HBSE 7th Class Maths Solutions Chapter 13 घातांक और घात Ex 13.2

Haryana State Board HBSE 7th Class Maths Solutions Chapter 13 घातांक और घात Ex 13.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 7th Class Maths Solutions Chapter 13 घातांक और घात Ex 13.2

प्रश्न 1.
घातांकों के नियमों का प्रयोग करते हुए, सरल कीजिए और उत्तर को घातांकीय रूप में लिखिए :
(i) 3² × 3⁴ × 3⁸
(ii) 6¹⁵ ÷ 6¹⁰
(iii) a³ × a²
(iv) 7^x × 7²
(v) (5²)³ ÷ 5³
(vi) 2⁵ × 5⁵
(vii) a⁴ × b⁴
(viii) (3⁴)³
(ix) (2²⁰ ÷ 2¹⁵) × 2³
(x) 8^t ÷ 8²
हल :
(i) 3² × 3⁴ × 3⁸ = 3^{2 + 4 + 8} = 3¹⁴
(ii) 6¹⁵ ÷ 6¹⁰ = 6^15–¹⁰ = 6⁵
(iii) a³ × a¹ = a³⁺²= a⁵
(iv) 7^x × 7¹ = 7^x+2
(v) (5²)³ ÷ 5³ = 5^{2 × 3} ÷ 5³
= 5⁶ ÷ 5³ = 5^6-3= 5³
(vi) 2⁵ × 5⁵ = (2 × 5)⁵ = (10)⁵
(vii) a⁴ × 6⁴ = (ab)⁴
(viii) (3⁴)³ = 3^{4 × 3} = 3¹²
(ix) (2²⁰ ÷ 2¹⁵) × 2³ = (2^20–¹⁵) × 2³
= 2⁵ × 2³ = 2⁵⁺³ = 2⁸
(x) 8^t ÷ 8² = 8^t-2

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में से प्रत्येक को सरल करके घातांकीय रूप में व्यक्त कीजिए :

हल :
(i) \(\frac{2^{3} \times 3^{4} \times 4}{3 \times 32}=\frac{2^{3} \times 3^{4} \times 2^{2}}{3 \times 2^{5}}\)
[∵ 4 = 2 × 2 = 2²
और 32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁵]
\(\frac{2^{3+2} \times 3^{4}}{3^{1} \times 2^{5}}=\frac{2^{5} \times 3^{4}}{3^{1} \times 2^{5}}\)
= 2^5-5 × 3^4-1
= 2⁰ × 3³
= 1 × 3³
= 3³

(ii) [(5²)³ × 5⁴] ÷ 5⁷
= (5^{2 × 3} × 5⁴) ÷ 5⁷
= 5^{6 + 4} ÷ 5⁷
= 5¹⁰ ÷ 5⁷
= 5^{10 – 7} = 5³

(iii) 25⁴ ÷ 5³ = (5²)⁴ ÷ 5³
= 52 × 4 ÷ 5³
= 58 ÷ 5³
= 58 – 3
= 5⁵

(iv) \(\frac{3 \times 7^{2} \times 11^{8}}{21 \times 11^{3}}=\frac{3 \times 7^{2} \times 11^{8}}{3 \times 7 \times 11^{3}}\)
= 3^{1 – 1} × 7^{2 – 1} × 11^{8 – 3}
= 3⁰ × 7 × 11⁵
= 1 × 7 × 11⁵
= 7 × 11⁵

(v) \(\frac{3^{7}}{3^{4} \times 3^{3}}=\frac{3^{7}}{3^{4+3}}=\frac{3^{7}}{3^{7}}\)
= 3^{7 – 7} = 3⁰ = 1

(vi) 2⁰ + 3⁰ + 4⁰ = 1 + 1 + 1 = 3
(vii) 2⁰ × 3⁰ × 4⁰ = 1 × 1 × 1 = 1
(viii) (3⁰ + 2⁰) × 5⁰ = (1 + 1) × 1
= 2 × 1 = 2

(ix) \(\frac{2^{8} \times a^{5}}{4^{3} \times a^{3}}=\frac{2^{8} \times a^{5}}{\left(2^{2}\right)^{3} \times a^{3}}=\frac{2^{8} \times a^{5}}{2^{6} \times a^{3}}\)
= 2^{8 – 6} × a^{5 – 3}
= 2² × a² = (2 × a)² = (2a)²

(x) \(\left(\frac{a^{5}}{a^{3}}\right) \times a^{8}\) = (a^{5 – 3}) × a⁸
= a² × a⁸ = a^{2 + 8} = a¹⁰

(xi) \(\frac{4^{5} \times a^{8} b^{3}}{4^{5} \times a^{5} b^{2}}\)
= 4^{5 – 5}× a^{8 – 5}× b^{3 – 2}
= 4⁰ × a³ × b¹
= 1 × a³ × b = a³b

(xii) (2³ × 2)² = (2^{3 + 1})² = (2⁴)² = 2⁸

प्रश्न 3.
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य तथा अपने उत्तर का कारण भी दीजिए :
(i) 10 × 10¹¹ = 100¹¹
(ii) 2³ > 5²
(iii) 2³ × 3² = 6⁵
(iv) 3⁰ = (1000)⁰
हल :
(i) L.H.S. = 10 × 10¹¹
= 10^{1 + 11}= 10¹²
और R.H.S. = 100¹¹ = (10²)¹¹
= 10^{2 × 11} = 10²²
अत: कथन असत्य है।

(ii) L.H.S. = 2³ = 2 × 2 × 2 = 8
R.H.S. = 5² = 5 × 5 = 25
⇒ L.H.S. # R.H.S.
अतः कथन असत्य है।

(iii) L.H.S. = 2³ × 3² = 8 × 9 = 72
R.H.S. = 6 × 6 × 6 × 6 × 6
= 7776
∴ L.H.S. # R.H.S.
अतः कथन असत्य है।

(iv) सत्य है, क्योंकि 3⁰ = 1 और (1000)⁰ = 1
⇒ L.H.S. = R.H.S.
अतः कथन सत्य है।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से प्रत्येक को केवल अभाज्य गुणनखण्डों की घातों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए :
(i) 108 × 192
(ii) 270
(iii) 729 × 64
(iv) 768
हल :
(i) अभाज्य गुणनखण्ड करने पर,

∴ 108 × 192 = (2 × 2 × 3 × 3 × 3) × (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3)
= 2² × 3³ × 2⁶ × 3¹
= 2² × 2⁶ × 3^{3 + 1}
=2⁸ × 3⁴