Haryana State Board HBSE 7th Class Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज और उसके गुण Ex 6.4 Textbook Exercise Questions and Answers.
Haryana Board 7th Class Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज और उसके गुण Ex 6.4
प्रश्न 1.
निम्न दी गई भुजाओं की मापों से क्या कोई त्रिभुज सम्भव है?
(i) 2 सेमी, 3 सेमी, 5 सेमी
(ii) 3 सेमी, 6 सेमी, 7 सेमी
(iii) 6 सेमी, 3 सेमी, 2 सेमी
हल :
(i) त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए।
2 + 3 > 5
अतः दी गई भुजाएँ त्रिभुज नहीं बनाती हैं।
(ii) त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए।
3 + 6 > 7; 3 + 7 > 6 और 6 + 7 > 3
अत: दो भुजाओं का योग तीसरी से अधिक है। इसलिए त्रिभुज बनता है।
(iii) त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए।
6 + 3 > 2 ; 3 + 2 > 6
अत: दी गई भुजाएँ त्रिभुज नहीं बनाती हैं।
प्रश्न 2.
त्रिभुज PQR के अभ्यंतर में कोई बिन्दु 0 लीजिए। क्या यह सही है कि
(i) OP + OQ > PQ?
(ii) OQ + OR > QR?
(iii) OR + OP > RP?
हल :
त्रिभुज के गुण से ΔOPQ, ΔOQR और ΔOPR में,
(i) OP + OP > PQ
(ii) OQ + OR > QR
(iii) OR + OP > RP
प्रश्न 3.
त्रिभुज ABC की एक माध्यिका AM है। बताइए कि क्या
AB + BC + CA > 2AM?
हल:
त्रिभुज की असमिकाओं का प्रयोग करने पर,
ΔABM में,
AB + BM > AM ……………. (1)
ΔAMC में,
AC + MC > AM ……………. (2)
(1) और (2) के दोनों पक्षों को जोड़ने पर,
AB + (BM + MC) + AC > AM + AM
AB + BC + CA > 2AM
प्रश्न 4.
ABCD एक चतुर्भुज है। क्या AB + BC + CD + DA > AC + BD?
हल :
माना ABCD एक चतुर्भुज है। विकर्ण AC और BD को मिलाया।
ΔABC में, AB + BC > AC …………(i)
ΔDAC में, CD + DA > AC ………….(ii)
ΔABD में, AB + AD > BD …………(iii)
और ΔCBD में, BC + CD > BD …………(iv)
(i), (ii), (iii) और (iv) के दोनों पक्षों को जोड़ने पर,
2(AB + BC + CD + AD) > 2(AC + BD)
⇒ AB + BC + CD + AD > AC + BD
प्रश्न 5.
ABCD एक चतुर्भुज है। क्या AB + BC + CD + DA < 2(AC + BD)?
हल :
माना ABCD एक चतुर्भुज है और विकर्ण AC और BD एक दूसरे को O बिन्दु पर काटते है।
ΔOAB में, OA + OB > AB …..(1)
ΔBOC में, OB + OC > BC …..(2)
ΔCOD में, OC + OD > DC ……(3)
और ΔAOD में, OD + OA > DA …….(4)
(1), (2), (3) और (4) को जोड़ने पर 2(OA + OB + OC+ OD) > AB + BC + CD + DA
⇒ 2(OA + OC) + 2(OB + OD) > AB + BC + CD + DA
⇒ 2(AC + BD) > AB + BC + CD + DA
⇒ AB + BC + CD + DA < 2(AC + BD).
प्रश्न 6.
एक त्रिभुज की दो भुजाओं की माप 12 सेमी तथा 15 सेमी है। इसकी तीसरी भुजा की माप किन दो मापों के बीच होनी चाहिए?
हल :
माना तीसरी भुजा की लम्बाई : सेमी है, तो
12 + 15, > x, x + 12 > 15 और x + 15 > 12
⇒ 27 > x, x >15 – 12 और x > 12 – 15
⇒ 27 > x, x > 3 और x > – 3
3 और 27 के बीच की संख्याएँ इसे सन्तुष्ट करती हैं।
अत: तीसरी भुजा की लम्बाई 3 और 27 के बीच होगी। उत्तर