HBSE 10th Class Maths Notes Chapter 3 दो चरों वाले रखिक समीकरण का युग्म

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Notes Chapter 3 दो चरों वाले रखिक समीकरण का युग्म Notes.

Haryana Board 10th Class Maths Notes Chapter 3 दो चरों वाले रखिक समीकरण का युग्म

→ रैखिक समीकरण अज्ञात राशियों (चर राशियों) तथा ज्ञात राशियों (अथर राशियों) के समला संबंध को समीकरण कहते हैं। यदि घर राशि की घात एक हो तो उसे रैखिक समीकरण कहते हैं।

→ एक चर वाला रैखिक समीकरण-एक चर बाले रैखिक समीकरण का रूप ax + b = 0 या ax = c जैसा होता है, जहाँ x एक चर है तथा a, b, c अचर राशियों अथवा वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0 है। समीकरण ax + b = 0 का हल x = \(-\frac{b}{a}\) होता है। इसे हम इस प्रकार भी कह सकते हैं कि \(-\frac{b}{a}\) समीकरण ax + b = 0 का मूल (Root) होता है।

→ दो घरों वाले रैखिक समीकरण- दो चरों वाले रैखिक समीकरण सामान्यतः ax + by + c = 0 अथवा ax + by = d के प्रकार के होते हैं, जहाँ x और y चर हैं तथा a, b, c और d अचर अथवा वास्तविक संख्याएँ हैं, जहाँ a ≠ 0, b ≠ 0 है।

→ दो घरों वाले रेखिक समीकरण का हल- x और y के उस मान युग्म को, जो समीकरण ax + by = c को संतुष्ट करता है, समीकरण का हल कहा जाता है। उदाहरणार्थ समीकरण x + 2y = 6 का एक हल x = 4, y = 1 है।

→ दो चरों x और y में रैखिक समीकरण युग्म का व्यापक रूप
a₁x + b₁y + c₁ = 0
और a₂x + b₂y + c₂ = 0 है
जहाँ a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₁ सभी वास्तविक संख्याएँ हैं और \(a_1^2+b_1^2 \neq 0\), \(a_2^2+b_2^2 \neq 0\) है।

→ एक रैखिक समीकरण युग्म को ग्राफीय रूप में निरूपित किया जा सकता है और हल किया जा सकता है।

• ग्राफीय विधि द्वारा
• बीजगणितीय विधि द्वारा

→ ग्राफीय विधि द्वारा दो चरों वाले रैखिक समीकरण का हल-इन समीकरणों का आलेख एक सरल रेखा होता है। इस सरल रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु के निर्देश अंक दिए हुए समीकरण को संतुष्ट करेंगे।

• प्रत्येक रैखिक समीकरण का ग्राफ खींचने के लिए दिए हए समीकरण के कोई दो या तीन हल ज्ञात करने की जरूरत होती है तथा ग्राफ खींचते समय x-अक्ष और y-अक्ष के साथ पैमाना लिखना जरूरी है।
• दो चरों वाले रैखिक समीकरण का ग्राफ क्रमशः l और m रेखाएँ होती हैं।
• यदि l तथा m प्रतिच्छेद करें तो समीकरण युग्म का अद्वितीय हल होगा।
• यदि l तथा m रेखाएँ संपाती हों तो निकाय के अनेक हल होंगे।
• यदि l तथा m रेखाएँ समांतर हों तो निकाय का कोई हल नहीं होगा।

→ समीकरण युग्मों a₁x + b₁y = c₁ तथा a₂x + b₂y = c₂ के हल के लिए-
(A) यदि \(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\) तो समीकरण-युग्म का अद्वितीय हल होता है।
यह हल है- x/b₁c₂ – b₂c₁ = y/c₁a₂ – c₂a₁ = 1/a₁b₂ – a₂b₁
(B) यदि \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\) तो समीकरण-युग्म का कोई हल नहीं होता।
(C) यदि \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) तो समीकरण युग्म के अनंत हल होते हैं।

→ रैखिक समीकरण के हल की बीजगणितीय विधियों-

• प्रतिस्थापन विधि
• विलोपन विधि
• वज्र गुणन विधि