HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल Ex 6.1

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल Ex 6.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल Ex 6.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं के वर्गों के इकाई के अंक क्या होंगे?
(i) 81
(ii) 272
(iii) 799
(iv) 3853
(v) 1234
(vi) 26387
(vii) 52698
(viii) 99880
(ix) 12796
(x) 55555
हल:
संख्या 81 के वर्ग की इकाई का अंक 1 होगा ।
(i) 81 – संख्या 81 के वर्ग की इकाई का अंक 1 होगा ।
∵ 1² = 1

(ii) 272 – संख्या 272 के वर्ग की इकाई का अंक 4 होगा ।
∵ 2² = 4

(iii) 799 – संख्या 799 के वर्ग की इकाई का अंक 81 होगा ।
∵ 9² = 81

(iv) 3853 – संख्या 3853 के वर्ग की इकाई का अंक 9 होगा ।
∵ 3² = 9

(v) 1234 – संख्या 1234 के वर्ग की इकाई का अंक 16 होगा ।
∵ 4² = 16

(vi) 26387 – संख्या 26387 के वर्ग की इकाई का अंक 49 होगा ।
∵ 7² = 49

(vii) 52698 – संख्या 26387 के वर्ग की इकाई का अंक 64 होगा ।
∵ 8² = 64

(viii) 99880 – संख्या 99880 के वर्ग की इकाई का अंक 0 होगा ।
∵ 0² = 0

(ix) 12796 – संख्या 99880 के वर्ग की इकाई का अंक 36 होगा ।
∵ 6² = 36

(x) 55555 – संख्या 99880 के वर्ग की इकाई का अंक 25 होगा ।
∵ 5² = 25

प्रश्न 2.
निम्नलिखित संख्याएँ स्पष्ट रूप से पूर्ण वर्ग संख्याएँ नहीं हैं, इसका कारण दीजिए।
(i) 1057
(ii) 23453
(iii) 7928
(iv) 222222
(v) 64000
(vi) 89722
(vii) 222000
(viii) 505050.
हल:
(i) 1057 – संख्या 1057 के इकाई के स्थान पर 7 है, जो किसी की पूर्ण वर्ग संख्या में नहीं आता है। इसलिए संख्या 1057 एक पूर्ण वर्ग नहीं है।
(∵ जिस संख्या के अन्त (इकाई) में 0, 1, 4,5,6, 9 होता है, वह संख्या पूर्ण वर्ग होती (हो सकती) है ।

(ii) 23453 – इस संख्या में इकाई के स्थान पर 3 है, अत: यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं होगी ।

(iii) 7928 – इस संख्या में इकाई के स्थान पर 8 है, अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है ।।

(iv) 222222 – इस संख्या में इकाई के स्थान पर 2 है, अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है ।।

(v) 64000 – इस संख्या के अन्त में शून्यों की संख्या विषम (3) है विषम शून्यों वाली संख्या पूर्ण वर्ग संख्या नहीं होती है।

(vi) 89722 – इस संख्या में इकाई के स्थान पर 2 है। अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है ।।

(vii) 222000 – इस संख्या में शून्यों की संख्या विषम (3) है । अतः यह संख्या पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।

(viii)505050 – इस संख्या में इकाई स्थान पर शून्य है। अत: यह संख्या पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित संख्याओं में से किस संख्या का वर्ग विषम संख्या होगा?
(i) 431
(ii) 2826
(iii) 7779
(iv) 82004.
हल:
(i) 431 – संख्या 431 में इकाई के स्थान पर 1 है। और 1 विषम संख्या है। अतः इस संख्या का वर्ग भी एक विषम संख्या होगा ।
(ii) 2826 – इस संख्या 2826 में इकाई के स्थान पर 6 है। और 6 विषम संख्या है। अतः इस संख्या का वर्ग भी एक विषम संख्या होगा ।
(iii) 7779 – इस संख्या 7779 में इकाई के स्थान पर 9 है। और 9 विषम संख्या है। अतः इस संख्या का वर्ग भी एक विषम संख्या होगा ।
(iv) 82004 – इस संख्या 82004 में इकाई के स्थान पर 4 है। और 4 विषम संख्या है। अतः इस संख्या का वर्ग भी एक विषम संख्या होगा ।

प्रश्न 4.
निम्न. प्रतिरूप का अवलोकन कीजिए और रिक्त स्थान भरिए
11² = 121
101² = 10201
1001² = 1002001
100001² = 1………….. 2 …………….. 1
10000001² = ………………..
हल:
11² = 121
101² = 10201
1001² = 1002001
100001² = 10000200001
10000001² = 100000020000001
[नियम : जिस संख्या का वर्ग करते हैं, उस संख्या में 1 और 1 के बीच जितने शून्य होते हैं, तो वर्ग करने में 1, 2, 1 के बीच में उतने ही शून्य लगाये जाते हैं ।]

प्रश्न 5.
निम्नांकित प्रतिरूप का अवलोकन कीजिए और रिक्त स्थानों को भरिए
11² = 121
101² = 10201
10101² = 102030201
1010101² = ……………..
……………..² = 10203040504030201
हल:
11² = 121
101² = 10201
10101² = 102030201
1010101² = 1020304030201
101010101² = 10203040504030201

प्रश्न 6.
दिये गये प्रतिरूप का उपयोग करते हुए लुप्त संख्याओं को ज्ञात कीजिए।
1² + 2² + 2² = 3²
2² + 3² + 6² = 7²
3² + 4² + 12² = 13²
4² + 5² + _² = 21²
5² + (_)² + 30² = 31²
6² + 7² + (_)² = (_)²
हल :
इस प्रतिरूप में हम देखते हैं कि पहली संख्या तथा दूसरी संख्या का गुणा ही तीसरी संख्या है और तीसरी संख्या जो है उसके बाद जो संख्या होती है, वही चौथी संख्या है। अत: इसके द्वारा प्रारूप (प्रतिरूप) को पूरा कर सकते हैं।

(i) (4)² + (5)² + ( )² = (21)²
पहली तथा दूसरी संख्या का गुणनफल (4 × 5) = 20 तथा बीस के बाद 21 आ रहा है ।
अत: 4² + 5² + 20² = 21²

(ii) 5² + k² + 30² = 31²
∵5 × (k) = 30
∴ k = \(\frac{30}{5}\) = 6
अत: 5² + 6² + 30² = 31²

(iii) 6² + 7² + 42² = m²
6 और 7 का गुणा = 42 तथा 42 के बाद वाली संख्या = 43
अत: 6² + 7² + 42² = 43²

प्रश्न 7.
योग संक्रिया किये बिना योगफल ज्ञात कीजिए।
(i) 1 + 3 + 5 + 7 + 9
(ii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19
(iii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23.
नियम : प्रथम ॥ विषम संख्याओं का योगफल = n²
हल :
(i) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5² = 25.

(ii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 10² = 100.

(iii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 = 12² = 144.

प्रश्न 8.
(i) 49 को 7 विषम संख्याओं के योग के रूप में लिखिए।
(ii) 121 को 11 विषम संख्याओं के योग के रूप में लिखिए ।
हल :
(i) 49
(a) 49 – 1 = 48
(b)48 – 3 = 45
(c) 45 – 5= 40
(d) 40 – 7 = 33
(e) 33 – 9 = 24
(f) 24 – 11 = 13
(g) 13 – 13 = 0
अतः 49 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13

(ii) 121
(a) 121 – 1 = 120
(b) 120 – 3 =117
(c) 117 – 5 = 112
(d) 112 – 7 = 105
(e) 105 – 9 = 96
(f)96 – 11=85
(g) 85 – 13=72
(h) 72 – 15=57
(I) 57 – 17 =40
(j) 40 – 19=21
(k) 21 – 21 =0
अत: 121 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19+ 21

प्रश्न 9.
निम्नलिखित संख्याओं के वर्ग के बीच में कितनी संख्याएँ हैं?
(i) 12 और 13
(ii) 25 और 26
(iii) 99 और 100
हल :
(i) 12 और 13
12² and 13² के बीच में 2 × 12 = 24 संख्याएँ हैं, जो इन वर्ग संख्याओं के अन्तर से 1 कम है।
∵ (13)² – (12)² = 169 – 144 = 25

(ii) 25 और 26
25² and 26² के बीच में 2 × 25 = 50 संख्याएँ हैं। जो इन वर्ग संख्याओं के अन्तर से 1 कम है।
∵ (26)² – (25)² = 676 – 625 = 51

(iii) 99 और 100
99² and 100² के बीच में 99 × 2 = 198 संख्याएँ हैं। जो इन वर्ग संख्याओं के अन्तर से 1 कम है।
∵ (100)² – (99)² = 10000 – 9801 = 199