Class 10

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Exercise 1.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए-
(i) 135 और 225
(ii) 196 और 38220
(iii) 867 और 255
हल :
(i) यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से
= 135 x 1 + 90
135 = 90 x 1 +45
= 45 x 2 + 0

क्योंकि यहाँ पर शेषफल शून्य तथा भाजक 45 है।
इसलिए 135 और 225 का HCF = 45

(ii) यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से-
38220 = 196 x 195 + 0

1862 क्योंकि यहाँ पर शेषफल शून्य तथा भाजक 196 है।
इसलिए 196 और 38220 का HCF = 196

(iii) यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम से-
867 = 255 x 3 + 102
255 = 102 x 2 + 51
102 = 51 x 2 + 0

क्योंकि यहाँ पर शेषफल शून्य तथा भाजक 51 है।
इसलिए 867 और 255 का HCF = 51

प्रश्न 2.
दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1 या 6q +3 या 6q + 5 के रूप का होता है, जहाँ कोई पूर्णांक है।
हल :
माना a एक धनात्मक विषम पूर्णांक तथा b = 6 हो तो यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से-
a = 6q + r
क्योंकि 0 ≤ r < 6 है, इसलिए संभावित शेषफल 0, 1, 2, 3, 4 और 5 हो सकते हैं।
अर्थात् a संख्याओं 6q, 6q+ 1, 6q + 2, 6q + 3, 6q + 4 या 6q +5 के रूप का हो सकता है जहाँ qभागफल है।
अब क्योंकि a एक विषम पूर्णांक है इसलिए यह 6q, 6q + 2 और 6q + 4 के रूप का नहीं हो सकता।
(क्योंकि ये तीनों 2 से विभाज्य अर्थात् सम हैं)।
अतः कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q+ 1,6q + 3 या 6q + 5 के रूप का होगा।

प्रश्न 3.
किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना (आर्मी) की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है। दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तंभों में मार्च करना है। उन स्तंभों की अधिकतम संख्या क्या है, जिसमें वे मार्च कर सकते हैं?
हल :
प्रश्नानुसार यहाँ पर हमें 616 और 32 का HCF यूक्लिड एल्गोरिथ्म द्वारा ज्ञात करना है-
616 = 32 x 19 + 8
32 = 8 x 4 + 0

क्योंकि यहाँ पर शेषफल शून्य तथा भाजक 8 है।
इसलिए 616 और 32 का HCF = 8
अतः स्तंभों की अधिकतम संख्या = 8

प्रश्न 4.
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के . लिए 3m या 3m + 1 के रूप का होता है।
हल :
माना x एक धनात्मक पूर्णांक है तो यह 3q, 3q + 1 या 3q+ 2 के रूप का होगा।
पहली अवस्था में जब x = 3q
तो x² = (3q)²
= 9q² = 3(3q²)
= 3m जहाँ m = 3q²
दूसरी अवस्था में जब x = 3q + 1
तो x ² = (3q + 1)²x
= 9q² + 2 x 3q x 1 +1
= 9q2 + 6q + 1
= 3q (3q + 2) +1
= 3m + 1 जहाँ m = q(3q+ 2)
तीसरी अवस्था में जब x = 3q + 2
x² = (3q + 2)²
= 9q² + 2 x 3q x 2 +4
= 9q² + 12q + 3 + 1
= 3(3q² + 4q + 1) +1
= 3m + 1 जहाँ m = 3q² + 4q + 1
अतः x धनात्मक पूर्णांक के वर्ग को 3m तथा 3m + 1 के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ m कोई पूर्णांक है।

प्रश्न 5.
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है।
हल :
माना x एक धनात्मक पूर्णांक है तो यह 3q, 3q + 1 या 3q+ 2 के रूप में होगा।
पहली अवस्था में जब x = 3q
x³ = (3q)³
= 27q³ = 9(3q³)
= 9m जहाँ m = 3q³
दूसरी अवस्था में जब x = 3q + 1
x³ = (3q+ 1)³
= (3q)³ + 3 x 3q x 1(3q+ 1) + (1)³
= 27q³ + 27q² + 9q+1
= 9q (3q² + 3q + 1) + 1
= 9m + 1 जहाँ m = q(3q³ + 3q+ 1)
तीसरी अवस्था में जब x = 3q + 2
x³ = (3q+ 2)³
= (3q)³ + 3 x 3q x 2 (3q + 2) + (2)³
= 27q³ + 54q² + 36q + 8
= 9q (3q² + 6q + 4) + 8
= 9m + 8 जहाँ m = q(3q² + 6q+ 4)
अतः x धनात्मक पूर्णांक के घन को 9m, 9m + 1 तथा 9m + 8 के रूप में लिखा जा सकता है।

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Exercise 1.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए
(i) 140 (ii) 156 (i) 3825 . (iv) 5005 (1) 7429
हल :
(i)

140 = 2 x 2 x 5 x 7
= 2² x 5 x 7

(ii)

156 = 2 x 2 x 3 x 13
= 2² x 3 x 13

(iii)

3825 = 3 x 3 x 5 x 5 x 17
= 3² x 5² x 17

(iv)

5005 = 5 x 7 x 11 x 13

(v)

7429 = 17 x 19 x 23

प्रश्न 2.
पूर्णांकों के निम्नलिखित युग्मों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = HCF X LCM है। .
(i) 26 और 91
(ii) 510 और 92
(iii) 336 और 54
हल :

26 = 2 × 13
91 = 7× 13
∴ 26 और 91 का HCF = 13
तथा 26 और 91 का LCM = 2 × 13 × 7 = 182
जाँच-दो संख्याओं का गुणनफल = 26 × 91 = 2366
HCF(26, 91) × LCM(26, 91) = 13 × 182 = 2366
अतः दो संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM

∴ 510 = 2 × 3 × 5 × 17
92 = 2 × 2 × 23 = 2² × 23
∴ HCF(510, 92) = 2
तथा LCM(510, 92) = 2² × 3 × 5 × 17 × 23
= 4 × 3 × 5 × 17 × 23
= 23460
जाँच-दो संख्याओं का गुणनफल = 510 × 92 = 46920
दी गई संख्याओं के HCF और LCM का गुणनफल = 2 × 23460 = 46920
अतः दो संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM

336 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7 = 24 × 3×7
54 = 2 × 3×3 × 3 = 2 × 3³
∴ HCF(336, 54) = 2 × 3 = 6
तथा LCM(336, 54) = 2⁴ × 3³ × 7
_ = 16 × 27×7
= 3024
जाँच-दो संख्याओं का गुणनफल = 336 × 54 = 18144
दी गई संख्याओं के HCF और LCM का गुणनफल = 6 × 3024 = 18144
अतः दो संख्याओं का गुणनफल = HCF X LCM

प्रश्न 3.
अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए-
(i) 12, 15 और 21
(ii) 17, 23 और 29
(iii) 8,9 और 25
हल :

12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3
15 = 3 × 5
21 = 3 × 7
∴ HCF(12, 15, 21) = अभाज्य गुणनखंडों की उभयनिष्ठ सबसे छोटी घातों का गुणनफल = 3¹ = 3
LCM(12, 15, 21) = अभाज्य गुणनखंडों की सबसे बड़ी घातों का गुणनफल = 2² × 3 × 5 × 7
=4 × 3 × 5 × 7 = 420

(ii). 17 = 1 × 17
23 = 1 × 23
29 = 1 × 29
∴ HCF(17, 23, 29) = अभाज्य गुणनखंडों की उभयनिष्ठ सबसे छोटी घातों का गुणनफल = 1
LCM(17,23,29) = अभाज्य गुणनखंडों की सबसे बड़ी घातों का गुणनफल = 1 × 17 × 23 × 29 = 11339

8 = 2 × 2 × 2 = 2³
9 = 3 × 3 = 3²
25 = 5 × 5 = 5²
∴ HCF(8, 9,25) = अभाज्य गुणनखंडों की उभयनिष्ठ सबसे छोटी घातों का गुणनफल = 1
LCM(8, 9, 25) = अभाज्य गुणनखंडों की सबसे बड़ी घातों का गुणनफल = 2³ × 3² × 5²
= 8 × 9 × 25 = 1800

प्रश्न 4.
HCF(306, 657) = 9 दिया है। LCM (306, 657) ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ पर, दी गई संख्याएँ = 306 व 657
HCF(306, 657) = 9
∴ LCM(306, 657) = \(\frac{306 \times 657}{\operatorname{HCF}(306,657)}\)
= \(\frac{306 \times 657}{9}\) = 34 × 657 = 22338

प्रश्न 5.
जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए, संख्या 6 अंक 0 पर समाप्त हो सकती है।
हल :
हम जानते हैं कि कोई भी धनात्मक प्राकृत संख्या जो शून्य पर समाप्त होती है वह 5 से विभाज्य होती है, इसलिए उसके अभाज्य गुणनखंडों में अभाज्य संख्या 5 होनी चाहिए।
अब 6ⁿ = (2 × 3)ⁿ = 2ⁿ × 3ⁿ
यहाँ पर 6ⁿ के अभाज्य गुणनखंडों में केवल 2 और 3 हैं।
अतः 6ⁿ किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए कभी भी शून्य पर समाप्त नहीं हो सकती।

प्रश्न 6.
व्याख्या कीजिए कि 7 × 11 × 13 + 13 और 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 भाज्य संख्याएँ क्यों हैं।
हल :
यहाँ पर,
पहली संख्या = 7 × 11 × 13 + 13
= [7 × 11 × 1 + 1] × 13 जो कि 13 से भाज्य है। इसी प्रकार,
दूसरी संख्या = 7 × 6 × 5 ×.4 × 3 × 2 × 1 + 5
= [7 × 6 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1 + 1] × 5 जो कि 5 से भाज्य है।
अतः संख्याएँ 7 × 11 × 13 + 13 और 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 भाज्य संख्याएँ हैं।

प्रश्न 7.
किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है। इस मैदान का एक चक्कर लंगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते हैं, जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12 मिनट लगते हैं। मान लीजिए वे दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारंभ करके एक ही दिशा में चलते हैं। कितने समय बाद वे पुनः प्रारंभिक स्थान पर मिलेंगे?
हल :
यहाँ पर हम 18 मिनट और 12 मिनट का LCM ज्ञात करेंगे, जो कि सोनिया और रवि का पुनः मिलने का समय होगा।

18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 3²
12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3
∴ LCM(18, 12) = 2² × 3² = 4 × 9 = 36
अतः सोनिया और रवि एक ही स्थान से चलने के बाद दोबारा 36 मिनट बाद प्रारंभिक स्थान पर मिलेंगे।

Haryana Board HBSE 10th Class Maths Solutions

HBSE 10th Class Maths Solutions in Hindi Medium

HBSE 10th Class Maths Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ

• Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.1
• Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.2
• Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.3
• Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.4

HBSE 10th Class Maths Chapter 2 बहुपद

• Chapter 2 बहुपद Ex 2.1
• Chapter 2 बहुपद Ex 2.2
• Chapter 2 बहुपद Ex 2.3
• Chapter 2 बहुपद Ex 2.4

HBSE 10th Class Maths Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म

• Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.1
• Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2
• Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.3
• Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.4
• Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.5
• Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.6
• Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.7

HBSE 10th Class Maths Chapter 4 द्विघात समीकरण

• Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.1
• Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.2
• Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3
• Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.4

HBSE 10th Class Maths Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ

• Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.1
• Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.2
• Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3
• Chapter 5 समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.4

HBSE 10th Class Maths Chapter 6 त्रिभुज

• Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.1
• Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.2
• Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.3
• Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.4
• Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.5
• Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.6

HBSE 10th Class Maths Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति

• Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.1
• Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.2
• Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.3
• Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.4

HBSE 10th Class Maths Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय

• Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.1
• Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.2
• Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.3
• Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.4

HBSE 10th Class Maths Chapter 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग

• Chapter 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग Ex 9.1

HBSE 10th Class Maths Chapter 10 वृत्त

• Chapter 10 वृत्त Ex 10.1
• Chapter 10 वृत्त Ex 10.2

HBSE 10th Class Maths Chapter 11 रचनाएँ

• Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.1
• Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.2

HBSE 10th Class Maths Chapter 12 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल

• Chapter 12 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.1
• Chapter 12 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.2
• Chapter 12 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.3

HBSE 10th Class Maths Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

• Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Ex 13.1
• Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Ex 13.2
• Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Ex 13.3
• Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Ex 13.4
• Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Ex 13.5

HBSE 10th Class Maths Chapter 14 सांख्यिकी

• Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.1
• Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.2
• Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.3
• Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.4

HBSE 10th Class Maths Chapter 15 प्रायिकता

• Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.1
• Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.2

HBSE 10th Class Maths Solutions in English Medium

HBSE 10th Class Maths Chapter 1 Real Numbers

• Chapter 1 Real Numbers Ex 1.1
• Chapter 1 Real Numbers Ex 1.2
• Chapter 1 Real Numbers Ex 1.3
• Chapter 1 Real Numbers Ex 1.4

HBSE 10th Class Maths Chapter 2 Polynomials

• Chapter 2 Polynomials Ex 2.1
• Chapter 2 Polynomials Ex 2.2
• Chapter 2 Polynomials Ex 2.3
• Chapter 2 Polynomials Ex 2.4

HBSE 10th Class Maths Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables

• Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables Ex 3.1
• Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables Ex 3.2
• Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables Ex 3.3
• Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables Ex 3.4
• Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables Ex 3.5
• Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables Ex 3.6
• Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables Ex 3.7

HBSE 10th Class Maths Chapter 4 Quadratic Equations

• Chapter 4 Quadratic Equations Ex 4.1
• Chapter 4 Quadratic Equations Ex 4.2
• Chapter 4 Quadratic Equations Ex 4.3
• Chapter 4 Quadratic Equations Ex 4.4

HBSE 10th Class Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions

• Chapter 5 Arithmetic Progressions Ex 5.1
• Chapter 5 Arithmetic Progressions Ex 5.2
• Chapter 5 Arithmetic Progressions Ex 5.3
• Chapter 5 Arithmetic Progressions Ex 5.4

HBSE 10th Class Maths Chapter 6 Triangles

• Chapter 6 Triangles Ex 6.1
• Chapter 6 Triangles Ex 6.2
• Chapter 6 Triangles Ex 6.3
• Chapter 6 Triangles Ex 6.4
• Chapter 6 Triangles Ex 6.5
• Chapter 6 Triangles Ex 6.6

HBSE 10th Class Maths Chapter 7 Coordinate Geometry

• Chapter 7 Coordinate Geometry Ex 7.1
• Chapter 7 Coordinate Geometry Ex 7.2
• Chapter 7 Coordinate Geometry Ex 7.3
• Chapter 7 Coordinate Geometry Ex 7.4

HBSE 10th Class Maths Chapter 8 Introduction to Trigonometry

• Chapter 8 Introduction to Trigonometry Ex 8.1
• Chapter 8 Introduction to Trigonometry Ex 8.2
• Chapter 8 Introduction to Trigonometry Ex 8.3
• Chapter 8 Introduction to Trigonometry Ex 8.4

HBSE 10th Class Maths Chapter 9 Some Applications of Trigonometry

• Chapter 9 Some Applications of Trigonometry Ex 9.1

HBSE 10th Class Maths Chapter 10 Circles

• Chapter 10 Circles Ex 10.1
• Chapter 10 Circles Ex 10.2

HBSE 10th Class Maths Chapter 11 Constructions

• Chapter 11 Constructions Ex 11.1
• Chapter 11 Constructions Ex 11.2

HBSE 10th Class Maths Chapter 12 Areas Related to Circles

• Chapter 12 Areas Related to Circles Ex 12.1
• Chapter 12 Areas Related to Circles Ex 12.2
• Chapter 12 Areas Related to Circles Ex 12.3

HBSE 10th Class Maths Chapter 13 Surface Areas and Volumes

• Chapter 13 Surface Areas and Volumes Ex 13.1
• Chapter 13 Surface Areas and Volumes Ex 13.2
• Chapter 13 Surface Areas and Volumes Ex 13.3
• Chapter 13 Surface Areas and Volumes Ex 13.4
• Chapter 13 Surface Areas and Volumes Ex 13.5

HBSE 10th Class Maths Chapter 14 Statistics

• Chapter 14 Statistics Ex 14.1
• Chapter 14 Statistics Ex 14.2
• Chapter 14 Statistics Ex 14.3
• Chapter 14 Statistics Ex 14.4

HBSE 10th Class Maths Chapter 15 Probability

• Chapter 15 Probability Ex 15.1
• Chapter 15 Probability Ex 15.2

Haryana Board HBSE 10th Class Sanskrit Solutions शेमुषी भाग 2

• • Chapter 1 शुचिपर्यावरणम्
  • Chapter 2 बुद्धिर्बलवती सदा
  • Chapter 3 व्यायामः सर्वदा पथ्यः
  • Chapter 4 शिशुलालनम्
  • Chapter 5 जननी तुल्यवत्सला
  • Chapter 6 सुभाषितानि
  • Chapter 7 सौहार्द प्रकृते: शोभा
  • Chapter 8 विचित्रः साक्षी
  • Chapter 9 सूक्तयः
  • Chapter 10 भूकम्पविभीषिका
  • Chapter 11 प्राणेभ्योऽपि प्रियः सुहृदः
  • Chapter 12 अन्योक्तयः

HBSE 10th Class Sanskrit Grammar Book Solutions

खण्डः ‘क’-अपठित-अवबोधनम्

• अपठित-अवबोधनम्

खण्डः ‘ख’-रचनात्मक कार्यम्

• संकेताधारितम् अनौपचारिकपत्रम्
• संकेताधारितम् संवादलेखनम्
• चित्राधारितम् लेखनम्
• अनुच्छेदलेखनम्

खण्डः ‘ग’-अनुप्रयुक्त-व्याकरणम्

• संधि प्रकरणम्
• समास प्रकरणम्
• प्रत्ययाः
• अव्ययाः
• वाच्यपरिवर्तनम्
• शब्दरूप प्रकरणम्
• संख्यावाचक शब्दः
• धातुरुप प्रकरणम्
• घटिका समयज्ञानम्
• कारक प्रकरणम्
• उपसर्ग

खण्डः ‘घ’ पठित-अवबोधनम्

• पठित-अवबोधनम्

Haryana Board HBSE 10th Class English Solutions First Flight & Footprints without Feet

HBSE 10th Class English Solutions First Flight

HBSE Haryana Board 10th Class English First Flight Prose

• Chapter 1 A Letter to God
• Chapter 2 Nelson Mandela: Long Walk to Freedom
• Chapter 3 Two Stories about Flying
• Chapter 4 From the Diary of Anne Frank
• Chapter 5 The Hundred Dresses Part 1
• Chapter 6 The Hundred Dresses Part 2
• Chapter 7 Glimpses of India
• Chapter 8 Mijbil the Otter
• Chapter 9 Madam Rides the Bus
• Chapter 10 The Sermon at Benares
• Chapter 11 The Proposal

HBSE Haryana Board 10th Class English First Flight Poem

• Poem 1 Dust of Snow
• Poem 2 Fire and Ice
• Poem 3 A Tiger in the Zoo
• Poem 4 How to Tell Wild Animals
• Poem 5 The Ball Poem
• Poem 6 Amanda
• Poem 7 Animals
• Poem 8 The Trees
• Poem 9 Fog
• Poem 10 The Tale of Custard the Dragon
• Poem 11 For Anne Gregory

HBSE 10th Class English Solutions Footprints without Feet

HBSE Haryana Board 10th Class English Supplementary Reader Footprints without Feet

• Chapter 1 A Triumph of Surgery
• Chapter 2 The Thief’s Story
• Chapter 3 The Midnight Visitor
• Chapter 4 A Question of Trust
• Chapter 5 Footprints without Feet
• Chapter 6 The Making of a Scientist
• Chapter 7 The Necklace
• Chapter 8 The Hack Driver
• Chapter 9 Bholi
• Chapter 10 The Book that Saved the Earth

HBSE Class 10 English Reading Comprehension

• Reading Comprehension Unseen Passages

HBSE Class 10 English Grammar

• Punctuation
• Tenses
• Articles
• Reported Speech
• Modals
• Simple Compound Complex Sentences
• Non-Finites
• Idioms
• Phrasal Verb
• Figure of Speech

HBSE Class 10 English Composition

• Application Writing
• Letter Writing
• Paragraph Writing
• Narrating (Story Writing)
• Report Writing
• Advertisements Writing
• Interview Writing
• Dialogue Writing

HBSE 10th Class English Question Paper Design

Class: 10th
Subject: English
Paper: Annual or Supplementary
Marks: 80
Time: 3 Hours

1. Weightage to Objectives:

2. Weightage to Form of Questions:

3. Weightage to Content:

4. Scheme of Sections: A, B, C, D

5. Scheme of Options: Internal Choice in question i.e. Essay Type, Short Answer Type, Reports, Advertisements, etc.

6. Difficulty Level:

• Difficult: 10% Marks
• Average: 50% Marks
• Easy: 40% Marks

Abbreviations: K (Knowledge of Elements of Language), C (Comprehension), E (Expression), E (Essay Type), SA (Short Answer Type), VSA (Very Short Answer Type), O (Objective Type)

Haryana State Board HBSE 10th Class Maths Solutions Chapter 12 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 10th Class Maths Solutions Chapter 12 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल Exercise 12.3

प्रश्न 1.
संलग्न आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि .. PQ = 24cm, PR = 7cm तथा 0 वृत्त का केंद्र है।
हल :

यहाँ पर,
PQ = 24cm
PR = 7cm
हम जानते हैं कि अर्धवृत्त में बना कोण ∠RPQ = 90°
समकोण त्रिभुज RPQ में पाइथागोरस प्रमेय से

अतः दिए गए वृत्त का व्यास (RQ) = 25cm
दिए गए वृत्त की त्रिज्या (r) = \(\frac{25}{2}\) cm
दिए गए वृत्त के छायांकित भाग का क्षेत्रफल = अर्धवृत्त का क्षेत्रफल – ΔRPQ का क्षेत्रफल

प्रश्न 2.
संलग्न आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि केंद्र 0 वाले दोनों संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 7cm और 14cm हैं तथा ∠AOC = 40° है।
हल :

यहाँ पर, बड़े वृत्त की त्रिज्या (R) = 14cm
छोटे वृत्त की त्रिज्या (r) = 7cm
चाप AC तथा चाप BD द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण (e) = 40°
छायांकित त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (त्रिज्यखंड AOC – त्रिज्यखंड BOD) का क्षेत्रफल

प्रश्न 3.
संलग्न आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि ABCD भुजा 14cm का एक वर्ग है तथा APD और BPC दो अर्धवृत्त हैं।
हल :

यहाँ पर, वर्ग ABCD की भुजा = 14cm
वर्ग ABCD का क्षेत्रफल = भुजा – भुजा
= 14 x 14 cm² = 196 cm²
प्रत्येक अर्धवृत्त की त्रिज्या (r) = \(\frac{14}{2}\) = 7 cm
दोनों अर्धवृत्तों (APD + BPC) का क्षेत्रफल = 2 x (\(\frac{1}{2}\) πr² )
= \(\frac{22}{7}\) x 7 x 7 cm²
= 154 cm²
अतः आकृति के छायांकित भाग का क्षेत्रफल = (196 – 154) cm²
= 42 cm²

प्रश्न 4.
संलग्न आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जहाँ भुजा 12cm वाले एक समबाहु त्रिभुज OAB के शीर्ष 0 को केंद्र मानकर 6 सें०मी० त्रिज्या वाला एक वृत्तीय चाप खींचा गया है।
हल :

यहाँ पर, ΔAOB समबाहु त्रिभुज है। .
∴ ∠AOB = 60°
[∵ समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° होता है।]
समबाहु ΔOAB का क्षेत्रफल = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) – (भुजा)²
= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) x 12 x 12 cm²
= 36√3 cm²
वृत्त की त्रिज्या (r) = 6cm
वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
= \(\frac{22}{7}\) x 6 x 6 cm²
= \(\frac{792}{7}\) cm²

प्रश्न 5.
भुजा 4 cm वाले एक वर्ग के प्रत्येक कोने से 1 cm त्रिज्या वाले वृत्त का एक चतुर्थांश काटा गया है तथा बीच में 2 cm व्यास का एक वृत्त भी काटा गया है, जैसाकि संलग्न आकृति में दर्शाया गया है। वर्ग के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

यहाँ पर,
दिए गए वर्ग की भुजा = 4 cm
दिए गए वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा – भुजा
= 4 x 4 cm² = 16 cm²
कोने से काटे गए वृत्त के प्रत्येक चतुर्थांश की त्रिज्या (r₁) = 1 cm
कोने से काटे गए वृत्त के चारों चतुर्थांश का क्षेत्रफल = 4 x प्रत्येक चतुर्थांश का क्षेत्रफल
= \(4\left(\frac{\pi r_{1}^{2}}{4}\right)=\frac{22}{7}\) = x 1 x 1 cm²
= \(\frac{22}{7}\)cm²
बीच के वृत्त का व्यास = 2 cm
बीच के वृत्त की त्रिज्या (r₂) = 2/2 cm = 1 cm

प्रश्न 6.
एक वृत्ताकार मेज़पोश, जिसकी त्रिज्या 32 cm है, में बीच में एक समबाहु त्रिभुज ABC छोड़ते हुए एक डिज़ाइन बना हुआ है, जैसाकि संलग्न आकृति में दिखाया गया है। इस छायांकित डिज़ाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :

यहाँ पर, समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा BC द्वारा वृत्त के केंद्र O पर
अंतरित कोण (BOC) = \(\frac{360^{\circ}}{3}\) = 120°
ΔBOD में,
∠BOD = \(\frac{120^{\circ}}{2}\) = 60° ; OB (वृत्त की त्रिज्या) = 32cm
\(\frac{\mathrm{OD}}{\mathrm{OB}}\)= cos 60° तथा \(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{OB}}\) = sin 60°
\(\frac{\mathrm{OD}}{32}=\frac{1}{2}\) तथा \(\frac{\mathrm{BD}}{32}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा BC = 2 x BD = 2 x 16√3 cm
= 32√3 cm
दिए गए वृत्त का क्षेत्रफल = πr²

अतः दी आकृति के छायांकित भाग का क्षेत्रफल = \(\left[\frac{22528}{7}-768 \sqrt{3}\right]\) cm²

प्रश्न 7.
संलग्न आकृति में, ABCD भुजा 14 cm वाला एक वर्ग है। A,B,C और D को केंद्र मानकर, चार वृत्त इस प्रकार खींचे गए हैं कि प्रत्येक वृत्त तीन शेष वृत्तों में से दो वृत्तों को बाह्य रूप से स्पर्श करता है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

यहाँ पर,
दिए गए वर्ग ABCD की भुजा = 14 cm
दिए गए वर्ग ABCD का क्षे० = भुजा – भुजा
= (14 x 14)cm2 = 196cm2
प्रत्येक वृत्त के चतुर्थांश की त्रिज्या (r) = \(\frac{14}{2}\) = 7 cm
प्रत्येक वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi r^{2}}{4}=\frac{22}{7} \times \frac{7 \times 7}{4}\) cm²
= \(\frac{77}{2}\) cm²
चारों वृत्तों के चारों चतुर्थांशों का क्षेत्रफल = 4 x प्रत्येक चतुर्थांश का क्षेत्रफल .
= 4 x \(\frac{77}{2}\) cm² = 154 cm²
अतः आकृति के छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल – चार चतुर्थांशों का क्षेत्रफल
= (196 – 154) cm²
= 42 cm²

प्रश्न 8.
संलग्न आकृति एक दौड़ने का पथ (racing track) दर्शाती है, जिसके बाएँ और दाएँ सिरे अर्धवृत्ताकार हैं।

दोनों आंतरिक समांतर रेखाखंडों के बीच की दूरी 60m है तथा इनमें से प्रत्येक रेखाखंड 106m लंबा है। यदि यह पथ 10m चौड़ा है, तो ज्ञात कीजिए।
(i) पथ के आंतरिक किनारों के अनुदिश एक पूरा चक्कर लगाने में चली गई दूरी
(ii) पथ का क्षेत्रफल।
हल :
यहाँ पर,

(i) प्रत्येक आंतरिक अर्धवृत्त का व्यास = 60m
प्रत्येक आंतरिक अर्धवृत्त की त्रिज्या (r) = \(\frac{60}{2}\) = 30 m
दोनों आंतरिक अर्धवृत्तों की परिधि = 2 x प्रत्येक अर्धवृत्त की परिधि
= 2 x (πr)
= 2 x \(\frac{22}{7}\) x 30m
= \(\frac{1320}{7}\) m
= Sm आंतरिक दोनों किनारों की दूरी = AB + CD = (106 + 106)m
= 212 m
अतः पथ के आंतरिक किनारों के अनुदिश एक पूरा चक्कर लगाने में तय दूरी

(ii) आंतरिक आयत का क्षेत्रफल = 106 x 60 m² = 6360 m²
बाहरी आयत का क्षेत्रफल = 106 x 80 m² = 8480 m²
आयताकार छायांकित आकृति का क्षेत्रफल = बाहरी क्षेत्रफल – आंतरिक क्षेत्रफल
= (8480 – 6360)m² = 2120m²
प्रत्येक बाहरी अर्धवृत्त की त्रिज्या (R) = 80/2 = 40m
प्रत्येक अर्धवृत्ताकार छायांकित आकृति का क्षेत्रफल= \(\frac{1}{2}\)[πR² – πr²]
= \(\frac{1}{2} \times \frac{22}{7}\) [(40)² – (30)²] cm = ” x 700 m² = 1100 m²
वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल दोनों अर्धवृत्ताकार छायांकित आकृतियों का क्षेत्रफल = 2 x 1100 m²
= 2200 m²
अतः छायांकित कुल पथ का क्षेत्रफल = (2120 + 2200) m²
= 4320 m²

प्रश्न 9.
संलग्न आकृति में, AB और CD केंद्र 0 वाले एक वृत्त के दो परस्पर लंब व्यास हैं तथा OD छोटे वृत्त का व्यास है। यदि OA = 7cm है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

यहाँ पर,
बड़े वृत्त की त्रिज्या (OA) = 7cm
बड़े वृत्त का व्यास (AB) = 2 x OA = 2 x 7cm = 14cm
परंतु OC = OA = 7cm (प्रत्येक बड़े वृत्त की त्रिज्या)
ΔABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) x AB x OC
= \(\frac{1}{2}\) x 14 x 7 cm² = 49cm²
बड़े अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = T(OA) = \(\frac{\pi(\mathrm{OA})^{2}}{2}=\frac{22}{7} \times \frac{1}{2}\)x 7 x 7 cm2
= 77 cm²
दिए गए छोटे वृत्त का व्यास (OD) = 7cm (बड़े वृत्त की त्रिज्या)
दिए गए छोटे वृत्त की त्रिज्या (r) = \(\frac{7}{2}\) cm
दिए गए छोटे वृत्त का क्षेत्रफल =πr²= \(\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}\)cm² = 38.5cm²
अतः छायांकित भाग का क्षेत्रफल = छोटे वृत्त का क्षेत्रफल + (बड़े अर्धवृत्त का क्षेत्रफल – AABC का क्षेत्रफल)
= [38.5 + (77-49)] cm²
= [38.5 + 28] cm²
= 66.5 cm²

प्रश्न 10.
एक समबाहु त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 17320.5 cm है। इस त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष को केंद्र मानकर त्रिभुज की भुजा के आधे के बराबर की त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचा जाता है (देखिए संलग्न आकृति)। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(π = 3.14 और √3 = 1.73205 लीजिए।)
हल :

यहाँ पर, समबाहु त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = 17320.5 cm²
\(\frac{\sqrt{3}}{4}\) (भुजा)² = 17320.5 cm
(भुजा)² = 17320.5 x \(\frac{4}{\sqrt{3}}\)
= \(\frac{17320.5 \times 4}{1.73205}\) = 40000
= (200)²
भुजा = 200 cm
प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या (r) =
= 100 cm
प्रत्येक त्रिज्यखंड का कोण (θ) = 60० (समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण)
तीनों त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल = \(3\left[\frac{\theta}{360} \times \pi r^{2}\right]\)
= 3 x \(\frac{60}{360}\) x 3.14 x 100 x 100ccm²
= 15700 cm²
इस प्रकार, आकृति के छायांकित भाग का क्षेत्रफल = ΔABC का क्षेत्रफल – तीनों त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल
= (17320.5-15700)cm²
= 1620.5cm²

प्रश्न 11.
एक वर्गाकार रूमाल पर, नौ वृत्ताकार डिज़ाइन बने हैं, जिनमें से प्रत्येक की। त्रिज्या 7cm है (देखिए संलग्न आकृति)। रूमाल के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

यहाँ पर,
रूमाल के प्रत्येक वृत्ताकार डिजाइन की त्रिज्या (r) = 7 cm
रूमाल के प्रत्येक वृत्ताकार डिजाइन का व्यास (d) = 2 x r cm
= 2×7 cm
= 14 cm
वर्गाकार रूमाल की प्रत्येक भुजा = 3 x प्रत्येक वृत्त का व्यास
= 3 x 14 cm = 42 cm
रूमाल के 9 वृत्ताकार डिजाइनों का क्षेत्रफल = 9 x πr²
= 9 x \(\frac{22}{7}\) x 7 x 7 cm²
= 1386 cm²
वर्गाकार रूमाल का क्षेत्रफल = भुजा – भुजा
= 42 x 42 cm² = 1764 cm²
अतः . वृत्ताकार डिजाइनों को छोड़कर शेष रूमाल का क्षेत्रफल = (1764 – 1386) cm2
= 378 cm²

प्रश्न 12.
संलग्न आकृति में, OACB केंद्र 0 और त्रिज्या 3.5 cm वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है। यदि OD = 2cm है, तो निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए-
(i) चतुर्थांश OACB (ii) छायांकित भाग
हल :

(i) यहाँ पर, चतुर्थांश OACB की त्रिज्या (r) = 3.5 cm
चतुर्थांश OACB का क्षेत्रफल = \(\frac{\pi r^{2}}{4}\)
= \(\frac{22}{7} \times \frac{1}{4}\) x 3.5 x 3.5 cm²
= 9.625 cm²

(ii) अब समकोण AOBD का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) x OB x OD
= \(\frac{1}{2}\) x 3.5 x 2 cm²
= 3.5 cm²
अतः आकृति के छायांकित भाग का क्षेत्रफल = (चतुर्थांश OACB — AOBD) का क्षेत्रफल
= (9.625 -3.5) cm²
= 6.125 cm²

प्रश्न 13.
संलग्न आकृति में, एक चतुर्थांश OPBQ के अंतर्गत एक वर्ग OABC बना हुआ . है। यदि OA = 20 cm है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए।)
हल :

यहाँ पर, वर्ग OABC में, भुजा OA = भुजा AB = 20 cm
वर्ग OABC का क्षेत्रफल = भुजा x भुजा
= 20 x 20 cm² = 400 cm²

= 628 cm²
अतः आकृति के छायांकित भाग का क्षेत्रफल = (चतुर्थांश OPBQ – वर्ग OABC) का क्षेत्रफल
= (628 – 400) cm²
= 228 cm²

प्रश्न 14.
AB और CD केंद्र O तथा त्रिज्याओं 21cm और 7cm वाले दो संकेंद्रीय वृत्तों के क्रमशः दो चाप हैं (देखिए संलग्न आकृति)। यदि ∠AOB = 30° है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

यहाँ पर,
त्रिज्यखंड OAB की त्रिज्या (R) = 21 cm
चाप AB द्वारा केंद्र O पर अंतरित कोण (θ) = 30°
त्रिज्यखंड OAB का क्षेत्रफल = \(\frac{\theta}{360}\) x πR²
= \(\frac{30}{360} \times \frac{22}{7}\) x 21 x 21 cm²
= \(\frac{231}{2}\) cm²
त्रिज्यखंड OCD की त्रिज्या (r) = 7 cm
चाप CD द्वारा केंद्र O पर अंतरित कोण (θ) = 30°
त्रिज्यखंड OCD का क्षेत्रफल = \(\frac{\theta}{360}\) x πr²
= \(\frac{30}{360} \times \frac{22}{7}\) x 7 x 7 cm²
= \(\frac{77}{6}\) cm²
अतः आकृति के छायांकित भाग का क्षेत्रफल = (त्रिज्यखंड OAB — त्रिज्यखंड OCD) का क्षेत्रफल

प्रश्न 15.
संलग्न आकृति में, ABC त्रिज्या 14 cm वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है तथा BC को व्यास मान कर एक अर्धवृत्त खींचा गया है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

यहाँ पर, समकोण त्रिभुज ABC में, AB = AC = 14 cm
(वृत्त की त्रिज्या के समान)

समकोण त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) x AC x AB
= \(\frac{1}{2}\) x 14 x 14 cm² = 98 cm²
अतः आकृति में दर्शाए गए छायांकित. भाग का क्षेत्रफल
= BC पर बने अर्धवृत्त का क्षेत्रफल – (चतुर्थांश का क्षेत्रफल – ΔABC का क्षेत्रफल)
= [154 -(154-98)] cm²
= [154 – 154 + 98] cm² = 98 cm²

प्रश्न 16.
संलग्न आकृति में, छायांकित डिज़ाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जो 8cm त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों के चतुर्थांशों के बीच उभयनिष्ठ है।
हल :

यहाँ पर,
आकृति में छायांकित डिजाइन का क्षेत्रफल = 2[चतुर्थांश ABD का क्षेत्रफल – समकोण ΔABD का क्षेत्रफल)