Class 10

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Exercise 8.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित के मान निकालिए-
(i) sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°
(ii) 2 tan² 45° + cos²30° – sin² 60°
(iii) \(\frac{\cos 45^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\operatorname{cosec} 30^{\circ}}\)
(iv) \(\frac{\sin 30^{\circ}+\tan 45^{\circ}-\operatorname{cosec} 60^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\cos 60^{\circ}+\cot 45^{\circ}}\)
(v) \(\frac{5 \cos ^{2} 60^{\circ}+4 \sec ^{2} 30^{\circ}-\tan ^{2} 45^{\circ}}{\sin ^{2} 30^{\circ}+\cos ^{2} 30^{\circ}}\)
हल :
(i) sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°

(ii) 2 tan² 45° + cos²30° – sin² 60°

(iii) \(\frac{\cos 45^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\operatorname{cosec} 30^{\circ}}\)

(iv) \(\frac{\sin 30^{\circ}+\tan 45^{\circ}-\operatorname{cosec} 60^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\cos 60^{\circ}+\cot 45^{\circ}}\)

(v) \(\frac{5 \cos ^{2} 60^{\circ}+4 \sec ^{2} 30^{\circ}-\tan ^{2} 45^{\circ}}{\sin ^{2} 30^{\circ}+\cos ^{2} 30^{\circ}}\)

प्रश्न 2.
सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प का औचित्य दीजिए
(i) \(\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 30^{\circ}}=\)
(A) sin 60° (B) cos 60° (C) tan 60° (D) sin 30°
(ii) \(\frac{1-\tan ^{2} 45^{\circ}}{1+\tan ^{2} 45^{\circ}}=\)
(A) tan 90°
(B)1
(C) sin 45°
(d) 0
(iii) sin 2 A = 2 sin A तब सत्य होता है, जबकि A बराबर है-
(A) 0°
(B) 30°
(C) 45°
(D) 60°

(iv) \(\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1-\tan ^{2} 30^{\circ}}\) बराबर है-
(A) cos 60°
(B) sin 60°
(C) tan 60°
(D) sin 30°
हल :
(i) \(\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 30^{\circ}}=\)

(ii) \(\frac{1-\tan ^{2} 45^{\circ}}{1+\tan ^{2} 45^{\circ}}=\frac{1-(1)^{2}}{1+(1)^{2}}=\frac{1-1}{1+1}=\frac{0}{2}=0\)
अतः सही विकल्प = D

(iii) यदि A = 0° तो
L.H.S = sin 2 A = sin 2 (0°) = sin 0° = 0
R.H.S = 2 sin A = 2 sin 0° = 2 x 0 = 0
L.H.S = R.H.S
अतः सही विकल्प = A

(iv)

= tan 60°
अतः सही विकल्प = C

प्रश्न 3.
यदि tan (A+ B) = \(\sqrt{3}\) और tan (A-B) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\); 0° < A + B ≤ 90°; A > B तो A और B का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर,
tan (A + B) = \(\sqrt{3}\)
tan (A+ B) = tan 60°
A + B = 60° …..(i)
tan (A – B) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
tan (A – B) = tan 30°
A-B = 30° …..(ii)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर,
2A = 90° या A = 90° = \(\frac{90^{\circ}}{2}\) = 45°
A का मान समीकरण (i) में रखने पर,
450 + B = 60°
B = 60° – 45° = 15
अतः A = 45° व B = 15°

प्रश्न 4.
बताइए कि निम्नलिखित में से कौन-कौन सत्य हैं या असत्य हैं। कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
(i) sin (A + B) = sin A + sin B
(ii) θ में वृद्धि होने के साथ sin θ के मान में भी वृद्धि होती है।
(iii) θ में वृद्धि होने के साथ cos θ के मान में भी वृद्धि होती है।
(iv) θ के सभी मानों पर sin θ = cos θ
(v) A = 0° पर cot A परिभाषित नहीं है।
हल :
(i) असत्य, क्योंकि माना A = 30° और B = 30°
sin (A + B) = sin (30° + 30°) = sin 60° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
और sin A + sin B = sin 30° + sin 30° = \(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\) = 1
sin (A + B) ≠ sin A + sin B

(ii) सत्य, क्योंकि θ का मान 0° से 90° तक पहुँचने पर sin θ का मान 0 से 1 हो जाता है।
(iii) असत्य, क्योंकि θ का मान 0° से 90° तक पहुँचने पर cos θ का मान 1 से 0 हो जाता है अर्थात् θ में वृद्धि से cos θ के मान में कमी होती है।
(iv) असत्य, क्योंकि θ = 60° पर sin θ = sin 60° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) va cos θ = cos 60° = \(\frac{1}{2}\)
sin θ ≠ cosθ (θ = 60° के लिए)
(v) सत्य, क्योंकि A = 0° के cotA का मान अपरिभाषित होता है।

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Exercise 8.1

प्रश्न 1.
ΔABC में, जिसका कोण B समकोण है, AB = 24cm और BC = 7 cm है। निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए
(i) sin A, cos A
(ii) sin C, cos C
हल :

यहाँ पर, ΔABC में कोण B समकोण है।
AB = 24 cm
BC = 7 cm

प्रश्न 2.
संलग्न आकृति में, tan P- cot R का मान ज्ञात कीजिए।
हल :

दी गई आकृति के अनुसार, ΔPQR में ∠Q समकोण है।
PQ = 12 cm
PR = 13 cm

प्रश्न 3.
यदि sin A = \(\frac{3}{4}\), तो cos A और tan A का मान परिकलित कीजिए।
हल :

माना ΔABC में ∠B समकोण है, तो
BC = 3 इकाई
AC = 4 इकाई

प्रश्न 4.
यदि 15 cot A = 8 हो तो sin A और sec A का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
माना ΔABC में ∠B समकोण है, तो
15 cotA = 8.
या cot A = \(\frac{8}{15}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}\)
AB = 8 इकाई
BC = 15 इकाई

प्रश्न 5.
यदि sec θ = 13/12 हो तो अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपात परिकलित कीजिए।
हल :

माना ΔABC में ∠B समकोण है तथा ∠A =θ तो
sece = 12 = AB
AC = 13 इकाई
AB = 12 इकाई

प्रश्न 6.
यदि ∠A और ∠B न्यून कोण हो, जहाँ cos A = cos B, तो दिखाइए कि ∠A = ∠B.
हल :

माना ABC एक त्रिभुज है, जिसका ∠C समकोण है तथा ∠A व ∠B न्यून कोण हैं।
अब समकोण ΔACB में
cos A = \(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}\)
cos B = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}\)
परंतु प्रश्नानुसार,
cos A = cos B
\(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}\)
या AC = BC
क्योंकि ΔACB में, AC = BC इसलिए ∠A = ∠B [∵ समकोण भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]

प्रश्न 7.
यदि cot θ = \(\frac{7}{8}\) तो (i) \(\frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)}\)
(ii) cot²θ का मान निकालिए।
हल :

माना ABC एक त्रिभुज है जिसका ∠B समकोण तथा ∠ACB = θ है।
cot θ = \(\frac{7}{8}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}\)
BC = 7 इकाई
AB = 8 इकाई

(ii) cot²θ = \(\left(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}\right)^{2}=\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}\)

प्रश्न 8.
यदि 3 cotA = 4, तो जाँच कीजिए कि \(\frac{1-\tan ^{2} A}{1+\tan ^{2} A}\) = cos²A – sin²A है या नहीं।
हल :

माना ABC एक त्रिभुज है, जिसका ∠B समकोण तथा ∠A न्यून कोण है। दी गई आकृति के अनुसार,
3 cot A = 4
या cos A = \(\frac{4}{3}=\frac{A B}{B C}\)
AB = 4 इकाई
BC = 3 इकाई

प्रश्न 9.
त्रिभुज ABC में, जिसका कोण B समकोण है, यदि tan A = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) , तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए-
(i) sin A cos C + cos A sin C
(ii) cos A cos C- sin A sin C
हल :

त्रिभुज ABC में ∠B समकोण है तथा
tan A = \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}\)
BC = 1 इकाई
AB = √3 इकाई

प्रश्न 10.
ΔPQR में, जिसका कोण Q समकोण है, PR + QR = 25cm और PQ = 5cm है। sin P, cos P और tan P के मान ज्ञात कीजिए।
हल :

ΔPQR में ∠Q समकोण है तथा
PR + OR = 25cm
और PQ = 5cm
माना PR = x cm
तो QR = (25-x) cm
हम जानते हैं कि पाइथागोरस प्रमेय अनुसार,
PR² = PQ² + QR²
x² = (5)² + (25-x)²
x² = 25 + 625 + x² – 50x
50x = 650
x = 650/50 = 13 cm
PR = 13 cm
और QR = 25 – 13 = 12 cm

प्रश्न 11.
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
(i) tan A का मान सदैव 1 से कम होता है।
(i) कोणA के किसी मान के लिए sec A = \(\frac{12}{5}\)
(iii) cos A, कोण A के cosecant के लिए प्रयुक्त एक संक्षिप्त रूप है।
(iv) cot A, cot और A का गुणनफल होता है।
(v) किसी भी कोण 8 के लिए sin θ = \(\frac{4}{3}\)
हल :
(i) असत्य, क्योंकि tan A का मान शून्य से अनंत तक होता है।
(ii) सत्य।
(iii) असत्य, क्योंकि cos A कोण A के cosine के लिए प्रयुक्त एक संक्षिप्त रूप है न कि cosecant के लिए।
(iv) असत्य, क्योंकि cotA को कोण A के cotangent का संक्षिप्त रूप माना जाता है न कि cot और A का गुणनफल।
(v) असत्य, क्योंकि किसी भी कोण θ के लिए sinθ का मान 0 और 1 के बीच होता है।

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Exercise 8.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित का मान निकालिए
(i) \(\frac{\sin 18^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}\)
(ii) \(\frac{\tan 26^{\circ}}{\cot 64^{\circ}}\)
(iii) cos 48°-sin 42°
(iv) cosec 31°-sec 59°
हल :
(i) \(\frac{\sin 18^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}=\frac{\sin 18^{\circ}}{\cos \left(90^{\circ}-18^{\circ}\right)}=\frac{\sin 18^{\circ}}{\sin 18^{\circ}}=1\) [∵ cos (90° – θ) = sin θ]
(ii) \(\frac{\tan 26^{\circ}}{\cot 64^{\circ}}=\frac{\tan 26^{\circ}}{\cot \left(90^{\circ}-26^{\circ}\right)}=\frac{\tan 26^{\circ}}{\tan 26^{\circ}}=1\) [∵ cot (90° – θ) = tan θ]

(iii) cos 48° – sin 42° = cos 48° – sin (90° – 48°)
= cos 48° – cos 48° = 0
[∵ sin (90° – θ) = cos θ]

(iv) cosec 31° – sec 59° = cosec 31° – sec (90° – 31°)
= cosec 31° – cosec 31° = 0 [∵ sec (90° – θ) = cosec θ]

प्रश्न 2.
दिखाइए कि
(i) tan 48° tan 23° tan 420 tan 67° =1
(ii) cos 38° cos 52° – sin 38° sin 52° = 0
हल :
(i) यहाँ पर,
L.H.S = tan 48°.tan 23° . tan 42°.tan 67°
= tan 48°.tan 42° . tan 23°.tan 67°
= tan 48°.tan (90° – 48°).tan 23°.tan (90° – 23°)
= tan 48°.cot 48°.tan 23°.cot 23°
[∵ tan (90° – θ) = cot θ]
= tan 48° \(\frac{1}{\tan 48^{\circ}}\) tan 23°. \(\frac{1}{\tan 23^{\circ}}\)
= 1 = R.H.S

(ii) यहाँ पर,
L.H.S = cos 38°.cos 52° -sin 38°.sin 52°
= cos 38°.cos (90° -38°)- sin 38°.sin (90° -38°)
= cos 38°.sin 38° – sin 38°.cos 38°
[∵ sin (90° – θ) = cos θ व cos (90° – θ) = sin θ]
= 0 = R.H.S

प्रश्न 3.
यदि tan 2A = cot (A-18°), जहाँ 2A एक न्यून कोण है; तो A का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर, tan 2A = cot (A – 18°)
cot (90° – 2A) = cot (A – 18°)
90° – 2A = A- 18°
– 2A -A = – 18° – 90°
-3A = -108°
A = -108°/-3 = 36°

प्रश्न 4.
यदि tan A = cot B, तो सिद्ध कीजिए कि A+ B = 90°
हल :
यहाँ पर, tan A = cot B.
cot (90° -A) = cot B
– 90° – A = B
90° = A+B
या A+ B = 90° [इति सिद्धम्]

प्रश्न 5.
यदि sec 4A = cosec (A-20°), जहाँ 4A एक न्यून कोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर, sec 4A = cosec (A-20°)
cosec (90° – 4A) = cosec (A-20°)
90° -4A = A-20°
-4A-A = -20°-90°
-5A = -110°
A = -110°/-5 = 22°

प्रश्न 6.
यदि A, B और C त्रिभुज ABC के अंतःकोण हों, तो दिखाइए कि \(\sin \frac{B+C}{2}=\cos \frac{A}{2}\)
हल :
हम जानते हैं कि त्रिभुज के अंतः कोणों का योग = 180°
∠A + ∠B + ∠c = 180°

प्रश्न 7.
sin 67° + cos 75° को 0° और 45° के बीच के कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों के पदों में व्यक्त कीजिए।
हल :
यहाँ पर, sin 67° + cos 75° = sin (90° – 23°) + cos (90° — 15°)
= cos 23° + sin 15° [∵ sin (90° – θ)=cose a cos (90°- θ)= sin θ]

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Exercise 7.3

प्रश्न 1.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष हैं
(i) (2, 3), (-1,0), (2,-4)
(ii) (-5,-1), (3,-5), (5, 2)
हल :
(i) माना दिए गए त्रिभुज ABC के शीर्ष A(2, 3), B(-1,0) व C(2,-4) हैं।
यहाँ पर,
x₁ = 2, y₁ = 3
x₂ = -1, Y₂ = 0
y₃ = 2,Y₃ =-4
अब
ΔABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[2{0 – (-4)} + (-1){-4-3} + 2(3 – 0)]
= \(\frac{1}{2}\)[8 + 7 + 6] = \(\frac{1}{2}\) x 21 = \(\frac{21}{2}\) वर्ग मात्रक

(ii) माना दिए गए त्रिभुज ABC के शीर्ष A(-5, -1), B(3,-5) व C(5, 2) हैं। यहाँ पर,
x₁ =-5, y₁ = -1
x₂ = 3, y₂ = -5
x₃ = 5, y₃ = 2 .
ΔABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[(-5){-5-2} +3{2 – (-1)} + 5{-1 – (-5)}]
= \(\frac{1}{2}\) [35 +9 + 20]
= \(\frac{1}{2}\) x 64 = 32 वर्ग मात्रक

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में से प्रत्येक में ‘K’ का मान ज्ञात कीजिए, ताकि तीनों बिंदु सरेखी हों-
(1) (7,-2), (5, 1), (3,k)
(ii) (8, 1), (k,-4), (2,-5)
हल :
(i) माना दिए गए बिंदु A(7;-2), B(5, 1) व C(3, K) हैं। तो,
x₁ = 7, y₁ =-2
x₂ = 5, y₂ =1
x₃ = 3, y₃ = k
ΔABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[7(1 – k) + 5{k- (-2)} + 3(-2-1)]
= \(\frac{1}{2}\)[7 – 7k + 5k + 10 – 9]
= \(\frac{1}{2}\)[8 – 2k] = 4-k
यदि तीनों बिंदु संरेखी हों तो त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होगा।
4-k = 0 या
k = 4

(ii) माना दिए गए बिंदु A(8, 1), B(k, -4) व C(2,-5) हैं।
x₁ = 8, y₁ = 1
x₂ =k, y₂ = 4
x₃ = 2, y₃ =-5
अब \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ -y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[2{0 – (-4)} + (-1){-4-3} + 2(3 – 0)]
= \(\frac{1}{2}\)[8 +7+ 6] = \(\frac{1}{2}\) x 21 = \(\frac{21}{2}\) वर्ग मात्रक

(iii) माना दिए गए त्रिभुज ABC के शीर्ष A(-5, -1), B(3,-5) व C(5, 2) हैं।
यहाँ पर,
x₁ =-5, y₁ = -1
x₂ = 3, y₂ =-5
x₃ = 5, y₃ = 2
अब ΔABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[(-5){-5-2} + 3{2 – (-1)} + 5{-1-(-5)}]
= \(\frac{1}{2}\)[35 +9 + 20] = \(\frac{1}{2}\) x 64 = 32 वर्ग मात्रक

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में से प्रत्येक में ‘K’ का मान ज्ञात कीजिए, ताकि तीनों बिंदु सरेखी हों
(i) (7,-2), (5, 1), (3,k)
(ii) (8, 1), (k, -4), (2,-5)
हल :
(i) माना दिए गए बिंदु A(7;-2), B(5, 1) व C(3, K) हैं।
तो, x₁ = 7, y₁ = -2
x₂ = 5, y₂ = 1
x₃ = 3, y₃ =k
ΔABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[7(1 – k) + 5{k- (-2)} + 3(-2 – 1)]
= \(\frac{1}{2}\)[7 – 7k + 5k + 10 – 9]
= \(\frac{1}{2}\)[8 – 2k] = 4 – k
यदि तीनों बिंदु संरेखी हों तो त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होगा।
4-k = 0
k = 4

(ii) माना दिए गए बिंदु A(8, 1), B(k, -4) व C(2,-5) हैं।
x₁ = 8, y₁ =1
x₂ = k, y₂ =-4.
x₃ = 2, y₃ = -5
∆ABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[8{-4 – (-5)} + k(-5 – 1) + 2{1 – (4)}]
= \(\frac{1}{2}\)[8 – 6k + 10]
= \(\frac{1}{2}\)[18 – 6k] = 9 -3k
यदि तीनों बिंदु संरेखी हों तो त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होगा।
या  9 – 3k = 0
या 3k = 9
या k = \(\frac{9}{3}\) = 3

प्रश्न 3.
शीर्षों (0,-1), (2, 1) और (0, 3) वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। इस क्षेत्रफल का दिए हुए त्रिभुज के क्षेत्रफल के साथ अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :

माना A(0, -1), B(2, 1) तथा C(0, 3) दिए गए त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं। D, E तथा F क्रमशः भुजाओं BC, CA तथा AB के मध्य-बिंदु हैं तो
D के निर्देशांक = \(\left(\frac{2+0}{2}, \frac{1+3}{2}\right)\)= (1,2)
E के निर्देशांक = \(\left(\frac{0+0}{2}, \frac{3-1}{2}\right)\) = (0, 1)
F के निर्देशांक = \(\left(\frac{0+2}{2}, \frac{-1+1}{2}\right)\) = (1,0)
अब ΔABC के क्षेत्रफल के लिए,
x₁ = 0, y₁ = -1,
x₂ = 2, y₂ = 1,
x₃ = 0, y₃ = 3
ΔABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[0(1 – 3) + 2{3 – (-1)} + 0(-1 – 1)]
= \(\frac{1}{2}\)[0 + 8 + 0] = \(\frac{1}{2}\) x 8 = 4 वर्ग मात्रक
इसी प्रकार ΔDEF के क्षेत्रफल के लिए,
x₁ = 1, y₁ = 2,
x₂ = 0, y₂ = 1,
x₃ = 1, x₃ = 0
∴ ΔDEF का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[1(1 – 0) + 0(0 – 2) + 1(2 – 1)]
= \(\frac{1}{2}\)[1+ 0 + 1] = \(\frac{1}{2}\)x 2 = 1 वर्ग मात्रक
अब ΔDEF का क्षेत्रफल : ΔABC का क्षेत्रफल = 1 : 4

प्रश्न 4.
उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में (-4,-2), (-3,-5), (3,-2) और (2, 3) हैं।
हल :

माना A(- 4, -2), B(-3, -5), C(3, -2) तथा D(2, 3) चतुर्भुज ABCD के शीर्ष हैं तो A और C को मिलाकर दो त्रिभुज ABC तथा ACD प्राप्त होते हैं।
अब ΔABC के क्षेत्रफल के लिए,
x₁ =-4, y₁ =-2,
x₂ = -3, y₂ =-5,
x₃ = 3, y₃ = -2
ΔABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
\(\frac{1}{2}\)[(-4){-5-(-2)} + (-3){-2 – (-2)} + 3{-2 -(-5)}]
= \(\frac{1}{2}\)[(4)(-3) + (-3)(0) + (3)(3)]
= \(\frac{1}{2}\)[12 + 0 +9] = 21/2 = 10.5 वर्ग मात्रक
अब ΔACD के क्षेत्रफल के लिए,
x₁ = -4,y₁ = -2,
x₂ = 3, y₂ = -2,
x₃ = 2, y₃ = 3
ΔABC का क्षेत्रफल =\(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[(-4){-2-3} + (3){3 -(-2)} + 2{-2-(-2)}]
= \(\frac{1}{2}\)[(-4)(-5) + (3)(5) + (2)(0)]
= \(\frac{1}{2}\)[20 + 15 + 0] = \(\frac{1}{2}\) x 35 = 17.5 वर्ग मात्रक अतः चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = (ΔABC + ΔACD) का क्षेत्रफल
= (10.5 + 17.5) वर्ग मात्रक
= 28 वर्ग मात्रक

प्रश्न 5.
कक्षा IX में आपने पढ़ा है (अध्याय 9, उदाहरण 3) कि किसी त्रिभुज की एक माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफलों वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। उस त्रिभुज ABC के लिए इस परिणाम का सत्यापन कीजिए जिसके शीर्ष A(4,-6), B(3,-2) और C(5, 2) हैं।
हल :

यहाँ पर त्रिभुज ABC के शीर्ष A(4,-6), B(3,-2), C(5, 2) हैं। माना D
भुजा BC का मध्य-बिंदु है तो D के निर्देशांक \(\left(\frac{3+5}{2}, \frac{-2+2}{2}\right)\) = (4,0) होंगे।
अब ΔABD के क्षेत्रफल के लिए,
x₁ = 4, y₁ = -6,
x₂ = 3, y₂ = -2,
x₃ = 4, y₃ = 0
ΔABD का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[4(-2 – 0) + 3{0 – (-6)} + 4{-6-(-2)}]
= \(\frac{1}{2}\)[(4)(-2) + (3)(6) + (4)(44)]
= \(\frac{1}{2}\)[-8+ 18-16]
= \(\frac{1}{2}\)[-24 + 18] = \(\frac{1}{2}\) x -6
= -3 = 3 वर्ग मात्रक [∵ क्षेत्रफल ऋणात्मक नहीं होता।]

अब ΔABC के क्षेत्रफल के लिए,
x₁ = 4, y₁ = -6,
x₂ = 3, y₂ = -2,
x₃ = 5, y₃ = 2
ΔABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]
= \(\frac{1}{2}\)[4(-2-2) + 3{2 -(-6)} +5 {-6-(-2)}]
= \(\frac{1}{2}\)[(4)(-4) + (3)(8) + (5)(-4)]
= \(\frac{1}{2}\)[-16 + 24 – 20] = \(\frac{1}{2}\) x (-12)
= – 6 = 6 वर्ग मात्रक
[∵ क्षेत्रफल ऋणात्मक नहीं होता।]

ΔABC का क्षेत्रफल = 2(ΔABD का क्षेत्रफल)
अतः त्रिभुज की माध्यिका उसे बराबर क्षेत्रफलों के त्रिभुजों में विभाजित करती है।

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Exercise 7.2

प्रश्न 1.
उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जो बिंदुओं (-1, 7) और (4,-3) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।
हल :

यहाँ पर,
x₁ = -1, y₁ = 7, x₂ = 4,y₂ = -3
m₁ = 2, m₂ = 3
विभाजन सूत्र से,

अतः बिंदु P के निर्देशांक = (1, 3) हैं।

प्रश्न 2.
बिंदुओं (4,-1) और (-2,-3) को जोड़ने वाले रेखाखंड को सम-त्रिभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल :

माना बिंदु P और Q रेखाखंड AB को 3 समान भागों में विभाजित करते हैं तो
AP = PQ = QB = 1 (मात्रक)
स्थिति I-प्रश्नानुसार बिंदु P रेखाखंड AB को 1 : 2 में विभाजित करता है।
यहाँ पर, x₁ = 4, y₁ = -1, x₂ = -2, y₂ = -3, m₁ = 1, m₂ = 2
विभाजन सूत्र से,

इस प्रकार P के निर्देशांक (2,-5/3) हैं।

स्थिति II-प्रश्नानुसार बिंदु Q रेखाखंड AB को 2 : 1 में विभाजित करता है।
यहाँ पर, x₁ = 4, y₁ = -1, x₂ = -2,Y₂ =-3, m₁ = 2, m₂ = 1


अतः Q के निर्देशांक (0, \(\frac{-7}{3}\) है।

प्रश्न 3.
आपके स्कूल में खेल-कूद क्रियाकलाप आयोजित करने के लिए, एक आयताकार मैदान ABCD में, चूने से परस्पर 1 m की दूरी पर पंक्तियाँ बनाई गई हैं। AD के अनुदिश परस्पर 1 m की दूरी पर 100 गमले रखे गए हैं, जैसा कि संलग्न आकृति में दर्शाया गया है। निहारिका दूसरी पंक्ति में AD के 1/4 भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक हरा झंडा गाड़ देती है। प्रीत आठवीं पंक्ति में AD के 1/5 भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक लाल झंडा गाड़ देती है। दोनों झंडों के बीच की दूरी क्या है? यदि रश्मि को एक नीला झंडा इन दोनों झंडों को मिलाने वाले रेखाखंड पर ठीक आधी दूरी (बीच में) पर गाड़ना हो तो उसे अपना झंडा कहाँ गाड़ना चाहिए?

हल :
A को मूल बिंदु AB को x-अक्ष तथा AD को y-अक्ष मानने पर हरे झंडे के निर्देशांक (2,\(\frac{100}{4}\)) = (2, 25) होंगे।
तथा लाल झंडे के निर्देशांक (8,\(\frac{100}{5}\)) = (8, 20) होंगे।

अतः रश्मि को अपना नीला झंडा 5 वीं रेखा पर AB से 22.5 m की दूरी पर गाड़ना चाहिए।

प्रश्न 4.
बिंदुओं (-3, 10) और (6,-8) को जोड़ने वाले रेखाखंड को बिंदु (-1, 6) किस अनुपात में विभाजित करता है। हल : माना वांछित अनुपात m₁ : m₂ है।
विभाजन सूत्र से,

x = \(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}\)
-1 = \(\frac{m_{1}(6)+m_{2}(-3)}{m_{1}+m_{2}}\)
-m₁ – m₂ = 6m₁ – 3m₂
-m₂ + 3m₂ = 6m₁ + m₁
2m₂ = 7m₁ ⇒ \(\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{2}{7}\) या m₁: m₂ = 2 :
7 अतः अभीष्ट वांछित अनुपात = 2 : 7

प्रश्न 5.
वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें बिंदुओं A(1,-5) और B(-4, 5) को मिलाने वाला रेखाखंड x-अक्ष से विभाजित होता है। इस विभाजन बिंदु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
हल :
माना P(x, 0); x-अक्ष पर स्थित है जो A(1,-5) और B(-4, 5) को k:1 में विभाजित करता है अर्थात् यहाँ पर,
x₁ = 1, y₁ = -5, x₂ = -4, y₂ = 5, m₁ = k, m₂ = 1
विभाजन सूत्र से,


अतः वांछित अनुपात = 1 : 1 तथा निर्देशांक = (-3/2, 0)

प्रश्न 6.
यदि बिंदु (1, 2), (4,y), (x, 6) और (3, 5), इसी क्रम में लेने पर, एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हो तो x और y ज्ञात कीजिए।
हल :
माना A(1,2), B(4,y) C(x, 6) तथा D(3, 5) समांतर चतुर्भुज ABCD के शीर्ष हैं। हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

परंतु प्रश्नानुसार, AC का मध्य-बिंदु = BD का मध्य-बिंदु
\(\frac{x+1}{2}=\frac{7}{2}\) व \(\frac{y+5}{2}=4\)
x + 1 = 7 व y+5 = 8
x = 6 व y = 3

प्रश्न 7.
बिंदु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ AB एक वृत्त का व्यास है जिसका केंद्र (2,-3) है तथा B के निर्देशांक (1, 4) हैं।
हल :

माना बिंदु A(x,y) व B(1, 4) वृत्त के व्यास AB के अंतःबिंदु हैं तथा केंद्र O(2, -3) रेखाखंड AB का मध्य-बिंदु है।
2 = \(\frac{x+1}{2}\) व -3 = \(\frac{y+4}{2}\)
x + 1 = 4 व y+4 =-6
x = 4 – 1 व y = -6 – 4
x = 3 व y = -10
अतः A के निर्देशांक (3, -10)

प्रश्न 8.
यदि A और B क्रमशः (-2,-2) और (2,-4) हो तो बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ताकि AP= और Pरेखाखंड AB पर स्थित हो।
हल :

यहाँ पर,
AP = \(\frac{3}{7}\)AB
7AP = 3AB
7AP = 3(AP + PB)
34 7AP -3AP = 3PB
4AP = 3PB
\(\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}}=\frac{3}{4}\)
AP : PB = 3:4
माना बिंदु P के निर्देशांक (x, y) हैं तो विभाजन सूत्र से,

प्रश्न 9.
बिंदुओं A(-2, 2) और B(2, 8) को जोड़ने वाले रेखाखंड AB को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। .
हल :

माना बिंदु P, Q और R रेखाखंड AB को चार समान भागों में इस प्रकार विभाजित करते हैं तो
(i) AP : PB = 1 : 3
(ii) AQ : QB = 1:1
(iii) AR : RB = 3 : 1
बिंदु P(x₁,y₁) के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए अनुपात 1:3 लीजिए-

इसलिए P के निर्देशांक (-1, 7/2) हैं।
अब बिंदु Q(x₂,y₂) के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए अनुपात 1 : 1 लीजिए।

इसलिए Q के निर्देशांक (0, 5) हैं।
अब बिंदु R(x₃, y₃) के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए अनुपात 3 : 1 लीजिए-

इसलिए R के निर्देशांक (1, 13/2) हैं।
अतः रेखाखंड AB को चार समान भागों में विभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक (-1, \(\frac{7}{2}\) ) (0, 5) व (1, \(\frac{13}{2}\))

प्रश्न 10.
एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में (3, 0), (4, 5), (-1, 4) और (-2,-1) हैं। [संकेत : समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) (उसके विकर्णों का गुणनफल)]
हल :
माना समचतुर्भुज ABCD के शीर्ष A(3, 0), B(4, 5), C(-1, 4) व D(-2,-1) हैं।

अतः समचतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) x AC x BD
\(\frac{1}{2}\) x 4√2 x 6√2 वर्ग मात्रक
= 24 वर्ग मात्रक

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Exercise 6.4

नोट : यह प्रश्नावली निम्नलिखित प्रमेय पर आधारित है।
प्रमेय 6.6 : दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
हल :
दिया है : AABC और ΔPQR इस प्रकार है कि ΔABC ~ΔPQR

प्रश्न 1.
मान लीजिए ΔABC ~ΔDEF है और इनके क्षेत्रफल क्रमशः 64cm² और 121cm² हैं। यदि EF= 15.4cm हो, तो BC ज्ञात कीजिए।
हल :
क्योंकि ΔABC ~ΔDEF
ΔABC का क्षेत्रफल = 64cm²
और ΔDEF का क्षेत्रफल = 121cm²
EF = 15.4cm

हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

∴ अतः BC = 11.2 cm

प्रश्न 2.
एक समलंब ABCD जिसमें AB || DC है, के विकर्ण परस्पर बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि AB = 2 CD हो तो त्रिभुजों AOB और COD के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :

दिया है : ABCD एक समलंब है जिसमें AB || DC और AB = 2CD है।
सिद्ध करना है : ΔAOB का क्षेत्रफल :ΔCOD का क्षेत्रफल = ?
प्रमाण : ΔAOB और ΔCOD में,
∠AOB = ∠COD (शीर्षाभिमुख कोण)
∠OAB = ∠OCD (एकांतर कोण)
∠OBA = ∠ODC (एकांतर कोण)
ΔAOB ~ ΔCOD. (कोण-कोण-कोण समरूपता नियम से)
हम जानते हैं कि समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

अतः ΔAOB का क्षेत्रफल : ΔCOD का क्षेत्रफल = 4:1

प्रश्न 3.
संलग्न आकृति में एक ही आधार BC पर दो त्रिभुज ABC और DBC बने हुए हैं। यदि AD, BC को 0 पर प्रतिच्छेद करे, तो दर्शाइए कि
दिशाइए कि \(\frac{\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{ABC})}{\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{DBC})}=\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{DO}}\) है।
हल :

दिया है : ΔABC और ΔDBC समान आधार BC पर हैं परंतु विपरीत दिशा में हैं।
सिद्ध करना है : \(\frac{\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{ABC})}{\operatorname{ar}(\triangle \mathrm{DBC})}=\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{DO}}\)
रचना : AE ⊥ BC और DF ⊥ BC खींचो।
प्रमाण: ΔAEO और ΔDFO में
∠AOE = ∠DOF (शीर्षाभिमुख कोण)
∠AEO = ∠DFO (प्रत्येक 90°)
कोण-कोण समरूपता गुणधर्म से,
ΔAEO ~ ΔDFO

प्रश्न 4.
यदि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर हों, तो सिद्ध कीजिए कि वे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
हल :
दिया है : ΔABC ~ ΔPQR तथा क्षेत्रफल ΔABC = क्षेत्रफल ΔPQR
सिद्ध करना है : ΔABC = ΔPQR

प्रमाण : हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों का क्षेत्रफल उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
\(\therefore \quad \frac{\triangle \mathrm{ABC} \text { का क्षेत्रफल }}{\triangle \mathrm{PQR} \text { का क्षेत्रफल }}=\left(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}\right)^{2}=\left(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}\right)^{2}=\left(\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{PR}}\right)^{2}\)
परंतु ΔABC का क्षेत्रफल = ΔPQR का क्षेत्रफल (दिया है)
\(\therefore \quad\left(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}\right)^{2}=\left(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}\right)^{2}=\left(\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{PR}}\right)^{2}=1\)
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{PR}}=1\)
AB = PQ, BC = QR, CA = PR
अतः ΔABC = ΔPQR (भुजा-भुजा-भुजा सर्वांगसमता नियम से) [इति सिद्धम]

प्रश्न 5.
एक त्रिभुज ABC की भुजाओं AB, BC और CA के मध्य-बिंदु क्रमशः D, E और F हैं। ADEF और AABC के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :

दिया है : ΔABC, जिसकी भुजाओं BC, CA और AB के मध्य-बिंदु क्रमशः D, E और F है।
सिद्ध करना है : ΔDEF और ΔABC के क्षेत्रफलों में क्या अनुपात है।
प्रमाण : क्योंकि ΔABC में D व E क्रमशः BC व CA के मध्य-बिंदु हैं।
∴ DE || AB तथा DE = \(\frac{1}{2}\)AB
इसी प्रकार EF = \(\frac{1}{2}\)BC व DF = \(\frac{1}{2}\) CA
अतः ΔABC और ΔDEF में,
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{DF}}\) (प्रत्येक – 2/1)
∴ ΔABC ~ ΔDEF (भुजा-भुजा-भुजा समरूपता नियम से)
परंतु दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है,

अतः ΔABC का क्षेत्रफल : ΔDEF का क्षेत्रफल = 4:1

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत माध्यिकाओं के अनुपात का वर्ग होता
हल :
दिया है : ΔABC ~ ΔPQR तथा AD व PS क्रमशः त्रिभुज ABC और PQR की दो माध्यिकाएँ हैं।
सिद्ध करना है :

प्रमाण : हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
\(\frac{\triangle \mathrm{ABC} \text { का क्षेत्रफल }}{\triangle \mathrm{PQR} \text { का क्षेत्रफल }}=\left(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}\right)^{2}\)
अब ΔABC ~ ΔPQR (दिया है)

अतः ΔABD व ΔPQS में,
∠B = ∠Q [∵ ΔABC ~ ΔPQS]

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि एक वर्ग की किसी भुजा पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल उसी वर्ग के एक विकर्ण पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
हल :

दिया है : ABCD एक वर्ग है जिसकी भुजा BC पर समबाहु ΔBCE तथा विकर्ण AC पर समबाहु AACF बनाए गए हैं।
सिद्ध करना है : ΔBCE का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)(ΔACF का क्षेत्रफल)
प्रमाण : क्योंकि ABCD एक वर्ग है।
∴ AB = BC = CD = DA
तथा AC = √2 BC [∵ वर्ग का विकर्ण = 2 वर्ग की भुजा]
अब क्योंकि ΔBCE व ΔACF समबाहु त्रिभुजें हैं इसलिए दोनों के तीनों कोण समान होंगे। अतः ΔBCE ~ ΔACF, हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।


ΔBCE का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) (ΔACF का क्षेत्रफल) [इति सिद्धम]

नोट : प्रश्न 8 व 9 में से सही उत्तर चुनिए और अपने उत्तर का औचित्य दीजिए-

प्रश्न 8.
ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D भुजा BC का मध्य-बिंदु है। त्रिभुजों ABC और BDE के क्षेत्रफलों का अनुपात है-
(A)2:1 (B)1:2 (C)4:1 (D) 1 : 4
हल :

क्योंकि ΔABC और ΔBDE दोनों ही समबाहु त्रिभुजें हैं इसलिए दोनों के तीनों कोण समान होंगे। अतः
ΔABC ~ ΔBDE
हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

अतः ΔABC का क्षेत्रफल : ΔBDE का क्षेत्रफल = 4 : 1
∴ सही उत्तर (C) है।

प्रश्न 9.
दो समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ 4:9 के अनुपात में हैं। इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात है
(A)2:3 (B) 4:9 (C)81 : 16 (D) 16 : 81
हल :
क्योंकि हम जानते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
∴ इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात = (4)² : (9)^{2 = 16 : 81}

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Exercise 6.5

नोट : यह प्रश्नावली निम्नलिखित तीन प्रमेयों पर आधारित है

प्रमेय 6.7 : यदि किसी समकोण त्रिभुज के समकोण वाले शीर्ष से कर्ण पर लंब डाला जाए तो इस लंब के दोनों ओर बने त्रिभुज संपूर्ण त्रिभुज के समरूप होते हैं तथा परस्पर भी समरूप होते हैं।

हल :
दिया है : ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠B समकोण है तथा B से कर्ण AC पर लंब BD डाला गया है।
सिद्ध करना है : (i) ΔADB ~ ΔABC
(ii) ΔBDC ~ ΔABC
(iii) ΔADB ~ ΔBDC
प्रमाण : (i) ΔADB और ΔABC में,
∠A = ∠A (उभयनिष्ठ)
∠ADB = ∠ABC (प्रत्येक 90°)
ΔADB ~ ΔABC (कोण-कोण समरूपता नियम से)

(ii) ΔBDC और ΔABC में,
∠c = ∠c (उभयनिष्ठ)
∠BDC = ∠ABC (प्रत्येक 90°)
ΔBDC ~ ΔABC (कोण समरूपता नियम से)

(iii) क्योंकि ΔΔDB ~ ΔABC (प्रमाणित (i) में)
ΔBDC ~ ΔABC (प्रमाणित (ii) में)
ΔADB ~ ΔBDC (क्योंकि दो त्रिभुजें जो एक ही त्रिभुज के समरूप हो, परस्पर समरूप होती हैं।)

प्रमेय 6.8 : एक समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

हल :
दिया है : एक समकोण ΔABC जिसका ∠B समकोण है (आकृति अनुसार)
सिद्ध करना है : AC² = AB² + BC²
रचना : हम BD ⊥ AC खींचते हैं।
प्रमाण : ΔADB और ΔABC में,
∠ADB = ∠ABC (प्रत्येक 90°)
∠A = ∠A (उभयनिष्ठ)
∠ABD = ∠ACB (त्रिभुज का तीसरा कोण)
∴ ΔADB ~ ΔABC
∴ \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\) (भुजाएँ आनुपातिक हैं)
AB2 = AD X AC … (1)
इसी प्रकार, ΔCDB ~ ΔCBA
\(\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{CA}}\)
(भुजाएँ आनुपातिक हैं)
या BC² = CD x CA … (ii)
समीकरण (i) व (ii) को जोड़ने पर,
AB² + BC² = AD x AC + CD x AC
= AC(AD + CD)
= AC x AC = AC² [इति सिद्धम]

प्रमेय 6.9 : यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो तो पहली भुजा का सम्मुख कोण समकोण होता है।

हल :
दिया है : ΔABC में AC² = AB² + BC² है।
सिद्ध करना है : ∠B = 90°
रचना : एक ΔPQR की रचना करें जिसमें PQ = AB,
QR = BC व ∠Q = 90° हो।
प्रमाण : ΔPQR से हमें प्राप्त होता है-
PR² = PQ² + QR² (पाइथागोरस प्रमेय, क्योंकि ∠Q = 90° है)
या PR² = AB² + BC² (रचना से) ….(i)
AC² = AB² + BC² (दिया है) ….(ii)
AC² = PR²[(i) व (ii) से]
AC = PR …..(iii)
अब ΔABC और ΔPQR में,
AB = PQ (रचना से)
BC = QR (रचना से)
AC = PR (प्रमाणित (iii) में)
अतः ΔABC missing ΔPQR (भुजा-भुजा-भुजा सर्वांगसमता से)
इसलिए ∠B = ∠Q (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत कोण)
परंतु ∠Q = 90° (रचना से)
अतः ∠B = 90° [इति सिद्धम]

प्रश्न 1.
कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई हैं। निर्धारित कीजिए कि इनमें से कौन-कौन से त्रिभुज समकोण त्रिभुज हैं। इस स्थिति में कर्ण की लंबाई भी लिखिए।
(i) 7cm, 24cm, 25cm
(ii) 3cm, 8cm, 6cm
(iii) 50cm, 80cm, 100cm
(iv) 13cm, 12cm, 5cm
हल :
(i) यहाँ पर (7)² = 7 x 7 = 49
(24)² = 24 x 24 = 576
(25)² = 25 x 25 = 625
अब 625 = 576 + 49
(25)² = (24)² + (7)²
∴ यह एक समकोण त्रिभुज है।

(ii) यहाँ पर (3)² = 3 x 3 = 9
(8)² = 8 x 8 = 64
(6)² = 6 x 6 = 36 अब
64 ≠ 36 +9
(8)² ≠ (6)² + (3)²
:: यह एक समकोण त्रिभुज नहीं हैं।

(iii) यहाँ पर (50)² = 50 x 50 = 2500
(80)² = 80 x 80 = 6400
(100)² = 100 x 100 = 10000 अब
10000 ≠ 6400 + 2500
(100)² ≠ (80)² + (50)²
∴ यह एक समकोण त्रिभुज नहीं हैं।

(iv) यहाँ पर
(13)² = 13 x 13 = 169
(12)² = 12 x 12 = 144
(5)² = 5×5 = 25
अब 169 = 144+25
(13)² = (12)² + (5)²
∴ यह एक समकोण त्रिभुज है।

प्रश्न 2.
PQR एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण P समकोण है तथा QR पर बिंदु M इस प्रकार स्थित है कि PM ⊥ QR है। दर्शाइए कि ² = QM. MR है।

हल :
दिया है : समकोण ΔPQR में ∠P = 90° तथा Q पर बिंदु M इस प्रकार है कि PM ⊥ QR
सिद्ध करना है : PM² = QM . MR
प्रमाण : क्योंकि PM ⊥ QR (दिया है)
ΔPQM ~ ΔPRM
\(\frac{\mathrm{PM}}{\mathrm{QM}}=\frac{\mathrm{MR}}{\mathrm{PM}}\) (समरूप त्रिभुजों के संगत भाग)
PM² = QM . MR [इति सिद्धम]

प्रश्न 3.
संलग्न आकृति में ABD एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण A समकोण है तथा AC ⊥ BD है। दर्शाइए कि-
(i) AB² = BC. BD
(ii) AC² = BC. DC
(iii) AD² = BD.CD

हल :
दिया है : समकोण त्रिभुज ABD में ∠A समकोण है तथा AC ⊥ BD है।
सिद्ध करना है : (i) AB² = BC . BD.
(ii) AC² = BC. DC
(iii) AD² = BD.CD
प्रमाण : हम जानते हैं कि किसी समकोण त्रिभुज के समकोण वाले शीर्ष से कर्ण पर B’ लंब डाला जाए तो इस लंब के दोनों ओर बने त्रिभुज संपूर्ण त्रिभुज के समरूप तथा परस्पर भी समरूप होते हैं। इसलिए-
(i) ΔABC ~ ΔABD में,
\(\frac{A B}{B D}=\frac{B C}{A B}\) (समरूप त्रिभुजों के संगत भाग) [इति सिद्धम]
AB² = BC.BD

(ii) ΔABC ~ ΔADC में,
\(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{DC}}{\mathrm{AC}}\) (समरूप त्रिभुजों के संगत भाग) ।
AC² = BC.DC [इति सिद्धम]

(iii) ΔACD ~ΔABD में,
\(\frac{A D}{C D}=\frac{B D}{A D}\) (समरूप त्रिभुजों के संगत भाग)
AD² = BD. CD [इति सिद्धम]

प्रश्न 4.
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है। सिद्ध कीजिए कि AB² = 2AC² है।

हल :
दिया है : समकोण ΔABC जिसमें ∠C समकोण तथा AC = BC है।
सिद्ध करना है : AB² = 2AC²
प्रमाण : क्योंकि समकोण ΔABC में ∠C समकोण है इसलिए,
AB² = AC² + BC²
AB² = AC² + AC² [:: BC = AC (दिया है)]
AB² = 2AC² [इति सिद्धम]

प्रश्न 5.
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AC = BC है। यदि AB² = 2AC² है, तो सिद्ध कीजिए कि ABC एक समकोण त्रिभुज है।

हल :
दिया है : ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AC = BC तथा AB² = 2AC² है
सिद्ध करना है : ABC समकोण त्रिभुज है।
प्रमाण : क्योंकि AB² = 2AC² (दिया है)
AB² = AC² + AC
या AB² = AC² + BC² (∵ AC = BC दिया है)
अतः ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका ∠C समकोण है। (पाइथागोरस प्रमेय का विलोम) [इति सिद्धम].

प्रश्न 6.
एक समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा 2a है। उसके प्रत्येक शीर्षलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल :
दिया है : समबाहु त्रिभुज ABC की प्रत्येक भुजा 2a है अर्थात् AB = BC = CA = 2a
ज्ञात करना है : प्रत्येक शीर्षलंब की लंबाई = ?
रचना : A से BC पर लंब AD खींचो।
ΔABD और ΔACD में,
AB = AC(दिया है)
AD = AD (उभयनिष्ठ)
∠ADB = ∠ADC (प्रत्येक 90°)
ΔABD missing ΔACD (समकोण-कर्ण-भुजा सर्वांगसमता)
BD = CD (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
BD = CD = \(\frac{1}{2}\) x 2a = a
अब ΔABD से,
AB² = BD² + AD² (पाइथागोरस प्रमेय)
या (2a)² = a² + AD²
या AD² = 4a² – a² = 3a²
या AD = √3a
अतः प्रत्येक शीर्षलंब की लंबाई = √3a

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि एक समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योग उसके विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

हल :
दिया है : ABCD एक समचतुर्भुज है जिसके विकर्ण AC और BD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
सिद्ध करना है : AB² + BC² + CD² + DA² = AC² + BD²
प्रमाण : हम जानते हैं कि समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोणों पर समद्विभाजित करते हैं।
∴ ∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOA = 90°
और AO = CO व BO = DO
अब समकोण ΔAOB में,
AB² = OA² + OB²
AB² = (\(\frac{1}{2}\)AC)² + (\(\frac{1}{2}\)BD)² [ OA = \(\frac{1}{2}\)AC T OB = \(\frac{1}{2}\)BD]
AB² = \(\frac{1}{4}\)AC² + \(\frac{1}{4}\)BD²
या 4 AB² = AC² + BD²
इसी प्रकार 4 BC² = AC² + BD²
या 4 CD² = AC² + BD²
4 DA² = AC² + BD²
समीकरण (i), (ii), (iii) व (iv) को जोड़ने पर,
4 (AB² + BC² + CD² + DA²) = 4(AC² + BD²)
या AB² + BC² + CD² + DA² = AC² + BD²

प्रश्न 8.
संलग्न आकृति में ΔABC के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु O है तथा OD ⊥ BC, OE ⊥ AC और OF ⊥ AB है। दर्शाइए कि-
(i) OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF² = AF² + BD² + CE²
(ii) AF² + BD² + CE² = AE² + CD² + BF²

हल :
दिया है : एक ΔABC जिसके अभ्यंतर बिंदु 0 स्थित है जहाँ से इसकी भुजाओं BC, CA और AB पर क्रमशः OD, OE और OF लंब डाले गए हैं।
सिद्ध करना है : (i) OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF² = AF² + BD² + CE²
(ii) AF² + BD² + CE² = AE² + CD² + BF²
रचना : OA, OB व OC को मिलाओ।
प्रमाण : (i) समकोण त्रिभुजों OFA, ODB व OEC में पाइथागोरस प्रमेय से,
OA² = OF² + AF² ….(i)
OB² = OD² + BD² …..(ii)
OC² = OE² + CE² …..(iii)
समीकरण (i), (ii) व (iii) को जोड़ने पर प्राप्त होगा,
OA² + OB² + OC² = OF² + AF² + OD² + BD² + OE² + CE²
AF² + BD² + CE² = OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF² [इति सिद्धम]

(ii) समकोण त्रिभुजों ODB और ODC में पाइथागोरस प्रमेय से,
OB² = OD² + BD²
OC² = OD² + CD²
दोनों को घटाने पर,
OB² – OC² = OD² + BD² – OD² – CD²
OB² – OC² = BD² – CD² ….(i)
इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते हैं कि,
OC² – OA² = CE² – AE² ………..(ii)
व OA² – OB² = AF²– BF² …..(iii)

समीकरण (i), (ii) व (iii) को जोड़ने पर प्राप्त होगा,
(OB² – OC²) + (OC² – OA²) + (OA² – OB²) = (BD² – CD²) + (CE² – AE²) + (AF² – BF²) .
0 = (BD² + CE² + AF²) – (AE² + CD² + BF²)
AF² + BD² + CE² = AE² + BF² + CD² [इति सिद्धम]

प्रश्न 9.
10m लंबी एक सीढ़ी एक दीवार पर टिकाने पर भूमि से 8m की ऊँचाई पर स्थित एक खिड़की तक पहुँचती • है। दीवार के आधार से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल :
यहाँ पर, खिड़की की भूमि से ऊँचाई (BC) = 8m
सीढ़ी की लंबाई (AB) = 10m .
माना सीढ़ी के निचले सिरे की दीवार के आधार से दूरी (AC) = x m
अब समकोण ΔABC में पाइथागोरस प्रमेय से,
AB² = AC² + BC² →
(10)² = (x)² + (8)²
100 = x² + 64
x² = 100 – 64 = 36
x = 6
अतः सीढ़ी के निचले सिरे की दीवार के आधार से दूरी = 6m

प्रश्न 10.
18m ऊँचे एक ऊर्ध्वाधर खंभे के ऊपरी सिरे से एक तार का एक सिरा जुड़ा हुआ है तथा तार का दूसरा सिरा एक खूटे से जुड़ा हुआ है। खंभे के आधार से खूटे को कितनी दूरी पर गाड़ा जाए कि तार तना रहे जबकि तार की लंबाई 24m है।

हल :
माना AB = 24m लंबी तार है जो खूटे A के साथ ऊर्ध्वाधर खंभे BC = 18m
से बँधी है तो समकोण ΔABC में जो कि C पर समकोण है-
AB² = AC² + BC²
(24)² = (AC)² + (18)²
576 = AC2 + 324
AC² = 576 – 324 = 252
AC = 6√7
अतः खंभे के आधार से खूटे की दूरी = 6√7 m

प्रश्न 11.
एक हवाई जहाज एक हवाई अड्डे से उत्तर की ओर 1000 km/hr की चाल से उड़ता है। इसी समय एक अन्य हवाई जहाज उसी हवाई अड्डे से पश्चिम की ओर 1200 km/hr की चाल से उड़ता है। 1\(\frac{1}{2}\) घंटे के बाद दोनों हवाई जहाजों के बीच की दूरी कितनी होगी?

हल :
माना पहला हवाई जहाज बिंदु ० से उत्तर की ओर बिंदु A तक, \(\frac{3}{2}\) घंटे में (1000 x \(\frac{3}{2}\) km) 1500km दूरी तय करता है तथा दूसरा हवाई जहाज बिंदु O से पश्चिम की ओर बिंदु B तक \(\frac{3}{2}\) घंटे में (1200 x \(\frac{3}{2}\) km)1800km दूरी तय करता है।
अब समकोण ΔOBA में पाइथागोरस प्रमेय से,
AB² = OA² + OB²
= (1500)² + (1800)²
= 2250000+ 3240000
= 5490000 = 300 x 300 x 61
AB = 300√61 km
अतः \(\frac{3}{2}\) घंटे बाद दोनों जहाजों के बीच की दूरी = 300√61 km

प्रश्न 12.
दो खंभे जिनकी ऊँचाइयाँ 6m और 11m हैं तथा ये समतल भूमि पर खड़े हैं। यदि इनके निचले सिरों के बीच की दूरी 12m है तो इनके ऊपरी सिरों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

हलः
दिया है : दो खंभे AB और CD क्रमशः 6 m और 11 m लंबे हैं तथा उनके निचले सिरों के बीच की दूरी BD = 12 m है। सिद्ध करना है : खंभों के ऊपरी सिरों के बीच की दूरी (AC)= ?
प्रमाण :
AB = 6 m
CD = 11 m
DE = AB = 6 m
CE = CD – DE
= 11 – 6 = 5 m
AE = BD = 12 m
अब समकोण ΔACE में,
AC² = AE² + CE²
= (12)² + (5)²
= 144 + 25 = 169
या AC = \(\sqrt{169}\) = 13 m
अतः दोनों खंभों के ऊपरी सिरों के बीच की दूरी = 13 m

प्रश्न 13.
एक त्रिभुज ABC जिसका कोण C समकोण है, की भुजाओं CA और CB पर क्रमशः बिंदु D और E स्थित हैं। सिद्ध कीजिए कि AE² + BD² = AB² + DE² है।

हल :
दिया है : D और E क्रमशः समकोण ΔABC की भुजाओं CA और CB पर बिंदु हैं और ∠C समकोण है।
सिद्ध करना है : AE² + BD² = AB² + DE²
रचना : DE, DB तथा AE को मिलाओ।
प्रमाण : समकोण ΔACE में पाइथागोरस प्रमेय से,
AE² = AC² + CE² ….(i)
समकोण ΔDCB में पाइथागोरस प्रमेय से,
BD² = DC² + BC² ….(ii)
समीकरण (i) व (ii) को जोड़ने पर,
AE² + BD² = AC² + CE² + DC² + BC² –
= (AC² + BC²) + (CE² + DC²)
= AB² + DE²
[:: समकोण ΔABC में AC² + BC² = AB² व समकोण ΔDCE में CE² + DC² = DE²] [इति सिद्धम]

प्रश्न 14.
किसी त्रिभुज ABC के शीर्ष A से BC पर डाला गया लंब BC को बिंदु D पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि DB = 3CD है (देखिए संलग्न आकृति)। सिद्ध कीजिए कि 2AB² = 2AC² + BC² है।

हल :
दिया है : ΔABC में शीर्ष A से भुजा BC पर लंब AD डाला गया है जो BC को इस प्रकार प्रतिच्छेदित करता है कि DB = 3CD अर्थात् CD = \(\frac{1}{4}\)BC
सिद्ध करना है : 2AB² = 2AC² + BC²
प्रमाण : समकोण ΔABD में,
AB² = BD² + AD² (पाइथागोरस प्रमेय से)
= (BC – DC)² + AD²
= BC² + DC² – 2BC.CD + AD²
= (DC² + AD²) + BC² – 2BC.CD
= AC² + BC² – 2BC.CD(∵ समकोण ΔADC में AC² = AD² + CD²)
= AC² + BC² – 2BC x \(\frac{B C}{4}\)
= AC² + BC² – \(\frac{\mathrm{BC}^{2}}{2}\)
AB² = AC² + \(\frac{\mathrm{BC}^{2}}{2}\)
2AB² = 2AC² + BC² [इति सिद्धम]

प्रश्न 15.
किसी समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार स्थित है कि BD = \(\frac{1}{3}\)BC है। सिद्ध कीजिए कि 9AD² = 7AB² है।

हल :
दिया है : समबाहु ΔABC जिसके आधार BC पर एक ऐसा बिंदु D है कि BD =
सिद्ध करना है : 9AD² = 7AB²
रचना : शीर्ष A से AE ⊥ BC खींचिए।
प्रमाण : ∵AE ⊥ BC (रचना से)
∴ BE = \(\frac{1}{2}\) BC

समकोण ΔABE में,
AB² = BE² + AE² (पाइथागोरस प्रमेय से)
= (\(\frac{\mathrm{BC}}{2}\))² + AE²
या AB² – \(\left(\frac{\mathrm{AB}}{2}\right)^{2}\) = AE (∵ AB = BC)
या AB² – \(\frac{\mathrm{AB}^{2}}{4}\) = AE²
\(\frac{3}{4}\)AB² = AE² ……………(i)

समकोण ΔADE में,
AD² = AE² + DE² (पाइथागोरस प्रमेय से)
AE² = AD² – DE² …….(ii)
BE- BD = \(\frac{1}{2}\)BC – \(\frac{1}{3}\) BC = \(\frac{1}{6}\) BC = \(\frac{1}{6}\) AB (∵ BC = AB)
DE = \(\frac{1}{6}\) AB ……..(iii)

(i), (ii) व (iii) से स्पष्ट होता है कि,
\(\frac{3}{4}\) AB² = AD² – (\(\frac{1}{6}\)AB)²
या \(\frac{3}{4}\)AB² + \(\frac{1}{36}\)AB² = AD²
27AB² + AB² = 36AD²
28 ² = 36 AD²
7AB² = 9AD² [इति सिद्धम]

प्रश्न 16.
किसी समबाहु त्रिभुज में, सिद्ध कीजिए कि उसकी एक भुजा के वर्ग का तिगुना उसके एक शीर्षलंब के वर्ग के चार गुने के बराबर होता है।
हल :

दिया है : एक समबाहु ΔABC में AD ⊥ BC है।
सिद्ध करना है : 3AB² = 4AD²
प्रमाण : समकोण ΔABD में,
AB² = AD² + BD²
(पाइथागोरस प्रमेय से)
= AD² + [atex]\left(\frac{B C}{2}\right)^{2}[/latex]
= \(\frac{\mathrm{AD}^{2}}{1}+\frac{\mathrm{AB}^{2}}{4}\) (∵ AB = BC दिया है)
या AB² – \(\frac{\mathrm{AB}^{2}}{4}\) = AD²
या 4AB² – AB² = 4AD²
या 3AB² = 4AD² [इति सिद्धम]

प्रश्न 17.
सही उत्तर चुनकर उसका औचित्य दीजिए-ΔABC में, AB = 6√3 cm, AC = 12m और BC = 6cm है। कोण Bहै:
(A) 1200 (B) 60° (C) 90° (D) 45°
हल :
यहाँ पर ΔABC में दिया है
AB = 6√3 cm, AC = 12cm व BC = 6cm
अब (AB)² + (BC)² = (6√33 )² + (6)²
= 108+ 36 = 144 = (12)² = (AC)²
अतः ΔABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण B समकोण है अर्थात् ∠B = 90°
अतः सही उत्तर (C) है।

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.6 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Exercise 6.6

प्रश्न 1.
संलग्न आकृति में PS कोण QPR का समद्विभाजक है। सिद्ध कीजिए कि \(\frac{\mathbf{Q S}}{\mathbf{S R}}=\frac{\mathbf{P Q}}{\mathbf{P R}}\) है।


हल : दिया है : ΔPQR में भुजा PS, ∠QPR का समद्विभाजक है जो QR को S पर मिलता है। अर्थात्
∠QPS = ∠SPR
सिद्ध करना है : \(\frac{\mathrm{QS}}{\mathrm{SR}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}}\)
रचना : R से RT || SP खींचो जो QP को बढ़ाने पर T पर मिले।
प्रमाण : क्योंकि PS || TR तथा PR तिर्यक रेखा इन्हें काटती है।
∠SPR = ∠PRT (एकांतर कोण युग्म) …. (i)
∠QPS = ∠PTR (संगत कोण युग्म) …………….(ii)
परंतु ∠QPS = ∠SPR (दिया है)
∠PRT = ∠PTR (समीकरण (i) व (ii) से)
PT = PR …. (iii) (क्योंकि समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं)
अब ΔQRT में,
PS || TR (रचना से)
\(\frac{\mathrm{QS}}{\mathrm{SR}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PT}}\) (आधारभूत आनुपातिक प्रमेय से)
\(\frac{\mathrm{QS}}{\mathrm{SR}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}}\)(समीकरण (iii) से) [इति सिद्धम]

प्रश्न 2.
संलग्न आकृति में D त्रिभुज ABC के कर्ण AC पर स्थित एक बिंदु है जबकि BD ⊥ AC तथा DM ⊥ BC और DN ⊥ AB है। सिद्ध कीजिए कि
(i) DM² = DN x MC
(ii) DN² = DM x AN

हल :
दिया है : ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠ABC = 90°, BD ⊥ AC, DM ⊥ BC व DN ⊥ AB है।
(i) सिद्ध करना है : DM² = DN x MC
प्रमाण : समकोण ΔBDC में DM ⊥ BC है,
∴ ΔDMC ~ ΔBMD
\(\frac{\mathrm{DM}}{\mathrm{BM}}=\frac{\mathrm{MC}}{\mathrm{DM}}\) (समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ)
DM² = BM x MC
परंतु BMDN एक आयत है जिसमें BM = DN
अतः DM² = DN X MC [इति सिद्धम]

(ii) सिद्ध करना है : DN² = DM x AN
प्रमाण : समकोण ΔBDA में DN ⊥ AB है
ΔBDN ~ ΔADN
अतः \(\frac{\mathrm{DN}}{\mathrm{BN}}=\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{DN}}\)
या DN² = BN x AN
परंतु BMDN एक आयत है जिसमें BN = DM
अतः DN² = DM XAN [इति सिद्धम]

प्रश्न 3.
संलग्न आकृति में ABC एक त्रिभुज है जिसमें ∠ABC > 90° है तथा AD ⊥ CB है। सिद्ध कीजिए कि AC² = AB² + BC² + 2 BC. BD है।

हल :
दिया है : एक ΔABC में ∠ABC > 90° तथा AD बढ़ी हुई भुजा CB पर लंब है।
सिद्ध करना है : AC² = AB² + BC² + 2BC.BD
प्रमाण : समकोण ΔADB में पाइथागोरस प्रमेय से
AB² = AD² + DB² …………..(i)
इसी प्रकार समकोण ΔADC में पाइथागोरस प्रमेय से
AC² = AD² + DC²
AC² = AD² + (DB + BC)²
AC² = AD² + DB² + BC² + 2 DB . BC
AC² = AB² + BC² + 2 DB . BC (समीकरण (i) से)
अतः AC² = AB² + BC² + 2 BC. BD [इति सिद्धम]

प्रश्न 4.
संलग्न आकृति में ABC एक त्रिभुज है जिसमें ∠ABC < 90° है तथा AD ⊥ BC है। सिद्ध कीजिए कि AC2 = AB+ BC2 – 2 BC. BD है।

हल :
दिया है : ΔABC में ∠B < 90° और AD ⊥ BC
सिद्ध करना है : AC² = AB² + BC² – 2BC.BD
प्रमाण : समकोण ΔABD में,
AB² = AD² + BD² ….(i)
समकोण ΔADC में,
AC² = AD² + DC²
AC² = AD² + (BC – BD)² (:: DC = BC – BD)
AC² = AD² + BC² + BD² – 2BC.BD
AC² = (AD² + BD²)+ BC² – 2BC.BD
AC² = AB² + BC² – 2BC.BD (i) से] [इति सिद्धम]

 

प्रश्न 5.
संलग्न आकृति में AD त्रिभुज ABC की एक माध्यिका है तथा AM ⊥ BC है। सिद्ध कीजिए कि-
(i) AC² = AD² + BC.DM + \(\left(\frac{B C}{2}\right)^{2}\)
(ii) AB² = AD² – BC.DM + \(\left(\frac{B C}{2}\right)^{2}\)
(iii) AC² + AB² = 2AD² + \(\frac{1}{2}\)BC²

हल :
दिया है : ΔABC में AD एक माध्यिका है तथा AM ⊥ BC है।
(i) सिद्ध करना है : AC² = AD² + BC.DM + \(\left(\frac{B C}{2}\right)^{2}\)
प्रमाण : समकोण ΔAMD में पाइथागोरस प्रमेय से,
AD² = AM² + MD² ……………(i)
समकोण ΔAMC में पाइथागोरस प्रमेय से,
AC² = AM² + (MC)²
= AM² + (MD + CD)²
= AM² + MD² + CD² + 2MD.CD [∵ BC = 2CD व समीकरण (i) से]
= AD² + \(\left(\frac{B C}{2}\right)^{2}\) + MD.BC
AC² = AD² + BCDM + \(\left(\frac{B C}{2}\right)^{2}\)
AC² = AD² + BC.DM + \(\left(\frac{B C}{2}\right)^{2}\)
[इति सिद्धम]….(ii)

(ii) सिद्ध करना है : AB² = AD² – BC.DM + \(\left(\frac{B C}{2}\right)^{2}\)
प्रमाण : समकोण ΔAMD में पाइथागोरस प्रमेय से,
AD² – AM² + DM²
समकोण AAMB में पाइथागोरस प्रमेय से,
AB² = AM² + BM²
= AM² + (BD – DM)²
= AM² + BD² – 2BD.DM + DM²
= (AM² + DM²) + \(\left(\frac{B C}{2}\right)^{2}\) -(2BD).DM
= AD² – BCDM + \(\left(\frac{B C}{2}\right)^{2}\) [∵ BD = BC/2 व समीकरण (i) से]
अतः AB² = AD² – BCDM + \(\left(\frac{B C}{2}\right)^{2}\) [इति सिद्धम] ….(iv)

(iii) सिद्ध करना है : AC² + AB² = 2AD² + \(\frac{1}{2}\)BC²
प्रमाण : समीकरण (ii) व (iv) को जोड़ने पर,
AC² + AB² = 2AD² + 2 \(\left(\frac{B C}{2}\right)^{2}\)
= 2AD² + \(\frac{1}{2}\) BC²
अतः AC² + AB² = 2AD² + \(\frac{1}{2}\)BC² [इति सिद्धम]

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

हल :
दिया है : ABCD एक समांतर चतुर्भुज है जिसके विकर्ण AC तथा BD परस्पर बिंदु O पर समद्विभाजित करते हैं।
सिद्ध करना है : AB² + BC² + CD² + DA² = AC² + BD²
प्रमाण : हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC व BD / परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
इसलिए BO त्रिभुज ABC की माध्यिका तथा Do त्रिभुज ADC की माध्यिका है।
AB² + BC² = 2BO² + \(\frac{1}{2}\)AC²
DA² + CD² = 2DO² + \(\frac{1}{2}\)AC²
समीकरण (i) व (ii) को जोड़ने पर,
AB² + BC² + CD² + DA² = 2(BO² + DO²) + AC²
= \(2\left[\left(\frac{1}{2} \mathrm{BD}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2} \mathrm{BD}\right)^{2}\right]+\mathrm{AC}^{2}\)
= \(2\left[\frac{1}{4} \mathrm{BD}^{2}+\frac{1}{4} \mathrm{BD}^{2}\right]+\mathrm{AC}^{2}\)
= 2 x \(\frac{1}{2}\)BD² + AC²
= BD² + AC²
अतः AB² + BC² + CD² + DA² = AC² + BD² [इति सिद्धम]

प्रश्न 7.
संलग्न आकृति में एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD परस्पर बिंदु Pपर . प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि.
(i) ΔAPC ~ΔDPB
(ii) AP.PB = CP.DP

हल :
दिया है : एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD परस्पर वृत्त के अंतर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध करना है : (i) ΔAPC ~ΔDPB
(ii) AP.PB = CP.DP
रचना : AC और BD को मिलाइए।
प्रमाण : (i) ΔAPC और ΔDPB में,
∠PCA = ∠PBD (एक ही वृत्तखंड के कोण)
∠APC = ∠DPB (शीर्षाभिमुख कोण)
ΔAPC ~ ΔDPB (कोण-कोण समरूपता नियम से) [इति सिद्धम]

(ii) क्योंकि . ΔAPC ~ ΔDPB (प्रमाणित)
\(\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{DP}}=\frac{\mathrm{CP}}{\mathrm{PB}}\) (समरूप त्रिभुजों के संगत भाग)
या AP.PB = CP.DP [इति सिद्धम]

प्रश्न 8.
संलग्न आकृति में एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD बढ़ाने पर परस्पर बिंदु Pपर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि
(i) ΔPAC ~ΔPDB
(ii) PA.PB = PC.PD

हल :
दिया है एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD बढ़ाने पर परस्पर वृत्त के बाहर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध करना है :
(i) ΔPAC ~ΔPDB ..
(ii) PA.PB = PC.PD
रचना : AC और BD को मिलाओ।
प्रमाण : (i) बिंदु P वृत्त के बाहर स्थित है।
∠PAC + ∠CAB = 180° ….(i) (रखिक युग्म)
और, ∠CAB + ∠PDB = 180° …(ii) (चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण)
समीकरण (i) व (ii) से,
∠PAC + ∠CAB = ∠CAB+ ∠PDB
∠PAC = ∠PDB
अब त्रिभुजों PAC तथा PDB में,
∠PAC = ∠PDB (प्रमाणित)
∠APC = ∠DPB (उभयनिष्ठ कोण)
ΔPAC ~ ΔPDB (कोण-कोण समरूपता) [इति सिद्धम ]

(ii) क्योंकि
ΔPAC ~ ΔPDB(प्रमाणित)
\(\frac{\mathrm{PA}}{\mathrm{PD}}=\frac{\mathrm{PC}}{\mathrm{PB}}\) (समरूप त्रिभुजों के संगत भाग)
PA.PB = PC.PD [इति सिद्धम].

प्रश्न 9.
संलग्न आकृति में त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार स्थित है कि \(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\) है। सिद्ध कीजिए कि AD, कोण BAC का समद्विभाजक है।
हल :
दिया है : ΔABC की भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार स्थित है कि-
\(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\)
सिद्ध करना है : AD, ∠BAC का समद्विभाजक है।
रचना : भुजा BA को E तक इस प्रकार बढ़ाओ कि AE = AC हो तथा CE को मिलाओ।

प्रमाण : ΔAEC में AE = AC (रचना से)
∠AEC= ∠ACE (समान भुजाओं के सम्मुख कोण) ….(i)
\(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\) (दिया है)
(∵ AE = AC रचना से)
DA || CE (आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय का विलोम)
अब DA || CE तथा CA व AE एक तिर्यक रेखा है इसलिए
∠BAD = ∠AEC (संगत कोण युग्म) ….(ii)
∠DAC = ∠ACE (एकांतर कोण युग्म) ………….(iii)
अब समीकरण (i), (ii) व (iii) की तुलना से,
∠BAD = ∠DAC
अतः AD, ∠BAC का समद्विभाजक है। [इति सिद्धम]

प्रश्न 10.
नाज़िमा एक नदी की धारा में मछलियाँ पकड़ रही है। उसकी मछली पकड़ने वाली छड़ का सिरा पानी की सतह से 1.8m ऊपर है तथा डोरी के निचले सिरे से लगा काँटा पानी के सतह पर इस प्रकार स्थित है कि उसकी नाजिमा से दूरी 3.6m है और छड़ के सिरे के ठीक नीचे पानी के सतह पर स्थित बिंदु से उसकी दूरी 2.4m है। यह मानते हुए कि उसकी डोरी (उसकी छड़ के सिरे से काँटे तक) तनी हुई है, उसने कितनी डोरी बाहर निकाली हुई है (देखिए संलग्न आकृति)? यदि वह डोरी को 5cm/s की दर से अंदर खींचे, तो 12 सेकंड के बाद नाजिमा की काँटे से क्षैतिज दूरी कितनी होगी?

हल :
प्रश्नानुसार, यहाँ पर हम AC ज्ञात करना चाहते हैं जबकि AB = 2.4m व BC = 1.8m है।
समकोण ΔABC में पाइथागोरस प्रमेय से,
(AC)² = (AB)² + (BC)²
= (2.4)² + (1.8)²
= 5.76 + 3.24
= 9.00
AC = 3m
अतः तनी हुई डोरी का जितना भाग पानी से बाहर है = 3m
डोरी को अंदर खींचने की दर = 5 cm/s
12 सेकंड में खींची डोरी की लंबाई = 5 x 12 = 60cm
= 0.6m
जितनी डोरी बाहर शेष है = (3 – 0.6)m = 2.4m

इस स्थिति में,
(PB)² = (PC)² – (BC)²
= (2.4)² – (1.8)²
= 5.76 – 3.24
= 2.52
PB = 1.59m (लगभग)
अतः नाजिमा की काँटे से क्षैतिज दूरी = (1.59 + 1.2)m
= 2.79m (लगभग)

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Exercise 4.3

प्रश्न 1.
यदि निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों का अस्तित्व हो तो इन्हें पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए-
(i) 2x² – 7x + 3 = 0
(ii) 2x² + x – 4= 0
(iii) 4x² + 4√3 x + 3 = 0
(iv) 2x² + x + 4= 0
हल:
(i) यहाँ पर,
2x² – 7x + 3 = 0
a = 2, b = -7, c = 3
विविक्तकर = b² – 4ac
= (-7)² – 4(2)(3)
= 49 -24 = 25 > 0
∵ मूलों का अस्तित्व है।
अब 2x² – 7x + 3 = 0
दोनों ओर 2 से भाग करने पर

अतः दी गई द्विघात समीकरण के अभीष्ट मूल = 3 व \(\frac{1}{2}\) उत्तर

(ii) यहाँ पर,
2x² + x – 4 = 0 .
a = 2, b = 1,c = -4
विविक्तकर = b² – 4ac
= (1)² – 4(2)(-4)
= 1 + 32 = 33 > 0
∴ मूलों का अस्तित्व है।
अब 2x² +x-4 = 0
दोनों ओर 2 से भाग करने पर,

अतः दी गई द्विघात समीकरण के अभीष्ट मूल = \(\frac{\sqrt{33}-1}{4}\) व \(\frac{-(\sqrt{33}+1)}{4}\)

(iii) यहाँ पर,
4x² + 4√3x + 3 = 0
a = 4, b = 4√3,c = 3
विविक्तकर = b² – 4ac
= (4√3)²-4(4)(3)
= 48 – 48 = 0
∴ मूलों का अस्तित्व है।
4x² +4√3x + 3 = 0
(2x)2 + 2 x 2x x √3 + (√3)2 = 0
(2x + √3 )2 = 0
2x + √3 = 0 और 2x + √3 = 0
x = \(\) और x = \(\)
अतः दी गई समीकरण के अभीष्ट मूल =

(iv) यहाँ पर,
2x² + x + 4 = 0
a = 2, b = 1,c = 4
विविक्तकर = b² – 4ac
= (1)² – 4(2)(4)
= 1 – 32 = -31 <0
∴ मूलों का अस्तित्व नहीं है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूल, द्विघाती सूत्र का उपयोग करके ज्ञात कीजिए-
(i) 2x² – 7x + 3 = 0
(ii) 2x² + x – 4 = 0
(iii) 4x² + 4√3x + 3 = 0
हल:
(i) यहाँ पर,
2x√ – 7x + 3 = 0
a= 2, b =-7,c = 3
द्विघाती सूत्र का उपयोग करके हम पाते हैं-

अतः दी गई द्विघात समीकरण के मूल = 3 व = \(\frac{1}{2}\)

(ii) यहाँ पर,
2x² + x – 4 = 0
a = 2, b = 1,c = -4
द्विघाती सूत्र का उपयोग करके हम पाते हैं-

(iii) यहाँ पर,
4x² + 4√3 x + 3 = 0
a = 4, b = 4√3,c = 3
द्विघाती सूत्र का उपयोग करके हम पाते हैं,

प्रश्न 3.
निम्नलिखित समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए-
(i) x – \(\frac{1}{x}\) = 3 x ≠ 0
(ii) \(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-7}=\frac{11}{30}\) x ≠ -4, 7
हल:
(i) यहाँ पर, x – \(\frac{1}{x}\) = 3
x² – 1 = 3x (दोनों ओर x से गुणा करने पर)
x² – 3x – 1 = 0
a = 1, b = -3,c = -1
विविक्तकर = b² – 4ac
= (-3)² – 4(1)(-1)
= 9 + 4 = 13>0
∴ दी गई समीकरण के मूल वास्तविक हैं।
अब द्विघाती सूत्र के उपयोग से,

(ii) यहाँ पर, \(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-7}=\frac{1i}{30}\)
30(x -7)-30(x + 4) = 11(x + 4)(x-7)
(दोनों ओर 30(x + 4)(x – 7) से गुणा करने पर)
30x – 210 – 30x – 120 = 11(x² – 3x – 28)
-330 = 11(x² – 3x – 28)
x² – 3x – 28 = -30
x² – 3x + 2 = 0
a = 1, b = -3, c = 2
विविक्तकर = b² – 4ac
= (-3)² – 4(1)(2)
= 9 – 8 = 1 > 0
∴ दी गई समीकरण के मूल वास्तविक हैं।
अब द्विघाती सूत्र के उपयोग से,

अतः दी गई समीकरण के अभीष्ट मूल = 2 व 1

प्रश्न 4.
3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु (वर्षों में) का व्युत्क्रम और अब से 5 वर्ष पश्चात् आयु के व्युत्क्रम का योग उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
हल :
माना
रहमान की वर्तमान आयु = x वर्ष
तो 3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु = (x – 3) वर्ष
तो 5 वर्ष पश्चात् रहमान की आयु = (x + 5) वर्ष
प्रश्नानुसार,
\(\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{3}\)
3(x + 5) + 3(x – 3) = (x-3)(x +5)
(दोनों ओर 3(x – 3)(x + 5) से गुणा करने पर)
3x + 15 + 3x-9 = x² – 3x + 5x – 15
6x + 6 = x² + 2x – 15
x² + 2x – 6x – 15 – 6 = 0
x² – 4x – 21 = 0
a = 1, b = -4,c = -21
विविक्तकर = b² – 4ac
= (-4)² – 4(1)(-21)
= 16 + 84 = 100 >0
∵ दी गई समीकरण के मूल वास्तविक हैं।
अब द्विघाती सूत्र के उपयोग से,

परंतु x =-3 असंभव है, क्योंकि आयु ऋणात्मक नहीं हो सकती,
अतः रहमान की वर्तमान आयु = 7 वर्ष

प्रश्न 5.
एक क्लास टेस्ट में शेफाली के गणित और अंग्रेजी में प्राप्त किए गए अंकों का योग 30 है। यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले होते, तो उनके अंकों का गुणनफल 210 होता। उसके द्वारा दोनों विषयों में प्राप्त किए अंक ज्ञात कीजिए।
हल:
माना क्लास टेस्ट में शेफाली द्वारा गणित में प्राप्त अंक = x
तो क्लास टेस्ट में शेफाली द्वारा अंग्रेजी में प्राप्त अंक = (30 -x)
प्रश्नानुसार,
(x + 2)(30 – x – 3) = 210
(x + 2)(27 – x) = 210
27x – x² + 54 – 2x – 210 = 0
-x² + 25x – 156 = 0
x² – 25x + 156 = 0 (दोनों ओर -1 से गुणा करने पर)
x² – 13x – 12x + 156 = 0
x(x – 13)- 12(x – 13) = 0
(x – 13)(x – 12) = 0
x – 13 = 0 या x – 12 = 0
x = 13 या x = 12
अतः शेफाली द्वारा गणित में प्राप्त अंक 13 तो अंग्रेजी में प्राप्त अंक = 30 – 13 = 17
तथा शेफाली द्वारा गणित में प्राप्त अंक 12 तो अंग्रेजी में प्राप्त अंक == 30 – 12 = 18

प्रश्न 6.
एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 60 मी० अधिक लंबा है। यदि बड़ी भुजा छोटी भुजा से 30 मी० अधिक हो, तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल :

माना आयताकार खेत की छोटी भुजा = x मी०
तो आयताकार खेत की बड़ी भुजा = (x + 30) मी०
आयताकार खेत का विकर्ण = (x + 60) मी०
हम जानते हैं कि किसी आयताकार खेत के लिए,
x² + (x + 30)² = (x + 60)²
x² + x² + 60x + 900 = x² + 120x + 3600
2x² – x² + 60x – 120x + 900 – 3600 = 0
x² – 60x – 2700 = 0
x² – 90x + 30x – 2700 = 0
x(x – 90) + 30(x – 90) = 0
(x – 90)(x + 30) = 0
x – 90 = 0 या x + 30 = 0
x = 90 या x = -30
परंतु x = -30 असंभव है, क्योंकि भुजाएँ ऋणात्मक नहीं हो सकती।
अतः आयताकार खेत की छोटी भुजा = 90 मी०
तथा आयताकार खेत की बड़ी भुजा = 90 + 30 = 120 मी०

प्रश्न 7.
दो संख्याओं के वर्गों का अंतर 180 है। छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुना है। दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना छोटी संख्या = x
तथा बड़ी संख्या = y
प्रश्नानुसार,
x² = 8y …..(1)
(y)² – (x)² = 180 ……(ii)
समीकरण (i) व (ii) से प्राप्त होता है,
y² – 8y – 180 = 0
y² – 18y + 10y – 180 = 0
y(y – 18) + 10(y – 18) = 0
(y – 18)(y + 10) = 0
y – 18 = 0 या y + 10 = 0
y = 18 या y = -10
परंतु y = -10 असंभव है, क्योंकि समीकरण (i) अनुसार किसी संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता।
y = 18
y का मान समीकरण (i) में रखने पर,
x² = 8 x 18 = 144
x = ±12
अतः अभीष्ट संख्याएँ = 18 व 12 अथवा 18 व -12

प्रश्न 8.
एक रेलगाड़ी एक समान चाल से 360km की दूरी तय करती है। यदि यह चाल 5km/h अधिक होती, तो वह उसी यात्रा में 1 घंटा कम समय लेती। रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए।
हल :
माना रेलगाड़ी की सामान्य चाल = x km/h
रेलगाड़ी द्वारा चली गई कुल दूरी = 360km
रेलगाड़ी द्वारा सामान्य चाल से 360km दूरी तय करने में लिया गया समय = \(\frac{360}{x} \mathrm{~h}\)
रेलगाड़ी द्वारा बढ़ी चाल से 360km दूरी तय करने में लिया गया समय = \(\frac{360}{x+5} \mathrm{~h}\)
प्रश्नानुसार,
\(\frac{360}{x}-\frac{360}{x+5}\) = 1
360(x + 5) – 360x = x(x + 5) (दोनों ओर x(x + 5) से गुणा करने पर)
360x + 1800 – 360x = x² + 5x
x² + 5x – 1800 = 0
x² + 45x – 40x – 1800 = 0
x(x + 45) – 40(x + 45) = 0
(x + 45)(x – 40) = 0
x+ 45 = 0 या x – 40 = 0
x = -45 या x = 40
परंतु x = – 45 असंभव है, क्योंकि चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती,
अतः रेलगाड़ी की सामान्य चाल = 40km/h

प्रश्न 9.
दो पानी के नल एक-साथ एक हौज को 9\(\frac{3}{8}\) घंटों में भर सकते हैं। बड़े व्यास वाला नल हौज को भरने में, कम व्यास वाले नल से 10 घंटे कम समय लेता है। प्रत्येक द्वारा अलग से हौज को भरने के समय ज्ञात कीजिए।
हल :
माना कम व्यास वाला नल दिए गए हौज को भर सकता है = x घंटे में
तो अधिक व्यास वाला नल दिए गए हौज को भर सकता है = (x – 10) घंटे में
कम व्यास वाले नल का \(\frac{75}{8}\) घंटे का काम = \(\frac{75}{8 x}\)
अधिक व्यास वाले नल का \(\frac{75}{8}\) घंटे का काम = \(\frac{75}{8(x-10)}\)
प्रश्नानुसार,
\(\frac{75}{8 x}+\frac{75}{8(x-10)}\) = 1
(दोनों ओर 8x(x-10) से गुणा करने पर)
75(x – 10) + 75x = 8x(x – 10) .
75x – 750 + 75x = 8x² – 80x
8x² – 80x – 150x + 750 = 0
8x² – 230x + 750 = 0
8x² – 200x -30x + 750 = 0
8x(x – 25) – 30(x – 25) = 0
(x – 25)(8x – 30) = 0
x – 25 = 0 या 8x – 30 = 0
x = 25 या x = \(\frac{30}{8}=\frac{15}{4}\)
परंतु x = \(\frac{15}{4}\) असंभव है, क्योंकि इससे अधिक व्यास वाला समय ऋणात्मक हो जाएगा।
अतः कम व्यास वाला नल दिए गए हौज को भर सकता है = 25 घंटों में
और अधिक व्यास वाला नल दिए गए हौज को भर सकता है = (25 – 10) घंटों में = 15 घंटों में

प्रश्न 10.
मैसूर और बैंगलोर के बीच के 132km यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी, सवारी गाड़ी से 1 घंटा समय कम लेती है (मध्य के स्टेशनों पर ठहरने का समय ध्यान में न लिया जाए)। यदि एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल, सवारी गाड़ी की औसत चाल से 11km/h अधिक हो, तो दोनों रेलगाड़ियों की औसत चाल ज्ञात कीजिए।
हल :
माना सवारी गाड़ी की औसत चाल = x km/h
तो एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल = (x + 11)km/h
सवारी गाड़ी द्वारा 132km दूरी तय करने में लिया गया समय = \(\frac{132}{x}\)h
एक्सप्रेस रेलगाड़ी द्वारा 132km दूरी तय करने में लिया गया समय = \(\frac{132}{x+11} \mathrm{~h}\)
प्रश्नानुसार,
\(\frac{132}{x}-\frac{132}{x+11}\) = 1
132(x + 11)- 132x = x(x + 11) (दोनों ओर x(x + 11) से गुणा करने पर)
132x + 1452 – 132x = x² + 11x
x² + 11x- 1452 = 0
x² + 44x – 33x – 1452 = 0
x(x + 44)-33(x + 44) = 0
(x + 44)(x – 33) = 0
x + 44 = 0 या x – 33 = 0
x = -44 या x = 33
परंतु x = -44 असंभव है, क्योंकि चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती।
अतः सवारी गाड़ी की औसत चाल = 33km/h
तथा एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल = (33 + 11) = 44km/h

प्रश्न 11.
दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468m है। यदि उनके परिमापों का अंतर 24m हो, तो दोनों वर्गों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना पहले वर्ग की भुजा = x मी० व दूसरे वर्ग की भुजा =y मी०
तो पहले वर्ग का परिमाप = 4x मी० व दूसरे वर्ग का परिमाप = 4y मी०
तथा पहले वर्ग का क्षेत्रफल = x² वर्ग मी० व दूसरे वर्ग का क्षेत्रफल = y² वर्ग मी०
प्रश्नानुसार,
4x – 4y = 24
x – y = 6
x = 6 +y
x² + y² = 468
समीकरण (i) के (x) का मान समीकरण (ii) में रखने पर,
(6 + y)² + y² = 468
⇒ 36 + y² + 12y + y² – 468 = 0
⇒ 2y² + 12y – 432 = 0
⇒ y² + 6y – 216 = 0
⇒ y² + 18y – 12y – 216 = 0
⇒ y(y + 18) – 12(y + 18) = 0
⇒ (y + 18)(y – 12) = 0
⇒ y + 18 = 0 या y- 12 = 0
⇒ y = -18 या y = 12
परंतु y = -18 असंभव है, क्योंकि भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती।
∴ y = 12 ⇒ x = 6 + 12 = 18
अतः पहले वर्ग की भुजा = 18 मी०
दूसरे वर्ग की भुजा = 12 मी०

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Exercise 4.4

प्रश्न 1.
निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि मूलों का अस्तित्व हो तो उन्हें ज्ञात कीजिए
(i) 2x² – 3x + 5 = 0
(ii) 3x² – 4√3x + 4 = 0
(iii) 2x² – 6x + 3 = 0
हल :
(i) यहाँ पर,
2x² – 3x + 5 = 0
a = 2, b = – 3,c = 5
विविक्तकर = b² – 4ac
= (-3)² – 4(2)(5)
= 9 – 40 =-31 <0.
अतः दिए गए द्विघात समीकरण के वास्तविक मूलों का अस्तित्व नहीं है।

(ii) यहाँ पर,
3x²– 4√3x + 4 = 0
a = 3, b = -4√3,c = 4
विविक्तकर = b² – 4ac
= (-4√3)²-4(3)(4)
= 48 – 48 = 0
अतः दिए गए द्विघात समीकरण के दो बराबर वास्तविक मूल हैं।
अब द्विघाती सूत्र के उपयोग से,

(iii) यहाँ पर,
2x² – 6x + 3 = 0.
a = 2, b = -6, c = 3
विविक्तकर = b² – 4ac
= (-6)² – 4(2)(3)
= 36 – 24 = 12 > 0
अतः दिए गए द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं। अब द्विघाती सूत्र की सहायता से,

प्रश्न 2.
निम्नलिखित प्रत्येक द्विघात समीकरण में k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि उसके दो बराबर मूल हों।
(i) 2x² + kx + 3 = 0
(ii) ke(x – 2) + 6 = 0
हल :
(i) यहाँ पर,
2x² + kx + 3 = 0
a = 2, b = k, c = 3
विविक्तकर = b² – 4ac
= (k)² – 4(2)(3)
= K² – 24
हम जानते हैं कि द्विघात समीकरण के दो बराबर वास्तविक मूलों के लिए आवश्यक है कि,
b² – 4ac = 0
K² – 24 = 0
k² = 24
k = \(\pm \sqrt{24}=\pm \sqrt{2 \times 2 \times 6}\)
= \(\pm 2 \sqrt{6}\)
अतः k = ±2√6 के लिए दिए गए द्विघात समीकरण के दो बराबर मूल होंगे।

(ii) यहाँ पर,
kx(x – 2) + 6 = 0
kx² – 2 kx + 6 = 0
a = k, b = -2k, c = 6
विविक्तकर = b² – 4ac = 0
= (-2k)² – 4(k)(6) = 0
= 4k² – 24k
हम जानते हैं कि द्विघात समीकरण के दो बराबर वास्तविक मूलों के लिए आवश्यक है कि,
b² – 4ac = 0
4k² – 24k = 0
4k(k – 6) = 0
4k = 0 या k – 6 = 0
k= 0 या k = 6
परंतु k = 0 असंभव है।
अतः k = 6 के लिए दिए गए द्विघात समीकरण के दो बराबर मूल होंगे।

प्रश्न 3.
क्या एक ऐसी आम की बगिया बनाना संभव है जिसकी लंबाई, चौड़ाई से दुगुनी हो और उसका क्षेत्रफल 800m- हो? यदि है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना आम की बगिया की चौड़ाई = x मी०
तो आम की बगिया की लंबाई = 2x मी०
अतः आम की बगिया का क्षेत्रफल = लंबाई x चौड़ाई
= 2x x x वर्ग मी०
= 2x² वर्ग मी०
प्रश्नानुसार,
2x² = 800
x² = 400
x = \(\sqrt{400}\) = ± 20
परंतु x = -20 असंभव है क्योंकि भुजाएँ ऋणात्मक नहीं होती।
अतः आम की बगिया की लंबाई = 2 x 20 = 40 मी०
उत्तर तथा आम की बगिया की चौड़ाई = 20 मी०

प्रश्न 4.
क्या निम्न स्थिति संभव है? यदि है तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए। दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है। चार वर्ष पूर्व उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल 48 था।
हल :
माना एक मित्र की वर्तमान आयु = x वर्ष ।
तो दूसरे मित्र की वर्तमान आयु = (20 -x) वर्ष
प्रश्नानुसार,
(x – 4)(20 – x – 4) = 48
(x – 4)(16 – x) = 48
16x – x² – 64 + 4x = 48 -x2 + 20x -64-48 = 0
-x² + 20x – 112 = 0
x² – 20x + 112 = 0 (दोनों ओर -1 से गुणा करने पर)
a = 1, b = -20,c = 112
विविक्तकर = b² – 4ac
= (-20)² – 4(1)(112)
= 400 – 448 = -48 <0
इस द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक नहीं है,
अतः दी गई स्थिति संभव नहीं है।

प्रश्न 5.
क्या परिमाप 80m तथा क्षेत्रफल 400m- के एक पार्क को बनाना संभव है? यदि है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर
पार्क का परिमाप = 80 मी०
तो पार्क का अर्धपरिमाप = 80/2 = 40 मी०
माना पार्क की लंबाई = x मी०
तो पार्क की चौड़ाई = (40-x) मी०
पार्क का क्षेत्रफल = 400 मी०²
x(40-x) = 400
40x-x² = 400
x² – 40x + 400 = 0
a = 1, b = -40, c = 400
विविक्तकर = b² – 4ac
= (40)² – 4(1)(400)
= 1600-1600 = 0
इस द्विघात समीकरण के दो बराबर वास्तविक मूल संभव हैं।
अतः दी गई स्थिति संभव है।
अब द्विघाती सूत्र के उपयोग से

= 20 व 20
अतः पार्क की लंबाई = 20 मी०
तथा पार्क की चौड़ाई = 40 – 20 = 20 मी०

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Exercise 2.1

प्रश्न 1.
किसी बहुपद p(x) के लिए, y = p(x) का ग्राफ नीचे आकृति में दिया है। प्रत्येक स्थिति में, p(x) के शून्यकों की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल :
(i) शून्यकों की संख्या शून्य है अर्थात् कोई शून्यक नहीं है क्योंकि ग्राफ x-अक्ष को किसी भी बिंदु पर प्रतिच्छेद नहीं करता।
(ii) शून्यकों की संख्या 1 है, क्योंकि ग्राफ x-अक्ष को केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है।
(iii) शून्यकों की संख्या 3 है, क्योंकि ग्राफ x-अक्ष को तीन बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
(iv) शून्यकों की संख्या 2 है, क्योंकि ग्राफ x-अक्ष को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
(v) शून्यकों की संख्या 4 है, क्योंकि ग्राफ x-अक्ष को चार बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
(vi) शून्यकों की संख्या 3 है, क्योंकि ग्राफ x-अक्ष को तीन बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।