Class 7

Haryana State Board HBSE 7th Class Maths Solutions Chapter 12 बीजीय व्यंजक Ex 12.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 7th Class Maths Solutions Chapter 12 बीजीय व्यंजक Ex 12.4

प्रश्न 1.
बराबर लम्बाई के रेखाखण्डों से बनाए गए अंकों के पैटर्न को देखिए। आप रेखाखण्डों से बने हुए इस प्रकार के अंकों को इलैक्ट्रॉनिक घड़ियों या कैलकुलेटरों पर देख सकते हैं।

यदि बनाए गए अंकों की संख्या n ली जाए, तो उसके लिए आवश्यक रेखाखण्डों की (n) संख्या दर्शाने वाला बीजीय व्यंजक प्रत्येक पैटर्न के दाईं ओर लिखा गया है। 6,4,8 के प्रकार के 5, 10, 100 अंकों को बनाने के लिए कितने रेखाखण्डों की आवश्यकता होगी?
हल :
(a) हम जानते हैं कि 6 की तरह n अंकों को बनाने में लगे रेखाखण्डों की संख्या = (5n + 1)
अतः 5, 10, 100 अंकों को बनाने में लगे रेखाखण्डों की संख्या क्रमशः (5 × 5 + 1) = 25 + 1 = 26; (5 × 10 + 1) = 50 + 1 = 51 और (5 × 100 + 1)= 500 + 1 = 501.

(b) हम जानते हैं कि 4 की तरह n अंकों को बनाने में लगे रेखाखण्डों की संख्या = (3n + 1).
अतः 5, 10, 100 अंकों को बनाने में लगे रेखाखण्डों की संख्या क्रमशः (3 × 5 + 1)= 15 + 1 = 16; (3 × 10 + 1) = 30 + 1 = 31 और (3 × 100 + 1)= 300 + 1 = 301.

(c) हम जानते हैं कि 8 की तरह n अंकों को बनाने में लगे रेखाखण्डों की संख्या = (5n + 2).
अतः 5, 10, 100 अंकों को बनाने में लगे रेखाखण्डों की संख्या क्रमशः (5 × 5 + 2) = 25 + 2 = 27; (5 × 10 + 2) = 50 + 2 = 52 और (5 × 100 + 2) = 500 + 2 = 502.

प्रश्न 2.
संख्या पैटों की निम्नलिखित सारणी को पूरा करने के लिए, दिए हुए बीजीय व्यंजकों का प्रयोग कीजिए।
हल :
दिए हुए पैटर्न से तालिका को पूरा करने पर,

क्योंकि (i) 100वाँ पद = 2 × 100 – 1
= 200 – 1 = 199

(ii) 5वाँ पद = 3 × 5 + 2
= 15 + 2 = 17
10वाँ पद = 3 × 10 + 2
= 30 + 2 = 32
और 100वाँ पद = 3 × 100 + 2
= 300 + 2 = 302

(iii) 5वाँ पद = 4 × 5 + 1
= 20 + 1 = 21
10वाँ पद = 4 × 10 + 1
= 40 + 1 = 41
और 100वाँ पद = 4 × 100 + 1
= 400 + 1 = 401

(iv) 5वाँ पद = 7 × 5 + 20
= 35 + 20 = 55
10वाँ पद = 7 × 10 + 20
= 70 + 20 = 90
और, 100वाँ पद = 7 × 100 + 20
= 700 + 20 = 720

(v) 5वाँ पद = 5² + 1
= 25 + 1 = 26
10वाँ पद = 10² + 1
= 100 + 1
= 101

Haryana State Board HBSE 7th Class Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज और उसके गुण Ex 6.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 7th Class Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज और उसके गुण Ex 6.4

प्रश्न 1.
निम्न दी गई भुजाओं की मापों से क्या कोई त्रिभुज सम्भव है?
(i) 2 सेमी, 3 सेमी, 5 सेमी
(ii) 3 सेमी, 6 सेमी, 7 सेमी
(iii) 6 सेमी, 3 सेमी, 2 सेमी
हल :
(i) त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए।
2 + 3 > 5
अतः दी गई भुजाएँ त्रिभुज नहीं बनाती हैं।

(ii) त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए।
3 + 6 > 7; 3 + 7 > 6 और 6 + 7 > 3
अत: दो भुजाओं का योग तीसरी से अधिक है। इसलिए त्रिभुज बनता है।

(iii) त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए।
6 + 3 > 2 ; 3 + 2 > 6
अत: दी गई भुजाएँ त्रिभुज नहीं बनाती हैं।

प्रश्न 2.
त्रिभुज PQR के अभ्यंतर में कोई बिन्दु 0 लीजिए। क्या यह सही है कि

(i) OP + OQ > PQ?
(ii) OQ + OR > QR?
(iii) OR + OP > RP?
हल :

त्रिभुज के गुण से ΔOPQ, ΔOQR और ΔOPR में,
(i) OP + OP > PQ
(ii) OQ + OR > QR
(iii) OR + OP > RP

प्रश्न 3.
त्रिभुज ABC की एक माध्यिका AM है। बताइए कि क्या
AB + BC + CA > 2AM?

हल:
त्रिभुज की असमिकाओं का प्रयोग करने पर,
ΔABM में,
AB + BM > AM ……………. (1)
ΔAMC में,
AC + MC > AM ……………. (2)
(1) और (2) के दोनों पक्षों को जोड़ने पर,
AB + (BM + MC) + AC > AM + AM
AB + BC + CA > 2AM

प्रश्न 4.
ABCD एक चतुर्भुज है। क्या AB + BC + CD + DA > AC + BD?

हल :
माना ABCD एक चतुर्भुज है। विकर्ण AC और BD को मिलाया।
ΔABC में, AB + BC > AC …………(i)
ΔDAC में, CD + DA > AC ………….(ii)
ΔABD में, AB + AD > BD …………(iii)
और ΔCBD में, BC + CD > BD …………(iv)
(i), (ii), (iii) और (iv) के दोनों पक्षों को जोड़ने पर,
2(AB + BC + CD + AD) > 2(AC + BD)
⇒ AB + BC + CD + AD > AC + BD

प्रश्न 5.
ABCD एक चतुर्भुज है। क्या AB + BC + CD + DA < 2(AC + BD)?
हल :

माना ABCD एक चतुर्भुज है और विकर्ण AC और BD एक दूसरे को O बिन्दु पर काटते है।
ΔOAB में, OA + OB > AB …..(1)
ΔBOC में, OB + OC > BC …..(2)
ΔCOD में, OC + OD > DC ……(3)
और ΔAOD में, OD + OA > DA …….(4)
(1), (2), (3) और (4) को जोड़ने पर 2(OA + OB + OC+ OD) > AB + BC + CD + DA
⇒ 2(OA + OC) + 2(OB + OD) > AB + BC + CD + DA
⇒ 2(AC + BD) > AB + BC + CD + DA
⇒ AB + BC + CD + DA < 2(AC + BD).

प्रश्न 6.
एक त्रिभुज की दो भुजाओं की माप 12 सेमी तथा 15 सेमी है। इसकी तीसरी भुजा की माप किन दो मापों के बीच होनी चाहिए?
हल :
माना तीसरी भुजा की लम्बाई : सेमी है, तो
12 + 15, > x, x + 12 > 15 और x + 15 > 12
⇒ 27 > x, x >15 – 12 और x > 12 – 15
⇒ 27 > x, x > 3 और x > – 3
3 और 27 के बीच की संख्याएँ इसे सन्तुष्ट करती हैं।
अत: तीसरी भुजा की लम्बाई 3 और 27 के बीच होगी। उत्तर

Haryana State Board HBSE 7th Class Maths Solutions Chapter 12 बीजीय व्यंजक Ex 12.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 7th Class Maths Solutions Chapter 12 बीजीय व्यंजक Ex 12.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित स्थितियों में चरों, अचरों और अंक गणितीय संक्रियाओं का प्रयोग करते हुए बीजीय व्यंजक प्राप्त कीजिए :
(i) संख्या y में से z को घटाना।
(ii) संख्याओं x और y के योग का आधा।
(ii) संख्या z को स्वयं उससे गुणा किया जाता है।
(iv) संख्याओं p और q के गुणनफल का एक चौथाई।
(v) दोनों संख्याओं x और y के वर्गों को जोड़ा जाता है।
(vi) संख्याओं m और n के गुणनफल के तीन गुने में संख्या 5 जोड़ना।
(vii) 10 में से संख्याओं y और z गुणनफल को घटाना।
(viii) संख्याओं a और b के गुणनफल में से उसके योग को घटाना।
हल :
दी गई स्थितियों के बीजीय व्यंजक निम्न होंगे-
(i) y – z
(ii) \(\frac{1}{2}\) (x + y)
(iii) z × z अथवा z²
(iv) \(\frac{1}{4}\)pq
(v) x² + y²
(vi) 3mn + 5
(vii) 10 – yz
(viii) ab – (a + b)

प्रश्न 2.
(i) निम्नलिखित व्यंजकों में पदों और उनके गुणनखण्डों को छाँटिए। पदों और उनके गुणनखण्डों को पेड़ आरेखों द्वारा भी दर्शाइए।
(a) x – 3
(b) 1 + x + x²
(c) y – y³
(d) 5xy² + 7x²y
(e) – ab + 2b² – 3a²
(ii) नीचे दिए व्यंजकों में, पदों और उनके गुणनखण्डों को छाँटिए।
(a) – 4x + 5
(b) – 4x + 5y
(c) 5y + 3y2
(d) xy + 2x2y2
(e) pq + q
(f) 1.2ab – 2.4b + 3.6a
(g) \(\frac{3}{4}\)x + \(\frac{1}{4}\)
(h) 0.1p² + 0.2q²
हल :
(i) व्यंजक में पद और उनके गुणनखण्ड पेड़ आरेख द्वारा निम्न प्रकार दर्शाया गया है-

(ii)

प्रश्न 3.
निम्नलिखित व्यंजकों में पदों के संख्यात्मक गुणांकों जो अचर न हों, की पहचान कीजिए।
(i) 5 – 3t²
(ii) 1 + t + t² + t³
(iii) x + 2xy + 3y
(iv) 100m + 1000n
(v) -p²q² + 7pq
(vi) 1.2a + 0.8b
(vii) 3.14r²
(viii) 2(l + b)
(ix) 0.1y + 0.01y²
हल :

प्रश्न 4.
(a) वे पद पहचानिए जिनमें x है और फिर इनमें x का गुणांक लिखिए :
(i) y²x + y
(ii) 13y² – 8yx
(iii) x + y + z
(iv) 5 + z + zx
(v) 1 + x + xy
(vi) 12xy² + 25
(vii) 7 + xy²
(b) वे पद पहचानिए जिनमें 2 है और फिर इनमें 2 का गुणांक लिखिए :
(i) 8 – xy²
(ii) 5y² + 7x
(ii) 2x²y – 15xy² + 7y²
हल :
(a)

	व्यंजक	x वाले पद	x के गुणांक
(i)	y2x + y	y2x	y2
(ii)	13y2 – 8yx	– 8yx	-8y
(iii)	x + y + 2	x	1
(iv)	5 + z + zx	zx	Z
(v)	1 + x + xy	X Xy	1 y
(vi)	12xy2 + 25	12xy2	12y2
(vii)	7 + xy2	xy2	y2

(b)

	व्यंजक	y2 वाले पद	y2 के गुणांक
(i)	8 – xy2	-xy2	-x
(ii)	5y2 + 7x	5y2	5
(iii)	2x2y – 15xy2 + 7y2	-15xy2 7y2	– 15x 7

प्रश्न 5.
निम्नलिखित व्यंजकों को एकपदी, द्विपद और त्रिपद के रूप में वर्गीकृत कीजिए :
(i) 4y – 7z
(ii) y²
(iii) x + y – xy
(iv) 100
(v) ab – a – b
(vi) 5 – 3t
(vii) 4p²q – 4pq²
(viii) 7mn
(ix) z² – 3z + 8
(x) a² + b²
(xi) z² + z
(xii) 1 + x + x²
हल :
केवल एक पद वाले बीजीय व्यंजक एकपदी कहलाते हैं। अतः एकपदी व्यंजक (ii), (iv) और (viii) हैं।
दो पद वाले बीजीय व्यंजक द्विपद व्यंजक कहलाते हैं।
अतः द्विपद व्यंजक : (i), (vi), (vii), (x) और (xi) हैं।
जिन बीजीय व्यंजकों में तीन पद होते हैं, उन्हें त्रिपद व्यंजक कहते हैं।
अतः त्रिपद व्यंजक : (iii), (v), (ix) और (xii) हैं।

प्रश्न 6.
बताइए कि दिए हुए पदों के युग्म समान पदों के हैं या असमान पदों के हैं :
(i) 1, 100
(ii) – 7x, \(\frac{5}{2}\)x
(iii) – 29x, – 29y
(iv) 14xy, 42yx
(v) 4m²p, 4mp²
(vi) 12xz, 12x²z²
हल :
(i) समान
(ii) समान
(iii) असमान
(iv) समान
(v) असमान
(vi) असमान।

प्रश्न 7.
निम्नलिखित में समान पदों को छाँटिए :
(a) -xy², -4yx², 8x², 2xy², 7y, – 11x²,- 100x, – 11yx, 20x²y, -6x², y, 2xy, 3x
(b) 10pq, 7p, 8q, -p²q², -7qp, – 100g, -23, 12q²p², -5p², 41, 2405p, 78qp, 13p²q, qp², 701p²
हल :
(a) दिए गए पर्दो में समान पदों के समूह निम्न होंगे-
-xy², 2xy²; -4yx², 20x²y; 8x², -11x², -6x²; 7y, y; -100x, 3x और -11yx, 2xy
(b) दिए गए पदों में समान पदों के समूह निम्न होंगे-
10pq, – 7gp, 78qp; 7p, 2405p 8q, – 100q; – p²q², 12q²p²; – 23, 41; – 5p², 701p² और 13p²q, qp²

Haryana State Board HBSE 7th Class Maths Solutions Chapter 5 रेखा एवं कोण Ex 5.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 7th Class Maths Solutions Chapter 5 रेखा एवं कोण Ex 5.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित कथनों में प्रत्येक कथन में उपयोग किए गए गुणधर्म का वर्णन कीजिए। (आकृति):

(i) यदि a || b, तो ∠1 = ∠5
(ii) यदि ∠4 = ∠6, तो a || b
(iii) यदि ∠4 + ∠5 = 180°,
तो a || b
हल :
(i) संगत कोण गुणधर्म
(ii) एकान्तर कोण गुणधर्म
(iii) तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतः कोणों का प्रत्येक युग्म संपूरक होता है।

प्रश्न 2.
आकृति में निम्नलिखित की पहचान कीजिए :

(i) संगत कोणों के युग्म
(ii) अंतः एकांतर कोणों के युग्म
(iii) तिर्यक छेदी रेखा के एक तरफ बने अंत:कोणों के युग्म
(iv) ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण।
हल :
(i) ∠1, ∠5; ∠2, ∠6; ∠3, ∠7 और ∠4, ∠8 चार संगत कोणों के युग्म हैं।
(ii) एकांतर कोणों के दो युग्म हैं : ∠2, ∠8 और ∠3, ∠5
(iii) तिर्यक् रेखा के एक ही ओर के अंत: कोणों के दो युग्म हैं : ∠2, ∠5 और ∠3, ∠8.
(iv) ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोणों के चार युग्म हैं :
∠1, ∠3; ∠2, ∠4; ∠5, ∠7 और ∠6, ∠8.

प्रश्न 3.
निम्न आकृति में p || q अज्ञात कोण ज्ञात कीजिए।

हल:
∠e + 125° = 180°, (रैखिक युग्म कोण)
⇒ ∠e = 180° – 125°= 55°,
∠e = ∠f = 55°,
[ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण]
आकृत में, p || q और t तिर्यक रेखा है।
∠a = ∠f (एकान्तर कोण)
∠a = 55°,
∠b = 125°, (संगत कोण)
∠d = ∠a = 55°, (ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण) और ∠b = ∠d = 125°,
(ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण)
अतः ∠a = 55°, ∠b = 125°, ∠c = 55°,
∠d = 125°, ∠e = 55° और ∠f = 55° उत्तर

प्रश्न 4.
यदि l || m है, तो निम्नलिखित आकृतियों में प्रत्येक में x का मान ज्ञात कीजिए।

हल :
(i) आकृति में, l || m और तिर्यक् छेदी रेखा है।
∠x = 180° – 110° = 70°,
(संगत कोण, रैखिक युग्म कोण)

(ii) आकृति में, l || m और a एक तिर्यक् छेदी रेखा है।
∴ ∠x = 100°
(संगत कोण)

प्रश्न 5.
दी हुई आकृति में, दो कोणों की भुजाएँ समांतर हैं। यदि ∠ABC = 70°, तो:

(i) ∠DGC ज्ञात कीजिए।
(ii) ∠DEF ज्ञात कीजिए।
हल :
(i) आकृति में, AB || ED और BC तिर्यक छेदी रेखा है।
∴ ∠DGC = ∠ABC, [संगत कोण]
= 70°,
[∵ ∠ABC = 70°, दिया है]

(ii) आकृति में, BC || EF और ED तिर्यक छेदी रेखा है।
∴ ∠DEF = ∠DGC, [संगत कोण]
= 70°

प्रश्न 6.
नीचे दी हुई आकृतियों में निर्णय लीजिए कि क्या l, m के समांतर है।

हल :
(i) आकृति में अन्त: कोणों का योग 180° नहीं है।
∴ l, m के समान्तर नहीं है।
(ii) आकृति में, तिर्यक रेखा के एक ओर बने अन्तः कोणों का योग 180° नहीं है।
∴ l, m के समान्तर नहीं है।
(iii) आकृति में, संगत कोण समान हैं।
(57° ⇒ 180° – 123° = 57°)
∴ l, m के समान्तर है।
(iv) आकृति में, तिर्यक रेखा के एक ओर अंतः कोणों का योग 180° नहीं है अर्थात् 98° + 72° = 170 ≠ 180°.
∴ l, m के समान्तर नहीं है।

Haryana State Board HBSE 7th Class Maths Solutions Chapter 5 रेखा एवं कोण Ex 5.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 7th Class Maths Solutions Chapter 5 रेखा एवं कोण Ex 5.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित कोणों में से प्रत्येक का पूरक ज्ञात कीजिए:

हल :
एक-दूसरे के पूरक कोणों का योग 90° होता है।
(i) 20° के कोण का पूरक कोण
= 90° – 20° = 70°
(ii) 63° के कोण का पूरक कोण
= 90° – 63° = 27°
(iii) 57° के कोण का पूरक कोण
= 90° – 57° = 33°

प्रश्न 2.
निम्नलिखित कोणों में से प्रत्येक का संपूरक ज्ञात कीजिए:

हल :
हम जानते हैं कि एक-दूसरे के सम्पूरक कोणों का योग 180° होता है।
(i) 105° के कोण का सम्पूरक कोण
= 180° – 105° = 75°
(ii) 87° के कोण का सम्पूरक कोण
= 180° – 87° = 93°
(iii) 154° के कोण का सम्पूरक कोण ।
= 180° – 154° = 26°

प्रश्न 3.
कोणों के निम्नलिखित युग्मों में से पूरक एवं सम्पूरक युग्मों की पृथक्-पृथक् पहचान कीजिए:
(i) 65°, 115°
(ii) 63°, 27°
(iii) 112°, 68°
(iv) 130°, 50°
(v) 45°, 45°
(vi) 80°,10°
हल :
(i) कोणों का योग = 65° + 115° = 180°
अत: कोणों का यह युग्म सम्पूरक है।
(ii) कोणों का योग = 63° +27° = 90°
अत: कोणों का. यह युग्म पूरक है।
(iii) कोणों का योग = 112° + 68° = 180°
अतः कोणों का यह युग्म सम्पूरक है। .
(iv) कोणों का योग = 130° + 50° = 180°
अत: कोणों का यह युग्म संपूरक है।
(v) कोणों का योग = 45° + 45° = 90°
अत: कोणों का यह युग्म पूरक है।
(vi) कोणों का योग = 80° + 10° = 90°
अतः कोणों का यह युग्म पूरक है।

प्रश्न 4.
ऐसा कोण ज्ञात कीजिए जो अपने पूरक के समान हो।
हल :
माना एक कोण x° है, तो इसका पूरक कोण x° होगा।
x° + x° = 90°
2x° = 90°
x° = \(\frac {90°}{2}\) = 45°
अतः वाँछित कोण = 45°

प्रश्न 5.
ऐसा कोण ज्ञात कीजिए जो अपने सम्पूरक के समान हो।
हल :
माना कोण का माप x° है, तो इसके सम्पूरक कोण का माप = x°
∵ एक कोण और इसके सम्पूरक कोण का योग 180° होता है।
अतः x° + x° = 180°
⇒ 2x° = 180° ⇒ x° = \(\frac {180°}{2}\)
⇒ x° = 90°
अत: वांछित कोण 90° है।

प्रश्न 6.
दी हुई आकृति में ∠1 एवं ∠2 सम्पूरक कोण हैं। यदि ∠1 में कमी की जाती है, तो ∠2 में क्या परिवर्तन होगा, ताकि दोनों कोण फिर भी सम्पूरक ही रहें।

हल :
यदि ∠1 में कमी की जाती है, तो ∠2 उसी माप में बढ़ेगा।

प्रश्न 7.
क्या दो ऐसे कोण संपूरक हो सकते हैं यदि उनमें से दोनों :
(i) न्यून कोण हैं ?
(ii) अधिक कोण हैं ?
(iii) समकोण हैं ?
हल :
(i) नहीं,
(ii) नहीं,
(iii) हाँ।

प्रश्न 8.
एक कोण 45 से बड़ा है। क्या इसका पूरक कोण 45° से बड़ा है अथवा 45° के बराबर है अथवा 45° से छोटा है?
हल :
हम जानते हैं कि एक कोण और उसके पूरक कोण का योग 90° होता है।
माना एक कोण 45° + x° हैं, तो
इसका पूरक कोण = 90° – (45° +x°)
= 90° – 45° – x°
= 45° – x°
स्पष्टतः 45° + x° > 45° – x°
अत: 45° से बड़े कोण का पूरक 45° से छोटा होगा।

प्रश्न 9.
निम्न आकृति में:

(i) क्या ∠1, ∠2 का आसन्न
(ii) क्या ∠AOC, ∠AOE का आसन्न है?
(iii) क्या ∠COE एवं ∠EOD रैखिक युग्म बनाते हैं ?
(iv) क्या ∠BOD एवं ∠DOA सम्पूरक हैं ?
(v) क्या ∠1 का उर्ध्वाधर सम्मुख कोण ∠4 है ?
(vi) ∠5 का ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण क्या है ?
हल :
(i) हाँ,
(ii) नहीं,
(iii) हाँ,
(iv) हाँ,
(v) हाँ,
(vi) ∠2 + ∠3 = ∠COB

प्रश्न 10.
पहचानिए कि कोणों के कौन-से युग्म

(i) ऊध्वाधर सम्मुख – कोण हैं
(ii) रैखिक युग्म हैं।
हल :
(i) ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोणों के युग्म : ∠1, ∠4, ∠5, ∠2 + ∠3 हैं।
(ii) रैखिक युग्म : ∠1, ∠5, ∠4, ∠5 हैं।

प्रश्न 11.
निम्नलिखित आकृति में क्या ∠1, ∠2 का आसन्न है? कारण लिखिए।

हल :
∠1, ∠2 का आसन्न नहीं है, क्योंकि इन दोनों का कोई उभयनिष्ठ शीर्ष नहीं है।

प्रश्न 12.
निम्नलिखित में से प्रत्येक में कोण x, y एवं z के मान ज्ञात कीजिए।

हल :
(i) दो रेखाएँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं।
∴ ∠x = ∠55°, (शीर्षाभिमुख कोण)
∵ ∠x + ∠z = 180° (x, z रैखिक युग्म कोण हैं, जिनका योग 180° होता है)
⇒ 55° + ∠z = 180°
⇒ ∠z = 180° – 55°
⇒ ∠z = 125°
स्पष्टतः ∠z = ∠y (शीर्षाभिमुख कोण)
⇒ ∠y = 125°
अत: ∠x = 55°, ∠y = 125° और ∠z = 125° उत्तर

(ii) यहाँ 40° + ∠x + 25° = 180°, (सरल कोण)
⇒ 65° + ∠x = 180°
⇒ ∠x = 180° – 65°
⇒ ∠x = 115°
और ∠y + 40° = 180°, (रैखिक युग्म कोण)
⇒ ∠y = 180° – 40°
⇒ ∠y = 140°
और ∠y + ∠z = 180°, (रैखिक युग्म कोण)
∠z = 180° – ∠y
= 180° – 140°
∠z = 40°
अत: ∠x = 115°, ∠y = 140° और ∠z = 40° उत्तर

प्रश्न 13.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए:
(i) यदि दो कोण पूरक हैं, तो उनकी मापों का योग ………. है।
(ii) यदि दो कोण सम्पूरक हैं, तो उनकी मापों का योग ………. है।
(iii) रैखिक युग्म बनाने वाले दो कोण ………. होते हैं।
(iv) यदि दो आसन्न कोण सम्पूरक हैं, तो वे ……….. बनाते हैं।
(v) यदि दो रेखाएँ एक-दूसरे को एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो ऊध्वाधर सम्मुख कोण हमेशा ……….. होते हैं।
(vi) यदि दो रेखाएँ एक-दूसरे को एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं और यदि ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोणों का एक युग्म न्यून कोण है, तो ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोणों का दूसरा युग्म ……….. है।
हल :
(i) 90°,
(ii) 180°,
(iii) सम्पूरक,
(iv) रैखिक युग्म,
(v) समान,
(vi) अधिक कोण।

प्रश्न 14.

(i) ऊर्ध्वाधर अधिककोण
(ii) आसन्न पूरक कोण
(iii) समान सम्पूरक कोण
(iv) असमान सम्पूरक कोण
(v) आसन्न कोण जो रैखिक युग्म नहीं बनाते हैं।
हल :
(i) ऊध्र्वाधर सम्मुख अधिककोण ∠AOD और ∠BOC हैं।
(ii) आसन्न पूरक कोण ∠BOA और ∠AOF हैं।
(iii) समान सम्पूरक कोण ∠BOE और ∠EOD हैं।
(iv) असमान सम्पूरक कोण ∠BOA और ∠AOD,∠BOC और ∠COD, ∠EOA और ∠EOC हैं।
(v) आसन्न कोण जो रैखिक युग्म नहीं बनाते हैं : ∠AOB और ∠AOE; ∠AOE और ∠EOD, ∠EOD और ∠COD.

Haryana State Board HBSE 7th Class Maths Solutions Chapter 13 घातांक और घात Ex 13.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 7th Class Maths Solutions Chapter 13 घातांक और घात Ex 13.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं को प्रसारित रूप में लिखिए :
279404, 3006194, 2806196, 120719, 20068
हल :
दी गई संख्याओं के प्रसारित रूप निम्नलिखित हैं :
279404 = 2 × 100000 + 7 × 10000 × 9 × 1000 + 4 × 100 + 0 × 10 + 4 × 1
= 2 × 10⁵ + 7 × 10⁴ + 9 × 10³ + 4 × 10² + 0 × 10¹ + 4 × 10⁰

3006194 = 3 × 1000000 + 0 × 100000 + 0 × 10000 + 6 × 1000 + 1 × 100 + 9 × 10 + 4 × 1
= 3 × 10⁶ + 0 × 10⁵ + 0 × 10⁴ +6 × 10³ + 1 × 10² + 9 × 10¹ + 4 × 10⁰

2806196 = 2 × 1000000 + 8 × 100000 + 0 × 10000 + 6 × 1000 + 1 × 100 + 9 × 10 + 6 × 1
= 2 × 10⁶ + 8 × 10⁵ + 0 × 10⁴ + 6 × 10³ + 1 × 10² + 9 × 10¹ + 6 × 10⁰

120719 = 1 × 100000 + 2 × 10000 + 0 × 1000 + 7 × 100 + 1 × 10 + 9 × 1
= 1 × 10⁵ + 2 × 10⁴ + 0 × 10³ + 7 × 10² + 1 × 10¹ + 9 × 10⁰

20068 = 2 × 10000 + 0 × 1000 + 0 × 100 + 6 × 10 + 8 × 1
= 2 × 10⁴ + 0 × 10³ + 0 × 10² + 6 × 10¹ + 8 × 10⁰

प्रश्न 2.
निम्नलिखित प्रसारित रूपों में से प्रत्येक के लिए संख्या ज्ञात कीजिए :
(a) 8 × 10⁴ + 6 × 10³ + 0 × 10² + 4 × 10¹ + 5 × 10⁰
(b) 4 × 10⁵ + 5 × 10³ + 3 × 10² + 2 × 10⁰
(c) 3 × 10⁴ + 7 × 10² + 5 × 10⁰
(d) 9 × 10⁵ + 2 × 10² + 3 × 10¹
हलं :
(a) 8 × 10⁴ + 6 × 10³ + 0 × 10² + 4 × 10¹ + 5 × 10⁰
= 8 × 10000 + 6 × 1000 + 0 × 100 + 4 × 10 × 5 x 1
= 86045

(b) 4 × 10⁵ + 5 × 10³ + 3 × 10² + 2 × 10⁰
= 4 × 100000 + 5 × 1000 + 3 × 100 + 2 × 1
= 405302

(c) 3 × 10⁴ + 7 × 10² + 5 × 10⁰
= 3 × 10000 + 7 × 100 + 5 × 1
= 30705

(d) 9 × 10⁵ + 2 × 10² + 3 × 10¹
= 9 × 100000 + 2 × 100 + 30
= 900230

प्रश्न 3.
निम्नलिखित संख्याओं को मानक रूप में व्यक्त कीजिए :
(i) 5,00,00,000
(ii) 70,00,000
(iii) 3,18,65,00,000
(iv) 3,90,878
(v) 39087.8
(vi) 3908.78
हल :
(i) 5,00,00,000 = 5 × 10000000
= 5 × 10⁷
(ii) 70,00,000 = 7 × 1000000
= 7 × 10⁶
(iii) 3,18,65,00,000 = 3.1865 × 1000000000
= 3.1865 × 10⁹
(iv) 3,90,878 = 3.90878 × 100000
= 3.90878 × 10⁵
(v) 39087.8 = 3.90878 × 10000
= 3:90878 × 10⁴
(vi) 3908.78 = 3.90878 × 1000
= 3.90878 × 10³

प्रश्न 4.
निम्नलिखित कथनों में प्रकट होने वाली (आने वाली) संख्याओं को मानक रूप में व्यक्त कीजिए :
(a) पृथ्वी और चन्द्रमा के बीच की दूरी 384,000,000 मीटर है।
(b) निर्वात स्थान में प्रकाश की चाल (या वेग) 300,000,000 मीटर/सेकण्ड है।
(c) पृथ्वी का व्यास 12756000 मीटर है।
(d) सूर्य का व्यास 1,400,000,000 मीटर है।
(e) एक आकाशगंगा में औसतन 100,000,000,000 तारे हैं।
(f) विश्व मण्डल (या सौर मंडल) 12,000,000,000 वर्ष पुराना आकलित किया गया है।
(g) आकाशगंगा के मध्य से सूर्य की दूरी 300,000,000,000,000,000,000 मीटर आकलित की गई
(h) 1.8 ग्राम भार वाली पानी की एक बूंद में 60,230,000,000,000,000,000,000 अणु (molecules) होते हैं।
(i) पृथ्वी में 1,353,000,000 किमी समुद्र जल है।
(j) मार्च 2001 में भारत की जनसंख्या 1,027,000,000 थी।
हल :
(a) पृथ्वी और चन्द्रमा के बीच की दूरी
= 384000000 मीटर
= 3.84 × 100000000 मीटर
= 3.84 × 10⁸ मीटर।

(b) निर्वात में प्रकाश की चाल
= 300000000 मीटर/सेकण्ड
= 3.0 × 100000000 मीटर/सेकण्ड
= 3.0 × 10⁸ मीटर/सेकण्ड।

(c) पृथ्वी का व्यास = 12756000 मीटर
= 1.2756 × 10000000 मीटर
= 1.2756 × 10⁷ मीटर।

(d) सूर्य का व्यास = 1400000000 मीटर
= 1.4 × 1000000000 मीटर
= 1.4 × 10⁹ मीटर।

(e) आकाशगंगा में औसतन तारे हैं
= 100,000,000,000
= 1 × 1000000000000
= 1 × 10¹¹ तारे।

(f) सौरमण्डल 12,000,000,000 वर्ष पुराना है
= 12.0 × 1000000000 वर्ष
= 1.2 x 10000000000 वर्ष
= 1.2 × 10¹¹ वर्ष।

(g) आकाशगंगा के मध्य से सूर्य की दूरी
= 300,000,000,000,000,000,000 मीटर
= 3 × 100000000000000000000 = 3 × 10²⁰ मीटर।

(h) 1.8 ग्राम भार वाली द में
= 60,230,000,000,000,000,000,000
= 6.023 × 100000000000000000000000
= 6.023 x 10²³

(i) पृथ्वी में 1,353,000,000 किमी³ समुद्र जल है
= 1.353 × 1000000000
= 1.353 × 10⁹ किमी³।

(j) मार्च 2001 में भारत की जनसंख्या
= 1.027,000,000
= 1.027 × 1000000000
= 1.027 × 10⁹

Haryana State Board HBSE 7th Class Maths Solutions Chapter 4 सरल समीकरण Ex 4.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 7th Class Maths Solutions Chapter 4 सरल समीकरण Ex 4.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सारणी के अंतिम स्तंभ को पूरा कीजिए :

हल:

प्रश्न 2.
जाँच कीजिए कि कोष्ठकों में दिये हुए मान, दिए गए संगत समीकरणों के हल हैं या नहीं:
(a) n + 5 = 19,(n = 1)
(b) 7n + 5 = 19, (n = – 2)
(c) 7n + 5 = 19, (n = 2)
(d) 4p – 3 = 13, (p = 1)
(e) 4p – 3 = 13, (p = – 4)
(f) 4p – 3 = 13, (p = 0)
हल :
(a) जब 13 1 हो, तब
n + 5 = 1 + 5 = 6
= 6 ≠ 19
∴ n = 1 समीकरण का हल नहीं है।

(b) जब n = – 2 हो, तब
7n + 5 = 7(-2) + 5 + 5
= – 9 ≠ 19
∴ n = -2 समीकरण का हल नहीं है।

(c) जब n = 2 हो, तब
7n + 5 = 7 × 2 + 5
= 14 + 5 = 19
∴ n = 2 समीकरण का हल है।

(d) जब p = 1 हो, तब
4p – 3 = 4 × 1 – 3
= 4 – 3
= 1 ≠ 13
∴ p = 1 समीकरण का हल नहीं है।

(e) जब p = -4 हो, सब
4p – 3 = 4 × (-4) – 3
= – 16 – 3
= – 19 ≠ 13
∴ p = – 4 समीकरण का हल नहीं है।

(f) जब p = 0 हो, तब
4p – 3 = 4(0) – 3
= 0 – 3
= – 3 ≠ 13
∴ p = 0 समीकरण का हल नहीं है।

प्रश्न 3.
प्रयत्न और भूल विधि से निम्नलिखित समीकरणों को हल कीजिए:
(i) 5p + 2 = 17
(ii) 3m – 14 = 4
हल :
(i) हम समीकरण के बायें पक्ष में p का मान 1, 2, 3, …….. रखकर हल करते हैं जब तक दायाँ पक्ष बायें पक्ष के बराबर न हो जाए।
दिया गया समीकरण 5p + 2 = 17
बायाँ पक्ष = 5p + 2 और दायाँ पक्ष = 17

p	बायाँ पक्ष	दायाँ पक्ष	क्या बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष?
1	5 × 1 + 2 = 5 + 2 = 7	17	नहीं
2	5 ×  2 + 2 = 10  + 2 = 12	17	नहीं
3	5 × 3 + 2 = 15 + 2 = 17	17	नहीं

स्पष्ट है, दायाँ पक्ष = बायाँ पक्ष ।
इसलिए, p = 3 दिये गये समीकरण का हल है।

(ii) हम बाएँ पक्ष को m के कुछ मानों के लिए हल करते हैं और m के मान रखते चलते हैं, जब तक दायाँ पक्ष बाएँ पक्ष के बराबर न हो जाए।
दिया गया समीकरण 3m – 14 = 4 है।
अत: बायाँ पक्ष = 3m -14 और दायाँ पक्ष = 4

m	बायाँ पक्ष	दायाँ पक्ष	क्या बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष?
5	3 × 5 – 14 = 15 – 14 = 1	4	नहीं
6	3 × 6 – 14 = 18 – 14 = 4	4	हाँ

स्पष्ट है, m = 6 के लिए, दायाँ पक्ष = बायाँ पक्ष।
अत: m = 6 दिए गए समीकरण का हल है।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित कथनों के लिए समीकरण दीजिए :
(i) संख्याओं x और 4 का योग है।
(ii) y में से 2 घटाने पर 8 प्राप्त होते हैं।
(iii) a का 10 गुना 70 है।
(iv) संख्या 6 को 5 से भाग देने पर 6 प्राप्त होता है।
(v) t का तीन-चौथाई 15 है।
(vi) m का 7 गुना और 7 का योगफल आपको 77 देता है।
(vii) एक संख्या x की चौथाई ऋण 4 आपको 4 देता
(viii) यदि आपy के 6 गुने में से 6 घटाएँ, तो आपको 60 प्राप्त होता है।
(ix) यदि आप: z के एक-तिहाई में 3 जोड़ें, तो आपको 30 प्राप्त होता है।
हल :
दिए गए कथनों के समीकरण निम्न प्रकार हैं :
(i) x + 4 = 9
(ii) y – 2 = 8
(iii) 10a = 70
(iv) b ÷ 5 = 6
(v) \(\frac {3}{4}\) × t = 15
(vi) 7m + 7 = 77
(vii) \(\frac {1}{4}\) × x – 4 = 4 जहाँ x एक संख्या है
(viii) 6y – 6 = 60
(ix) \(\frac {1}{3}\) × z + 3 = 30

प्रश्न 5.
निम्नलिखित समीकरणों को सामान्य कथनों के रूप में लिखिए :
(i) p + 4 = 15
(ii) m – 7= 3
(iii) 2m = 7
(iv) \(\frac {m}{5}\) = 3
(v) \(\frac {3m}{5}\) = 6
(vi) 3p + 4 = 25
(vii) 4p – 2 = 18
(viii) \(\frac {p}{2}\) + 2 = 8
हल :
दिये गये समी करणों के कथन निम्न प्रकार हैं :
(i) p और 4 योग 15 है।
(ii) m और 7 का अन्तर 3 है।
(iii) m का दुगुना 7 है।
(iv) m को 5 से भाग देने पर 3 आता है।
(v) m के तीन गुने को 5 से भाग देने पर 6 आता है।
(vi) p के तीन गुने में 4 जोड़ने पर 25 आता है।
(vii) p के 4 गुने में से 2 घटाने पर 18 आता है।
(viii) p में 2 का भाग दिया जाए और 2 जोड़ने पर 8 आता है।

प्रश्न 6.
निम्नलिखित स्थितियों में समीकरण बनाइए:
(i) इरफान कहता है कि उसके पास, परमीत के पास जितने कंचे हैं उनके पाँच गुने से 7 अधिक कैचे हैं। इरफान के पास 37 कंचे हैं। (परमीत के कंचों की संख्या को m लीजिए।)
(ii) लक्ष्मी के पिता की आयु 49 वर्ष है। उनकी आयु, लड़की की आयु के तीन गुने से 4 वर्ष अधिक है। (लक्ष्मी की आयु को। वर्ष लीजिए।)
(iii) अध्यापिका बताती हैं कि उनकी कक्षा में एक विद्यार्थी द्वारा प्राप्त किए गए अधिकतम अंक, प्राप्त किए न्यूनतम अंक का दुगुना धन 7 हैं। प्राप्त किए गए अधिकतम अंक 87 हैं। (न्यूनतम प्राप्त किए गए अंकों को l लीजिए।)
(iv) एक समद्विबाहु त्रिभुज में शीर्ष कोण प्रत्येक आधार कोण का दुगुना है। (मान लीजिए प्रत्येक आधार कोण b डिग्री है। याद रखिए कि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180 डिग्री होता है।)
हल :
(i) माना परमीत के पास कंचेm हैं।
m के पाँच गुने में 7 जोड़ा जाता है, तब 5m + 7
5 गुने से 7 अधिक कंचे = 37
∴ समीकरण 5m + 7 = 37 होगा। उत्तर

(ii) माना लक्ष्मी की आयु वर्ष है।
y के तीन गुने में 4 जोड़ा जाता हैं 3y + 4
उसके पिता की आयु 49 वर्ष है।
∴ समीकरण 3y + 4 = 49 होगा। उत्तर

(iii) माना न्यूनतम अंक l हैं।
तब न्यूनतम अंकों के दुगुने में 7 जोड़ने पर 87 अंक प्राप्त होते हैं।
∴ समीकरण 2l + 7 = 87 है। उत्तर

(iv) माना आधार कोण b° है तब शीर्ष कोण = 2b°
त्रिभुज के तीनों कोणों का योग = 180°
∴ b° + b° + 2b° = 180°
4b° = 180°
अभीष्ट समीकरण है। उत्तर

Haryana State Board HBSE 7th Class Maths Solutions Chapter 13 घातांक और घात Ex 13.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 7th Class Maths Solutions Chapter 13 घातांक और घात Ex 13.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए :
(i) 2⁶
(ii) 9³
(ii) 11²
(iv) 5⁴
हल :
(i) 2⁶ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64
(ii) 9³ = 9 × 9 × 9 = 729
(iii) 11² = 11 × 11 = 121
(iv) 5⁴ = 5 × 5 × 5 × 5= 625

प्रश्न 2.
निम्नलिखित को घातांकीय रूप में व्यक्त कीजिए:
(i) 6 × 6 × 6 × 6
(ii) t × t
(iii) b × b × b × b
(iv) 5 × 5 × 7 × 7 × 7
(v) 2 × 2 × a × a
(vi) a × a × a × c × c × c × c × d
हल :
(i) 6 × 6 × 6 × 6 = 6⁴
(ii) t × t = t²
(iii) b × b × b × b = b⁴
(iv) 5 × 5 × 7 × 7 × 7 = 5² × 7³
(v) 2 × 2 × a × a = 2² × a²
(vi) a × a × a × c × c × c × c × d
= a³ × c⁴ × d

प्रश्न 3.
निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक को घातांकीय संकेतन में व्यक्त कीजिए :
(i) 512
(ii) 343
(iii) 729
(iv) 3125
हल :
(i)

∴ 512 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 2⁹

(ii)

∴ 343 = 7 × 7 × 7
= 7³

(iii)

∴ 729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 3⁶

(iv)

∴ 3125 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5⁵

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से प्रत्येक भाग में, जहाँ भी सम्भव हो, बड़ी संख्या को पहचानिए :
(i) 43 या 34
(ii) 5³ या 3⁵
(iii) 2⁸ या 8²
(iv) 100² या 2¹⁰⁰
(v) 2¹⁰ या 10²
हल :
(i) दिया है :
4³ = 4 × 4 × 4 = 64
और 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81
स्पष्टतः 81 > 64
अत: 3⁴ बड़ी संख्या है।

(ii) दिया है : 5³ = 5 × 5 × 5 = 125
और 3⁵ = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243
स्पष्टतः 243 > 125
अतः 3⁵ बड़ी संख्या है।

(iii) दिया है :
2⁸ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 256
और 8² = 8 × 8 = 64
स्पष्टतः 256 > 64
अतः 2⁸ बड़ी संख्या है।

(iv) दिया है : 100² = 100 × 100 = 10000
और 2¹⁰⁰ = (2¹⁰)¹⁰
= (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2)¹⁰
= (1024)¹⁰ = [(1024)²]⁵
= (1024 × 1024)⁵
= [1048576]⁵
अत: 2¹⁰⁰ बड़ी संख्या है।

(v) दिया है :
2¹⁰ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 1024
और 10² = 10 × 10 = 100
स्पष्टतः 1024 > 100
अतः 2¹⁰ बड़ी संख्या है।

प्रश्न 5.
निम्नलिखित में से प्रत्येक को उनके अभाज्य गुणनखण्डों की बातों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए-
(i) 648
(ii) 405
(iii) 540
(iv) 3600
हल :
(i) भाग विधि से 648 के अभाज्य गुणनखण्ड करने पर,

∴ 648 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
= 2³ × 3⁴

(ii) भाग विधि से 405 के अभाज्य गुणनखण्ड करने पर,

∴ 405 = 3 × 3 × 3 × 3 × 5 = 3⁴ × 5

(iii) भाग विधि से 540 के अभाज्य गुणनखण्ड करने पर,

∴ 540 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5
= 2² × 3³ × 5

(iv) भाग विधि से 3600 के अभाज्य गुणनखण्ड करने पर,

∴ 3600 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5
= 2⁴ × 3² × 5²

प्रश्न 6.
सरल कीजिए :
(i) 2 × 10³
(ii) 7² × 2²
(iii) 2³ × 5
(iv) 3 × 4⁴
(v) 0 × 10²
(vi) 5² × 3³
(vii) 2⁴ × 3²
(viii) 3² × 10⁴
हल :
(i) 2 × 10³ = 2 × 10 × 10 × 10 = 2000

(ii) 7² × 2² = 7 × 7 × 2 × 2
= 49 × 4 = 196

(iii) 2³ × 5 = 2 × 2 × 2 × 5
= 8 × 5 = 40

(iv) 3 × 4⁴ = 3 × 4 × 4 × 4 × 4
3 × 256 = 768

(v) 0 × 10² = 0

(vi) 5² × 3³ = 5 × 5 × 3 × 3 × 3
= 25 × 27 = 675

(vii) 2⁴ × 3² = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
= 16 × 9 = 144

(viii) 3² × 10⁴ = 3 × 3 × 10 × 10 × 10 × 10
= 9 × 10000
= 90000

प्रश्न 7.
सरल कीजिए :
(i) (-4)³
(ii) (-3) × (-2)³
(iii) (-3)² × (-5)²
(iv) (-2)³ × (-10)³
हल :
(i) (-4)³
= (-4) × (-4) × (-4)
= -64

(ii) (-3) × (-2)³
= (-3) × (-2) × (-2) × (-2)
= (-3) × (-8)
= 24

(iii) (-3)² × (-5)²
= (-3) × (-3) × (-5) × (-5)
= 9 × 25
= 225

(iv) (-2)³ × (- 10)³
= (-2) × (-2) × (-2) × (-10) × (-10) × (-10)
= (-8) × (- 1000)
= 8000

प्रश्न 8.
निम्नलिखित संख्याओं की तुलना कीजिए :
(i) 2.7 × 10¹²; 1.5 × 10⁸
(ii) 4 × 10¹⁴; 3 × 10¹⁷
हल :
(i) 2.7 × 10¹² = 2.7 × 10 × 10¹¹
= 27 × 10¹¹,
अत: संख्या में 13 अंक होंगे
और 1.5 × 10⁸ = 1.5 × 10 × 10⁷
= 15 × 107
अतः संख्या में 9 अंक होंगे।
∴ 2.7 × 10¹² > 1.5 × 10⁸

(ii) 4 × 10¹⁴
अतः संख्या में 15 अंक होंगे
और 3 × 10¹⁷
अतः संख्या में 18 अंक होंगे
∴ 4 × 10¹⁴ < 3 × 10¹⁷

Haryana State Board HBSE 7th Class Maths Solutions Chapter 3 आँकड़ो का प्रबंधन Ex 3.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 7th Class Maths Solutions Chapter 3 आँकड़ो का प्रबंधन Ex 3.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर देने के लिए, आकृति में दिए दंड आलेख का प्रयोग कीजिए :
(a) कौन-सा पालतु पशु अधिक लोकप्रिय है?
(b) कितने विद्यार्थियों का पालतू पशु कुत्ता है?

हल :
दण्ड आलेख से स्पष्ट है कि
(a) सबसे लोकप्रिय पालतू पशु बिल्ली है।
(b) आठ विद्यार्थियों का पालतू पशु कुत्ता है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित दंड आलेख को पढ़िए जो एक पुस्तक भंडार द्वारा 5 क्रमागत वर्षों में बेची गई पुस्तकों की संख्या दर्शाता है और आगे आने वाले प्रश्नों के उत्तर दीजिए।
(i) वर्षों 1989, 1990 और 1992 में से प्रत्येक में लगभग कितनी पुस्तकें बेची गई?
(ii) किस वर्ष में लगभग 475 पुस्तकें बेची गई ? किस वर्ष में लगभग 225 पुस्तकें बेची गई?
(iii) किन वर्षों में 250 से कम पुस्तकें बेची गईं ?
(iv) क्या आप स्पष्ट कर सकते हैं कि आप वर्ष 1989 में बेची गई पुस्तकों का आकलन किस प्रकार करेंगे?

हल :
दण्ड आलेख से स्पष्ट है कि :
(i)

वर्ष	बेची गई पुस्तकों की संख्या
1989	170 (लगभग)
1990	475 (लगभग)
1992	225 (लगभग)

(ii) वर्ष 1990 में 475 पुस्तकें बेची गई हैं। वर्ष 1992 में 225 पुस्तकें बेची गई हैं।
(iii) वर्ष 1989 और 1992 में 250 से कम पुस्तकें बेची गई है।
(iv) दण्ड आलेख की ऊँचाई का आकलन 1 इकाई = 100 पुस्तकों से किया गया है।
अतः हम देखते हैं कि वर्ष 1989 में दण्ड आलेख की ऊँचाई, पुस्तकों की संख्या के 100-200 वाले खाने के लगभग सातवें हिस्से तक है, इसलिए बेची गई पुस्तकों की संख्या लगभग 170 होगी।

प्रश्न 3.
छः विभिन्न कक्षाओं के विद्यार्थियों की संख्याएँ नीचे दी गई हैं। इन आँकड़ों को एक दंड आलेख द्वारा निरूपित कीजिए:

कक्षा	विद्यार्थियों की संख्या
पाँचवीं	135
छठी	120
सातवीं	95
आठवीं	100
नौवीं	90
दसवीं	80

(a) आप स्केल किस प्रकार चुनेंगे ?
(b) निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए :
(i) किस कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या अधिकतम है? किस कक्षा में न्यूनतम है?
(ii) कक्षा 6 के विद्यार्थियों की संख्या का कक्षा 8 के विद्यार्थियों की संख्या से अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :
(a) दण्ड आलेख : माना पैमाना : 1 बड़ा खाना -10 विद्यार्थी

(b) (i) पाँचवीं कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या अधिकतम है। दसर्वी कक्षा में न्यूनतम है।
(ii) कक्षा 6 और कक्षा 8 के विद्यार्थियों का अनुपात = 120 : 100 = 6 : 5 है।

प्रश्न 4.
एक विद्यार्थी के प्रथम सत्र और द्वितीय सत्र का प्रदर्शन दिया हुआ है। एक उपयुक्त स्केल चुनकर एक दोहरा दंड आलेख खींचिए और दिए गए प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

विषय	प्रथम सत्र (अधिकतम अंक 100)	द्वितीय सत्र (अधिकतम अंक 100)
अंग्रेजी	67	70
हिन्दी	72	65
गणित	88	95
विज्ञान	81	85
सामाजिक विज्ञान	73	75

(i) किस विषय में विद्यार्थी ने अपने प्रदर्शन में सबसे अधिक सुधार किया है ?
(ii) किस विषय में सुधार सबसे कम है ?
(iii) क्या किसी विषय में प्रदर्शन नीचे गिरा है ?
हल:

(i) गणित विषय में विद्यार्थियों ने अपने प्रदर्शन में सबसे अधिक सुधार किया है।
(ii) सामाजिक विज्ञान विषय में सुधार सबसे कम है।
(iii) हाँ, हिन्दी विषय में प्रदर्शन नीचे गिरा है।

प्रश्न 5.
किसी कॉलोनी में किए गए सर्वेक्षण से प्राप्त निम्नलिखित आँकड़ों पर विचार कीजिए :

पसंदीदा खेल	देखना	भाग लेना
क्रिकेट	1240	620
बॉस्केट बॉल	470	320
तैरना	510	320
हॉकी	430	250
खेलकुद	250	105

(i) एक उपयुक्त स्केल चुनकर, एक दोहरा दंड आलेख खींचिए। इस दंड आलेख से आप क्या निष्कर्ष निकालते हैं ?
(ii) कौन-सा खेल अधिक लोकप्रिय है ?
(iii) खेलों को देखना अधिक पसन्द किया जाता है या उनमें भाग लेना ?
हल :
(i)

इस आलेख से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि अधिक व्यक्ति क्रिकेट को चुनते हैं और खेलकूद को कम चुनते हैं।
(ii) क्रिकेट सबसे अधिक लोकप्रिय है।
(iii) भाग लेने से देखना अधिक पसन्द किया जाता है।

प्रश्न 6.
विभिन्न नगरों के न्यूनतम और अधिकतम तापमानों के आँकड़ों (सलंग्न सारणी) को लीजिए। इन आँकड़ों का एक दोहरा दंड आलेख खींचकर निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए :

नगरों के तापमान 20.6.2006 को

	अधिकतम	न्यूनतम
अहमदाबाद	38°C	29°C
अमृतसर	37°C	26°C
बेंगलूर	28°C	21°C
चेन्नई	36°C	27°C
दिल्ली	38°C	28°C
जयपुर	39°C	29°C
जम्मू	41°C	26°C
मुंबई	32°C	27°C

(i) दी हुई तिथि पर किस नगर के न्यूनतम और अधिकतम तापमान का अंतर सबसे अधिक है?
(ii) कौन-सा नगर सबसे गर्म है और कौन-सा नगर सबसे ठंडा है?
(iii) ऐसे दो नगरों के नाम लिखिए, जिनमें से एक का अधिकतम तापमान दूसरे के न्यूनतम तापमान से कम था।
(iv) उस नगर का नाम लिखिए, जिसके न्यूनतम और अधिकतम तापमानों का अंतर सबसे कम है।
हल:

(i) दिए गए आँकड़ों में जम्मू शहर के न्यूनतम और अधिकतम तापमान का अन्तर सबसे अधिक है।
(ii) जम्मू शहर सबसे गर्म शहर है और बेंगलूरु शहर सबसे ठंडा।
(iii) दो नगर जिनमें से एक का अधिकतम तापमान दूसरे के न्यूनतम तापमान से कम है, बेंगलुरु और जयपुर या बैंगलूरु और अहमदाबाद हैं।
(iv) मुम्बई के अधिकतम व न्यूनतम तापमानों में अन्तर सबसे कम है।

Haryana State Board HBSE 7th Class Maths Solutions Chapter 3 आँकड़ो का प्रबंधन Ex 3.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 7th Class Maths Solutions Chapter 3 आँकड़ो का प्रबंधन Ex 3.2

प्रश्न 1.
गणित की एक परीक्षा में, 15 विद्यार्थियों द्वारा (25 में से) प्राप्त किए गए अंक निम्नलिखित हैं :
19, 25, 23, 20, 9, 20, 15, 10, 5, 16, 25, 20, 24, 12, 20.
इन आँकड़ों के बहुलक और माध्यक ज्ञात कीजिए। क्या ये समान हैं ?
हल :
गणित के प्राप्तांकों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर,
5, 9, 10, 12, 15, 16, 19, 20, 20, 20, 20, 23, 24, 25, 25
स्पष्ट है, 20 सबसे अधिक बार आया है। .
∴ बहुलक = 20
यहाँ N = 15 है। विषम है।
∴ माध्यक = (\(\frac{N+1}{2}\)) वाँ पद
= (\(\frac{15+1}{2}\))वाँ = 8वाँ पद = 20
हाँ, बहुलक और माध्यक समान हैं।

प्रश्न 2.
एक क्रिकेट मैच में खिलाड़ियों द्वारा बनाए गए रन इस प्रकार हैं:
6, 15, 120, 50, 100, 80, 10, 15, 8, 10, 15
इन आँकड़ों के माध्य, बहुलक और माध्यक ज्ञात कीजिए। क्या ये तीनों समान हैं ?
हल:
माध्य = रनों का योग / खिलाडियों की संख्या
= \(\frac{6+15+120+50+100+80+10+15+8+10+15}{11}\)
= \(\frac {429}{11}\) = 39 उत्तर
अब, रनों को आरोही क्रम में रखने पर,
6, 8, 10, 10, 15, 15, 15, 50, 80, 100, 120
यहाँ 15 सबसे अधिक बार आया है।
∴ बहुलक = 15 उत्तर
अब, आँकड़ों की संख्या (N) विषम है अर्थात् N = 11
माध्यक : = \(\frac{N+1}{2}\) वाँ पद
= \(\frac{11+1}{2}=\frac{12}{2}\) = 6वाँ पद = 15
ये तीनों समान नहीं हैं। उत्तर

प्रश्न 3.
एक कक्षा के 15 विद्यार्थियों के भार (किग्रा में) इस प्रकार हैं:
38, 42, 35, 37, 45, 50, 32, 43, 43, 40, 36, 38, 43, 38, 47
(i) इन आँकड़ों के बहुलक और माध्यक ज्ञात कीजिए।
(ii) क्या इनके एक से अधिक बहुलक हैं?
हल :
(i) दिए गए भारों को आरोही क्रम में लिखने पर,
32, 35, 36, 37, 38, 38, 38, 40, 42, 43, 43, 43, 45, 47, 50
यहाँ 38 और 43 सबसे अधिक बार आया है।
∴ बहुलक = 38 और 43 हैं।
अब, दिए गए आँकड़ों की संख्या विषम अर्थात् 15 है।
∴ माध्यक = \(\frac{N+1}{2}\) वाँ पद = \(\frac{15+1}{2}\) वाँ पद
= \(\frac{16}{2}\)वाँ पद = 8वाँ पद = 40

(ii) हाँ, एक से अधिक बहुलक हैं।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित आँकड़ों से बहुलक और माध्यक ज्ञात कीजिए:
13, 16, 12, 14, 19, 12, 14, 13, 14
हल :
आँकड़ों को आरोही क्रम में रखने पर,
12, 12, 13, 13, 14, 14, 14, 16. 19
स्पष्ट : यहाँ 14 सबसे अधिक बार आया है।
∴ बहुलक = 14.
अब, आँकड़ों की संख्या विषम है अर्थात् N = 9
∴ माध्यक = \(\frac{N+1}{2}\) वाँ पद = \(\frac{9+1}{2}\) वाँ पद
= \(\frac{10}{2}\)वाँ पद = 5 वाँ पद = 14 उत्तर

प्रश्न 5.
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं अथवा असत्य:
(i) बहुलक आँकड़ों में से सदैव एक संख्या होता है।
(ii) माध्य दिए हुए आँकड़ों में से एक संख्या हो सकता है।
(iii) माध्यक आँकड़ों में से सदैव एक संख्या होता है।
(iv) आँकड़ों 6, 4, 3, 8, 9, 12, 13,9 का माध्य है।
हल :
(i) सत्य,
(ii) सत्य,
(iii) सत्य,
(iv) असत्य।

Haryana State Board HBSE 7th Class Maths Solutions Chapter 14 सममिति InText Questions and Answers.

Haryana Board 7th Class Maths Solutions Chapter 14 सममिति InText Questions

प्रयास कीजिए (पृष्ठ सं. 288)

प्रश्न 1.
(a) क्या अब आप एक समबाहु त्रिभुज के लिए, घूर्णन सममिति के क्रम को बता सकते हैं ?

(b) जब उपरोक्त त्रिभुज को उसके केन्द्र के परित : (चारों ओर) 120° के कोण पर घुमाया जाता है, तो कितनी स्थितियों में त्रिभुज (स्थिति के अनुसार) पहले जैसा ही लगता है ?
हल :
(a) पूरे चक्र की तीन स्थितियों में कोण 120°, 240° और 360° के घूर्णन पर त्रिभुज पहले जैसा दिखाई देगा, अतः हम कह सकते हैं कि इसमें क्रम 3 की घूर्णन सममिति होगी।

(b) यहाँ केवल एक ही स्थिति है जहाँ त्रिभुज पहले जैसा दिखाई देगा, जब इसको केन्द्र के परित घुमाया जाएगा।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में से कौन-से आकारों में अंकित बिन्दु के परित : (चारों ओर) घूर्णन सममिति है ?

हल :
हम जानते हैं कि जब कोई आकृति एक कोण के द्वारा एक बिन्दु पर घूर्णन करती है और पहले जैसा दिखाई देती है तो इसे घूर्णन समिमित कहते हैं।
आकृति (i), (ii), (iii) और (iv) में घूर्णन सममिति है।

पृष्ठ सं. 289

प्रश्न 1.
दी हुई आकृतियों के लिए × से अंकित बिंदु के परित घूर्णन सममिति का क्रम बताइए।

हल :
(i) आकृतियों के लिए × से अंकित बिन्दु से परित घूर्णन सममिति क्रम है,

माना आयत को ऊर्ध्वाधर सिरे पर A लगाते हैं। हम देखते हैं कि पहले जैसा दिखने के लिए (×) के परितः 90° के चार घूर्णनों की आवश्यकता होगी।
अतः आकृति में क्रम 4 की घूर्णन सममिति होगी।

(ii) आकृति के संदर्भ में घूर्णन क्रम ज्ञात करना-

स्पष्ट है आकृति को 120° के कोण की तीन घूर्णनों की (×) के परितः आवश्यकता होगी जिसमें यह पहले वाली स्थिति में होगा। अत: इसमें क्रम 3 की घूर्णन सममिति होगी।

(iii) आकृति के संदर्भ में घूर्णन क्रम ज्ञात करना-

स्पष्ट है कि इसको पहले जैसा दिखने के लिए (×) के परित : 90° के कोण की चार घूर्णनों की आवश्यकता होगी। अतः इसमें क्रम 4 की घूर्णन सममिति होगी।

इन्हें कीजिए (पृष्ठ सं. 291)

प्रश्न 1.
अंग्रेजी वर्णमाला के कुछ अक्षरों में अद्भुत एवं आकर्षक सममितीय संरचनाएँ (structures) हैं। किन बड़े अक्षरों में केवल एक ही सममित रेखा है (जैसे E) ? किन बड़े अक्षरों में क्रम 2 की घूर्णन सममिति है (जैसेI)?
उपरोक्त प्रकार से सोचते हुए, आप निम्नलिखित सारणी को भरने में समर्थ हो पाएँगे।

हल :
दी गई सारणी को भरने पर-