Class 8

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 8 राशियों की तुलना Ex 8.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 8 राशियों की तुलना Ex 8.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित का अनुपात ज्ञात कीजिए
(a) एक साइकिल की 15km प्रति घंटे की गति का एक स्कूटर की 30 km प्रति घंटे की गति से।
(b) 5m का 10 km से
(c) 50 पैसे का 5 रुपए से
हल:
(a) साइकिल तथा स्कूटर की गति का अनुपात = 15 km : 30 km
= \(\frac{15}{30}\)
= \(\frac{1}{2}\)
अतः उनकी गति का अनुपात = 1 : 2

(b)
5 m : 10 km
5 m : 10 × 1000 m
5m : 10000
= \(\frac{5}{10000}\)
= \(\frac{1}{2000}\)
अतः अनुपात = 1 : 2000

(c) 50 पैसे : ₹ 5
हम जानते हैं कि 1 रु. = 100 पैसे
∴ 50 : 5 × 100
= 50 : 500 = \(\frac{50}{500}\)
= \(\frac{1}{10}\)
अतः अनुपात = 1 : 10

प्रश्न 2.
निम्नलिखित अनुपातों को प्रतिशत में परिवर्तित कीजिए
(a) 3 : 4
(b) 2 : 3
हल :
नोट- यदि किसी संख्या को प्रतिशत में बदलना है तो उस संख्या में 100 का गुणा करते हैं तथा यदि प्रतिशत से संख्या बनानी होती है, तो उसमें 100 से भाग करते हैं ।

प्रश्न 3.
25 विद्यार्थियों में से 72% विद्यार्थी गणित में अच्छे हैं। कितने विद्यार्थी गणित में अच्छे नहीं हैं?
हल:
दिया है, 25 विद्यार्थियों में से 72% गणित में अच्छे हैं।

अतः गणित में अच्छे विद्यार्थियों की संख्या = 25% का 72%
= \(\frac{25 \times 72}{100}\)
= 18
अतः गणित में अच्छे विद्यार्थियों की संख्या = 18
विद्यार्थी गणित में अच्छे नहीं हैं = 25 – 18 = 7

प्रश्न 4.
एक फुटबॉल टीम ने कुल जितने मैच खेले उनमें से 10 में जीत हासिल की। यदि उनकी जीत का प्रतिशत 40 था तो उस टीम ने कुल कितने मैच खेले?
हल:
माना की टीम ने x मैच खेले।

तब, जीते मैचों की संख्या = कुल मैच में से जीते मैच का प्रतिशत
10 = x का 40%
10 = x × \(\frac{40}{100}\)
\(\frac{10 \times 100}{40}\) = x
x = 25

अतः टीम ने 25 मैच खेले।

प्रश्न 5.
यदि चमेली के पास अपने धन का 75% खर्च करने के बाद ₹ 600 बचे तो ज्ञात कीजिए कि उसके पास शुरू में कितने रुपए थे?
हल:
माना कि चमेली के पास शुरू में कुल ₹ x थे ।
उसके पास 75 % खर्च करने बाद बचते हैं = ₹ 600
खर्च करने के बाद बचा धन = (100 – 75)% = 25%
x का 25% = 600
x × \(\frac{25}{100}\) = 600
x = \(\frac{600 \times 100}{25}\)
x = 2400
अत: चमेली के पास शुरू में ₹ 2400 थे ।

प्रश्न 6.
यदि किसी शहर में 60% व्यक्ति क्रिकेट पसन्द करते हैं, 30% व्यक्ति फुटबॉल पसन्द करते हैं, और शेष अन्य खेल पसन्द करते हैं । तो ज्ञात कीजिए कि कितने प्रतिशत व्यक्ति अन्य खेल पसन्द करते हैं ? यदि कुल व्यक्ति 50 लाख हैं तो प्रत्येक प्रकार के खेल को पसन्द करने वाले व्यक्तियों की यथार्थ संख्या ज्ञात कीजिए।
हल :
(i) अन्य खेल पसन्द करने वाले व्यक्तियों का प्रतिशत = [100 – (60 + 30)]%
= (100 – 90)%
= 10%
कुल व्यक्तियों की संख्या = 50,00,000
क्रिकेट पसन्द करने वाले व्यक्तियों की संख्या
= 50 लाख का 60%
= 5000000 × \(\frac{60}{100}\)
= 30,00,000
अत: 30 लाख व्यक्ति क्रिकेट पसन्द करते हैं।

(ii) फुटबॉल पसन्द करने वाले व्यक्ति
= 50 लाख का 30%
=-5000000 × \(\frac{30}{100}\)
= 15,00,000
अत: 15 लाख व्यक्ति फुटबॉल पसन्द करते हैं।

(iii) अन्य खेल पसन्द करने वाले व्यक्तियों की संख्या
= 50 लाख का 10%
= 5000000 × \(\frac{10}{100}\)
= 500000
अतः अन्य खेल पसन्द करने वाले व्यक्ति = 5 लाख

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल Ex 6.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल Ex 6.4

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं का वर्गमूल, भाग विधि से ज्ञात कीजिए
(i) 2304
(ii) 4489
(iii) 3481
(iv) 529
(v) 3249
(vi) 1369
(vii) 5776
(viii) 7921
(ix) 576
(x) 1024
(xi) 3136
(xii) 900
हल:
भाग विधि द्वारा संख्याओं का वर्गमूल ज्ञात करना|

(i) 2304 ⇒

∴ √2304 = 48

(ii) 4489

∴ √4489 = 67

(iii) 3481

∴ √3481 = 59

(iv) 529

∴ √529 = 23

(v) 3249

∴ √3249 = 57

(vi) 1369

∴ √1369 = 37

(vii) 5776

∴ √5776 = 76

(viii) 7921

∴ √7921 = 89

(ix) 576

∴ √576 = 24

(x) 1024

∴ √1024 = 32

(xi) 3136

∴ √3136 = 56

(xii) 900

∴ √900 = 30

प्रश्न 2.
निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक के वर्गमूल के अंक ज्ञात कीजिए । (बिना गणना के)।
(i) 64
(ii) 144
(iii) 4489
(iv) 27225
(v) 390625
हल:
(i) 64 – संख्या में बार लगाने पर \(\overline{64}\) – (1 बार)
इस संख्या में 1 बार है, अत: वर्गमूल 1 अक का होगा ।

(ii) 144 – संख्या में बार लगाने पर \(\overline{1}\) \( \overline{44}\) – (2 बार)
इस संख्या में 2 बार हैं, अतः वर्गमूल 2 अंक का होगा ।

(iii)4489 – संख्या में बार लगाने पर \(\overline{44}\) \(\overline{89}\) – (2 बार)
अत: वर्गमूल 2 अंक का होगा ।

(iv) 27225 – संख्या में बार लगाने पर \(\overline{2}\) \(\overline{72} \) \(\overline{25}\) – (3 बार)
अत: वर्गमूल 3 अंक का होगा ।

(v) 390625-संख्या में बार लगाने पर \(\overline{39}\) \( \overline{06}\) \(\overline{25}\) – (3 बार)
अत: वर्गमूल 3 अंक का होगा ।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित देशमलव संख्याओं के वर्गमूल ज्ञात कीजिए
(i) 2.56
(ii) 7.29
(iii) 51.84
(iv) 42.25
(v) 31.36
हल:
(i) 2.56

∴ √2.56 = 1.6

(ii) 7.29

∴ √7.29 = 2.7

(iii) 51.84

∴ √51.84 = 7.2

(iv) 42.25

∴ √42.25 = 6.5

(v) 31.36

∴ √31.36 = 5.6

प्रश्न 4.
निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक में न्यूनतम संख्या क्या घटाई जाये कि एक पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त हो जाये । इस प्रकार प्राप्त पूर्ण वर्ग संख्याओं का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए।
(i) 402
(ii) 1989
(iii) 3250
(iv) 825
(v) 4000
हल :
(i) 402 का वर्गमूल ज्ञात करने पर हमें 2 शेषफल प्राप्त होता है।

इसलिए (20)², 402 से 2 कम है।
यदि, संख्या से शेषफल (2) घटा की देते हैं, तो हमें पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त होती है।
∴ 402 – 2 = 400
∴ √400 = 20

(ii) 1989

वर्गमूल ज्ञात करने पर-
53 शेषफल प्राप्त होता है।
अत: संख्या में से 53 घटायें,
तो एक पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त होगी ।
अत: 1989 – 53 = 1936
∴ √1936 = 44

(iii) 3250

वर्गमूल ज्ञात करने पर 1 शेषफल प्राप्त होता है।
अत: संख्या में से 1 घटायें,
तो एक पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त होगी ।
अत: 3250 – 1 = 3249
∴ √3249 = 55

(iv) 825

वर्गमूल ज्ञात करने पर 41 शेषफल प्राप्त होता है।
अत: संख्या में से 41 घटायें,
तो एक पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त होगी ।
अत: 825 – 41 = 784
∴ √784 = 28

(v) 4000

वर्गमूल ज्ञात करने पर 31 शेषफल प्राप्त होता है।
अत: संख्या में से 31 घटायें,
तो एक पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त होगी ।
अत: 4000 – 31 = 3969
∴ √3969 = 63

प्रश्न 5.
निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक में कम से कम कितना जोड़ा जाये कि एक पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त हो जाये । इस प्रकार प्राप्त पूर्ण वर्ग संख्याओं का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए।
(i) 525
(ii) 1750
(iii) 252
(iv) 1825
(v) 6412
हल :
(i) 525
525 का वर्गमूल ज्ञात करने पर शेषफल पर हम देखते हैं कि
(22)² < 525 < (23)².

अतः, पूर्ण वर्ग बनाने के लिये कम से कम जोड़ी जाने वाली संख्या = (23)² -525
अत: अभीष्ट संख्या = 529 – 525 = 4
अतः प्राप्त पूर्ण वर्ग संख्या = 525 + 4 = 529
तथा, √1529 = 23

(ii) 1750
1750 का वर्गमूल ज्ञात करने पर यहाँ हम देखते हैं कि
(41)² < 1750 < (42)²

अतः पूर्ण वर्ग बनाने के लिए कम से कम जोड़ी जाने वाली संख्या = (42)²
= 1764 – 1750
= 14
अतः प्राप्त पूर्ण वर्ग संख्या = 1750 + 14 = 1764
तथा, √1764 = 42

(iii) 252
252 का वर्गमूल ज्ञात करने पर यहाँ पर हम देखते हैं कि
(15)² < 252 < (16)²

अतः पूर्ण वर्ग बनाने के लिए कम से कम जोड़ी जाने वाली संख्या = (16)² – 252
अत: अभीष्ट संख्या = (16)² – 252
= 256 – 252
= 4

अतः प्राप्त पूर्ण वर्ग संख्या = 252 +4
= 256
तथा, √256 = 16

(iv) 1825
1825 का वर्गमूल ज्ञात करने पर यहाँ पर हम देखते हैं कि
(42)² < 1825 < (43)²

अतः पूर्ण वर्ग बनाने के लिए कम से कम जोड़ी जाने वाली संख्या = (43)² – 1825
अतः अभीष्ट संख्या = (43)² – 1825
= 1849 -1825 = 24
अतः प्राप्त पूर्ण वर्ग संख्या = 1825 + 24
= 1849
तथा, √1849 = 43

(v) 6412
80 यहाँ पर हम देखते हैं कि (80)² < 6412 < (81)²

अत: पूर्ण वर्ग बनाने के लिए कम से कम जोड़ी जाने वाली संख्या = (81)² – 6412
= 6561 – 6412
= 149
अतः प्राप्त पूर्ण वर्ग संख्या = 6412 + 149
= 6561
तथा, √16561 = 81

प्रश्न 6.
किसी वर्ग की भुजा की लम्बाई ज्ञात करो जिसका क्षेत्रफल 441 m² है।।
हल:

वर्ग का क्षेत्रफल = 441 m²
वर्ग की भुजा = √वर्ग का क्षेत्रफल
∴ भुजा = √441 – 21
∴ भुजा = 21 m

प्रश्न 7.
किसी समकोण त्रिभुज ABC में, ∠B = 90°.
(a) यदि AB = 6cm, BC = 8cm है, तो AC ज्ञात कीजिए।
(b) यदि, AC= 13 cm, BC = 5 cm है, तो AB ज्ञात कीजिए।
हल :

(a) AB = 6cm
BC = 8cm
AC = ? (x) माना
पाइथागोरस प्रमय स-
∴ AC² = AB² + BC²
x² = 6² + 8²
x² = 36 + 64
x² = 100
x = \(\sqrt {100}\) = 10 cm
∴ AC = 10 cm

(b) AC = 13 cm
BC = 5 cm
AB = ? (x) माना ।

पाइथागोरस प्रमेय से
∴ AB² = AC² – BC²
x² = (13)² – (5)²
x² 169 – 25
x² 169 – 25
x² = 144
∴ x = \(\sqrt {144}\) = 12 cm
अत: AB = 12 cm

प्रश्न 8.
एक माली के पास 1000 पौधे हैं। इन पौधों को वह इस प्रकार लगाना चाहता है कि पंक्तियों की संख्या और कॉलम की संख्या समान रहे । इसके लिए कम से कम पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए, जिसकी उसे आवश्यकता हो ।
हलः
माना, पंक्तियों की संख्या = x
कॉलम की संख्या = x

तब, कुल पौधों की संख्या = x × x
अब, x × x = 1000
x² = 1000
x = \(\sqrt {1000}\)
वर्गमूल करने पर 39 शेष आता है । अत: संख्या 1000 पूर्ण वर्ग नहीं है।
अतः (31)² < 1000 < (32)²
अतः कम से कम और पौधे चाहिए
= (32)² – 1000
= 1024 – 1000
= 24
अतः कम से कम 24 और पौधों की आवश्यकता होगी।

प्रश्न 9.
एक विद्यालय में 500 विद्यार्थी हैं, पी.टी. के अभ्यास के लिए इन्हें इस तरह से खड़ा किया गया कि पंक्तियों की संख्या कॉलम की संख्या के समान रहे। . इस व्यवस्था को बनाने में कितने विद्यार्थियों को बाहर जाना होगा?
हल:
माना पंक्तियों की संख्या = x
तथा कॉलम की संख्या = x

तब कुल विद्यार्थियों की संख्या = x × x
अतः x × x = 500
x² = 500
x = \(\sqrt {500 }\)
अत: वर्गमूल करने पर शेषफल 16 प्राप्त होता है ।
अत: इस व्यवस्था को बनाने के लिए 16 विद्यार्थी अतिरिक्त हैं।
अत: 16 विद्यार्थियों को बाहर जाना होगा।

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 1 परिमेय संख्याएँ InText Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 1 परिमेय संख्याएँ InText Questions

संवृत (पृष्ठ 2)

प्रश्न 1.
पूर्ण संख्याओं के लिए सभी संक्रियाओं पर संवृत्त गुणधर्म की जाँच-
हल:

प्रश्न 2.
पूर्णाक संख्याओं के लिए सभी संक्रियाओं के लिए संघृत गुणधर्म की जाँच-
हल :
(i) योग संक्रिया के लिए-
किन्हीं दो पूर्णाकों तथा bके लिए a + b एक पूर्णांक संख्या होगी।

(ii) व्यवकलन संक्रिया के लिए-
किन्हीं दो पूर्णाक a तथा b के लिए a-bभी एक पूर्णांक संख्या होगी। तथा b – a भी एक पूर्णाक संख्या होगी।

(iii) गुणन संक्रिया के लिए-किन्हीं दो पूर्णाकों तथा । के लिए a × b भी एक पूर्णांक संख्या होगी।

(iv) भाग संक्रिया के लिए-किन्हीं दो पूर्णाकों तथा b के लिए पूर्णांक संख्या नहीं होगी।

स्पष्ट है कि पूर्ण संख्याएँ योग और गुणन के अंतर्गत संवृतु है परन्तु भाग और व्यवकलन के अंतर्गत नहीं है। तथापि पूर्णाक योग, व्यवकलन एवं गुणन के अंतर्गत संवृत है लेकिन भाग के अंतर्गत संवृत नहीं हैं।

पृष्ठ 2

प्रश्न 3.
प्राकृत संख्याओं के लिए सभी चार संक्रियाओं के अन्तर्गत संवृत गुण की जाँच कीजिए।
हल :
(1) योग संक्रिया:
प्राकृत संख्याएँ योग संक्रिया के अन्तर्गत संवृत है अर्थात् और b दो प्राकृत संख्याएँ हैं, तो a + b भी प्राकृत संख्या होगी।

(2) व्यवकलन संक्रिया:
प्राकृत संख्याएँ व्यवकलन संक्रिया के अन्तर्गत संवत नहीं हैं। यदि aऔर दो प्राकृत संख्याएँ हैं,तो a > b होने पर a – b एक प्राकृत संख्या होगी, किन्तु a < b अथवा ab होने पर प्राप्त संख्या प्राकृत संख्या नहीं होगी।

(3) गुणन संक्रिया:
प्राकृत संख्याएँ गुणन संक्रिया के अन्तर्गत संवृत हैं अर्थात् ३और bदो प्राकृत संख्याएँ हैं, तो उनका गुणनफल भी प्राकृत संख्या होगी।
उदाहरण द्वारा जांच-

(4) भाग संक्रिया:
प्राकृत संख्याएँ भाग संक्रिया के अन्तर्गत संवृत नहीं है।
उदाहरण द्वारा जाँच-

प्रयास कीजिए (पृष्ठ 5)

निम्नलिखित सारणी में रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए-

उत्तर:

क्रमविनिमेयता

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सारणी के रिक्त स्थानों को भरते हुए विभिन्न संक्रियाओं के अन्तर्गत पूर्ण संख्याओं की क्रम विनिमेयता का स्मरण कीजिए-

हल :

जाच कीजिए कि क्या प्राङृत संख्याओं के लिए भी ये संक्रियाएँ क्रम-विनिमेय हैं-

जांच कीजिए कि क्या प्राकृत संख्याओं के लिए भी ये संक्रियाएँ कम-विनिमेय हैं-

प्राकृत संख्याओं के लिए क्रम-विनिमेयता की जांच

(1) योग में- यदि और b कोई दो प्राकृत संख्याएँ है, तो (a + b) = (b + a) (योग में क्रम-विनिमेयता है।)
जाँच- इस गुण की जाँच के लिए कुछ प्राकृत संख्याओं के युग्म लेकर उन्हें भिन्न-भिन्न क्रम में जोड़ेंगे-

(2) व्यवकलन में- प्राकृत संख्याओं के व्यवकलन में क्रमविनिमेयता नहीं होती है अर्थात् यदि और b दो प्राकृत संख्याएँ है,तो सामान्यतः (a – b) ≠ (b – a)
हम जानते है कि 9 – 4 = 5, लेकिन 4 – 9 सम्भव नहीं है। इसी प्रकार 110 – 35 = 75, लेकिन 35 – 110 सम्भव नहीं है।

(3) गुणन में- यदि और कोई दो प्राकृत संख्याएँ है, तो (a × b) = (b × a) (गुणन में क्रम-विनिमेयता है।)
जाँच- इस गुणन की जाँच के लिए प्राकृत संख्याओं के कुछ युग्म लेकर उन्हें भिन्न-भिन्न क्रम में नियमानुसार गुणन करेंगे-

हम पाते हैं कि दो प्राकृत संख्याओं को किसी भी क्रम में गुणा करने पर गुणनफल सदैव समान ही आता है।

(4) भाग में- यदि a और b दो प्राकृत संख्याएँ है, तो a+b ÷ b+a (भाग में क्रम-विनिमेयता नहीं है।)
जाँच- इस गुण की जाँच हम कुछ युग्म लेकर निम्नानुसार करेंगे-

प्रश्न 2.
निम्नलिखित सारणी के रिक्त स्थानों को भरिए और पूर्णाकों के लिए विभिन्न संक्रियाओं की क्रमविनिमेयता जाँचिए-

हल:

प्रयास कीजिए (पृष्ठ 7)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए-

हल:

साहचर्यता (सहचारिता)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सारगी के माध्यम से पूर्ण संख्याओं के लिए चार संक्रियाओं की साहचर्यता को स्मरण कीजिए-

इस सारणी को भरिए और अन्तिम स्तम्भ में दी गई टिप्पणियों को सत्यापित कीजिए। प्राकृत संख्याओं के लिए विभिन्न संक्रियाओं की साहचर्यता की स्वयं जाँच कीजिए।
हल:

प्राकत माताओं ने लिए विभिन्न संक्रियाओं की साहचर्य।

(1) योग-किन्हीं तीन प्राकृत संख्याओं abऔर C के लिए
(a + b) + c = a + (b + c)
जाँच-

अत: प्राकृत संख्याओं का योग साहचर्य है।

(2) व्यवकलन- किन्हीं तीन प्राकृत संख्याओं a, bऔर c के लिए सामान्यतः
a – (b – c) = (a – b) – c
जाँच-

अतः प्राकृत संख्याओं का व्यवकलन साहचर्य नहीं है।

(3) गुणन- किन्हीं तीन प्राकृत संख्याओं a bऔर C के लिए सामान्यतः
a × (b × a) = (a × b) × c
जाँच-

अत: प्राकृत संख्याओं का गुणन साहचर्य है।

(4) भाग- किन्हीं तीन प्राकृत संख्याओं a, b और c के लिए सामान्यतः
a ÷ (b ÷ a) = (a ÷ b) ÷ c
जाँच-

अत: प्राकृत संख्याओं का भाग साहचर्य है।

प्रश्न 2.
पूर्णाकों के लिए चार संक्रियाओं की साहचर्यता निम्नलिखित सारणी से जाँचिए

हल:

प्रयास कीजिए (पृष्ठ 10)

निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए-

हल:

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए (पृष्ठ 12)

प्रश्न 1.
यदि कोई गुणधर्म परिमेय संख्याओं के लिए सत्य है, तो क्या वह गुणधर्म पूर्णांकों, पूर्ण संख्याओं के लिए भी सत्य होगा? कौन-से गुणधर्म इनके लिए सत्य होंगे और कौन-से सत्य नहीं होंगे?
हल:
(1) निम्नांकित गुण को छोड़कर परिमेय संख्याओं की क्रियाओं के गुण पूर्णाकों में भी होंगे-
a ÷ b एक परिमेय संख्या है यदि b ≠ 0, लेकिन a ÷ b जरूरी नहीं है कि एक पूर्णांक हो यदि a, b ∈ I

(2) निम्नांकित गुणों को छोड़कर परिमेय संख्याओं के सभी गुण पूर्ण संख्याओं में भी होंगे-
(i) यदि a और b परिमेय संख्याएँ हैं, तो a – b भी परिमेय संख्या होगी। लेकिन यदि और b पूर्ण संख्याएँ हैं, तो (a – b) पूर्ण संख्या हो भी सकती है और नहीं भी।
(ii) यदि और b परिमेय संख्याएँ हैं, तो a ÷ b(b ≠ 0) एक परिमेय संख्या होगी। लेकिन और संपूर्ण संख्याएँ हों, तो a ÷ b(b = 0) जरूरी नहीं कि एक पूर्ण संख्या हो।
निम्नलिखित तालिका दर्शाती है कि परिमेय संख्याओं, पूर्णाकों तथा पूर्ण संख्याओं में कौन-सा गुण उभयनिष्ठ है/नहीं है-

प्रयास कीजिए (पृष्ठ 14)

प्रश्न 1.
वितरकता के उपयोग से निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए
(i) \(\left\{\frac{7}{5} \times\left(\frac{-3}{12}\right)\right\}\) + \(\left\{\frac{7}{5} \times \frac{5}{12}\right\}\)
(ii) \(\left\{\frac{9}{16} \times \frac{4}{12}\right\}\) + \(\left\{\frac{9}{16} \times \frac{-3}{9}\right\}\)
हल:

प्रयास कीजिए (पृष्ठ 18)

प्रश्न 1.
अक्षर द्वारा अंकित प्रत्येक बिन्दु के लिए परिमेय संख्या लिखिए-

हल:
(i) अक्षर द्वारा अंकित बिन्दुओं के सम्मुख परिमेय संख्याएँ निम्नलिखित हैं-
A : \(\frac{1}{5}\)
B : \(\frac{4}{5}\)
C : \(\frac{5}{5}\)
D : \(\frac{8}{5}\)
E : \(\frac{9}{5}\)

(ii) अक्षर द्वारा अंकित बिन्दुओं के सम्मुख परिमेय संख्याएँ निम्नलिखित हैं-
J : \(\frac{-11}{6}\)
I : \(\frac{-8}{6}\)
H : \(\frac{-7}{6}\)
G : \(\frac{-5}{6}\)
F : \(\frac{-2}{6}\)

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 2 एक चर वाले रैखिक समीकरण Ex 2.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 2 एक चर वाले रैखिक समीकरण Exercise 2.5

प्रश्न 1.
\(\frac{x}{2}-\frac{1}{5}\) = \(\frac{x}{3}+\frac{1}{4}\)
हल :
\(\frac{x}{2}-\frac{1}{5}\) = \(\frac{x}{3}+\frac{1}{4}\)
\(\frac{x}{2}-\frac{x}{3}\) = \(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\)
⇒ \(\frac{3x – 2x}{6}\) = \(\frac{5 + 4}{20}\)
⇒ \(\frac{x}{6}\) = \(\frac{9}{20}\)
कैंची गुणा करने पर,
20x = 54
x = \(\frac{54}{20}\) = \(\frac{27}{10}\)
अत: x = \(\frac{27}{10}\)

प्रश्न 2.
\(\frac{n}{2}\) – \(\frac{3n}{4}\) + \(\frac{5n}{6}\) = 21
हल :

प्रश्न 3.
x + 7 – \(\frac{8x}{3}\) = \(\frac{17}{6}\) – \(\frac{5x}{2}\)
हल :

प्रश्न 4.
\(\frac{x-5}{3}\) = \(\frac{x-3}{5}\)
हल :
\(\frac{x-5}{3}\) = \(\frac{x-3}{5}\)

कैंची गुणा करने पर,
5(x – 5) = 3(x – 3)
⇒ 5x – 25 = 3x – 9
पक्षान्तरण करने पर,
5x – 3x = – 9 + 25
⇒ 2x = 16²
⇒ x = \(\frac{16}{2}\)
अतः x = 8

प्रश्न 5.
\(\frac{3t-2}{4}\) – \(\frac{2t-3}{3}\) = \(\frac{2}{3}\) – t
हल :

प्रश्न 6.
m – \(\frac{m-1}{2}\) = 1 – \(\frac{m-2}{3}\)
हल :

निम्नलिखित समीकरणों को सरल रूप में बदलते हुए ल कीजिए :

प्रश्न 7.
3(t – 3) = 5(2t + 1)
हल :
3(t – 3) = 5(2t + 1)
⇒ 3t – 9 = 10t + 5
10 तथा 9 का पक्षान्तरण करने पर,
⇒ 3t – 10t = 5 + 9
⇒ – 7t = 14
⇒ t = \(\frac{-14}{7}\)
∴ t = – 2

प्रश्न 8.
15(y – 4) – 2(y – 9) + 5(y + 6) = 0
हल :
15(y – 4) – 2(y – 9) + 5(y + 6) = 0
⇒ 15y – 60 – 2y + 18 + 5y + 30 = 0
⇒ 15y – 2y + 5y – 60 + 18 + 30 = 0
⇒ 18y – 12 = 0
⇒ 18y = 12
⇒ y = \(\frac{12}{18}\)
अत: y = \(\frac{2}{3}\)

प्रश्न 9.
3(5z – 7) – 2(9z – 11) = 4(8z – 13) – 17
हल :
3(5z – 7) – 2(9z – 11) = 4(8z – 13) – 17
⇒ 15z – 21 – 18z + 22 = 32z – 52 – 17
पक्षान्तरण करने पर,
⇒ 15z – 18z – 32z = – 52 – 17 + 21 – 22
⇒ 15z – 50z = 21 – 91
⇒ – 35z = – 70
⇒ – 35z = – 70
⇒ z = \(\frac{-70}{-35}\)
अत: z = 2

प्रश्न 10.
0.25 (4f – 3) = 0.05 (10f – 9)
हल :
0.25 (4f – 3) = 0.05 (10f – 9)
1.00 f – 0.75 f = 0.5 f – 0.45
पक्षान्तरण करने पर,
⇒ 1.00 f – 0.75 = – 0.45 + 0.75
0.5 f = 0.30
f = \(\frac{0.30}{0.5}\) = 0.6
अत: f = 0.6

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 2 एक चर वाले रैखिक समीकरण Ex 2.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 2 एक चर वाले रैखिक समीकरण Exercise 2.4

प्रश्न 1.
अमीना एक संख्या सोचती है । वह इसमें से \(\frac{5}{2}\) घटाकर परिणाम को 8 से गुणा करती है । अब जो परिणाम मिलता है, वह सोची गई संख्या की तिगुनी है । वह सोची गई संख्या ज्ञात कीजिए ।
हल :
माना कि सोची गयी संख्या है।
संख्या X में से \(\frac{5}{2}\) को घटाकर प्राप्त परिणाम को 8 से गुणा करने पर प्राप्त अंक = \(8\left(x-\frac{5}{2}\right)\)
यह परिणाम संख्या के तिगुर्न (3x) के बराबर है ।
अतः \(8\left(x-\frac{5}{2}\right)\) = 3x
या 8x – \(\frac{40}{2}\) = 3x
⇒ 8x – 20 = 3x
3x तथा 20 का पक्षान्तरण करने पर,
8x – 3x = 20
या 5x = 20
∴ x = \(\frac{20}{5}\) = 4

अत: संख्या =4

प्रश्न 2.
दो संख्याओं में पहली संख्या दूसरी की पाँच गुनी है। प्रत्येक संख्या में 21 जोड़ने पर पहली संख्या दूसरी की दुगुनी हो जाती है । संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल :
माना, दूसरी संख्या =x
तो, पहली संख्या = 5x
दोनों संख्याओं में 21 जोड़ने पर प्राप्त संख्याएँ,
पहली संख्या = 5x + 21
दूसरी संख्या = x + 21

प्रश्नानुसार,
5x + 21 = 2 (x + 21)
5x + 21 = 2x + 42
2x तथा 21 का पक्षान्तरण करने पर
⇒ 5x – 2x= 42 – 21
⇒ 3x = 21
⇒ x = \(\frac{21}{3}\)
⇒ x = 7

अतः पहली संख्या = 5x
x = 5 × 7
x = 35

तथा दूसरी संख्या = x
x = 7

प्रश्न 3.
दो अंकों वाली दी गई एक संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या के अंकों के स्थान बदलकर प्राप्त संख्या दी गई संख्या से 27 अधिक है । दी गई संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि इकाई का अंक = x
अंकों का योग = 9
तो, दहाई का अंक = (9 – x)
संख्या = 10 (9 – x) + x
अंकों का स्थान बदलने पर प्राप्त नई संख्या = 10x + (9 – x)
अब, प्रश्नानुसार नई संख्या दी गई संख्या से 27 अधिक है।
10 (9 – x) + x + 27 = 10x + (9 – x)
⇒ 90- 10x + x + 27 = 10x + 9 – x
⇒ – 9x + 117 = 9x +9

पक्षान्तरण करने पर,
117 – 9 = 9x + 9x
अतः
या 18x = 108
या x = \(\frac{108}{18}\) = 6
∴ x = 6

अतः इकाई का अंक = x = 6
दहाई का अंक = (9 – x) = (9 – 6) = 3

अतः संख्या = 10 × 3 + 6 = 30 + 6
अत: संख्या = 36

प्रश्न 4.
दो अंकों वाली दी गई एक संख्या में एक अंक दूसरे का तीन गुना है। इसके अंकों के स्थान बदलकर प्राप्त संख्या को, दी गई संख्या में जोड़ने पर 88 प्राप्त होता है। दी गई संख्या ज्ञात कीजिए।
हल :
माना कि इकाई का अंक = x
दहाई का अंक =3x
अत: संख्या = 10 (3x) + x
=30x + x
संख्या = 31x
अंकों के स्थान बदलकर प्राप्त संख्या = 10 × x+ 3x
= 10x + 3x
= 13x

दोनों संख्याओं को जोड़ने पर योग 88 प्राप्त होता है।
अतः 31x + 13x= 88
या 44x = 88
या x = \(\frac {88}{44}\) = 2
∴ x = 2

अतः दी गई संख्या = 31x या 13x
= 31 × 2 या 13 × 2
∴ संख्या = 62 या 26

प्रश्न 5.
शोबो की माँ की आयु, शोबो की आयु की छः गुनी है। 5 वर्ष बाद शोबो की आयु उसकी माँ की वर्तमान आयु की एक-तिहाई हो जायेगी । उनकी आयु ज्ञात कीजिए।
हल :
माना कि शोबो की वर्तमान आयु = x वर्ष
तो, उसकी माँ की वर्तमान आयु = 6x वर्ष
5 वर्ष बाद शोबो की आयु = (x+ 5) वर्ष
प्रश्नानुसार, पाँच वर्ष बाद शोबो की आयु
= \(\frac {1}{3}\) × माँ की वर्तमान आयु
x + 5 = \(\frac {1}{3}\) × 6x = 2x
x + 5 = 2x
5 = 2x – x = x
∴ x = 5
अत: शोबो की वर्तमान आयु = 5 वर्ष
तथा माँ की वर्तमान आयु (6x) = 5 × 6 = 30 वर्ष

प्रश्न 6.
महूली गाँव में, एक तंग आयताकार भूखण्ड विद्यालय बनाने के लिए सुरक्षित है। इस भूखण्ड की लम्बाई और चौड़ाई में 11 : 4 का अनुपात है । गाँव पंचायत को इस भूखण्ड की बाड़ कराने में ₹ 100 प्रति मीटर की दर से ₹75,000 व्यय करने होंगे। भूखण्ड की माप ज्ञात कीजिए।
हल :
माना कि आयत की लम्बाई 11 तथा चौड़ाई 4x है।
आयत का परिमाप = 2 (लम्बाई + चौड़ाई)
= 2 (11x + 4)
= 2 × 15x
= 30x
प्रश्नानुसार, बाड़ कराने में ₹ 100 प्रति मीटर की दर से ₹75000 व्यय होते हैं ।
भूखण्ड का परिमाप = \(\frac {75000}{100}\) = 750 मीटर
अत: 30x = 750
x = \(\frac {750}{30}\) = 25
∴ x = 25

अत: आयताकार भूखण्ड की लम्बाई = 11x = 11 × 25 = 275 मीटर
तथा चौड़ाई = 4x = 4 × 25 = 100 मीटर

प्रश्न 7.
हसन, स्कूल वर्दी बनाने के लिए दो प्रकार का कपड़ा खरीदता है । इसमें कमीज के कपड़े का भाव 50 प्रति मीटर तथा पतलून के कपड़े का भाव ₹90 प्रति मीटर है । वह पतलून के प्रत्येक 2 मीटर कपड़े के लिए कमीज़ का 3 मीटर कपड़ा खरीदता है । वह इस कपड़े को क्रमशः 12% तथा 10% लाभ पर बेचकर ₹36,660 प्राप्त करता है। उसने पतलूनों के लिए कितना कपड़ा खरीदा?
हल:
माना कि पतलून का 2x मीटर कपड़ा खरीदता है तथा कमीज का 3x मीटर कपड़ा खरीदता है।
∵ कमीज के कपड़े का भाव = ₹50 प्रतिमीटर
अतः कमीज के कुल कपड़े का दाम = 50 × 3x
= ₹ 150x
इसी प्रकार, पतलून के कुल कपड़े का दाम = 90 × 2x
= ₹180x
पतलून के कपड़े का लाभ = 12%
= \(\frac{180 x \times 12}{100}\)
= 21.6x

अत: पतलून के कपड़े का विक्रयमूल्य = 180x + 21.6x = 201.6x
इसी प्रकार, कमीज के कपड़े का लाभ = 10%
= \(\frac{150 x \times 10}{100}\) = 15x

अतः कमीज के कपड़े का विक्रय मूल्य = 150x + 15x = 165x
अतः कुल विक्रय मूल्य = 201.6x + 165x
= 366.6x

प्रश्नानुसार विक्रय मूल्य = 36,660 रुपये
366.6x = 36,660 रुपये
x = \(\frac{36,660}{366.6}\) = 100
∴ x = 100

अत: हसन ने पतलून का कुल कपड़ा खरीदा = 2x = 2 × 100 =200 मीटर

प्रश्न 8.
हिरणों के एक झुंड का आधा भाग मैदान में चर रहा है और शेष का तीन-चौथाई पड़ोस में ही खेलकूद रहा है। शेष बचे 9 हिरण एक तालाब में पानी पी रहे हैं। झुंड में हिरणों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल :
माना कि हिरणों की कुल संख्या = x
चरने वाले हिरणों की संख्या = \(\frac{x}{2}\)
शेष हिरणों की संख्या = (x – \(\frac{x}{2}\))
(\(\frac{2x – x}{2}\)) = \(\frac{x}{2}\)

पड़ोस में खेलने वाले हिरणों की संख्या = \(\frac{3}{4}\left(\frac{x}{2}\right)\)
= \(\frac{3x}{8}\)

शेष बचे हिरणों की संख्या = \(\frac{x}{2}\) – \(\frac{3x}{8}\)
= \(\frac{4x – 3x}{8}\) = \(\frac{x}{8}\)
शेष 9 हिरण तालाब में पानी पी रहे हैं।
\(\frac{x}{8}\) = 9
x = 72
अत: झुण्ड में कुल हिरणों की संख्या = 72

प्रश्न 9.
दादाजी की आयु अपनी पौत्री की आयु की दस गुनी है। यदि उनकी आयु पौत्री की आयु से 54 वर्ष अधिक है, तो उन दोनों की आयु ज्ञात कीजिए।
हल :
माना कि पौत्री की आयु = x वर्ष
तो दादा जी की आयु = 10x वर्ष
दिया हुआ है कि दादाजी की आयु, पौत्री की आयु से 54 वर्ष अधिक है, तो
10x = x + 54
या 10x – x = 54
9x = 54
x = \(\frac{54}{9}\)
x = 6

अत: पौत्री की आयु = 6 वर्ष
तथा दादाजी की आयु = 10x = 10 × 6 = 60 वर्ष

प्रश्न 10.
अमन की आयु उसके पुत्र की आयु की तीन गुनी है । 10 वर्ष पहले उसकी आयु पुत्र की आयु की पाँच गुनी थी। दोनों की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
हल :
माना कि अमन के पुत्र की वर्तमान आयु = x वर्ष
तो अमन की वर्तमान आयु = 3xवर्ष
दस वर्ष पहले पुत्र की आयु = (x – 10) वर्ष
दस वर्ष पहले अमन की आयु = (3x – 10) वर्ष
प्रश्नानुसार, (3x – 10) = 5(x – 10) (∵ अमन की आयु 35x पुत्र की आयु)
⇒ 3x – 10 = 5x – 50
3x तथा 50 का पक्षान्तरण करने पर,
– 10 + 50 = 5x – 3x
40 = 2x
⇒ 2x= 40
x = \(\frac{40}{2}\) = 20

अत: अमन की वर्तमान आयु (3x) = 3 × 20 वर्ष = 60
वर्ष पुत्र की वर्तमान आयु (x) = 20 वर्ष

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 2 एक चर वाले रैखिक समीकरण Ex 2.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 2 एक चर वाले रैखिक समीकरण Exercise 2.3

निम्न समीकरणों को हल कीजिये और अपने उत्तर की जाँच कीजिए।

प्रश्न 1.
3x = 2x + 18
हल :
3x = 2x + 18
2x को बाईं ओर पक्षांतरण करने पर 3x – 2x = 18
x= 18

जाँच-
3x= 2x + 18
L.H.S. में x= 18 रखने पर,
3x = 3 × 18 = 54

R.H.S. में x= 18 रखने पर,
2x + 18 = 2 × 18 + 18 = 54
=36+ 18
= 54
अत: L.H.S. = R.H.S.

प्रश्न 2.
5t – 3 = 3t – 5
हल :
5t – 3 = 3t – 5
3t तथा 3 का पक्षान्तरण करने पर,
5t – 3t = -5 + 3
या 2t = 2
या t = \(\frac{-2}{2}\) = -1
∴ t = -1

जाँच-
5t – 3= 3t – 5
L.H.S. में t = -1 रखने पर,
(5t – 3) = 5 (-1) – 3 = – 5 – 3 = -8.

R.H.S. में t=-1 रखने पर,
(3t – 5) = 3(-1) – 5 = – 3 – 5 = – 8
अत: L.H.S. = R.H.S.

प्रश्न 3.
5x + 9 = 5 + 3x
हल :
5x +9 = 5 + 3x
3x तथा 9 का पक्षान्तरण करने पर,
5x – 3x = 5 – 9
या 2x = – 4
या x = \(\frac{-4}{2}\) = – 2
∴ x = – 2

जाँच-
5x + 9 = 5 + 3x
L.H.S. में x = – 2 रखने पर,
5(-2) + 9 = – 10 + 9 = – 1

L.H.S. में x = – 2 रखने पर,
5 + 3(-2) = 5 – 6 = – 1
अत: L.H.S. = R.H.S.

प्रश्न 4.
4z + 3 = 6 + 2z.
हल :
4z + 3 = 6 + 2z.
2z तथा 3 का पक्षान्तरण करने पर,
4z – 2z = 6 – 3
या 2z = 3
∴ z = \(\frac{3}{2}\)

जाँच-
4z + 3 = 6 + 2z.
L.H.S. में z = \(\frac{3}{2}\) रखने पर,
4z + 3 = z = \(4 \frac{3}{2}\) + 3 = 6 + 3 = 9

R.H.S. में z = \(\frac{3}{2}\) रखने पर,
6 + 4z = z = 6 + \(2 \frac{3}{2}\) = 6 + 3 = 9

∴ L.H.S. = R.H.S.

प्रश्न 5.
2x – 1 = 14 – x
हल :
2x – 1 = 14 – x
x तथा 1 का पक्षान्तरण करने पर,
2x + x = 14 + 1
या 3x = 15
या x = \(\frac{15}{3}\) = 5
∴ x = 5

जाँच-
2x – 1 = 14 – x
L.H.S. में x = 5 रखने पर,
2x – 1 = 2(5) – 1 = 10 – 1 = 9

R.H.S. में x = 5 रखने पर,
14 – x = 14 – 5 = 9

अत: L.H.S. = R.H.S.

प्रश्न 6.
8x + 4 = 3 (x – 1) + 7
हल :
8x + 4 = 3 (x – 1) + 7
या 8x + 4 = 3x – 3 + 7
या 8x + 4 = 3x + 4
3x तथा 4 का पक्षान्तरण करने पर,
या
8x – 3x = 4 – 4
या 5x = 0
या x = \(\frac{0}{5}\) = 0
∴ x = 0

जाँच-
8x + 4 = 3 (x – 1) + 7

L.H.S. में x = 0 रखने पर,
8x + 4 = 8 × 0 + 4 = 0 + 4 = 4

R.H.S. में x = 0 रखने पर,
3 (x – 1) + 7 = 3(0 – 1) + 7 = 3 (-1) + 7 = 4

अत: L.H.S. = R.H.S.

प्रश्न 7.
x = \(\frac{4}{5}\)(x + 10)
हल :
x = \(\frac{4}{5}\)(x + 10)
कैंची गुणा करने पर,
5x = 4(x + 10)
या 5x = 4x + 40
4x का पक्षान्तरण करने पर,
5x – 4x = 40
∴ x = 40

जाँच-
x = \(\frac{4}{5}\)(x + 10)

L.H.S. में x = 40 रखने पर,
x = 40

R.H.S. में x = 40 रखने पर,
\(\frac{4}{5}\)(x + 10) = \(\frac{4}{5}\)(40 + 10)
= \(\frac{4}{5}\)(50) = \(\frac{4 × 50}{5}\) = 40

अत: L.H.S. = R.H.S.

प्रश्न 8.
\(\frac{2x}{3}\) + 1 = \(\frac{7x}{15}\) + 3
हल :
\(\frac{2x}{3}\) + 1 = \(\frac{7x}{15}\) + 3
\(\frac{7x}{15}\) तथा 4 का पक्षान्तरण करने पर,
\(\frac{2x}{3}\) + \(\frac{7x}{15}\) = 3 – 1
या \(\frac{10x – 7x}{15}\) = 2
या \(\frac{3x}{15}\) = 2
कैंची गुणा करने पर-
3x = 2 × 15
या x = \(\frac{2 \times 15}{3}\) = 10
∴ x = 10

जाँच-
\(\frac{2x}{3}\) + 1 = \(\frac{7x}{15}\) + 3

L.H.S. में x = 10 रखने पर,
\(\frac{2x}{3}\) + 1 = \(\frac{2 \times 10}{3}\) + 3
= \(\frac{20}{3}\) + 1
= \(\frac{20 + 3}{3}\) = \(\frac{23}{3}\)

R.H.S. में x = 40 रखने पर,
\(\frac{7x}{15}\) + 3 = \(\frac{7 \times 10}{15}\) + 3
= \(\frac{14}{3}\) + 3
= \(\frac{14 + 9}{3}\) + 3 = \(\frac{23}{3}\) + 3

अत: L.H.S. = R.H.S.

प्रश्न 9.
2y + \(\frac{5}{3}\) = \(\frac{26}{3}\) – y.
हल :
y तथा \(\frac{5}{3}\) का पक्षान्तरण करने पर,

2y + y = \(\frac{26}{3}\) – \(\frac{5}{3}\)
या 3y = \(\frac{26 – 5}{3}\) = \(\frac{21}{3}\)
या 3y = 7
∴ y = \(\frac{7}{3}\)

जाँच-
2y + \(\frac{5}{3}\) = \(\frac{26}{3}\) – y.
L.H.S. में y = \(\frac{7}{3}\) रखने पर-
2y + \(\frac{5}{3}\) = \(2\left(\frac{7}{3}\right)+\frac{5}{3}\)
= \(\left(\frac{14}{3}\right)+\frac{5}{3}\)
= \(\frac{14 + 5}{3}\) = \(\frac{19}{3}\)

R.H.S. में y = \(\frac{7}{3}\) रखने पर-
\(\frac{26}{3}\) – y = \(\frac{26}{3}\) – \(\frac{7}{3}\)
= \(\frac{26 – 7}{3}\) = \(\frac{19}{3}\)

अत: L.H.S. = R.H.S.

प्रश्न 10.
3m = 5m – \(\frac{8}{5}\)
हल :
3m = 5m – \(\frac{8}{5}\)
5m का पक्षान्तरण करने पर,
3m – 5m = – \(\frac{8}{5}\)
– 2m = – \(\frac{8}{5}\)
या m = \(\frac{8}{5 \times 2}=\frac{4}{5}\)
∴ m = \(\frac{4}{5}\)

जाँच-
3m = 5m – \(\frac{8}{5}\)

L.H.S. में m = \(\frac{4}{5}\) रखने पर-
3m = \(3 \frac{4}{5}\)
= \(\frac{12}{5}\)

R.H.S. में m = \(\frac{4}{5}\) रखने पर-
5m – \(\frac{8}{5}\) = \(5\left(\frac{4}{5}\right)-\frac{8}{5}\)
= \(4-\frac{8}{5}\)
= \(\frac{20 – 8}{5}\)
= \(\frac{12}{5}\)

अत: L.H.S. = R.H.S.

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 2 एक चर वाले रैखिक समीकरण Ex 2.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 2 एक चर वाले रैखिक समीकरण Exercise 2.2

प्रश्न 1.
अगर आपको किसी संख्या से 7 घटाने और परिणाम को 7 से गुणा करने पर प्राप्त होता है, तो वह संख्या क्या है?
हल :
माना कि वह संख्या x है।
x से \(\frac {1}{2}\) घटाने पर x – \(\frac {1}{2}\) प्राप्त होता है = (x –\(\frac {1}{2}\))
अब प्रश्नानुसार \(\frac {1}{2}\) से गुणा करने पर,
\(\frac {1}{2}\) (x – \(\frac {1}{2}\)) = \(\frac {1}{8}\)
⇒ \(\frac {1}{2}\)(\(\frac {2x – 1}{2}\)) = \(\frac {1}{8}\)
⇒ \(\frac {2x – 1}{2}\) = \(\frac {1}{8}\) कैंची गुणा करने पर,
8(2x – 1) = 4
⇒ 16x – 8 = 4
-8 का दायें पक्ष में स्थानांतरण करने पर
⇒ 16x= 4+ 8 = 12
x = \(\frac {12}{16}\)) = \(\frac {3}{4}\)
∴ x = \(\frac {3}{4}\)
अत: वह संख्या = \(\frac {3}{4}\)

प्रश्न 2.
एक आयताकार तरण-ताल की लम्बाई उसकी चौड़ाई के दुगुने से 2 मीटर अधिक है। यदि इसका परिमाप 154 मीटर है, तो इसकी लम्बाई व चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि आयताकार तरण-ताल की चौड़ाई =x मी० है।
तब उसकी लम्बाई 2x + 2 मी०
आयताकार तरण-ताल का परिमाप = 2 (लम्बाई + चौड़ाई)
∴ 154 = 2(2x + 2 + 3)
= 2 (3x + 2)
⇒ 154 = 6x + 4
⇒ 154 – 4 = 6x
⇒ 150 = 6x
⇒ x = \(\frac {150}{6}\) = 25
∴ x = 25
अत: तरण-वाल की लम्बाई = 2x + 2 = 2 × 25 + 2
= 50 + 2 = 52 मीटर
तथा चौड़ाई x = 25 मीटर

प्रश्न 3.
एक समद्विबाहु त्रिभुज का आधार \(\frac {4}{3}\) सेमी. तथा उसका परिमाप 4\(\frac {2}{15}\) सेमी. है । उसकी दो बराबर भुजाओं की माप ज्ञात कीजिए।
हल :
माना कि समद्विबाहु त्रिभुज की बराबर भुजाओं की माप = सेमी.।
त्रिभुज का आधार = \(\frac {4}{3}\) सेमी.
परिमाप = 4\(\frac {2}{15}\) ⇒ \(\frac {62}{15}\) सेमी.
अतः समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप = आधार + भुजा + भुजा
⇒ \(\frac {62}{15}\) = \(\frac {4}{3}\) + x + x
⇒ \(\frac {4 + 3x + 3x}{3}\) = \(\frac {62}{15}\)
⇒ \(\frac {6x + 4}{3}\) = \(\frac {62}{15}\)
कैंची गुण करने पर,
15(6x + 4) = 62 × 3
90x + 60 = 186 (+ 60 को पक्षोतरित करने पर)
​⇒ 90x = 186 – 60 = 126
⇒ x = \(\frac {126}{90}\) = \(\frac {7}{5}\)
∴ x = \(\frac {7}{5}\) ⇒ \(1 \frac {2}{5}\)
​​अत: समद्विबाहु त्रिभुज की बराबर भुजाएँ = \(1 \frac{2}{5}\) सेमी

​प्रश्न 4.
दो संख्याओं का योग 95 है । यदि एक संख्या दूसरी से 15 अधिक है, तो दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल :
माना कि पहली संख्या = x
तो दूसरी संख्या = (x + 15)
दोनों संख्याओं का योग = (x + 15) + x=95
प्रश्नानुसार, 2x + 15 = 95
⇒ 2x = 95 – 15 = 80 (15 को दायें पक्ष में पक्षांतरण करने पर)
⇒ 2x = 80
∴ x = \(\frac {80}{2}\) = 40
अत: पहली संख्या =40
तथा दूसरी संख्या = 40+ 15 = 55

प्रश्न 5.
दो संख्याओं में 5:3 का अनुपात है । यदि उनमें अन्तर 18 है, तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल :
दो संख्याएँ 5:3 के अनुपात में हैं।
माना कि एक संख्या 5 तथा दूसरी संख्या 3x है।
अतः प्रश्नानुसार, 5x – 3x = 18
या 2x = 18
या x = \(\frac {18}{2}\) = 9
∴ x = 9

अत: पहली संख्या = 5x = 5 × 9 = 45
तथा दुसरी संख्या = 3x = 3 × 9 = 27

प्रश्न 6.
तीन लगातार पूर्णाकों का योग 51 है। पूर्णाक ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि पहली पूर्णांक संख्या = x .
दूसरी पूर्णांक संख्या = x + 1
तीसरी पूर्णांक संख्या = x + 2
तीनों पूर्णांक संख्याओं का योग = 51

अत: x + x + 1 + x + 2 = 51
या, 3x + 3 = 51
या, 3x = 51 – 3 = 48
x = \(\frac {48}{3}\) = 16

अत: पहली पूर्णांक संख्या = 16
दूसरी पूर्णांक संख्या = x + 1 = 16 + 1 = 17
तीसरी पूर्णांक संख्या = x+ 2 = 16 +2 = 18.

प्रश्न 7.
8 के तीन लगातार गुणजों का योग 888 है। गुणजों को ज्ञात कीजिए।
हल :
माना कि 8 के तीन लगातार गुणज = x, (x+8), (x+ 16)
उनका योग = 888
अतः x + (x + 8) + (x + 16) = 888
या, 3x + 24 = 888
या, 3x = 888 – 24 = 864
∴ x = \(\frac {864}{3}\) = 288
अतः पहला गुणज (x) = 288
दूसरा गुणज (x + 8) = 288 +8 = 296
तीसरा गुणज (x + 16) = 288 + 16 = 304

प्रश्न 8.
तीन लगातार पूणांक बढ़ते क्रम में लेकर में क्रमश: 2,3 और 4 से गुणा कर योग करने पर योगफल 74 प्राप्त होता है। तीनों पूर्णाक ज्ञात कीजिए।
हल :
माना कि पहला पूर्णांक =x.
दूसरा पूर्णांक = x + 1
तीसरा पूर्णाक = x + 2
अब प्रश्नानुसार, 2x + 3(x + 1) + 4(x + 2) = 74
या 2x + 3x + 3 + 4x + 8 = 74
या, 9x + 11 = 74
or, 9x = 74 – 11 = 63
∴ x = \(\frac {63}{9}\) = 7

अत: पहली पूर्णाक संख्या x = 7
दूसरी पूर्णांक संख्या = x + 1 = 7 + 1 = 8
तीसरी पूर्णांक संख्या = x + 2 = 7 + 2 = 9

प्रश्न 9.
राहुल और हारून की वर्तमान आयु में अनुपात 5:7814 वर्ष बाद उनकी आयु का योग 56 वर्ष हो जायेगा। उनकी वर्तमान आयु क्या है?
हल :
माना कि राहुल की वर्तमान आयु = 5x
तथा हारून की वर्तमान आयु = 7x
4 वर्ष बाद दोनों की आयु क्रमशः (5x + 4) तथा (7x + 4) वर्ष होगी।
प्रश्नानुसार, दोनों की आयु का योग,
(5x + 4) + (7x + 4) = 56
या 12x + 8 = 56
या 12x = 56 – 8
∴ 12x = 48
या x = \(\frac {48}{12}\) = 4

अत: x = 4
अत: राहुल की वर्तमान आयु = 5x = 5 × 4 = 20 वर्ष
तथा हारून की वर्तमान आयु = 7x = 7 × 4 = 28 वर्ष

प्रश्न 10.
किसी कक्षा में बालक और बालिकाओं की संख्याओं में अनुपात 7:5है। यदि बालकों की संख्या बालिकाओं की संख्या से 8 अधिक है, तो कक्षा में कुल कितने विद्यार्थी ?
हल :
माना, कक्षा में बालकों की संख्या = 7x
तथा बालिकाओं की संख्या = 5x
बालकों की संख्या बालिकाओं की संख्या से 8 अधिक है।
अत: 7x = 5x + 8
या 7x – 5x = 8 .
या 2x = 8
या x = \(\frac {8}{2}\) = 4
∴ x = 4

अतः बालकों की संख्या,7x = 7 × 4 = 28
तथा, बालिकाओं की संख्या, 5x = 5 × 4 = 20
अत: कुल विद्यार्थियों की संख्या = 28 + 20 = 48

प्रश्न 11.
बाइचुंग के पिताजी उसके दादाजी से 26 वर्ष छोटे हैं और उससे 29 वर्ष बड़े हैं । यदि उन तीनों की आयु का योग 135 वर्ष है, तो उनकी आयु अलग-अलग ज्ञात कीजिए।
हल :
माना कि बाइचुंग की आयु =x वर्ष
तो उसके पिताजी की आयु = (x + 29) वर्ष होगी
दादाजी की आयु, उसके पिता की आयु से 26 वर्ष अधिक

अत: उसके दादाजी की आयु = (x + 29) + 26 = (x + 55) वर्ष
​तीनों की आयु का योग = 135 वर्ष
अत: x + (x + 29) + (x + 55) = 135
या 3x + 84 = 51
या 3x = 135 – 84 = 51
∴ x = \(\frac {51}{3}\) = 17

अत: बाइचुंग की आयु (x) = 17 वर्ष
पिताजी की आयु (x + 29) = 17 + 29 = 46 वर्ष
दादाजी की आयु (x + 55) = 17 + 55 = 72 वर्ष

प्रश्न 12.
15 वर्ष वाद रवि की आयु, उसकी वर्तमान आयु से चार गुनी हो जायेगी । रवि की वर्तमान आयु क्या है ?
हल :
माना कि रवि की वर्तमान आयु = x वर्ष
15 वर्ष बाद उसकी आयु = (x+ 15) वर्ष
अब प्रश्नानुसार, x + 15= 4x
या 15 = 4x – x
या 15 = 3x
अत: 3x = 15
∴ x = \(\frac {15}{3}\) = 5

अतः रवि की वर्तमान आयु = 5 वर्ष

प्रश्न 13.
एक परिमेय संख्या को \(\frac{5}{2}\) से गुणा कर जोड़ने पर \(\frac{2}{3}\) प्राप्त होता है \(\frac{-7}{12}\) वह संख्या क्या है ?
हल :
माना कि संख्या = x
प्रश्नानुसार, \(\frac{5}{2}\) x + \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{-7}{12}\)
\(\frac{5x}{2}\) = \(\frac{-7}{12}\) – \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{-7-8}{12}\)
या \(\frac{5x}{2}\) = \(\frac{-15}{12}\)
या 12 × 5x = -15 × 2 (कैंची गुणा करने पर)
x = \(\frac{-15 \times 2}{12 \times 5}=-\frac{1}{2}\)
∴ x = \(\frac{-1}{12}\)
अत: परिमेय संख्या = \(\frac{-1}{12}\)

प्रश्न 14.
लक्ष्मी एक बैंक में खजांची है । उसके पास नकदी के रूप में 100 रुपये, 50 रुपये व 10 रुपये वाले नोट हैं । उनकी संख्याओं में क्रमश: 2 : 3 : 5 का अनुपात और उनका कुल मूल्य 4,00,000 रुपये है । उसके पास प्रत्येक प्रकार के कितने-कितने नोट हैं ?
हल :
माना कि 100 रुपये, 50 रुपये व 10 रुपये के नोटों की संख्या क्रमश: 2x, 3x व 5x हैं।
100 रु. वाले नोटों का मूल्य =2x × 100 = 200 रुपये
50 रु. वाले नोटों का मुल्य =3x × 50 = 150x
रुपये 10रु.वाले नोटों का मूल्य = 5x × 10=50x
रुपये नोटों का कुल मूल्य = 4,00,000
अतः 200x + 150x + 50x = 400000
या 400x = 400000
या x = \(\frac{400000}{400}\)
∴ x = 1000
अत: 100 रुपये वाले नोटों की संख्या =2 × 1000=2000
50 रुपये वाले नोटों की संख्या =3 × 1000 = 3000
10 रुपये वाले नोटों की संख्या = 5 × 1000 = 5000

प्रश्न 15.
मेरे पास 300 रुपये मूल्य के 1 रुपये, 2 रुपये और 5 रुपये वाले सिक्के हैं । 2 रुपये वाले सिक्कों की संख्या 5 रुपये वाले सिक्कों की संख्या की तिगुनी है और सिक्कों की कुल संख्या 160 है। मेरे पास प्रत्येक प्रकार के कितने-कितने सिक्के हैं ?
हल :
माना कि 5 रुपये वाले सिक्कों की संख्या = x
2 रुपये वाले सिक्कों की संख्या = 3x
दिया है कुल सिक्कों की संख्या = 160
1 रुपये वाले सिक्कों की संख्या = 160 – (2 रुपये के सिक्कों की संख्या + 5 रुपये के सिक्कों की संख्या)
= 160 – (3x + x) = (160 – 4x)
अत: 1 रुपये वाले सिक्कों की संख्या = 160 – 4x
अब 1 रुपये वाले सिक्कों का कुल मूल्य = (160-4x) × 13 (160 – 4x)
रुपये 2 रुपये वाले सिक्कों का कुल मुल्य =3x × 2=6x
रुपये 5 रुपये वाले सिक्कों का कुल मूल्य = x × 5= 5x
रुपये अतः कुल रुपये = (160 – 4x) + 6x + 5x = 160 + 7x
रुपये परन्तु सभी सिक्कों का कुल मूल्य = 300 रुपये अतः प्रश्नानुसार, 160 + 7x = 300
7x = 300 – 160 = 140
∴ x = \(\frac{140}{7}\) = 20

अत:5 रुपये वाले सिक्कों की संख्या (x) = 20
2 रुपये वाले सिक्कों की संख्या (3x) = 60
1 रुपये वाले सिक्कों की संख्या (160 – 4x) = = 160 – 4 × 20 = 160 – 80
= 80

प्रश्न 16.
एक निबन्ध प्रतियोगिता में आयोजकों ने तय किया कि प्रत्येक विजेता को 100 रुपये और विजेता को छोड़कर प्रत्येक प्रतिभागी को 25 रुपये पुरस्कार के रूप में दिये जायेंगे । यदि पुरस्कारों में बाँटी गयी राशि 3000 रुपये थी, तो कुल 63 प्रतिभागियों में विजेताओं की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल :
माना कि विजेताओं की संख्या = x
कुल प्रतिभागियों की संख्या = 63
∴ शेष प्रतिभागियों की संख्या (63 – x)
प्रत्येक विजेता को दी गई राशि = 100 रुपये
∴ x विजेताओं को दी गई राशि = 100x रुपये
चूँकि विजेताओं को छोड़कर प्रत्येक प्रतिभागी को दी गई राशि = 25 रुपये
अत: विजेता को छोड़कर सभी प्रतिभागीर्यों को दी गई कुल राशि =(63 – x) × 25
= (1575 – 250x)
अतः कुल दी गई राशि = 100x + (1575 – 25.x) = (1575 + 75x)
अब, प्रश्नानुसार, कुल दी गई राशि = 3000
1575 + 75x = 3000
या 75x = 3000 – 1575 ⇒ 1425
x = \(\frac{1425}{75}\) = 19
विजेताओं की संख्या (x) = 19

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 2 एक चर वाले रैखिक समीकरण Ex 2.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 2 एक चर वाले रैखिक समीकरण Exercise 2.1

निम्न समीकरणों को हल कीजिए-

प्रश्न 1.
x – 2 = 7
हल :
x – 2 = 7
2 को दायें पक्ष में पक्षांतरण करने पर,
x = 7 +2
∴ x = 9

प्रश्न 2.
y + 3 = 10
हल :
y + 3 = 10
3 को दायें पक्ष में पक्षांतरण करने पर,
y = 10 – 3
∴ y = 7

प्रश्न 3.
6 = z + 2
हल :
6 = z + 2
2 को बायें पक्ष में पक्षांतरण करने पर,
6 – 2 = z
या 4 = z
∴ z = 4

प्रश्न 4.
\(\frac{3}{7}\) + x = \(\frac{17}{7}\)
हल :
\(\frac{3}{7}\) + x = \(\frac{17}{7}\)
\(\frac{3}{7}\) को दायें पक्ष में पक्षांतरण करने पर,
x = \(\frac{17}{7}\) – \(\frac{3}{7}\)
या x = \(\frac{14}{7}\) = 2
∴ x = 2

प्रश्न 5.
6x = 12
हल :
6x = 12
या x = \(\frac{12}{6}\)
∴ x = 2

प्रश्न 6.
\(\frac{t}{5}\) = 10
हल :
\(\frac{t}{5}\) = 10
या t = 10 × 5 (कैंची गुणा करने)
∴ t = 50

प्रश्न 7.
\(\frac{2x}{3}\) = 18
हल :
\(\frac{2x}{3}\) = 18
या 2x = 18 × 3 (कैंची गुणा करने)
या x = \(\frac{18 \times 3}{2}\)
∴ x = 27

प्रश्न 8.
1.6 = \(\frac{y}{1.5}\)
हल :
1.6 = \(\frac{y}{1.5}\)
या \(\frac{16}{1}\) = \(\frac{y}{1.5}\)
या 1 × y = 1.6 × 1.5 (कैंची गुणा करने पर)
या y = 2.40
∴ y = 2.4

प्रश्न 9.
7x – 9 = 16
हल :
7x – 9 = 16
– 9 को पांतरण करने पर,
7x = 16 + 9
या 7x = 25
∴ x = \(\frac{25}{7}\)

प्रश्न 10.
14y – 8 = 13
हल :
14y – 8 = 13
-8 को दायें पक्ष में पक्षांतरण करने पर,
14y = 13 +8
या 14y = 21
∴ y = \(\frac{21}{14}\) = \(\frac{3}{2}\)
∴ y = \(\frac{3}{2}\)

प्रश्न 11.
17 + 6p = 9
17 + 6p = 9
17 को दायें पक्ष में पक्षांतरण करने पर,
6p = 9 – 17
या 6p = -8
या p = \(\frac{-8}{6}\)
∴ p = \(\frac{-4}{3}\)

प्रश्न 12.
\(\frac{x}{3}\) + 1 = \(\frac{7}{15}\)
हल :
\(\frac{x}{3}\) + 1 = \(\frac{7}{15}\)
1 को पक्षांतरण करने पर,
\(\frac{x}{3}\) + 1 – 1 = \(\frac{7}{15}\) – 1
या \(\frac{x}{3}\) = \(\frac{7-15}{15}\)
या \(\frac{x}{3}\) = \(\frac{-8}{15}\)
15x = -8 × 3 (कैंची गुणा करने पर)
या x = \(\frac{-8}{15}\) × 3
∴ x = \(\frac{-8}{5}\)