Haryana State Board HBSE 6th Class Maths Solutions Chapter 14 प्रायोगिक ज्यामिती Ex 14.6 Textbook Exercise Questions and Answers.
Haryana Board 6th Class Maths Solutions Chapter 14 प्रायोगिक ज्यामिती Exercise 14.6
प्रश्न 1.
750 माप वाले एक ∠POQ की रचना कीजिए और इसकी सममित अक्ष खींचिए।
हल :
रचना के पद :
(1) किरण OP खींची।
(2) बिन्दु O पर ∠POR = 60° और ∠POS = 90° की रचना की।
(3) ∠ROS का समद्विभाजक कर, OQ किरण खींची।
तब ∠POQ = ∠POR + = \(\frac{1}{2}\)∠ROS
= 60° + \(\frac{1}{2}\)(∠POS – ∠POR)
= 60° + = \(\frac{1}{2}\)(90° – 60°)
= 60° + \(\frac{1}{2}\) × 30°
= 60° + 15° = 75°
अत: ∠POQ = 75°, जो वांछित कोण है।
अतः ∠POQ का समद्विभाजक कर, OT किरण खींची जो कि ∠POQ की सममित अक्ष है।
प्रश्न 2.
147° माप वाले एक कोण की रचना कीजिए और उसका समद्विभाजक खींचिए।
हल :
रचना के पद :
(1) किरण OA खींची।
(2) चाँदे को OA पर इस प्रकार रखते हैं कि चाँद का B केन्द्र, बिन्दु O पर हो और 0 – 180° रेखा पर हो।
(3) कागज पर चाँद के 147° के चिन्ह के सामने बिन्दु B अंकित किया।
(4) अब चाँद को हटाकर OB को मिलाया। इस प्रकार ∠AOB = 147° प्राप्त हुआ।
इसके समदिभाजक की रचना :
- बिन्दु O को केन्द्र मानकर उपयुक्त त्रिज्या लेकर एक चाप लगाया, जो OA और OB को क्रमशः P और Q पर काटता है।
- P को केन्द्र मानकर PO के आधे से अधिक त्रिज्या का चाप लगाया।
- अब Q को केन्द्र मानकर उसी त्रिज्या का चाप लगाते हैं जो पहले वाले चाप को R पर काटता है।
- OR को मिलाते हए आगे C तक बढ़ाया।
इस प्रकार, ∠AOC, ∠AOB का समद्विभाजक है।
प्रश्न 3.
एक समकोण खींचिए और उसके समद्विभाजक की रचना कीजिए।
हल :
रचना के पद :
- किरण OA खींची।
- O को केन्द्र मानकर कोई उपयुक्त त्रिज्या का चाप लेकर खींचते हैं जो OA को P पर काटता है।
- P को केन्द्र मानकर तथा समान (पूर्व की) त्रिज्या का चाप लगाया जो Q पर काटता है।
- Q को केन्द्र मानकर उसी त्रिज्या का चाप लगाते हैं जो R पर काटता है।
- बिन्दु R और Q से समान त्रिज्या के चाप लगाए जो B पर काटते हैं।
- OB को मिलाते हुए आगे C तक बढ़ाया।
इस प्रकार ∠AOC = 90° (समकोण) प्राप्त हुआ।
समद्विभाजक खींचने के लिए:
- बिन्दु P को केन्द्र मानकर, PT चाप के आधे से अधिक चाप लेकर, ∠AOC के अंतः भाग में लगाया।
- अब T को केन्द्र मानकर, उसी त्रिज्या के चाप को लगाया जो पहले वाले चाप को D पर काटता है।
- OD को मिलाते हुए आगे E तक बढ़ाया।
इस प्रकार∠AOE, ∠AOC का समद्विभाजक है।
प्रश्न 4.
153° का एक कोण खींचिए और इसके चार बराबर भाग कीजिए।
हल :
रचना के पद :
(1) चाँदे की सहायता से ∠AOB = 153° खींचा।
(2) O को केन्द्र मानकर तथा उपयुक्त त्रिज्या लेकर चाप लगाया जो OA और OB को क्रमश: P और Q पर काटता है।
(3) P को केन्द्र मानकर, PQ चाप के आधे से अधिक चाप लेकर, ∠AOB के अन्त:भाग में लगाया।
(4) Q को केन्द्र मानकर, उसी त्रिज्या का चाप लगाया जो पहले चाप को B पर काटता है।
(5) OB1 को मिलाते हुए आगे C तक बढ़ाया।
इस प्रकार ∠AOC, ∠AOB का समद्विभाजक होगा।
(6) इसी प्रकार से ∠AOC का समद्विभाजक OD खींचा।
तब ∠AOD = ∠DOC.
(7) इसी प्रकार ∠COB का समद्विभाजक OE खींचा।
तब ∠COE = ∠EOB
∴ ∠AOD = ∠DOC = ∠COE = ∠EOB
अतः किरण OD, OC और OE से ∠AOB चार बराबर भागों में विभाजित होता है।
प्रश्न 5.
रूलर और परकार की सहायता से निम्. मापों के कोणों की रचना कीजिए :
(a) 60°
(b) 30°
(c) 90°
(d) 120°
(e) 45°
(f) 135°
हल :
(a) रचना के पद :
- किरण 0A खींची।
- O को केन्द्र मानकर, उपयुक्त त्रिज्या लेकर चाप लगाया, जो OA को P पर काटता है।
- P को केन्द्र मानकर तथा उसी पूर्व त्रिज्या को लेकर चाप लगाया जो Q पर काटता है।
- OQ को मिलाते हुए आगे B तक बढ़ाया।
इस प्रकार ∠AOB = 60° प्राप्त हुआ।
(b) रचना के पद :
- किरण OA खींची।
- O को केन्द्र मानकर उपयुक्त त्रिज्या लेकर एक चाप लगाया, जो OA को P पर काटता
- P को केन्द्र मानकर तथा उसी पूर्व त्रिज्या को लेकर चाप लगाया जो 0 पर काटता है।
- OQ को मिलाते हुए आगे B तक बढ़ाया, तब ∠AOB = 60°
- P को केन्द्र मानकर तथा PQ के आधे से अधिक त्रिज्या का चाप लेकर, ∠AOB के अन्दर लगाया।
- Q को केन्द्र मानकर, उसी पूर्व त्रिज्या का चाप लगाया जो पहले चाप को R पर काटता है।
- OR को मिलाते हुए आगे C तक बढ़ाया, तब ∠AOC = 30° प्राप्त हुआ।
(c) रचना के पद :
- किरण OA खींची।
- O को केन्द्र मानकर तथा उपयुक्त त्रिज्या लेकर एक चाप लगाया जो OA को P पर काटता है।
- P को केन्द्र मानकर तथा पूर्व त्रिज्या के बराबर चाप लगाया, जो पहले चाप को Q पर काटता है।
- इसी त्रिज्या से Q को केन्द्र मानकर दूसरा चाप लगाया, जो पहले चाप को R पर काटता है।
- Q को केन्द्र मानकर तथा इसी त्रिज्या से एक चाप लगाया।
- R को केन्द्र मानकर तथा इसी त्रिज्या से चाप लगाया, जो पद 5 के चाप को B पर काटता है।
- OB को मिलाया तथा C तक बढ़ाया।
अत: ∠AOC = 90° प्राप्त हुआ।
(d) रचना के पद :
- किरण OA खींची।
- O को केन्द्र मानकर तथा उपयुक्त त्रिज्या लेकर चाप लगाया, जो OA को P पर काटता
- P को केन्द्र मानकर तथा उसी त्रिज्या का एक चाप और लगाया, जो Q पर काटता है।
- Q को केन्द्र मानकर तथा उसी त्रिज्या का एक और चाप लगाया, जो R पर काटता है।
- OR को मिलाते हुए आगे C तक बढ़ाया।
इस प्रकार ∠AOC = 120° प्राप्त हुआ।
(e) रचना के पद :
(1) भाग (c) के पदों का अनुसरण करते हुए ∠AOC = 90° की रचना की।
(2) ∠AOC का समद्विभाजक OE खींचा।
इस प्रकार ∠AOD = 45° प्राप्त हुआ।
(f) रचना के पद:
(1) OA किरण खींची।
(2) O को केन्द्र मानकर उपयुक्त त्रिज्या लेकर चाप लगाया, जो OA को P बिन्दु पर काटता है।
(3) बिन्दु P से उसी त्रिज्या के बराबर दूरी के चाप क्रमशः Q, R और S लगाए।
(4) बिन्दु R और ए दूरी पर समद्विभाजक OB खींचा, तब ∠AOB = 90° और ∠BOS = 90° प्राप्त होता है।
(5) अब बिन्दु T और S दूरी का समद्विभाजक OC खींचा। C को आगे D तक बढ़ाया।
इस प्रकार, ∠AOD = ∠AOB + ∠BOD
= 90° + \(\frac{1}{2}\)∠BOS
= 90° + \(\frac{1}{2}\) × 90°
= 90° + 45° = 135°
अत: ∠AOD = 135° वांछित कोण है।
प्रश्न 6.
45० का एक कोण खींचिए और उसका समद्विभाजक कीजिए।
हल :
रचना के पद :
(1) प्रश्न 3 के अनुसार, रचना के पदों का अनुसरण करके ∠AOB = 90° बनाया।
(2) ∠AOB का पा समद्विभाजक OC खींचा।
∠AOC = \(\frac{1}{2}\)∠AOB
= \(\frac{1}{2}\) × 90° = 45°
(3) ∠AOC का समद्विभाजक OD खींचा।
∠AOD = \(\frac{1}{2}\)∠AOC = \(\frac{1}{2}\) × 45°
= \(22 \frac{1}{2}^{\circ}\) = ∠DOC
अत: ∠AOD, ∠AOC का समद्विभाजक है।
प्रश्न 7.
135° का एक कोण खींचिए और उसे समद्विभाजित कीजिए।
हल :
रचना के पद :
(1) प्रश्न 5(f) के पदों का अनुसरण करके ∠AOE = 135° की रचना की।
(2) ∠AOE का समद्विभाजक OF खींचा।
∠AOF = \(\frac{1}{2}\)∠AOE
= \(\frac{1}{2}\) × 135° = \(67 \frac{1}{2}^{\circ}\) = ∠FOE
अतः ∠AOF, ∠AOE का समद्विभाजक है।
प्रश्न 8.
70° का एक कोण खींचिए। इस कोण के बराबर रूलर और परकार की सहायता से एक कोण बनाइए।
हल :
रचना के पद :
- किरण OA खींची।
- चाँद को OA पर इस प्रकार रखते हैं कि चाँद का केन्द्र-बिन्दु O पर हो और 0 – 180° रेखा पर हो।
- कागज पर चाँद के 70° के चिन्ह के सामने बिन्दु B अंकित किया और OB को मिलाया।
इस प्रकार ∠AOB = 70° प्राप्त होता है।
पुनः रूलर और परकार द्वारा :
(1) किरण PQ खींची।
(2) P को केन्द्र मानकर उपयुक्त त्रिज्या का चाप लगाया, जो PQ को M पर काटता है।
(3) अब ∠AOB में, O को केन्द्र मानकर समान त्रिज्या (PM त्रिज्या) का चाप लगाया, जो OA को C बिन्दु पर और OB को D बिन्दु पर काटता है।
(4) परकार में CD चाप की दूरी लेकर, चरण 2 के बिन्दु M से चाप लगाया जो N बिन्दु पर काटता है।
(5) PN को मिलाते हुए आगे R तक बढ़ाया।
इस प्रकार ∠QPR = ∠AOB प्राप्त हुआ।
प्रश्न 9.
40° का एक कोण खींचिए। इसके संपूरक के बराबर एक कोण बनाइए।
हल :
रचना के पद :
(1) किरण OA खींची।
(2) चाँद को OA पर इस प्रकार रखते हैं कि चाँद का केन्द्र-बिन्दु O पर हो और 0 – 180° रेखा पर हो।
(3) कागज पर चाँदे के 40° के चिन्ह पर बिन्दु B अंकित किया।
(4) OB को मिलाया। इस प्रकार ∠AOB = 40° प्राप्त हुआ।
40° के सम्पूरक कोण की रचना :
रचना के पद :
- किरण PQ खींची।
- 40° का सम्पूरक बनाने के लिए हमें 180° – 40° = 140° का कोण बनाना होगा।
- कागज पर चाँद के केन्द्र को बिन्दु P पर इस प्रकार रखते हैं कि 0 – 180° रेखा पर हो।
- चाँद के 140° के चिन्ह पर R बिन्दु अंकित किया।
- PR को मिलाया, तब ∠QPR = 140°
अतः ∠QPR, ∠AOB का सम्पूरक है।