Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 1 परिमेय संख्याएँ InText Questions and Answers.
Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 1 परिमेय संख्याएँ InText Questions
संवृत (पृष्ठ 2)
प्रश्न 1.
पूर्ण संख्याओं के लिए सभी संक्रियाओं पर संवृत्त गुणधर्म की जाँच-
हल:
प्रश्न 2.
पूर्णाक संख्याओं के लिए सभी संक्रियाओं के लिए संघृत गुणधर्म की जाँच-
हल :
(i) योग संक्रिया के लिए-
किन्हीं दो पूर्णाकों तथा bके लिए a + b एक पूर्णांक संख्या होगी।
(ii) व्यवकलन संक्रिया के लिए-
किन्हीं दो पूर्णाक a तथा b के लिए a-bभी एक पूर्णांक संख्या होगी। तथा b – a भी एक पूर्णाक संख्या होगी।
(iii) गुणन संक्रिया के लिए-किन्हीं दो पूर्णाकों तथा । के लिए a × b भी एक पूर्णांक संख्या होगी।
(iv) भाग संक्रिया के लिए-किन्हीं दो पूर्णाकों तथा b के लिए पूर्णांक संख्या नहीं होगी।
स्पष्ट है कि पूर्ण संख्याएँ योग और गुणन के अंतर्गत संवृतु है परन्तु भाग और व्यवकलन के अंतर्गत नहीं है। तथापि पूर्णाक योग, व्यवकलन एवं गुणन के अंतर्गत संवृत है लेकिन भाग के अंतर्गत संवृत नहीं हैं।
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प्रश्न 3.
प्राकृत संख्याओं के लिए सभी चार संक्रियाओं के अन्तर्गत संवृत गुण की जाँच कीजिए।
हल :
(1) योग संक्रिया:
प्राकृत संख्याएँ योग संक्रिया के अन्तर्गत संवृत है अर्थात् और b दो प्राकृत संख्याएँ हैं, तो a + b भी प्राकृत संख्या होगी।
(2) व्यवकलन संक्रिया:
प्राकृत संख्याएँ व्यवकलन संक्रिया के अन्तर्गत संवत नहीं हैं। यदि aऔर दो प्राकृत संख्याएँ हैं,तो a > b होने पर a – b एक प्राकृत संख्या होगी, किन्तु a < b अथवा ab होने पर प्राप्त संख्या प्राकृत संख्या नहीं होगी।
(3) गुणन संक्रिया:
प्राकृत संख्याएँ गुणन संक्रिया के अन्तर्गत संवृत हैं अर्थात् ३और bदो प्राकृत संख्याएँ हैं, तो उनका गुणनफल भी प्राकृत संख्या होगी।
उदाहरण द्वारा जांच-
(4) भाग संक्रिया:
प्राकृत संख्याएँ भाग संक्रिया के अन्तर्गत संवृत नहीं है।
उदाहरण द्वारा जाँच-
प्रयास कीजिए (पृष्ठ 5)
निम्नलिखित सारणी में रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए-
उत्तर:
क्रमविनिमेयता
प्रश्न 1.
निम्नलिखित सारणी के रिक्त स्थानों को भरते हुए विभिन्न संक्रियाओं के अन्तर्गत पूर्ण संख्याओं की क्रम विनिमेयता का स्मरण कीजिए-
हल :
जाच कीजिए कि क्या प्राङृत संख्याओं के लिए भी ये संक्रियाएँ क्रम-विनिमेय हैं-
जांच कीजिए कि क्या प्राकृत संख्याओं के लिए भी ये संक्रियाएँ कम-विनिमेय हैं-
प्राकृत संख्याओं के लिए क्रम-विनिमेयता की जांच
(1) योग में- यदि और b कोई दो प्राकृत संख्याएँ है, तो (a + b) = (b + a) (योग में क्रम-विनिमेयता है।)
जाँच- इस गुण की जाँच के लिए कुछ प्राकृत संख्याओं के युग्म लेकर उन्हें भिन्न-भिन्न क्रम में जोड़ेंगे-
(2) व्यवकलन में- प्राकृत संख्याओं के व्यवकलन में क्रमविनिमेयता नहीं होती है अर्थात् यदि और b दो प्राकृत संख्याएँ है,तो सामान्यतः (a – b) ≠ (b – a)
हम जानते है कि 9 – 4 = 5, लेकिन 4 – 9 सम्भव नहीं है। इसी प्रकार 110 – 35 = 75, लेकिन 35 – 110 सम्भव नहीं है।
(3) गुणन में- यदि और कोई दो प्राकृत संख्याएँ है, तो (a × b) = (b × a) (गुणन में क्रम-विनिमेयता है।)
जाँच- इस गुणन की जाँच के लिए प्राकृत संख्याओं के कुछ युग्म लेकर उन्हें भिन्न-भिन्न क्रम में नियमानुसार गुणन करेंगे-
हम पाते हैं कि दो प्राकृत संख्याओं को किसी भी क्रम में गुणा करने पर गुणनफल सदैव समान ही आता है।
(4) भाग में- यदि a और b दो प्राकृत संख्याएँ है, तो a+b ÷ b+a (भाग में क्रम-विनिमेयता नहीं है।)
जाँच- इस गुण की जाँच हम कुछ युग्म लेकर निम्नानुसार करेंगे-
प्रश्न 2.
निम्नलिखित सारणी के रिक्त स्थानों को भरिए और पूर्णाकों के लिए विभिन्न संक्रियाओं की क्रमविनिमेयता जाँचिए-
हल:
प्रयास कीजिए (पृष्ठ 7)
प्रश्न 1.
निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए-
हल:
साहचर्यता (सहचारिता)
प्रश्न 1.
निम्नलिखित सारगी के माध्यम से पूर्ण संख्याओं के लिए चार संक्रियाओं की साहचर्यता को स्मरण कीजिए-
इस सारणी को भरिए और अन्तिम स्तम्भ में दी गई टिप्पणियों को सत्यापित कीजिए। प्राकृत संख्याओं के लिए विभिन्न संक्रियाओं की साहचर्यता की स्वयं जाँच कीजिए।
हल:
प्राकत माताओं ने लिए विभिन्न संक्रियाओं की साहचर्य।
(1) योग-किन्हीं तीन प्राकृत संख्याओं abऔर C के लिए
(a + b) + c = a + (b + c)
जाँच-
अत: प्राकृत संख्याओं का योग साहचर्य है।
(2) व्यवकलन- किन्हीं तीन प्राकृत संख्याओं a, bऔर c के लिए सामान्यतः
a – (b – c) = (a – b) – c
जाँच-
अतः प्राकृत संख्याओं का व्यवकलन साहचर्य नहीं है।
(3) गुणन- किन्हीं तीन प्राकृत संख्याओं a bऔर C के लिए सामान्यतः
a × (b × a) = (a × b) × c
जाँच-
अत: प्राकृत संख्याओं का गुणन साहचर्य है।
(4) भाग- किन्हीं तीन प्राकृत संख्याओं a, b और c के लिए सामान्यतः
a ÷ (b ÷ a) = (a ÷ b) ÷ c
जाँच-
अत: प्राकृत संख्याओं का भाग साहचर्य है।
प्रश्न 2.
पूर्णाकों के लिए चार संक्रियाओं की साहचर्यता निम्नलिखित सारणी से जाँचिए
हल:
प्रयास कीजिए (पृष्ठ 10)
निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए-
हल:
सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए (पृष्ठ 12)
प्रश्न 1.
यदि कोई गुणधर्म परिमेय संख्याओं के लिए सत्य है, तो क्या वह गुणधर्म पूर्णांकों, पूर्ण संख्याओं के लिए भी सत्य होगा? कौन-से गुणधर्म इनके लिए सत्य होंगे और कौन-से सत्य नहीं होंगे?
हल:
(1) निम्नांकित गुण को छोड़कर परिमेय संख्याओं की क्रियाओं के गुण पूर्णाकों में भी होंगे-
a ÷ b एक परिमेय संख्या है यदि b ≠ 0, लेकिन a ÷ b जरूरी नहीं है कि एक पूर्णांक हो यदि a, b ∈ I
(2) निम्नांकित गुणों को छोड़कर परिमेय संख्याओं के सभी गुण पूर्ण संख्याओं में भी होंगे-
(i) यदि a और b परिमेय संख्याएँ हैं, तो a – b भी परिमेय संख्या होगी। लेकिन यदि और b पूर्ण संख्याएँ हैं, तो (a – b) पूर्ण संख्या हो भी सकती है और नहीं भी।
(ii) यदि और b परिमेय संख्याएँ हैं, तो a ÷ b(b ≠ 0) एक परिमेय संख्या होगी। लेकिन और संपूर्ण संख्याएँ हों, तो a ÷ b(b = 0) जरूरी नहीं कि एक पूर्ण संख्या हो।
निम्नलिखित तालिका दर्शाती है कि परिमेय संख्याओं, पूर्णाकों तथा पूर्ण संख्याओं में कौन-सा गुण उभयनिष्ठ है/नहीं है-
प्रयास कीजिए (पृष्ठ 14)
प्रश्न 1.
वितरकता के उपयोग से निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए
(i) \(\left\{\frac{7}{5} \times\left(\frac{-3}{12}\right)\right\}\) + \(\left\{\frac{7}{5} \times \frac{5}{12}\right\}\)
(ii) \(\left\{\frac{9}{16} \times \frac{4}{12}\right\}\) + \(\left\{\frac{9}{16} \times \frac{-3}{9}\right\}\)
हल:
प्रयास कीजिए (पृष्ठ 18)
प्रश्न 1.
अक्षर द्वारा अंकित प्रत्येक बिन्दु के लिए परिमेय संख्या लिखिए-
हल:
(i) अक्षर द्वारा अंकित बिन्दुओं के सम्मुख परिमेय संख्याएँ निम्नलिखित हैं-
A : \(\frac{1}{5}\)
B : \(\frac{4}{5}\)
C : \(\frac{5}{5}\)
D : \(\frac{8}{5}\)
E : \(\frac{9}{5}\)
(ii) अक्षर द्वारा अंकित बिन्दुओं के सम्मुख परिमेय संख्याएँ निम्नलिखित हैं-
J : \(\frac{-11}{6}\)
I : \(\frac{-8}{6}\)
H : \(\frac{-7}{6}\)
G : \(\frac{-5}{6}\)
F : \(\frac{-2}{6}\)