :
(A) x² – 5x + 6 = 0

प्रश्न 38.
एक हॉल की लंबाई उसकी चौड़ाई से 5 मी० अधिक है । यदि हॉल के फर्श का क्षेत्रफल 84 वर्ग मी० हो
तो हॉल की लंबाई होगी-
(A) 12 मी०
(B) 7 मी०
(C) 14 मी०
(D) 6 मी०
हल :
(A) 12 मी०

प्रश्न 39.
12 को दो ऐसे भागों में विभक्त कीजिए जिनके वर्गों का योग 74 है-
(A) 8, 4
(B) 7, 5
(C) 9, 3
(D) 10, 2
हल :
(B) 7, 5

प्रश्न 40.
19 को दो ऐसे भागों में विभक्त करें जिनके वर्गों का योग 193 है
(A) 14, 5
(B) 12, 7
(C) 13, 6
(D) 11, 8
हल :
(B) 12, 7

प्रश्न 41.
द्विघात समीकरण x² – kx + 9 = 0 में k के किस मान के लिए उसके दो मूल बराबर हैं-
(A) ± 5
(C) ± 4
(B) ± 6
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(B) ± 6

प्रश्न 42.
निम्नलिखित में से क्रमागत सम धनात्मक पूर्णांक जिनके वर्गों का योग 100 है-
(A) 4, 6
(B) 5, 7
(C) 6, 8
(D) 8, 10
हल :
(C) 6, 8

प्रश्न 43.
दो क्रमागत विषम प्राकृत संख्याएँ जिनके वर्गों का योग 202 हो तो इन संख्याओं का योग होगा-
(A) 22
(B) 9
(C) 11
(D) 20
हल :
(D) 20

प्रश्न 44.
3 से आरंभ करके n क्रमागत विषम प्राकृत संख्याओं के योग का सूत्र S = n (n + 2) होता है । यदि S = 168 हो तो n का मान होगा-
(A) 16
(B) 14
(C) 13
(D) 12
हल :
(D) 12

प्रश्न 45.
प्रथम n क्रमागत सम प्राकृत संख्याओं का योग S निम्नलिखित संबंध द्वारा दर्शाया जाता है- S = n (n + 1) यदि योग 420 हो, तो n का मान-
(A) 18
(B) 19
(C) 20
(D) 21
हल :
(C) 20

प्रश्न 46.
यदि द्विघात समीकरण 5x² – 8x + 4k = 0 के मूल समान हों, तो k का मान होगा-
(A) \(\frac {5}{4}\)
(B) \(\frac {1}{2}\)
(C) \(\frac {4}{5}\)
(D) 2
हल :
(C) \(\frac {4}{5}\)

प्रश्न 47.
x² – 7x + 12 = 0 के मूल हैं-
(A) -3, -4
(B) 3, 4
(C) 6, 2
(D) -6, 2
हल :
(B) 3, 4

प्रश्न 48.
द्विघात समीकरण 2x² – 2\(\sqrt{3}\)x – 3 = 0 के मूलों की प्रकृति निम्न में से किस प्रकार की है ?
(A) दो भिन्न-भिन्न, वास्तविक मूल
(B) दो बराबर वास्तविक मूल
(C) कोई वास्तविक मूल नहीं
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A) दो भिन्न-भिन्न, वास्तविक मूल

प्रश्न 49.
समीकरण 3x² – 2x + \(\frac {1}{3}\) = 0 के मूल हैं-
(A) 3 तथा 2
(B) \(\frac {1}{3}\) तथा \(\frac {1}{3}\)
(C) \(\frac {1}{3}\) तथा \(\frac {1}{2}\)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(B) \(\frac {1}{3}\) तथा \(\frac {1}{3}\)

प्रश्न 50.
द्विघात समीकरण 2x² – 2\(\sqrt{2}\)x + 1 = 0 के मूल होंगे-
(A) वास्तविक तथा भिन्न
(B) वास्तविक तथा समान
(C) वास्तविक तथा शून्य
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(B) वास्तविक तथा समान