Class 8

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 9 बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ Ex 9.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 9 बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ Ex 9.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित युग्मों में प्रत्येक के व्यंजकों का गुणन कीजिए
(i) 4p, q + r
(ii) ab, a – b
(iii) a + b, 7a²b²
(iv) a² – 9, 4a
(v) pq + qr + rp, 0.
हल:
(i) 4p, q + r
गुणनफल = 4p × (q+ r)
= 4p × q + 4p × r
= 4pq + 4pr

(ii) ab, a – b
गुणनफल = ab × (a – b)
= (ab × a) – (ab × b)
= a²b – ab².

(iii) a + b, 7a²b²
गुणनफल = (a + b) × (7a²b²)
= 7a²b² + 7a²b³.

(iv) a² – 9, 4a
गुणनफल = 4a × (az – 9)
= (4a × a²) – (4a × 9)
= 4a³ – 36a.

(v) pq + qr + rp, 0.
गुणनफल = 0 × (pq – qr + rp)
= 0

प्रश्न 2.
सारणी पूर्ण कीजिए-

हल:

प्रश्न 3.
गुणनफल ज्ञात कीजिए
(i) (a²) × (2a²²) × (4a²⁶)
(ii) (\(\frac{2}{3}\)xy) × (\(-\frac{9}{10}\)x²y²
(iii) (\(\frac{-10}{3}\)pq³) × (\(\frac{6}{5}\)p³q)
(iv) x × x² × x³ × x⁴
हल:
(i) (a²) × (2a²²) × (4a²⁶)
गुणनफल = (1 × 2 × 4) × (a² × a²² × a²⁶)
= (1 × 2 × 4) × (a^2+22+26)
= 8(a⁵⁰)

(ii) (\(\frac{2}{3}\)xy) × (\(\frac{-9}{10}\)x²y²)
गुणनफल = (\(\frac{2}{3}\) × \(\frac{-9}{10}\)) × (xy × x²y²)
= \(\frac{-18}{30}\) × x³y³
= \(\frac{-3}{5}\) × x³y³

(iii) (\(\frac{-10}{3}\)pq³) × (\(\frac{6}{5}\)p³q)
गुणनफल = (\(\frac{-10}{3}\) × \(\frac{6}{5}\))(pq³ × p³q)
= \(\frac{-60}{15}\) × p⁴q⁴
= -4 p⁴q⁴

(iv) x × x² × x³ × x⁴
गुणनफल = x.x².x³.x⁴
= x^1+2+3+4
= x¹⁰.

प्रश्न 4.
(a) 3x (4x – 5) + 3 को सरल कीजिए और
(i) x = 3 एवं
(ii) x = \(\frac{1}{2}\) के लिए इसका मान ज्ञात कीजिए।

(b) (a² + a + 1) + 5 को सरल कीजिए और
(i) a = 0
(ii) a = 1
(iii) a = -1 के लिए इसका मान ज्ञात कीजिएं।
हल:
(a) 3x (4x – 5) + 3 = 12x² – 15x + 3

(i) x = 3 रेखने पर-
12 × (3)² – 15 × 3 + 3
= 12 × 9 – 45 + 3
= 108 – 45 – 3
= 66.

(ii) x = \(\frac{1}{2}\) रेखने पर-
12x² – 15x + 3
= 12 (\(\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\))² – 15 × \(\frac{1}{2}\) + 3
= 12 × \(\frac{1}{4}\) – \(\frac{15}{2}\) + 3
= 3 – \(\frac{15}{2}\) + 3
= 6 – \(\frac{15}{2}\)
= \(\frac{12-15}{2}\)
= \(\frac{-3}{2}\)

(b) a(a² + a + 1) + 5
= a³ + a² + a + 5

(i) a = 0 रेखने पर-
a³ + a² + a + 5 = (0)³ + (0)² + 0 + 5
= 5.

(ii) a = 1 रेखने पर-
a³ + a² + a + 5 = (1)³ + (1)² + 1 + 5
= 1 + 1 + 1 + 5
= 8.

(iii) a = -1 रेखने पर-
a³ + a² + a + 5 = (-1)³ + (-1)² + (-1) + 5
= -1 + 1 – 1 + 5
= 6 – 2
= 4

प्रश्न 5.
(a) p (p – q), q(q – r) एवं r(r – p) को जोड़िए।
(b) 2x (z – x – y) एवं 2y (x – y – x) को जोडिए।
(c) 4l (10n – 3m + 2) में से 3l(l – 4m + 5n) को घटाइए।
(d) 4c (- a + b + c) में से 3a (a + b + c) – 2b (a – b + c) को घटाइए।
हल:
(a) p (p – q) = p² – pq
q(q – r) = q² – qr
r(r – p) = r² – rp
इन तीनों पदों को निम्न प्रकार जोड़ेंगे –

(b) 2x (z – x – y) = 2xz – 2x² – 2xy
2y (x – y – x) = 2yz – 2y² – 2xy
योग

(c) 4l (10n – 3m + 2) = 40ln – 12lm + 8l²
तथा 3l(l – 4m + 5n) = 3l² – 12lm + 15ln
प्रश्नानुसार, घटाने पर-

(d) 4c (- a + b + c) = -4ca + 4bc + 4c²
तथा 3a (a + b + c) – 2b (a – b + c) = 3a² + 3ab + 3ac – (2ab + 2b² – 2bc)
= 3a² + 3ab + 3ac – 2ab + 2b² – 2bc
= 3a² + ab + 3ca + 2b² – 2bc
प्रश्नानुसार, घटाने पर-

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 9 बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ Ex 9.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 9 बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ Ex 9.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित एकपदी युग्मों का गुणनफल ज्ञात कीजिए-
(i) 4, 7p
(ii) -4p, 7p
(iii) -4p, 7pq
(iv) 4p³, -3p
(v) 4p, 0.
हल:
(i) 4 × 7p = (4 × 7) × p
= 28p.

(ii) -4p × 7p = (-4 × 7) × (p × p)
= -28p².

(iii) -4p × 7pq = (-4 × 7) × (p × pq).
= -28p²q.

(iv) 4p3, -3p = [(4) × (-3)] × (p3 × p)
= -12 p⁴.

(v) 4p × 0 = (4 × 0) × p = 0 × p = 0.

प्रश्न 2.
निम्नलिखित एकपदी युग्मों के रूप में लम्बाई एवं चौड़ाई रखने वाले आयतों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए
(p, q); (10m, 5n); (20x², 5y²); (4x, 3x²); (3mn, 4np)
हल :
हम जानते हैं कि-
आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई

प्रश्न 3.
गुणनफलों की सारणी को पूरा कीजिए-

हल:
पूर्ण तालिका निम्न प्रकार है

प्रश्न 4.
ऐसे आयताकार बक्सों का आयतन ज्ञात कीजिए जिनकी लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः निम्नलिखित है
(i) 5a, 3a², 7a⁴,
(ii) 2p, 4p, 8r,
(iii) xy, 2x²y, 2xy²,
(iv) a, 2b, 3c.
हल:
आयताकार बक्से का आयतन = लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई

(i) आयतन = 5a × 3a² × 7a⁴
= (5 × 3 × 7) × (a × a² × a⁴)
= 105a⁷

(ii) आयतन = 2p × 4q × 8r
= (2 × 4 × 8) × (p ×q × r)
= 64 pqr

(iii) आयतन = xy × 2x²y × 2xy²
= (1 × 2 × 2) × (xy × x²y × xy²)
= 4x⁴y⁴.

(iv) आयतन = a × 2b × 3c
= (1 × 2 × 3) (a × b × c)
= 6abc.

प्रश्न 5.
निम्नलिखित का गुणनफल ज्ञात कीजिए
(i) xy, yz, zx
(ii) a, -a², a³
(iii) 2, 4y, 8y², 16y³
(iv) a, 2b, 3c, 6abc
(v) m, -mn, mnp.
हल:
(i) xy, yz, zx
गुणनफल = xy × yz × zx
= (x.x) × (y.y) × (z.z)
= x²y²z².

(ii) a, -a², a³
गुणनफल = a × (-a²) × (a³)
= -a⁶.

(iii) 2 × 4y × 8y² × 16y³
= (2 × 4 × 8 × 16) × (y × y² × y³)
= 1024 y⁶.

(iv) a, 2b, 3c, 6abc
गुणनफल = a × 2b × 3c × 6abc
= (1 × 2 × 3 × 6) × (a x b × c × abc)
= 36a²b²c².

(v) m, -mn, mnp.
गुणनफल = mx (-mn) × mnp
= -m³n²p.

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 7 घन और घनमूल Intext Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 7 घन और घनमूल Intext Questions

(प्रयास कीजिए – पृष्ठ 119)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक के घन के इकाई का अंक ज्ञात कीजिए
(i) 3331
(ii) 8888
(iii) 149
(iv) 1005
(v) 1024
(vi) 77
(vii) 5022
(viii) 53
हल:

(प्रयास कीजिए – पृष्ठ 119)

प्रश्न 1.
निम्न प्रतिरूप का प्रयोग करते हुए, निम्नलिखित संख्याओं को विषम संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त कीजिए
(a) 6³
(b) 8³
(c) 7³
हल:
प्रतिरूप-
1 = 1 = 1³
3 + 5 = 8 = 2³
7 + 9 + 11 = 27 = 3³
13 + 15 + 17 + 19 = 64 = 4³
21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125 = 5³
हल:
दिए गए प्रतिरूप का प्रयोग करके पर,
(a) 6³ = 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 = 216
(b) 8³ = 57 + 59 + 61 + 63 + 65 + 67+ 69 + 71 = 512
(c) 7³ = 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 = 343

प्रश्न 2.
निम्नलिखित प्रतिरूप को देखिए
2³ – 1³ = 1 + 2 × 1 × 3
3³ – 2³ = 1 + 3 × 2 × 3
4³ – 3³ = 1 + 4 × 3 × 3
उपरोक्त प्रतिरूप का प्रयोग करते हुए निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए
(i) 7³ – 6³
(ii) 12³ – 11³
(iii) 20³ – 19³
(iv) 51³ – 50³
हल:
दिए गए प्रतिरूप का प्रयोग करके
(i) 7³ – 6³ = 1 + 7 × 6 × 3 = 1 + 126 = 127
(ii) 12³ – 11³ = 1 + 12 × 11 × 3 = 1 + 396 = 397.
(iii) 20³ – 19³ = 1 + 20 × 19 × 3 = 1 + 1140 = 1141
(iv) 51³ – 50³ = 1 + 51 × 50 × 3 = 1 + 7650 = 7651

(प्रयास कीजिए – पृष्ठ 120)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से कौनसी संख्याएँ पूर्ण घन हैं?
(i) 400
(ii) 3375
(iii) 8000
(iv) 15625
(v) 9000
(vi) 6859
(vii) 2025
(viii) 10648
हल:
(i) 400 का अभाज्य गुणनखंड करने पर

400 = \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × 2 × 5 × 5
चूँकि अभाज्य गुणनखंडों के त्रिक बनाने पर 2 × 5 × 5 शेष बचते हैं।
अतः 400 एक पूर्ण घन संख्या नहीं है।

(ii) 3375
3375 का अभाज्य गुणनखंड करने पर

3375 = \(\underline{3 \times 3 \times 3}\) × \(\underline{5 \times 5 \times 5}\)
चूँकि 3375 के अभाज्य गुणनखंडों के त्रिक बनाने पर कोई भी गुणनखण्ड नहीं बचता है।
अतः 3375 एक पूर्ण घन संख्या नहीं है।

(iii) 8000
8000 का अभाज्य गुणनखंड करने पर-

8000 = \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{5 \times 5 \times 5}\)
चूँकि 8000 के अभाज्य गुणनखंडों के त्रिक बनाने पर कोई भी गुणनखण्ड नहीं बचता है।
अतः 8000 एक पूर्ण घन संख्या नहीं है।

(iv) 15625
15625 का अभाज्य गुणनखंड करने पर-

15625 = \(\underline{5 \times 5 \times 5}\) × \(\underline{5 \times 5 \times 5}\)
चूँकि 15625 के अभाज्य गुणनखंडों के त्रिक बनाने पर कोई भी गुणनखण्ड नहीं बचता है।
अतः 15625 एक पूर्ण घन संख्या नहीं है।

(v) 9000
9000 का अभाज्य गुणनखंड करने पर-

9000 = \(\underline{5 \times 5 \times 5}\) × 3 × 3 × \(\underline{5 \times 5 \times 5}\)
चूँकि 9000 के अभाज्य गुणनखंडों के त्रिक बनाने पर 3 × 5 शेष बचते है।
अतः 9000 एक पूर्ण घन संख्या नहीं है।

(vi) 6859
6859 का अभाज्य गुणनखंड करने पर-

6859 = \(\underline{19 \times 19 \times 19}\)
चूँकि 6859 के अभाज्य गुणनखंडों के त्रिक बनाने पर कोई भी गुणनखण्ड नहीं बचता है।
अतः 6859 एक पूर्ण घन संख्या है।

(vii) 2025
2025 का अभाज्य गुणनखंड करने पर-

2025 = \(\underline{3 \times 3 \times 3}\) × 3 × 5 × 5
चूँकि 2025 के अभाज्य गुणनखंडों के त्रिक बनाने पर कोई भी गुणनखण्ड नहीं बचता है।
अतः 2025 एक पूर्ण घन संख्या है।

(vii) 10648
10648 का अभाज्य गुणनखंड करने पर-

10648 = \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{11 \times 11 \times 11}\)
चूँकि गुणनखंडों के त्रिक बनाने पर कोई भी गुणनखण्ड नहीं बचता है।
अतः 10648 एक पूर्ण घन संख्या है।

(सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए – पृष्ठ 121)

प्रश्न 1.
जाँच कीजिए कि निम्नलिखित में से कौनसी संख्याएँ पूर्ण घन हैं-
(i) 2700
(ii) 16000
(iii) 64000
(iv) 900
(v) 125000
(vi) 36000
(vii) 21600
(viii) 10000
(ix) 27000000
(x) 1000
इन पूर्ण घनों में आप क्या प्रतिरूप देखते हैं?
हल:
(i) 2700 के अभाज्य गुणनखण्ड करने पर-
2700 = 2 × 2 × \(\underline{3 \times 3 \times 3}\) × 5 × 5
चूँकि अभाज्य गुणनखंडों के त्रिक बनाने पर 2 × 2 × 5 × 5 शेष बचते है।
अतः 2700 एक पूर्ण घन संख्या नहीं है।

(ii) 16000 के अभाज्य गुणनखण्ड करने पर-
16000 = 2 × 2 × 2 × 2 × 10 × 10 × 10
= 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5
= 2 × \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{5 \times 5 \times 5}\)
चूँकि 16000 के अभाज्य गुणनखंडों के त्रिक बनाने पर 2 × 2 × 5 × 5 शेष बचते है।
अतः 16000 एक पूर्ण घन संख्या नहीं है।

(iii) 64000 के अभाज्य गुणनखण्ड करने पर-
64000 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5
= \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) ×\(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{5 \times 5 \times 5}\)
चूँकि 64000 के अभाज्य गुणनखंडों त्रिक बनाने पर कोई भी गुणनखण्ड नहीं बचता है।
अतः 64000 एक पूर्ण घन संख्या है।

(iv) 900 के अभाज्य गुणनखण्ड करने पर-
900 = 9 × 100 = 3 × 3 × 10 × 10
= 3 × 3 × 2 × 5 × 2 × 5
= 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5
चूँकि 900 के अभाज्य गुणनखंडों कोई त्रिक नहीं बचता है।
अतः 900 एक पूर्ण घन संख्या नहीं है।

(v) 125000 के अभाज्य गुणनखण्ड करने पर-
125000 = 125 × 1000
= \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{5 \times 5 \times 5}\) × \(\underline{5 \times 5 \times 5}\)
चूँकि 125000 के अभाज्य गुणनखंडों त्रिक बनाने पर कोई भी गुणनखण्ड नहीं बचता है।
अतः 125000 एक पूर्ण घन संख्या है।

(vi) 36000 के अभाज्य गुणनखण्ड करने पर-
36000 = 36 × 1000
= 6 × 6 × 10 × 10 × 10
= 2 × 3 × 2 × 3 × 2 × 5 × 2 × 5 × 2 × 5
= \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × 2 × 2 × 3 × 3 × \(\underline{5 \times 5 \times 5}\)
चूँकि 125000 के अभाज्य गुणनखंडों त्रिक बनाने पर 2 × 2 × 3 × 3 शेष बचते है।
अतः 125000 एक पूर्ण घन संख्या नहीं है।

(vii) 21600 के अभाज्य गुणनखण्ड करने पर-
21600 = 216 × 100 = 6 × 6 × 6 × 10 × 10
= 2 × 3 × 2 × 3 × 2 × 3 × 2 × 5 × 2 × 5
= \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × 2 × 2 × \(\underline{3 \times 3 \times 3}\) × \(\underline{5 \times 5 \times 5}\)
चूँकि 21600 के अभाज्य गुणनखंडों त्रिक बनाने पर 2 × 2 × 3 × 3 शेष बचते है।
अतः 21600 एक पूर्ण घन संख्या नहीं है।

(viii) 10000 के अभाज्य गुणनखण्ड करने पर-
10000 = 10 × 10 × 10 × 10
= 2 × 5 × 2 × 5 × 2 × 5 × 2 × 5
= \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × 2 × 2 × \(\underline{3 \times 3 \times 3}\) × \(\underline{5 \times 5 \times 5}\)
चूँकि 10000 के अभाज्य गुणनखंडों त्रिक बनाने पर 2 × 2 × 3 × 3 शेष बचते है।
अतः 10000 एक पूर्ण घन संख्या नहीं है।

(ix) 27000000 के अभाज्य गुणनखण्ड करने पर-
27000000 = 27 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10
= 3 × 3 × 3 × 2 × 5 × 2 × 5 × 2 × 5 × 2 × 5 × 2 × 5 × 2 × 5
= \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{3 \times 3 \times 3}\) × \(\underline{5 \times 5 \times 5}\) × \(\underline{5 \times 5 \times 5}\)
चूँकि 27000000 के अभाज्य गुणनखंडों पूर्ण त्रिक बन पर जाते है।
अतः 27000000 एक पूर्ण घन संख्या है।

(x) 1000 के अभाज्य गुणनखण्ड करने पर-
1000 = 10 × 10 × 10
= 2 × 5 × 2 × 5 × 2 × 5
= \(\underline{2 \times 2 \times 2}\) × \(\underline{5 \times 5 \times 5}\)
चूँकि 1000 के अभाज्य गुणनखंडों पूर्ण त्रिक बन पर जाते है।
अतः 1000 एक पूर्ण घन संख्या है।

उपर्युक्त पूर्ण घन संख्याओं 64000, 125000, 27000000 तथा 1000 में हमें यह प्रतिरूप देखने को मिलता है कि इनके अन्त में तीन अथवा छः शून्य हैं। अत: 64,125, 27 तथा 1 भी पूर्ण घन संख्याएँ है।

(सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए – पृष्ठ 123)

प्रश्न 1.
बताइए कि सत्य है या असत्य-किसी पूर्णांक m के लिए m² < m³ होता है। क्यों?
हल:
माना m = 2 या 3 लेने पर
जब m = 2:
m² = 2 × 2 = 4 और m³ = 2² = 2 × 2 × 2 = 8
स्पष्ट है, 4 < 8 अर्थात् m² < m³

जब m = 3:
m² = 3² = 3 × 3 = 9 और m³ = 3³ = 3 × 3 × 3 = 27
9 < 27, अर्थात् m² < m³

m माना 1 लेने पर
m² = 1² = 1 × 1 = 1 और m³ = 1³ = 1 × 1 × 1 = 1
तो m2 = m3
अतः, हम कह सकते हैं कि धन पूर्णांक (प्राकृत संख्या) के लिए m > 1, m² < m³ सत्य है।
अब, माना m = – 1, -2 लेने पर

जब m = -1:
m² = (-1)² = – 1 × – 1 = 1
और m³ = (-1)³ = – 1 × – 1 × – 1 = – 1
स्पष्ट है, 1 > – 1, अर्थात् m2 > m3

जब m = – 2:
m² = (-2)² = – 2 × – 2 = 4 और
m³ = (-2)³ = – 2 × – 2 × – 2 = – 8
4 > -8, अर्थात् m² > m³

अतः हम कह सकते हैं कि किसी ऋण पूर्णांक m के लिए m² < m³ असत्य है।

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 8 राशियों की तुलना Intext Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 8 राशियों की तुलना Intext Questions

प्रश्न 1.
एक प्राथमिक विद्यालय में अभिभावकों से पूछा गया कि वे अपने बच्चों के गृहकार्य में सहायता करने के लिए प्रतिदिन कितने घंटे व्यतीत करते हैं। 90 अभिभावकों ने \(\frac{1}{2}\) घंटे से 1\(\frac{1}{2}\) घंटे तक सहायता की। जितने समय के लिए अभिभावकों ने अपने बच्चों की सहायता करना बताया उसके अनुसार अभिभावकों का वितरण संलग्न आकृति में दिखाया गया है जो इस प्रकार है 20% ने प्रतिदिन 1\(\frac{1}{2}\) घंटे से अधिक सहायता की, 30% ने \(\frac{1}{2}\) घंटे से 1\(\frac{1}{2}\) घंटे तक सहायता की, 50% ने बिल्कुल सहायता नहीं की।

इसके आधार पर निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए
(i) कितने अभिभावकों का सर्वे किया गया?
(ii) कितने अभिभावकों ने कहा कि उन्होंने सहायता नहीं की?
(iii) कितने अभिभावकों ने कहा कि उन्होंने 1\(\frac{1}{2}\) घंटे से अधिक सहायता की?
हल:
(i) माना कि सर्वे किए गए अभिभावकों की संख्या = x
∴ \(\frac{1}{2}\) घंटे से 1\(\frac{1}{2}\) घण्टे तक सहायता करने वाले अभिभावकों की संख्या = कुल अभिभावकों का 30%
= x का 30%
= \(\frac{x × 30}{100}\) = \(\frac{3x}{10}\) ……….(i)

परन्तु \(\frac{1}{2}\) घंटे से 1\(\frac{1}{2}\) घण्टे तक सहायता करने वाले अभिभावकों की संख्या = 90 (दिया है) ….(ii)
अत:
\(\frac{3x}{10}\) = 90

x = \(\frac{90 \times 10}{3}\) = 300
अत: 300 अभिभावकों का सर्वे किया गया।

(ii) 50% ने बिल्कुल सहायता नहीं की
अतः बिल्कुल सहायता न करने वाले अभिभावकों की संख्या
= 300 × 50% = 150

(iii) 1\(\frac{1}{2}\) घण्टे से अधिक सहायता करने वाले अभिभावकों की संख्या
= कुल संख्या का 20 प्रतिशत
= 300 x 20 = 60

(प्रयास कीजिए – पृष्ठ 129-130)

प्रश्न 1.
एक दुकान 20% बट्टा देती है। निम्नलिखित में से प्रत्येक का विक्रय मूल्य क्या होगा?
(a) ₹120 अंकित मूल्य वाली एक पोशाक।
(b) ₹750 अंकित मूल्य वाले एक जोड़ी जूते।
(c) ₹ 250 अंकित मूल्य वाला एक थैला।
हल :
(a) दिया है- अंकित मूल्य = ₹ 120 बट्टा = 20%
बट्टा = ₹ 120 का 20%
= ₹120 × \(\frac{20}{100}\)
= ₹ 24

विक्रय मूल्य = अंकित मूल्य – बट्टा
= ₹(120 – 24)
= ₹96

अत: एक पोशाक का विक्रय मूल्य = ₹96

(b) दिया हैअंकित मूल्य = ₹750 बट्टा = 20%
बट्टा = ₹750 का 20%
= ₹120 × \(\frac{750 × 20 }{100}\)
= ₹ 150

विक्रय मूल्य = अंकित मूल्य – बट्टा
= ₹ (750 – 150)
= ₹ 600

अतः एक जोड़ी जूते का विक्रय मूल्य = ₹600

(c) दिया है-
अंकित मूल्य = ₹250 बट्टा = 20% बट्टा = ₹ 250 का 20%
= ₹ 250 का 20%
= ₹250 × \(\frac{250 × 20 }{100}\)
= ₹ 50

विक्रय मूल्य = अंकित मूल्य – बट्टा
= ₹(250-50)
= ₹200
अतः एक थैला का विक्रय मूल्य = 200

प्रश्न 2.
₹ 15000 अंकित मूल्य वाली एक मेज ₹14400 में उपलब्ध है। बट्टा और बट्टा प्रतिशत ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया अंकित मूल्य = ₹ 15000
विक्रय मूल्य = ₹ 14400
बट्टा = ₹(15000 – 14400)
= ₹600
बट्टा प्रतिशत = = \(\frac{600}{15000}\) × 100
= 4%

प्रश्न 3.
एक अलमारी 5% बट्टे पर ₹ 5225 में बेची जाती है। अलमारी का अंकित मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल :
माना अलमारी का मूल्य = ₹ 100
बट्टा = अंकित मूल्य का 5%
= 100 रुपए का 5% = = ₹ 5
विक्रय मूल्य = अंकित मूल्य – बट्टा
=₹ (100 – 5)
= ₹ 95
जब विक्रय मूल्य 95 रुपए तो अंकित मूल्य = ₹ 100
जब विक्रय मूल्य 1 रुपया तो अंकित मूल्य = latex]\frac{100}{95}[/latex]

जब विक्रय मूल्य 5225 तो अंकित मूल्य
= ₹ (\(\frac{100}{95}\) × 5225 )
= ₹5500
अत: अलमारी का अंकित मूल्य = ₹5500

(प्रयास कीजिए – पृष्ठ 131)

प्रश्न 1.
यदि लाभ की दर 5% है तो निम्नलिखित का विक्रय मूल्य ज्ञात कीजिए
(a) 700 रुपए की एक साइकिल जिस पर ऊपरी खर्च 50 रुपए है।
हल:
(a) साइकिल का क्रय मूल्य = ₹700 रुपए
ऊपरी खर्च = ₹50 रुपए
∴ कुल क्रय मूल्य = ₹(700 + 50) = ₹ 750
लाभ = 5%

= ₹ \(\left(\frac{100+5}{100} \times 750\right)\)
= ₹ \(\left(\frac{105}{100} \times 750\right)\)
= ₹ 787.50 रुपए

(b) 1150 रुपए में खरीदा गया एक घास काटने का यंत्र जिस पर 50 रुपए परिवहन व्यय के रूप में खर्च किए गए हैं।
हल:
घास काटने के यंत्र का क्रय मूल्य
= ₹ 1150
ऊपरी खर्च = ₹ 50
∴ कुल क्रय मूल्य = ₹ (1150 + 50)
= ₹ 1200
लाभ = 5%

= ₹ \(\left(\frac{100+5}{100} \times 1200\right)\)
= ₹ (105 × 12)
= ₹ 1260

(c) 560 रुपए में खरीदा गया एक पंखा जिस पर 40 रुपए मरम्मत के लिए खर्च किए गए हैं।
हल:
पंखे का क्रय मूल्य = ₹ 560
ऊपरी खर्च = ₹ 40
∴ कुल क्रय मूल्य = ₹ (560 + 40) रुपए = ₹ 600
लाभ = 5%

= ₹ \(\left(\frac{100+5}{100} \times 600\right)\)
= ₹ (105 × 6)
= ₹ 630

(प्रयास कीजिए – पृष्ठ 132)

प्रश्न 1.
एक दुकानदार ने दो टेलीविजन सेट 10,000 रुपए प्रति सेट की दर से खरीदे। उसने एक को 10% हानि से और दूसरे को 10% लाभ से बेच दिया। ज्ञात कीजिए कि कुल मिलाकर उसे इस सौदे में लाभ हुआ अथवा हानि।
हल:
पहले टेलीविजन सेट के लिए
क्रय मूल्य = ₹ 10,000
और हानि = 10%

= ₹ \(\left(\frac{100-10}{100} \times 10000\right)\)
= ₹ (90 × 100)
= ₹ 9000

दूसरे टेलीविजन सेट के लिए
क्रय मूल्य = ₹ 10000
और लाभ = 10%

= ₹ \(\left(\frac{100+10}{100} \times 10000\right)\)
= ₹ (110 × 100)
= ₹ 11000

दो टेलीविजन सेट के लिए कुल क्रय मूल्य = ₹ 20000
और कुल विक्रय मूल्य = ₹ (11000 + 9000)
= ₹ 20000
क्योंकि विक्रय मूल्य = क्रय मूल्य
अतः, उसे न लाभ हुआ न ही हानि।

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए (पृष्ठ 133)

प्रश्न 1.
किसी संख्या को दुगुना करने पर उस संख्या में 100% वृद्धि होती है। यदि हम उस संख्या को आधा कर दें तो कितना प्रतिशत ह्रास होगा?
हल:
माना संख्या x, तो इसका आधा = \(\frac{x}{2}\)

प्रश्न 2.
2400 रुपए की तुलना में 2000 रुपए कितना प्रतिशत कम है? क्या यह प्रतिशत उतना ही है, जितना 2000 रुपए की तुलना में 2400 रुपए अधिक है?
हल:
पहली स्थिति में :

नहीं, यह समान नहीं है।

(प्रयास कीजिए – पृष्ठ 135)

प्रश्न 1.
5% वार्षिक दर से 15,000 रुपए का 2 वर्ष के अंत में ब्याज और भुगतान की जाने वाली कुल राशि ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है, P= 15000 रुपए, R = 5% प्रति वर्ष और T = 2 वर्ष
माना I ब्याज और A मिश्रधन है तो
I = \(\frac{P×R×T}{100}\)
अतः I = \(\frac{15000×5×2}{100}\)
= ₹ (150 × 10
= ₹ 1500
A = P + I
अतः A = ₹ (15000 + 1500)
= ₹ 16500

(प्रयास कीजिए – पृष्ठ 138)

प्रश्न 1.
8,000 रुपए का 2 वर्ष के लिए 5% वार्षिक दर से चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए यदि ब्याज वार्षिक संयोजित होता है।
हल:
दिया है, P = 8000 रुपए, R = 5% प्रति वर्ष और n= 2 वर्ष
∴ 2 वर्ष बाद मिश्रधन (A) = \(\mathrm{P}\left(1+\frac{\mathrm{R}}{100}\right)^{n}\)
= ₹ \(\left[8000 \times\left(1+\frac{5}{100}\right)^{2}\right]\)
= ₹ \(\left(8000 \times \frac{21}{20} \times \frac{21}{20}\right)\)
= ₹ (20 × 21 × 21)
= ₹ 8820

और चक्रवृद्धि ब्याज = A – P
= ₹ (8820 – 8000)
= ₹ 820

(प्रयास कीजिए – पृष्ठ 139)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में ब्याज संयोजन के लिए समय अवधि और दर ज्ञात कीजिए
1. 1\(\frac{1}{2}\) वर्ष के लिए 8% वार्षिक दर पर उधार ली गई एक राशि पर ब्याज अर्धवार्षिक संयोजित किया जाता है।
2. 2 वर्ष के लिए 4% वार्षिक दर पर उधार ली गई एक राशि पर ब्याज अर्धवार्षिक संयोजित किया जाता है।
हल:
दिया है-
ब्याज की दर = 8% प्रति वर्ष
= \(\frac{8}{2}\)% = 4% प्रति अर्ध वार्षिक
समय = 1\(\frac{1}{2}\) वर्ष = 3 आधे वर्ष

2.
दिया है,
ब्याज की दर = 4% प्रति वर्ष
= \(\frac{4}{2}\)% = 2% प्रति अर्ध वार्षिक
समय = 2 वर्ष = 4 आधे वर्ष

(सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए – पृष्ठ 139)

प्रश्न 1.
एक राशि 16% वार्षिक दर पर 1 वर्ष के लिए उधार ली जाती है। यदि ब्याज प्रत्येक तीन महीने बाद संयोजित किया जाता है, तो 1 वर्ष में कितनी बार ब्याज देय होगा?
हल:
दिया हैब्याज की दर = 16% प्रति वर्ष
= \(\frac{16}{4}\) % प्रति तिमाही
= 4% प्रति तिमाही ।
समय = 1 वर्ष = 4 तिमाही
अतः, ब्याज एक वर्ष में 4 बार 4% की दर से देय होगा।

(प्रयास कीजिए – पृष्ठ 140)

प्रश्न:
निम्नलिखित के लिए भुगतान की जाने वाली राशि ज्ञात कीजिए
1. ₹ 2400 पर 5% वार्षिक दर से ब्याज वार्षिक संयोजन करते हुए 2 वर्ष के अंत में।
2. ₹ 1800 पर 8% वार्षिक दर से ब्याज तिमाही संयोजन करते हुए 1 वर्ष के अंत में।
हल:
1. दिया है, P = ₹ 2400, R= 5% प्रति वर्ष
और n = 2 वर्ष
∴ 2 वर्ष बाद मिश्रधन = \(\mathrm{P}\left(1+\frac{\mathrm{R}}{100}\right)^{n}\)
= ₹ \(\left[2400 \times\left(1+\frac{5}{100}\right)^{2}\right]\)
= ₹ \(\left(2400 \times \frac{21}{20} \times \frac{21}{20}\right)\)
= ₹ (6 × 21 × 21)
= ₹ 2646

2.
दिया है, मूलधन = ₹ 1800
दर = 8% वार्षिक = 2% प्रति तिमाही
समय = 1 वर्ष = 4 तिमाही
∴ मिश्रधन = [1800 ×
= ₹ \(\left[1800 \times\left(1+\frac{2}{100}\right)^{4}\right]\)
= ₹ \(\left(1800 \times \frac{51}{50} \times \frac{51}{50} \times \frac{51}{50} \times \frac{51}{50}\right)\)
= ₹ \(\frac{121773618}{62500}\)
= ₹ 1948.38

(प्रयास कीजिए – पृष्ठ 142)

प्रश्न 1.
₹ 10,500 मूल्य की एक मशीन का 5% की दर से अवमूल्यन होता है। एक वर्ष पश्चात् इसका मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ, P = ₹ 10500, अवमूल्यन = 5% वार्षिक, n= 1 वर्ष
1 वर्ष बाद घटा मूल्य = 10500 ×
= ₹ \(\left[10500 \times\left(1-\frac{5}{100}\right)^{1}\right]\)
= ₹ \(\left(10500 \times \frac{95}{100} \right)\)
= ₹ 9975

प्रश्न 2.
एक शहर की वर्तमान जनसंख्या 12 लाख है। यदि वृद्धि की दर 4% है तो 2 वर्ष पश्चात् शहर की जनसंख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना 2 वर्ष पश्चात् जनसंख्या P, है।
तो, P₂ = ₹ \(\left[P \times\left(1+\frac{4}{100}\right)^{2}\right]\)
= \(\left[P \times\left(\frac{104}{100}\right)^{2}\right]\)
= 1200000 × \(\frac{26}{25} \times \frac{26}{25}\)
= 1920 × 676
= 1297920
अतः, 2 वर्ष बाद जनसंख्या = 1297920

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल Intext Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल Intext Questions

(प्रयास कीजिए – पृष्ठ 96)

प्रश्न 1.
दी गई संख्याओं के बीच की पूर्ण वर्ग संख्याएँ ज्ञात कीजिए-
(i) 30 और 40
(ii) 50 और 60
हल:
5 × 5 = 25, 6 × 6 = 36, 7 × 7 = 49 और 8 × 8 = 64
∴ 30 और 40 के बीच की पूर्ण संख्या 36 है।

(ii) 50 और 60 के बीच की पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।

पृष्ठ 97

प्रश्न 1.
क्या हम कह सकते हैं कि निम्न संख्याएँ पूर्ण वर्ग संख्याएँ हैं? हम कैसे जानते हैं?
(i) 1057
(ii) 23453
(iii) 7928
(iv) 222222
(v) 1069
(vi) 2061
पाँच ऐसी संख्याएँ लिखिए जिनके इकाई स्थान को देखकर आप बता सकें कि ये संख्याएँ वर्ग संख्याएँ नहीं हैं।

(i) 1057 – चूँकि इकाई स्थान का अंक 0, 1, 4, 5, 6 या 9 नहीं है। अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।

(ii) 23453 – चूँकिे इकाई स्थान पर 0, 1, 4, 5, 6 या 9 नहीं है। अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।

(iii) 7928 – चूँकि इकाई स्थान पर 0, 1, 4, 5, 6 या 9 नहीं है। अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं हो सकती है।

(iv) 222222 – चूँकि इकाई के स्थान पर 0, 1, 4, 5, 6 या 9 नहीं है। अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या नहीं हो सकती है।

(v) 1069 – चूँकि इकाई स्थान पर 9 है। अतः यह पूर्ण वर्ग संख्या हो सकती है और नहीं भी हो सकती है।
अब
32² = 32 × 32 = 1024
और 33² = 33 × 33 = 1089
अतः 1069 एक पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।

(vi) 2061 – इकाई के स्थान पर 1 है। अतः यह संख्या पूर्ण वर्ग संख्या भी हो सकती है और नहीं भी हो सकती है।
लेकिन 45² = 45 × 45 = 2025
और 46² = 46 × 46 = 2116
अतः 2061 एक पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।

पाँच संख्याएँ जिनके इकाई स्थान को देखकर हम पता कर सकते हैं कि ये वर्ग संख्याएँ नहीं हैं, वे हैं 22, 33, 47, 58 और 68.

प्रश्न 2.
पाँच ऐसी संख्याएँ लिखिए जिनके इकाई स्थान को देखकर आप नहीं बता सकते कि वे वर्ग संख्याएँ हैं या नहीं?
हल:
ऐसी पाँच संख्याएँ जिनके इकाई स्थान को देखकर हम नहीं बता सकते कि ये वर्ग संख्याएँ हैं या नहीं, वे हैं-
1000, 1001, 2004, 30015, 74566

(प्रयास कीजिए – पृष्ठ 97)

प्रश्न 1.
123²,77²,82², 161², 109² में से कौनसी संख्या अंक 1 पर समाप्त होगी?
हल:
यदि संख्या के इकाई संख्याएँ का अंक 1 और 9 है, तो इनके वर्ग 1 पर समाप्त होते हैं। अतः संख्याएँ 161² और 109² के अंक एक पर समाप्त होंगे।

(प्रयास कीजिए – पृष्ठ 98)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से कौनसी संख्याओं के इकाई स्थान पर 6 अंक होगा
(i) 19²
(ii) 24²
(iii) 26²
(iv) 36²
(v) 34²
हल:
जिस संख्या का इकाई अंक 4 या 6 होता है, उस संख्या के वर्ग इकाई स्थान पर 6 अंक होता है।
अतः 24, 26, 36, तथा 34 के इकाई स्थान पर 6 आएगा।

(प्रयास कीजिए – पृष्ठ 98)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं के वर्ग करने पर उनके इकाई स्थान पर क्या होगा?
(i) 1234
(ii) 26387
(iii) 52698
(iv) 99880
(v) 21222
(vi) 9106
हल:

(प्रयास कीजिए – पृष्ठ 98)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से किन संख्याओं के वर्ग विषम संख्या/सम संख्या होंगे? क्यों?
(i) 727
(ii) 158
(iii) 269
(iv) 1980
हल:
(i) 727 एक विषम संख्या है, इसलिए इसका वर्ग भी विषम संख्या होगी।
(ii) 158 एक सम संख्या है। इसलिए इसका वर्ग भी सम संख्या होगी।
(iii) 269 एक विषम संख्या है। इसलिए इसका वर्ग भी विषम संख्या होगी।
(iv) 1980 एक सम संख्या है। इसलिए इसका वर्ग भी सम संख्या होगी।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित संख्याओं के वर्ग में शून्यों की संख्या क्या होगी?
(i) 60
(ii) 400
हल:
(i) 60 दो शून्य
(ii) 400 चार शून्य

(प्रयास कीजिए – पृष्ठ 100)

प्रश्न 1.
9² और 10² के बीच कितनी प्राकृत संख्याएँ हैं?
11² और 12² के बीच भी प्राकृत संख्याओं की संख्या बताइए।
हल:
9² और 10² के बीच प्राकृत संख्याएँ 2n होंगी, जबकि n = 9 होगा।
अतः 2 × 9 = 18 प्राकृत संख्याएँ हैं।

इसी प्रकार 11² और 12² के बीच 2 × 11 = 22 प्राकृत संख्याएँ हैं।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित संख्याओं के यग्मों के बीच की संख्या बताइए जो वर्ग संख्याएँ नहीं हैं।
(i) 100² और 101²
(ii) 90² और 91²
(iii) 1000² और 1001²
हल:
(i) 100² और 101² के बीच 2n = 2 × 100 = 200 संख्याएँ हैं, जो वर्ग संख्याएँ नहीं हैं।

(ii) 90² और 91²के बीच 2n = 2 × 90 = 180 संख्याएँ हैं, जो वर्ग संख्याएँ नहीं हैं।

(iii) 1000² और 1001² के बीच 2n = 2 × 1000 = 2000 संख्याएँ हैं, जो वर्ग संख्याएँ नहीं हैं।

(प्रयास कीजिए – पृष्ठ 101)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं में प्रत्येक पूर्ण वर्ग संख्याएँ हैं अथवा नहीं?
(i) 121
(ii) 55
(iii) 81
(iv) 49
(v) 69
हल:
(i) 121
पहली n विषम प्राकृत संख्याओं का योग n² होता है, चूंकि उक्त संख्याओं में से 1,3,5,7,9,……… को क्रम से घटाते हैं।
121 – 1 = 120, 120 – 3 = 117, 117 – 5 = 112, 112 – 7 = 105, 105 – 93 = 96, 96 – 11 = 85, 85 – 13 = 72, 72 – 15 = 57, 57 – 17 = 40, 40 –19 = 21, 21 – 21 = 0
अर्थात् यहाँ 121 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21
अतः 121 एक पूर्ण वर्ग संख्या है।

(ii) 55
55 – 1 = 54, 54 – 3 = 51, 51 – 5 = 46, 46 – 7 = 39, 39 – 9 = 30, 30 – 11 = 19, 19 – 13 = 6, 6 – 6, 6 – 15 = -9
∵ 55 से 1 प्रारम्भ होने वाली विषम संख्याओं का योग नहीं है।
∴ 55 एक पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।।

(iii) 81
81 – 1 = 80, 80 – 3 = 77, 77 – 5 = 72, 72 – 7 = 65, 65 – 9 = 56, 56 – 11 = 45, 45 – 13 = 32, 32 – 15 = 17, 17 – 17 = 0
अर्थात् यहाँ 81 = 1+ 3 +5 +7+9+ 11+ 13 + 15 + 17
∴ 81 एक पूर्ण वर्ग संख्या है।

(iv) 49
49 – 1 = 48, 48 – 3 = 45, 45 – 5 = 40, 40 – 7 = 33, 33 – 9 = 24, 24 – 11 = 13, 13 – 13 = 0
अर्थात् यहाँ 49 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13
∴ 49 एक पूर्ण वर्ग संख्या है।

(v) 69
69 – 1 = 68, 68 – 3 = 65, 65 – 5 = 60, 60 – 7 = 53, 53 – 9 = 44, 44 – 11 = 33, 33 – 13 = 20, 20 – 17 = 3, 3 – 1
∵ 69 से 1 प्रारम्भ होने वाली विषम संख्याओं का योग नहीं है।
∴ 69 एक पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है।

(प्रयास कीजिए – पृष्ठ 101)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं को दो क्रमागत पूर्णांकों के योग के रूप में लिखिए
(i) 21²
(ii) 13²
(iii) 11²
(iv) 19²
हल:

प्रश्न 2.
क्या आप सोचते हैं कि इसका विलोम सत्य है अर्थात् क्या दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का योग एक पूर्ण वर्ग होता है? अपने उत्तर के पक्ष में एक उदाहरण दीजिए।
हल:
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का योग सदैव एक पूर्ण वर्ग नहीं होता है।
उदाहरण: 10 + 11 = 21
यहाँ 10 + 11 क्रमागत धनात्मक पूर्णांक हैं, परन्तु इनका योग पूर्ण वर्ग संख्याएँ नहीं है।

(प्रयास कीजिए – पृष्ठ 102)

प्रश्न 1.
निम्न प्रतिरूप का उपयोग करते हुए नीचे दी गई संख्याओं की वर्ग संख्याएँ लिखिए

(i) 111111²
(ii) 1111111²
हल:
(i) 111111² = 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
(ii) 1111111² = 1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1

प्रश्न 2.
दिए गए प्रतिरूप का उपयोग करते हुए क्या आप निम्नलिखित संख्याओं का वर्ग ज्ञात कर सकते हैं?
(i) 6666667²
(ii) 66666667²
प्रतिरूप-
7² = 49
67² = 4489
667² = 444889
6667² = 44448889
66667² = 4444488889
666667² = 444444888889
हल:
(i) 6666667² = 44444448888889
(ii) 66666667² = 4444444488888889

(प्रयास कीजिए – पृष्ठ 104)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं के वर्ग ज्ञात कीजिए जिनके इकाई अंक 5 हैं
(i) 15
(ii) 95
(iii) 105
(iv) 205
हल:
(i) 15² = (1 × 2) सौकाई + 25
= 200 + 25 = 225

(ii) 95
95² = (9 × 10) सौकाई + 25
= 9000 + 25 = 9025

(iii) 105
105² = (10 × 11) सौकाई + 25.
= 11000 + 25 = 11025

(iv) 205
205² = (20 × 21) सौकाई + 25
= 42000 + 25 = 42025

(प्रयास कीजिए – पृष्ठ 106)

प्रश्न 1.
(i) 11² = 121, 121 का वर्गमल क्या है?
(ii) 14² = 196, 196 का वर्गमूल क्या है?
हल:
(i) 121 का वर्गमूल 11 है।
(ii) 196 का वर्गमूल 14 है।

(सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए – पृष्ठ 106)

प्रश्न 1.
(-1)² = 1. क्या 1 का वर्गमूल है -1?
हल:
1 का वर्गमूल -1 तथा 1 होते है।
अत: 1 का वर्गमूल -1 भी होगा।

प्रश्न 2.
(-2)² = 4, क्या 4 का वर्गमूल है -2?
हल:
4 का वर्गमूल -2 भी है।

प्रश्न 3.
(-9)² = 81. क्या 81 का वर्गमूल है – 9?
हल:
81 का वर्गमूल -9 भी है।

(प्रयास कीजिए – पृष्ठ 107)

प्रश्न 1.
से प्रारम्भ होने वाली विषम संख्याओं को बारबार घटाने पर प्राप्त निम्नलिखित संख्याएँ पूर्ण वर्ग हैं या नहीं? यदि यह संख्या पूर्ण वर्ग है तो इसके वर्गमूल ज्ञात कीजिए।
(i) 121
(ii) 55
(iii) 36
(iv) 49
(v) 90
हल:
(i) पूर्ण वर्ग की जाँच करने के लिए 121 में से हम क्रमशः 1 से प्रारम्भ होने वाली विषम संख्याओं को घटाने पर,
121 – 1 = 120
120 – 3 = 117
117 – 5 = 112
112 – 7 = 105
105 – 9 = 96
95 – 11 = 85
85 – 13 = 72
72 – 15 = 57
57 – 17 = 40
40 – 19 = 21
21 – 21 = 0
संख्या 1 से क्रमागत विषम संख्याओं को 121 में से 11 वाँ पद घटाने पर 0 प्राप्त होता है। अत: \(\sqrt{121}\) = 11.

(ii) पूर्ण वर्ग की जाँच करने के लिए 55 में से हम क्रमशः 1 से प्रारम्भ होने वाली विषम संख्याओं को घटाने पर,
55 – 1 = 54
54 – 3 = 51
51 – 5 = 46
46 – 7 = 39
39 – 9 = 30
30 – 11 = 19
19 – 13 = 6,
6 – 15 = -9
∵ 55 को संख्या 1 से क्रमागत विषम संख्याओं से पूर्णत: नहीं हटाया जा सकता है।
∴ 55 एक पूर्ण वर्ग नहीं है।।

(iii) पूर्ण वर्ग की जाँच करने के लिए 36 में से हम क्रमशः 1 से प्रारम्भ होने वाली विषम संख्याओं को घटाएँगे,
36 – 1 = 35
35 – 3 = 32
32 – 5 = 27
27 – 7 = 20
20 – 9 = 11
11 – 11 = 0
अत: 36 पूर्ण वर्ग है और \(\sqrt{36}\) = 6.

(iv) पूर्ण वर्ग की जाँच करने के लिए 49 में से हम क्रमशः 1 से प्रारम्भ होने वाली विषम संख्याओं को घटाएँगे,
49 – 1 = 48
48 – 3 = 45
45 – 5 = 40
40 – 7 = 33
33 – 9 = 24
24 – 11 = 13
13 – 13 = 0
अत: 36 पूर्ण वर्ग है और \(\sqrt{49}\) = 7.

(v) पूर्ण वर्ग की जाँच करने के लिए 90 में से हम क्रमशः 1 से प्रारम्भ होने वाली विषम संख्याओं को घटाएँगे,
90 – 1 = 89
89 – 3 = 86
86 – 5 = 81
81 – 7 = 74
74 – 9 = 65
65 – 11 = 54
54 – 13 = 41
41 – 15 = 26
26 – 17 = 9
9 – 19 = -10
∴ 90 एक पूर्ण वर्ग नहीं है।

(सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए – पृष्ठ 111)

प्रश्न 1.
क्या हम कह सकते हैं कि एक पूर्ण वर्ग संख्या में यदि n अंक है तो उसके वर्गमूल में \(\frac{n}{2}\), अंक होंगे। यदि n सम है या \(\frac{(n + 1)}{2}\) होंगे यदि n विषम है?
हल:
हाँ, हम कह सकते हैं कि यदि एक पूर्ण वर्ग संख्या में n अंक है, तो इसके वर्गमूल में यदि n अंक है, तो उसके वर्गमूल में
(i) \(\frac{n}{2}\) अंक होंगे, यदि n सम है तथा
(ii) \(\frac{(n + 1)}{2}\) अंक होंगे, यदि n विषम है।
उदाहरण-
(i) सम संख्या \(\sqrt{16}\) = 4, \(\sqrt{2500}\) = 50 आदि
(ii) सम संख्या \(\sqrt{9}\) = 3, \(\sqrt{100}\) = 10 आदि

(प्रयास कीजिए – पृष्ठ 112)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं के वर्गमूल में अंकों की संख्या को गणना के बिना ज्ञात कीजिए
(i) 25600
(ii) 100000000
(iii) 36864
हल:
(i) ∵ 25600 में 5 अंक हैं, अतः \(\sqrt{25600}\) में = \(\frac{(n+1)}{2}\) = \(\frac{(5+1)}{2}\) = 3 अंक होंगे।

(ii) ∵ 100000000 में 9 अंक हैं, अतः \(\sqrt{100000000}\) में = \(\frac{(n+1)}{2}\) = \(\frac{(9+1)}{2}\) = 5 अंक होंगे।

(iii) ∵ 36864 में 5 अंक हैं, अतः \(\sqrt{36864}\) में = \(\frac{(5+1)}{2}\) = 3 अंक होंगे।

(प्रयास कीजिए – पृष्ठ 115)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं के निकटतम पूर्ण संख्याओं का अनुमान लगाइए
(i) \(\sqrt {80}\)
(ii) \(\sqrt {1000}\)
(iii) \(\sqrt {350}\)
(iv) \(\sqrt {500}\)
हल:
(i) ∵ \(\sqrt {64}\) < \(\sqrt {80}\) < \(\sqrt {81}\)
⇒ 8 < \(\sqrt {80}\) < 9
∵ 81, 64 की अपेक्षा 80 के अधिक नजदीक है।
\(\sqrt {80}\) की निकटतम पूर्ण संख्या 9 है।

(ii) \(\sqrt {1000}\)
∵ \(\sqrt {961}\) < \(\sqrt {1000}\) < \(\sqrt {1024}\)
⇒ 31 < \(\sqrt {1000}\) < 32
∵ 1024, 961 की अपेक्षा 1000 के अधिक नजदीक है।
∴ \(\sqrt {1000}\) की निकटतम पूर्ण संख्या 32 है।

(iii) \(\sqrt {350}\)
∵ \(\sqrt {961}\) < \(\sqrt {350}\) < \(\sqrt {1024}\)
⇒ 18 < \(\sqrt {350}\) < 19
∵ 361, 324 की अपेक्षा 350 के अधिक नजदीक है।
∴ \(\sqrt {350}\) की निकटतम पूर्ण संख्या 19 है।

(iv) \(\sqrt {500}\)
∵ \(\sqrt {484}\) < \(\sqrt {500}\) < \(\sqrt {529}\)
⇒ 22 < \(\sqrt {500}\) < 23
∵ 484, 529 की अपेक्षा 500 के अधिक नजदीक है।
∴ \(\sqrt {500}\) की निकटतम पूर्ण संख्या 22 है।

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 4 प्रायोगिक ज्यामिती Ex 4.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 4 प्रायोगिक ज्यामिती Ex 4.5

निम्नलिखित की रचना कीजिए-

प्रश्न 1.
एक वर्ग READ, जिसमें RE = 5.1 cm.
हल :
हम जानते हैं कि वर्ग की चारों भुजाएँ समान एवं प्रत्येक कोण 90° का होता है ।

(i) सर्वप्रथम हमने RE = 5.1 cm की एक रेखा खींची।
(ii) बिन्दु E पर एक लम्ब | EX बनाया अर्थात् ∠REX =90° बनाया ।
(iii) बिन्दु E को केन्द्र मानकर EA = 5.1 cm की त्रिज्या लेकर एक चाप लगाया, जो EX को A पर काटता है ।
(iv) अब,A को केन्द्र मानकर 5.1 cm का चाप तथा R को केन्द्र मानकर 5.1 cm. का दूसरा चाप लगाया, जो एक दूसरे को D बिन्दु पर काटते है ।
(v) बिन्दु D को R तथा A से मिलाया ।
अतः, READ अभीष्ट वर्ग है।

प्रश्न 2.
एक समचतुर्भुज जिसके विकर्णों की लम्बाई 5.2 cm और 6.4 cm है।
हल :
हम जानते हैं कि एक-दूसरे को समकोण (90°) पर समद्विभाजित करते है।

(i) सर्वप्रथम AC = 6.4 cm. खींची । फिर इस विकर्ण को लम्ब सम-द्विभाजित किया। जो AC को O पर काटता
(ii) O को केन्द्र मानकर \(\frac { 56 }{ 2 }\) = 2.6 cm दूरी लेकर समद्विभाजक के दोनों और चाप बिन्दु B तथा D पर काटे ।
(iii) अब, बिन्दुओं B और D को क्रमशः बिन्दुओं A तथा C से मिलाया ।

इस प्रकार, ABCD अभीष्ट सम-चतुर्भुज हुआ।

प्रश्न 3.
एक आयत जिसकी आसन्न भुजाओं की – लम्बाई 5.0 cm तथा 4.0 cm है।
हल :
हम जानते हैं कि,
आयत के आमने-सामने की भुजाएँ समान एवं इसका प्रत्येक कोण समकोण (90°) होता है?
अत: AB = CD = 5 cm होता है।
BC = DA= 4 cm तथा ∠B = 90°

(i) सर्वप्रथम AB = 5cm रेखा खींची।
(ii) बिन्दु B पर 90° का कोण बनाती हुई BX रेखा खींची।
(iii) बिन्दु B से BC = 4cm का चाप काय ।
(iv) अब, बिन्दु से 5cm तथा बिन्दु A से ।
4 cm के दो चाप काटे, जो एक-दूसरे से बिन्दु D पर मिलते हैं। A 5om

(v) बिन्दु D को क्रमशः बिन्दु A तथा बिन्दु C से मिलाया।
अत: ABCD अभीष्ट आयत है ।

प्रश्न 4.
एक समान्तर चतुर्भुज OKAY, जहाँ OR= 5.5cm तथा KA = 4.2 cm. हैं। क्या यह अद्वितीय है?
हल :
(i) सर्वप्रथम OK = 5.5cm की रेखा खीर्ची ।
(ii) बिन्दु K पर एक किरण KP खींची ।
(iii) किरण KP में से KA = 4.2 सेमी का एक चाप काटा ।
(iv) A को केन्द्र मानकर 5.5cm त्रिज्या का एक चाप लगाया ।
(v) पुनः O को केन्द्र मानकर 4.2 cm का एक चाप लगाया, जो पहले चाप को Y बिन्दु पर काटता है ।
(vi) Y को O तथा A से मिलाया ।

अत: OKAY अभीष्ट समान्तर चतुर्भुज हुआ।

नोट : यह समान्तर चतुर्भुज अद्वितीय नहीं है क्योंकि किरण KP भिन्न-भिन्न कोणों पर खींची जा सकती है। अत: उन भुजाओं से अनेक समान्तर चतुर्भुज बन सकते है ।

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 4 प्रायोगिक ज्यामिती Ex 4.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 4 प्रायोगिक ज्यामिती Ex 4.4

प्रश्न 1.
निम्नलिखित चतुर्भुजों की रचना कीजिए-
(i) चतुर्भुज DEAR, जिसमें
DE = 4 cm
EA = 5 cm
AR= 4.5cm
∠E = 60°
और ∠A = 90° हैं।

(ii) चतुर्भुज TRUE, जिसमें
TR = 3.5 cm
RU = 3 cm
UE = 4 cm
∠R = 75° और
∠U = 120° हैं।
हल :
(i) चतुर्भुज DEAR की रचना निम्नांकित है-

सर्वप्रथम DE = 4 cm की रेखा खींची ।
(ii) ZDEX = 60° बनाया ।
(iii) E को केन्द्र मान कर EA = 5cm काटा ।
(iv) ∠EAY = 90° बनाया ।
(v) A को केन्द्र मानकर और AR = 4.5 cm की त्रिज्या लेकर कोण बनाने वाली रेखा में से एक चाप काटा जो AY को R पर काटता है।
(vi) RD को मिलाया।

अत: DEAR एक अभीष्ट चतुर्भुज है।

(ii) चतुर्भुज TRUE की रचना निम्नांकित है-

(i) सर्वप्रथम TR = 3.5 cm को एक रेखा खींची ।
(ii) फिर ∠TRY = 75° बनाया।
(iii) R को केन्द्र मानकर RU = 3 cm त्रिज्या लेकर एक चाप लगया, जो कोण बनाने वाली रेखा को U पर काटता है।
(iv) अब U पर ∠RUX = 120° का कोण बनाया ।
(v) इस कोण बनाने वाली रेखा UX पर 4cm का चाप लगाया, जो E पर काटता है।
(vi) बिन्दु E को T से मिलाया ।

अत: TRUE अभीष्ट चतुर्भुज हुआ।

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 4 प्रायोगिक ज्यामिती Ex 4.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 4 प्रायोगिक ज्यामिती Ex 4.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित चतुर्भुजों की रचना कीजिए
(i) चतुर्भुज MORE, जिसमें-
MO = 6 cm
OR = 4.5 cm
∠M = 105°
∠R = 105° हैं।

(ii) चतुर्भुज PLAN, जिसमें –
PL = 4 cm
LA = 6.5 cm
∠P = 90°
∠N = 85° है।

(iii) समान्तर चतुर्भुज HEAR, जिसमें-
HE = 5 cm
EA = 6 cm
∠R = 85° है।

(iv) आयत OKAY जिसमें,
OK = 7 cm
KA = 5cm है ।
हल :
(i) चतुर्भुज MORE की Eरचना निम्नांकित है-

(i) सर्वप्रथम MO = 6 cm खींची ।
(ii)0 पर, एक कोण ∠MOX =105° बनाया।
(iii) किरण Ox में से OR = 4.5 cm
(iv) R पर एक कोण ∠ORY = 105° बनाया ।
(v) M पर एक कोण∠OMZ = 60° बनाया तथा किरणें RY और MZ को बिन्दु E पर प्रतिब्छेद कराया।

नोट : प्रतिच्छेद बिन्दु से बढ़ी हई रेखाओं तथा चाप को मिटाना नहीं चाहिए ।
अत: MORE अभीष्ट चतुर्भुज है ।

(ii) चतुर्भुज PLAN की रचना निम्नांकित है-
रचना-
हम जानते हैं कि चतुर्भुज के पारों कोणों का योग 360° होता है।

अत: ∠P + ∠L + ∠A + ∠N = 360°
90° + ∠L + 110° + 85° = 360°
∠L = 360° – 285°
∠L = 75°

(i) सर्वप्रथम PL = 4 cm खींचा ।
(ii) बिन्दु L पर एक कोण ∠PLX = 75° बनाया ।
(iii) किरण LX में से AL = 6.5 cm काटा ।
(iv) A पर एक कोण ∠LAY = 110° बनाया ।
(v) P पर एक कोण ∠LPZ = 90° बनाया । किरणें AY तथा PZ बिन्दु N पर काटती है।

अत: PLAN एक अभीष्ट चतुर्भुज है ।

(iii) समान्तर चतुर्भुज HEAR की रचना निम्नांकित-
रचना-
हम जानते हैं किसमान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ “Pass समान तथा सम्मुख कोण समान होते

∠R = ∠E = 85°
∠H = ∠A = 95°

(i) सर्वप्रथम HE = 5cm खींची।
(ii) E पर एक कोण ∠HEX = 85° बनाया।
(iii) किरण EX में से EA = 6cm. काटा ।
(iv) A पर एक कोण ∠EAY = 95° बनाया ।
(v) बिन्दुम पर कोण ∠EHZ = 95° बनाया तथा AY और HZ बिन्दु R पर प्रतिच्छेद होती हैं।

अत: HEAR एक अभीष्ट चतुर्भुज हुआ।

(iv) आयत OKAY की। रचना निम्नांकित है-
रचना-

(i) सर्वप्रथम, हमने OK = 7 cm खींची ।
(ii) बिन्दु K, पर ∠OKA° =90° बनाया ।
(iii) बिन्दु K से लम्ब KA = 5cm काटा, जिसे A नाम दिया ।
(iv) आयत की आमने-सामने की भुजाएँ समान होती हैं।
अत: OK = AY = 7 cm तथा OY = KA = 5 cm.

अब बिन्दु A से 7 cm का तथा बिन्दु०से 5cm का चाप लगाये जो एक-दूसरे को Y पर काटते हैं। Y को A तथा O बिन्दुओं से मिलाया ।
अत: OKAY अभीष्ट आयत है।

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 5 आँकड़ो का प्रबंधन Ex 5.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 5 आँकड़ो का प्रबंधन Ex 5.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से किन आँकड़ों को दर्शाने के लिए आप एक आयत चित्र का प्रयोग करेंगे?
(a) एक डाकिये के थैले में विभिन्न क्षेत्रों के पत्रों की संख्या।
(b) किसी खेलकूद प्रतियोगिता में प्रत्याशियों की ऊँचाइयाँ।
(c) 5 कम्पनियों द्वारा निर्मित कैसेटों की संख्या।
(d) किसी स्टेशन पर प्रातः 7 बजे से सायं 7 बजे तक रेलगाड़ियों से जाने वाले यात्रियों की संख्या। (प्रत्येक के लिए कारण भी दीजिए।)
हल :
(a) विभिन्न क्षेत्रों के पत्रों की संख्या को हम आँकड़ों द्वारा आयत चित्र में नहीं दर्शा सकते हैं।
(b) किसी खेलकुद प्रतियोगिता में प्रत्याशियों की ऊँचाइयों के आँकड़ों को वर्ग-अन्तराल से विभाजित किया जा सकता है । अतः इस आँकड़े को दर्शाने के लिए एक आयत चित्र का प्रयोग कर सकते है।
(c) कैसेटों की संख्या के आँकड़ों को वर्ग-अन्तराल में विभाजित नहीं किया जा सकता है । अतः इसे हम आयत चित्र में नहीं दर्शा सकते हैं।
(d) यात्रियों की संख्या आयत चित्र द्वारा दर्शाई जा सकती है, क्योंकि इन आँकड़ों को वर्ग-अन्तराल में विभाजित किया जा सकता है।

प्रश्न 2.
किसी विभागीय स्टोर पर खरीदारी करने आये व्यक्तियों को इस प्रकार अंकित किया जाता हैपुरुष (M), महिला (W), लड़का (B) या लड़की (G)।
निम्नलिखित सूची उन खरीदारों को दर्शाती है, जो प्रातःकाल पहले घंटे में आये हैं-
W W W G B W W M G G M M W W W W
G B M W B G G M W W M M W W W M
W B W G M W W W W G W M M W W M W G
W M G W M M B G G W.
मिलान चिन्हों का प्रयोग करते हुए एक बारम्बारता बंटन सारणी बनाइए, इसे प्रदर्शित करने के लिए एक दण्ड आलेख खींचिये ।
हल :
बारम्बारता सारणी निम्नांकित प्रकार की होगी-

दण्ड आलेख:
x अक्ष पर खरीदने वाले (M, W, B,G) तथा Y अक्ष पर खरीदने वालों की संख्या दर्शायी गई है ।

प्रश्न 3.
किसी फैक्ट्री के 30 श्रमिकों की साप्ताहिक मजदूरी (रुपयों में) निम्नलिखित हैं-
830,835, 890, 810,835, 836, 869,845, 898, 890,
820,860, 832,833,855,845,804,808, 812, 840,
885,835,835,836,878,840,868,890,806,840.
मिलान चिह्नों (टैली चिह्न) का प्रयोग करते हुए अन्तरालों 800 – 810, 810 – 820 इत्यादि वाली एक बारम्बारता सारिणी बनाइए।
हल :
बारम्बारता सारणी निम्नांकित प्रकार है –

प्रश्न 4.
प्रश्न 3 में दिये आंकड़ों से प्राप्त सारणी के लिए एक आयत चित्र बनाइए और निम्नलिखत प्रश्नों के उत्तर दीजिए-
(i) किस समूह में श्रमिकों की संख्या सबसे अधिक है?
(ii) कितने श्रमिक 850 रुपये या उससे अधिक अर्जित करते हैं?
(iii) कितने श्रमिक 850 रूपये से कम अर्जित करते है ?

हल :
आयत चित्र में X-अक्ष पर मजदूरी तथा Y-अक्ष – पर मजदूरों की संख्या को दर्शाया गया है –

(i) समूह 830-840 में श्रमिकों की सबसे अधिक संख्या है।
(ii) 10 श्रमिक 850 रुपये या उससे अधिक अर्जित करते हैं
∵ 1 + 3 + 1 + 1 + 4 = 10

(iii) 850 रुपये से कम अर्जित करने वाले श्रमिकों की संख्या 20 है।
∵ 5 + 9 + 1 + 2 + 3 = 20

प्रश्न 5.
अवकाश के दिनों में एक विशिष्ट कक्षा के विद्यार्थियों द्वारा प्रतिदिन टेलीविजन (टी. वी.) देखने के समय (घंटों में) दिए हुए आलेख में दर्शाये गये हैं।
निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए-
(i) अधिकतम विद्यार्थियों ने कितने घंटों तक टी.वी. देखा ?
(ii) 4 घंटों से कम समय तक कितने विद्यार्थियों ने टी.वी. देखा ?
(iii) कितने विद्यार्थियों ने टी.वी. देखने में 5 घंटे अधिक का समय व्यतीत किया ?

हल :
(i) अधिकतम 32 विद्यार्थियों ने 4-5 घंटे टी. वी. देखा ।
(ii) 4 घंटे से कम समय तक टी. वी. देखने वाले विद्यार्थियों की संख्या 34 है।
∵ (22 + 8 + 4 = 34)
(ii) 14 विद्यार्थियों ने टी. वी. देखने में 5 घंटों से अधिक का समय व्यतीत किया ।
∵ (8 + 6 = 14)

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 4 प्रायोगिक ज्यामिती Ex 4.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 4 प्रायोगिक ज्यामिती Ex 4.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित चतुर्भुजों की रचना कीजिए-
हल :
(i) चतुर्भुज LIFT, जिसमें-
LI= 4 cm
IF= 3 cm
TL = 2.5 cm
LF = 4.5 cm
IT=4 cm

रचना:
कच्चे चित्र को देखकर हमें सर्वप्रथम ALIT की रचना करेंगे, क्योंकि इस त्रिभुज की तीनों भुजाएँ दी हुई हैं।
(i) सर्वप्रथम LI = 4cm की रेखा खींची । फिर L को केन्द्र मानकर TL = 2.5 cm त्रिज्या से तथा I को केन्द्र मानकर IT = 4 cm त्रिज्या से दो चाप लगाये, जो एक-दूसरे को T बिन्दु पर काटते हैं । T ! को L तथा I से मिलाया ।
(ii) अब L को केन्द्र मानकर CEX LF 24.5cm. तथा I को केन्द्र मानकर IF = 3 cm. त्रिज्याएँ । लेकर क्रमश: दो चाप लगाए, । 4ch जो एक-दूसरे को F पर काटते है ।।

(iii) F को T तथा I से मिलाया। अत: LIFT अभीष्ट चतुर्भुज है ।

(ii) चतुर्भुज GOLD, जिसमें
OL = 7.5 cm
GL = 6 cm
GD = 6 cm
LD = 5 cm
OD = 10 cm है।

रचना-
कच्चे चित्र को देखकर पहले हम GOLD की रचना करेंगे, क्योंकि इस त्रिभुज की तीनों भुजाएँ दी है।
(i) सर्वप्रथम, OL = 7.5 cm की रेखा खीर्ची ।
(ii) L को केन्द्र मानकर 5 cm (LD) की त्रिज्या से तथा O को केन्द्र मानकर 10 cm (OD) की त्रिज्या से क्रमश: दो चाप लगाये, जो एक-दूसरे को D बिन्दु पर काटते है।
(iii) L को D से तथा O को D से मिलाया ।
(iv) L को केन्द्र मानकर 6 cm की त्रिज्या से तथा D को केन्द्र मानकर 6 cm की त्रिज्या से O क्रमशः दो चाप लगाये, जो एक-दूसरे को G बिन्दु पर काटते है।

(v) G को O तथा D से मिलाया । इस प्रकार GOLD अभीष्ट चतुर्भुज हुआ ।

(iii) समलम्ब BEND, जिसमें-
BN = 5.6 cm,
DE = 6.5 cm
रचना-
(i) सर्वप्रथम रेखा DE = 6.5 cm खींची ।
(ii) DE का लम्बसमद्वि-भाजक XY खींचा, जो DE को O पर काटता है ।
(iii) O से ON = \(\frac { 5.6 }{ 2 }\) = 2.8 cm. का चाप लेकर OX पर तथा OB = 2.8 cm. का चाप OY पर लगाया।

(iv) BE, EN, ND और DB को मिलाया ।
अत: BEND अभीष्ट समचतुर्भुज हुआ ।

Haryana State Board HBSE 8th Class Maths Solutions Chapter 4 प्रायोगिक ज्यामिती Ex 4.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Haryana Board 8th Class Maths Solutions Chapter 4 प्रायोगिक ज्यामिती Ex 4.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित चतुर्भुजों की रचना कीजिए-
(i) चतुर्भुज ABCD, जिसमें
AB = 4.5 cm
BC = 5.5 cm
CD = 4 cm
AD = 6 cm
AC = 7 cm
हल :
(i) रचना – (i) सर्वप्रथम AC = 7 cm खींचा।
(ii) A को केन्द्र मानकर 4.5 cm (AB) त्रिज्या लेकर एक चाप खींचा।

(iii) C को केन्द्र मानकर 5.5 cm (BC) त्रिज्या लेकर एक चाप खींचा, जो पहले चाप को B पर प्रतिच्छेद करता है।
(iv) A को केन्द्र मानकर 6 cm (AD) त्रिज्या लेकर एक चाप खींचा और C को केन्द्र मानकर 4 cm (CD) त्रिज्या लेकर एक अन्य चाप लगाया। दोनों चाप बिन्दु D पर प्रतिच्छेद करते हैं ।
अब: AB, EC, AD तथा CD को मिलाया ।
ABCD अभीष्ट चतुर्भुज है।

नोट: कोई भी पक्की (Final) रचना करने से पूर्व छात्र प्रश्न में दी गई मापों से कच्चा चित्र बनायें, जिसमें उन्हें पक्की रचना करने में असुविधा नहीं होगी ।

(ii) चतुर्भुज JUMP जिसमें –
JU = 3.5 cm
UM = 4 cm
MP = 5 cm
PJ = 4.5 cm
PU = 6.5 cm
हल :
(ii) चतुर्भुज JUMP की रचना निम्नांकित है-

(i) सर्वप्रथम PU = 6.5 cm खींचा ।
(ii) P को केन्द्र मानकर 5 cm (PM) त्रिज्या लेकर एक चाप लगाया । U को केन्द्र मानकर 4 cm (MU) त्रिज्या से दूसरा चाप लगाया, जो पहले चाप को M पर काटता है।
(iii) P को केन्द्र मानकर 4.5cm (PJ) त्रिज्या से चाप लगाया तथा U को केन्द्र मानकर 3.5cm (JU) त्रिज्या लेकर दूसरा चाप लगाया, जो पहले चाप को J पर काटता है।

(iv) फिर, P को M से, M को U से, P को J से तथा U को J से मिलाया
JUMP अभीष्ट ननुर्भज हुआ।

(iii) समान्तर चतुर्भुज MORE, जिसमें –
OR = 6 cm
EO = 7.5 cm
MO = 7.5 cm
हल :
(iii) समान्तर चतुर्भुज MORE की रचना निम्नांकित है-

समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं।
अतः MO = 7.5 cm
तथा MO = FR = 7.5 cm
तथा OR = ME = 6 cm
(i) सर्वप्रथम EO = 7.5 cin की रेखा खींची ।
(ii) 0 को केन्द्र मानकर 6 cm (OR) त्रिज्या लेकर एक चाप लगाया तथा E को केन्द्र मानकर 7.5 cm (ER) त्रिज्या लेकर दूसरा चाप लगाया, जो पहले चाप को R पर काटता है।
(iii) 0 को केन्द्र मानकर 7.5 cm (MO) त्रिज्या लेकर एक चाप लगाया तथा E को केन्द्र / मानकर 6cm (EM) त्रिज्या लेकर दूसरा चाप लगाया, जो पहले चाप को M पर काटता है।

(iv)0 को M से, E को M से,०को R से तथा E को R से मिलाया।
अत: MORE अभीष्ट समान्तर चतुर्भुज हुआ है।

(iv) समचतुर्भुज BEST, जिसमें –
BE = 4.5 cm
ET = 6 cm
हल :
(iv) समचतुर्भुज BEST की रचना-
समचतुर्भुज की चारों भुजाएँ समान होती हैं ।
अत: BE = ES = ST = TB = 4.5 cm
(i) सर्वप्रथम TE = 6 cm की रेखा खींची।।

(ii) T तथा E को 4.5 cm क्रमशः केन्द्र मानकर ES = TS = 4.5 cm त्रिज्या B के दो चाप लगाए, जो एक दूसरे को पर काटते हैं ।
(iii) पुनःT तथा E को क्रमशः केन्द्र मानकर 4.5 cm त्रिज्या लेकर दूसरी ओर दो चाप लगाए जो आपस में B पर काटते हैं।

(iv) अब E को S तथा B से और T को S तथा B से मिलाया ।
अतः, BEST अभीष्ट समचतुर्भुज है।