Class 8

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 9 बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ Ex 9.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 9 बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ Ex 9.4

प्रश्न 1.
द्विपदों को गुणा कीजिए
(i) (2x + 5) और (4x – 3)
(ii) (y – 8) और (3y – 4)
(iii) (2.5l – 0.5 m) और (2.5l + 0.5 m)
(iv) (a + 3b) और (x + 5)
(v) (2pq + 3q²) और 3(pq – 2q²)
(vi) (\(\frac{3}{4}\)a² + 3b²) और (a² – \(\frac{2}{3}\)b²)
हल:
(i) (2x + 5) × (4x – 3)
= 2x(4x – 3) + 5(4x – 3)
= 8x² – 6x + 20x – 15
= 8x² + 14x – 15

(ii) (y – 8) × (3y – 4)
= y(3y – 4) – 8(3y – 4)
= 3y² – 4y – 24y + 32
= 3y² – 28y + 32

(iii) (2.5l – 0.5m) × (2.51 + 0.5m)
= 2.5l (2.51 + 0.5m) – 0.5m(2.5l + 0.5m)
= 6.25l² + 1.25lm – 1.25ml – 0.25m²
= 6.25l² – 0.25m²

(iv) (a + 3b) × (x + 5)
= a (x + 5) + 3b(x + 5)
= ax + 5a + 3bx + 15b

(v) (2pq + 3q2) × (3pq – 2q2)
= 2pq(3pq – 2q²) + 3q²(3pq – 2q²)
= 6p²q² – 4pq³ + 9pq³ – 6q⁴
= 6p²q² + 5pq³ – 6q⁴

(vi)

प्रश्न 2.
गुणनफल ज्ञात कीजिए
(i) (5 – 2x)(3 + x)
(ii) (x + 7y)(7x – y)
(iii) (a² + b) (a + b²)
(iv) (p² – q²) (2p + q).
हल:
(i) (5 – 2x) × (3 + x)
= 5 × (3 + x) – 2x(3 + x)
= 15 + 5x – 6x – 2x²
= – 2x² – x + 15

(ii) (x + 7y) × (7x – y)
= x(7x – y) + 7y(7x – y)
= 7x² – xy + 49xy – 7y²
= 7x² – 7y² + 48xy.

(iii) (a² + b) × (a + b²)
= a²(a + b²) + b(a + b²)
= a³ + a²b² + ab + b³

(iv) (p² – q²) × (2p + q)
= p²× (2p + q) – q² × (2p + q)
= 2p³ + p²q – 2pq² – q³

प्रश्न 3.
सरल कीजिए-
(i) (x² – 5) (x + 5) + 25
(ii) (a² + 5) (b³ + 3) + 5
(iii) (t + s²) (t² – s)
(iv) (a + b) (c – d) + (a – b) (c + d) + 2 (ac + bd)
(v) (x +y) (2x +y) + (x + 2y) (x – y)
(vi) (x + y) (x² – xy + y²)
(vii) (1.5x – 4y) (1.5x + 4y + 3)- 4.5x + 12y
(viii) (a + b + c) (a + b – c).
हल:
(i) (x² – 5) (x + 5) + 25
= (x + 5) (x² – 5) + 25
= x(x² – 5) + 5(x² – 5) + 25
= x³ – 5x + 5x² – 25 + 25
= x³ + 5x² – 5x

(ii) (a² + 5) (b³ + 3) + 5
= a²(b³ + 3) + 5(b³ + 3) + 5
= a²b³ + 3a² + 5b² + 15 + 5
= a²b³ + 3a² + 5b³ + 20.

(iii) (t + s²) (t² – s)
= t(t² – s) + s²(t² – s)
= t³ – ts + s²t² – s³

(iv) (a + b) (c – d) + (a – b) (c + d) + 2 (ac +bd)
= a(c – d) + b(c – d) + a(c + d) – b(c + d) + 2ac + 2bd
= ac – ad + bc – bd + ac + ad – bc – bd + 2ac + 2bd
= 4ac – 2bd + 2bd
= 4ac

(v) (x + y) (2x + y) + (x + 2y) (x – y)
= x(2x + y) + y(2x + y) + x(x – y) + 2y(x – y)
= 2x² + xy + 2xy + y² + x² – xy + 2xy – 2y²
= 3x² – y² + 4xy.

(vi) (x + y) (x² – xy + y²)
= x(x² – xy + y²) + y(x² – xy + y²)
= x³ – x²y + xy² + x²y – xy² + y³
= x³ + y³.

(vii) (1.5x – 4y) (1.5x + 4y + 3) – 4.5x + 12y
= 1.5x(1.5x + 4y + 3) – 4y(1.5x + 4y + 3) – 4.5x + 12y
= 2.25x² + 6xy + 4.5x – 6xy – 16y² – 12y – 4.5x + 12y
= 2.25x² – 16y²

(viii) (a + b + c) (a + b – c)
= a (a + b – c) + b(a + b – c) + c (a + b – c)
= a² + ab – ac + ab + b² – bc + ac + bc – c²
= a² + b² – c² + 2ab.

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 8 राशियों की तुलना Ex 8.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 8 राशियों की तुलना Ex 8.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित के लिए कुल राशि एवं चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए –
(a) ₹ 10800 पर 3 वर्ष के लिए 12\(\frac{1}{2}\)% वार्षिक दर से वार्षिक रूप से संयोजित करने पर ।
(b) ₹ 18000 पर 2\(\frac{1}{2}\) वर्ष के लिए 10% वार्षिक दर से वार्षिक रूप से संयोजित करने पर ।
(c) ₹62500 पर 1\(\frac{1}{2}\) वर्ष के लिए 8% वार्षिक दर से अर्द्धवार्षिक रूप से संयोजित करने पर ।।
(d) ₹ 8000 पर 1 वर्ष के लिए 9% वार्षिक दर से अर्द्धवार्षिक रूप से संयोजित करने पर ।
(e) ₹ 10,000 पर 1 वर्ष के लिए 8% वार्षिक दर से अर्द्धवार्षिक रूप से संयोजित करने पर ।
हल :
(a) मुलधन, P = ₹0800
समय, n=3
दर, r = 12\(\frac{1}{2}\)% = \(\frac{25}{2}\)% वार्षिक
चक्रवृद्धि ब्याज = ?
चक्रवृद्धि मिश्रधन (कुल राशि), A = ?

हम जानते हैं कि,
या A = P(\(\left(1+\frac{r}{100}\right)^{n}\))
= 1080o(\(\left(1+\frac{25}{2×100}\right)^{3}\))
= 10800(\(\left(1+\frac{25}{200}\right)^{3}\))
A = 10800 × \((\frac{225}{200})^{3}\)
A = 10800\(\left(\frac{9}{8}\right)^{3}\)
= \(\frac{10800 \times 9 \times 9 \times 9}{8 \times 8 \times 8}\)
∴ A = \(\frac{492075}{32}\) = 15377.34
अतः मिश्रधन (कुल राशि) = 15377.34 रु.
चक्रवृद्धि ब्याज = मिश्रधन – मूलधन
= 15377.34 – 10800
∴ चक्रवृद्धि ब्याज = ₹4577.34

(b) हल : मूलधन, P =₹18000
समय, n = 2\(\frac{1}{2}\) वर्ष = (2+\(\frac{1}{2}\)) वर्ष
दर, r = 10%
चक्रवृद्धि मिश्रधन, A = ?
सर्वप्रथम 2 वर्ष का चक्रवृद्धि मिश्रधन निकालकर उस मिश्रधन को मूलधन मान कर वर्ष का साधारण ब्याज निकालेंगे ।
अत: चक्रवृद्धि मिश्रधन, A = 18000(\(\left(1+\frac{10}{100}\right)^{2}\))
= 18000 × (\(\left(\frac{11}{10}\right)^{2}\))
= 18000 × \(\frac{11}{10}\) × \(\frac{11}{10}\)
= \(\frac{180 \times 121}{1}\)
अतः, A = ₹ 21780
अब, मिश्रधन ₹ 21780 को मूलधन लेकर \(\frac{1}{2}\) वर्ष का साधारण ब्याज निकालेंगे ।

अत: साधारण ब्याज = = \(\frac{21780 \times 10 \times 1}{100 \times 2}\)
= ₹ 1089
∴ कुल धन = चक्रवृद्धि मिश्रधन + साधारण ब्याज
= 21780 + 1089
अत: मिश्रधन (कुल राशि) = ₹22869
चक्रवृद्धि ब्याज = 22869 – 18000 = 4869
∴ चक्रवृद्धि ब्याज = ₹4869

(c) हल : मूलधन, P= ₹ 62500
समय = \(\frac{3}{2}\) वर्ष = 3 अर्द्धवर्ष (व्याज अर्द्धवार्षिक)
दर, r = 8% वार्षिक
= \(\frac{8}{2}\) = 4% अर्द्धवार्षिक
मिश्रधन, कुल राशि A = ?
चक्रवृद्धि ब्याज, C.I. = ?
हम जानते है कि A = P\(\left(1+\frac{r}{100}\right)^{n}\)
= 62500\(\left(1+\frac{4}{100}\right)^{3}\)
= 62500\(\left(1+\frac{1}{25}\right)^{3}\)
= 62500\(\left(\frac{26}{25}\right)^{3}\)
= \(\frac{62500 \times 26 \times 26 \times 26}{25 \times 25 \times 25}\)
∴ मिश्रधन (कुल राशि) = 770304

चक्रवृद्धि ब्याज =A – P
= 70304 – 62500
अतः चक्रवृद्धि ब्याज = ₹7804

(d) हल : मूलधन, P = ₹ 8000
दर, r = 9% वार्षिक = 2% अर्द्धवार्षिक समय, n=1 वर्ष = 2 अर्द्धवर्ष
(∴ ब्याज छमाही है)

अतः मिश्रधन (कुल राशि) = ₹ 8736.20
चक्रवृद्धि ब्याज, C.I. = 8736.20 – 8000
∴ चक्रवृद्धि ब्याज = ₹736.20

(e) हल : मूलधन, P = ₹10,000
दर, r = 8% वार्षिक = \(\frac{8}{2}\)% = 4% अर्द्धवार्षिक
समय, n = 1 वर्ष = 2 अर्द्धवर्ष
(∴ ब्याज छमाही है)
मिश्रधन, A = ?
तथा चक्रवृद्धि ब्याज, CI = ?

अत:, मिश्रधन (कुल राशि) = 810816
चक्रवृद्धि ब्याज, C.I = A – P
= 10816 – 10000
= ₹ 816
अतः, चक्रवृद्धि ब्याज = ₹ 816

प्रश्न 2.
कमला ने एक स्कूटर खरीदने के लिए किसी बैंक से ₹26400 15% वार्षिक दर से उधार लिए, जबकि व्याज वार्षिक संयोजित होना है। 2 वर्ष 4 महीने के अन्त में ज्यार चुकता करने के लिए उसे कितनी राशि का भुगतान करना पड़ेगा?
हल :
मूलधन, P = ₹ 26400
दर, r = 15% वार्षिक
समय, n = 2\(\frac{4}{12}\) = 2\(\frac{1}{3}\) वर्ष
नोट : ब्याज को वार्षिक संयोजित करते हुए पहले 2 वर्ष के लिए मिश्रधन ज्ञात करेंगे तथा दूसरे वर्ष की कुल राशि पर \(\frac{4}{12}\) = \(\frac{1}{3}\) वर्ष का साधारण ब्याज ज्ञात करेंगे ।

अत:, A = ₹ 34914

(ii) अब, हम ₹ 34914 पर 4 माह = \(\frac{1}{3}\) वर्ष का साधारण ब्याज ज्ञात करेंगे।

S.I = ₹ \(\frac{34914 \times 15 \times 1}{100 \times 3}\)
= \(\frac{34914}{20}\)
= latex]\frac{17457}{10}[/latex]
S.I = 81745.70
अतः कुल राशि = 34914 + 1745.70
= ₹ 36659.70
अत: कमला को उधार चुकता करने के लिए 36659.70 रु. का भुगतान बैंक को करना पड़ेगा।

प्रश्न 3.
फैबिना ने ₹ 12500 3 वर्ष के लिए 12% वार्षिक दर से साधारण ब्याज पर उधार लिए और राधा ने उतनी ही राशि उतने ही समय के लिए 10% वार्षिक दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर उधार ली, जबकि व्याज वार्षिक रूप से संयोजित होना है। किसे अधिक व्याज का भुगतान करना है और कितना अधिक करना है?
हल :
फैबिना के लिए –
मूलधन, P = ₹12500
दर, r = 12% वार्षिक
समय, n = 3 वर्ष
साधारण ब्याज = \(\frac{12500 \times 12 \times 3}{100}\)
= ₹ 4500

राधा के लिए –
मूलधन, P = ₹ 12500
दर, r = 10% वार्षिक
समय, n=3 वर्ष
A = P\(\left(1+\frac{r}{100}\right)^{n}\)
= 12500\(\left(1+\frac{10}{100}\right)^{3}\)
= 12500 × \(\left(\frac{11}{10}\right)^{3}\)
= 12500 × \(\frac{11 \times 11 \times 11}{10 \times 10 \times 10}\)
∴ A = ₹ 16637.50
∴ चक्रवृद्धि ब्याज = 16637.50 – 12500
= ₹4137.50
अत: फैबिना को अधिक ब्याज का भुगतान करना होगा ।
वह अधिक भुगतान करती है = 4500 – 4137.50
= ₹ 362.50

प्रश्न 4.
मैंने जमशेद से ₹ 12000 2 वर्ष के लिए 6% वार्षिक दर से साधारण ब्याज पर उधार लिया । यदि मैंने यह राशि 6% वार्षिक दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर उधार ली हुई होती तो मुझे कितनी अतिरिक्त राशि का भुगतान करना पड़ता ?
हल :
पहली स्थिति- मूलधन, P= ₹ 12000
दर, r = 6% वार्षिक
समय, n = 2 वर्ष

= \(\frac{12000 \times 6 \times 2}{100}\)
= ₹ 1440

अतः राशि, A₁ = मूलधन + ब्याज
= 12000 + 1440
= ₹ 13440

अत: राशि, A₁ = ₹ 13440.00

दूसरी स्थिति –
मूलधन, P = ₹ 12000
समय, n = 2 वर्ष
दर, r = 6% वार्षिक
A = ?

अत: मुझे अतिरिक्त राशि देनी पड़ती
= A₁ – A₂
= 13483.20 – 13440
= ₹ 43.20

प्रश्न 5.
वासुदेवन ने 12% वार्षिक दर पर ₹60,000 का निवेश किया । यदि व्याज अर्द्धवार्षिक संयोजित होता है तो ज्ञात कीजिए कि वह- (i) 6 माह के अन्त में (ii) 1 वर्ष के अन्त में, कुल कितनी राशि प्राप्त करेगा ?
हल :
(i) मूलधन, P = ₹60,000
दर, r = 12% वार्षिक = \(\frac{12}{2}\)% = 6% अर्द्धवार्षिक
समय, n = 6 माह = \(\frac{1}{2}\) वर्ष = 1 अर्द्धवर्ष
अत: A = P\(\left(1+\frac{r}{100}\right)^{n}\)
= 60,000\(\left(1+\frac{6}{100}\right)^{1}\)
= 60,000 × \(\frac{106}{100}\)
= 600 × 106
∴ मिश्रधन = ₹ 63,600

(ii) मूलधन, P = ₹ 60000
दर, r = \(\frac{12}{2}\) = 6% अर्द्धवार्षिक
समय, n = 1 वर्ष = 2 अर्द्धवर्ष

प्रश्न 6.
आरिफ ने एक बैंक से ₹ 80,000 का कर्ज लिया। यदि व्याज की दर 10% वार्षिक है तो 11 वर्ष पश्चात् उसके द्वारा भुगतान की जाने वाली राशियों में अन्तर ज्ञात कीजिए । यदि ब्याज (i) वार्षिक संयोजित होता है (ii) अर्द्धवार्षिक संयोजित होता है।
हल :
(i) मूलधन, P= ₹ 80,000
समय, n = 1\(\frac{1}{2}\) वर्ष = 1 वर्ष और 1 अर्द्धवर्ष
दर, r = 10% वार्षिक और 5% अर्द्धवार्षिक
कुल राशि A = P\(\left(1+\frac{r}{100}\right)^{n}\)
= 80,000(\(\left(1+\frac{10}{100}\right)^{1}\))(\(\left(1+\frac{5}{100}\right)^{1}\))
= 80,000(\(\frac{11}{10}\)) (\(\frac{21}{20}\))
= \(\frac{80000 \times 11 \times 21}{10 \times 20}\)
∴ A = ₹ 92400

(ii) मूलधन, P = ₹ 80000
दर, r = 10% = \(\frac{10}{2}\)% = 5% अर्द्धवार्षिक
समय, n = 1\(\frac{1}{2}\) वर्ष = \(\frac{3}{2}\)वर्ष या 3 अर्द्धवर्ष

भुगतान की जाने वाली राशियों में अन्तर
= ₹ (92610 – 92400)
= ₹ 210

प्रश्न 7.
मारिया ने किसी व्यापार में ₹ 8000 का निवेश किया । उसे 5% वार्षिक दर से चक्रवृद्धि ब्याज का भुगतान किया जायेगा । यदि व्याज वार्षिक रूप से संयोजित होता है, तो
(i) दो वर्ष के अन्त में उसके नाम से जमा की गई। राशि ज्ञात कीजिए । ,
(ii) तीसरे वर्ष का व्याज ज्ञात कीजिए ।
हल :
(i) मूलधन, P = ₹8000
दर, r = 5% वार्षिक
समय, n = 2 वर्ष
कुल राशि, A = P\(\left(1+\frac{r}{100}\right)^{n}\)
= 8,000(\(\left(1+\frac{5}{100}\right)^{2}\))
= 8,000(\(\left(\frac{21}{20}\right)^{2}\))
= 8,000 × \(\frac{21 \times 21}{20 \times 20}\)
= 20 × 21 × 21
कुल राशि, A = ₹ 8820

(ii) तीसरे वर्ष के व्याज के लिए
मूलधन, P = ₹8820
दर, =5% वार्षिक
समय. n = 1 वर्ष
साधारण व्याज = \(\frac{Prn}{100}\)
= \(\frac{8820 \times 5 \times 1}{100}\)
तीसरे वर्ष का व्याज = 441 रु.

प्रश्न 8.
₹ 10,000 रुपए पर 1\(\frac{1}{2}\) वर्ष के लिए 10% वार्षिक दर से चक्रवृद्धि ब्याज और कुल राशि ज्ञात कीजिए जबकि ब्याज अर्धवार्षिक संयोजित होना है। क्या यह ब्याज उस ब्याज से अधिक होगा जो उसे वार्षिक रूप से संयोजित करने पर प्राप्त होगा?
हल :
मूलधन, P= ₹ 10000
समय, n =1\(\frac{1}{2}\) वर्ष = \(\frac{3}{2}\) वर्ष = 3 अर्द्धवर्ष (ब्याज अर्द्धवार्षिक)
दर, r = 10% वार्षिक = \(\frac{10}{2}\) =5% अर्द्धवर्ष, A = ?

(ii) जब ब्याज वार्षिक संयोजित हो-
मूलधन, P= ₹1000
समय, n = 1 वर्ष और \(\frac{1}{2}\) वर्ष या 1 वर्ष और 1 अर्द्धवर्ष
दर, r = 10%, वार्षिक और 5%, अर्द्धवार्षिक

हाँ, अर्द्धवार्षिक ब्याज, उस ब्याज से अधिक होगा जो उसे वार्षिक रूप से संयोजित करने पर प्राप्त होगा।

प्रश्न 9.
यदि राम ₹4096 18 महीने के लिए 12\(\frac{1}{2}\)% वार्षिक दर पर उधार देता है और ब्याज अर्द्धवार्षिक संयोजित होता है तो ज्ञात कीजिए कि राम कुल कितनी राशि प्राप्त करेगा?
हल :
मूलधन, P = ₹ 4096
दर, r = 12\(\frac{1}{2}\) %, वार्षिक = \(\frac{25}{2}\)% वार्षिक
= \(\frac{25}{4}\)% अर्द्धवार्षिक
समय, n = 18 महीने = 1\(\frac{1}{2}\) वर्ष = \(\frac{3}{2}\) = 3 अर्द्धवर्ष
A = ?

प्रश्न 10.
5% वार्षिक दर से बढ़ते हुए वर्ष 2003 के अन्त में एक स्थान की जनसंख्या 54000 हो गई। निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए
(i) वर्ष 2001 में जनसंख्या,
(ii) वर्ष 2005 में कितनी जनसंख्या होगी ?
हल :
(i) प्रत्येक वर्ष जनसंख्या बढ़ने की दर,
r = 5% वार्षिक
समय n = 2 वर्ष
2003 में जनसंख्या , A = 54000
माना कि वर्ष 2001 में जनसंख्या थी, P = x

(ii) 2 वर्ष बाद 2005 में जनसंख्या –

प्रश्न 11.
एक प्रयोगशाला में, किसी निश्चित प्रयोग में बैक्टीरिया की संख्या 2.5% प्रति घंटे की दर से बढ़ रही है। यदि प्रयोग के शुरू में बैक्टीरिया की संख्या 506000 थी तो 2 घंटे के अन्त में बैक्टीरिया की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
दर, r = 2.5% प्रति घंटे
समय, n = 2 घंटे
शुरू में बैक्टीरिया की संख्या P (माना) = 506000
अत: 2 घंटे बाद वैक्टीरिया की संख्या, माना A है।

प्रश्न 12.
एक स्कूटर ₹42000 में खरीदा गया । 8% वार्षिक दर से इसके मूल का अवमूल्यन हो गया । 1 वर्ष बाद स्कूटर का मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल:
स्कूटर का मूल्य = ₹ 42000
1 वर्ष बाद मूल्य में कमी = 42000 का 8%
= 42000 × \(\frac{8}{100}\)
= ₹ 420 × 8
= ₹3360
1 वर्ष बाद स्कूटर का मूल्य = 42000 – 3360
= ₹38640

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 9 बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ Ex 9.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 9 बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ Ex 9.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित व्यंजकों में से प्रत्येक के पदों एवं गुणांकों को पहचानिए-
(i) 5xyz² – 3zy
(ii) 1 + x + x²
(iii) 4x²y² – 4x²y² + z²
(iv) 3 – pq + qr – rp
(v) \(\frac{x}{2}\) + \(\frac{y}{2}\) – xy
(vi) 0.3a – 0.6ab + 0.5b
हल:
(i) 5xyz² – 3zy मैं दूसरे पद है।
पहले पद 5xyz² का गुणांक = 5
दूसरे पद -3zy का गुणांक = -3

(ii) 1 + x + x² तीन पद है।
पहले पद 1 का गुणांक = 1
दूसरे पद x का गुणांक = 1
तिसरे पद x² का गुणांक = 1

(iii) 4x²y² – 4x²y²z² + z² मैं तीन पद है।
पहले पद 4x²y² का गुणांक = 4
दूसरे पद – 4x²y²z² का गुणांक = -4
तिसरे पद z² का गुणांक = 1

(iv) 3 – pq + qr – rp मैं तीन पद है।
पहले पद 3 का गुणांक = 3
दूसरे पद -pq का गुणांक = -1
तिसरे पद qr का गुणांक = 1
चैथे पद -rp का गुणांक = -1

(v) \(\frac{x}{2}\) + \(\frac{y}{2}\) – xy मैं तीन पद है।
पहले पद \(\frac{x}{2}\) का गुणांक = \(\frac{1}{2}\)
दूसरे पद \(\frac{y}{2}\) का गुणांक = \(\frac{1}{2}\)
तिसरे पद -xy का गुणांक = -1

(vi) 0.3a – 0.6ab + 0.5b मैं तीन पद है।
पहले पद 0.3a का गुणांक = 0.3
दूसरे पद – 0.6ab का गुणांक = – 0.6
तिसरे पद 0.5b का गुणांक = 0.5

प्रश्न 2.
निम्नलिखित बहुपदों को एकपदी, द्विपद एवं त्रिपद के रूप में वर्गीकृत कीजिए। कौन-सा बहुपद इन तीन श्रेणियों में से किसी में भी नहीं है?
x + y, 1000, x + x² + x³ + x⁴, 7 + y + 5x,
2y – 3y², 2y – 3y² + 4y³, 5x – 4y + 3xy,
4z – 15z², ab + bc + cd + da, pqr, p²q + pq², 2p + 2q.
हल:
दिए गए बहुपद वर्गीकृत करने पर
एकपदी: 1000, pqr
द्विपदी: x + y, 2y – 3y², 4z – 15z², p²q + pq², 2p + 2q
त्रिपदी: 7 + y + 5x, 2y – 3y² + 4y³, 5x – 4y + 3xy
वे बहुपद जो तीनों श्रेणियों में से किसी में भी नहीं आते है-
x + x² + x³ + x⁴, ab + bc + cd + da,

प्रश्न 3.
निम्नलिखित का योग ज्ञात कीजिए-
(i) ab – bc, bc – ca, ca – ab
(ii) a – b + ab, b – c + bc, c – a + ac
(iii) 2p²q² – 3pq + 4, 5 + 7pq – 3p²q²
(iv) l² + m², m² + n², n² + l², 2lm + 2mn + 2nl.
हल:

प्रश्न 4.
(a) 12a – 9ab + 5b – 3 में से 4a – 7ab + 3b + 12 को घटाइए।
हल:

(b) 5xy – 2yz – 2zx + 10xyz में से 3xy + 5yz – 7zx को घटाइए।
हल:

(c) 18 – 3p – 11q + 5pq – 2pq2 + 5p2q में से 4p2q – 3pq + 5pq2 – 8p + 7q – 10 को घटाइए।
हल:

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 9 बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ Intext Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 9 बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ Intext Questions

(प्रयास कीजिए – पृष्ठ 146)

प्रश्न 1.
एक चर वाले और दो चरों वाले व्यंजकों के पाँच-पाँच उदाहरण दीजिए।
हल:
एक चर वाले व्यंजक के पाँच उदाहरण x + 6, x – 6, 6 + y, 7 – y और 4 + 3x
दो चरों वाले व्यंजकों के पाँच उदाहरण- x + 6y, x – 2y, 4x + y, 2x – y और 3x + 2y

प्रश्न 2.
x, x – 4, 2x + 1, 3x – 2 को संख्या रेखा पर दर्शाइए।
हल:
व्यंजक x का निरूपण-
माना संख्या रेखा पर चर x की स्थिति x है तो X, x को प्रदर्शित करता है जैसा आकृति में दिया है-

व्यंजक x – 4 का निरूपण-
माना स्थिति X चर x को प्रदर्शित करती है।
यहाँ हम एक बिन्दु P चाहते हैं जो x से 4 कम हो। अतः x से आरम्भ करके यह बिन्दु X की बाईं ओर 4 इकाई दूरी पर होगा, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है।

2x + 1 का निरूपण-

माना चर x की संख्या रेखा पर स्थिति x है। 2x की स्थिति बिन्दु A पर इस प्रकार है
OA = 2 × OX = 2x.
यहाँ, हमें 2x + 1 प्राप्त करना है अर्थात् 2x से एक अधिक। | अतः हम A से प्रारम्भ करेंगे और A के दाएँ 1 इकाई दूरी पर P होगा जो 2x + 1 को प्रदर्शित करता है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है।

व्यंजक 3x -2 का निरूपण-

माना संख्या रेखा पर चर x की स्थिति x है। बिन्दु A, पर 3x की स्थिति इस प्रकार है-OA2 = 3 × OX = 3x. यहाँ, हमें 3x – 2 प्राप्त करना है अर्थात् 3x से 2 कम। अतः, हम A, से प्रारम्भ करेंगे और इसके बाएँ 2 इकाई बिन्दु पर P प्राप्त करेंगे जो 3x – 2 को प्रदर्शित करता है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है।

(प्रयास कीजिए – पृष्ठ 146)

प्रश्न 1.
व्यंजक x²y² – 10x²y + 5xy² – 20 के प्रत्येक पद के गुणांक को पहचानिए।
हल:
व्यंजक x²y² – 10x²y² + 5xy² – 20 में x²y² पद में xy का गुणांक 1 है।
– 10xy² पद में ry का गुणांक – 10 है।
5xy² पद में xy² का गुणांक 5 है।

(प्रयास कीजिए – पृष्ठ 146)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित बहुपदों को एकपद, द्विपद एवं त्रिपद के रूप में वर्गीकृत कीजिए -z + 5, x + y + z, y + z + 100, ab – ac, 17
हल:
दिए गए बहुपद निम्न प्रकार वर्गीकृत होंगे
एक पद : 17
द्विपद : -z + 5, ab – ac
त्रिपद : x + y + z, y + z + 100

प्रश्न 2.
बनाइए
(a) तीन ऐसे द्विपद जिनमें केवल एक चर x हों।
(b) तीन ऐसे द्विपद जिनमें x और y चर हों।
(c) तीन एकपद जिनमें और y चर हों।
(d) चार अथवा अधिक पदों वाले 2 बहुपद।
हल:
(a) तीन ऐसे द्विपद जिनमें केवल एक चर x हो वे हैं- 2x + 3, 4x + 7, 3 – x
(b) तीन द्विपद जिनमें x और y चर हों वे हैं- x + y, xy – 7, 4x – y.
(c) तीन एकपद, जिनमें x और y चर हों वे हैं xy, 3x²y, – 5xy²
(d) चार या अधिक पद वाले 2 बहुपद हैं-
3x³ – x² + 2x + 3, 4 – 5x + 6x² – 2x³ – 2x⁴

(प्रयास कीजिए – पृष्ठ 147)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से प्रत्येक के दो समान पद लिखिए
(i) 7xy
(ii) 4mn²
(iii) 2l
हल:
(i) 7xy के दो समान पद हैं 5xy, – 3xy

(ii) 4mn² के दो समान पद हैं 3mn², – 4n²m.

(iii) 2l के दो समान पद हैं 3l, – 4l

(प्रयास कीजिए – पृष्ठ 150)

प्रश्न 1.
क्या आप ऐसी और दो परिस्थितियों के बारे में सोच सकते हैं जहाँ हमें बीजीय व्यंजकों को गुणा करना पड़ सकता है?
संकेत-
(i) एक वस्तु का अंकित मूल्य ₹ (x+2) हैं। इसी प्रकार की (x-5 y)$ वस्तुओं का मूल्य ज्ञात करने के लिये अंकित मूल्य व वस्तुओं की संख्या का गुणा करना पड़ेगा।

(ii) स्कूटर 2y km/hr की रफ्तार से (2x+5) hr के लिये चलता है। स्कूटर द्वारा तय की दूरी ज्ञात करने के लिए स्कूटर की रफ्तार व समय का गुणा करना होगा।

(प्रयास कीजिए – पृष्ठ 151)

प्रश्न 1.
4x × 5y × 72 ज्ञात कीजिए-
सर्वप्रथम 4x × 5y ज्ञात कीजिए और फिर उसे 7z से गणा कीजिए, अथवा सर्वप्रथम 5y × 7z ज्ञात कीजिए और इसे 4x से गुणा कीजिए।
क्या परिणाम एक जैसा है? आप क्या विचार करते हैं? क्या गुणा करते समय क्रम का महत्त्व है?
हल:

4x × 5y × 7z = (4x × 5y) × 7z
= 20xy × 7 = 140xyz

और 4x × 5y ×7z = 4x × (5y × 7z)
= 4x × 35yz = 140xyz
∴ (4x × 5y) × 7z = 4x × (5y × 72) अर्थात् परिणाम एक जैसा है।
अतः एकपदी का गुणन साहचर्य है। अर्थात् हम किसी भी क्रम में गुणा करें क्रम का महत्त्व नहीं है।

(प्रयास कीजिए – पृष्ठ 153)

प्रश्न 1.
गुणनफल ज्ञात कीजिए-
(i) 2x(3x + 5xy)
(ii) a²(2ab – 5c)
हल:
(i) 2x(3x +5xy) = 2x × 3x + 2x × 5xy
= 6x² + 10x²y

(ii) a²(2ab – 5c) = a² × 2ab – a² × 5c
= 2a³b – 5a²c

(प्रयास कीजिए – पृष्ठ 158)

प्रश्न 1.
(4p² + 5p + 7) × 3p का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
हल:
(4p² + 5p +7) × 3p = 4p² × 3p + 5p × 3p + 7 × 3p
= 12p³ + 15p² + 21p

(प्रयास कीजिए – पृष्ठ 158)

प्रश्न 1.
सर्वसमिका (I) में b के स्थान पर -b रखिए।क्या आपको सर्वसमिका (II) प्राप्त होती है?
हल:
(a + b)² = a² + 2ab + b² में b = – b रखने पर
(a + (-b))² = a² + 2a(-b) + (-b)²
या (a – b)² = a² – 2ab + b²
अतः सर्वसमिका I में b = – b रखने पर सर्वसमिका II प्राप्त होती है।

(प्रयास कीजिए – पृष्ठ 158)

प्रश्न 1.
a = 2, b = 3, x = 5 के लिए सर्वसमिका (IV) का सत्यापन कीजिए।
[सर्वसमिका IV : (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab]
हल:
a = 2, b = 3, x = 5 के लिए
बायाँ पक्ष = (5 + 2) (5 + 3) = (7) (8) = 56
और, दायाँ पक्ष = (5) + (2 + 3) (5) + (2) (3)
= 25 + 25 + 6 = 56
अतः, सर्वसमिका के दोनों पक्षों के मान a = 2, b = 3, x = 5 के लिए समान हैं।

प्रश्न 2.
सर्वसमिका (IV) में a = b लेने पर, आप क्या प्राप्त करते हैं? क्या यह सर्वसमिका (1) से सम्बन्धित है?
हल:
जब a = b तो सर्वसमिका (IV) होगी
(x + b) (x + b) = x² + (b + b)x + (b.b)
या (x+ b) = x² + 2bx + b²
हाँ, यह सर्वसमिका (I) से सम्बन्धित है।

प्रश्न 3.
सर्वसमिका (IV) में a = -c तथा b = -c लेने पर आप क्या प्राप्त करते हैं? क्या यह सर्वसमिका (II) से सम्बन्धित है?
हल:
जब a = – c और b = -c, तो सर्वसमिका (IV) होगी
[(x+ (-c)][x + (-c)] = x² + (-c-c)x + (-c) (-c)
⇒ (x – c) (x – c) = x² + (-2c)x + c²
⇒ (x – c)² = x² – 2cx + c²
हाँ, यह सर्वसमिका (II) से सम्बन्धित है।

प्रश्न 4.
सर्वसमिका (IV) में b = -a लीजिए। आप क्या पाते हैं? क्या यह सर्वसमिका (III) से सम्बन्धित है?
हल:
जब b = – a तो सर्वसमिका (IV) होगी
(x + a) [(x + (-a)], = x² + (a – a)x + (a)(-a)
या (x + a) (x – a) = x² – a²
हाँ, यह सर्वसमिका (III) से सम्बन्धित है।

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 7 घन और घनमूल Ex 7.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 7 घन और घनमूल Ex 7.2

प्रश्न 1.
अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा निम्नलिखित में से प्रत्येक संख्या का घनमूल ज्ञात कीजिए
(i) 64
(ii) 512
(iii) 10648
(iv) 27000
(v) 15625
(vi) 13824
(vii) 110592
(viii) 46656
(ix) 175616
(x) 91125
हल:
(i) 64 = \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) = 2² × 2²
\(\sqrt[3]{64}\) = 2 × 2 = 4

(ii) 512 = \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) = (2)³ × (2)³ × (2)³
\(\sqrt[3]{512}\) = 2 × 2 × 2 = 8

(iii) 10648 = \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{11 \times 11 \times 11}\)
= (2)³ × (11)³
= (2 × 11)³
= 22³
\(\sqrt[3]{10648}\) = 22

(iv) 27000 = \(\underline{3 \times 3 \times 3}\) × \(\underline{10 \times 10 \times 10}\)
= (3)³ × (10)³
= (3 × 10)³
= 30³
\(\sqrt[3]{27000}\) = 30

(v) 15625 = \(\underline{5 \times 5 \times 5}\) × \(\underline{5 \times 5 \times 5}\)
= (5)³ × (5)³
= (5 × 5)³
= 25³
\(\sqrt[3]{15625}\) = 25

(vi) 13824 = \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3 \times 3}\)
= (2)³ × (2)³ × (2)³ × (3)³
= (2 × 2 × 2 × 3)³
= 24³
\(\sqrt[3]{15625}\) = 24

(vii) 110592 = \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3 \times 3}\)
= (2)³ × (2)³ × (2)³ × (2)³ × (3)³
= (2 × 2 × 2 × 2 × 3)³
= 48³
\(\sqrt[3]{15625}\) = 48

(viii) 46656 = \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3 \times 3}\) × \(\underline{3 \times 3 \times 3}\)
= (2)³ × (2)³ × (3)³ × (3)³
= (2 × 2 × 3 × 3)³
= 36³
\(\sqrt[3]{15625}\) = 36

(ix) 46656 = \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{7 \times 7 \times 7}\)
= (2)³ × (2)³ × (2)³ × (7)³
= (2 × 2 × 2 × 7)³
= 56³
\(\sqrt[3]{15625}\) = 56

(x) 91125 = \(\underline{5 \times 5 \times 5}\) × \(\underline{3 \times 3 \times 3}\) × \(\underline{3 \times 3 \times 3}\)
= (5)³ × (3)³ × (3)³
= (5 × 3 × 3)³
= 45³
\(\sqrt[3]{15625}\) = 45

प्रश्न 2.
बताइये सत्य है या असत्य-
(i) किसी भी विषम संख्या का घन सम होता है ।
(ii) एक पूर्ण घन दो शून्यों पर समाप्त नहीं होता है ।
(iii) यदि किसी संख्या का वर्ग 5 पर समाप्त होता है, तो उसका घन 25 पर समाप्त होता है ।
(iv) ऐसा कोई पूर्ण घन नहीं है, जो 8 पर समाप्त होता है ।
(v) दो अंकों की संख्या का घन तीन अंकों वाली संख्या हो सकती है।
(vi) दो अंकों की संख्या के घन में सात या अधिक अंक हो सकते हैं ।
(vii) एक अंक वाली संख्या का घन एक अंक वाली संख्या हो सकती है।
हल:
(i) असत्य
(ii) सत्य
(iii) असत्य
(iv) असत्य
(v) असत्य
(vi) असत्य
(vii) सत्य ।

प्रश्न 3.
आपको यह बताया जाता है कि 1331 एक पूर्ण घन है। क्या बिना गुणनखण्ड किये आप यह अनुमान लगा सकते हैं कि इसका घनमूल क्या है। इसी प्रकार 4913, 12167 और 32768 के घनमूलों के अनुमान लगाइए।
हल :
दिया है – 1331
1331 के सबसे दाईं ओर के अंक से प्रारम्भ करते हुए तीन-तीन अंकों के समूह बनाएँ । यह समूह 1 और 331 हैं । इस स्थिति में एक समूह 331 है, जिसमें तीन अंक हैं और दूसरा समूह 1 है, जिसमें 1 अंक है। सबसे पहले हम 331 लेते हैं। इसकी इकाई का अंक 1 है-
अत: घनमूल की इकाई का अंक 1 लेंगे ।
अब 1 को देखते हैं।
अत: घनमूल की दहाई का अंक 1 लेंगे ।
इस प्रकार,
\(\sqrt[3]{1331}\) = 11
हाँ, हम बिना गुणनखण्ड करके अनुमान लगा सकते हैं कि यह पूर्ण घन है।

(i) 4913 – 4913 के सबसे दाईं ओर के अंक से प्रारम्भ करते हुए तीन-तीन अंकों के समूह बनाएंगे । ये समूह 4 तथा 913 हैं । इस स्थिति में एक समूह 913 है जिसमें तीन अंक हैं और दूसरा समूह 4 है, जिसमें 1 अंक है।
पहले हम 913 लेंगे । इसकी इकाई का अंक 3 है । तो घनमूल की इकाई का अंक 7 लेते हैं, दूसरे समूह 4 को लेंगे।
1 का घन 1 है और 2 का घन 8 है । संख्या 4, संख्याओं 1 तथा 8 के बीच में स्थित है। अब 1 और 2 में से छोटी संख्या 1 है । 1 में इकाई का अंक स्वयं 1 है । हम 1 को वाँछित घनमूल का दहाई के अंक लेते हैं।
इस प्रकार, \(\sqrt[3]{4913}\) = 17

(ii) 12167 – 12167 के दाई ओर के अंक से प्रारम्भ करते हुए तीन-तीन अंकों के दो समूह 12 तथा 167 बनायेंगे । इनमें एक में 2 अंक तथा दूसरे में 3 अंक हैं ।
पहले हम 167 को लेंगे, इसकी इकाई का अंक 7 है तो घनमूल की इकाई का अंक 3 लेंगे ।
दूसरे समूह 12 को लेंगे । 2 का घन 8 है और 3 का घन 27 है । अत: संख्या 12, संख्याओं 8 और 27 के बीच में
अब, 2 और 3 में छोटी संख्या 2 है।
2 में इकाई का अंक स्वयं 2 है ।
हम 2 को वांछित घनमूल के दहाई का अंक लेते हैं।
इस प्रकार, \(\sqrt[3]{12167}\) = 23

(iii) 32768 – 32768. के दाई ओर के अंक प्रारम्भ करते हुए तीन-तीन अंकों के दो समूह 32 तथा 768 बनते पहले हम 768 को लेते हैं । इसकी इकाई का अंक 8 है। हम वांछित घनमूल की इकाई का अंक 2 लेते हैं।
दूसरे समूह 32 को लेते हैं । 3 का घन 27 है और 4 का घन 64 है। संख्या 32, संख्याओं 27 तथा 64 के बीच में स्थित है।
अब, 3 और 4 में छोटी संख्या 3 है।।
3 में इकाई का अंक स्वयं 3 है । हम 3 को वांछित घनमूल के दहाई का अंक लेते हैं।
इस प्रकार, \(\sqrt[3]{32768}\) = 32.

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 7 घन और घनमूल Ex 7.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 7 घन और घनमूल Ex 7.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से कौनसी संख्याएँ पूर्णघन नहीं है?
(i) 216
हल:
216 का अभाज्य गुणनखण्ड करने पर
216 = 6 × 6 × 6
अत: यहाँ 6 का त्रिक् बन रहा है ।
इसलिए 216 पूर्ण घन है ।

(ii) 128
हल:
28 का अभाज्य गुणनखण्ड करने पर
128 = \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × 2
यहाँ, 2 का त्रिक् बनने के बाद 2 शेष रहता है ।
अतः 128 पूर्ण घन नहीं है ।

(iii) 1000
हल:
1000 का अभाज्य गुणनखंड करने पर
1000 = 10 × 10 × 10
अत: यहाँ 10 का त्रिक् बन रहा है ।
इसलिए 1000 पूर्ण घन है ।

(iv) 100
हल:
100 के अभाज्य गुणनखंड करने पर
100 = 2 × 2 × 5 × 5
यहाँ, 2, 5 का त्रिक् नहीं बन शेष रहा है ।
अतः 100 पूर्ण घन नहीं है ।

(v) 46656
हल:
46656 के अभाज्य गुणनखंड करने पर
46656 = \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3 \times 3}\) × \(\underline{3 \times 3 \times 3}\)
यहाँ, 2, 3 का त्रिक् नहीं बन शेष रहा है ।
अतः 46656 पूर्ण घन नहीं है ।

प्रश्न 2.
वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे निम्नलिखित संख्याओं को गुणा करने पर पूर्ण घन प्राप्त हो जाए-
(i) 243
(ii) 256
(iii) 72
(iv) 675
(v) 100
हल:
(i) 243
243 को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखने पर
243 = \(\underline{3 \times 3 \times 3}\) × 3 × 3
इस गुणनखण्ड में, 3 का त्रिक नहीं हैं।
अत: 243 पूर्ण घन नहीं है ।
हमें पूर्ण घन बनाने के लिए 3 से और गुणा करना पड़ेगा ।
अत: 243 × 3 =\(\underline{3 \times 3 \times 3}\) × \(\underline{3 \times 3 \times 3}\)
= 729
अतः 729 एक पूर्ण घन संख्या है ।

(ii) 256 = \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × 2 × 2
इस गुणनखण्ड में, 2 का त्रिक नहीं हैं।
अत: 256 पूर्ण घन नहीं है ।
हमें पूर्ण घन बनाने के लिए 2 से और गुणा करना पड़ेगा ।
अत: 256 पूर्ण घन नहीं है। हमें पूर्ण घन बनाने के लिए 2 से और गुणा करना पड़ेगा।
अत: 256 × 2 = \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2 \times 2}\)
= 512
अतः 512 एक पूर्ण घन संख्या है ।

(iii) 72 = \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × 3 × 3
इस गुणनखण्ड में, 3 का त्रिक नहीं हैं।
पूर्ण घन बनाने के लिए एक 3 से गुणा करना पड़ेगा ।
अत: 72 × 3 = \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3 \times 3}\)
= 216
अतः 216 एक पूर्ण घन संख्या है ।

(iv) 675 = \(\underline{3 \times 3 \times 3}\) × 5 × 5
इस गुणनखण्ड में 5 का त्रिक नहीं है।
अत: 675 पूर्ण घन नहीं है ।
पूर्ण घन बनाने के लिए 5 से और गुणा करना पड़ेगा।
अत: 675 × 5 = 3× 3 × 3 × 5 × 5 × 5
= 3375
अत: 3375 एक पूर्ण घन संख्या है।

(v) 100 = 2 × 2 × 5 × 5
इस गुणनखण्ड में 2 तथा 5 दोनों का त्रिक नहीं है।
अत: 100 पूर्ण घन नहीं है ।
पूर्ण घन बनाने के लिए 2 तथा 5 से गुणा करना पड़ेगा।
अत: 100 × 10 = 2 × 2 × 5 × 5 × 2 × 5
= 1000
अतः 1000 पूर्ण घन संख्या है।

प्रश्न 3.
वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए, जिससे निम्नलिखित संख्याओं को भाग देने पर भागफल एक पूर्ण घन प्राप्त हो जाये
(i) 81
(ii) 128
(iii) 135
(iv)192
(v) 704
हल :
(i) 81 = \(\underline{3 \times 3 \times 3}\) × 3

अभाज्य गुणनखण्ड में 3 त्रिक में नहीं 3/81 आ रहा है ।
अत: 81 एक पूर्ण घन नहीं है।
अतः इसे पूर्ण घन बनाने के लिए 81 में 39 3 का भाग दें, तो भागफल के अभाज्य 33 गुणनखण्ड में 3 नहीं आयेगा ।
इस प्रकार, 81 ÷ 3 = 3 × 3 × 3 = 27
अत: वह सबसे छोटी संख्या 3 है जिससे 81 को भाग देने पर भागफल एक पूर्ण घन प्राप्त होगा ।
अत: छोटी संख्या 3 है।

(ii) 128 = \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × 2

इस गुणनखण्ड में 2 का त्रिक नहीं है।
अत: 128 पूर्ण घन नहीं है ।
अत: 128 को 2 से भाग देने पर-
128 ÷ 2 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 64
अत: 2 से भाग देने पर, भागफल के अभाज्य गुणनखण्ड में 2 नहीं आयेगा ।
अत: सबसे छोटी संख्या 2 है, जिससे 128 में भाग देने पर भागफल पूर्ण घन संख्या प्राप्त होती है ।
अतः छोटी से छोटी संख्या = 2

(iii) 135 = \(\underline{3 \times 3 \times 3}\) × 5

गुणनखण्ड में 5 का त्रिक नहीं है ।
अत: 5 का भाग देने पर –
135 ÷ 5 = 3 × 3 × 3
= 27
संख्या 27 एक पूर्ण घन है।
अत: छोटी से छोटी संख्या = 5

(iv) 192 = \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × 3

गुणनखण्ड में 3 का त्रिक नहीं है ।
अत: 3 का भाग देने पर
192 ÷ 3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 64
जो कि एक पूर्ण घन है ।
अतः छोटी से छोटी संख्या = 3

(v) 704 = \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × 11

गुणनखण्ड में 11 का त्रिक नहीं है।
अत: 11 से भाग देने पर-
704 ÷ 11 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 64 जोकि एक पूर्ण घन संख्या है ।
अत: छोटी से छोटी संख्या = 11

प्रश्न 4.
परीक्षित प्लास्टिसिन का एक घनाभ बनाता है, जिसकी भुजाएँ 5cm, 2cm और 5cm हैं। एक घन बनाने के लिए ऐसे कितने घनाभों की आवश्यकता होगी?
हल :
माना, उसे । घनाभों की आवश्यकता होगी ।
तथा उसकी भुजाएँ = 5 cm, 2 cm तथा 5 cm हैं ।
तो घनाभ का आयतन = n × 5 × 2 ×5
अत: इसे पूर्ण घन बनाने के लिए 2 × 2 × 5 से गुणा करना पड़ेगा ।
अतः = \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{5 \times 5 \times 5}\)
अत: घन बनाने के लिए उसे (2 × 2 × 5) = 20 घनाभों की आवश्यकता होगी ।

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल Ex 6.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल Ex 6.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं के वर्गों के इकाई के अंक क्या होंगे?
(i) 81
(ii) 272
(iii) 799
(iv) 3853
(v) 1234
(vi) 26387
(vii) 52698
(viii) 99880
(ix) 12796
(x) 55555
हल:
संख्या 81 के वर्ग की इकाई का अंक 1 होगा ।
(i) 81 – संख्या 81 के वर्ग की इकाई का अंक 1 होगा ।
∵ 1² = 1

(ii) 272 – संख्या 272 के वर्ग की इकाई का अंक 4 होगा ।
∵ 2² = 4

(iii) 799 – संख्या 799 के वर्ग की इकाई का अंक 81 होगा ।
∵ 9² = 81

(iv) 3853 – संख्या 3853 के वर्ग की इकाई का अंक 9 होगा ।
∵ 3² = 9

(v) 1234 – संख्या 1234 के वर्ग की इकाई का अंक 16 होगा ।
∵ 4² = 16

(vi) 26387 – संख्या 26387 के वर्ग की इकाई का अंक 49 होगा ।
∵ 7² = 49

(vii) 52698 – संख्या 26387 के वर्ग की इकाई का अंक 64 होगा ।
∵ 8² = 64

(viii) 99880 – संख्या 99880 के वर्ग की इकाई का अंक 0 होगा ।
∵ 0² = 0

(ix) 12796 – संख्या 99880 के वर्ग की इकाई का अंक 36 होगा ।
∵ 6² = 36

(x) 55555 – संख्या 99880 के वर्ग की इकाई का अंक 25 होगा ।
∵ 5² = 25

प्रश्न 2.
निम्नलिखित संख्याएँ स्पष्ट रूप से पूर्ण वर्ग संख्याएँ नहीं हैं, इसका कारण दीजिए।
(i) 1057
(ii) 23453
(iii) 7928
(iv) 222222
(v) 64000
(vi) 89722
(vii) 222000
(viii) 505050.
हल:
(i) 1057 – संख्या 1057 के इकाई के स्थान पर 7 है, जो किसी की पूर्ण वर्ग संख्या में नहीं आता है। इसलिए संख्या 1057 एक पूर्ण वर्ग नहीं है।
(∵ जिस संख्या के अन्त (इकाई) में 0, 1, 4,5,6, 9 होता है, वह संख्या पूर्ण वर्ग होती (हो सकती) है ।

(ii) 23453 – इस संख्या में इकाई के स्थान पर 3 है, अत: यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं होगी ।

(iii) 7928 – इस संख्या में इकाई के स्थान पर 8 है, अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है ।।

(iv) 222222 – इस संख्या में इकाई के स्थान पर 2 है, अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है ।।

(v) 64000 – इस संख्या के अन्त में शून्यों की संख्या विषम (3) है विषम शून्यों वाली संख्या पूर्ण वर्ग संख्या नहीं होती है।

(vi) 89722 – इस संख्या में इकाई के स्थान पर 2 है। अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है ।।

(vii) 222000 – इस संख्या में शून्यों की संख्या विषम (3) है । अतः यह संख्या पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।

(viii)505050 – इस संख्या में इकाई स्थान पर शून्य है। अत: यह संख्या पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित संख्याओं में से किस संख्या का वर्ग विषम संख्या होगा?
(i) 431
(ii) 2826
(iii) 7779
(iv) 82004.
हल:
(i) 431 – संख्या 431 में इकाई के स्थान पर 1 है। और 1 विषम संख्या है। अतः इस संख्या का वर्ग भी एक विषम संख्या होगा ।
(ii) 2826 – इस संख्या 2826 में इकाई के स्थान पर 6 है। और 6 विषम संख्या है। अतः इस संख्या का वर्ग भी एक विषम संख्या होगा ।
(iii) 7779 – इस संख्या 7779 में इकाई के स्थान पर 9 है। और 9 विषम संख्या है। अतः इस संख्या का वर्ग भी एक विषम संख्या होगा ।
(iv) 82004 – इस संख्या 82004 में इकाई के स्थान पर 4 है। और 4 विषम संख्या है। अतः इस संख्या का वर्ग भी एक विषम संख्या होगा ।

प्रश्न 4.
निम्न. प्रतिरूप का अवलोकन कीजिए और रिक्त स्थान भरिए
11² = 121
101² = 10201
1001² = 1002001
100001² = 1………….. 2 …………….. 1
10000001² = ………………..
हल:
11² = 121
101² = 10201
1001² = 1002001
100001² = 10000200001
10000001² = 100000020000001
[नियम : जिस संख्या का वर्ग करते हैं, उस संख्या में 1 और 1 के बीच जितने शून्य होते हैं, तो वर्ग करने में 1, 2, 1 के बीच में उतने ही शून्य लगाये जाते हैं ।]

प्रश्न 5.
निम्नांकित प्रतिरूप का अवलोकन कीजिए और रिक्त स्थानों को भरिए
11² = 121
101² = 10201
10101² = 102030201
1010101² = ……………..
……………..² = 10203040504030201
हल:
11² = 121
101² = 10201
10101² = 102030201
1010101² = 1020304030201
101010101² = 10203040504030201

प्रश्न 6.
दिये गये प्रतिरूप का उपयोग करते हुए लुप्त संख्याओं को ज्ञात कीजिए।
1² + 2² + 2² = 3²
2² + 3² + 6² = 7²
3² + 4² + 12² = 13²
4² + 5² + _² = 21²
5² + (_)² + 30² = 31²
6² + 7² + (_)² = (_)²
हल :
इस प्रतिरूप में हम देखते हैं कि पहली संख्या तथा दूसरी संख्या का गुणा ही तीसरी संख्या है और तीसरी संख्या जो है उसके बाद जो संख्या होती है, वही चौथी संख्या है। अत: इसके द्वारा प्रारूप (प्रतिरूप) को पूरा कर सकते हैं।

(i) (4)² + (5)² + ( )² = (21)²
पहली तथा दूसरी संख्या का गुणनफल (4 × 5) = 20 तथा बीस के बाद 21 आ रहा है ।
अत: 4² + 5² + 20² = 21²

(ii) 5² + k² + 30² = 31²
∵5 × (k) = 30
∴ k = \(\frac{30}{5}\) = 6
अत: 5² + 6² + 30² = 31²

(iii) 6² + 7² + 42² = m²
6 और 7 का गुणा = 42 तथा 42 के बाद वाली संख्या = 43
अत: 6² + 7² + 42² = 43²

प्रश्न 7.
योग संक्रिया किये बिना योगफल ज्ञात कीजिए।
(i) 1 + 3 + 5 + 7 + 9
(ii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19
(iii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23.
नियम : प्रथम ॥ विषम संख्याओं का योगफल = n²
हल :
(i) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5² = 25.

(ii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 10² = 100.

(iii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 = 12² = 144.

प्रश्न 8.
(i) 49 को 7 विषम संख्याओं के योग के रूप में लिखिए।
(ii) 121 को 11 विषम संख्याओं के योग के रूप में लिखिए ।
हल :
(i) 49
(a) 49 – 1 = 48
(b)48 – 3 = 45
(c) 45 – 5= 40
(d) 40 – 7 = 33
(e) 33 – 9 = 24
(f) 24 – 11 = 13
(g) 13 – 13 = 0
अतः 49 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13

(ii) 121
(a) 121 – 1 = 120
(b) 120 – 3 =117
(c) 117 – 5 = 112
(d) 112 – 7 = 105
(e) 105 – 9 = 96
(f)96 – 11=85
(g) 85 – 13=72
(h) 72 – 15=57
(I) 57 – 17 =40
(j) 40 – 19=21
(k) 21 – 21 =0
अत: 121 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19+ 21

प्रश्न 9.
निम्नलिखित संख्याओं के वर्ग के बीच में कितनी संख्याएँ हैं?
(i) 12 और 13
(ii) 25 और 26
(iii) 99 और 100
हल :
(i) 12 और 13
12² and 13² के बीच में 2 × 12 = 24 संख्याएँ हैं, जो इन वर्ग संख्याओं के अन्तर से 1 कम है।
∵ (13)² – (12)² = 169 – 144 = 25

(ii) 25 और 26
25² and 26² के बीच में 2 × 25 = 50 संख्याएँ हैं। जो इन वर्ग संख्याओं के अन्तर से 1 कम है।
∵ (26)² – (25)² = 676 – 625 = 51

(iii) 99 और 100
99² and 100² के बीच में 99 × 2 = 198 संख्याएँ हैं। जो इन वर्ग संख्याओं के अन्तर से 1 कम है।
∵ (100)² – (99)² = 10000 – 9801 = 199

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल Ex 6.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल Ex 6.3

Question 1.
निम्नलिखित संख्याओं के वर्गमूल ज्ञात करने में .इकाई अंक की क्या संभावना है-
(i) 9801
(ii) 99856
(iii) 998001
(iv) 657666025
हल:
(i) 9801 – चूंकि 9801 में इकाई का अंक 1 है, अत: इसके वर्गमूल का इकाई अंक 1 या 9 हो सकता है।

(ii) 99856 – चूंकि इस संख्या में इकाई का अंक 6 है, अत: इसके वर्गमूल का इकाई अंक 4 . या 6 हो सकता है।

(iii) 998001 – चूंकि इसमें इकाई का अंक 1 है, अत: इसके वर्गमूल का इकाई अंक 1 या 9 हो सकता है।

(iv) 657666025 – चूँकि इस संख्या का इकाई का अंक 5 है, अत: इसके वर्गमूल का इकाई का अंक भी 5 होगा ।

प्रश्न 2.
बिना गणना किये वह संख्या बताएं जो वास्तव में पूर्ण वर्ग नहीं है –
(i) 153 (ii) 257 (iii) 408 (iv) 441
हल :
नियम: जिन संख्याओं में इकाई के अंक 2,3,7 या 8 होते हैं, वे संख्याएँ कभी पूर्ण वर्ग संख्या नहीं होती हैं ।
(i) 153 – चूँकि इस संख्या में इकाई का अंक 3 है ।
अतः 153 पूर्ण वर्ग नहीं है ।

(ii) 257 – चूँकि इस संख्या में इकाई का अंक 7 है।
अत: 257 पूर्ण वर्ग नहीं है ।

(iii) 408 – चूँकि इस संख्या में इकाई का अंक 8 है।
अत: 408 पूर्ण वर्ग नहीं है।

(iv) 441 – चूँकि इस संख्या में इकाई का अंक 1 है ।
अत: 441 पूर्ण वर्ग हो सकती है ।

प्रश्न 3.
बार-बार घटाने की विधि से 100 तथा 169 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।
हल:
(a) 100 – 1 = 99
(b) 99 – 3 = 96
(c) 96 – 5 = 91
(d) 91 – 7 = 84
(e) 84 – 9 = 75
(f) 75 – 11 = 64
(g) 64 – 13 = 51
(h) 51 – 15 = 36
(i) 36 – 17 = 19
(j) 19 – 19 = 0
चूँकि संख्या 1 से क्रमागत विषम संख्याओं को 100 में से घटाने पर 10 वाँ पद (0) शून्य प्राप्त होता है ।
अत: \(\sqrt {100}\) = 10

(ii) 169
(a) 169 – 1 = 168
(b) 168 – 3 = 165
(c) 165 – 5 = 160
(d) 160 – 7 = 153
(e) 153 – 9= 144
(f) 144 – 11 = 133
(g) 133 – 13 = 120
(h) 120 – 15 = 105
(i) 105 – 17= 88
(j) 88 – 19 = 69
(k) 69 – 21 = 48
(l) 48 – 23 = 25
(m) 25 – 25 = 0
चूँकि संख्या 1 से क्रमागत विषम संख्याओं को 169 में से घटाने पर 13 वाँ पद 0 शून्य प्राप्त होता है ।
अत: \(\sqrt {169}\) = 13

प्रश्न 4.
अभाज्य गुणनखण्ड विधि से निम्नांकित संख्याओं का वर्गमूल ज्ञात कीजिए –
(i) 729
(ii) 400
(ii) 1764
(iv) 4096
(v) 7744
(vi) 9604
(vii) 5929
(viii) 9216
(ix) 529
(x) 8100
हल:
(i) 729
729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
= 3² × 3² × 3²
= (3 × 3 × 3)²
= (27)²
अत: \(\sqrt {729}\) = 27

(ii) 400
400 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5
= 2² × 2² × 5²
= (2 × 2 × 5)²
= (20)²
अत: \(\sqrt {200}\) = 20

(iii) 1764
1764 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 7
= 2² × 3² × 7²
= (2 × 3 × 7)²
= (42)²
अत: \(\sqrt {1764}\) = 42

(iv) 4096
4096 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 2² × 2² × 2² × 2² × 2² × 2²
= (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2)²
= (64)²
अत: \(\sqrt {4096}\) = 64

प्रश्न 5.
निम्नलिखित संख्याओं में प्रत्येक के लिए वह सबसे छोटी पूर्ण संख्या ज्ञात कीजिए, जिससे इस संख्या को गुणा करने पर यह एक पूर्ण वर्ग संख्या बन जाये । इस पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल ज्ञात कीजिए
(i) 252
(ii) 180
(iii) 1008
(iv) 2028
(v) 1458
(vi) 768
हल :
(i) 252
252 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × 7

अभाज्य गुणनखण्ड के अनुसार 7 का जोड़ा नहीं है।
अत: यदि 7 का एक जोड़ा बनाते हैं तब संख्या 252 पूर्ण वर्ग हो जायेगी ।
अत: 252 में 7 का गुणा करने पर-
252 × 7 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × \(\underline{7 \times 7}\)
= 1764 एक पूर्ण वर्ग संख्या है।
अत: सबसे छोटी वांछित संख्या = 7
और \(\sqrt {1764}\) = 2 × 3 × 7
= 42.

(ii) 180
180 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × 5

अभाज्य गुणनखण्ड के अनुसार 5 का जोड़ा नहीं है।
अत: 180 में 5 का गुणा करने पर-
180 × 5 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × \(\underline{5 \times 5}\)
= 900 (पूर्ण वर्ग संख्या )
अत: सबसे छोटी वांछित संख्या = 5
और \(\sqrt {900}\) = 2 × 3 × 5
= 30.

(iii) 1008
1008 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × 7.

अभाज्य गुणनखण्ड के अनुसार 7 का जोड़ा नहीं है।
अत: 1008 में 7 का गुणा करने पर-
1008 × 7 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × \(\underline{7 \times 7}\)
= 7056 (पूर्ण वर्ग संख्या)
अत: सबसे छोटी वांछित संख्या = 7
तथा \(\sqrt {7056}\) = 2 × 2 × 3 × 7 = 84.

(iv) 2028
2028 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{13 \times 13}\) × 3

अभाज्य गुणनखण्ड के अनुसार 3 का जोड़ा नहीं है।
अत: 2028 में 3 का गुणा करने पर-
2028 × 3 =\(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × \(\underline{13 \times 13}\) (पूर्ण वर्ग संख्या)
= 6084
अत: सबसे छोटी वांछित संख्या = 3
और ∴ \(\sqrt {6084}\) = 2 × 3 × 13 = 78

(v) 1458
1458 = \(\underline{3 \times 3}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × 2

अभाज्य गुणनखण्ड के अनुसार 2 का जोड़ा नहीं है।
अत: 1458 में 3 का गुणा करने पर-
1458 × 2 = \(\underline{3 \times 3}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × \(\underline{2 \times 2}\) (पूर्ण वर्ग संख्या)
अत: सबसे छोटी वांछित संख्या = 2
अत: \(\sqrt {2916}\) = 2 × 3 × 3 × 3 = 54

(vi) 768
768 = 2 × 2 × 2 × 2 ×2 × 2 × 2 × 2 × 3

अभाज्य गुणनखण्ड के अनुसार 3 का जोड़ा नहीं है।
अत: 768 में 3 का गुणा करने पर-
768 × 3 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\)
अत: सबसे छोटी वांछित संख्या = 3
\(\sqrt {2304}\) = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 48.

प्रश्न 6.
निम्नलिखित संख्याओं में प्रत्येक के लिए वह सबसे छोटी पूर्ण संख्या ज्ञात कीजिए जिससे इस संख्या को भाग देने पर वह एक पूर्ण वर्ग संख्या बन जाए। इस तरह ज्ञात की गई संख्या का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए।
(i) 252
(ii) 2925
(iii) 396
(iv) 2645
(v) 2800
(vi) 1620
हल:
(i) 252
252 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × 7

अभाज्य गुणनखण्ड के अनुसार 7 का जोड़ा नहीं है।
इसलिए, 252 में 7 का भाग दिया जाय, तो
252 ÷ 7 = 36
= \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\)
अत: सबसे छोटी वांछित संख्या = 7
और \(\sqrt {36}\) = 6

(ii) 2925
2925 = \(\underline{5 \times 5}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × 13

अभाज्य गुणनखण्ड के अनुसार 13 का जोड़ा नहीं है।
इसलिए, 2925 में 13 का भाग दिया जाय, तो
2925 ÷ 13 = 225
= \(\underline{5 \times 5}\) × \(\underline{3 \times 3}\)
अत: सबसे छोटी वांछित संख्या = 13 और
\(\sqrt {225}\) = 15

(iii) 396
396 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × 11

अभाज्य गुणनखण्ड के अनुसार 11 का जोड़ा नहीं है।
अत: 396 में 11 का भाग देने पर-
396 ÷ 11 = 36 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\)
अत: सबसे छोटी वांछित संख्या = 11
और \(\sqrt {36}\) = 2 × 3 = 6

(iv) 2645
2645 = \(\underline{23 \times 23}\) × 5

अभाज्य गुणनखण्ड के अनुसार 5 का जोड़ा नहीं है।
अत: 2645 में 5 का भाग देने पर-
2645 ÷ 5 = 529 = 23 × 23
अत: सबसे छोटी संख्या = 5
और \(\sqrt {529}\) = 23.

(iv) 2800
2800 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{5 \times 5}\) × 7

अभाज्य गुणनखण्ड के अनुसार 7 का जोड़ा नहीं है।
अत: 2800 में 7 का भाग देने पर-
2800 ÷ 7 = 400 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{5 \times 5}\)
अत: सबसे छोटी संख्या = 7
और \(\sqrt {400}\) = 2 × 2 × 5 = 20

(iv) 1620
1620 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × 5

अभाज्य गुणनखण्ड के अनुसार 5 का जोड़ा नहीं है।
अत: 1620 में 5 का भाग देने पर-
1620 ÷ 5 = 324 = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × \(\underline{3 \times 3}\)
अत: सबसे छोटी संख्या = 5
और \(\sqrt {324}\) = 2 × 2 × 3
\(\sqrt {324}\) = 18

प्रश्न 7.
एक राष्ट्रीय विद्यालय में कक्षा VIII के सभी विद्यार्थियों ने प्रधानमंत्री राहत कोष में 2401 रुपए दान में दिए। प्रत्येक विद्यार्थी ने उतने ही रुपए दान में दिए जितने कक्षा में विद्यार्थी थे। कक्षा के विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना, विद्यार्थियों में कुल संख्या = x
प्रत्येक विद्यार्थी ने दान में दिए = ₹ x

अतः x × x = 2401 (∵ कुल दान में रु. दिये)
x² = 2401
x = \(\sqrt{2401}\)
= \(\sqrt{7 \times 7 \times 7 \times 7}\)
x = 7 × 7 = 46
अत: कक्षा में कुल विद्यार्थियों की संख्या = 49

प्रश्न 8.
एक बाग में 2025 पौधे इस प्रकार लगाये जाने हैं कि प्रत्येक पंक्ति में उतने ही पौधे हों, जितनी पंक्तियों की संख्या हो । पंक्तियों की संख्या और प्रत्येक पंक्ति में पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना, पंक्तियों की संख्या = x
तथा प्रत्येक पंक्ति में पौधों की संख्या =x

∴ कुल पौधों की संख्या= x × x = 2025
∴ x² = 2025
x = \(\sqrt{2025}\) = \(\sqrt{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5}\)
∴ x = 5 × 3 × 3 = 45
अतः पंक्तियों की संख्या = 45 तथा
प्रत्येक पंक्ति में पौधे की संख्या = 45

प्रश्न 9.
वह सबसे छोटी वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए जो 4, 9 और 10 प्रत्येक से विभाजित हो जाए।
हल:
4,9 व 10 का ल. स. प.
= 2 × 2 × 3 × 3 × 5
= 180

180 का अभाज्य गुणनखण्ड = \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × 5
इस गुणनखण्ड में 5 का जोड़ा नहीं है।
∴ 180 पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।
अतः 180 को पूर्ण वर्ग संख्या बनाने के लिए 5 का गुणा किया जाये, जिससे 180 के गुणनखण्ड में 5 का जोड़ा बन जायेगा ।
∴ 180 × 5 = 900 (यह पूर्ण वर्ग संख्या है)
= \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × \(\underline{5 \times 5}\)
अत: अभीष्ट सबसे छोटी वर्ग सख्या = 900

प्रश्न 10.
वह सबसे छोटी वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए, जो प्रत्येक 8, 15 और 20 से विभाजित हो जाये।
हल :
8, 15 व 20 का ल. स. प.
= 2 × 2 × 2 × 3 × 5
= 120

अत: इनके जोड़ा बनाने के लिए 120 में 2,3 व 5 का गुणा करना पड़ेगा।
अत: संख्या = 120 × 2 × 3 × 5
= 3600 ⇒ \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3}\) × \(\underline{5 \times 5}\)
अत: पूर्ण वर्ग संख्या = 3600
जो कि, क्रमशः प्रत्येक 8, 15, 20 से पूर्णतः विभाजित भी होगी ।
अभीष्ट सबसे छोटी वर्ग संख्या = 3600

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल Ex 6.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल Ex 6.2

नोट: संख्याओं का वर्ग ज्ञात करने के लिए मुख्य संख्या को उचित रूप से दो संख्याओं में इस प्रकार विभाजित करेंगे कि उनका योग मुख्य संख्या हो, तब निम्नांकित प्रकार से उसको हल करेंगे। जैसे संख्या का वर्ग ज्ञात करना है,
तो
x² = (a + b)²
= (a + b)(a + b)
x² = a(a + b) + b(a + b)

प्रश्न 1.
निम्न संख्याओं का वर्ग ज्ञात कीजिए-
(i) 32
(ii) 35
(iii) 86
(iv) 93
(v) 71
(vi) 46.
हल:
(i) 32
32² = (30 + 2)²
= (30 + 2) (30 + 2)
= 30(30 + 2) + 2(30 + 2)
= 30 × 30 + 30 × 2 + 2 × 30 + 2 × 2
= 900 + 60 + 60 + 4 = 1024.
अतः 32² = 1024.

(ii) 35
35² = (30 + 5)²
= 30(30 + 5) + 5(30 + 5)
= 30 × 30 + 30 × 5 + 5 × 30 + 5 × 5
= 900 + 150 + 150 + 25 = 1225
अतः 35² = 1225.

(iii) 86
86² = (80 + 6)²
= 80(80 + 6) + 6(80 + 6)
= 80 × 80 + 80 × 6 + 6 × 80 + 6 × 6
= 6400 + 480 + 480 + 36 = 7396
अतः 86² = 1225.

(iv) 93
93² = (90 + 3)²
= (90 + 3) (90 + 3)
= 90 × 90 + 90 × 3 + 3 × 90 + 3 × 3
= 8100 + 270 + 270 + 9
= 8649
अतः 93² = 8649.

(v) 71
71² = (70 + 1)²
= 70(70 + 1) + 1(70 + 1)
= 70 × 70 + 2 × 70 × 1 + 1 × 1
= 4900 + 140 + 1 = 5041
अतः 71² = 5041.

(vi) 46
46² = (40 + 6)²
= 40(40 + 6) + 6(40 + 6)
= 40 × 40 + 40 × 6 + 6 × 40 + 6 × 6
= 1600 + 240 + 240 + 36
= 2116
अतः 46² = 2116.

प्रश्न 2.
पाइथागोरस त्रिक लिखिए जिसका एक सदस्य है-
(i) 6
(ii) 14
(iii) 16
(iv) 18.
हल:
(i) 6
m² – 1 = 6
m² = 6 + 1 = 7
m² = 7
अतः m का मान पूर्णांक नहीं होगा ।
m² + 1 = 6
m² = 6 – 1 = 5
m² = 5
अतः m का मान पूर्णांक नहीं होगा ।
इसलिए,
2m = 6
∴ m = 3
फिर, m² – 1 = 3² – 1 = 9 – 1 = 8
तथा, m² + 1 = 3² + 1 = 9 + 1 = 10
अतः त्रिक् हैं – 6, 8, 10

(ii) 14
m² – 1 = 14
m² = 14 + 1 = 15
m² = 15
अतः m का मान पूर्णांक नहीं होगा ।
m² + 1 = 14
m² = 14 – 1 = 13
m² = 13
अतः m का मान पूर्णांक नहीं होगा ।
इसलिए,
2m = 14
∴ m = 7
फिर, m² – 1 = 7² – 1 = 49 – 1 = 48
तथा, m² + 1 = 7² + 1 = 49 + 1 = 50
अतः त्रिक् हैं – 14, 48, 50

(iii) 16
m² – 1 = 16
m² = 16 + 1 = 17
m² = 17
अतः m का मान पूर्णांक नहीं होगा ।
m² + 1 = 16
m² = 16 – 1 = 15
m² = 15
अतः m का मान पूर्णांक नहीं होगा ।
इसलिए,
2m = 16
∴ m = 8
फिर, m² – 1 = 8² – 1 = 64 – 1 = 63
तथा, m² + 1 = 8² + 1 = 64 + 1 = 65
अतः त्रिक् हैं – 16, 63, 65

(iv) 18
m² – 1 = 18
m² = 18 + 1 = 19
m² = 19
अतः m का मान पूर्णांक नहीं होगा ।
m² + 1 = 18
m² = 18 – 1 = 17
m² = 17
अतः m का मान पूर्णांक नहीं होगा ।
इसलिए,
2m = 18
∴ m = 9
फिर, m² – 1 = 9² – 1 = 81 – 1 = 80
तथा, m² + 1 = 9² + 1 = 81 + 1 = 82
अतः त्रिक् हैं – 18, 80, 82

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 3 चतुर्भुजों को समझना InText Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 3 चतुर्भुजों को समझना Intext Questions

प्रश्न 1.
निम्न आकृतियों का सुमेलन कीजिए

हल:
इनका सुमेलन निम्न प्रकार है-

उत्तर:
1. (c), 2. (d), 3. (b), 4. (a).

(इन्हें कीजिए। – पृष्ठ 44)

प्रश्न 1.
कोई एक चतुर्भुज, माना ABCD, लीजिए (आकृति के अनुसार)। एक विकर्ण खींचकर, इसे दो त्रिभुजों में बाँटिए। आप छः कोण 1,2,3,4,5 और 6 प्राप्त करते हैं। त्रिभुज के कोण-योग वाले गुणधर्म का उपयोग कीजिए और तर्क कीजिए कि कैसे ∠A, ∠B, ∠C तथा ∠D की मापों का योगफल 180° + 180° = 360° हो जाता है।

हल :
माना कि ABCD एक चतुर्भुज है, जिसका एक विकर्ण AC है।
अतः ∠1 + ∠4 = ∠A
तथा ∠2 + ∠5 = ∠C
हम जानते हैं कि किसी त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180* होता है। इस प्रकार
ΔABC में, ∠4 + ∠5 + ∠B = 180° ….(1)
तथा, ΔACD में, .
∠1 + ∠2 + ∠D = 180° …..(2)

अब समी. (1) और (2) को जोड़ने पर,
(∠4 + ∠5 + ∠B) + (∠1 + ∠2 + ∠D) = 180° + 180°
⇒ (∠1 + ∠4) + ∠B + (∠2 + ∠5) + ∠D = 360°
⇒ ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°
[∵ ∠1 + ∠4 = ∠A तथा ∠2 + ∠5 = ∠C]
अतः ∠A, ∠B, ∠C तथा ∠D कि मापों का योगफल 180° + 180° = 360° हो जाता है।

प्रश्न 2.
किसी चतुर्भुज ABCD की गत्ते वाली चार सर्वांगसम प्रतिलिपियाँ लीजिए, जिनके कोण आकृति (i) में दर्शाए गए हैं। इन प्रतिलिपियों को इस प्रकार से व्यवस्थित कीजिए, जिससे ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, एक ही बिन्दु पर मिलें जैसा कि आकृति (ii) में दर्शाया गया है।

आप ∠1, ∠2, ∠3 तथा ∠4 के योगफल के बारे में क्या कह सकते हैं?
हल :
चूंकि एक चतुर्भुज के चारों कोणों की मापों का योगफल 360 होता है, अत: चतुर्भुज ABCD में,
∠A + ∠B + ∠C+ ∠D = 360
∴ m∠1+ m∠2+ m∠3+ m∠4 = 360°

प्रश्न 3.
चतुर्भुज ABCD पर विचार कीजिए (आकृति के अनुसार)।माना इसके अभ्यंतर में कोई बिन्दु P स्थित है।
P को शीर्षों A, B, C तथा D से जोडिए।आकृति में, ΔPAB पर विचार कीजिए।हम देखते हैं कि x = 180° – m∠2 – m∠3; इसी प्रकार APBC, से y = 180° – m∠4 – m∠5, ΔPCD से z = 180° – m∠6 – m∠7 और ΔPDA, w = 180° – m∠8 – m∠1 इसका उपयोग करके कुल माप m∠1 + m∠2 + … + m∠8, ज्ञात कीजिए। क्या यह आप को परिणाम तक पहुंचाने में सहायता करता है? याद रखिए, ∠x + ∠y + ∠z + ∠w = 360° है।

हल :
हम जानते हैं कि किसी त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।
अतः x = 180° – ∠2 – ∠3 …..(1)
y = 180° – ∠4 – ∠5 …..(2)
z = 180° – ∠6 – ∠7 …..(3)
w = 180° – ∠8 – ∠1 …..(4)

(1), (2), (3) तथा (4) को जोड़ने पर,
x + y + z + w = 720° – (∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 + ∠7 + ∠8)
परन्तु x + y + z + w = 360°
∴ 360° = 720° – (∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 + ∠7 + ∠8)
⇒ ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 + ∠7 + ∠8
= 720° – 360° = 360°
इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि किसी चतुर्भुज के चारों कोणों का योग 360° होता है।

प्रश्न 4.
ये सभी चतुर्भुज उत्तल (Convex) चतुर्भुज थे। यदि चतुर्भज उत्तल नहीं होते तो क्या होता? चतुर्भुज ABCD पर विचार कीजिए। इसे दो त्रिभुजों में बाँटिए और अंतःकोणों का योगफल ज्ञात कीजिए। (आकृति देखें) ।

हल:
चतुभुज ABCD में BD को मिलाया, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। कोणों को चिह्नित कर नाम दिया।

चूँकि त्रिभुज के तीनों कोणों के योग 180° होता है, अतः
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 + ∠7 + ∠8 = 180° + 180°
⇒ ∠1 + (∠2 + ∠6) + ∠5 + (∠3 + ∠4) = 360°
⇒ ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°
अतः अंतःकोणों का योग 360° है।

(प्रयास कीजिए – पृष्ठ 47)

प्रश्न 1.
एक सम षड्भुज लीजिए (आकृति के अनुसार)

(i) बाह्य कोणों x, y, z, p, q तथा r की मापों का योग क्या है?
(ii) क्या x = y = z = p = q = r है? क्यों?
(iii) प्रत्येक की माप क्या है?
(a) बाह्य कोण
(b) अन्तःकोण
(iv) इस क्रियाकलाप को निम्नलिखित के लिए दोहराएँ:
(a) एक सम अष्टभुज
(b) एक सम 20 भुज
हल:
(i) चूँकि समषड्भुज बाह्य कोण x तथा अन्त:कोण a रैखिक युग्म बनाता है और रैखिक युग्म के कोणों का योग 180° होता है।
∴ x + ∠a = 180°
इसी प्रकार, y + ∠a = 180°
z + ∠a = 180°
p + ∠a = 180°
q + ∠a= 180°
r + ∠a = 180°
दोनों पक्षों के कोणों को जोड़ने पर,
(∠x + ∠y + ∠z + ∠p + ∠q + ∠r) + (∠a + ∠a + ∠a + ∠a + ∠a + ∠a) = 180° × 6 = 1080°
⇒ (∠x + ∠y + ∠z + ∠p + ∠q + ∠r) + (6 – 2) × 180° = 1080°
⇒ (∠x + ∠y + ∠z + ∠p + ∠q + ∠r) + 720° = 1080°
⇒ ∠x + ∠y + ∠z + ∠p + ∠q + ∠r = 1080° – 720° = 360°
अतः बाह्य कोणों की मापों का योग 360° होता है।

(ii) हाँ, x = y = z = p = q = r; क्योंकि इनमें से प्रत्येक 180° – a के बराबर है।

(iii) (a) प्रत्येक बाह्य कोण = \(\frac{360°}{6}\) = 60°
(ii) प्रत्येक अन्तःकोण = \(\frac{(n-2) \times 180^{\circ}}{n}\),
जहाँ n = 6,
= \(\frac{(6-2) \times 180^{\circ}}{6}\) = \(\frac{4 \times 180^{\circ}}{6}\)
= 4 × 30° = 120°

(iv) (a) एक सम,अष्टभुज के सन्दर्भ में, n = 8 लेने पर
प्रत्येक अंत:कोण = \(\frac{(8-2) \times 180^{\circ}}{8}\) = \(\frac{6 × 180°}{8}\) = 135°
और प्रत्येक बाह्य कोण = 180° -135° = 450
(b) एक सम 20 भुज के सन्दर्भ में, n = 20 लेने पर
प्रत्येक अंत:कोण = \(\frac{(20-2) \times 180^{\circ}}{8}\)
= 18 × 9° = 162°

इन्हें कीजिए (पृष्ठ 49)

प्रश्न 1.
समान सर्वांगसम त्रिभुजों के कटे हुए भाग लीजिए जिनकी भुजाएँ 3 cm, 4 cm, 5 cm हैं। इन्हें व्यवस्थित कीजिए जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है।

आपको एक समलम्ब प्राप्त होता है। (निरीक्षण कीजिए) यहाँ पर कौन-सी भुजाएँ समान्तर हैं? क्या असमान्तर भुजाएँ बराबर माप की होनी चाहिए?
इन समान त्रिभुजों के समूह का उपयोग कर आप दो और समलम्ब प्राप्त कर सकते हैं। उनको ढूंढ़िए और अकी आकृतियों की चर्चा कीजिए।
हल:
दी गयी आकृति में भुजा AB || DC । दिए गये समलम्ब चतुर्भुज में असमान्तर भुजा AD = 4 cm तथा BC =3cm, अतः असमान्तर भुजाएँ बराबर नहीं है।
दिए गए समान त्रिभुजों के समूह से दो समलम्ब चतुर्भुज इस प्रकार प्राप्त हो सकते हैं-

इन्हें कीजिए (पृष्ठ 51)

प्रश्न 1.
दो अलग-अलग चौड़ाई वाली गत्ते की आयताकार पट्टियाँ लीजिए (आकृति के अनुसार)

एक गत्ते की पट्टी को समतल पर रखिए और इसके किनारों के अनुदिश रेखाएँ खींचिए।
अब दूसरी पट्टी को खींची गई रेखाओं के ऊपर तिरछी दिशा में रखिए और इसका उपयोग करते हुए दो और रेखाओं को खींचिए।
हल:

इन चार रेखाओं से बनी बंद आकृति चतुर्भुज है [आकृति (ii)]
यह समान्तर रेखाओं के दो युग्मों से मिलकर बनी है। यह एक समांतर चतुर्भुज है।
समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसकी सम्मुख भुजाएँ समांतर होती हैं।

प्रयास कीजिए। (पृष्ठ 52)

प्रश्न 1.
30° – 60° – 90° कोणों वाले दो समान सेट-स्क्वे यर लीजिए। अब इन्हें आपस में इस प्रकार मिलाकर रखिए जिससे एक समांतर चतुर्भुज बन जाए (आकृति के अनुसार)। क्या यह ऊपर बताए गए गुण की पुष्टि करने में आपकी सहायता करता है?

हल:
एक समान्तर चतुर्भुज ABCD लेते हैं।

समान्तर चतुर्भुज ABCD में एक विकर्ण AC खींचते हैं।
हम देखते हैं कि ∠1 = ∠2 और ∠3 = ∠4
क्योंकि त्रिभुज ABC और ADC में ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4 और AC उभयनिष्ठ है इसलिए, ASA सर्वांगसमता कसौटी
द्वारा –
∆ ABC ≃ ∆CDA
अत:
AB = DC और BC = AD

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए (पृष्ठ 54)

प्रश्न 1.
m∠R = m∠N = 70°, दर्शाने के उपरान्त क्या आप किसी अन्य विधि से m∠I और m∠G को ज्ञात कर सकते हैं?
Img 15
हल:
यह दिया गया है कि एक समान्तर चतुर्भुज RING में, m∠R = 70°
चूँकि RI ∥ GN और RG एक प्रतिच्छेदक है जो इनको क्रमशः R और G पर प्रतिच्छेदित करता है इसलिए
∠R + ∠G = 180° [अंतःसम्मुख कोण]
⇒ 70° + ∠G = 180°
⇒ ∠G = 180° – 70°
= 110°

अन्यविधि : RG|| IN तथा RI प्रतिच्छेदक है, जो क्रमश: R और I पर प्रतिच्छेदित करता है, इसलिए
∠R + ∠I = 180° [अन्तःसम्मुख कोण]
⇒ 70° + ∠I = 180°
⇒ ∠I = 180° – 70° = 110°
अतः ∠I = ∠G = 110°

इन्हें कीजिए (पृष्ठ 55)

प्रश्न 1.
समान्तर चतुर्भुज (मान लीजिए ABCD) का एक कटा हुआ भाग लीजिए (देखें आकृति)। माना इसके विकर्ण \(\overline{\mathrm{AC}}\) तथा \(\overline{\mathrm{DB}}\) एक-दूसरे को ‘O’ पर प्रतिच्छेद करते हैं। C को A पर रखकर एक तह (Fold) के द्वारा \(\overline{\mathrm{AC}}\) का ‘मध्य-बिन्दु ज्ञात कीजिए। क्या मध्य-बिन्दु O ही है? क्या यह दर्शाता है कि विकर्ण \(\overline{\mathrm{DB}}\), विकर्ण \(\overline{\mathrm{AC}}\) को बिन्दु ‘O’ पर समद्विभाजित करता है? अपने मित्रों के साथ इसकी चर्चा कीजिए। इस क्रियाकलाप को यह ज्ञात करने के लिए दोहराएँ कि \(\overline{\mathrm{DB}}\) का मध्य-बिन्दु कहाँ पर स्थित होगा?
हल:
C को A पर रखने पर हम पाते हैं कि \(\overline{\mathrm{AC}}\) का मध्य बिन्दु O है जो विकर्ण AC तथा BD का प्रतिच्छेदक बिन्दु है। अतः समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए (पृष्ठ 61)

प्रश्न 1.
एक राजमिस्त्री एक पत्थर की पट्टी बनाता है। वह उसे आयताकार बनाना चाहता है। कितने अलगअलंग तरीकों से उसे यह विश्वास हो सकता है कि यह आयताकार है?
हल :
राजमिस्त्री को निम्नलिखित अलग-अलग तरीकों से यह विश्वास हो सकता है कि उसने जो पत्थर की पट्टी बनाई है वह आयताकार है-
(i) यदि इसका प्रत्येक कोण 90° का हो।
(ii) यदि इसके विकर्ण बराबर हो।।
(iii) यदि इसकी सम्मुख भुजाएँ बराबर हों।

प्रश्न 2.
वर्ग को आयत के रूप में परिभाषित किया गया था जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। क्या हम इसे समचतुर्भुज के रूप में परिभाषित कर सकते हैं, जिसके कोण बराबर माप के हों? इस विचार को स्पष्ट कीजिए।
हल :
हम समचतुर्भुज के रूप में वर्ग को परिभाषित कर सकते हैं। एक समचतुर्भुज, जिसके कोण बराबर माप के हों, वर्ग है; क्योंकि कोण बराबर होते ही समचतुभुज का प्रत्येक कोण \(\frac{360°}{4}\) = 90° होगा। इस प्रकार सभी भुजाएँ बराबर लम्बाई की तथा सभी कोण 90 माप के हो जाते हैं। अतः यह एक वर्ग है।

प्रश्न 3.
क्या एक समलम्ब के सभी कोण बराबर माप के हो सकते हैं? क्या इसकी सभी भुजाएँबराबर हो सकती हैं? वर्णन कीजिए।
हल :
हाँ, जब समलम्ब के सभी कोण बराबर माप के हो जाते हैं, तब वह या तो आयत या वर्ग होता है। परन्तु जब समलम्ब की सभी भुजाएँ बराबर हो जाती हैं, तब वह या तो समचतुर्भुज होता है या वर्ग होता है।

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 5 आँकड़ो का प्रबंधन Ex 5.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 5 आँकड़ो का प्रबंधन Ex 5.3

प्रश्न 1.
इन प्रयोगों में आप जो परिणाम देख सकते हैं, उन्हें लिखिये
(a) पहिये को घुमाना,
(b) दो सिक्कों को एक साथ उछालना ।

हल :
(a) पहिये को घुमाने पर परिणाम है-
A,B,C,D

(b) दो सिक्कों को एक साथ उछालने पर परिणाम है
HT, HH, TH, TT.

(i) HT – पहले सिक्के पर Head तथा दूसरे सिक्के पर Tail.
(ii) HH – दोनों सिक्कों पर Head.
(iii) TH – पहले सिक्के पर Tail तथा दूसरे पर Head.
(iv) TT – दोनों सिक्कों पर Tail.

प्रश्न 2.
जब एक पासे को फेंका जाता है, तब निम्नलिखित घटना से प्राप्त होने वाले परिणामों को लिखिए-
(i) (a) एक अभाज्य संख्या,
(b) एक अभाज्य संख्या नहीं

(ii) (a) 5 से बड़ी एक संख्या
(b) 6 से बड़ी संख्या नहीं ।
हल:
(i) (a) अभाज्य संख्या प्राप्त करने की घटना के परिणाम – 2, 3, 5.
(b) एक अभाज्य संख्या नहीं के परिणाम – 1, 4, 6.
(ii) (a) 5 से बड़ी संख्या के परिणाम – 6
(b) 5 से बड़ी संख्या नहीं के परिणाम अर्थात् 6 से छोटी संख्या प्राप्त करने की घटना का परिणाम- 1, 2, 3, 4, 5.

प्रश्न 3.
ज्ञात कीजिए-
(a) [प्रश्न 1(a)] में सूचक के D पर रुकने की प्रायिकता ।

(b) अच्छी प्रकार से फेंटी हुई 52 तार्थों की एक गड्डी में से एक इक्का प्राप्त करने की प्रायिकता ।
(c) एक लाल सेब प्राप्त करने की प्रायिकता

हल :
(a) सूचक के D पर रुकने की प्रायिकता = \(\frac{1}{5}\)
(b) 1 इक्का प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{42}{52}\) = \(\frac{1}{13}\)
(:. गड्डी में 4 इक्के होते हैं)
(c) आकृति में, लाल सेब = 4
हरे सेब =3
कुल सेब = 7
1 लाल सेब प्राप्त करने की प्रायिकता = 4

प्रश्न 4.
10 पृथक् पर्चियों पर 1 से 10 तक संख्याएँ लिखी हुई हैं (1 पर्ची पर एक संख्या), उन्हें एक बॉक्स में रखकर अच्छी प्रकार से मिला दिया जाता है । बॉक्स के अन्दर से बिना देखे एक पर्ची निकाली जाती है । निम्नलिखित की प्रायिकता क्या है ?
(i) संख्या 6 प्राप्त करना ।
(ii) 6 से छोटी एक संख्या प्राप्त करना ।
(ii) 6 से बड़ी एक संख्या प्राप्त करना ।
(iv) 1 अंक की एक संख्या प्राप्त करना ।
हल :
(i) संख्या 6 प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{1}{10}\)
(ii) 6 से छोटी एक संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{5}{10}\) = \(\frac{1}{2}\)
(iii) 6 से बड़ी एक संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{4}{10}\) = \(\frac{2}{5}\)
(iv) 1 अंक की एक संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{9}{10}\)

प्रश्न 5.
यदि आपके पास 3 हरे त्रिज्यखण्ड, 1 नीला त्रिज्यखण्ड तथा 1 लाल त्रिज्यखण्ड वाला एक घूमने वाला पहिया है, तो एक हरा त्रिज्यखण्ड प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है? ऐसा त्रिज्यखण्ड प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है, जो नीला न हो ?
हल :

हरा त्रिज्यखण्ड प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{हरे रंगों की संख्या}{कुल रंगों की संख्या}\) = \(\frac{3}{5}\)
एक ऐसा त्रिज्यखंड प्राप्त करने की प्रायिकता, जो नीला नहीं है = \(\frac{4}{5}\)

प्रश्न 6. प्रश्न 2 में दी हुई घटनाओं की प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए।
हल :
(a) एक अभाज्य संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{3}{6}\) = \(\frac{1}{2}\)
(b) एक ऐसी संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता, जो अभाज्य नहीं हैं = \(\frac{3}{6}\) = \(\frac{1}{2}\)
(c) 5 से बड़ी संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता = \(\frac{1}{6}\)
(d) 5 से बड़ी संख्या प्राप्त नहीं करने की प्रायिकता = \(\frac{4}{6}\) = \(\frac{5}{6}\)