Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 2 एक चर वाले रैखिक समीकरण Ex 2.2 Textbook Exercise Questions and Answers.
Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 2 एक चर वाले रैखिक समीकरण Exercise 2.2
प्रश्न 1.
अगर आपको किसी संख्या से 7 घटाने और परिणाम को 7 से गुणा करने पर प्राप्त होता है, तो वह संख्या क्या है?
हल :
माना कि वह संख्या x है।
x से \(\frac {1}{2}\) घटाने पर x – \(\frac {1}{2}\) प्राप्त होता है = (x –\(\frac {1}{2}\))
अब प्रश्नानुसार \(\frac {1}{2}\) से गुणा करने पर,
\(\frac {1}{2}\) (x – \(\frac {1}{2}\)) = \(\frac {1}{8}\)
⇒ \(\frac {1}{2}\)(\(\frac {2x – 1}{2}\)) = \(\frac {1}{8}\)
⇒ \(\frac {2x – 1}{2}\) = \(\frac {1}{8}\) कैंची गुणा करने पर,
8(2x – 1) = 4
⇒ 16x – 8 = 4
-8 का दायें पक्ष में स्थानांतरण करने पर
⇒ 16x= 4+ 8 = 12
x = \(\frac {12}{16}\)) = \(\frac {3}{4}\)
∴ x = \(\frac {3}{4}\)
अत: वह संख्या = \(\frac {3}{4}\)
प्रश्न 2.
एक आयताकार तरण-ताल की लम्बाई उसकी चौड़ाई के दुगुने से 2 मीटर अधिक है। यदि इसका परिमाप 154 मीटर है, तो इसकी लम्बाई व चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि आयताकार तरण-ताल की चौड़ाई =x मी० है।
तब उसकी लम्बाई 2x + 2 मी०
आयताकार तरण-ताल का परिमाप = 2 (लम्बाई + चौड़ाई)
∴ 154 = 2(2x + 2 + 3)
= 2 (3x + 2)
⇒ 154 = 6x + 4
⇒ 154 – 4 = 6x
⇒ 150 = 6x
⇒ x = \(\frac {150}{6}\) = 25
∴ x = 25
अत: तरण-वाल की लम्बाई = 2x + 2 = 2 × 25 + 2
= 50 + 2 = 52 मीटर
तथा चौड़ाई x = 25 मीटर
प्रश्न 3.
एक समद्विबाहु त्रिभुज का आधार \(\frac {4}{3}\) सेमी. तथा उसका परिमाप 4\(\frac {2}{15}\) सेमी. है । उसकी दो बराबर भुजाओं की माप ज्ञात कीजिए।
हल :
माना कि समद्विबाहु त्रिभुज की बराबर भुजाओं की माप = सेमी.।
त्रिभुज का आधार = \(\frac {4}{3}\) सेमी.
परिमाप = 4\(\frac {2}{15}\) ⇒ \(\frac {62}{15}\) सेमी.
अतः समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप = आधार + भुजा + भुजा
⇒ \(\frac {62}{15}\) = \(\frac {4}{3}\) + x + x
⇒ \(\frac {4 + 3x + 3x}{3}\) = \(\frac {62}{15}\)
⇒ \(\frac {6x + 4}{3}\) = \(\frac {62}{15}\)
कैंची गुण करने पर,
15(6x + 4) = 62 × 3
90x + 60 = 186 (+ 60 को पक्षोतरित करने पर)
⇒ 90x = 186 – 60 = 126
⇒ x = \(\frac {126}{90}\) = \(\frac {7}{5}\)
∴ x = \(\frac {7}{5}\) ⇒ \(1 \frac {2}{5}\)
अत: समद्विबाहु त्रिभुज की बराबर भुजाएँ = \(1 \frac{2}{5}\) सेमी
प्रश्न 4.
दो संख्याओं का योग 95 है । यदि एक संख्या दूसरी से 15 अधिक है, तो दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल :
माना कि पहली संख्या = x
तो दूसरी संख्या = (x + 15)
दोनों संख्याओं का योग = (x + 15) + x=95
प्रश्नानुसार, 2x + 15 = 95
⇒ 2x = 95 – 15 = 80 (15 को दायें पक्ष में पक्षांतरण करने पर)
⇒ 2x = 80
∴ x = \(\frac {80}{2}\) = 40
अत: पहली संख्या =40
तथा दूसरी संख्या = 40+ 15 = 55
प्रश्न 5.
दो संख्याओं में 5:3 का अनुपात है । यदि उनमें अन्तर 18 है, तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल :
दो संख्याएँ 5:3 के अनुपात में हैं।
माना कि एक संख्या 5 तथा दूसरी संख्या 3x है।
अतः प्रश्नानुसार, 5x – 3x = 18
या 2x = 18
या x = \(\frac {18}{2}\) = 9
∴ x = 9
अत: पहली संख्या = 5x = 5 × 9 = 45
तथा दुसरी संख्या = 3x = 3 × 9 = 27
प्रश्न 6.
तीन लगातार पूर्णाकों का योग 51 है। पूर्णाक ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि पहली पूर्णांक संख्या = x .
दूसरी पूर्णांक संख्या = x + 1
तीसरी पूर्णांक संख्या = x + 2
तीनों पूर्णांक संख्याओं का योग = 51
अत: x + x + 1 + x + 2 = 51
या, 3x + 3 = 51
या, 3x = 51 – 3 = 48
x = \(\frac {48}{3}\) = 16
अत: पहली पूर्णांक संख्या = 16
दूसरी पूर्णांक संख्या = x + 1 = 16 + 1 = 17
तीसरी पूर्णांक संख्या = x+ 2 = 16 +2 = 18.
प्रश्न 7.
8 के तीन लगातार गुणजों का योग 888 है। गुणजों को ज्ञात कीजिए।
हल :
माना कि 8 के तीन लगातार गुणज = x, (x+8), (x+ 16)
उनका योग = 888
अतः x + (x + 8) + (x + 16) = 888
या, 3x + 24 = 888
या, 3x = 888 – 24 = 864
∴ x = \(\frac {864}{3}\) = 288
अतः पहला गुणज (x) = 288
दूसरा गुणज (x + 8) = 288 +8 = 296
तीसरा गुणज (x + 16) = 288 + 16 = 304
प्रश्न 8.
तीन लगातार पूणांक बढ़ते क्रम में लेकर में क्रमश: 2,3 और 4 से गुणा कर योग करने पर योगफल 74 प्राप्त होता है। तीनों पूर्णाक ज्ञात कीजिए।
हल :
माना कि पहला पूर्णांक =x.
दूसरा पूर्णांक = x + 1
तीसरा पूर्णाक = x + 2
अब प्रश्नानुसार, 2x + 3(x + 1) + 4(x + 2) = 74
या 2x + 3x + 3 + 4x + 8 = 74
या, 9x + 11 = 74
or, 9x = 74 – 11 = 63
∴ x = \(\frac {63}{9}\) = 7
अत: पहली पूर्णाक संख्या x = 7
दूसरी पूर्णांक संख्या = x + 1 = 7 + 1 = 8
तीसरी पूर्णांक संख्या = x + 2 = 7 + 2 = 9
प्रश्न 9.
राहुल और हारून की वर्तमान आयु में अनुपात 5:7814 वर्ष बाद उनकी आयु का योग 56 वर्ष हो जायेगा। उनकी वर्तमान आयु क्या है?
हल :
माना कि राहुल की वर्तमान आयु = 5x
तथा हारून की वर्तमान आयु = 7x
4 वर्ष बाद दोनों की आयु क्रमशः (5x + 4) तथा (7x + 4) वर्ष होगी।
प्रश्नानुसार, दोनों की आयु का योग,
(5x + 4) + (7x + 4) = 56
या 12x + 8 = 56
या 12x = 56 – 8
∴ 12x = 48
या x = \(\frac {48}{12}\) = 4
अत: x = 4
अत: राहुल की वर्तमान आयु = 5x = 5 × 4 = 20 वर्ष
तथा हारून की वर्तमान आयु = 7x = 7 × 4 = 28 वर्ष
प्रश्न 10.
किसी कक्षा में बालक और बालिकाओं की संख्याओं में अनुपात 7:5है। यदि बालकों की संख्या बालिकाओं की संख्या से 8 अधिक है, तो कक्षा में कुल कितने विद्यार्थी ?
हल :
माना, कक्षा में बालकों की संख्या = 7x
तथा बालिकाओं की संख्या = 5x
बालकों की संख्या बालिकाओं की संख्या से 8 अधिक है।
अत: 7x = 5x + 8
या 7x – 5x = 8 .
या 2x = 8
या x = \(\frac {8}{2}\) = 4
∴ x = 4
अतः बालकों की संख्या,7x = 7 × 4 = 28
तथा, बालिकाओं की संख्या, 5x = 5 × 4 = 20
अत: कुल विद्यार्थियों की संख्या = 28 + 20 = 48
प्रश्न 11.
बाइचुंग के पिताजी उसके दादाजी से 26 वर्ष छोटे हैं और उससे 29 वर्ष बड़े हैं । यदि उन तीनों की आयु का योग 135 वर्ष है, तो उनकी आयु अलग-अलग ज्ञात कीजिए।
हल :
माना कि बाइचुंग की आयु =x वर्ष
तो उसके पिताजी की आयु = (x + 29) वर्ष होगी
दादाजी की आयु, उसके पिता की आयु से 26 वर्ष अधिक
अत: उसके दादाजी की आयु = (x + 29) + 26 = (x + 55) वर्ष
तीनों की आयु का योग = 135 वर्ष
अत: x + (x + 29) + (x + 55) = 135
या 3x + 84 = 51
या 3x = 135 – 84 = 51
∴ x = \(\frac {51}{3}\) = 17
अत: बाइचुंग की आयु (x) = 17 वर्ष
पिताजी की आयु (x + 29) = 17 + 29 = 46 वर्ष
दादाजी की आयु (x + 55) = 17 + 55 = 72 वर्ष
प्रश्न 12.
15 वर्ष वाद रवि की आयु, उसकी वर्तमान आयु से चार गुनी हो जायेगी । रवि की वर्तमान आयु क्या है ?
हल :
माना कि रवि की वर्तमान आयु = x वर्ष
15 वर्ष बाद उसकी आयु = (x+ 15) वर्ष
अब प्रश्नानुसार, x + 15= 4x
या 15 = 4x – x
या 15 = 3x
अत: 3x = 15
∴ x = \(\frac {15}{3}\) = 5
अतः रवि की वर्तमान आयु = 5 वर्ष
प्रश्न 13.
एक परिमेय संख्या को \(\frac{5}{2}\) से गुणा कर जोड़ने पर \(\frac{2}{3}\) प्राप्त होता है \(\frac{-7}{12}\) वह संख्या क्या है ?
हल :
माना कि संख्या = x
प्रश्नानुसार, \(\frac{5}{2}\) x + \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{-7}{12}\)
\(\frac{5x}{2}\) = \(\frac{-7}{12}\) – \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{-7-8}{12}\)
या \(\frac{5x}{2}\) = \(\frac{-15}{12}\)
या 12 × 5x = -15 × 2 (कैंची गुणा करने पर)
x = \(\frac{-15 \times 2}{12 \times 5}=-\frac{1}{2}\)
∴ x = \(\frac{-1}{12}\)
अत: परिमेय संख्या = \(\frac{-1}{12}\)
प्रश्न 14.
लक्ष्मी एक बैंक में खजांची है । उसके पास नकदी के रूप में 100 रुपये, 50 रुपये व 10 रुपये वाले नोट हैं । उनकी संख्याओं में क्रमश: 2 : 3 : 5 का अनुपात और उनका कुल मूल्य 4,00,000 रुपये है । उसके पास प्रत्येक प्रकार के कितने-कितने नोट हैं ?
हल :
माना कि 100 रुपये, 50 रुपये व 10 रुपये के नोटों की संख्या क्रमश: 2x, 3x व 5x हैं।
100 रु. वाले नोटों का मूल्य =2x × 100 = 200 रुपये
50 रु. वाले नोटों का मुल्य =3x × 50 = 150x
रुपये 10रु.वाले नोटों का मूल्य = 5x × 10=50x
रुपये नोटों का कुल मूल्य = 4,00,000
अतः 200x + 150x + 50x = 400000
या 400x = 400000
या x = \(\frac{400000}{400}\)
∴ x = 1000
अत: 100 रुपये वाले नोटों की संख्या =2 × 1000=2000
50 रुपये वाले नोटों की संख्या =3 × 1000 = 3000
10 रुपये वाले नोटों की संख्या = 5 × 1000 = 5000
प्रश्न 15.
मेरे पास 300 रुपये मूल्य के 1 रुपये, 2 रुपये और 5 रुपये वाले सिक्के हैं । 2 रुपये वाले सिक्कों की संख्या 5 रुपये वाले सिक्कों की संख्या की तिगुनी है और सिक्कों की कुल संख्या 160 है। मेरे पास प्रत्येक प्रकार के कितने-कितने सिक्के हैं ?
हल :
माना कि 5 रुपये वाले सिक्कों की संख्या = x
2 रुपये वाले सिक्कों की संख्या = 3x
दिया है कुल सिक्कों की संख्या = 160
1 रुपये वाले सिक्कों की संख्या = 160 – (2 रुपये के सिक्कों की संख्या + 5 रुपये के सिक्कों की संख्या)
= 160 – (3x + x) = (160 – 4x)
अत: 1 रुपये वाले सिक्कों की संख्या = 160 – 4x
अब 1 रुपये वाले सिक्कों का कुल मूल्य = (160-4x) × 13 (160 – 4x)
रुपये 2 रुपये वाले सिक्कों का कुल मुल्य =3x × 2=6x
रुपये 5 रुपये वाले सिक्कों का कुल मूल्य = x × 5= 5x
रुपये अतः कुल रुपये = (160 – 4x) + 6x + 5x = 160 + 7x
रुपये परन्तु सभी सिक्कों का कुल मूल्य = 300 रुपये अतः प्रश्नानुसार, 160 + 7x = 300
7x = 300 – 160 = 140
∴ x = \(\frac{140}{7}\) = 20
अत:5 रुपये वाले सिक्कों की संख्या (x) = 20
2 रुपये वाले सिक्कों की संख्या (3x) = 60
1 रुपये वाले सिक्कों की संख्या (160 – 4x) = = 160 – 4 × 20 = 160 – 80
= 80
प्रश्न 16.
एक निबन्ध प्रतियोगिता में आयोजकों ने तय किया कि प्रत्येक विजेता को 100 रुपये और विजेता को छोड़कर प्रत्येक प्रतिभागी को 25 रुपये पुरस्कार के रूप में दिये जायेंगे । यदि पुरस्कारों में बाँटी गयी राशि 3000 रुपये थी, तो कुल 63 प्रतिभागियों में विजेताओं की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल :
माना कि विजेताओं की संख्या = x
कुल प्रतिभागियों की संख्या = 63
∴ शेष प्रतिभागियों की संख्या (63 – x)
प्रत्येक विजेता को दी गई राशि = 100 रुपये
∴ x विजेताओं को दी गई राशि = 100x रुपये
चूँकि विजेताओं को छोड़कर प्रत्येक प्रतिभागी को दी गई राशि = 25 रुपये
अत: विजेता को छोड़कर सभी प्रतिभागीर्यों को दी गई कुल राशि =(63 – x) × 25
= (1575 – 250x)
अतः कुल दी गई राशि = 100x + (1575 – 25.x) = (1575 + 75x)
अब, प्रश्नानुसार, कुल दी गई राशि = 3000
1575 + 75x = 3000
या 75x = 3000 – 1575 ⇒ 1425
x = \(\frac{1425}{75}\) = 19
विजेताओं की संख्या (x) = 19