HBSE 10th Class Maths Important Questions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Important Questions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Important Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Important Questions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति

परीक्षोपयोगी अन्य महत्त्वपूर्ण प्रश्न :

प्रश्न 1.
यदि cos θ = \(\frac {8}{17}\) हो तो कोण θ के अन्य पाँच त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात करो ।
हल :
माना ΔABC में कोण B समकोण है तथा ∠A = θ तो

प्रश्न 2.
यदि ∠B और ∠Q ऐसे न्यून कोण हों जिससे कि sin B = sin Q, तो सिद्ध कीजिए कि ∠B = ∠Q
हल :
माना दो समकोण त्रिभुज ABC और PQR जहाँ sin B = sin Q

समीकरण (i) और (ii) से हमें प्राप्त होता है,
\(\frac{A C}{P R}=\frac{A B}{P Q}=\frac{B C}{Q R}\)
⇒ ΔACB ~ ΔPRQ
अतः ∠B = ∠Q

प्रश्न 3.
यदि sec α = \(\frac {5}{4}\) हो तो \(\frac{1-\tan \alpha}{1+\tan \alpha}\) का मान ज्ञात कीजिए ।
हल :

माना ΔABC में कोण ∠B समकोण है तथा ∠A = α तो
sec α = \(\frac{5}{4}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}\)
⇒ AC = 5 इकाई
AB = 4 इकाई

प्रश्न 4.
यदि sin (A + B) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) और sin (A – B) = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), 0° < A + B ≤ 90°, A > B, तो A और B का मान ज्ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ पर,
sin (A + B) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
⇒ sin (A + B) = sin 60°
⇒ A + B = 60° ……………..(i)
तथा sin (A – B) = \(\frac {1}{2}\)
⇒ sin (A – B) = sin 30°
⇒ A – B = 30° ……………..(ii)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर,
2A = 90° या A = \(\frac {90°}{2}\) = 45°
A का मान समीकरण (i) में रखने पर,
45° + B = 60°
⇒ B = 60° – 45° = 15°
अतः A = 45° व B = 15°

प्रश्न 5.
निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए-
(i) \(\frac{\tan 65^{\circ}}{\cot 25^{\circ}}\)
(ii) \(\frac{\cot 50^{\circ}}{\tan 40^{\circ}}\)
हल :

प्रश्न 6.

हल :

प्रश्न 7.
cot 85° + cos 75° को 0° और 17° के बीच के कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों के पदों में व्यक्त कीजिए ।
हल :
यहाँ पर,
cot 85° + cos 75°
= cot (90° – 5°) + cos(90° – 15°)
= tan 5° + sin 15°

प्रश्न 8.
मान निकालिए-
(i) sin²20° + sin2 70°
(ii) \(\frac{\cos ^2 20^{\circ}+\cos ^2 70^{\circ}}{\sin ^2 59^{\circ}+\sin ^2 31^{\circ}}\)
हल :
(i) sin² 20° + sin² 70° = sin² 20° + [sin (90° – 20°)]²
= sin² 20° + cos² 20°
= 1

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए :

हल :

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए :
\(\frac{\sin \theta-\cos \theta+1}{\sin \theta+\cos \theta-1}=\frac{1}{\sec \theta-\tan \theta}\)
हल :
यहाँ पर,

प्रश्न 11.

हल :
यहाँ पर,

प्रश्न 12.
7 sec² B – 7tan² B का मान ज्ञात कीजिए
हल :
यहाँ पर, 7 sec² B – 7 tan² B
= 7 (1 + tan²B) – 7 tan² B [∵ 1 + tan²θ = sec²θ]
= 7 + 7 tan² B – 7 tan² B
= 7

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए कि sin⁶θ + cos⁶θ + 3sin²θ cos²θ = 1
हल :
यहाँ पर,
बायाँ पक्ष = sin⁶θ + cos⁶θ + 3sin²θ cos²θ
= (sin²θ)³ + (cos²θ)³ + 3 sin²θ cos²θ (sin²θ + cos²θ) [∵ sin²θ + cos²θ = 1]
= (sin²θ + cos²θ)³ [∵ a³ + b³ + 3ab (a + b) = (a + b)³]
= (1)³
= 1 = दायाँ पक्ष

प्रश्न 14.
यदि a cosθ + b sinθ = m तथा a sinθ – b cosθ = n, है, तो A का मान ज्ञात कीजिए । a² + b² = m² + n²
हल :
यहाँ पर, m = a cosθ + b sinθ
और n = a sin θ – b cos θ
दायाँ पक्ष = m² + n²
= (a cosθ + b sinθ)² + (a sinθ – b cosθ)²
= a² cos²θ + b² sin²θ + 2ab sinθ cosθ + a² sin² θ + b² cos² θ – 2 ab sinθ cosθ
= a² cos²θ + a² sin²θ + b² sin² θ + b² cos² θ
= a² (cos² θ + sin² θ) + b² (sin² θ + cos² θ)
= a² + b² [∵ sin² θ + cos²θ = 1]
= बायाँ पक्ष

प्रश्न 15.
θ का मान ज्ञात कीजिए, यदि sin (θ + 36°) = cos θ, जहाँ θ + 36°, एक न्यून कोण है।
हल :
यहाँ पर दिया गया है।
या sin (θ + 36°) = cos θ
⇒ cos [90° – (θ + 36°)] = cos θ
या 90° – (θ + 36°) = θ
या 90° – θ – 36° = θ
या 54° = θ + θ
या 2θ = 54°
या θ = 27°

प्रश्न 16.
सिद्ध कीजिए कि-
sin⁴θ – cos⁴θ = sin²θ – cos²θ = 2sin²θ – 1 = 1 – 2cos²θ
हल :
यहाँ पर
बायाँ पक्ष
= sin⁴θ – cos⁴θ
= (sin²θ)² – (cos²θ)²
= (sin²θ – cos²θ) (sin²θ + cos²θ)
= (sin²θ – cos²θ) × 1
= sin²θ – cos²θ
पुन: sin²θ – cos²θ = sin²θ -[1 – sin²θ]
= sin²θ – 1 + sin²θ
= 2sin²θ – 1
इसी प्रकार sin²θ – cos²θ = (1 – cos²θ) – cos²θ
= 1- cos²θ – cos²θ
= 1 – 2cos²θ = बायाँ पक्ष

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए कि tan 6° tan 12°tan 78° tan 84° = 1
हल :
यहाँ पर
बायाँ पक्ष = tan 6° tan 12° tan 78° tan 84°
= tan 6° tan 12° tan (90° – 12°) tan (90° – 6°)
= tan 6° tan 12° cot 12° cot 6° [∵ tan (90° – θ) = cot θ]
= tan 6° tan 12° \(\frac{1}{\tan 12^{\circ}} \cdot \frac{1}{\tan 6^{\circ}}\)
[∵ cot θ = \(\frac {1}{tan θ}\)]
= 1 = दायाँ पक्ष

प्रश्न 18.
sin² 6° + sin² 12° + sin² 78° + sin² 84° = 2
हल :
यहाँ पर,
बायाँ पक्ष = sin² 6° + sin² 12° + sin² 78° + sin² 84°
= sin² 6° + sin² 12° + [sin (90° – 12°)]² + [sin (90° – 6°)]²
= sin² 6° + sin² 12° + cos² 12° + cos² 6° [∵ sin (90° – θ) = cos θ]
= (sin² 6° + cos² 6°) + (sin² 12° + cos² 12°)
= 1 + 1 [∵ sin² θ + cos² θ = 1]
= 2 = दायाँ पक्ष

प्रश्न 19.
सिद्ध कीजिए कि : \(\sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}}+\sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}}\) = 2cosec θ
हल :
यहाँ पर

प्रश्न 20.
यदि cos 4A = sin (A – 20°), जहाँ 4A एक न्यूनकोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ पर,
cos 4A = sin (A – 20°)
⇒ sin(90° – 4A) = sin (A – 20°)
⇒ 90° – 4A = A – 20°
या 90° + 20° = A + 4A
या 5A = 110°
या A = \(\frac {110°}{5}\) = 22°

प्रश्न 21.
सिद्ध कीजिए कि cos 35°. cosec 55° = 1
हल :
यहाँ पर,
बायाँ पक्ष = cos 35°. cosec 55°
= cos 35°. cosec (90° – 35°)
= cos 35°. sec 35° [∵ cosec (90°- θ) = sec θ]
= cos 35°. \(\frac{1}{\cos 35^{\circ}}\) [∵ sec θ = \(\frac {1}{cos θ}\)]
= 1 = दायाँ पक्ष

प्रश्न 22.
सिद्ध कीजिए कि : \(\sqrt{\frac{1+\sin \theta}{1-\sin \theta}}+\sqrt{\frac{1-\sin \theta}{1+\sin \theta}}\) = 2sec θ
हल :
यहाँ पर,

प्रश्न 23.
यदि A = 30°, तो बताइए कि sin 3A = 3 sin A – 4 sin³ A
हल :
यहाँ पर,
A = 30° के लिए
बायाँ पक्ष = sin 3A = sin 90° = 1 …………..(i)
दायाँ पक्ष = 3 sin A – 4 sin³ A
= 3 sin 30° – 4 sin³ 30°
= 3 (\(\frac {1}{2}\)) – 4 (\(\frac {1}{2}\))³
= \(\frac{3}{2}-4\left(\frac{1}{8}\right)=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=\frac{3-1}{2}=\frac{2}{2}\)
= 1 ……………..(ii)
अतः समीकरण (i) और (ii) से स्पष्ट है कि बायाँ पक्ष =.दायाँ पक्ष

प्रश्न 24.
यदि sin (A – B) = \(\frac {1}{2}\), cos (A + B) = \(\frac {1}{2}\), 0° < A + B ≤ 90°, A > B, तो A और B ज्ञात कीजिए ।
हल :
यहाँ पर,
⇒ sin (A – B) = \(\frac {1}{2}\)
⇒ sin (A – B) = sin 30°
A – B = 30° ………………(i)
तथा cos (A + B) = \(\frac {1}{2}\)
⇒ cos (A + B) = cos 60°
⇒ A + B = 60° …………….(ii)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर,
2A = 90° या A = \(\frac {90°}{2}\) = 45°
A का मान समीकरण (i) में रखने पर,
45° – B = 30°
⇒ B = 45° – 30° = 15°
अतः A = 45° व B = 15°

प्रश्न 25.
ΔOPQ में, जिसका कोण P समकोण है, OP = 7 cm और OQ – PQ = 1 cm | sin Q और cos Q के मान ज्ञात कीजिए ।
हल :

समकोण ΔOPQ से हमें प्राप्त होता है।
OQ² = OP² + PQ²
⇒ (1 + PQ)² = OP² + PQ² [∵ OQ – PQ = 1 cm]
⇒ 1 + PQ² + 2PQ = OP² + PQ²
⇒ 1 + 2PQ = (7)²
⇒ 2PQ = 49 – 1
⇒ PQ = \(\frac {48}{2}\) = 24 cm और OQ = 1 + PQ = 1 + 24 = 25 cm
अत: sin Q = \(\frac {7}{25}\) और cos Q = \(\frac {24}{25}\)

बहुविकल्पीय प्रश्न :

प्रश्न 1.
संलग्न समकोण त्रिभुज POQ में sin θ का मान होगा-

(A) \(\frac {PQ}{OP}\)
(B) \(\frac {OQ}{OP}\)
(C) \(\frac {PQ}{OQ}\)
(D) \(\frac {OP}{PQ}\)
हल :
(A) \(\frac {PQ}{OP}\)

प्रश्न 2.
प्रश्न 1 की आकृति में cos θ का मान होगा-
(A) \(\frac {PQ}{OP}\)
(B) \(\frac {OQ}{OP}\)
(C) \(\frac {PQ}{OQ}\)
(D) \(\frac {OP}{OQ}\)
हल :
(A) \(\frac {OQ}{OP}\)

प्रश्न 3.
\(\frac{\sin 20^{\circ}}{\cos 70^{\circ}}\) का मान होगा :
(A) 2 sin 20°
(B) 0
(C) – 1
(D) 1
हल :
(D) 1

प्रश्न 4.
sin²30° + cos²30° का मान है :
(A) 0
(B) 1
(C) -1
(D) 2 cos²30°
हल :
(B) 1

प्रश्न 5.
यदि cos θ = \(\frac {12}{13}\) हो, तो sin θ का मान है :
(A) \(\frac {13}{12}\)
(B) \(\frac {12}{5}\)
(C) \(\frac {5}{13}\)
(D) 1
हल :
(C) \(\frac {5}{13}\)

प्रश्न 6.
रिक्त स्थान भरें : cosec²θ = ……………….. + cot²θ.
(A) 1
(B) sin²θ
(C) tan²θ
(D) -1
हल :
(A) 1

प्रश्न 7.
\(\frac{2 \tan 45^{\circ}}{1+\tan ^2 45^{\circ}}\) का मान है :
(A) cos 90°
(B) tan 90°
(C) sin 90°
(D) sin 45°
हल :
(C) sin 90°

प्रश्न 8.
यदि tan A = \(\frac {5}{12}\), तो cos A का मान है :
(A) \(\frac {5}{13}\)
(B) \(\frac {12}{5}\)
(C) \(\frac {13}{5}\)
(D) \(\frac {12}{13}\)
हल :
(D) \(\frac {12}{13}\)

प्रश्न 9.
यदि cot A = \(\frac {7}{24}\), तो sin A का मान है :
(A) \(\frac {24}{7}\)
(B) \(\frac {24}{25}\)
(C) \(\frac {25}{24}\)
(D) \(\frac {7}{25}\)
हल :
(B) \(\frac {24}{25}\)

प्रश्न 10.
\(\frac{2 \tan 60^{\circ}}{1+\tan ^2 60^{\circ}}\) का मान है :
(A) sin 60°
(B) cos 60°
(C) tan 30°
(D) sin 30°
हल :
(A) sin 60°

प्रश्न 11.
\(\frac {1}{tan θ}\) को कहा जाता है-
(A) cosec θ
(B) sec θ
(C) cot θ
(D) sin θ
हल :
(C) cot θ

प्रश्न 12.
cos² θ + sin² θ का मान सदैव होता है-
(A) शून्य
(B) 1
(C) 2
(D) 3
हल :
(B) 1

प्रश्न 13.
यदि cos A = \(\frac {7}{25}\) हो, तो tan A का मान होगा :
(A) \(\frac {25}{7}\)
(B) \(\frac {24}{7}\)
(C) \(\frac {24}{25}\)
(D) \(\frac {25}{24}\)
हल :
(B) \(\frac {24}{7}\)

प्रश्न 14.

(A) 0
(B) -1
(C) 1
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(C) 1

प्रश्न 15.
व्यंजक sin θ (cosec θ – sin θ) का सरल रूप होगा-
(A) sin² θ
(B) tan² θ
(C) cot² θ
(D) cos² θ
हल :
(D) cos² θ

प्रश्न 16.
tan⁴ A + tan² A को sec A के रूप में लिखा जा सकता है-
(A) sec⁴ A – sec² A
(B) sec⁴ A – sec² A
(C) sec⁴ A . sec² A
(D) sec⁴ A – sec⁴ A
हल :
(A) sec⁴ A – sec² A

प्रश्न 17.
3cot²A – 3cosec²A का मान होगा-
(A) शून्य
(B) -6
(C) -3
(D) 3
हल :
(C) – 3

प्रश्न 18.
cosec (90° – θ) का मान है :
(A) sec θ
(B) sin θ
(C) 1
(D) 0
हल :
(A) sec θ

प्रश्न 19.
\(\frac{1-\tan ^2 30^{\circ}}{1+\tan ^2 30^{\circ}}\) का मान है :
(A) cos 60°
(B) tan 60°
(C) sin 60°
(D) tan 30°
हल :
(A) cos 60°

प्रश्न 20.
यदि tan θ = \(\frac {15}{8}\) हो, तो sin θ का मान होगा :
(A) \(\frac {15}{17}\)
(B) \(\frac {17}{8}\)
(C) \(\frac {8}{15}\)
(D) 1
हल :
(A) \(\frac {15}{17}\)

प्रश्न 21.
रिक्त स्थान भरें : sec²θ – tan²θ = …………………
(A) 1
(B) -1
(C) 0
(D) 2sec²θ
हल :
(A) 1

प्रश्न 22.
(1 + sin θ) (1 – sin θ) का सरल रूप होगा-
(A) sin² θ
(B) cos² θ
(C) tan² θ
(D) sec² θ
हल :
(B) cos² θ

प्रश्न 23.
(1 + cos θ) (1 – cosθ) का सरल रूप होगा-
(A) sin² θ
(B) cos² θ
(C) tan² θ
(D) cosec² θ
हल :
(A) sin² θ

प्रश्न 24.
3 sin 30° – 4 sin³ 30° का मान है :
(A) sin 60°
(B) sin 90°
(C) 0
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(B) sin 90°

प्रश्न 25.
tan 45° – sin 30° का मान होगा :
(A) 1
(B) – 1
(C) 0
(D) \(\frac {1}{2}\)
हल :
(D) \(\frac {1}{2}\)

प्रश्न 26.
sin A . cosec A बराबर है :
(A) 2 sec A
(B) cos² A
(C) 1
(D) 0
हल :
(C) 1

प्रश्न 27.
निम्नलिखित में से कौन-सा कथन असत्य है ?
(A) tan (90° – θ) = cot θ
(B) cot (90° – θ) = tan θ
(C) sec (90° – θ) = cosec θ
(D) cosec (90° – θ) = sin θ
हल :
(D) cosec (90° – θ) = sin θ

प्रश्न 28.
निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है ?
(A) cosec (90° – θ) = sec θ
(B) cosec (90° – θ) = sec θ
(C) cosec (90° – θ) = cot θ
(D) cosec (90° – θ) = tan θ
हल :
(A) cosec (90° – θ) = sec θ

प्रश्न 29.
यदि cosec θ = 2 हो तो tan θ का मान होगा :
(A) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
(B) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
(C) \(\frac {1}{2}\)
(D) \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
हल :
(B) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

प्रश्न 30.
sin 39° – cos 51° का मान होगा :
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) -1
हल :
(A) 0

प्रश्न 31.
यदि 2 sin θ = \(\sqrt{3}\) हो तो θ का मान होगा-
(A) 60°
(B) 45°
(C) 30°
(D) 0°
हल :
(A) 60°

प्रश्न 32.
यदि sin A = \(\frac {5}{13}\), तो sec A का मान है :
(A) \(\frac {13}{5}\)
(B) \(\frac {13}{12}\)
(C) \(\frac {12}{13}\)
(D) \(\frac {12}{5}\)
हल :
(B) \(\frac {13}{12}\)

प्रश्न 33.
cosec 25° – sec 65° का मान होगा-
(A) -1
(B) 0
(C) 1
(D) 2
हल :
(B) 0

प्रश्न 34.
\(\frac{\tan 64^{\circ}}{\cot 26^{\circ}}\) का मान होगा :
(A) 0
(B) 1
(C) – 1
(D) 2 tan 64°
हल :
(B) 1

प्रश्न 35.
sin 60°. cos 30° बराबर है :
(A) 1
(B) \(\frac{2 \sqrt{3}}{4}\)
(C) \(\frac {4}{3}\)
(D) \(\frac {3}{4}\)
हल :
(D) \(\frac {3}{4}\)

प्रश्न 36.
cos 45° – sin 45° का मान होगा-
(A) -1
(B) 0
(C) 1
(D) 2
हल :
(B) 0

प्रश्न 37.
6sec²θ – 6tan²θ बराबर है :
(A) 1
(B) – 6
(C) 6
(D) 0
हल :
(C) 6

प्रश्न 38.
\(\frac{\cos 20^{\circ}}{\sin 70^{\circ}}+\frac{\cos \theta}{\sin \left(90^{\circ}-\theta\right)}\) का मान होगा-
(A) 1
(B) – 1
(C) 2
(D) – 2
हल :
(C) 2

प्रश्न 39.
sin θ. cos (90° – θ) + cos θ. sin (90° – θ) का मान होगा-
(A) – 1
(B) 1
(C) 2
(D) -2
हल :
(B) 1

प्रश्न 40.
cos θ . cos (90° – θ) – sin θ . sin (90° – θ) का मान होगा-
(A) – 1
(B) 1
(C) 2
(D) शून्य
हल :
(D) शून्य

प्रश्न 41.
ΔABC में, जिसका कोण B समकोण है AB = 24 cm और BC = 7 cm है। cos A का मान है-
(A) \(\frac {7}{25}\)
(B) \(\frac {24}{25}\)
(C) \(\frac {7}{24}\)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(B) \(\frac {24}{25}\)

प्रश्न 42.
sin 81° + tan 71° को 0° और 45° के कोणों के बीच में निरूपित किया जा सकता है-
(A) sin 9° + tan 19°
(B) cos 9° + cot 19°
(C) tan 9° + cot 19°
(D) sec 9° + cosec 19°
हल :
(B) cos 9° + cot 19°

प्रश्न 43.
ΔABC में, जिसका कोणं B समकोण है, AB = 24 cm और BC = 7 cm है। cos C का मान है-
(A) \(\frac {7}{25}\)
(B) \(\frac {7}{24}\)
(C) \(\frac {24}{25}\)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A) \(\frac {7}{25}\)

प्रश्न 44.
रिक्त स्थान भरें : tan²θ = ………………….. -1
(A) cot²θ
(B) sec²θ
(C) cosec²θ
(D) cos²θ
हल :
(B) sec²θ

प्रश्न 45.
\(\frac{\cos ^2 20^{\circ}+\cos ^2 70^{\circ}}{\sin ^2 59^{\circ}+\sin ^2 31^{\circ}}\) का मान होगा-
(A) 2
(B) -2
(C) 1
(D) – 1
हल :
(C) 1

प्रश्न 46.
ΔABC में, जिसका कोण B समकोण है, AB = 24 cm और BC = 7 cm है । sin C का मान है-
(A) \(\frac {7}{25}\)
(B) \(\frac {7}{24}\)
(C) \(\frac {24}{25}\)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A) \(\frac {7}{25}\)

प्रश्न 47.
ΔABC में, जिसका कोण B समकोण है, AB = 24 cm और BC = 7 cm है। sin C का मान है-
(A) \(\frac {24}{25}\)
(B) \(\frac {7}{25}\)
(C) \(\frac {7}{24}\)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल :
(A) \(\frac {24}{25}\)

प्रश्न 48.
\(\frac{\cos \left(90^{\circ}-\theta\right)}{\sin \theta}+\frac{\sin \theta}{\cos \left(90^{\circ}-\theta\right)}\)
का मान होगा-
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
हल :
(B) 2

प्रश्न 49.
sin 60° – cos 30° का मान होगा-
(A) -1
(B) 1
(C) 0
(D) 2
हल :
(C) 0

प्रश्न 50.
cos θ × sec θ बराबर है :
(A) -1
(B) 1
(C) 0
(D) 2 cos
हल :
(B) 1