Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 3 चतुर्भुजों को समझना Ex 3.3 Textbook Exercise Questions and Answers.
Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 3 चतुर्भुजों को समझना Ex 3.3
प्रश्न 1.
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। प्रत्येक कथन को परिभाषा या प्रयोग किये गये गुण द्वारा पूरा कीजिए।
(i) AD = ……………….
(ii) ∠DCB = ………..
(iii) OC = ………….
(iv) m ∠DAB + m ∠CDA = …………
हल :
(i) AD = BC (∵ समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं ।)
(ii) ∠DCB = ∠DAB (∵ समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण समान होते हैं ।)
(iii) OC = OA (∵ समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण । एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं ।)
(iv) m∠DAB + m∠CDA = 180°. (∵ समान्तर चतुर्भुज में दो आसन्न अन्तःकोणों का योग 180° होता है।)
प्रश्न 2.
निम्नांकित समान्तर चतुर्भुजों में अज्ञात के मानों को ज्ञात कीजिए:
हल :
(i) समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण समान होते हैं।
अत: ∠D = ∠B तथा ∠A = ∠C
∴ y = 100°
समान्तर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों का योग = 180° होता है ।
∴ ∠A + ∠B = 180°
z + 100° = 180°
z = 180° – 100° = 80°
∴ z = 80°
परन्तु. ∠C = ∠A
∴ x = 80°
अतः x = 80°, y = 100° तथा z = 80°
(ii) समान्तर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों का योग 180° होता है।
∴ 50° + x = 180°
∴ x = 180°- 50° = 130°
अतः ∠x = 130°
परन्तु ∠x = ∠y
∠y = 130° (संगत कोण हैं)
तथा ∠x = ∠z
∠z = 130°
अतः x = 130°, y = 130° तथा z = 130°
(iii) ∠AOB = ∠COD शीर्षाभिमुख कोण है
90° = x
∴ x = 90°
∵ x + y + 30° = 180° (∵ ∆ COD के अन्त:कोणों का योग = 180° है)
⇒ 90° + y + 30° = 180°
⇒ y + 120° = 180°
⇒ y = 180° – 120° = 60°
∴ y = 60°
∵ एकान्तर कोण, y = z
∴ z = 60°
अतः x = 90°, y = 60° तथा z = 60°
(iv) समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण समान होते हैं ।
∴ ∠D = ∠B
∠D = 80°
अत: आसन्न अन्त:कोण हैं।
परन्तु, ∠A + ∠B = 180°
x + 80° = 180°
∴ x = 180°- 80° = 100°
अत: x = 100°
∵ AB || CD
z = ∠B (संगत कोण).
∴ z = 80°
अतः x = 100°, y = 80° तथा z = 80°
(v) 
∵ ∠D = ∠B
∴ y = 112°
परन्तु, ∆ ACD में,
⇒ x + y + 40° = 180°
⇒ x + 112° + 40° = 180°
⇒ x + 152° – 180°
∴ x = 180° – 152° = 28°
अत: x = 28°
∵ CD || AB तथा AC तिर्यक् रेखा है
∴ x = z (एकान्तर कोण)
28° = z
∴ z = 28°
अतः x = 28°, y = 112° तथा z = 28°
प्रश्न 3.
क्या एक चतुर्भुज ABCD समान्तर चतुर्भुज हो सकता है, यदि:
(i) ∠D + ∠B = 180° ?
(ii) AB = DC = 8 सेमी, AD = 4 सेमी और BC = 4.4 सेमी ?
(iii) ∠A = 70° और ∠C = 65° ?
हल :
(i) ∠D+ ∠B = 180° वर्ग में यह कथन सत्य है, क्योंकि वर्ग के प्रत्येक अन्त:कोण का मान 90° होता है, परन्तु अन्य समान्तर चतुर्भुज में सम्भव नहीं है।
(ii) यह समान्तर चतुर्भुज नहीं हो सकता है: क्योंकि समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समान होती है।
लेकिन यहाँ, AD ≠ BC
(iii) नहीं, क्योंकि समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण समान होते हैं।
अत: यहाँ ∠A ≠ ∠C.
प्रश्न 4.
एक चतुर्भुज की कच्ची आकृति खींचिए, जो समान्तर चतुर्भुज न झे, परन्तु जिसके दो सम्मुख कोणों की माप बराबर हो ।
हल :
पतंग ABCD में,
AB = AD तथा CB = CD है|
यह पतंग ABCD समान्तर चतुभुज नहीं है।
लेकिन, ∠ABC = ∠ADC
अतः इसके सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
प्रश्न 5.
किसी समान्तर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों का अनुपात 3:2 है । समान्तर चतुर्भुज के सभी कोणों का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है-दो आसन्न कोणों का अनुपात 3 : 2 है।
अत: दो आसन्न कोण 3x तथा 2x हैं।
∵ समान्तर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों का योग 180° होता है।
∵ ∠A + ∠B = 180°
⇒ 3x + 2x = 180°
⇒ 5x = 180°
x = \(\frac { 180° }{ 5 }\)
अतः ∠A = 3x = 3 × 36° = 108°
तथा ∠B = 2x = 2 × 36° = 72°
∵ समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण समान होते है।
अत: ∠C = ∠A = 108° तथा ∠D = ∠B = 72°
अत: ∠A= 108°, ∠B = 72°, ∠C= 108° तथा ∠D = 72°
प्रश्न 6.
किसी समान्तर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों की माप बराबर है। इस चतुर्भुज के सभी कोणों की माप ज्ञात कीजिए।
हल :
माना कि ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण समान होते हैं ।
∠A = ∠C
और ∠B = ∠D
∵ समान्तर चतुर्भुज के आसन्न कोणों का योग 180° होता है ।
∵ ∠A + ∠B = 180°
परन्तु, ∠A = ∠B
∠A + ∠A = 180°
∠2A = 180°
∠A = \(\frac{180°}{2}\) = 90°
अत: ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°
अतः प्रत्येक कोण 90° का होगा ।
अत: हम कह सकते हैं कि यह समान्तर चतुर्भुज, एक आयत या वर्ग होगा ।
प्रश्न 7.
संलग्न आकृति HOPE एकसमान्तर चतुर्भुज है। और कोणों की माप ज्ञात कीजिए । ज्ञात करने में प्रयोग किये गये गुणों को बताइए।
हल :
HOPE एक समान्तर चतुर्भुज है।
∆ HOP में,
∠HOP = 180° – 70° = 110°
अत: ∠HOP = 110°
समान्तर चतुर्भुज के आसन्न कोणों का योग 180° होता है।
अत: ∠EHO + ∠HOP = 180°
40° + z + 110° = 180°
150° + z = 180°
∠z = 180°- 150° = 30°
∠z = 30°
अब, AHOP में,
∠z + ∠y + ∠HOP = 180°
30° + ∠y + 110° = 180°
140° + ∠y = 180°
∠y = 180°- 140°- 40°
∠y = 40°
अब, समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
∠HEP = ∠HOP
∠x = 110°
अतः ∠x = 110°
∠y = 40°, ∠z = 30°
प्रश्न 8.
निम्नांकित आकृतियों GUNS और RUNS समान्तर चतुर्भुज हैं । तथा । ज्ञात कीजिए । (लम्बाई cm में )-
हल :
(i)GUNS एक समान्तर चतुर्भुज है । समान्तर चतुर्भुज के आमने-सामने की भुजाएँ समान होती है। अत: GU = SN अत: 3y-1326
अतः ∴ GU = SN
अतः 3y – 1 = 26
⇒ 3y = 26 + 1
⇒ 3y = 27
⇒ y = \(\frac{27}{3}\) = 9
∴ y = 9
तथा 3x = 18
⇒ x = \(\frac{18}{3}\)
∴ x = 6
अत: x = 6 तथा y = 9
(ii) RUNS एक समान्तर चतुर्भुज हैं । समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं ।
अतः OS = OU
तथा OR = ON
OS = OU
⇒ y + 7 = 20
⇒ y = 20 – 7
∴ y = 13
अब, ON = OR
⇒ x + y = 16
⇒ x + 13 = 16
⇒ x = 16 – 13
∴ x = 3
अत: x = 3 तथा y = 13
प्रश्न 9.
दी गई आकृति में RISK तथा CLUE दोनों समान्तर चतुर्भुज है,* का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
RISK तथा CLUE समान्तर चतुर्भुज हैं।
(i) समान्तर चतुर्भुज RISK में,
∠K + ∠S = 180°
⇒ 120° + ∠S = 180°
⇒ ∠S = 180°- 120° = 60°
अत: ∠S = 60°
अब, समान्तर चतुर्भुज CLUE में,
हम जानते हैं कि सम्मुख कोण समान होते हैं ।
∴ ∠L = ∠E
∴ ∠E = 70°
∆EOS में,
∆ के तीनों कोणों का योग 180° होता है।
∴ ∠E + ∠O + ∠S = 180°
⇒ 70° + x + 60° = 180°
⇒ 130° + x = 180°
⇒ ∠x = 180° – 130° = 50°
अतः x = 50°
प्रश्न 10.
बताइए कैसे यह आकृति एक समलम्ब है। इसकी कौन सी दो भुजाएँ समान्तर 80 हैं?
हल :
समलम्ब में, अन्तः आसन्न कोणों का योग 180° होता है।
अत: ∠M + ∠L = 180°
⇒ 100° + 80° = 180°
∴ 180° = 180°
इसलिए, KLMN एक समलम्ब है ।
⇒ \(\overline{\mathrm{NM}}\) || \(\overline{\mathrm{KL}}\).
प्रश्न 11.
निम्न आकृति में m∠C ज्ञात कीजिए, यदि \(\overline{\mathrm{AB}}\) || \(\overline{\mathrm{DC}}\).
हल :
दिया है, AB || DC
अतः, आसन्न अन्त:कोणों का योग = 180°
⇒ ∠B + ∠C = 180°
⇒ 120°+ ∠C = 180°
⇒ ∠C = 180° – 120° = 60°
अतः ∠C = 60°.
प्रश्न 12.
संलग्न आकृति में s ∠P तथा ∠S की माप ज्ञात | कीजिए । यदि \(\overline{\mathrm{SP}}\).\(\overline{\mathrm{RQ}}\) है । (यदि आप m∠R ज्ञात करते है, तो क्या m∠P को ज्ञात करने की एक से अधिक विधि है।)
हल :
दिया है, SP || RQ. अत: अन्तः आसन्न कोणों का योग = 180°
∴ ∠P + ∠Q = 180°
⇒ ∠P + 130° = 180°
⇒ ∠P = 180° – 130° = 50°
∴ ∠P = 50°
अब, ∠R + ∠S = 180°
∠S + 90° = 180°
∠S = 180° – 90° = 90°
∠S = 90°
अत:, ∠P = 50° तथा ∠S = 90°
हाँ, m∠P ज्ञात करने की अन्य विधि भी है।
∴ चतुर्भुज में चारों कोणों का योगफल 360° होता है।
m∠P + m∠Q + m∠R + m∠S = 360°
⇒ m∠P + 130° + 90° + 90° = 360°
⇒ m∠P = 360° – 310°
∴ m∠P= 50°