Class 8

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 7 घन और घनमूल Ex 7.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 7 घन और घनमूल Ex 7.2

प्रश्न 1.
अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा निम्नलिखित में से प्रत्येक संख्या का घनमूल ज्ञात कीजिए
(i) 64
(ii) 512
(iii) 10648
(iv) 27000
(v) 15625
(vi) 13824
(vii) 110592
(viii) 46656
(ix) 175616
(x) 91125
हल:
(i) 64 = \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) = 2² × 2²
\(\sqrt[3]{64}\) = 2 × 2 = 4

(ii) 512 = \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) = (2)³ × (2)³ × (2)³
\(\sqrt[3]{512}\) = 2 × 2 × 2 = 8

(iii) 10648 = \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{11 \times 11 \times 11}\)
= (2)³ × (11)³
= (2 × 11)³
= 22³
\(\sqrt[3]{10648}\) = 22

(iv) 27000 = \(\underline{3 \times 3 \times 3}\) × \(\underline{10 \times 10 \times 10}\)
= (3)³ × (10)³
= (3 × 10)³
= 30³
\(\sqrt[3]{27000}\) = 30

(v) 15625 = \(\underline{5 \times 5 \times 5}\) × \(\underline{5 \times 5 \times 5}\)
= (5)³ × (5)³
= (5 × 5)³
= 25³
\(\sqrt[3]{15625}\) = 25

(vi) 13824 = \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3 \times 3}\)
= (2)³ × (2)³ × (2)³ × (3)³
= (2 × 2 × 2 × 3)³
= 24³
\(\sqrt[3]{15625}\) = 24

(vii) 110592 = \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3 \times 3}\)
= (2)³ × (2)³ × (2)³ × (2)³ × (3)³
= (2 × 2 × 2 × 2 × 3)³
= 48³
\(\sqrt[3]{15625}\) = 48

(viii) 46656 = \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3 \times 3}\) × \(\underline{3 \times 3 \times 3}\)
= (2)³ × (2)³ × (3)³ × (3)³
= (2 × 2 × 3 × 3)³
= 36³
\(\sqrt[3]{15625}\) = 36

(ix) 46656 = \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{7 \times 7 \times 7}\)
= (2)³ × (2)³ × (2)³ × (7)³
= (2 × 2 × 2 × 7)³
= 56³
\(\sqrt[3]{15625}\) = 56

(x) 91125 = \(\underline{5 \times 5 \times 5}\) × \(\underline{3 \times 3 \times 3}\) × \(\underline{3 \times 3 \times 3}\)
= (5)³ × (3)³ × (3)³
= (5 × 3 × 3)³
= 45³
\(\sqrt[3]{15625}\) = 45

प्रश्न 2.
बताइये सत्य है या असत्य-
(i) किसी भी विषम संख्या का घन सम होता है ।
(ii) एक पूर्ण घन दो शून्यों पर समाप्त नहीं होता है ।
(iii) यदि किसी संख्या का वर्ग 5 पर समाप्त होता है, तो उसका घन 25 पर समाप्त होता है ।
(iv) ऐसा कोई पूर्ण घन नहीं है, जो 8 पर समाप्त होता है ।
(v) दो अंकों की संख्या का घन तीन अंकों वाली संख्या हो सकती है।
(vi) दो अंकों की संख्या के घन में सात या अधिक अंक हो सकते हैं ।
(vii) एक अंक वाली संख्या का घन एक अंक वाली संख्या हो सकती है।
हल:
(i) असत्य
(ii) सत्य
(iii) असत्य
(iv) असत्य
(v) असत्य
(vi) असत्य
(vii) सत्य ।

प्रश्न 3.
आपको यह बताया जाता है कि 1331 एक पूर्ण घन है। क्या बिना गुणनखण्ड किये आप यह अनुमान लगा सकते हैं कि इसका घनमूल क्या है। इसी प्रकार 4913, 12167 और 32768 के घनमूलों के अनुमान लगाइए।
हल :
दिया है – 1331
1331 के सबसे दाईं ओर के अंक से प्रारम्भ करते हुए तीन-तीन अंकों के समूह बनाएँ । यह समूह 1 और 331 हैं । इस स्थिति में एक समूह 331 है, जिसमें तीन अंक हैं और दूसरा समूह 1 है, जिसमें 1 अंक है। सबसे पहले हम 331 लेते हैं। इसकी इकाई का अंक 1 है-
अत: घनमूल की इकाई का अंक 1 लेंगे ।
अब 1 को देखते हैं।
अत: घनमूल की दहाई का अंक 1 लेंगे ।
इस प्रकार,
\(\sqrt[3]{1331}\) = 11
हाँ, हम बिना गुणनखण्ड करके अनुमान लगा सकते हैं कि यह पूर्ण घन है।

(i) 4913 – 4913 के सबसे दाईं ओर के अंक से प्रारम्भ करते हुए तीन-तीन अंकों के समूह बनाएंगे । ये समूह 4 तथा 913 हैं । इस स्थिति में एक समूह 913 है जिसमें तीन अंक हैं और दूसरा समूह 4 है, जिसमें 1 अंक है।
पहले हम 913 लेंगे । इसकी इकाई का अंक 3 है । तो घनमूल की इकाई का अंक 7 लेते हैं, दूसरे समूह 4 को लेंगे।
1 का घन 1 है और 2 का घन 8 है । संख्या 4, संख्याओं 1 तथा 8 के बीच में स्थित है। अब 1 और 2 में से छोटी संख्या 1 है । 1 में इकाई का अंक स्वयं 1 है । हम 1 को वाँछित घनमूल का दहाई के अंक लेते हैं।
इस प्रकार, \(\sqrt[3]{4913}\) = 17

(ii) 12167 – 12167 के दाई ओर के अंक से प्रारम्भ करते हुए तीन-तीन अंकों के दो समूह 12 तथा 167 बनायेंगे । इनमें एक में 2 अंक तथा दूसरे में 3 अंक हैं ।
पहले हम 167 को लेंगे, इसकी इकाई का अंक 7 है तो घनमूल की इकाई का अंक 3 लेंगे ।
दूसरे समूह 12 को लेंगे । 2 का घन 8 है और 3 का घन 27 है । अत: संख्या 12, संख्याओं 8 और 27 के बीच में
अब, 2 और 3 में छोटी संख्या 2 है।
2 में इकाई का अंक स्वयं 2 है ।
हम 2 को वांछित घनमूल के दहाई का अंक लेते हैं।
इस प्रकार, \(\sqrt[3]{12167}\) = 23

(iii) 32768 – 32768. के दाई ओर के अंक प्रारम्भ करते हुए तीन-तीन अंकों के दो समूह 32 तथा 768 बनते पहले हम 768 को लेते हैं । इसकी इकाई का अंक 8 है। हम वांछित घनमूल की इकाई का अंक 2 लेते हैं।
दूसरे समूह 32 को लेते हैं । 3 का घन 27 है और 4 का घन 64 है। संख्या 32, संख्याओं 27 तथा 64 के बीच में स्थित है।
अब, 3 और 4 में छोटी संख्या 3 है।।
3 में इकाई का अंक स्वयं 3 है । हम 3 को वांछित घनमूल के दहाई का अंक लेते हैं।
इस प्रकार, \(\sqrt[3]{32768}\) = 32.

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 7 घन और घनमूल Ex 7.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 7 घन और घनमूल Ex 7.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से कौनसी संख्याएँ पूर्णघन नहीं है?
(i) 216
हल:
216 का अभाज्य गुणनखण्ड करने पर
216 = 6 × 6 × 6
अत: यहाँ 6 का त्रिक् बन रहा है ।
इसलिए 216 पूर्ण घन है ।

(ii) 128
हल:
28 का अभाज्य गुणनखण्ड करने पर
128 = \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × 2
यहाँ, 2 का त्रिक् बनने के बाद 2 शेष रहता है ।
अतः 128 पूर्ण घन नहीं है ।

(iii) 1000
हल:
1000 का अभाज्य गुणनखंड करने पर
1000 = 10 × 10 × 10
अत: यहाँ 10 का त्रिक् बन रहा है ।
इसलिए 1000 पूर्ण घन है ।

(iv) 100
हल:
100 के अभाज्य गुणनखंड करने पर
100 = 2 × 2 × 5 × 5
यहाँ, 2, 5 का त्रिक् नहीं बन शेष रहा है ।
अतः 100 पूर्ण घन नहीं है ।

(v) 46656
हल:
46656 के अभाज्य गुणनखंड करने पर
46656 = \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3 \times 3}\) × \(\underline{3 \times 3 \times 3}\)
यहाँ, 2, 3 का त्रिक् नहीं बन शेष रहा है ।
अतः 46656 पूर्ण घन नहीं है ।

प्रश्न 2.
वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे निम्नलिखित संख्याओं को गुणा करने पर पूर्ण घन प्राप्त हो जाए-
(i) 243
(ii) 256
(iii) 72
(iv) 675
(v) 100
हल:
(i) 243
243 को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखने पर
243 = \(\underline{3 \times 3 \times 3}\) × 3 × 3
इस गुणनखण्ड में, 3 का त्रिक नहीं हैं।
अत: 243 पूर्ण घन नहीं है ।
हमें पूर्ण घन बनाने के लिए 3 से और गुणा करना पड़ेगा ।
अत: 243 × 3 =\(\underline{3 \times 3 \times 3}\) × \(\underline{3 \times 3 \times 3}\)
= 729
अतः 729 एक पूर्ण घन संख्या है ।

(ii) 256 = \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × 2 × 2
इस गुणनखण्ड में, 2 का त्रिक नहीं हैं।
अत: 256 पूर्ण घन नहीं है ।
हमें पूर्ण घन बनाने के लिए 2 से और गुणा करना पड़ेगा ।
अत: 256 पूर्ण घन नहीं है। हमें पूर्ण घन बनाने के लिए 2 से और गुणा करना पड़ेगा।
अत: 256 × 2 = \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2 \times 2}\)
= 512
अतः 512 एक पूर्ण घन संख्या है ।

(iii) 72 = \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × 3 × 3
इस गुणनखण्ड में, 3 का त्रिक नहीं हैं।
पूर्ण घन बनाने के लिए एक 3 से गुणा करना पड़ेगा ।
अत: 72 × 3 = \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3 \times 3}\)
= 216
अतः 216 एक पूर्ण घन संख्या है ।

(iv) 675 = \(\underline{3 \times 3 \times 3}\) × 5 × 5
इस गुणनखण्ड में 5 का त्रिक नहीं है।
अत: 675 पूर्ण घन नहीं है ।
पूर्ण घन बनाने के लिए 5 से और गुणा करना पड़ेगा।
अत: 675 × 5 = 3× 3 × 3 × 5 × 5 × 5
= 3375
अत: 3375 एक पूर्ण घन संख्या है।

(v) 100 = 2 × 2 × 5 × 5
इस गुणनखण्ड में 2 तथा 5 दोनों का त्रिक नहीं है।
अत: 100 पूर्ण घन नहीं है ।
पूर्ण घन बनाने के लिए 2 तथा 5 से गुणा करना पड़ेगा।
अत: 100 × 10 = 2 × 2 × 5 × 5 × 2 × 5
= 1000
अतः 1000 पूर्ण घन संख्या है।

प्रश्न 3.
वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए, जिससे निम्नलिखित संख्याओं को भाग देने पर भागफल एक पूर्ण घन प्राप्त हो जाये
(i) 81
(ii) 128
(iii) 135
(iv)192
(v) 704
हल :
(i) 81 = \(\underline{3 \times 3 \times 3}\) × 3

अभाज्य गुणनखण्ड में 3 त्रिक में नहीं 3/81 आ रहा है ।
अत: 81 एक पूर्ण घन नहीं है।
अतः इसे पूर्ण घन बनाने के लिए 81 में 39 3 का भाग दें, तो भागफल के अभाज्य 33 गुणनखण्ड में 3 नहीं आयेगा ।
इस प्रकार, 81 ÷ 3 = 3 × 3 × 3 = 27
अत: वह सबसे छोटी संख्या 3 है जिससे 81 को भाग देने पर भागफल एक पूर्ण घन प्राप्त होगा ।
अत: छोटी संख्या 3 है।

(ii) 128 = \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × 2

इस गुणनखण्ड में 2 का त्रिक नहीं है।
अत: 128 पूर्ण घन नहीं है ।
अत: 128 को 2 से भाग देने पर-
128 ÷ 2 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 64
अत: 2 से भाग देने पर, भागफल के अभाज्य गुणनखण्ड में 2 नहीं आयेगा ।
अत: सबसे छोटी संख्या 2 है, जिससे 128 में भाग देने पर भागफल पूर्ण घन संख्या प्राप्त होती है ।
अतः छोटी से छोटी संख्या = 2

(iii) 135 = \(\underline{3 \times 3 \times 3}\) × 5

गुणनखण्ड में 5 का त्रिक नहीं है ।
अत: 5 का भाग देने पर –
135 ÷ 5 = 3 × 3 × 3
= 27
संख्या 27 एक पूर्ण घन है।
अत: छोटी से छोटी संख्या = 5

(iv) 192 = \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × 3

गुणनखण्ड में 3 का त्रिक नहीं है ।
अत: 3 का भाग देने पर
192 ÷ 3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 64
जो कि एक पूर्ण घन है ।
अतः छोटी से छोटी संख्या = 3

(v) 704 = \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × 11

गुणनखण्ड में 11 का त्रिक नहीं है।
अत: 11 से भाग देने पर-
704 ÷ 11 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 64 जोकि एक पूर्ण घन संख्या है ।
अत: छोटी से छोटी संख्या = 11

प्रश्न 4.
परीक्षित प्लास्टिसिन का एक घनाभ बनाता है, जिसकी भुजाएँ 5cm, 2cm और 5cm हैं। एक घन बनाने के लिए ऐसे कितने घनाभों की आवश्यकता होगी?
हल :
माना, उसे । घनाभों की आवश्यकता होगी ।
तथा उसकी भुजाएँ = 5 cm, 2 cm तथा 5 cm हैं ।
तो घनाभ का आयतन = n × 5 × 2 ×5
अत: इसे पूर्ण घन बनाने के लिए 2 × 2 × 5 से गुणा करना पड़ेगा ।
अतः = \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{5 \times 5 \times 5}\)
अत: घन बनाने के लिए उसे (2 × 2 × 5) = 20 घनाभों की आवश्यकता होगी ।

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल Ex 6.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल Ex 6.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं के वर्गों के इकाई के अंक क्या होंगे?
(i) 81
(ii) 272
(iii) 799
(iv) 3853
(v) 1234
(vi) 26387
(vii) 52698
(viii) 99880
(ix) 12796
(x) 55555
हल:
संख्या 81 के वर्ग की इकाई का अंक 1 होगा ।
(i) 81 – संख्या 81 के वर्ग की इकाई का अंक 1 होगा ।
∵ 1² = 1

(ii) 272 – संख्या 272 के वर्ग की इकाई का अंक 4 होगा ।
∵ 2² = 4

(iii) 799 – संख्या 799 के वर्ग की इकाई का अंक 81 होगा ।
∵ 9² = 81

(iv) 3853 – संख्या 3853 के वर्ग की इकाई का अंक 9 होगा ।
∵ 3² = 9

(v) 1234 – संख्या 1234 के वर्ग की इकाई का अंक 16 होगा ।
∵ 4² = 16

(vi) 26387 – संख्या 26387 के वर्ग की इकाई का अंक 49 होगा ।
∵ 7² = 49

(vii) 52698 – संख्या 26387 के वर्ग की इकाई का अंक 64 होगा ।
∵ 8² = 64

(viii) 99880 – संख्या 99880 के वर्ग की इकाई का अंक 0 होगा ।
∵ 0² = 0

(ix) 12796 – संख्या 99880 के वर्ग की इकाई का अंक 36 होगा ।
∵ 6² = 36

(x) 55555 – संख्या 99880 के वर्ग की इकाई का अंक 25 होगा ।
∵ 5² = 25

प्रश्न 2.
निम्नलिखित संख्याएँ स्पष्ट रूप से पूर्ण वर्ग संख्याएँ नहीं हैं, इसका कारण दीजिए।
(i) 1057
(ii) 23453
(iii) 7928
(iv) 222222
(v) 64000
(vi) 89722
(vii) 222000
(viii) 505050.
हल:
(i) 1057 – संख्या 1057 के इकाई के स्थान पर 7 है, जो किसी की पूर्ण वर्ग संख्या में नहीं आता है। इसलिए संख्या 1057 एक पूर्ण वर्ग नहीं है।
(∵ जिस संख्या के अन्त (इकाई) में 0, 1, 4,5,6, 9 होता है, वह संख्या पूर्ण वर्ग होती (हो सकती) है ।

(ii) 23453 – इस संख्या में इकाई के स्थान पर 3 है, अत: यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं होगी ।

(iii) 7928 – इस संख्या में इकाई के स्थान पर 8 है, अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है ।।

(iv) 222222 – इस संख्या में इकाई के स्थान पर 2 है, अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है ।।

(v) 64000 – इस संख्या के अन्त में शून्यों की संख्या विषम (3) है विषम शून्यों वाली संख्या पूर्ण वर्ग संख्या नहीं होती है।

(vi) 89722 – इस संख्या में इकाई के स्थान पर 2 है। अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है ।।

(vii) 222000 – इस संख्या में शून्यों की संख्या विषम (3) है । अतः यह संख्या पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।

(viii)505050 – इस संख्या में इकाई स्थान पर शून्य है। अत: यह संख्या पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित संख्याओं में से किस संख्या का वर्ग विषम संख्या होगा?
(i) 431
(ii) 2826
(iii) 7779
(iv) 82004.
हल:
(i) 431 – संख्या 431 में इकाई के स्थान पर 1 है। और 1 विषम संख्या है। अतः इस संख्या का वर्ग भी एक विषम संख्या होगा ।
(ii) 2826 – इस संख्या 2826 में इकाई के स्थान पर 6 है। और 6 विषम संख्या है। अतः इस संख्या का वर्ग भी एक विषम संख्या होगा ।
(iii) 7779 – इस संख्या 7779 में इकाई के स्थान पर 9 है। और 9 विषम संख्या है। अतः इस संख्या का वर्ग भी एक विषम संख्या होगा ।
(iv) 82004 – इस संख्या 82004 में इकाई के स्थान पर 4 है। और 4 विषम संख्या है। अतः इस संख्या का वर्ग भी एक विषम संख्या होगा ।

प्रश्न 4.
निम्न. प्रतिरूप का अवलोकन कीजिए और रिक्त स्थान भरिए
11² = 121
101² = 10201
1001² = 1002001
100001² = 1………….. 2 …………….. 1
10000001² = ………………..
हल:
11² = 121
101² = 10201
1001² = 1002001
100001² = 10000200001
10000001² = 100000020000001
[नियम : जिस संख्या का वर्ग करते हैं, उस संख्या में 1 और 1 के बीच जितने शून्य होते हैं, तो वर्ग करने में 1, 2, 1 के बीच में उतने ही शून्य लगाये जाते हैं ।]

प्रश्न 5.
निम्नांकित प्रतिरूप का अवलोकन कीजिए और रिक्त स्थानों को भरिए
11² = 121
101² = 10201
10101² = 102030201
1010101² = ……………..
……………..² = 10203040504030201
हल:
11² = 121
101² = 10201
10101² = 102030201
1010101² = 1020304030201
101010101² = 10203040504030201

प्रश्न 6.
दिये गये प्रतिरूप का उपयोग करते हुए लुप्त संख्याओं को ज्ञात कीजिए।
1² + 2² + 2² = 3²
2² + 3² + 6² = 7²
3² + 4² + 12² = 13²
4² + 5² + _² = 21²
5² + (_)² + 30² = 31²
6² + 7² + (_)² = (_)²
हल :
इस प्रतिरूप में हम देखते हैं कि पहली संख्या तथा दूसरी संख्या का गुणा ही तीसरी संख्या है और तीसरी संख्या जो है उसके बाद जो संख्या होती है, वही चौथी संख्या है। अत: इसके द्वारा प्रारूप (प्रतिरूप) को पूरा कर सकते हैं।

(i) (4)² + (5)² + ( )² = (21)²
पहली तथा दूसरी संख्या का गुणनफल (4 × 5) = 20 तथा बीस के बाद 21 आ रहा है ।
अत: 4² + 5² + 20² = 21²

(ii) 5² + k² + 30² = 31²
∵5 × (k) = 30
∴ k = \(\frac{30}{5}\) = 6
अत: 5² + 6² + 30² = 31²

(iii) 6² + 7² + 42² = m²
6 और 7 का गुणा = 42 तथा 42 के बाद वाली संख्या = 43
अत: 6² + 7² + 42² = 43²

प्रश्न 7.
योग संक्रिया किये बिना योगफल ज्ञात कीजिए।
(i) 1 + 3 + 5 + 7 + 9
(ii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19
(iii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23.
नियम : प्रथम ॥ विषम संख्याओं का योगफल = n²
हल :
(i) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5² = 25.

(ii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 10² = 100.

(iii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 = 12² = 144.

प्रश्न 8.
(i) 49 को 7 विषम संख्याओं के योग के रूप में लिखिए।
(ii) 121 को 11 विषम संख्याओं के योग के रूप में लिखिए ।
हल :
(i) 49
(a) 49 – 1 = 48
(b)48 – 3 = 45
(c) 45 – 5= 40
(d) 40 – 7 = 33
(e) 33 – 9 = 24
(f) 24 – 11 = 13
(g) 13 – 13 = 0
अतः 49 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13

(ii) 121
(a) 121 – 1 = 120
(b) 120 – 3 =117
(c) 117 – 5 = 112
(d) 112 – 7 = 105
(e) 105 – 9 = 96
(f)96 – 11=85
(g) 85 – 13=72
(h) 72 – 15=57
(I) 57 – 17 =40
(j) 40 – 19=21
(k) 21 – 21 =0
अत: 121 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19+ 21

प्रश्न 9.
निम्नलिखित संख्याओं के वर्ग के बीच में कितनी संख्याएँ हैं?
(i) 12 और 13
(ii) 25 और 26
(iii) 99 और 100
हल :
(i) 12 और 13
12² and 13² के बीच में 2 × 12 = 24 संख्याएँ हैं, जो इन वर्ग संख्याओं के अन्तर से 1 कम है।
∵ (13)² – (12)² = 169 – 144 = 25

(ii) 25 और 26
25² and 26² के बीच में 2 × 25 = 50 संख्याएँ हैं। जो इन वर्ग संख्याओं के अन्तर से 1 कम है।
∵ (26)² – (25)² = 676 – 625 = 51

(iii) 99 और 100
99² and 100² के बीच में 99 × 2 = 198 संख्याएँ हैं। जो इन वर्ग संख्याओं के अन्तर से 1 कम है।
∵ (100)² – (99)² = 10000 – 9801 = 199

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल Ex 6.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल Ex 6.3

Question 1.
निम्नलिखित संख्याओं के वर्गमूल ज्ञात करने में .इकाई अंक की क्या संभावना है-
(i) 9801
(ii) 99856
(iii) 998001
(iv) 657666025
हल:
(i) 9801 – चूंकि 9801 में इकाई का अंक 1 है, अत: इसके वर्गमूल का इकाई अंक 1 या 9 हो सकता है।

(ii) 99856 – चूंकि इस संख्या में इकाई का अंक 6 है, अत: इसके वर्गमूल का इकाई अंक 4 . या 6 हो सकता है।

(iii) 998001 – चूंकि इसमें इकाई का अंक 1 है, अत: इसके वर्गमूल का इकाई अंक 1 या 9 हो सकता है।

(iv) 657666025 – चूँकि इस संख्या का इकाई का अंक 5 है, अत: इसके वर्गमूल का इकाई का अंक भी 5 होगा ।

प्रश्न 2.
बिना गणना किये वह संख्या बताएं जो वास्तव में पूर्ण वर्ग नहीं है –
(i) 153 (ii) 257 (iii) 408 (iv) 441
हल :
नियम: जिन संख्याओं में इकाई के अंक 2,3,7 या 8 होते हैं, वे संख्याएँ कभी पूर्ण वर्ग संख्या नहीं होती हैं ।
(i) 153 – चूँकि इस संख्या में इकाई का अंक 3 है ।
अतः 153 पूर्ण वर्ग नहीं है ।

(ii) 257 – चूँकि इस संख्या में इकाई का अंक 7 है।
अत: 257 पूर्ण वर्ग नहीं है ।

(iii) 408 – चूँकि इस संख्या में इकाई का अंक 8 है।
अत: 408 पूर्ण वर्ग नहीं है।

(iv) 441 – चूँकि इस संख्या में इकाई का अंक 1 है ।
अत: 441 पूर्ण वर्ग हो सकती है ।

प्रश्न 3.
बार-बार घटाने की विधि से 100 तथा 169 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।
हल:
(a) 100 – 1 = 99
(b) 99 – 3 = 96
(c) 96 – 5 = 91
(d) 91 – 7 = 84
(e) 84 – 9 = 75
(f) 75 – 11 = 64
(g) 64 – 13 = 51
(h) 51 – 15 = 36
(i) 36 – 17 = 19
(j) 19 – 19 = 0
चूँकि संख्या 1 से क्रमागत विषम संख्याओं को 100 में से घटाने पर 10 वाँ पद (0) शून्य प्राप्त होता है ।
अत: \(\sqrt {100}\) = 10

(ii) 169
(a) 169 – 1 = 168
(b) 168 – 3 = 165
(c) 165 – 5 = 160
(d) 160 – 7 = 153
(e) 153 – 9= 144
(f) 144 – 11 = 133
(g) 133 – 13 = 120
(h) 120 – 15 = 105
(i) 105 – 17= 88
(j) 88 – 19 = 69
(k) 69 – 21 = 48
(l) 48 – 23 = 25
(m) 25 – 25 = 0
चूँकि संख्या 1 से क्रमागत विषम संख्याओं को 169 में से घटाने पर 13 वाँ पद 0 शून्य प्राप्त होता है ।
अत: \(\sqrt {169}\) = 13

प्रश्न 4.
अभाज्य गुणनखण्ड विधि से निम्नांकित संख्याओं का वर्गमूल ज्ञात कीजिए –
(i) 729
(ii) 400
(ii) 1764
(iv) 4096
(v) 7744
(vi) 9604
(vii) 5929
(viii) 9216
(ix) 529
(x) 8100
हल:
(i) 729
729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
= 3² × 3² × 3²
= (3 × 3 × 3)²
= (27)²
अत: \(\sqrt {729}\) = 27

(ii) 400
400 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5
= 2² × 2² × 5²
= (2 × 2 × 5)²
= (20)²
अत: \(\sqrt {200}\) = 20

(iii) 1764
1764 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 7
= 2² × 3² × 7²
= (2 × 3 × 7)²
= (42)²
अत: \(\sqrt {1764}\) = 42

(iv) 4096
4096 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 2² × 2² × 2² × 2² × 2² × 2²
= (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2)²
= (64)²
अत: \(\sqrt {4096}\) = 64

प्रश्न 5.
निम्नलिखित संख्याओं में प्रत्येक के लिए वह सबसे छोटी पूर्ण संख्या ज्ञात कीजिए, जिससे इस संख्या को गुणा करने पर यह एक पूर्ण वर्ग संख्या बन जाये । इस पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल ज्ञात कीजिए
(i) 252
(ii) 180
(iii) 1008
(iv) 2028
(v) 1458
(vi) 768
हल :
(i) 252
252 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × 7

अभाज्य गुणनखण्ड के अनुसार 7 का जोड़ा नहीं है।
अत: यदि 7 का एक जोड़ा बनाते हैं तब संख्या 252 पूर्ण वर्ग हो जायेगी ।
अत: 252 में 7 का गुणा करने पर-
252 × 7 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × \(\underline{7 \times 7}\)
= 1764 एक पूर्ण वर्ग संख्या है।
अत: सबसे छोटी वांछित संख्या = 7
और \(\sqrt {1764}\) = 2 × 3 × 7
= 42.

(ii) 180
180 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × 5

अभाज्य गुणनखण्ड के अनुसार 5 का जोड़ा नहीं है।
अत: 180 में 5 का गुणा करने पर-
180 × 5 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × \(\underline{5 \times 5}\)
= 900 (पूर्ण वर्ग संख्या )
अत: सबसे छोटी वांछित संख्या = 5
और \(\sqrt {900}\) = 2 × 3 × 5
= 30.

(iii) 1008
1008 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × 7.

अभाज्य गुणनखण्ड के अनुसार 7 का जोड़ा नहीं है।
अत: 1008 में 7 का गुणा करने पर-
1008 × 7 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × \(\underline{7 \times 7}\)
= 7056 (पूर्ण वर्ग संख्या)
अत: सबसे छोटी वांछित संख्या = 7
तथा \(\sqrt {7056}\) = 2 × 2 × 3 × 7 = 84.

(iv) 2028
2028 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{13 \times 13}\) × 3

अभाज्य गुणनखण्ड के अनुसार 3 का जोड़ा नहीं है।
अत: 2028 में 3 का गुणा करने पर-
2028 × 3 =\(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × \(\underline{13 \times 13}\) (पूर्ण वर्ग संख्या)
= 6084
अत: सबसे छोटी वांछित संख्या = 3
और ∴ \(\sqrt {6084}\) = 2 × 3 × 13 = 78

(v) 1458
1458 = \(\underline{3 \times 3}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × 2

अभाज्य गुणनखण्ड के अनुसार 2 का जोड़ा नहीं है।
अत: 1458 में 3 का गुणा करने पर-
1458 × 2 = \(\underline{3 \times 3}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × \(\underline{2 \times 2}\) (पूर्ण वर्ग संख्या)
अत: सबसे छोटी वांछित संख्या = 2
अत: \(\sqrt {2916}\) = 2 × 3 × 3 × 3 = 54

(vi) 768
768 = 2 × 2 × 2 × 2 ×2 × 2 × 2 × 2 × 3

अभाज्य गुणनखण्ड के अनुसार 3 का जोड़ा नहीं है।
अत: 768 में 3 का गुणा करने पर-
768 × 3 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\)
अत: सबसे छोटी वांछित संख्या = 3
\(\sqrt {2304}\) = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 48.

प्रश्न 6.
निम्नलिखित संख्याओं में प्रत्येक के लिए वह सबसे छोटी पूर्ण संख्या ज्ञात कीजिए जिससे इस संख्या को भाग देने पर वह एक पूर्ण वर्ग संख्या बन जाए। इस तरह ज्ञात की गई संख्या का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए।
(i) 252
(ii) 2925
(iii) 396
(iv) 2645
(v) 2800
(vi) 1620
हल:
(i) 252
252 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × 7

अभाज्य गुणनखण्ड के अनुसार 7 का जोड़ा नहीं है।
इसलिए, 252 में 7 का भाग दिया जाय, तो
252 ÷ 7 = 36
= \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\)
अत: सबसे छोटी वांछित संख्या = 7
और \(\sqrt {36}\) = 6

(ii) 2925
2925 = \(\underline{5 \times 5}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × 13

अभाज्य गुणनखण्ड के अनुसार 13 का जोड़ा नहीं है।
इसलिए, 2925 में 13 का भाग दिया जाय, तो
2925 ÷ 13 = 225
= \(\underline{5 \times 5}\) × \(\underline{3 \times 3}\)
अत: सबसे छोटी वांछित संख्या = 13 और
\(\sqrt {225}\) = 15

(iii) 396
396 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × 11

अभाज्य गुणनखण्ड के अनुसार 11 का जोड़ा नहीं है।
अत: 396 में 11 का भाग देने पर-
396 ÷ 11 = 36 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\)
अत: सबसे छोटी वांछित संख्या = 11
और \(\sqrt {36}\) = 2 × 3 = 6

(iv) 2645
2645 = \(\underline{23 \times 23}\) × 5

अभाज्य गुणनखण्ड के अनुसार 5 का जोड़ा नहीं है।
अत: 2645 में 5 का भाग देने पर-
2645 ÷ 5 = 529 = 23 × 23
अत: सबसे छोटी संख्या = 5
और \(\sqrt {529}\) = 23.

(iv) 2800
2800 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{5 \times 5}\) × 7

अभाज्य गुणनखण्ड के अनुसार 7 का जोड़ा नहीं है।
अत: 2800 में 7 का भाग देने पर-
2800 ÷ 7 = 400 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{5 \times 5}\)
अत: सबसे छोटी संख्या = 7
और \(\sqrt {400}\) = 2 × 2 × 5 = 20

(iv) 1620
1620 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × 5

अभाज्य गुणनखण्ड के अनुसार 5 का जोड़ा नहीं है।
अत: 1620 में 5 का भाग देने पर-
1620 ÷ 5 = 324 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × \(\underline{3 \times 3}\)
अत: सबसे छोटी संख्या = 5
और \(\sqrt {324}\) = 2 × 2 × 3
\(\sqrt {324}\) = 18

प्रश्न 7.
एक राष्ट्रीय विद्यालय में कक्षा VIII के सभी विद्यार्थियों ने प्रधानमंत्री राहत कोष में 2401 रुपए दान में दिए। प्रत्येक विद्यार्थी ने उतने ही रुपए दान में दिए जितने कक्षा में विद्यार्थी थे। कक्षा के विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना, विद्यार्थियों में कुल संख्या = x
प्रत्येक विद्यार्थी ने दान में दिए = ₹ x

अतः x × x = 2401 (∵ कुल दान में रु. दिये)
x² = 2401
x = \(\sqrt{2401}\)
= \(\sqrt{7 \times 7 \times 7 \times 7}\)
x = 7 × 7 = 46
अत: कक्षा में कुल विद्यार्थियों की संख्या = 49

प्रश्न 8.
एक बाग में 2025 पौधे इस प्रकार लगाये जाने हैं कि प्रत्येक पंक्ति में उतने ही पौधे हों, जितनी पंक्तियों की संख्या हो । पंक्तियों की संख्या और प्रत्येक पंक्ति में पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना, पंक्तियों की संख्या = x
तथा प्रत्येक पंक्ति में पौधों की संख्या =x

∴ कुल पौधों की संख्या= x × x = 2025
∴ x² = 2025
x = \(\sqrt{2025}\) = \(\sqrt{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5}\)
∴ x = 5 × 3 × 3 = 45
अतः पंक्तियों की संख्या = 45 तथा
प्रत्येक पंक्ति में पौधे की संख्या = 45

प्रश्न 9.
वह सबसे छोटी वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए जो 4, 9 और 10 प्रत्येक से विभाजित हो जाए।
हल:
4,9 व 10 का ल. स. प.
= 2 × 2 × 3 × 3 × 5
= 180

180 का अभाज्य गुणनखण्ड = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × 5
इस गुणनखण्ड में 5 का जोड़ा नहीं है।
∴ 180 पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।
अतः 180 को पूर्ण वर्ग संख्या बनाने के लिए 5 का गुणा किया जाये, जिससे 180 के गुणनखण्ड में 5 का जोड़ा बन जायेगा ।
∴ 180 × 5 = 900 (यह पूर्ण वर्ग संख्या है)
= \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × \(\underline{5 \times 5}\)
अत: अभीष्ट सबसे छोटी वर्ग सख्या = 900

प्रश्न 10.
वह सबसे छोटी वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए, जो प्रत्येक 8, 15 और 20 से विभाजित हो जाये।
हल :
8, 15 व 20 का ल. स. प.
= 2 × 2 × 2 × 3 × 5
= 120

अत: इनके जोड़ा बनाने के लिए 120 में 2,3 व 5 का गुणा करना पड़ेगा।
अत: संख्या = 120 × 2 × 3 × 5
= 3600 ⇒ \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × \(\underline{5 \times 5}\)
अत: पूर्ण वर्ग संख्या = 3600
जो कि, क्रमशः प्रत्येक 8, 15, 20 से पूर्णतः विभाजित भी होगी ।
अभीष्ट सबसे छोटी वर्ग संख्या = 3600

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल Ex 6.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल Ex 6.2

नोट: संख्याओं का वर्ग ज्ञात करने के लिए मुख्य संख्या को उचित रूप से दो संख्याओं में इस प्रकार विभाजित करेंगे कि उनका योग मुख्य संख्या हो, तब निम्नांकित प्रकार से उसको हल करेंगे। जैसे संख्या का वर्ग ज्ञात करना है,
तो
x² = (a + b)²
= (a + b)(a + b)
x² = a(a + b) + b(a + b)

प्रश्न 1.
निम्न संख्याओं का वर्ग ज्ञात कीजिए-
(i) 32
(ii) 35
(iii) 86
(iv) 93
(v) 71
(vi) 46.
हल:
(i) 32
32² = (30 + 2)²
= (30 + 2) (30 + 2)
= 30(30 + 2) + 2(30 + 2)
= 30 × 30 + 30 × 2 + 2 × 30 + 2 × 2
= 900 + 60 + 60 + 4 = 1024.
अतः 32² = 1024.

(ii) 35
35² = (30 + 5)²
= 30(30 + 5) + 5(30 + 5)
= 30 × 30 + 30 × 5 + 5 × 30 + 5 × 5
= 900 + 150 + 150 + 25 = 1225
अतः 35² = 1225.

(iii) 86
86² = (80 + 6)²
= 80(80 + 6) + 6(80 + 6)
= 80 × 80 + 80 × 6 + 6 × 80 + 6 × 6
= 6400 + 480 + 480 + 36 = 7396
अतः 86² = 1225.

(iv) 93
93² = (90 + 3)²
= (90 + 3) (90 + 3)
= 90 × 90 + 90 × 3 + 3 × 90 + 3 × 3
= 8100 + 270 + 270 + 9
= 8649
अतः 93² = 8649.

(v) 71
71² = (70 + 1)²
= 70(70 + 1) + 1(70 + 1)
= 70 × 70 + 2 × 70 × 1 + 1 × 1
= 4900 + 140 + 1 = 5041
अतः 71² = 5041.

(vi) 46
46² = (40 + 6)²
= 40(40 + 6) + 6(40 + 6)
= 40 × 40 + 40 × 6 + 6 × 40 + 6 × 6
= 1600 + 240 + 240 + 36
= 2116
अतः 46² = 2116.

प्रश्न 2.
पाइथागोरस त्रिक लिखिए जिसका एक सदस्य है-
(i) 6
(ii) 14
(iii) 16
(iv) 18.
हल:
(i) 6
m² – 1 = 6
m² = 6 + 1 = 7
m² = 7
अतः m का मान पूर्णांक नहीं होगा ।
m² + 1 = 6
m² = 6 – 1 = 5
m² = 5
अतः m का मान पूर्णांक नहीं होगा ।
इसलिए,
2m = 6
∴ m = 3
फिर, m² – 1 = 3² – 1 = 9 – 1 = 8
तथा, m² + 1 = 3² + 1 = 9 + 1 = 10
अतः त्रिक् हैं – 6, 8, 10

(ii) 14
m² – 1 = 14
m² = 14 + 1 = 15
m² = 15
अतः m का मान पूर्णांक नहीं होगा ।
m² + 1 = 14
m² = 14 – 1 = 13
m² = 13
अतः m का मान पूर्णांक नहीं होगा ।
इसलिए,
2m = 14
∴ m = 7
फिर, m² – 1 = 7² – 1 = 49 – 1 = 48
तथा, m² + 1 = 7² + 1 = 49 + 1 = 50
अतः त्रिक् हैं – 14, 48, 50

(iii) 16
m² – 1 = 16
m² = 16 + 1 = 17
m² = 17
अतः m का मान पूर्णांक नहीं होगा ।
m² + 1 = 16
m² = 16 – 1 = 15
m² = 15
अतः m का मान पूर्णांक नहीं होगा ।
इसलिए,
2m = 16
∴ m = 8
फिर, m² – 1 = 8² – 1 = 64 – 1 = 63
तथा, m² + 1 = 8² + 1 = 64 + 1 = 65
अतः त्रिक् हैं – 16, 63, 65

(iv) 18
m² – 1 = 18
m² = 18 + 1 = 19
m² = 19
अतः m का मान पूर्णांक नहीं होगा ।
m² + 1 = 18
m² = 18 – 1 = 17
m² = 17
अतः m का मान पूर्णांक नहीं होगा ।
इसलिए,
2m = 18
∴ m = 9
फिर, m² – 1 = 9² – 1 = 81 – 1 = 80
तथा, m² + 1 = 9² + 1 = 81 + 1 = 82
अतः त्रिक् हैं – 18, 80, 82

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 3 चतुर्भुजों को समझना InText Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 3 चतुर्भुजों को समझना Intext Questions

प्रश्न 1.
निम्न आकृतियों का सुमेलन कीजिए

हल:
इनका सुमेलन निम्न प्रकार है-

उत्तर:
1. (c), 2. (d), 3. (b), 4. (a).

(इन्हें कीजिए। – पृष्ठ 44)

प्रश्न 1.
कोई एक चतुर्भुज, माना ABCD, लीजिए (आकृति के अनुसार)। एक विकर्ण खींचकर, इसे दो त्रिभुजों में बाँटिए। आप छः कोण 1,2,3,4,5 और 6 प्राप्त करते हैं। त्रिभुज के कोण-योग वाले गुणधर्म का उपयोग कीजिए और तर्क कीजिए कि कैसे ∠A, ∠B, ∠C तथा ∠D की मापों का योगफल 180° + 180° = 360° हो जाता है।

हल :
माना कि ABCD एक चतुर्भुज है, जिसका एक विकर्ण AC है।
अतः ∠1 + ∠4 = ∠A
तथा ∠2 + ∠5 = ∠C
हम जानते हैं कि किसी त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180* होता है। इस प्रकार
ΔABC में, ∠4 + ∠5 + ∠B = 180° ….(1)
तथा, ΔACD में, .
∠1 + ∠2 + ∠D = 180° …..(2)

अब समी. (1) और (2) को जोड़ने पर,
(∠4 + ∠5 + ∠B) + (∠1 + ∠2 + ∠D) = 180° + 180°
⇒ (∠1 + ∠4) + ∠B + (∠2 + ∠5) + ∠D = 360°
⇒ ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°
[∵ ∠1 + ∠4 = ∠A तथा ∠2 + ∠5 = ∠C]
अतः ∠A, ∠B, ∠C तथा ∠D कि मापों का योगफल 180° + 180° = 360° हो जाता है।

प्रश्न 2.
किसी चतुर्भुज ABCD की गत्ते वाली चार सर्वांगसम प्रतिलिपियाँ लीजिए, जिनके कोण आकृति (i) में दर्शाए गए हैं। इन प्रतिलिपियों को इस प्रकार से व्यवस्थित कीजिए, जिससे ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, एक ही बिन्दु पर मिलें जैसा कि आकृति (ii) में दर्शाया गया है।

आप ∠1, ∠2, ∠3 तथा ∠4 के योगफल के बारे में क्या कह सकते हैं?
हल :
चूंकि एक चतुर्भुज के चारों कोणों की मापों का योगफल 360 होता है, अत: चतुर्भुज ABCD में,
∠A + ∠B + ∠C+ ∠D = 360
∴ m∠1+ m∠2+ m∠3+ m∠4 = 360°

प्रश्न 3.
चतुर्भुज ABCD पर विचार कीजिए (आकृति के अनुसार)।माना इसके अभ्यंतर में कोई बिन्दु P स्थित है।
P को शीर्षों A, B, C तथा D से जोडिए।आकृति में, ΔPAB पर विचार कीजिए।हम देखते हैं कि x = 180° – m∠2 – m∠3; इसी प्रकार APBC, से y = 180° – m∠4 – m∠5, ΔPCD से z = 180° – m∠6 – m∠7 और ΔPDA, w = 180° – m∠8 – m∠1 इसका उपयोग करके कुल माप m∠1 + m∠2 + … + m∠8, ज्ञात कीजिए। क्या यह आप को परिणाम तक पहुंचाने में सहायता करता है? याद रखिए, ∠x + ∠y + ∠z + ∠w = 360° है।

हल :
हम जानते हैं कि किसी त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।
अतः x = 180° – ∠2 – ∠3 …..(1)
y = 180° – ∠4 – ∠5 …..(2)
z = 180° – ∠6 – ∠7 …..(3)
w = 180° – ∠8 – ∠1 …..(4)

(1), (2), (3) तथा (4) को जोड़ने पर,
x + y + z + w = 720° – (∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 + ∠7 + ∠8)
परन्तु x + y + z + w = 360°
∴ 360° = 720° – (∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 + ∠7 + ∠8)
⇒ ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 + ∠7 + ∠8
= 720° – 360° = 360°
इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि किसी चतुर्भुज के चारों कोणों का योग 360° होता है।

प्रश्न 4.
ये सभी चतुर्भुज उत्तल (Convex) चतुर्भुज थे। यदि चतुर्भज उत्तल नहीं होते तो क्या होता? चतुर्भुज ABCD पर विचार कीजिए। इसे दो त्रिभुजों में बाँटिए और अंतःकोणों का योगफल ज्ञात कीजिए। (आकृति देखें) ।

हल:
चतुभुज ABCD में BD को मिलाया, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। कोणों को चिह्नित कर नाम दिया।

चूँकि त्रिभुज के तीनों कोणों के योग 180° होता है, अतः
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 + ∠7 + ∠8 = 180° + 180°
⇒ ∠1 + (∠2 + ∠6) + ∠5 + (∠3 + ∠4) = 360°
⇒ ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°
अतः अंतःकोणों का योग 360° है।

(प्रयास कीजिए – पृष्ठ 47)

प्रश्न 1.
एक सम षड्भुज लीजिए (आकृति के अनुसार)

(i) बाह्य कोणों x, y, z, p, q तथा r की मापों का योग क्या है?
(ii) क्या x = y = z = p = q = r है? क्यों?
(iii) प्रत्येक की माप क्या है?
(a) बाह्य कोण
(b) अन्तःकोण
(iv) इस क्रियाकलाप को निम्नलिखित के लिए दोहराएँ:
(a) एक सम अष्टभुज
(b) एक सम 20 भुज
हल:
(i) चूँकि समषड्भुज बाह्य कोण x तथा अन्त:कोण a रैखिक युग्म बनाता है और रैखिक युग्म के कोणों का योग 180° होता है।
∴ x + ∠a = 180°
इसी प्रकार, y + ∠a = 180°
z + ∠a = 180°
p + ∠a = 180°
q + ∠a= 180°
r + ∠a = 180°
दोनों पक्षों के कोणों को जोड़ने पर,
(∠x + ∠y + ∠z + ∠p + ∠q + ∠r) + (∠a + ∠a + ∠a + ∠a + ∠a + ∠a) = 180° × 6 = 1080°
⇒ (∠x + ∠y + ∠z + ∠p + ∠q + ∠r) + (6 – 2) × 180° = 1080°
⇒ (∠x + ∠y + ∠z + ∠p + ∠q + ∠r) + 720° = 1080°
⇒ ∠x + ∠y + ∠z + ∠p + ∠q + ∠r = 1080° – 720° = 360°
अतः बाह्य कोणों की मापों का योग 360° होता है।

(ii) हाँ, x = y = z = p = q = r; क्योंकि इनमें से प्रत्येक 180° – a के बराबर है।

(iii) (a) प्रत्येक बाह्य कोण = \(\frac{360°}{6}\) = 60°
(ii) प्रत्येक अन्तःकोण = \(\frac{(n-2) \times 180^{\circ}}{n}\),
जहाँ n = 6,
= \(\frac{(6-2) \times 180^{\circ}}{6}\) = \(\frac{4 \times 180^{\circ}}{6}\)
= 4 × 30° = 120°

(iv) (a) एक सम,अष्टभुज के सन्दर्भ में, n = 8 लेने पर
प्रत्येक अंत:कोण = \(\frac{(8-2) \times 180^{\circ}}{8}\) = \(\frac{6 × 180°}{8}\) = 135°
और प्रत्येक बाह्य कोण = 180° -135° = 450
(b) एक सम 20 भुज के सन्दर्भ में, n = 20 लेने पर
प्रत्येक अंत:कोण = \(\frac{(20-2) \times 180^{\circ}}{8}\)
= 18 × 9° = 162°

इन्हें कीजिए (पृष्ठ 49)

प्रश्न 1.
समान सर्वांगसम त्रिभुजों के कटे हुए भाग लीजिए जिनकी भुजाएँ 3 cm, 4 cm, 5 cm हैं। इन्हें व्यवस्थित कीजिए जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है।

आपको एक समलम्ब प्राप्त होता है। (निरीक्षण कीजिए) यहाँ पर कौन-सी भुजाएँ समान्तर हैं? क्या असमान्तर भुजाएँ बराबर माप की होनी चाहिए?
इन समान त्रिभुजों के समूह का उपयोग कर आप दो और समलम्ब प्राप्त कर सकते हैं। उनको ढूंढ़िए और अकी आकृतियों की चर्चा कीजिए।
हल:
दी गयी आकृति में भुजा AB || DC । दिए गये समलम्ब चतुर्भुज में असमान्तर भुजा AD = 4 cm तथा BC =3cm, अतः असमान्तर भुजाएँ बराबर नहीं है।
दिए गए समान त्रिभुजों के समूह से दो समलम्ब चतुर्भुज इस प्रकार प्राप्त हो सकते हैं-

इन्हें कीजिए (पृष्ठ 51)

प्रश्न 1.
दो अलग-अलग चौड़ाई वाली गत्ते की आयताकार पट्टियाँ लीजिए (आकृति के अनुसार)

एक गत्ते की पट्टी को समतल पर रखिए और इसके किनारों के अनुदिश रेखाएँ खींचिए।
अब दूसरी पट्टी को खींची गई रेखाओं के ऊपर तिरछी दिशा में रखिए और इसका उपयोग करते हुए दो और रेखाओं को खींचिए।
हल:

इन चार रेखाओं से बनी बंद आकृति चतुर्भुज है [आकृति (ii)]
यह समान्तर रेखाओं के दो युग्मों से मिलकर बनी है। यह एक समांतर चतुर्भुज है।
समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसकी सम्मुख भुजाएँ समांतर होती हैं।

प्रयास कीजिए। (पृष्ठ 52)

प्रश्न 1.
30° – 60° – 90° कोणों वाले दो समान सेट-स्क्वे यर लीजिए। अब इन्हें आपस में इस प्रकार मिलाकर रखिए जिससे एक समांतर चतुर्भुज बन जाए (आकृति के अनुसार)। क्या यह ऊपर बताए गए गुण की पुष्टि करने में आपकी सहायता करता है?

हल:
एक समान्तर चतुर्भुज ABCD लेते हैं।

समान्तर चतुर्भुज ABCD में एक विकर्ण AC खींचते हैं।
हम देखते हैं कि ∠1 = ∠2 और ∠3 = ∠4
क्योंकि त्रिभुज ABC और ADC में ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4 और AC उभयनिष्ठ है इसलिए, ASA सर्वांगसमता कसौटी
द्वारा –
∆ ABC ≃ ∆CDA
अत:
AB = DC और BC = AD

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए (पृष्ठ 54)

प्रश्न 1.
m∠R = m∠N = 70°, दर्शाने के उपरान्त क्या आप किसी अन्य विधि से m∠I और m∠G को ज्ञात कर सकते हैं?
Img 15
हल:
यह दिया गया है कि एक समान्तर चतुर्भुज RING में, m∠R = 70°
चूँकि RI ∥ GN और RG एक प्रतिच्छेदक है जो इनको क्रमशः R और G पर प्रतिच्छेदित करता है इसलिए
∠R + ∠G = 180° [अंतःसम्मुख कोण]
⇒ 70° + ∠G = 180°
⇒ ∠G = 180° – 70°
= 110°

अन्यविधि : RG|| IN तथा RI प्रतिच्छेदक है, जो क्रमश: R और I पर प्रतिच्छेदित करता है, इसलिए
∠R + ∠I = 180° [अन्तःसम्मुख कोण]
⇒ 70° + ∠I = 180°
⇒ ∠I = 180° – 70° = 110°
अतः ∠I = ∠G = 110°

इन्हें कीजिए (पृष्ठ 55)

प्रश्न 1.
समान्तर चतुर्भुज (मान लीजिए ABCD) का एक कटा हुआ भाग लीजिए (देखें आकृति)। माना इसके विकर्ण \(\overline{\mathrm{AC}}\) तथा \(\overline{\mathrm{DB}}\) एक-दूसरे को ‘O’ पर प्रतिच्छेद करते हैं। C को A पर रखकर एक तह (Fold) के द्वारा \(\overline{\mathrm{AC}}\) का ‘मध्य-बिन्दु ज्ञात कीजिए। क्या मध्य-बिन्दु O ही है? क्या यह दर्शाता है कि विकर्ण \(\overline{\mathrm{DB}}\), विकर्ण \(\overline{\mathrm{AC}}\) को बिन्दु ‘O’ पर समद्विभाजित करता है? अपने मित्रों के साथ इसकी चर्चा कीजिए। इस क्रियाकलाप को यह ज्ञात करने के लिए दोहराएँ कि \(\overline{\mathrm{DB}}\) का मध्य-बिन्दु कहाँ पर स्थित होगा?
हल:
C को A पर रखने पर हम पाते हैं कि \(\overline{\mathrm{AC}}\) का मध्य बिन्दु O है जो विकर्ण AC तथा BD का प्रतिच्छेदक बिन्दु है। अतः समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए (पृष्ठ 61)

प्रश्न 1.
एक राजमिस्त्री एक पत्थर की पट्टी बनाता है। वह उसे आयताकार बनाना चाहता है। कितने अलगअलंग तरीकों से उसे यह विश्वास हो सकता है कि यह आयताकार है?
हल :
राजमिस्त्री को निम्नलिखित अलग-अलग तरीकों से यह विश्वास हो सकता है कि उसने जो पत्थर की पट्टी बनाई है वह आयताकार है-
(i) यदि इसका प्रत्येक कोण 90° का हो।
(ii) यदि इसके विकर्ण बराबर हो।।
(iii) यदि इसकी सम्मुख भुजाएँ बराबर हों।

प्रश्न 2.
वर्ग को आयत के रूप में परिभाषित किया गया था जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। क्या हम इसे समचतुर्भुज के रूप में परिभाषित कर सकते हैं, जिसके कोण बराबर माप के हों? इस विचार को स्पष्ट कीजिए।
हल :
हम समचतुर्भुज के रूप में वर्ग को परिभाषित कर सकते हैं। एक समचतुर्भुज, जिसके कोण बराबर माप के हों, वर्ग है; क्योंकि कोण बराबर होते ही समचतुभुज का प्रत्येक कोण \(\frac{360°}{4}\) = 90° होगा। इस प्रकार सभी भुजाएँ बराबर लम्बाई की तथा सभी कोण 90 माप के हो जाते हैं। अतः यह एक वर्ग है।

प्रश्न 3.
क्या एक समलम्ब के सभी कोण बराबर माप के हो सकते हैं? क्या इसकी सभी भुजाएँबराबर हो सकती हैं? वर्णन कीजिए।
हल :
हाँ, जब समलम्ब के सभी कोण बराबर माप के हो जाते हैं, तब वह या तो आयत या वर्ग होता है। परन्तु जब समलम्ब की सभी भुजाएँ बराबर हो जाती हैं, तब वह या तो समचतुर्भुज होता है या वर्ग होता है।

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 5 आँकड़ो का प्रबंधन Ex 5.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 5 आँकड़ो का प्रबंधन Ex 5.3

प्रश्न 1.
इन प्रयोगों में आप जो परिणाम देख सकते हैं, उन्हें लिखिये
(a) पहिये को घुमाना,
(b) दो सिक्कों को एक साथ उछालना ।

हल :
(a) पहिये को घुमाने पर परिणाम है-
A,B,C,D

(b) दो सिक्कों को एक साथ उछालने पर परिणाम है
HT, HH, TH, TT.

(i) HT – पहले सिक्के पर Head तथा दूसरे सिक्के पर Tail.
(ii) HH – दोनों सिक्कों पर Head.
(iii) TH – पहले सिक्के पर Tail तथा दूसरे पर Head.
(iv) TT – दोनों सिक्कों पर Tail.

प्रश्न 2.
जब एक पासे को फेंका जाता है, तब निम्नलिखित घटना से प्राप्त होने वाले परिणामों को लिखिए-
(i) (a) एक अभाज्य संख्या,
(b) एक अभाज्य संख्या नहीं

(ii) (a) 5 से बड़ी एक संख्या
(b) 6 से बड़ी संख्या नहीं ।
हल:
(i) (a) अभाज्य संख्या प्राप्त करने की घटना के परिणाम – 2, 3, 5.
(b) एक अभाज्य संख्या नहीं के परिणाम – 1, 4, 6.
(ii) (a) 5 से बड़ी संख्या के परिणाम – 6
(b) 5 से बड़ी संख्या नहीं के परिणाम अर्थात् 6 से छोटी संख्या प्राप्त करने की घटना का परिणाम- 1, 2, 3, 4, 5.

प्रश्न 3.
ज्ञात कीजिए-
(a) [प्रश्न 1(a)] में सूचक के D पर रुकने की प्रायिकता ।

(b) अच्छी प्रकार से फेंटी हुई 52 तार्थों की एक गड्डी में से एक इक्का प्राप्त करने की प्रायिकता ।
(c) एक लाल सेब प्राप्त करने की प्रायिकता

हल :
(a) सूचक के D पर रुकने की प्रायिकता = \(\frac{1}{5}\)
(b) 1 इक्का प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{42}{52}\) = \(\frac{1}{13}\)
(:. गड्डी में 4 इक्के होते हैं)
(c) आकृति में, लाल सेब = 4
हरे सेब =3
कुल सेब = 7
1 लाल सेब प्राप्त करने की प्रायिकता = 4

प्रश्न 4.
10 पृथक् पर्चियों पर 1 से 10 तक संख्याएँ लिखी हुई हैं (1 पर्ची पर एक संख्या), उन्हें एक बॉक्स में रखकर अच्छी प्रकार से मिला दिया जाता है । बॉक्स के अन्दर से बिना देखे एक पर्ची निकाली जाती है । निम्नलिखित की प्रायिकता क्या है ?
(i) संख्या 6 प्राप्त करना ।
(ii) 6 से छोटी एक संख्या प्राप्त करना ।
(ii) 6 से बड़ी एक संख्या प्राप्त करना ।
(iv) 1 अंक की एक संख्या प्राप्त करना ।
हल :
(i) संख्या 6 प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{1}{10}\)
(ii) 6 से छोटी एक संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{5}{10}\) = \(\frac{1}{2}\)
(iii) 6 से बड़ी एक संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{4}{10}\) = \(\frac{2}{5}\)
(iv) 1 अंक की एक संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{9}{10}\)

प्रश्न 5.
यदि आपके पास 3 हरे त्रिज्यखण्ड, 1 नीला त्रिज्यखण्ड तथा 1 लाल त्रिज्यखण्ड वाला एक घूमने वाला पहिया है, तो एक हरा त्रिज्यखण्ड प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है? ऐसा त्रिज्यखण्ड प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है, जो नीला न हो ?
हल :

हरा त्रिज्यखण्ड प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{हरे रंगों की संख्या}{कुल रंगों की संख्या}\) = \(\frac{3}{5}\)
एक ऐसा त्रिज्यखंड प्राप्त करने की प्रायिकता, जो नीला नहीं है = \(\frac{4}{5}\)

प्रश्न 6. प्रश्न 2 में दी हुई घटनाओं की प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए।
हल :
(a) एक अभाज्य संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{3}{6}\) = \(\frac{1}{2}\)
(b) एक ऐसी संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता, जो अभाज्य नहीं हैं = \(\frac{3}{6}\) = \(\frac{1}{2}\)
(c) 5 से बड़ी संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{1}{6}\)
(d) 5 से बड़ी संख्या प्राप्त नहीं करने की प्रायिकता = \(\frac{4}{6}\) = \(\frac{5}{6}\)

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 4 प्रायोगिक ज्यामिती InText Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 4 प्रायोगिक ज्यामिती InText Questions

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए (पृष्ठ 64)

प्रश्न 1.
अरशद के पास एक चतुर्भुज ABCD की पाँच माप हैं। ये माप AB = 5 cm, ∠A = 50°, AC = 4 cm, BD = 5 cm और AD = 6 cm हैं। क्या वह इन मापों से एक अद्वितीय चतुर्भुज बना सकता है? अपने उत्तर के कारण दीजिए।
उत्तर:
दिए गए आँकड़ों से वह चतुर्भुज ABCD नहीं बमा सकता है, क्योंकि दिए गए प्रश्न में चतुर्भुज ABCD के बिन्दु C को निर्धारित करने के लिए कोई भी मान नहीं दिया गया है।

पृष्ठ 66

प्रश्न (i).
हमने देखा कि एक चतुर्भुज को पाँच मापों से एक अद्वितीय चतुर्भुज की रचना की जा सकती है। क्या आप सोचते हैं कि चतुर्भुज की किन्हीं पाँच मापों से ऐसी रचना की जा सकती है?
उत्तर:
एक चतुर्भुज के बनाने के लिए निम्नलिखित में से किन्हीं पाँच मापों का होना आवश्यक है-
(i) जब चार भुजाएँ और एक विकर्ण दिया हुआ हो।
(ii) जब दो विकर्ण और तीन भुजाएँ दी गई हो।
(iii) जब दो आसन्न भुजाएँ और तीन कोण दिए गए
(iv) जब तीन भुजाएँ और इनके बीच के दो कोण दिए गए हों।
(v) जब अन्य विशिष्ट गुण जात हों।

प्रश्न (ii).
क्या आप एक समान्तर चतुर्भुज BATS की रचना कर सकते हैं, जिसमें BA = 5 cm, AT = 6 cm और AS = 6.5 cm हों? क्यों?
उत्तर:
दिया है-
BA = 5 cm
AT = 6 cm
AS = 6.5 cm

हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं,
अत: चतुर्भुज BATS में,
BA = ST = 5 cm.
AT = BS = 6 cm.

रचना-
(i) सर्वप्रथम BA = 5 cm खींचा
(ii) बिन्दु B से 6 cm तथा बिन्दु A से 6.5 cm के चाप लगाये जो बिन्दु S पर काटते हैं।
(iii) बिन्दु से 5 cm तथा बिन्दु A से 6 cm के चाप लगाया, जो बिन्दु T पर काटते हैं।
(iv) B को S से तथा T को S और A से मिलाया। BATS अभीष्ट चतुर्भुज है।

प्रश्न (iii).
क्या आप एक समचतुर्भुज (Rhombus) ZEAL की रचना कर सकते हैं, जिसमें ZE = 3.5 cm, विकर्ण EL = 5cm है? क्यों?
उत्तर:
हम जानते हैं कि समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। अत: चतुर्भुज ZEAL में प्रत्येक भुजा = ZE = 3.5 cm तथा विकर्ण EL = 5 cm.
अत: चतुर्भुज ZEAL की रचना की जा सकती है।

प्रश्न (iv).
एक विद्यार्थी एक चतुर्भुज PLAY की रचना करने का प्रयास करता है, जिसमें PL = 3 cm, LA = 4 cm, AY = 4.5 cm, PY = 2 cm और LY = 6 cm, है, परन्तु वह इसकी रचना नहीं कर सका। कारण बताइए।
[संकेत-एक कच्ची आकृति की सहायता से चर्चा कीजिए।
उत्तर:
यहाँ दिए गए आँकड़ों द्वारा खींची गई रफ आकृति दी गई है। इसके अनुसार,

(iv) , अत: ∆PLY की रचना सम्भव नहीं है। अतः वह रचना नहीं कर पाया।

पृष्ठ 68

प्रश्न 1.
पाठ्यपुस्तक की पृष्ठ-संख्या 68 पर दिए गए उदाहरण-2 में क्या हम पहले AABD खींचकर उसके बाद चतुर्थ बिन्दु C को ज्ञात करके चतुर्भुज की रचना कर सकते हैं?
उत्तर:
हम जानते हैं कि त्रिभुज की रचना के लिए त्रिभुज की तीन मापों का होना आवश्यक है, लेकिन प्रश्न में AABD की दो माप AD और BD दी गयी हैं। अत: इस प्रकार चतुर्भुज की रचना नहीं की जा सकती है।

प्रश्न 2.
क्या आप एक चतुर्भुज PQRS की रचना कर सकते हैं, जिसमें PQ = 3 cm, RS = 3 cm, PS = 7.5 cm, PR = 8 cm और SQ = 4 cm हैं? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
उत्तर:
दिए गए आंकड़ों के आधार पर चतुर्भुज PQRS की रचना नहीं कर सकते, क्योंकि AQSP नहीं बना सकते, क्योंकि

पृष्ठ 69

प्रश्न 1.
यदि हमें M पर 75° माप के स्थान पर 100° की माप दी गई हो, तो क्या आप पाठ्य-पुस्तक की पृष्ठ संख्या 68 पर दिए गए उदाहरण 3 में बताए गए चतुर्भुज MIST की रचना कर सकते हैं?
उत्तर:
हाँ, M पर 75° की माप के स्थान पर 100° की माप लेकर चतुर्भुज MIST की रचना की जा सकती है।

प्रश्न 2.
क्या आप एक चतुर्भुज PLAN की रचना कर सकते हैं, यदि PL = 6 cm, ∠A = 9.5 cm, ∠P = 75°, ∠L = 150° और ∠A = 140° हैं?
उत्तर:
क्योंकि ∠P = 75°, ∠L = 150° और ∠A = 140°
∠P + ∠L + ∠A = 75° + 150° + 140° = 365°
हम जानते हैं कि चतुर्भुज के चारों कोणों का योग 360° होता है।
अत: चतुर्भुज PLAN की रचना सम्भव नहीं है।

प्रश्न 3.
एक समान्तर चतुर्भुज में दो आसन्न भुजाओं की लम्बाइयाँ दी हुई हैं। क्या हमें रचना करने के लिए अभी भी कोणों की मापों की आवश्यकता है जैसा कि पाठ्य-पुस्तक के उदाहरण-3(पृष्ठ 68) में दिया है?
उत्तर:
प्रश्न में दी गई मापों से समान्तर चतुर्भुज की रचना सम्भव नहीं है। एक अद्वितीय चतुर्भुज प्राप्त करने के लिए चतुर्भुज में पाँच मापों की आवश्यकता होती है, लेकिन इस प्रश्न के अनुसार एक समान्तर चतुर्भुज की केवल दो आसन्न भुजाओं की लम्बाइयाँ दी गई हैं, अत: इस समान्तर चतुर्भुज की रचना करने के लिए कोणों की मापों की आवश्यकता है।

पृष्ठ 71

प्रश्न 1.
पाठ्य-पुस्तक में पृष्ठ संख्या 70 पर दिए गए उदाहरण-4 में हमने सर्वप्रथम BC रेखा खींची। इसके स्थान पर दूसरे अन्य प्रारम्भ बिन्दु और कौन-से हो सकते
उत्तर:
BC खींचने के स्थान पर रेखा AB अथवा रेखा CD से चतुर्भुज की रचना आरम्भ की जा सकती है।

प्रश्न 2.
हमने अभी तक चतुर्भुजों की रचना के लिए कोई पाँच मापों का प्रयोग किया। क्या एक चतुर्भुज की रचना करने के लिए पाँच मापों के अलग-अलग समुच्चय (अभी तक देखी गईं मापों के अतिरिक्त) हो सकते हैं?
निम्नलिखित समस्याएँ प्रश्नों के उत्तर देने में आपकी सहायता कर सकती हैं
(i) चतुर्भुज ABCD जिसमें AB = 5 cm, BC = 5.5 cm, CD = 4 cm, AD = 6 cm और ∠B = 80° हैं।
(ii) चतुर्भुज PQRS, जिसमें PQ = 4.5 cm, ∠P = 70°, ∠Q = 100°, ∠R = 80° और ∠S = 110° हैं।
आप स्वयं कुछ और उदाहरणों की रचना कीजिए और एक चतुर्भुज की रचना के लिए आंकड़ों की पर्याप्तता/ अपर्याप्तता ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
(i) दिए गए आँकड़ों से चतुर्भुज की रचना हो सकती है।
(ii) दिए गए आँकड़ों से चतुर्भुज नहीं खींच सकते हैं।

प्रयास कीजिए। (पृष्ठ 72)

प्रश्न 1.
आप एक आयत PQRS की रचना कैसे करेंगे, यदि आप केवल PQ और QR की लम्बाई जानते हैं?
ज्ञात है:
आयत की भुजा PQ तथा QR की लम्बाई हम जानते हैं कि आयत की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं,
अत: PQ = SR तथा QR = PS तथा ∠P = ∠Q = ∠R = ∠S = 90°.

रचना-
(i) रेखा PQ खींचा।
(ii) बिन्दु P पर PS लम्बाई का तथा बिन्दु Q पर QR लम्बाई का लम्ब डाला।
(iii) S को P तथा R से तथा R को Q से मिलाया।
(iv) PORS अभीष्ट आयत है।

प्रश्न 2.
एक पतंग EASY की रचना कीजिए, यदि AY = 8 cm, EY = 4 cm और SY = 6 cm हैं (आकृति देखें)। रचना के दौरान आपने पतंग के कौन-से गुणों का प्रयोग किया है?

दिया है-
AY = 8 cm, EY = 4 cm तथा SY = 6 cm.
या AE = EY = 4 cm तथा AS = SY = 6 cm.

AO = OY ………..(i)
AY = AO + OY
⇒ AY= AO + AO […(i) से।]
⇒ AY = 2AO
⇒ 8 = 2AO
⇒ AO = = 4 cm
तथा OY = 4 cm

रचना-
(i) कोई भी उपयुक्त लम्बाई लेकर रेखा PQ खींची।
(ii) PQ पर कोई बिन्दु O लिया।
(iii) O से PQ पर OY = 4 cm तथा OA = 4 cm लम्बाई के लम्ब डाले।
(iv) बिन्दुYसे PQ पर EY = 4cm तथा SY = 6cm का चाप काटा।
(v) Y को E तथा 5 से तथा A को E तथा 5 से मिलाया।
(vi) EASY अभीष्ट पतंग है।

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 5 आँकड़ो का प्रबंधन Ex 5.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 5 आँकड़ो का प्रबंधन Ex 5.2

प्रश्न 1.
किसी शहर के युवा व्यक्तियों के एक समूह का यह जानने के लिए एक सर्वे किया गया कि वे किस प्रकार का संगीत पसन्द करते हैं । इनसे प्राप्त आंकड़ों को संलग्न पाई चार्ट में दर्शाया गया है । इस पाई चार्ट से अग्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए-

(i) यदि 20 व्यक्ति शास्त्रीय संगीत पसन्द करते हैं, तो कुल कितने युवा व्यक्तियों का सर्वे शास्त्रीय मनोरंजन किया गया था?
(ii) किस प्रकार का संगीत सबसे अधिक व्यक्तियों द्वारा लोक संगीत पसन्द किया जाता है?
(iii) यदि कोई कैसेट कम्पनी 1000 सी.डी. (C.D.) बनाये, तो वह प्रत्येक प्रकार की कितनी सी.डी. बनायेगी?
हल :
शास्त्रीय संगीत पसन्द करते हैं = 20 व्यक्ति,
परन्तु पाई चार्ट में दिया है कि संगीत पसन्दं करते हैं = 10%
माना x युवा व्यक्तियों का सर्वे किया है ।
तब, का 10% = 20
x × \(\frac { 10 }{ 100 }\) = 20
⇒ x = 20 × 100
⇒ \(\frac{20 \times 100}{10}\)
⇒ x = 200
अत: 200 व्यक्ति शास्त्रीय संगीत पसन्द करते हैं।

(ii) सबसे अधिक व्यक्तियों द्वारा मनोरंजन संगीत पसन्द किया जाता है। (40%)

(iii) (a) शास्त्रीय संगीत के लिए सी.डी. = \(\frac{10 \times 1000}{100}\) = 100

(b) लोक संगीत के लिए सी.डी. = \(\frac{30 \times 1000}{100}\) = 300

(c) मनोरंजक संगीत के लिए सी.डी. = \(\frac{40 \times 1000}{100}\) = 400

(d) उपशास्त्रीय संगीत के लिए सी.डी. = \(\frac{20 \times 1000}{100}\) = 200

प्रश्न 2.
360 व्यक्तियों के एक समूह से तीन ऋतुओं- वर्षा, सर्दी और गर्मी में से अपनी मनपसन्द ऋतु के लिए मतदान करने को कहा गया । इनसे प्राप्त आँकड़ों को संलग्न चित्र में दर्शाया गया है-

(i) किस ऋत को सबसे ऋतु अधिक मत मिले ?
(ii) प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का केन्द्रीय कोण ज्ञात कीजिए ।
(iii) इस सूचना को दर्शाने के लिए शीत एक पाई चार्ट खींचिए।
हल :
(i) शीत ऋतु को सबसे अधिक मत (150) मिले।

(iii) पाई चार्ट-

प्रश्न 3.
निम्नलिखित सूचना को दर्शाने वाला एक पाई चाट खींचिए। यह सारणी व्यक्तियों के एक समूह द्वारा पसन्द किये जाने वाले रंगों को दर्शाती है-

हल :
प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का केन्द्रीय कोण ज्ञात करने की सारणी –

पाई चार्ट-

प्रश्न 4.
संलग्न पाई चार्ट एक विद्यार्थी द्वारा किसी परीक्षा में हिन्दी, अंग्रेजी, गणित, सामाजिक विज्ञान और विज्ञान में प्राप्त किये गये अंकों को दर्शाता है । यदि उस विद्यार्थी द्वारा प्राप्त किए गएं कुल अंक 540 थे, तो निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए-

(i) किस विषय में उस विद्यार्थी ने 105 अंक प्राप्त किये?
(संकेत- 540 अंकों के लिए केन्द्रीय कोण 360° है।)
अत: 105 अंकों के लिए केन्द्रीय कोण क्या होगा?
(ii) उस विद्यार्थी ने गणित में हिन्दी से कितने अधिक 9 अंक प्राप्त किए ?
(iii) जाँच कीजिए कि क्या सामाजिक विज्ञान और गणित में प्राप्त किए गए अंकों का योग विज्ञान और हिन्दी में प्राप्त किये गये अंकों के योग से अधिक है।
(संकेत : केवल केन्द्रीय कोणों पर ध्यान दीजिए ।)
हल :

(i) विद्यार्थी ने हिन्दी विषय में 105 अंक प्राप्त किये ।
(ii) गणित में प्राप्तांक = 135
तथा हिन्दी में प्राप्तांक – 105
प्राप्तांकों में अन्तर = 135 – 105 = 30
गणित में हिन्दी से 30 अंक अधिक प्राप्त किये ।

(iii) सामाजिक विज्ञान तथा गणित में प्राप्तांकों का योग = 97.5 + 135 = 232.5 अंक
विज्ञान तथा हिन्दी में प्राप्तांकों का योग = 120 + 105 =225
अंक अत: सामाजिक विज्ञान तथा गणित में प्राप्त किए गए अंकों का योग हिन्दी और विज्ञान में प्राप्त किए गए अंकों के योग से अधिक है।

प्रश्न 5.
किसी छात्रावास में विभिन्न भाषाएँ बोलने वाले विद्यार्थियों की संख्या दी गई है । इन आंकड़ों को एक पाई चार्ट द्वारा प्रतिक

हल:
त्रिज्यखण्ड के केन्द्रीय कोण की सारणी-

पाई चार्ट-

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 5 आँकड़ो का प्रबंधन InText Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 5 आँकड़ो का प्रबंधन InText Questions

पृष्ठ 73-74

प्रश्न 1.
एक चित्रालेख (pictograph) –

(i)जुलाई के महीने में कितनी कारों का उत्पादन हुआ ?
(ii)किस महीने में कारों का अधिकतम उत्पादन हुआ?
हल :
(i) जुलाई में 250 कारों का उत्पादन हुआ।
(i) सितम्बर में कारों का अधिकतम उत्पादन 400 हुआ।

प्रश्न 2.
एक-दण्ड आलेख (bar graph) :

(i) इस दंड आलेख द्वारा क्या सूचना दी गई है?
(ii) किस वर्ष में विद्यार्थियों की संख्या में अधिकतम वृद्धि हुई?
(iii) किस वर्ष में विद्यार्थियों की संख्या अधिकतम है?
(iv) बताइए कि यह सत्य है या असत्य : “2005-2006 में विद्यार्थियों की संख्या 2003-04 की संख्या की दुगुनी है।”
हल :
(i) इस दण्ड आलेख में विभिन्न शैक्षिक वर्षों में कक्षा VIII के छात्रों की संख्या दी गई है।
(i)विद्यार्थियों की संख्या में अधिकतम वृद्धि वर्ष 2004-05 में हुई।
(iii)विद्यार्थियों की संख्या अधिकतम शैक्षिक वर्ष 2007-08 में है।
(iv) यह कथन असत्य है।

प्रश्न 3.
द्वि-दण्ड आलेख (double bar graph) : .

(i) इस द्वि-दण्ड आलेख द्वारा क्या सूचना दी गई है?
(ii) किस विषय में विद्यार्थी के प्रदर्शन में सबसे अधिक सुधार हुआ है?
(iii) किस विषय में प्रदर्शन में गिरावट आई है?
(vi) किस विषय में प्रदर्शन समान रहा है?
हल :
(i) वर्ष 2005-05 और 2006-07 में एक विद्यार्थी द्वारा विभिन्न विषयों में प्राप्तांकों की सूचना दण्ड आलेख में दी गई है।
(ii) विद्यार्थी के प्रदर्शन में अधिकतम सुधार गणित में हुआ है।
(iii) अंग्रेजी में प्रदर्शन में गिरावट हुई है।
(iv) हिन्दी में प्रदर्शन एक-सा रहा है।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए। (पृष्ठ 75)

प्रश्न 1.
यदि हम एक-दण्ड आलेख के दण्डों में से किसी एक की स्थिति बदल दें, तो क्या प्रदर्शित जानकारी में कोई बदलाव या परिवर्तन होगा? क्यों?
हल :
नहीं, सूचना में दण्डों की स्थिति बदलने से प्रदर्शित जानकारी में कोई परिवर्तन नहीं बनेगा।

प्रयास कीजिए (पृष्ठ 75)

दी हुई सूचना को निरूपित करने के लिए एक उपयुक्त आलेख खाचिए।

प्रश्न 1.

हल :
दिए गए आँकड़ों का दण्ड आलेख खींचने के लिए X-अक्ष पर महीने और Y-अक्ष पर बेची गई घड़ियों की संख्या को अंकित करेंगे। हमें 6 गणितीय आँकड़े दिए गए है, अत: हम क्षैतिज रेखा पर समान दूरी पर 6 बिन्दु लगाएँगे और इन बिन्दुओं पर समान मोटाई के आयत खींचेंगे।

प्रश्न 2.

हल :
दिए गए आँकड़ों को दण्ड आलेख द्वारा अंकित करने के लिए X-अक्ष पर पसन्द और Y-अक्ष पर बच्चों की संख्या दिखायेंगे। स्कूल A, B और C के पैदल व साइकिल से आनेवाले दोनों बिन्दुओं के आँकड़े दिए गए हैं। अत: क्षैतिज रेखा पर दो बिन्दु लेंगे तथा प्रत्येक बिन्दु पर समान चौड़ाई के तीन आयत खींचेंगे। इनकी ऊँचाई गणितीय आँकड़ों का संगत चित्रानुसार होगी।

प्रश्न 3.
8 सर्वश्रेष्ठ क्रिकेट टीमों द्वारा ODI में जीतने का प्रतिशत:

हल:
X-अक्ष पर टीम और Y-अक्ष पर उनकी जीत का प्रतिशत अंकित करते हैं। चैम्पियन ट्रॉफी से वर्ल्ड कप 2006 तक के प्रतिशत को बिन्दु अंकित रेखा से तथा 2007 में ODI के प्रतिशत को गहरी रेखा से दर्शाते हैं।

पृष्ठ 76

प्रश्न 1.
विद्यार्थियों के एक समूह से यह बताने को कहा गया है कि वे किस पशु को सबसे अधिक घर में पालना पसन्द करेंगे। इसके परिणाम नीचे दिए गए हैं:
कुत्ता, बिल्ली, बिल्ली, मछली, बिल्ली, खरगोश, कुत्ता, बिल्ली, खरगोश, कुत्ता, बिल्ली, कुत्ता, कुत्ता, कुत्ता, बिल्ली, गाय, मछली, खरगोश, कुत्ता, बिल्ली, कुत्ता, बिल्ली, बिल्ली, कुत्ता, खरगोश, बिल्ली, मछली, कुत्ता।

उपर्युक्त के लिए एक बारम्बारता बंटन सारणी बनाइए।
हल :
हम मिलान चिन्ह का प्रयोग करके आँकड़ों को बारम्बारता सारणी में रखेंगे

पृष्ठ 78

प्रश्न 1.
निम्नलिखित बारम्बारता बंटन सारणी का अध्ययन कीजिए और उसके नीचे दिए हुए प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

(i) वर्ग-अन्तरालों की माप क्या है?
(ii) किस वर्ग की सबसे अधिक बारम्बारता है?
(iii) किस वर्ग की सबसे कम बारम्बारता है?
(iv) वर्ग-अन्तराल 250-275 की उच्च सीमा क्या है?
(v) किन दो वर्गों की बारम्बारता एक ही है?
हल:
(i) वर्ग-अन्तरालों की माप 25 है।
(ii) वर्ग 200-225 की बारम्बारता सबसे अधिक है।
(iii) वर्ग 300-325 की सबसे कम बारम्बारता है।
(iv) वर्ग-अन्तराल 250-275 की उच्च सीमा 275 है।
(v) वर्ग 150-175 और 225-250 की बारम्बारता एक जैसी है।

प्रश्न 2.
अन्तरालों 30-35, 35-40 इत्यादि का प्रयोग करते हुए एक कक्षा के 20 विद्यार्थियों के भारों (kg में) के निम्नलिखित आँकड़ों के लिए एक बारम्बारता बंटन सारणी बनाइए:
40, 38, 33, 48, 60, 53, 31, 46, 34, 36, 49, 41, 55, 49, 65, 42, 44, 47, 38, 39
हल :
बारम्बारता बंटन निम्नांकित प्रकार से बनेगा :

पृष्ठ 79

प्रश्न 1.
इस आयत चित्र के दण्ड़ों से निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए।

(i) कितने अध्यापकों की आयु 45 वर्ष या उससे अधिक है परंतु 50 वर्ष से कम है?
(ii)35 वर्ष से कम आयु वाले अध्यापकों की संख्या कितनी है?
हल :
(i) 5 अध्यापक
(ii) 35 वर्ष से कम आयु वाले अध्यापकों की संख्या = 4 + 5 + 6 = 15

पृष्ठ 80

प्रश्न 1.
आयत चित्र को देखिए और अके नीचे दिए गए प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

(i) इस आयत चित्र के द्वारा क्या सूचना दी जा रही है?
(ii) किस वर्ग में अधिकतम लड़कियाँ हैं?
(iii) कितनी लड़कियों की लम्बाई 145 cm या उससे अधिक है?
(iv) यदि हम लड़कियों को निम्नलिखित तीन श्रेणियों में विभाजित करें, तो प्रत्येक श्रेणी में कितनी लड़कियाँ होंगी?
150 cm या उससे अधिक – समूह A
140 cm या उससे अधिक परन्तु 150 cm से कम – समूह B
140 cm से कम – समूह C
हल :
(i) इस आयत चित्र के द्वारा कक्षा VII की लड़कियों की ऊँचाई (cm) के बारे में सूचना है।
(ii) 140-145 वर्ग में लड़कियाँ अधिकतम हैं।
(iii) 145 cm या उससे अधिक लम्बाई सात लड़कियों की है।
(iv) 2 + 1 = 3 लड़कियाँ समूह A के हैं।
7+ 4 = 11 लड़कियों समूह B के हैं।
1 + 2 + 3 = 6 लड़कियाँ समूह C के हैं।

पृष्ठ 83

प्रश्न 1.
निम्नलिखित पाई चार्टी में से प्रत्येक (आकृति) आपकी कक्षा के बारे में एक भिन्न प्रकार की सूचना देता है। इनमें से प्रत्येक सूचना को निरूपित करने वाले वृत्त का भाग ज्ञात कीजिए।

हल :
(i) पाई-चार्ट से स्पष्ट है,
लडकियों की संख्या = \(\frac{50%}{100%}\) = \(\frac{\frac{50}{100}}{\frac{100}{100}}\)
= \(\frac{50}{100}\) = वृत्त का \(\frac{1}{2}\) भाग

लड़कों की संख्या = \(\frac{50%}{100%}\) = \(\frac{\frac{50}{100}}{\frac{100}{100}}\)
= \(\frac{50}{100}\) = वृत्त का \(\frac{1}{2}\) भाग

(ii) पाई-चार्ट से स्पष्ट है,
पैदल आनेवालों की संख्या = \(\frac{40%}{100%}\) = \(\frac{\frac{40}{100}}{\frac{100}{100}}\)
= \(\frac{40}{100}\) = वृत्त का \(\frac{2}{5}\) भाग

बस अथवा कार से आनेवालों की संख्या = \(\frac{40%}{100%}\) = \(\frac{\frac{40}{100}}{\frac{100}{100}}\)
= \(\frac{40}{100}\) = वृत्त का \(\frac{2}{5}\) भाग

साइकिल से आने वालों की संख्या = \(\frac{20%}{100%}\) = \(\frac{\frac{20}{100}}{\frac{100}{100}}\)
= \(\frac{20}{100}\) = वृत्त का \(\frac{1}{5}\) भाग

(iii) पाई-चार्ट से स्पष्ट है,
गणित पसन्द करने वाले विद्यार्थी = \(\frac{(100-15)%}{100%}\) = \(\frac{\frac{85}{100}}{\frac{100}{100}}\)
= \(\frac{85}{100}\) = वृत्त का \(\frac{17}{20}\) भाग

गणित नापसन्द करने वाले विद्यार्थी = \(\frac{15%}{100%}\) = \(\frac{\frac{15}{100}}{\frac{100}{100}}\)
= \(\frac{15}{100}\) = वृत्त का \(\frac{3}{20}\) भाग

प्रश्न 2.
दिए हुए पाई चार्ट के आधार पर निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

(i)किस प्रकार के कार्यक्रम सबसे अधिक देखे जाते हैं?
(ii) किन दो प्रकार के कार्यक्रमों को देखनेवालों की कुल संख्या खेलों के कार्यक्रमों को देखनेवालों की संख्या के बराबर है?
टी.वी. पर विभिन्न प्रकार के चैनलों को देखनेवालों की संख्या
हल :
उपर्युक्त पाई चार्ट से स्पष्ट है-
(i) मनोरंजन के कार्यक्रम सबसे अधिक देखे जाते हैं।
(ii)समाचार और ज्ञानप्रद कार्यक्रमों को देखनेवालों की कुल संख्या खेलों के कार्यक्रमों को देखनेवालों की संख्या के बराबर है।

पृष्ठ 85

प्रश्न 1.
नीचे दिए गए आंकड़ों के लिए एक पाई चार्ट खींचिए :
एक बच्चे द्वारा एक दिन में व्यतीत किया गया समय निम्नांकित प्रकार है:
सोना – 8 घण्टे
स्कूल – 6 घण्टे
गृहकार्य – 4 घण्टे
खेल – 4 घण्टे
अन्य – 2 घण्टे
हल :
इन आँकड़ों को पाई चार्ट में दर्शाते हैं। केन्द्र पर कुल कोण 360° के तथा त्रिज्यखण्ड कोण 360° के भाग होंगे।

हम नीचे दर्शाए अनुसार पाई चार्ट बनाएँगे :

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए (पृष्ठ 86)

निम्नलिखित आँकड़ों को दर्शाने के लिए किस प्रकार का आलेख उपयुक्त रहेगा ?

प्रश्न 1.
किसी राज्य के खाद्यान्न का ज्पादन :

हल :
दण्ड आलेख।

प्रश्न 2.
व्यक्तियों के एक समूह के भोजन की पसन्द :

हल :
वृत्त आलेख या पाई चार्ट।

प्रश्न 3.
किसी फैक्ट्री के श्रमिकों के एक समूह की दैनिक आय:

हल :
आयत चित्र।

प्रयास कीजिए (पृष्ठ 88-89)
प्रश्न 1.
यदि आप एक स्कूटर चलाना प्रारम्भ करें, तो सम्भव परिणाम क्या हैं?
हल :
स्कूटर चलाने के सम्भावित परिणाम होंगे
(i) स्कूटर चलेगा
(ii) स्कूटर नहीं चलेगा।

प्रश्न 2.
जब एक पासे (dice) को फेंका जाता है, तो सम्भव छः परिणाम क्या है?
हल :
एक पासे को फेंकने पर सम्भावित परिणाम पासे पर अंकित 1,2,3,4,5,6 में से कोई एक होगा।

प्रश्न 3.
जब आप पहिए को घुमाएंगे,तो सम्भावित परिणाम क्या होंगे (आकृति) ? इनकी सूची बनाइए।
[यहाँ परिणाम का अर्थ है कि वह त्रिज्यखण्ड, जहाँ पर सूचक (Pointer) घुमाने पर रुकेगा।]

हल :
पहिए को घुमाने के सम्भावित परिणाम होंगे-
(i) पहिया Aत्रिज्यखण्ड पर रुक सकता है।
(ii) पहिया B त्रिज्यखण्ड पर रुक सकता है।
(iii) पहिया C त्रिज्यखण्ड पर रुक सकता है।

प्रश्न 4.
आपके पास एक थैला है और उसमें भिन्न-भिन्न रंगों की पांच एक जैसी गेंदें हैं (आकृति) आप बिना देखे इसमें से एक गेंद निकालते हैं। प्राप्त होने वाले परिणामों को लिखिए।

हल :
एक थैला, जिसमें W, R, B,Gऔर Y गेंदें हैं। उनमें से निकलने वाली गेंद W, R, B,G और Y में से कोई एक होगी।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए (पृष्ठ 89)

प्रश्न 1.
एक पासे को फेंकने पर :

• क्या पहले खिलाड़ी के 6 प्राप्त करने का संयोग अधिक है?
• क्या उसके बाद खेलने वाले खिलाड़ी के 6 प्राप्त करने का संयोग कम है?
• मान लीजिए कि दूसरा खिलाड़ी 6 प्राप्त कर लेता है। क्या इसका अर्थ यह है कि तीसरे खिलाड़ी द्वारा 6 प्राप्त करने का कोई संयोग नहीं है?

हल :
जब हम पासे को अनेकों बार फेंकते हैं, तो प्रत्येक बार 1 अथवा 2 अथवा 3 अथवा 4 अथवा 5 अथवा 6 में से 6 प्राप्त करने की सम्भावना समान अर्थात् 1/6 रहती है। इसलिए प्रत्येक खिलाड़ियों की दशा में 6 प्राप्त करने का संयोग समान है।

प्रयास कीजिए (पृष्ठ 91)

प्रश्न 1.
मान लीजिए कि आप पहिए को घुमाते हैं-

(i) इस पहिए पर एक हरा त्रिज्यखण्ड प्राप्त करने के परिणामों की संख्या और हरा त्रिज्यखण्ड प्राप्त न होने के परिणामों की संख्या लिखिए।
(ii) एक हरा त्रिज्यखण्ड प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(iii) एक हरा त्रिज्यखण्ड प्राप्त नहीं होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
(i) दिए गए पहिए में एक हरा त्रिज्यखण्ड प्राप्त करने के परिणामों की संख्या = 5
और एक हरा त्रिज्यखण्ड प्राप्त नहीं करने के परिणामों की संख्या = 3
(ii) एक हरा त्रिज्यखण्ड प्राप्त करने की प्रायिकता = = \(\frac{5}{8}\)
(iii) एक हरा त्रिज्यखण्ड प्राप्त नहीं होने की प्रायिकता = 1 – \(\frac{5}{8}\) = \(\frac{3}{8}\)

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 3 चतुर्भुजों को समझना Ex 3.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 3 चतुर्भुजों को समझना Ex 3.4

प्रश्न 1.
बताइए, कश्चन सत्य हैं या असत्य
(a) सभी आयत वर्ग होते हैं ।
(b) सभी सम चतुर्भुज समान्तर चतुर्भुज होते हैं ।
(c) सभी वर्ग सम चतुर्भुज और आयत भी होते हैं ।
(d) सभी वर्ग समान्तर चतुर्भुज नहीं होते हैं ।
(e) सभी पतंगें सम चतुर्भुज होती हैं ।
(f) सभी सम चतुर्भुज पतंग होते हैं ।
(g) सभी समान्तर चतुर्भुज समलम्ब होते हैं ।
(h) सभी वर्ग समलम्ब होते हैं ।
हल :
(a) असत्य
(b) सत्य
(c) सत्य
(d) असत्य
(e) असत्य
(f) सत्य
(g) सत्य
(h) सत्य

प्रश्न 2.
उन सभी चतुर्भुजों की पहचान कीजिए, जिनमें-
(a) चारों भुजाएँ समान लम्बाई की हो ।
(b) चार समकोण हो ।
हल : (a) समचतुर्भुज और वर्ग →
(b) वर्ग और आयत →

प्रश्न 3.
बताइए कैसे एक वर्ग –
(i) एक चतुर्भुज
(ii) एक समान्तर चतुर्भुज
(iii) एक सम चतुर्भुज
(iv) एक आयत है।
हल :
(i) एक वर्ग में चार भुजाएँ होती हैं।
(ii) एक वर्ग की सम्मुख भुजाएँ समान्तर होती हैं ।
(iii) एक वर्ग की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं तथा विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं ।
(iv) एक वर्ग के सभी कोण समकोण होते हैं ।

प्रश्न 4.
एक चतुर्भुज का नाम बताइए जिसके विकर्ण :
(i) एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हों,
(ii) एक दूसरे पर लम्ब-समद्विभाजक हों,
(iii) बराबर हो ।
हल :
(i) समान्तर चतुर्भुज, सम चतुर्भुज, वर्ग, आयत के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं ।
(ii) समचतुर्भुज और वर्ग के विकर्ण एक-दूसरे को लम्ब-समद्विभाजित करते हैं ।
(iii) वर्ग और आयत के विकर्ण बराबर होते हैं।

प्रश्न 5.
बताइए एक आयत उत्तल चतुर्भुज है।
हल :
किसी आयत में जब हम इसके बिन्दुओं को मिलाते हैं, तो इसके दोनों विकर्ण अभ्यतंर में स्थित होते हैं तथा इसके प्रत्येक कोण 180° से कम होते है।

प्रश्न 6.
ABC एक समकोण त्रिभुज है। ‘0’ समकोण की सम्मुख भुजा का मध्यबिन्दु है । बताइए कैसे ‘0’ बिन्दु A, B तथा C से समान दूरी पर स्थित है ? (बिन्दुओं में चिह्नित अतिरिक्त भुजाएं आपकी सहायता के लिए खींची गई हैं।)
हल :

AD || BC तथा AB || CD की रचना की ।
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है और समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं ।
∴ OA = OB = OC.
अत: O, बिन्दु A, B तथा C से समान दूरी पर है।